Sección 2.3 Ecuaciones lineales 55

En los pro ble mas 7 a 16, ob ten ga la so lu ción ge ne ral de

la ecua ción.

En los pro ble mas 17 a 22, re suel va el pro ble ma con va-

lor ini cial.

23. De cai mien to ra diac ti vo. En el ejem plo 2, su pon -

ga que la ra zón con la que RA1 de cae a RA2 es 40e 20t

kg s y que la cons tan te de de cai mien to pa ra RA2 es k !

5 s. De ter mi ne la ma sa y(t) de RA2 pa ra t " 0 si ini-

cial men te y(0) ! 10 kg.

24. En el ejem plo 2, la cons tan te de de cai mien to pa ra el

isó to po RA1 era 10 s, lo que se ex pre sa en el ex po-

nen te del tér mi no de la ra zón 50e 10t kg s. Cuan do

la cons tan te de de cai mien to pa ra RA2 es k ! 2 s,

ve mos que en la fór mu la (14) pa ra y, el tér mi no

(185 4)e 2t do mi na a par tir de cier to mo men to

(tie ne ma yor mag ni tud pa ra t gran de).

(a) Vuel va a re sol ver el ejem plo 2 con si de ran do k !

20 s. En es te ca so, ¿cuál tér mi no de la so lu ción

do mi na a par tir de cier to mo men to?

(b) Vuel va a re sol ver el ejem plo 2 con si de ran do k !

10 s.

25. (a) Use la in te gra ción de Þ ni da pa ra mos trar que la

so lu ción del pro ble ma con va lor ini cial

se pue de ex pre sar co mo

(b) Uti li ce la in te gra ción nu mé ri ca (co mo la re gla

de Simp son del apén di ce B) pa ra apro xi mar la

so lu ción en x ! 3.

26. Uti li ce la in te gra ción nu mé ri ca (co mo la re gla de

Simp son del apén di ce B) pa ra apro xi mar la so lu ción

en x ! 1 del pro ble ma con va lor ini cial

Ga ran ti ce que su apro xi ma ción tie ne una pre ci sión

de tres dí gi tos.

27. Con si de re el pro ble ma con va lor ini cial

(a) Uti li ce la in te gra ción de Þ ni da pa ra mos trar que

el fac tor in te gran te pa ra la ecua ción di fe ren cial

se pue de es cri bir co mo

y que la so lu ción del pro ble ma con va lor ini cial es

(b) Ob ten ga una apro xi ma ción de la so lu ción en

x ! 1 usan do la in te gra ción nu mé ri ca (co mo la

re gla de Simp son del apén di ce B) en un ci clo ani-

da do pa ra es ti mar los va lo res de (x), y con ello,

el va lor de

!

!

!

56 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden

[Su ge ren cia: Pri me ro uti li ce la re gla de Simp-

son pa ra apro xi mar (x) en x 0.1, 0.2, . . . , 1.

Lue go uti li ce es tos va lo res y apli que la re gla de

Simp son de nue vo pa ra apro xi mar 1

0 (s)s ds].

(c) Uti li ce el mé to do de Eu ler (sec ción 1.4) pa ra

apro xi mar la so lu ción en x 1, con ta ma ños del

pa so h 0.1 y 0.05.

(Es muy di fí cil com pa rar di rec ta men te los mé ri tos

de am bos es que mas nu mé ri cos en (b) y (c), pues ha-

bría que to mar en cuen ta la can ti dad de eva lua cio nes

fun cio na les en ca da al go rit mo, así co mo las pre ci sio-

nes in he ren tes).

28. Múl ti plos cons tan tes de so lu cio nes.

(a) Mues tre que y e x es una so lu ción de la ecua-

ción li neal

(16)

y y ! x 1 es una so lu ción de la ecua ción no li neal

(17)

(b) Mues tre que pa ra cual quier cons tan te C, Ce x es

una so lu ción de la ecua ción (16), mien tras que

Cx 1 es una so lu ción de la ecua ción (17) só lo

cuan do C ! 0 o 1.

(c) Mues tre que pa ra cual quier ecua ción li neal de la

for ma

si y(x) es una so lu ción, en ton ces pa ra cual quier

cons tan te C, la fun ción Cy(x) tam bién es una so-

lu ción.

29. Use su in ge nio pa ra re sol ver la ecua ción

[Su ge ren cia: Los pa pe les de las va ria bles de pen-

dien te e in de pen dien te pue den in ver tir se].

30. Ecua cio nes de Ber nou lli. La ecua ción

(18)

es un ejem plo de una ecua ción de Ber nou lli. (En la

sec ción 2.6 se ana li zan con más de ta lle las ecua cio-

nes de Ber nou lli).

(a) Mues tre que la sus ti tu ción y ! y3 re du ce la

ecua ción (18) a la ecua ción

(19)

(b) Des pe je y en la ecua ción (19). Lue go ha ga la

sus ti tu ción y ! y3 pa ra ob te ner la so lu ción de

la ecua ción (18).

31. Coe Þ cien tes dis con ti nuos. Co mo ve re mos en el

ca pí tu lo 3, hay oca sio nes en que el coe Þ cien te P(x)

de una ecua ción li neal no es con ti nuo de bi do a la

exis ten cia de dis con ti nui da des de sal to. Por for tu na,

aun en es te ca so ob te ne mos una so lu ción “ra zo na-

ble”. Por ejem plo, con si de re el pro ble ma con va lor

ini cial

don de

(a) De ter mi ne la so lu ción ge ne ral pa ra 0 " x " 2.

(b) Eli ja la cons tan te en la so lu ción de la par te (a)

de mo do que se sa tis fa ga la con di ción ini cial.

(c) De ter mi ne la so lu ción ge ne ral pa ra x # 2.

(d) Aho ra se lec cio ne la cons tan te en la so lu ción ge-

ne ral de la par te (c) de mo do que la so lu ción de

la par te (b) y la so lu ción de la par te (c) coin ci-

dan en x ! 2. Al pe gar las dos so lu cio nes, po de-

mos ob te ner una fun ción con ti nua que sa tis fa ce

la ecua ción di fe ren cial en x ! 2, pun to don de su

de ri va da no es tá de Þ ni da.

(e) Bos que je la grá Þ ca de la so lu ción des de x ! 0

has ta x ! 5.

32. Tér mi nos de for za mien to dis con ti nuos. Hay oca-

sio nes en que el tér mi no de for za mien to Q(x) en una

ecua ción li neal de ja de ser con ti nuo de bi do a la apa ri-

ción de las dis con ti nui da des de sal to. Por for tu na, aun

en es te ca so po de mos ob te ner una so lu ción ra zo na ble

imi tan do el pro ce di mien to que se ana li zó en el pro-

ble ma 31. Uti li ce es te pro ce di mien to pa ra ha llar la so-

lu ción con ti nua del pro ble ma con va lor ini cial

don de

Bos que je la grá Þ ca de la so lu ción des de x ! 0 has ta

x ! 7.

!

Sección 2.3 Ecuaciones lineales 57

33. Pun tos sin gu la res. Los va lo res de x pa ra los que

P(x) en la ecua ción (4) no es tá de Þ ni da, se lla man

pun tos sin gu la res de la ecua ción. Por ejem plo, x

0 es un pun to sin gu lar de la ecua ción xy ! 2y " 3x,

pues al es cri bir la ecua ción en for ma ca nó ni ca, y !

(2 x)y " 3, ve mos que P(x) " 2 x no es tá de Þ ni da

en x " 0. En un in ter va lo que con ten ga un pun to

sin gu lar, las pre gun tas de exis ten cia y uni ci dad de la

so lu ción que dan sin res pon der, pues el teo re ma 1 no

pue de apli car se. Pa ra mos trar el com por ta mien to po-

si ble de las so lu cio nes cer ca de un pun to sin gu lar,

con si de re las si guien tes ecua cio nes.

(a) Mues tre que xy ! 2y " 3x só lo tie ne una so lu-

ción de Þ ni da en x " 0. Mues tre en ton ces que el

pro ble ma con va lor ini cial da do por es ta ecua-

ción y la con di ción ini cial y(0) " y0 tie ne una

úni ca so lu ción cuan do y0 " 0 y no tie ne so lu cio-

nes cuan do y0 # 0.

(b) Mues tre que xy $ 2y " 3x tie ne una in Þ ni dad

de so lu cio nes de Þ ni das en x " 0. Lue go mues tre

que el pro ble ma con va lor ini cial da do por es ta

ecua ción y la con di ción ini cial y(0) " 0 tie ne

una in Þ ni dad de so lu cio nes.

34. Exis ten cia y uni ci dad. Ba jo las hi pó te sis del teo-

re ma 1, de mos tra re mos que la ecua ción (8) pro por-

cio na una so lu ción de la ecua ción (4) en (a, b). Po-

de mos en ton ces ele gir la cons tan te C de la ecua ción

(8) de mo do que se re suel va el pro ble ma con va lor

ini cial (15).

(a) Mues tre que co mo P(x) es con ti nua en (a, b), en-

ton ces (x) es tá de Þ ni da en (7) y es una fun-

ción con ti nua y po si ti va que sa tis fa ce d dx "

P(x) (x) en (a, b).

(b) Co mo

ve ri Þ que que la y da da en la ecua ción (8) sa tis fa -

ce la ecua ción (4), de ri van do am bos la dos de la

ecua ción (8).

(c) Mues tre que si (x)Q(x) dx es la an ti de ri va da

cu yo va lor en x0 es 0 (es de cir, xx0

(t)Q(t)dt) y

ele gi mos C co mo y0 (x0), se sa tis fa ce la con di-

ción ini cial y(x0) " y0.

(d) Par ta de la hi pó te sis de que y(x) es una so lu ción

del pro ble ma con va lor ini cial (15) y mues tre que

el aná li sis que con du jo a la ecua ción (8) im pli ca

que y(x) de be cum plir la ecua ción (8). A con ti-

nua ción jus ti Þ que que la con di ción ini cial en

(15) de ter mi na la cons tan te C de ma ne ra úni ca.

35. Mez clas. Su pon ga que una so lu ción sa li na con 2 kg

de sal por li tro se in tro du ce en un tan que que con tie-

ne ini cial men te 500 li tros de agua y 50 kg de sal. La

so lu ción en tra al tan que a ra zón de 5 li tros mi nu to.

La mez cla se man tie ne uni for me re vol vién do la, y sa -

le del tan que a ra zón de 5 li tros mi nu to (véa se la Þ -

gu ra 2.6).

0.2 kg/L

Figura 2.7 Pro ble ma de mez clas con ra zo nes de ß u jo dis tin tas

0.2 kg/L

Figura 2.6 Pro ble ma de mez clas con ra zo nes de ß u jo idén ti cas

(a) De ter mi ne la con cen tra ción, en ki lo gra mos li-

tro, de la sal en el tan que des pués de 10 mi nu tos.

[Su ge ren cia: Sea A el nú me ro de ki lo gra mos de

sal en el tan que, t mi nu tos des pués de ini ciar el

pro ce so; use el he cho de que

ra zón de

ra zón de !

ra zón de

in cre men to en A en tra da sa li da.

En la sec ción 3.2 se ana li zan con más de ta lle los

pro ble mas de mez clas].

(b) Des pués de 10 mi nu tos, apa re ce un de rra me en

el tan que y co mien za a sa lir del tan que otro li tro

por mi nu to (véa se la Þ gu ra 2.7). ¿Cuál se rá la

con cen tra ción, en ki lo gra mos li tro, de sal en el

tan que des pués de 20 mi nu tos a par tir del ini cio

del de rra me? [Su ge ren cia: Use el mé to do que se

ana li zó en los pro ble mas 31 y 32].

36. Va ria ción de pa rá me tros. He aquí otro pro ce di-

mien to pa ra re sol ver ecua cio nes li nea les, par ti cu-

lar men te útil pa ra ecua cio nes li nea les de or den

su pe rior, el mé to do de va ria ción de pa rá me tros. Se