Calculo en Varias Variables

Taller 1

1. Realice esbozos de las graficas de las siguientes ecuaciones

a) x2 − 4y2 − 2x+ 16y = 20

b) x2 + y2 = 4

c) 4x2 + y2 = 36

d) 9x2 + 4y2 + 36z2 = 36

e) 4x2 + 4y2 + z2 = 16

f ) 4x2 + 9z2 = 9y2

g) y = 1− x2 − z2

h) z2 − x2 − y2 = 1

i) y2 − x2 = z

j ) y = −(x2 + z2)

k) x2 + y2 = z

2. Encuentre y grafique los dominios de cada funcion

a) f(x, y) =√y − x− 2

b) f(x, y) = (x−1)(y+2)(y−x)(y−x3)

c) f(x, y) = ln(xy + x− y − 1)

d) f(x, y) =√

(x2 − 4)(y2 − 9)

3. Realice un mapa de contorno de las siguientes funciones, luego trace la superficie z =f(x, y)

a) f(x, y) = y2

b) f(x, y) = x2 − yc) f(x, y) =

√x2 + y2 + 4

d) f(x, y) = 2y−xx+y+1

4. Calcule los siguientes limites, si existen, o muestre que no existen

a) lım(x,y)→(1,2)

5x3 − x2y2

b) lım(x,y)→(2,1)

4− xyx2 + 3y2

c) lım(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

d) lım(x,y)→(0,0)

x2 + y2√x2 + y2 + 1− 1

e) lım(x,y)→(1,0)

ln

(1 + y2

x2 + xy

)f ) lım

(x,y,z)→(0,0,0)

x2 + 2y2 + 3z2

x2 + y2 + z2

g) lım(x,y)→(1,1)

x2 − 2xy + y2

x− y

h) lım(x,y)→(0,0),x 6=y

x− y + 2√x− 2

√y

√x−√y

5. En que puntos son continuas las funciones

a) f(x, y) = sin(xy)ex−y2

b) f(x, y) = x−y1+x2+y2

c) f(x, y) = ln(x2 + y2 − 4)

d) f(x, y, z) =√x+ y + z

6. Muestre que la funcion f(~x) = ‖~x‖ definida sobre Rn es continua en todo punto.

7. Calcule las derivadas parciales.

1

a) f(x, y) = 2x2 − 3y − 4

b) f(x, y) = (x2 − 1)(y + 2)

c) f(x, y) = sin2(x− 3y)

d) f(x, y) = e−x sin(x+ y)

e) f(x, y) = exy ln(y)

f ) f(x, y) = xx2+y2

g) f(x, y) = ln(x+ y)

h) f(x, y) tan−1(y/x)

i) f(x, y, z) = 1 + xy2 − 2z2

j ) f(x, y, z) = x−√y2 + z2

k) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1/2

l) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2)

m) f(x, y, z) = yz ln(xy)

n) f(x, y, z) = e−xyz

n) f(x, y, z) = e−(x2+y2+z2)

o) f(x, y, z) = x cos(y) sin(z)

8. Calcule todas las derivadas parciales de segundo orden

a) f(x, y) = x+ y + xy

b) f(x, y) = x2y + cos(y) + y sin(x)

c) f(x, y) = xey + y + 1

d) f(x, y) = yex2−y

e) f(x, y) = x−yx2+y

f ) f(x, y) = x sin(x2y)

g) f(x, y) = x2 tan(xy)

h) f(x, y) = sin(xy)

9. Usando la definicion de derivada parcial, calculela en el punto indicado

a) f(x, y) = 1− x+ y − 3x2y, ∂f/∂(x), ∂f/∂(y) en (1, 2)

b) f(x, y) =√

2x+ 3y − 1, ∂f/∂(x), ∂f/∂(y) en (−2, 3)

10. Verifique que la funcion f(x, y, z) = 1√x2+y2+z2

es una solucion para fxx + fyy + fzz = 0

11. Usando el teorema de Clairaut, muestre que si la funcion f(x, y) tiene derivadas de ordentres continuas, entonces fxyy = fyxy = fyyx

12. Encuentre la ecuacion del plano tangente a la superficie en el punto dado, si la funcion esdiferenciable en el.

a) f(x, y) =√y − x− 2, en (4, 1)

b) f(x, y) = (x−1)(y+2)(y−x)(y−x3) , en (2, 1)

c) f(x, y) = ln(xy+x− y− 1), en (0,−2)

d) f(x, y) =√

(x2 − 4)(y2 − 9), en (1, 1)

13. Encuentre una aproximacion lineal de la funcion en el punto dado

a) f(x, y) = x√y en (1, 4)

b) f(x, y) = xx+y en (2, 1)

c) f(x, y) = e−xy cos(y) en (π, 0)

d) f(x, y) = sin(2x+ 3y) en (−3, 2)

2

14. Encuentre una aproximacion lineal de la funcion f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 en (3, 2, 6) y

usela para dar una aproximacion del valor de√

3, 022 + 1, 972 + 5, 992

15. Usando la regla de la cadena, calcule:

a) ∂df/∂dt

1) f(x, y) = x2 + y2, x = cos(t), y = sin(t)

2) f(x, y) = x2 + y2, x = cos(t) + sin(t), y = cos(t)− sin(t)

3) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2), x = cos(t), y = sin(t), z = 4√t

4) f(x, y, z) = z − sin(xy), x = t, y = ln(t), z = et−1

2

5) f(x, y, z) = 2yex − ln(z), x = ln(t2 + 1), y = tan−1(t), z = et

b) ∂df/∂dr, ∂df/∂ds

1) f(x, y) = 4ex ln(y), x = ln(r cos(s)), y = r sin(s)

2) f(x, y) = tan−1(x/y), x = r cos(s), y = r sin(s)

3) f(x, y, z) = xy + yz + xz, x = r + s, y = r − s, z = rs

4) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2), x = res sin(r), y = res cos(r), z = res

c) ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z

1) f(p, q, r) = p−qq−r , p = x+ y + z, q = x− y + z, r = x+ y − z

2) f(p, q, r) = eqr sin−1(p), p = sin(x), q = z2 ln(y), r = 1/z

d) Una expresion para la derivada, usando un diagrama de arbol

1) ∂z/∂t, z = f(x, y), x = g(t), y = h(t)

2) ∂w/∂u y ∂w/∂v, w = h(x, y, z), x = f(u, v), y = g(u, v), z = k(u, v)

3) ∂w/∂p, w = f(x, y, z), x = g(r, s), y = h(r, s), z = k(r, s), r = m(p), s = n(p)

16. Sea T = g(x, y) la temperatura en el punto (x, y) de la elipse dada por x = 2√

2 cos(t)y y =

√2 sin(t), para 0 ≤ t ≤ 2π. Suponga que ∂T/∂x = y y ∂T/∂y = x. Calcule la

temperatura maxima y minima de la elipse. Suponga que T = xy − 2, y realice el calculonuevamente.

17. Las longitudes a, b, c de los lados de una caja rectangular cambian con el tiempo. Endeterminado instante, a = 1m, b = 2m, c = 3m, ∂a/∂t = ∂b/∂t = 1m/seg, ∂c/∂t =−3m/seg. A que velocidad cambian el volumen y el area de superficie de la caja en esemomento? La longitud de las diagonales interiores decrece o crece?

18. El radio de un cono recto de base circular se incrementa a razon de 1, 8cm/s, mientrasque la altura decrece a razon de 2, 5cm/s. Cual es la razon de cambio en el volumen delcono cuando el radio es 120 y la altura 140?

19. Uno de los lados de un triangulo se incrementa a razon de 3cm/s y un segundo lado decrecea razon de 2cm/s. Si el area del triangulo permanece constante, cual es la razon de cambiodel angulo entre ambos lados cuando el lado que se incrementa mide 20, el que decrece 30y el angulo es π/6?

20. Una funcion se dice homogenea de grado n si f(tx, ty) = tnf(x, y). Muestre que dichafuncion satisface xfx + yfy = nf(x, y) (Sugerencia: usar la regla de la cadena para derivarf(tx, ty) con respecto a t)

21. Calcule el gradiente de la funcion en el punto dado.

a) f(x, y) = y − x, P0 = (2, 1)

b) f(x, y) = tan−1(√xy ), P0 = (4,−2)

c) f(x, y) = ln(x2 + y2), P0 = (1, 1)

d) f(x, y) = x2

2 −y2

2 , P0 = (√

2, 1)

e) f(x, y, z) = 2x3 − 3(x2 + y2)z + tan−1(xz), P0 = (1, 1, 1)

f ) f(x, y, z) = ex+y cos(z) + (y + 1) sin−1 x, P0 = (0, 0, π/6)

g) f(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2 + z ln(x), P0 = (1, 1, 1)

h) f(x, y, z) = 3xyz −

2yzx , P0 = (1, 2,−1)

22. Calcule las derivadas direccionales en la direccion dada

a) f(x, y) = 2xy − 3y2, desde P0 = (5, 5) en la direccion u = (4, 3)

3

b) f(x, y) = x−yxy+2 , desde P0 = (1,−1) en la direccion u = (15, 5)

c) f(x, y) = tan−1(y/x) +√

3 sin−1(xy/2), desde P0 = (1, 1) en la direccion u = (3,−2)

d) f(x, y, z) = 3ex cos(yz), desde P0 = (0, 0, 0) en la direccion u = (2, 1,−2)

e) f(x, y, z) = x2 + 2y2 − 3z2, desde P0 = (1, 1, 1) en la direccion u = (1, 1, 1)

f ) f(x, y, z) = cos(xy) + eyz + ln(xz), desde P0 = (1, 0, 1/2) en la direccion u = (1, 2, 2)

23. Encuentre la direccion en la cual la funcion se incrementa y decrece mas rapidamentedesde el punto dado

a) f(x, y) = x2 + xy + y2, en (−1, 1)

b) f(x, y) = x2y + exy sin(y), en (1, 0)

c) f(x, y, z) = ln(xy)+ln(xz)+ln(yz), en

(1, 1, 1)

d) f(x, y, z) = xey − z2, en (1, ln(3), 2)

24. En cierta region del espacio el potencial electrico V esta definido por V (x, y, z) = 5x2 −3xy + xyz.

Determine la razon de cambio del potencial en (3, 4, 5) en la direccion (1, 1,−1).

En que direccion cambia V con mayor rapidez desde (1, 1, 1)? Cual es la razon decambio maxima?

25. En las cercanias de una boya, la profundidad de un lago esta dada por z = 200 + 0, 02x2−0,001y3. Un pescador parte del punto (80, 60) y se dirige a la boya en el origen. El aguase hace mas somera o mas profunda cuando el pescador parte?

26. Muestre que las piramides obtenidas en el primer octante por los cortes de los planostangentes a xyz = 1, tienen siempre el mismo volumen.

27. Determine la ecuacion del plano tangente al hiperboloide x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 = 1 en el punto(x0, y0, z0).

28. Encuentre todos los maximos, minimos y puntos de silla

a) f(x, y) = 2x2 + 3xy + 4y2 + 6y + 2

b) f(x, y) = x2 + 2xy

c) f(x, y) = x3 + y3 + 3x2 − 3y2 − 8

d) f(x, y) = x4 + y4 + 4xy

e) f(x, y) = ex2+y2−4x

f ) f(x, y) = 1x + xy + 1

y

29. Encuentre los maximos y minimos de las funciones en los dominios dados

a) f(x, y) = 2x2−4x+y2−4y+1, en el triangulo cerrado formado por las rectas x = 0,y = 2, y = 2x en el primer cuadrante.

b) f(x, y) = x2 + xy + y2 − 6x en el rectangulo 0 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 3

c) f(x, y) = (4x− x2) cos(y) en el rectangulo 1 ≤ x ≤ 3, −π/4 ≤ y ≤ π/4

30. Encuentre el punto en la superficie z = x2 + y2 + 10 mas cercano al plano x+ 2y − z = 0

31. Encuentre tres numeros cuya suma sea 9 y la suma de sus cuadrados sea minima

32. Determine los volumenes maximo y minimo de una caja rectangular cuya area superficiales de 1500cm2 y cuyo largo total es de 200m

4

33. Se forma un pentagono colocando un triangulo isoceles sobre uno de los lados de unrectangulo. Si el pentagono tiene un perimetro fijo P , determine las longitudes de loslados del pentagono que maximizan el area de la figura

34. Encuentre los puntos en la elipse x2+2y2 = 1 donde f(x, y) = xy tiene sus valores maximosy minimos.

35. Encuentre los puntos en la curva x2y = 2 mas cercanos al origen

36. Encuentre el radio y la altura de un cilindro rectangular de mayor superficie de area quepuede ser inscrito en una esfera de radio a

37. Encuentre los maximos y minimos de 3x− y + 6 sujeto a la restriccion x2 + y2 = 4

38. Encuentre el punto en la esfera x2 + y2 + z2 = 4 mas lejano del punto (1,−1, 1)

39. Encuentre el volumen de la mayor caja rectangular que puede ser inscrita en la esfera deradio 1

40. Supongase que la temperatura en el punto (x, y, z) en la esfera x2 + y2 + z2 = 1 esT (x, y, z) = 400xyz2. Localice la mayor y la menor temperatura en la esfera.

41. Encuentre el punto en la superfice z = xy + 1 mas cercano al origen.

42. Encuentre los puntos en xyz = 1 mas cercano al origen

43. Encuentre los valores maximos y minimos de f(x, y, z) = x−2y+ 5z en la esfera x2 +y2 +z2 = 30

44. Encuentre el mayor producto de tres reales que cumplen x+ y + z2 = 16

5