Taller 1

1. Encuentre la variedad cortada por cada conjunto de ecuaciones:

i R = R[x; y], A = f2x y + 1; x2 + y2 1; x + y + 5g (Respuesta: V (A) =conjunto vaco).

ii R = Q[x; y; z]; E = fzxz+xy; zx2+zy2+x2+y2; z+1; y2+yg (Respuesta:V (E) = f(1; 0;1); (1=2;1;1)g:

2. Determine si cada uno de los siguientes conjuntos es un ideal del anilloR = Q[x; y; z] :

i I = R;

ii I = f0g:iii I = fp 2 R : p(0; 0; 0) = 1giv I = fp 2 R : el trmino constante de p es cerogv I = fp 2 R : p(1; 1; 1) 6= 0g

3. SeaR = k[x1; : : : ; xn] un anillo de polinomios. Denamos I = fp(x; y; z) 2R : p(1;1; 2) = 0g: Compruebe que I es en efecto un ideal. Verique ademsque I puede ser generado por los polinomios f1 = x 1; f2 = y + 1; f3 = z 2.Es decir,

I = fg 2 R : g = a1f1 + a2f2 + a3f3; con a1; a2; a3 en Rg;lo cual, recordemos, lo denotamos como I = (x 1; y + 1; z 2):4. D un ejemplo de un ideal de R que no pueda ser generado por un solo

polinomio.

5. Muestre que el ideal de R = Q[x; y] generado por los polinomios f1 =x2 + xy x; f2 = x 1; f3 = xy + 2 es igual a todo el anillo R.6. Sea J = (xy; yz; xyz2), el ideal de R generado por los polinomios xy;

yz; xyz2. Explique por qu es cierto que si f 2 J entonces cada uno de losmonomios de f debe ser divisible por algunos de los monomios xy; yz; xyz2:

(Opcional) *7. Explique por qu si I es un ideal generado por monomios,I = (m1; : : : ;mt); entonces para saber si un polinomio f est en I basta ver quecada uno de sus trminos sea divisible por alguno de los monomios m1; : : : ;mt:Notemos que el recproco siempre es cierto: si cada monomio de f es divisible

por algn m1; : : : ;mt, entonces es claro que f 2 I, pues si f =P

=(1;:::;n)

cx,

y cada cx = mini , para ciertos mi , ni , con 1 i t, entoncesf =

P=(1;:::;n)

mini es combinacin lineal de m1; : : : ;mt, con coecientes

polinmicos (en este caso, monomios) ni .

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