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Autoevaluación

OCW 2020: Parametrización y representación gráfica de superficies

construidas

Tema 4. Ejercicios propuestos resueltos

Equipo docente del curso Martín Yagüe, Luis

Barrallo Calonge, Javier Soto Merino, Juan Carlos

Lecubarri Alonso, Inmaculada

Departamento de Matemática Aplicada Escuela de Ingeniería de Bilbao, Edificio II-I (EIB/BIE)

ETS de Arquitectura de Donostia-San Sebastián (ETSASS/DAGET)

OCW2020: Parametrización y representación gráfica de superficies construidas

EJERCICIOS DEL TEMA 4. PARAMETRIZACIÓN DE SUPERFICIES

CUÁDRICAS Y DE REVOLUCIÓN

Ejercicio nº1

Enunciado

La Torre Millennium fue un proyecto fallido diseñado en 1989 por el arquitecto británico Norman

Foster. Iba a ser construida en la Bahía de Tokio a dos kilómetros de la costa y hubiera sido con más

de 800 metros el edificio más alto del mundo. Debido a problemas financieros el proyecto no llegó a

materializarse.

Imagen 1. Boceto de la torre

Imagen obtenida en:

https://www.e-architect.co.uk/wp-content/uploads/2008/11/millennium-tower-tokyo-building-by-

foster-and-partners.jpg

La torre se proyectó de forma cónica con una base de 130 metros de diámetro. Su estructura exterior

estaría formada por doce hélices cónicas de acero que recorrerían la fachada arrancando a pares

desde la base en dirección horaria y antihoraria hasta los 800 metros de altura.

Parametrice y represente la superficie cónica que constituye la fachada del edificio.

Una vez obtenido el cono que representa la torre júntelo, en el mismo gráfico, con la estructura

helicoidal que recubre la fachada. La estructura se simuló en el ejercicio nº3 de los Ejercicios deautoevaluación propuestos en el tema 2.

1


Resolución

Remove�"Global`�"�

� El origen de coordenadas del sistema cartesiano de referencia se sitúa en cota 0, en el centro de la

base de la torre (cono circular)

� Radio en la base: r � 65; altura: h � 800

r � 65; h � 800;

� Estructura helicoidal que recubre la torre

� se simuló en el ejercicio nº3 de los Ejercicios de autoevaluación propuestos en el tema 2

� sin embargo, se presenta una alternativa usando la función Do que abrevia la resolución

� Do[expr,{i , imin , imax , dimax }]. Evalúa la expresión expr para los sucesivos valores de la

variable i desde imin hasta imax obtenidos con incremento di

� se remite al ejercicio citado anteriormente para las explicaciones oportunas

n � 4;

�xx � �t��2 Pi� 1� r�Cos�n t�, yy � �t��2 Pi� 1� r�Sin�n t�, zz � h� t ��2 Pi�;

Do�hel � Table�ParametricPlot3D��xx Cos�k 60 �� yy Sin�k 60 ��, xx Sin�k 60 �� yy Cos�k 60 ��, zz,�xx Cos�k 60 �� yy Sin�k 60 ��, xx Sin�k 60 �� yy Cos�k 60 ��, zz,

�t, 0, 2 Pi, PlotStyle �Gray, Gray, Thickness�0.01��, �k, 0, 5�, �k, 0, 5�

� representación gráfica (no se presenta la salida por el espacio que ocupa, se remite al tema 2)

hélice � Show�hel, PlotRange All�;

� Superficie cónica que simula la torre (superficie cuádrica)

� sección negativa de un cono con vértice en el punto V � �0, 0, 800�, radio en la base r � 65 my altura h � 800 m

� ecuación genérica: x2

a2� y2

b2� �z�h�2

� para determinar las dos incógnitas, parámetros a, b� ��, se sustituyen x, y, z por las

coordenadas de dos puntos conocidos de la superficie cónica: P � �r, 0, 0� y Q � �0, r, 0�ec � x^2�a^2 � y^2�b^2 � �z h�^2;sist � �ec �. �x r, y 0, z 0, ec �. �x 0, y r, z 0;

Solve�sist, �a, b, PositiveReals�

a �13

160, b �

13

160

� como el cono es circular: a � b � 13160

; por tanto, hubiera sido suficiente utilizar un sólo punto

aunque se ha optado por explicar el proceso general para un cono elíptico

� ecuación genérica: x2

a2� y2

a2� �z�h�2

� para determinar la incógnita, parámetro a � ��, se sustituyen x, y, z por las coordenadas

de un punto conocido de la superficie cónica: P � �r, 0, 0�Solve�x^2�a^2 � y^2�a^2� �z h�^2 �. �x r, y 0, z 0, a, PositiveReals�

a �13

160

2


� parametrización de la superficie:

Sn �x �y �

13160

u cos �t�13

160u sen �t�

z� 800 � u

t � �0, 2 Π � � u � �0, 800 � �

a � 13�160;

�xc � a�u�Cos�t�, yc � a�u�Sin�t�;

Solvexc^2

a^2�yc^2

a^2�� z h�^2, z �� Simplify

��z � 800 � u�, �z � 800 � u��

�zc � 800 u;

� representación gráfica (no se presenta la salida por el espacio que ocupa)

con � ParametricPlot3D��xc, yc, zc, �t, 0, 2 Π, �u, 0, 800, Mesh False, Boxed True,

AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�LightBlue, Opacity�0.8�, Specularity�White, 30��;

� Representación gráfica conjunta de la torre y la estructura helicoidal:

Show�con, hélice, PlotRange All, Boxed False, Axes None�

� Superficie cónica que simula la torre (superficie de revolución)

� sección de un cono de revolución (radio en la base r � 65 m y altura h � 800 m) generado por

un segmento de recta al girar alrededor del eje Oz

�r � 65, h � 800;

� ecuación de la recta: x

65� y

0� z�800

�800�

y � 0

z� � 80065

x� 800

� el segmento está limitado entre los puntos: P� �r, 0, 0� y Q� �0, 0, h�

3


� parametrización de la línea que gira:

x �u� �y �u� �

u

0

z�u� � �800 u65

� 1 u � �0, 65 � �

� parametrización del cono de revolución:

Sn �x �y �

u cos �t�u sen �t�

z� �800 u65

� 1 t � �0, 2 Π � � u � �0, 65 � �

�x � u�Cos�t�, y � u�Sin�t�, z � h �u�r 1�;

� Representación gráfica:

conr � ParametricPlot3D��x, y, z, �t, 0, 2 Π, �u, 0, r, Mesh False, Boxed True,

AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�LightGreen, Opacity�0.6�, Specularity�White, 30��;

linr � ParametricPlot3Du, 0, hu

r 1 , �u, 0, r, Mesh False,

Boxed True, AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�Red, Thickness�0.01��;

Show�conr, linr, PlotRange All, Ticks ��0, 65, �0, 65, �0, 800�

4


Ejercicio nº2

Enunciado

El elegante arquitecto vienés Hans Hollein fue el elegido para diseñar Vulcania, un Centro de Vul-

canología cerca de Clermont-Ferrand en la región volcánica francesa de Auvernia. El proyecto

comenzó en 1994 pero no fue finalizado hasta 2002. Construido a 1000 metros de altura, se trata de

un centro de interpretación de las fuerzas de la naturaleza y la creación del planeta.

Imagen 2. Alzado de las superficies cónicas

El elemento principal del complejo lo forman dos mitades de cono circular con diferentes centros y

radios que insinúan uno de los numerosos cráteres volcánicos de la zona. El exterior de los conos

está revestido de basalto mientras que el interior está formado por luminosos paneles de acero

inoxidable de aspecto flamígero.

Imagen 3. Detalle del interior de los conos

Imágenes obtenidas en la web del estudio de Hans Hollein :

https://www.hollein.com/eng/Architecture/Nations/France/Vulcania

Parametrice el conjunto monumental formado por las dos mitades cónicas de acuerdo a las dimen-

siones que se adjuntan en la siguiente imagen:

Alzado

23.5

28

5


Alzado

Planta

23.5m

28m

5m

9m

5m10m

Imagen 4. Alzado y planta de las superficies cónicas (imagen propia)

Resolución


� Se denomina Cono nº1 al de menor altura (h1 � 23.50 m) y Cono nº2 al de mayor altura (h2 � 28 m)

h1 � 23.5; h2 � 28;

� El origen de coordenadas del sistema cartesiano de referencia se sitúa en cota 0, en el eje de

revolución del Cono nº1 que es el eje Oz

O��0,0�

X

Y

Imagen 5. Planta en el plano OXY (imagen propia)

� Sección negativa del Cono nº1

� altura h1 � 23.50 m, radio en la base (cota 0) r10 � 9 m y radio en la parte superior (cota h1)

r11 � 5 m

r10 � 9; r11 � 5;

� ecuación genérica del cono de revolución con vértice en V � �0, 0, z1�: x2

a2� y2

a2� �z�z1�2

6


� para determinar las dos incógnitas de la ecuación genérica, parámetros a, z1 � ��, se

sustituyen x, y, z por las coordenadas de dos puntos conocidos de la superficie cónica:

P � �r10, 0, 0� y Q � �r11, 0, h1�ec � x^2�a^2 � y^2�a^2 � �z z1�^2;sist � �ec �. �x r10, y 0, z 0, ec �. �x r11, y 0, z h1;

NSolve�sist, �a, z1, PositiveReals� �� se descartan las soluciones negativas ��

��a � 0.170213, z1 � 52.875�, �a � 0.595745, z1 � 15.1071��


a � 0.170213; z1 � 52.8750; Solve�z1 u �� h1, u�

��u � 29.375��

�x � a�u�Cos�t�, y � a�u�Sin�t�;

Solve�ec, z� �� Simplify

Solve : Solve was unable to solve the system with inexact coefficients. The answer was obtained by solving a

corresponding exact system and numericizing the result.

��z � 52.875 � 1. u�, �z � 52.875 � 1. u��

�z � z1 u;

Sn �x �y �

0.170213 u cos �t�0.170213 u sen �t�

z� 52.8750 � u

t � �Π, 2 Π � � u � �29.375, 52.8750 � �

� representación gráfica:

con1 � ParametricPlot3D��x, y, z, �t, Π, 2 Π, �u, z1 h1, z1, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��r10, r11, 0, r11, r10, �r10, r11, 0, �0, h1,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�LightGray, Opacity�1�, Specularity�Red, 30��

� Sección negativa del Cono nº2

� altura h2 � 28 m, radio en la base (cota 0) r20 � 5 m y en la parte superior (cota h2) r21 � 10 m

r20 � 5; r21 � 10;

� ecuación genérica del cono de revolución con vértice en V � �r20, 0, z2�: �x�r20�2b2

� y2

b2� �z�z2�2

� para determinar las dos incógnitas de la ecuación genérica, parámetros b, z2 � ��, se


P � �� r20, 0, 0� y Q � �0, 0, h2�Clear�x, y, z�

7


ec2 � �x r20�^2�b^2 � y^2�b^2� �z z2�^2;sist2 � �ec2 �. �x r20, y 0, z 0, ec2 �. �x 0, y 0, z h2;

NSolve�sist2, �b, z2, PositiveReals�� se descartan las soluciones negativas ��

��b � 0.178571, z2 � 56.�, �b � 0.535714, z2 � 18.6667��


b � 0.178571; z2 � 56; Solve�z2 u �� h2, u�

��u � 28��

�x � r20 � b�u�Cos�t�, y � b�u�Sin�t�;

NSolve�ec2, z� �� Simplify

��z � 56. � 1. u�, �z � 56. � u��

�z � z2 u;

Sn �x �y �

5 � 0.178571 u cos �t�0.178571 u sen �t�

z� 56 � u

t � �0, Π � � u � �28, 56 � �


con2 � ParametricPlot3D��x, y, z, �t, 0, Π, �u, h2, z2, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��r10, r11, 0, r11, r10, �r10, r11, 0, �0, h1,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�LightGray, Opacity�1�, Specularity�Red, 80��

� Representación gráfica conjunta

suelo � ParametricPlot3D��x, y, 0, �x, 12, 18, �y, 12, 13,Mesh False, PlotStyle Directive�LightPink, Opacity�1�, Specularity�Gray, 80��;

Show�con1, con2, suelo, PlotRange All, Boxed False, Axes None�

8


Ejercicio nº3

Enunciado

El Bonnefantenmuseum (Museo de los Niños Buenos) se construyó entre 1992 y 1995 en Maastricht,

Países Bajos. El diseño fue obra del arquitecto italiano Aldo Rossi quien unió a su particular lenguaje

visual y expresión artística numerosas referencias histórico-arquitectónicos propias de la región.

El elemento más significativo de la construcción lo constituye una impresionante doble cúpula de zinc

sobre el río Maas. Una cúpula semiesférica interior apoyada sobre un cilindro queda cubierta por una

segunda lámina elipsoidal que le otorga una curiosa apariencia de bala.

Imagen 6. Vista desde la margen oeste del río Maas

Fotografía de Mark Ashmann bajo licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

Imagen obtenida en:

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=25974324

Parametrice la mitad de las superficies de ambas cúpulas de forma que pueda examinarse su interior,

de acuerdo a las cotas que se adjuntan en la siguiente sección transversal:

Alzado

Planta

9m

7m

7m

5m

7m7.5m2m

Imagen 7. Alzado y planta de la construcción (imagen propia)

9


Resolución



revolución (eje Oz) de la esfera y el paraboloide

O��0,0�

X

Y


� Se representan ambas cúpulas junto con los cilindros que las sustentan que arrancan a 9 metros

del suelo

� Cilindro interior sobre el que se sustenta la cúpula esférica

� altura h1 � 7 m, radio r int � 7 m

�h1 � 7, ri � 7;

� ecuación del cilindro de revolución: x2 � y2 � 72


Sint �x �y �

7 cos �t�7 sen �t�

z� u

t � �0, Π � � u � �9, 16 � �

�x � ri�Cos�t�, y � ri�Sin�t�, z � u;


cint � ParametricPlot3D��x, y, z, �t, 0, Π, �u, 9, 16, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��ri, 0, ri, �ri, 0, ri, �9, 16, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightBlue, Opacity�1�, Specularity�Gray, 30��;

� Cilindro exterior sobre el que se sustenta la cúpula elipsoidal

� altura h1 � 7 m, radio rext � 7.5 m

�h1 � 7, re � 7.5;

� ecuación del cilindro de revolución: x2 � y2 � �7.5�2


Sext �x �y �

7.5 cos �t�7.5 sen �t�

z� u

t � �0, Π � � u � �9, 16 � �

�x � re�Cos�t�, y � re�Sin�t�, z � u;


cext � ParametricPlot3D��x, y, z, �t, 0, Π, �u, 9, 16,Mesh False, Boxed True, Ticks ��re, 0, re, �re, 0, re, �9, 16,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�Gray, Opacity�1�, Specularity�Gray, 30��;

10


� Cilindro en la cúspide que une ambas cúpulas

� altura h2 � 5 m, radio rsup� 1 m

�h2 � 5, rs � 1;

� ecuación del cilindro de revolución: x2 � y2 � 1


Ssup�x �y �

cos �t�sen �t�

z� u

t � �0, Π � � u � �23, 28 � �

�x � rs�Cos�t�, y � rs�Sin�t�, z � u;


csup � ParametricPlot3D��x, y, z, �t, 0, Π, �u, 23, 28,Mesh False, Boxed True, Ticks ��rs, 0, rs, �rs, 0, rs, �9, 16,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�Gray, Opacity�1�, Specularity�Gray, 30��;

� Cúpula interior semiesférica

� radio r int � 7 m

ri � 7;

� ecuación de la esfera: x2 �y2 ��z� 16�2 � 72

� parametrización de la superficie (semiesfera positiva):

Clear�x, y, z�

�x � ri�u�Cos�t�, y � ri�u�Sin�t�;

Solvex2 � y2 � �z 16�2 � 7^2, z �� Simplify

z � 16 � 7 1 � u2 , z � 16 � 7 1 � u2

z � 16 � 7 1 u2 ;

Sesf �x �y �

7 u cos �t�7 u sen �t�

z� 16 � 7 1 �u2

t � �0, Π � � u � �0, 1 � �

� parametrización de la cúpula esférica para representar el óculo

� la variación del parámetro u debe modificarse para que la semiesfera no se trace

completamente y, por tanto, representar el óculo

� en la cúspide (h � 23 m) se tiene u � 0 y cuando u � 1 se traza la circunferencia en cota

h � 16 m

� entonces, la variación resulta: u � rsup

r int� 1

7, 1 � �

Sesf �x �y �

7 u cos �t�7 u sen �t�

z� 16 � 7 1 �u2

t � �0, Π � � u � 1

7, 1 � �


11


esf � ParametricPlot3D��x, y, z, �t, 0, Π, �u, 1�7, 1, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��ri, 0, ri, �ri, 0, ri, �16, 23, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightBlue, Opacity�1�, Specularity�Gray, 30��;

� Cúpula exterior semielipsoidal

� semiejes: a � b � 7.5 m y c � 12 m

a � 7.5; b � 7.5; c � 12;

� ecuación del elipsoide: x2

7.52� y2

7.52� �z�16�2

122� 1

� parametrización de la superficie (semielipsoide positivo):

Clear�x, y, z�

�x � a�u�Cos�t�, y � b�u�Sin�t�;

Solvex2

a2�y2

b2�

�z 16�2

c2� 1, z �� Simplify

z � 16. � 12. 1. � 1. u2 , z � 16. � 12. 1. � 1. u2

z � 16 � 12 1 u2 ;

Spar �x �y �

7.5 u cos �t�7.5 u sen �t�

z� 16 � 12 1 �u2

t � �0, Π � � u � �0, 1 � �

� parametrización de la cúpula semielipsoidal para representar el óculo (análoga a la de laesfera)

Spar �x �y �

7.5 u cos �t�7.5 u sen �t�

z� 16 � 12 1 �u2

t � �0, Π � � u � 1

7.5, 1 � �


eli � ParametricPlot3D��x, y, z, �t, 0, Π, �u, 1�7.5, 1,Mesh False, Boxed True, Ticks ��ri, 0, ri, �ri, 0, ri, �16, 23,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�Gray, Opacity�1�, Specularity�Green, 30��;


bonne � Show�esf, eli, cint, cext, csup, PlotRange All, Boxed False, Axes None�

12



� El problema puede abordarse considerando las cuádricas como superficies de revolución

�ri � 7, re � 7.5, rs � 1, h1 � 7, h2 � 5; �� medidas de la figura ya usadas anteriormente ��

� Cilindro interior sobre el que se sustenta la cúpula esférica

� el cilindro se obtiene como el giro de un segmento de recta vertical alrededor de Oz

� parametrización de la línea que gira (r i � h1 � 7 m):

x �u� �y �u� �

r i

0

z�u� � u

u � �9, 16 � �

� parametrización del cilindro de revolución:

x �t, u� �y �t, u� �

r i cos �t�r i sen �t�

z�t, u� � u

t � �0, 2 Π � � u � �9, 16 � �

�xci � ri�Cos�t�, yci � ri�Sin�t�, zci � u;


cili � ParametricPlot3D��xci, yci, zci, �t, 0, 2 Π, �u, 9, 16, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��ri, 0, ri, �ri, 0, ri, �0, h1, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightBlue, Opacity�0.8�, Specularity�White, 30��;

� Cilindro exterior sobre el que se sustenta la cúpula elipsoidal


� parametrización de la línea que gira (re � 7.5 m, h1 � 7 m):

x �u� �y �u� �

re

0

z�u� � u

u � �9, 16 � �


x �t, u� �y �t, u� �

re cos �t�re sen �t�

z�t, u� � u

t � �0, 2 Π � � u � �9, 16 � �

�xce � re�Cos�t�, yce � re�Sin�t�, zce � u;


cile � ParametricPlot3D��xce, yce, zce, �t, 0, 2 Π, �u, 9, 16, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��ri, 0, ri, �ri, 0, ri, �0, h1, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightGray, Opacity�0.5�, Specularity�White, 30��;

� Cilindro en la cúspide que une ambas cúpulas


� parametrización de la línea que gira (rs � 1 m, h2 � 5 m):

x �u� �y �u� �

rs

0

z�u� � u

u � �23, 28 � �

13



x �t, u� �y �t, u� �

rs cos �t�rs sen �t�

z�t, u� � u

t � �0, 2 Π � � u � �23, 28 � �

�xcs � rs�Cos�t�, ycs � rs�Sin�t�, zcs � u;


cils � ParametricPlot3D��xcs, ycs, zcs, �t, 0, 2 Π, �u, 23, 28, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��ri, 0, ri, �ri, 0, ri, �0, h1, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightGray, Opacity�0.6�, Specularity�White, 30��;

� Cúpula interior esférica

� parametrización de la línea que gira, x2 �y2 ��z� 16�2 � 72:

x �u� �y �u� �

u

0

z�u� � 16 � 72 �u2

u � �1, 7 � �

� con esta parametrización resulta más evidente la variación del parámetro u para obtener el

arco que genera la cúpula con el óculo

� parametrización de la cúpula:

x �t, u� �y �t, u� �


z�t, u� � 16 � 72 �u2

t � �0, 2 Π � � u � �1, 7 � �

�xesf � u�Cos�t�, yesf � u�Sin�t�, zesf � 16 � Sqrt�ri^2 u^2�;


cupe � ParametricPlot3D��xesf, yesf, zesf, �t, 0, 2 Π, �u, rs, ri, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��ri, 0, ri, �ri, 0, ri, �16, 23, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightBlue, Opacity�0.8�, Specularity�White, 30��;

� Cúpula exterior elipsoidal

� parametrización de la línea que gira, x2

7.52� y2

7.52��z�16�2

122� 1:

Solvex2

7.52�

�z 16�2

122� 1 �. x u, z �� Simplify



z � 16. � 0.8 225. � 4. u2 , z � 0.8 20. � 225. � 4. u2

x �u� �y �u� �

u

0

z�u� � 0.8 20 � 225 �4 u2

u � �1, 7.5 � �

� con esta parametrización resulta más evidente la variación del parámetro u para obtener el

arco que genera la cúpula con el óculo

14


� parametrización de la cúpula:

x �t, u� �y �t, u� �


z�t, u� � 0.8 20 � 225 �4 u2

t � �0, 2 Π � � u � �1, 7.5 � �

�xpar � u�Cos�t�, ypar � u�Sin�t�, zpar � 0.8 �20 � Sqrt�225 4 u^2��;


cupp � ParametricPlot3D��xpar, ypar, zpar, �t, 0, 2 Π, �u, rs, re, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��ri, 0, ri, �ri, 0, ri, �16, 23, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightGray, Opacity�0.5�, Specularity�White, 30��;


bonnerev � Show�cupp, cupe, cili, cile, cils, PlotRange All, Boxed False, Axes None�

15


Ejercicio nº4

Enunciado

Entre los años cincuenta y sesenta del siglo XX, la construcción de la ciudad de Brasilia supuso un

maravilloso experimento de urbanismo y construcción liderado por el urbanista Lúcio Costa y el

arquitecto Oscar Niemeyer. Destaca poderosamente dentro su eje monumental el edificio de la

Catedral Metropolitana. Su rotunda vidriera con forma de hiperboloide queda sostenida por 16 pilares

de hormigón con forma hiperbólica insinuando sutilmente una corona de espinas.

Imagen 9. Vista de la Catedral Metropolitana

Fotografía de Mariordo (Mario Roberto Durán Ortiz) bajo licencia Creative Commons Attribution-Share

Alike 4.0 International. Imagen obtenida en:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Brasilia_Catedral_08_2005_03.jpg

Imagen 10. Interior de la Catedral

Fotografía de Daderot bajo licencia Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication.

Imagen obtenida en:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Interior_of_the_Catedral_de_Bras%C3%ADlia_-_DSC00256.JPG

Parametrice y represente la vidriera que da forma al edificio utilizando las dimensiones del cono y del

hiperboloide que se adjuntan en la siguiente imagen:

16


Alzado

Planta

16.5m

13.5m

20.4m6.3m

30m


Resolución



revolución (eje Oz) del cono y el hiperboloide

�0,0�X

Y


� Cono

� altura h1 � 16.50 m, radio en la base (cota 0) r10 � 30 m y radio en la parte superior (cota h1)

r11 � 10.20 m

r10 � 30; r11 � 10.2; h1 � 16.5;

� ecuación genérica del cono de revolución con vértice en V � �0, 0, z1�: x2

a2� y2

a2� �z�z1�2

� para determinar las dos incógnitas de la ecuación genérica, parámetros a, z1 � ��, se


P � �r10, 0, 0� y Q � �r11, 0, h1�

17


ec � x^2�a^2 � y^2�a^2 � �z z1�^2;sist � �ec �. �x r10, y 0, z 0, ec �. �x r11, y 0, z h1;

NSolve�sist, �a, z1, PositiveReals�

��a � 1.2, z1 � 25.�, �a � 2.43636, z1 � 12.3134��

� parametrización de la superficie (sección negativa):

a � 1.2; z1 � 25; Solve�z1 u �� h1, u�

��u � 8.5��





��z � 25. � 1. u�, �z � 25. � u��

�z � z1 u;

Sc �x �y �

1.2 u cos �t�1.2 u sen �t�

z� 25 � u

t � �Π, 2 Π � � u � �8.5, 25 � �


con � ParametricPlot3D��x, y, z, �t, 0, 2 Π, �u, z1 h1, z1, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��r10, r11, 0, r11, r10, �r10, r11, 0, �0, h1,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�Gray, Opacity�1�, Specularity�Blue, 60��

� Hiperboloide de una hoja

� altura h2 � 13.50 m, centro trasladado al punto P � 0, 0, h1 � h2

2� 23.25

r10 � 30; r11 � 10.2; r12 � 6.3; h1 � 16.5; h2 � 13.5; z1 � h1 � h2�2;

� ecuación genérica del hiperboloide con centro en P � �0, 0, 23.25�: x2

a2� y2

a2��z�23.25�2

c2� 1

� para determinar las dos incógnitas de la ecuación genérica, parámetros a, c� ��, se

sustituyen x, y, z por las coordenadas de dos puntos conocidos de la superficie hiperbólica:

P � �r11, 0, h1� y Q � r12, 0, h1 � h2

2

Clear�x, y, z, ec, sist, c, a�

ec �x^2

a2�y^2

a2

�z z1�^2c2

� 1;

sist � ec �. �x r11, y 0, z h1, ec �. x r12, y 0, z h1 �h2

2;

18


NSolve�sist, �a, c, PositiveReals�

��a � 6.3, c � 5.30115��

a � 6.3; c � 5.30115;

� parametrización de la superficie (sección negativa)





z � 23.25 � 5.30115 �1. � u2 , z � 23.25 � 5.30115 �1. � u2

� sección negativa

zn � z1 c�Sqrt�u^2 1�;

Solve�zn � h1, u� �� variación del parámetro u ��

��u � �1.61905�, �u � 1.61905��

Sn �x �y �

6.3 u cos �t�6.3 u sen �t�

z� 23.25 � 5.30115 u2 �1

t � �0, 2 Π � � u � �1, 1.61905 � �

� sección positiva

zp � z1 � c�Sqrt�u^2 1�;

Solve�zp � h1 � h2, u� �� variación del parámetro u ��

��u � �1.61905�, �u � 1.61905��

Sp �x �y �

6.3 u cos �t�6.3 u sen �t�

z� 23.25 � 5.30115 u2 �1

t � �0, 2 Π � � u � �1, 1.61905 � �

� representación gráfica

� sección negativa

hn � ParametricPlot3D��x, y, zn, �t, 0, 2 Π, �u, 1, 1.61905, Mesh False, Boxed True,

Ticks ��r11, r12, 0, r11, r12, �r11, r12, 0, r11, r12, �h1, h1 � h2�2,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�Gray, Opacity�1�, Specularity�Blue, 60��;

� sección positiva

hp � ParametricPlot3D��x, y, zp, �t, 0, 2 Π, �u, 1, 1.61905, Mesh False, Boxed True,

Ticks ��r11, r12, 0, r11, r12, �r11, r12, 0, r11, r12, �h1 � h2�2, h1 � h2,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�Gray, Opacity�1�, Specularity�Blue, 60��;

� conjunta

19


hip � Show�hn, hp, PlotRange All,

Ticks ��r11, r12, 0, r11, r12, �r11, r12, 0, r11, r12, �h1, h1 � h2�2, h1 � h2�

� Representación de la figura que simula la catedral

cota0 � ParametricPlot3D��x, y, 0, �x, 35, 35, �y, 35, 35,Mesh � ��30, 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, �0, �,PlotStyle Directive�LightBrown, Opacity�1�, Specularity�Green, 60��;

brasil � Show�hip, con, cota0, PlotRange All, Boxed False, Axes None�

20


Ejercicio nº5

Enunciado

Tadao Ando pertenece al selecto grupo de arquitectos autodidactas que no cursaron la titulación, al

igual que nombres tan ilustres como Frank Lloyd Wright, Mies van der Rohe, Le Corbusier, Peter

Zumthor o Luis Barragán.

A este maestro japonés le gusta combinar majestuosas formas geométricas con sugerentes detalles

en el manejo del hormigón y las carpinterías. Para el Museo de la Cultura, en las afueras de Gojo en

la prefectura de Nara (Japón), emplazó tres cuartos de una sección truncada de superficie toroide

sobre la cima de una montaña de frondosa vegetación y difícil acceso.

La contundencia de los materiales empleados, hormigón desnudo en el interior y acero inoxidable en

el exterior, contrasta con la delicadeza del entorno.

Imagen 13. Vista aérea del museo en las afueras de Gojo, Japón.

La imagen 13 se ha obtenido como una captura de pantalla de la aplicación Google Earth.

Imagen 14. Detalle del edificio

Imagen 14 obtenida en la página web de la ciudad de Gojo:

https://www.city.gojo.lg.jp/shisei_soshiki/shisetsu/kankourekishi/10/7102.html

Parametrice y represente el Museo de la Cultura de Gojo utilizando las dimensiones que se adjuntan

en la siguiente imagen:

21


Alzado

Planta

10m

20m

10m


Resolución



revolución (eje Oz) de las superficies que componen el edificio

O��0,0�

X

Y


� El edificio consta de dos cilindros de revolución y la cubierta toroidal del espacio entre ambos,además de los cerramientos laterales

� Cilindro interior (cilindro nº1)

� altura h � 10 m y radio r1 � 10 m

r1 � 10; h � 10;


S1 �x �y �


z� u

t � 0, 3 Π2 � �

u � �0, 10 � �

�x1 � r1�Cos�t�, y1 � r1�Sin�t�, z1 � u;

22



cil1 � ParametricPlot3D��x1, y1, z1, �t, 0, 3 Π�2, �u, 0, h, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��r1, 0, r1, �r1, 0, r1, �0, h, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightBlue, Opacity�1�, Specularity�Blue, 60��;

� Cilindro exterior (cilindro nº2)

� altura h � 10 m y radio r2 � 20 m

r2 � 20; h � 10;


S2 �x �y �


z� u

t � 0, 3 Π2 � �

u � �0, 10 � �

�x2 � r2�Cos�t�, y2 � r2�Sin�t�, z2 � u;


cil2 � ParametricPlot3D��x2, y2, z2, �t, 0, 3 Π�2, �u, 0, h, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��r2, 0, r2, �r2, 0, r2, �0, h, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightBlue, Opacity�1�, Specularity�Blue, 60��;

� Superficie toroide que cubre el espacio entre cilindros

� la cubierta es una superficie generada por un arco de circunferencia situada en el plano Oxzque gira alrededor del eje Oz

Z

X

1510 20

Imagen 17. Arco de la circunferencia que gira (en verde), plano Oxz (imagen propia)

� del alzado y la planta se obtiene fácilmente que el centro es C � �15, 0, 0�� obtención del radio conocido un punto de la circunferencia, P � �10, 0, 10�

ec � �x 15�2 � z2 �� r2; Solve�ec �. �x 10, z 10, r, PositiveReals�

r � 5 5

r � 5 5 ;

� parametrización de la circunferencia

C �x �y �

15 � 5 5 cos �t�0

z� 5 5 sen �t� t � �0, 2 Π � �

xc � 15 � 5 5 Cos�t�, yc � 0, zc � 5 5 Sin�t�;

23


� cálculo de los valores del parámetro que delimitan el arco entre los puntos

Q � �20, 0, 10� y P � �10, 0, 10�NSolve��xc � 20, zc� 10, t�

t � ConditionalExpression1. 1.10715 � 6.28319 C 1 , C 1 � �

NSolve��xc � 10, zc� 10, t�

t � ConditionalExpression1. 2.03444 � 6.28319 C 1 , C 1 � �

�t1 � 1.10715, t2 � 2.03444;

� parametrización del arco de la circunferencia

C1 �x �y �

15 � 5 5 cos �t�0

z� 5 5 sen �t� t � �1.10715, 2.03444 � �

� parametrización de la superficie toroide:

S2 �x �y �

15 � 5 5 cos �t� cos �u�15 � 5 5 cos �t� sen �u�

z� 5 5 sen �t�

t � �1.10715, 2.03444 � � u � 0, 3 Π

2 � �

�xt � xc�Cos�u�, yt � xc�Sin�u�, zt � zc;


tor � ParametricPlot3D�xt, yt, zt, �t, t1, t2, �u, 0, 3 Pi�2, Mesh False,

Boxed True, Ticks �0, t1, t2, �0, 0, r1, 5 5 , AxesLabel �X, Y, Z,

PlotStyle Directive�LightBlue, Opacity�1�, Specularity�Blue, 60��;

� Cerramientos planos de los extremos del edificio


Clear�x, y, z�

Solve�x 15�2 � z2 � r2, z

z � � �100 � 30 x � x2 , z � �100 � 30 x � x2

c1 � ParametricPlot3Dt, 0, u� 100 � 30 t t2 , �u, 0, 1,�t, 10, 20, Mesh False, Boxed True, Ticks None, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightBlue, Opacity�1�, Specularity�White, 60��;

Solve�y � 15�2 � z2 � r2, z

z � � �100 � 30 y � y2 , z � �100 � 30 y � y2

c2 � ParametricPlot3D0, t, u� 100 30 t t2 , �u, 0, 1,�t, 20, 10, Mesh False, Boxed True, Ticks None, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�LightBlue, Opacity�1�, Specularity�White, 60��;

24


� Representación de la figura que simula el museo

cota0 � ParametricPlot3D��x, y, 0, �x, 25, 25, �y, 25, 25,Mesh None, PlotStyle Directive�LightBrown, Opacity�1�, Specularity�Green, 60��;

gojo � Show�cil1, cil2, tor, c1, c2, cota0, PlotRange All, Boxed False, Axes None�

25


Ejercicio nº6

Enunciado

El arquitecto japonés Toyo Ito diseñó una casa en Nakano para que su hermana pudiera llevar el luto

y el recogimiento que deseaba tras el fallecimiento de su marido. El requerimiento de su hermana

fue una casa en forma de L para tener una separación física de sus dos hijas, pero a la vez poder

mantener el contacto visual.

El arquitecto extendió el proyecto inicial a una gran U blanca, el color del luto en Japón, dotando a la

vivienda de un mayor dinamismo y una integración tanto en la tipología de la vivienda tradicional

como en el uso del hormigón tan de moda en la arquitectura japonesa en 1976, año en el que fue

inaugurada.

Imagen 18. Vista aérea de la casa White U en Nakano, Japón.

Imagen 18: “Toyo Ito /// White U /// Nakano-ku, Honchō, Tokyo, Japan /// 1976” de OfHouses bajo

licencia CC BY-NC-SA 2.0.

Imagen 19. Detalle del interior de la vivienda

Imagen 19: “Toyo Ito /// White U /// Nakano-ku, Honchō, Tokyo, Japan /// 1976” de OfHouses bajo

licencia CC BY-NC-SA 2.0 .

A pesar de ser una de las viviendas icónicas de Toyo Ito, uno de los profesionales más respetados en

el mundo de la arquitectura, incomprensiblemente fue demolida ante su sorpresa y tristeza en 1997debido a una oscura trama de especulación urbanística.

Parametrice y represente la vivienda White U de Toyo Ito utilizando las medidas que se adjuntan en

la siguiente imagen:

26


Alzado

Planta

2.5m

7m

3m

1.5m

4.5m

8.5m


Resolución



revolución (eje Oz) de los cilindros que componen el edificio

O��0,0�X

Y


� El edificio consta de un cuerpo curvo formado por dos cilindros de revolución y la cubierta cónicadel espacio entre ambos, dos bloques laterales de lados planos con cubierta plana inclinada y unúltimo bloque con forma de paralelepípedo que cierra la U.

� Cuerpo curvo: cilindro interior (cilindro nº1)

� altura h1 � 3 m y radio r1 � 4.50 m

r1 � 4.5; h1 � 3;


S1 �x �y �

4.5 cos �t�4.5 sen �t�

z� u

t � �0, Π � � u � �0, 3 � �

27


�x1 � r1�Cos�t�, y1 � r1�Sin�t�, z1 � u;


cil1 � ParametricPlot3D��x1, y1, z1, �t, 0, Π, �u, 0, h1,Mesh False, Boxed True, Ticks ��r1, 0, r1, �r1, 0, r1, �0, h1,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�White, Opacity�1�, Specularity�Gray, 60��;

� Cuerpo curvo: cilindro exterior (cilindro nº2)

� altura h2 � 4.50 m y radio r2 � 8.50 m

r2 � 8.5; h2 � 4.5;


S2 �x �y �

8.5 cos �t�8.5 sen �t�

z� u

t � �0, Π � � u � �0, 4.5 � �

�x2 � r2�Cos�t�, y2 � r2�Sin�t�, z2 � u;


cil2 � ParametricPlot3D��x2, y2, z2, �t, 0, Π, �u, 0, h2,Mesh False, Boxed True, Ticks ��r2, 0, r2, �r2, 0, r2, �0, h2,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�White, Opacity�1�, Specularity�Gray, 60��;

� Cuerpo curvo: cubierta cónica que cubre el espacio entre los cilindros

� altura hc � h2 � h1 � 1.50 m, radio en la base (cota h1) r1 � 4.50 m y radio en la parte superior

(cota h2) r2 � 8.50 m

hc � h2 h1; r1 � 4.50; r2 � 8.50;

� ecuación genérica del cono de revolución con vértice en V � �0, 0, zc�: x2

a2� y2

a2� �z�zc�2

� para determinar las dos incógnitas de la ecuación genérica, parámetros a, zc � ��, se


P � �r1, 0, h1� y Q � �r2, 0, h2�ec � x^2�a^2 � y^2�a^2 � �z zc�^2;sist � �ec �. �x r1, y 0, z h1, ec �. �x r2, y 0, z h2;

NSolve�sist, �a, zc, PositiveReals�

��a � 8.66667, zc � 3.51923�, �a � 2.66667, zc � 1.3125��

� parametrización de la superficie (sección positiva del cono):

a � 2.66667; zc � 1.3125;

�x3 � a�u�Cos�t�, y3 � a�u�Sin�t�;




��z � 1.3125 � 1. u�, �z � 1.3125 � 1. u��

�z3 � zc � u;

28


�Solve�z3 �� h1, u�, Solve�z3 �� h2, u�� variación del parámetro u ��u � 1.6875��, ��u � 3.1875��

Sn �x �y �

2.66667 u cos �t�2.66667 u sen �t�

z� 1.3125 � u

t � �0, Π � � u � �1.6875, 3.1875 � �


con3 � ParametricPlot3D��x3, y3, z3, �t, 0, Π, �u, 1.687575, 3.187575, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��r2, r1, 0, r1, r2, �r2, r1, 0, r1, r2, �0, h1, h2,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�White, Opacity�1�, Specularity�Gray, 30��

� Bloque lateral izquierdo

� se parametrizan secciones planas con lo que únicamente se representan gráficamente

� paredes laterales

bi1 � ParametricPlot3D��8.5, y, z, �y, 9.5, 0, �z, 0, 4.5, Mesh False,

Boxed True, Ticks ��9.5, 0, �9.5, 0, �0, h2, AxesLabel �X, Y, Z,PlotStyle Directive�White, Opacity�1�, Specularity�Gray, 30��;

bi2 � ParametricPlot3D��4.5, y, z, �y, 9.5, 0, �z, 0, 3, Mesh False,


� fachada

bi3 � ParametricPlot3D��t, 9.5, u �0.375 t � 1.3125�, �t, 8.5, 4.5,�u, 0, 1, Mesh False, Boxed True, Ticks ��8.5, 4.5, �9.5, 0, �0, h2,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�White, Opacity�1�, Specularity�Gray, 30��;

� cubierta

bi4 � ParametricPlot3D��t, u, 0.375 t � 1.3125, �t, 8.5, 4.5,�u, 9.5, 0, Mesh False, Boxed True, Ticks ��8.5, 4.5, �9.5, 0, �h1, h2,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�White, Opacity�1�, Specularity�Gray, 30��;

� representación del bloque

bizq � Show�bi1, bi2, bi3, bi4, PlotRange All�

29


� Bloque lateral derecho


� paredes laterales

bd1 � ParametricPlot3D��8.5, y, z, �y, 9.5, 0, �z, 0, 4.5, Mesh False,


bd2 � ParametricPlot3D��4.5, y, z, �y, 9.5, 0, �z, 0, 3, Mesh False,


� fachada

bd3 � ParametricPlot3D��t, 9.5, u �0.375 t � 1.3125�, �t, 4.5, 8.5,�u, 0, 1, Mesh False, Boxed True, Ticks ��4.5, 8.5, �9.5, 0, �0, h2,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�White, Opacity�1�, Specularity�Gray, 30��;

� cubierta

bd4 � ParametricPlot3D��t, u, 0.375 t � 1.3125, �t, 4.5, 8.5,�u, 9.5, 0, Mesh False, Boxed True, Ticks ��4.5, 8.5, �9.5, 0, �h1, h2,AxesLabel �X, Y, Z, PlotStyle Directive�White, Opacity�1�, Specularity�Gray, 30��;


bdch � Show�bd1, bd2, bd3, bd4, PlotRange All�;

� Bloque de acceso a la vivienda

� paralelepípedo que cierra la U


ac1 � ParametricPlot3D��u, 7, t, �u, 4.5, 4.5, �t, 0, 3, Mesh False�;ac2 � ParametricPlot3D��u, 9.5, t, �u, 4.5, 4.5, �t, 0, 3, Mesh False�;ac3 � ParametricPlot3D��u, t, 3, �u, 4.5, 4.5, �t, 9.5, 7, Mesh False�;


acc � Show�ac1, ac2, ac3, PlotRange All�;

� Representación de la figura que simula la vivienda

cota0 � ParametricPlot3D��x, y, 0, �x, 10, 10, �y, 12, 9,Mesh None, PlotStyle Directive�Gray, Opacity�1�, Specularity�Green, 60��;

whiteU � Show�cil1, cil2, con3, bizq, bdch, acc, cota0, PlotRange All, Boxed False, Axes None�

30

t r t r ã × ×

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