taller de matemáticas para economistas

Taller de Matemáticas paraEconomistas

M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017

Escuela de Gobierno y Economía, Universidad Panamericana

1

https://www.youtube.com/channel/UCb1i-EtybaWWX5urFfmMUWQ

1 Revisión de Álgebra Básica

Exponentes

Polinomios

Factorización

Fracciones

Radicales

Jerarquía de operaciones2 Logaritmos

Logaritmo natural3 Trigonometría analítica

Identidades Trigonométricas Básicas

Fórmulas para suma y diferencia4 Diferenciación Logarítmica

Ejemplos5 Derivadas Parciales

Cálculo de derivadas parciales6 Derivación implícita

Diferencial de una función

Diferenciación implícita con derivadas parciales7 Integración por Partes8 Técnicas de integación trigonométrica

Integrados trigonométricos9 Fracciones parciales

Método de Fracciones Parciales

2

Acerca de mí

¡Bienvenidos al Taller de Matemáticas!

Mi nombre es Juliho...(sí, con “h” entre la “i” y la “o”.)

3

Educación

1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.

2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.

3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.

4

Publicaciones

2014 Symplectic capacities on surfaces: ManuscriptaMathematica, Vol. 229, artículo 701, Artículo deInvestigación.En colaboración con Dr. Rystam Sadykov

2012 Aplicaciones del Control Estocástico al AnálisisSemiclásico: Aportaciones Matemáticas, Memorias 45,69-96, Artículo de exposición.

5

Reconocimientos

2011 Premio Nacional “Mixbaal” a las Mejores Tesis deLicenciatura en Matemáticas Aplicadas, MenciónHonorífica

2011 Conferencista invitado, Sesión del Premio Mixbaal,ENOAN XXI

2001 Seleccionado Estatal, XV Olimpiada Mexicana deMatemáticas, Delegación Oaxaca

6

Experiencia docente

Actual Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,ESDAI, Ciudad de México.

2014-2015 Coordinador Académico, Club de Matemáticas“Teorema”, Centro de Formación en Ciencias yMatemáticas, Oaxaca.

2014 Codelegado, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.

2013 Profesor de Asignatura, Instituto Blaise Pascal, Académiade Matemáticas, Oaxaca de Juárez.

2013 Profesor de Asignatura, Universidad Anáhuac México Sur,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.

2012-2013 Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.

2005-2010 Entrenador, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.

7

Revisión de Álgebra Básica

Ejemplo 2.1.

Simplifique, usando leyes de los exponentes

1 x2x5 =

2x8

x2

3 (x3)2

4 (xy)3

5

(x

y

)5

6x2

x3

7√

x

84√

x3

9x3

x3 8

Ejemplo 2.2.

Simplifique, sumando términos semejantes:

1 6x3 + 15x3

2 18xy − 7xy

3 (4x3 + 13x2 − 7x) + (11x3 − 8x2 − 9x)4 (22x − 19y) + (7x + 6z)

9

Ejemplo 2.3.

Realice las siguientes multiplicaciones y divisiones:

1 20x4 · 7y6

2 6x2y3 · 8x4y6

3 12x3y2 · 5y4z5

4 3x3y2z5 · 15x4y3z4

524x5y3z7

6x3y2z4

635x2y7z5

5x6y4z8

10

Ejemplo 2.4.

Realice las siguientes multiplicaciones:

1 (5x + 8y) (3x + 7y)2 (4x + 5y) (2x − 7y − 3z)

11

Ejemplo 2.5.

Factorice

1 x2 + 11x + 242 6x2 + 13x − 5

12

Ejemplo 2.6.

Realice las siguientes operaciones usando las reglas comunespara fracciones

15

2x − 18x − 9x − 4

216y

÷ 7y2 − 3

36z

z + 5 − 4z + 9z + 5

4x

5 − 37x

13

Ejemplo 2.7.

1(

3√

27)3

2√

3√

643

√8√

18

44√

17824√

22

14

Ejemplo 2.8.

(52 · 6)10 − 8

15

Logaritmos

Definición 3.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).

Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0

En otras palabras: Si y > 0, entonces

expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (3.1)

16

Figura 3.1: expb(x) vs logb(x)

17

Leyes de los exponentes y funciones exponenciales

Las leyes de los exponentes se pueden traducir en propiedadesde las funciones exponenciales. La idea fundamental es queexpb(x) tranforma R, los números reales, con la operaciónsuma en R+, los reales positivos, con la operaciónmultiplicación.

Leyes de los exponentes Funciones exponencialesb0 = 1 expb (0) = 1b1 = b expb (1) = b

bx+y = bxby expb (x + y) = expb (x) expb (y)

bx−y = bx

byexpb (x − y) = expb (x)

expb (y)bnx = [bx]n expb (nx) = [expb (x)]n

18

Propiedades de logaritmos

Las funciones logarítmicas revierten las operaciones realizadascon las exponenciales: Si x, y > 0, entonces

Las funciones logarítmicas... convierten... en...logb (1) = 0 1 0.

logb (b) = 1 la base b 1.

logb (xy) = logb (x) + logb (y) la multiplicación suma.

logb

(x

y

)= logb (x) − logb (y) la división resta.

logb (xn) = n logb (x) exponentes coeficientes.

19

Ejemplo 3.1.Simplificar log10 (1000) .

Solución.

log10 (1000) = log10

(103

)= 3 (log10 (10))= 3(1) = 1.

20

Ejemplo 3.2.Simplificar log2 (32) .

Solución.

log2 (32) = log2

(25)

= 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.

21

Ejemplo 3.3.

Simplificar log5

(1

125

).

Solución.

log5

( 1125

)= log5

( 153

)= log5 (1) − log5

(53)

= 0 − 3 (log5 (5))= −3(1) = −3.

22

Ejemplo 3.4.Solucionar log4 (x) = 1

2 .

Solución.

log4 (x) = 12 → x = exp4

(12

)→ x = 4 1

2

→ x =√

4 = 2.

23

Observación 3.1.La función exponencial es 1 : 1, es decir

bx = bx′ → x = x′.

24

Ejemplo 3.5.Solucionar log64 (16) = x.

Solución.

log64 (16) = x → 16 = exp64 (x)→ 24 = 64x

→ 24 =(26)x

→ 24 = 26x → 4 = 6x

→ x = 23 .

25

Ejemplo 3.6.Solucionar logx (27) = 3.

Solución.

logx (27) = 3 → 27 = expx (3)→ 27 = x3

→ x = 3√

27 = 3.

26

Ejemplo 3.7.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :

1 log5

(53

);

2 log5 (8) ;3 log5 (36) .

27

Solución.

1

log5

(53

)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .

2

log5 (8) = log5

(23)

= 3 log5 (5) = 3.

3

log5 (36) = log5

(2232

)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .

28

Consideremos una inversión inicial de $1, a una tasa de interésanual de r = 1, a un plazo de T = 1, es decir, de un año. Sivariamos el número de periodos M, en el que se compone lainversión al año, obtenemos los siguientes resultados:

M (1 + 1/M)M

1 2.010 2.5937424601100 2.704813829421000 2.7169239322410000 2.71814592683

29

Como se puede observar,(

1 + 1M

)M

→ 2.71828182846

si M → ∞.

Observación 3.2.e ≈ 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).

30

En general, realizando el cambio de variable M = N

r, tenemos

que

A(1 + r

N)NT = A(1 + 1

M)rMT

= A

((1 + 1

M

)M)rT

→ AerT

cuando N, M → ∞.

Observación 3.3.Esta es la motivacación de la fórmula de interés compuestocontinuamente.

31

Ejemplo 3.8.Resuelva 3 = e20x.

Solución.

3 = e20x → ln(3) = ln(e20x)→ ln(3) = 20x

→ x = ln(3)20 ≈ 0.0549

32

Ejemplo 3.9.Resuelva 2 ln(x) = 1

Solución.

2 ln(x) = 1 → ln(x) = 12

→ x = exp(12)

→ x = e12 =

√e ≈ 1.648

33

Ejemplo 3.10.Considere una inversión inicial C0 = $1, 000, a una tasa anualr = 8 % compuesta continuamente, ¿a que plazo de T añosdebe hacerse la inversión, para que esta se duplique?

Solución.Planteamos la ecuación 1000e0.08T = 2000. Despejamos T dela siguiente manera:

1000e0.08T = 2000 → e0.08T = 2→ 0.08T = ln(2)

→ T = ln(2)0.08 ≈ 8.66.

El plazo debe ser aprox. 8.66 años.

34

Observación 3.4.Observe que el tiempo que se tarda en duplicar el monto, esindependiente de la cantidad inicial C0. Trate de verificar estehecho, con diferentes montón y de justificarlo algebraicamente.

35

Evaluación Continua 3.1.En los siguientes ejericios, evalué la expresión dada utilizandolas propiedades de los logaritmos:

1 ln e3

2 ln√

e

3 eln 5

4 e2 ln 3

5 e3 ln 2−2 ln 5

6 ln e3√e

e13

36

Evaluación Continua 3.2.Resuelva las siguientes ecuaciones:

1 4x = 532 log3 (2x − 1) = 23 2 = e0.06x

4 3 = 2 + 5e−4x

5 ln(x) = 13 (ln 16 + 2 ln 2)

6 3x = e2

37

Evaluación Continua 3.3.

1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?

2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?

3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?

38

Trigonometría analítica

Identidades cociente

tan(t) = sin(t)cos(t)

ctg(t) = cos(t)sin(t)

39

Identidades reciprocas

csc(t) = 1sin(t)

sec(t) = 1cos(t)

ctg(t) = 1tan(t)

40

Identidades pitagóricas

sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)

41

Identidades de paridad

sin(−t) = − sin(t)cos(−t) = cos(t)

42

Ejemplo 4.1.Simplifique

ctg(t)csc(t)

43

Ejemplo 4.2.Muestre que

cos(t)1 + sin(t) = 1 − sin(t)

cos(t)

44


1 + sin(u)sin(u) + ctg(u) − cos(u)

cos(u)

45


sin2(v) − 1tan(v)sin(v) − tan(v)

46

Ejemplo 4.5.Establezca la identidad

csc(t)tan(t) = sec(t)

47

Ejemplo 4.6.Establezca la identidad

1 + tan(u)1 + ctg(u) = tan(u)

48

cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)

49

Ejemplo 4.7.Demuestre las siguientes identidades

cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)

50

Ejemplo 4.8.Demuestre las siguientes identidades

cos(

π

2 − t)

= sin(t)

sin(

π

2 − t)

= cos(t)

51

Ejemplo 4.9.Demuestre que

tan(t + u) = tan(t) + tan(u)1 − tan(t)tan(u) ;

y encuentre una expresión para tan(t − u)

52


sin(2t) = 2sin(t)cos(t)cos(2t) = cos2(t) − sin2(t)cos(2t) = 1 − 2sin2(t)cos(2t) = 2cos2 − 1

53


tan(2t) = 2tan(t)1 − tan2(t)

54


sin2(t) = 1 − cos(2t)2

55


cos2(t) = 1 + cos(2t)2

56


tan2(t) = 1 − cos(2t)1 − cos(2t)

57

Diferenciación Logarítmica

Propiedades Básicas de la Derivada

Proposición 5.1 (Linealidad).

Dx (c1f1(x) + c2f2(x)) = c1Dxf1(x) + c2Dxf2(x)

58

Observación 5.1.No es cierto que

Dx (f(x)g(x)) = (Dxf(x)) (Dxg(x))

59

Proposición 5.2 (Regla del producto).

Dx (f(x)g(x)) = (Dxf(x)) g(x) + f(x) (Dxg(x))

60

La regla del cociente

Dx

(f(x)g(x)

)= f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)

(g(x))2

es solamente una consecuencia de la regla del producto.

61

Proposición 5.3 (Regla de la cadena).

Dx (f (g(x))) = f ′ (g(x)) g′(x)

62

Proposición 5.4.

Dx

(eu(x)

)= eu(x)u′(x)

63

Proposición 5.5.

Dx (ln (u(x))) = u′(x)u(x)

64

Diferenciación Logaritmica

u′(x) = u(x) (Dx ln(u(x)))

65

Ejemplo 5.1.Derive

f(x) =3√

x + 1(1 − 3x)4

66

Ejemplo 5.2.Derive

y = xx

67

Derivey = x(ex)

68

Derivadas Parciales

Objetivos del aprendizaje

1 Calcular e interpretar derivadas parciales.2 Aplicar derivadas parciales para estudiar problemas de

análisis marginal en economía.3 Calcular derivadas parciales de segundo orden.4 Usar la regla de la cadena de derivadas parciales para

encontrar tasas de cambio y hacer aproximacionesincrementales.

69

Derivadas parciales de primer orden

La derivada parcial de f(x, y) respecto de x se denota por

∂xf(x, y) ó fx(x, y)

y es la función obtenida al derivar f respecto de x tratando ay como una constante.

70

Derivadas parciales de primer orden

De manera similar, la derivada parcial de f(x, y) respecto de y

se denota por∂yf(x, y) ó fy(x, y)

y es la función obtenida al derivar f respecto de y tratando ax como una constante.

71

Algunas propiedades y fórmulas

Proposición 6.1.Sean u(x, y), v(x, y) funciones de dos variables y h(y) unafunción que no depende de x.

1 ∂xh(y) = 0;2 ∂x (h(y)u) = h(y)∂xu;3 ∂x (u + v) = ∂xu + ∂xv;4 ∂x (uv) = u∂xv + v∂xu;5 ∂xun = nun−1∂xu;6 ∂xeu = eu∂xu;7 ∂x ln(u) = ∂xu

u.

72

Observación 6.1.Las reglas siguen valiendo si: cambiamos ∂x por ∂y y h nodepende de y.

73

Ejemplo 6.1.Encuentre las derivadas parciales de f(x, y) = x2 + 2xy2 + 2y

3x

El desarrollo completo del ejercicio lo puede encontrar en miCanal de YouTube. La comprobación de la solución la puedeencontrar en SageMathCell.

74

https://youtu.be/HhCIoud7uTg

https://youtu.be/HhCIoud7uTg

http://sagecell.sagemath.org/?z=eJwrSyzSUK_QqVTX5OVK06jQUajUVLBVqIgz0jbSqtCqBNIaRlqVmvoaxloVICUVQDWVmrYKaXopmWlADSCxSrCYAlywEihYnJFfrpFWAWdVagIA2rkdCw==&lang=sage

Ejemplo 6.2.Encuentre las derivadas parciales de

f(x, y) = (x2 + x ∗ y + y)5.

El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en miCanal de YouTube. La comprobación se puede encontrar enhttp://sagecell.sagemath.org/?q=vrfhpv

75

https://www.youtube.com/watch?v=vT0SLF_U0mw&index=7&list=PLblwZNylw7eHCfUFZF-cc-kLIR-wzwWNi

https://www.youtube.com/watch?v=vT0SLF_U0mw&index=7&list=PLblwZNylw7eHCfUFZF-cc-kLIR-wzwWNi

http://sagecell.sagemath.org/?z=eJwrSyzSUK_QqVTX5OVK06jQUajUVLBV0KiIM9Ku0KrUrtSMMwVKVABlKjVtFdL0UjLTgMpAiivBYgpwwUqgYHFGfrlGWgWcVakJAPcZGwE=&lang=sage

Ejemplo 6.3.Encuentre las derivadas parciales de

f(x, y) = xe−2xy.

El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en miCanal de YouTube. La comprobación se puede encontrar enhttp://sagecell.sagemath.org/?q=onrgkx

76

https://www.youtube.com/watch?v=2_wPr3Qnyd8&list=PLblwZNylw7eHCfUFZF-cc-kLIR-wzwWNi&index=8

https://www.youtube.com/watch?v=2_wPr3Qnyd8&list=PLblwZNylw7eHCfUFZF-cc-kLIR-wzwWNi&index=8

http://sagecell.sagemath.org/?z=eJwrSyzSUK_QqVTX5OVK06jQUajUVLBVqNBKrSjQ0DXSqtCqBElUAGUqNW0V0vRSMtOAykBilWAxBbggSGFxRn65RloFnFWpCQD8XBsP&lang=sage

Evaluación Continua 6.1.Evalue las derivadas parciales ∂xf(x, y) y ∂yf(x, y) en elpunto (x0, y0) dado:

1 f(x, y) = x3y − 2(x + y), x0 = 1, y0 = 0;2 f(x, y) = x + x

y − 3x, x0 = 1, y0 = 1;

3 f(x, y) = (x − 2y)2 + (y − 3x)2 + 5, x0 = 0, y0 = −1;

4 f(x, y) = xy ln(

y

x

)+ ln (2x − 3y)2, x0 = 1, y0 = 1;

Puede verificar sus resultados con este este script.

77

http://sagecell.sagemath.org/?z=eJxtkE1uwyAQhfeWfIcRWYSktOrP2steI9UUg4REiYUhmjlXj5CLdey2kVtbLHiC9958sOudjZjx4zxCxBEumAO-RzcCQ6puLBnB12TD9TO1DRmGbvLovcj9oW28FnGQQzq9HBnu4fmo6Y7lZsiuFH4bckhFq5tPGfjWYmmbncVoa7yNHzDbgDJemmm2df6hD14i60padtJvqec_uQ0UXuZ4AeMuGOvM4hJE2Yaaimwh9cFifxYqkthT20zf8Pi_-HWOZzcVUCflZEABT2qDgrQyZJQsNmr1ihXyhvkH_QtIfoik&lang=sage

Derivación implícita

Si f es una función de x, y y, a su vez, tanto x como y sonfunciones de una tercera variable t, entonces podemos usar lasiguiente versión de la regla de la cadena:

d

dt[f(x(t), y(t)] = ∂f

∂x

dx

dt+ ∂f

∂y

dy

dt. (RC)

Abusando de la notación, escribimos f(t) = f(x(t), y(t) ypodemos reescribir la regla de la cadena como

f ′(t) = ∂xf(x, y)x′(t) + ∂yf(x, y)y′(t).

78

En la ecuación anterior, podemos omitir la dependencia dt dela variable t

df

dt= ∂f

∂x

dx

dt+ ∂f

∂y

dy

dt

y obtenemos la siguiente

Definición 7.1 (Diferencial de f(x, y)).

df(x, y) = ∂xf(x, y)dx + ∂yf(x, y)dy. (df)

79

Podemos interpretar la fórmula (df), en términos deaproximaciones por incrementos. Si tanto ∆x ≈ 0 como∆y ≈ 0, entonces

∆f ≈ ∂xf(x, y)∆x + ∂yf(x, y)∆y.

80

Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que

dx

dx= 1,

dy

dx= y′.

Entonces obtenemos el caso especial

df

dx= ∂xf(x, y) + ∂yf(x, y)y′(x).

Si fijamos una curva de nivel, f(x, y) al derivar respecto de x

de ambos lados tenemos que dfdx

= 0, y sustituyendo la fórmulaanterior, obtenemos

∂xf(x, y) + ∂yf(x, y)y′(x) = 0.

81

Diferenciación implícita con derivadas parciales

Finalmente, al despejar y′(x), obtenemos la siguiente fórmulapara derivación implícita con derivadas parciales

dy

dx= −∂xf(x, y)

∂yf(x, y) (DIDP)

82

Ejemplo 7.1.Encuentre dy

dxa partir de x2 − 6 xy + 9 y2 = 9 con la fórmula

(DIDP).

En este caso f(x, y) = x2 − 6 xy + 9 y2. Calculamos lasparciales ∂xf(x, y) = 2 x − 6 y

∂yf(x, y) = −6 x + 18 y

y sustituyento y simplificando en (DIDP), obtenemos

dy

dx= − (2 x − 6 y)

(−6 x + 18 y) = 13 .

83

Ejemplo 7.2.Encuentre dy

dxa partir de 4 x2 − 4 xy + y2 = 4 con la fórmula

(DIDP).

En este caso f(x, y) = f(x, y) = 4 x2 − 4 xy + y2. Calculamoslas parciales ∂xf(x, y) = 8 x − 4 y

∂yf(x, y) = −4 x + 2 y

y sustituyento y simplificando en (DIDP), obtenemos

dy

dx= − (8 x − 4 y)

(−4 x + 2 y) = 2.

84

Evaluación Continua 7.1.Encuentre dy

dxpor usando la fórmula (DIDP):

1 x2y = 1.

2 (2x + 3y)5 = x + 1.

3 x2 + 2y3 = 3xy

.

4 4x2 + y2 = 1.

5 3x2 − 2y2 = 6.

Observación 7.1.Recuerde que antes debe reescribir la ecuación de modo que ellado derecho sea constante.

85

Integración por Partes

Integración por partes

A partir de la regla del producto

Dx (uv) = uv′ + vu′,

se duduce la fórmula de integración por partes:∫udv = uv −

∫vdu (8.1)

86

Ejemplo 8.1.Encuentre ∫

x ln(x)dx.

87


xexdx.

88


ex cos(x)dx.

89

Técnicas de integacióntrigonométrica

Caso 1

Considérense las integrales de la forma∫sink(x)cosn(x)dx,

con k, n enteros no negativos.

90

Tipo 1.1

Al menos uno de los números k, n es impar. Podemos escogeru = cos(x) o u = sin(x)

91

Ejemplo 9.1.

∫sin3(x) cos2(x)dx.

92

Ejemplo 9.2.

∫sin4(x)cos7(x)dx

93

Ejemplo 9.3.

∫sin5(x)dx

94

Tipo 1.2

Ambas potencias k, n son pares. Esto siempre supone uncálculo más tedioso mediante las identidades

cos2(x) = 1 + cos(2x)2

sin2(x) = 1 − cos(2x)2

95

Ejemplo 9.4.

∫cos2(x)sin4(x)dx

96

Caso 2

Considérense las integrales de la forma∫tank(x)secn(x)dx.

Recuerde quesec2(x) = 1 + tan2(x).

97

Tipo 2.1

Si n es impar, entonces se sustituye u = tan(x).

98

Ejemplo 9.5.

∫tan2(x)sec4(x)dx

99

Tipo 2.2

Si n, k son impares, se sustituye u = sec(x).

100

Ejemplo 9.6.

∫tan3(x)sec(x)dx.

101

Caso 3

Considérense integralesde la forma∫

f(Ax)g(Bx)dx, dondef, g pueden ser o bien sin o bien cos.

102

Necesitaremos las identidades

sin(Ax)cos(Bx) = 12 (sin ((A + B)x) + sin ((A − B)x))

(9.1)

sin(Ax)sin(Bx) = 12 (cos ((A − B)x) − cos ((A + B)x))

(9.2)

cos(Ax)cos(Bx) = 12 (cos ((A − B)x) + cos ((A + B)x))

(9.3)

103

Ejemplo 9.7.

∫sin(7x)cos(3x)

104

Ejemplo 9.8.

∫sin(7x)cos(3x)

105

Ejemplo 9.9.

∫sin(7x)sin(3x)

106

Ejemplo 9.10.

∫cos(7x)cos(3x)

107

Fracciones parciales

La técnica de fracciones parciales se utiliza para integrarfunciones racionales, es decir, aquellas de la forma

N(x)D(x) ,

donde N, D son polinomios.

108

Por simplicidad, supondremos que

1 El coeficiente líder de D(x) es igual a 1.

2 El grado de D(x) es mayor que el de N(x).

Sin embargo, ninguna de estas dos condiciones son esenciales.

109

Ejemplo 10.1.

∫ 2x3

5x8 + 3x − 4dx = 15

∫ 2x3

x8 + 35x − 4

5

110

Ejemplo 10.2.2x5 + 7x2 + 3 = 2x3 − 6x + 18x + 7

x2 + 3

111

Definición 10.1.Un polinomio es irreducible si no se puede expresar como elproducto de dos polinomios de grado menor.

112

Todo polinomio lineal es irreducible

113

g(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0

es irreducible si y solo b4 − 4ac < 0.

114

Ejemplo 10.3.

Verifique que

1 x2 + 4 es irreducible;2 x2 + x − 4 es reducible.

115

Teorema 10.1.

Todo polinomio cuyo coeficiente líder sea igual a 1 se puedeexpresar como producto de factores lineales, o factorescuadráticos irreducibles.

116

Ejemplo 10.4.

1 x3 − 4x =2 x3 + 4x =3 x4 − 9 =4 x3 − 3x2 − x + 3 =

117

Caso I. D(x) es producto de factores lineales distin-tos

Ejemplo 10.5.

Resuelva ∫ dx

x2 − 4

118

Ejemplo 10.6.

Resuelva ∫ (x + 1)dx

x3+x2−6x

119

Regla General para Caso 1

El integrando se representa como una suma de términos de laform A

x − a, para cada factor x − a, y A una constante por

determinar.

120

Caso 2. D(x) es producto de factores lineales repe-tidos.

Ejemplo 10.7.

Encuentre ∫ (3x + 5)dx

x3 − x2 − x + 1

121

Ejemplo 10.8.

∫ (x + 1)dx

x3(x − 2)2

123

Regla General para el Caso 2.

Para cada factor x − c de multiplicidad k, se utiliza la expresión

A1

x − r+ A2

(x − r)2 + ... + Ak

(x − r)k.

124

Caso 3. Factores cuadráticos irreducibles distintos, ylineales repetidos

A cada factor irreducible x2 + bx + c de D(x) le correspondeel integrando

Ax + B

x2 + bx + c.

125

Ejemplo 10.9.Encuentre ∫ (x − 1)dx

x(x2 + 1)(x2 + 2)

126

Caso IV. Factores cuadráticos irreusibles repetidos

A cada factor cuadráticos irreducible x2 + bx + c demutiplicidad k le corresponde el integrando

k∑i=1

Aix + Bi

(x2 + bx + c)i

127

Encuentre ∫ 2x2 + 3(x2 + 1)2 dx.

128

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