susyqm vallejo

INTRODUCCIN A LA SUPERSIMETRA

JOS A. VALLEJO

Resumen. Estas notas pretenden ser una introduccin elemental al tema de

la supersimetra adecuada a la formacin de matemticos, partiendo de los

conceptos bsicos de la Mecnica Cuntica. El objetivo fundamental es obtener

una realizacin de la superlgebra de Heisenberg como una sublgebra del

lgebra graduada de endomorsmos de un cierto superespacio vectorial (un

ejemplo del teorema de Ado en superlgebras de Lie), utilizando para ello el

modelo de Witten de la Mecnica Cuntica supersimtrica.

Las notas tienen su origen en un seminario para estudiantes del posgrado en

Ciencias Aplicadas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Autnoma de

San Luis Potos impartido por el autor.

ndice

1. Introduccin 2

2. El experimento de Stern-Gerlach y el espn 3

3. Espacio de estados y observables 5

4. Descripcin de partculas con espn 1/2 75. Las ecuaciones de Schrdinger y Dirac-Heisenberg 11

6. El teorema de conexin espn-estadstica 13

7. Principio de exclusin y nmeros de ocupacin 15

8. Ejemplo: un bosn y un fermin en una caja 17

9. El lgebra de los operadores de creacin y aniquilacin 19

10. Superlgebras de Lie, teoras gauge y supervariedades 21

11. Ejemplo: La superlgebra de Lie End(C2) 2412. Mecnica Cuntica Supersimtrica (SUSY QM) 28

13. Realizacin explcita de la superlgebra de Heisenberg 32

14. Aplicaciones de la supersimetra 35

Apndice A. Las relaciones de incertidumbre 39

Apndice B. El corchete de Poisson y el conmutador cuntico 41

Referencias 43

2000 Mathematics Subject Classication. 81Q60,17B70,17B81,16W50.

Key words and phrases. Superlgebra de Heisenberg, superespacios vectoriales, Mecnica

Cuntica supersimtrica.

Parcialmente nanciado por: Proyecto SEP-CONACyT Ciencia Bsica (J2) 2007-1 cdigo

78791 (Mxico) y Proyecto MTM2005-04947 Ministerio de Educacin y Ciencia (Espaa). Es-

te trabajo se encuentra en su versin nal y no ser sometido a otra publicacin.

1

2 JOS A. VALLEJO

1. Introduccin

En los ltimos tiempos, el tema de la supersimetra (en general, de todas las

teoras sper ) ha pasado por todos los estados de reconocimiento posibles: desde

las primeras expectativas, quizs un tanto optimistas, a un parcial abandono o a una

inesperada resurreccin. El hecho es que se han mantenido a ote por dos razones

fundamentales: una, la ms mencionada, es la belleza y consistencia del formalismo

matemtico que se emplea en su descripcin, pero la otra, mucho ms importante,

es su aplicacin a la explicacin de fenmenos que quedan fuera del alcance de

las teoras clsicas. No se debe olvidar que sta fue la motivacin original para

su introduccin, las teoras de supersimetra tienen una vocacin eminentemente

prctica.

Sin embargo, bien es cierto que es difcil apreciar estas posibles aplicaciones cuan-

do se estudia alguno de los textos clsicos sobre el tema (ver [Kos 77], [GSW 87],

[Wes-Bag 92]), y mucho menos an es fcil darse cuenta de lo natural que resulta el

punto de vista supersimtrico. Habitualmente, o bien se comienza discutiendo las

propiedades de las posibles extensiones del grupo de Poincar para contemplar las

simetras internas, o bien se estudian las colisiones entre partculas a altas energas

para ilustrar la necesidad de una unicacin de las interacciones en ese rgimen.

Pero las races de la teora son mucho ms simples, y se remontan a los intentos

de F. Berezin de dar una tratamiento unicado para los bosones y fermiones en

el contexto de la Mecnica Cuntica (vase [Ber 66] y aplicaciones dentro de la

mecnica clsica en [Cas 76]).

Precisamente, estas notas tienen como objetivo el presentar a un pblico mate-

mtico las ideas ms bsicas de la supersimetra en un contexto elemental, accesible

con slo la base de unas nociones elementales de lgebra y Anlisis Funcional. No

es imprescindible tener conocimientos previos de Fsica Cuntica (basta un curso

de Fsica Bsica), los conceptos necesarios para la comprensin de la terminologa

habitual (bosones, fermiones, etc...) se irn introduciendo a medida que se necesi-

ten. De este modo, el autor espera que las notas sean tiles a los matemticos que

estn interesados en el tema y que se aproximen a l por primera vez.

Con el n de mantener un nivel asequible, slo discutiremos la Mecnica Cuntica

Supersimtrica (SUSY QM), un estudio de las teoras de campo requiere de un

formalismo matemtico ms avanzado y un tratamiento mucho ms extenso.

Comenzaremos con un breve repaso de cmo se introdujo, histricamente, el es-

pn. Un lector que no est interesado en los aspectos fsicos del problema, puede

omitir su lectura sin problema; conceptos como el de operador de espn sern in-

troducidos ms adelante dentro de un contexto puramente matemtico. La primera

parte de las notas (secciones 1 a 9) contienen una descripcin del formalismo bsico

de la Mecnica Cuntica expresado de una manera ms formal que la acostumbra-

da en los libros de texto de Fsica, con el n de que un matemtico sin formacin

previa en Fsica pueda comprender el lenguaje de la segunda parte (el resto de

secciones), donde se presenta la construccin de una realizacin de la superlgebra

de Heisenberg como una sublgebra de los endomorsmos graduados de un cierto

superespacio vectorial, dando as un ejemplo de la validez del Teorema de Ado en

la categora de superlgebras de Lie. La seccin 11 es en realidad una excusa para

presentar los rudimentos de la teora del lgebra lineal en superespacios vectoriales.

Un lector con conocimientos previos del formalismo estndar de la Mecnica Cun-

tica puede pasar directamente a la seccin 11. La seccin 10 tiene un carcter ms

INTRODUCCIN A LA SUPERSIMETRA 3

especializado que el resto, su intencin es la de presentar la idea de supersimetra

en un contexto mucho ms amplio que el de la Mecnica Cuntica (el de las teoras

gauge) y su lectura puede omitirse sin problemas en caso de que se desconozcan los

conceptos que en ella aparecen.

La ltima seccin tiene por objeto mostrar como esta construccin no es un

mero ejercicio matemtico, sino que tiene profundas consecuencias en Fsica (que

van mucho ms all de las limitadas aplicaciones que veremos).

Con el n de que estas notas tambin puedan resultar de utilidad a aquellos

fsicos interesados en conocer la base formal de los trabajos sobre SUSY QM, se

ha evitado la presentacin habitual en Matemticas (deniciones, lemas, teoremas,

etc.) que tiende a ahuyentar a este tipo de lector. El autor espera que esta decisin

no implique que quien se ahuyente sea el lector de inclinaciones matemticas.

Agradecimientos. Durante la elaboracin de estas notas, he tenido el benecio de

numerosas discusiones con Juan Monterde, Gil Salgado, Adolfo Snchez Valenzuela

y Jess Uras. A todos ellos quisiera darles las gracias por sus acertados comentarios,

sugerencias y tiles crticas. De manera muy especial quisiera agradecerle al rbitro

annimo sus valiosos comentarios acerca de la bibliografa, gracias a los cuales el

lector puede disponer de una acertada seleccin de trabajos para profundizar en su

concimiento de la SUSY QM y otros temas relacionados. Slo cuando uno mismo

ha intentado (sin xito, por desconocimiento) encontrar las referencias adecuadas

para tratar tal o cual tpico, se puede valorar en su justa medida la importancia

de disponer de tal base de datos.

Por supuesto, cualquier incorreccin, omisin o malinterpretacin en el texto, es

responsabilidad exclusiva del autor.

2. El experimento de Stern-Gerlach y el espn

En el ao 1922 eran frecuentes en Fsica los experimentos de interaccin entre

partculas cargadas y campos magnticos; por ejemplo, para una partcula cargada

que pasa entre dos imanes con polaridades opuestas, dispuestos verticalmente, la

teora electromagntica clsica, basada en el hecho de que la partcula no es puntual

sino que se describe por una cierta distribucin de carga, predice lo siguiente:

1. Si la partcula no gira sobre si misma, no hay desviacin vertical.

2. Si la partcula tiene un movimiento dextrgiro, se desva hacia arriba.

3. Si la partcula tiene un movimiento levgiro, se desva hacia abajo.

La magnitud de la desviacin depende de la distribucin de carga de la partcula y

de la velocidad angular de giro. Vemoslo con ms detalle: la teora clsica supone

que cada partcula tiene un momento magntico permanente , dado por = Sdonde S es el momento angular intrnseco debido al giro de la partcula 1. A sele denomina coeciente giromagntico o factor de Land. Cuando la partcula se

coloca en el seno de un campo magntico externo B el trabajo total que se efectaes

W = B,el momento de torsin viene dado por

= B,

1

Denotaremos los vectores tridimensionales en negrita.

4 JOS A. VALLEJO

y la fuerza sobre la partcula resulta ser

F = ( B). (1)En los experimentos (vase ms abajo) se suele disponer un campo inhomogneo

B = (Bx, 0, Bz), en la regin por la que va a pasar el haz de partculas, se ajustanlos parmetros del campo de manera que se tenga Bz Bx y as B ' Bz z. Enestas condiciones, de la igualdad = dSdt resulta

dSxdt

= SyBz

dSydt

= SxBzdSzdt

= 0.

Es decir, si escribimos S = S||+S, donde S|| es la componente de S paralela al ejez y S su componente perpendicular, tenemos que la primera es constante, mientrasque la segunda gira alrededor del eje z con una velocidad angular = Bz.Por otra parte, la componente de la fuerza que acta sobre las partculas del haz

en la direccin del eje z es

Fz =

z(zBz + xBx) '

z(zBz) = z

Bzz

,

por lo que se ve claramente que Fz produce una desviacin de las partculas enla direccin z proporcional a la proyeccin z. Conociendo Bzz y esta desviacin,es posible conocer z y, obviamente, no hay motivo alguno para no esperar medirtodos los valores posibles de esta componente, que irn desde || a ||.Estas predicciones estaban siendo vericadas por O. Stern y W. Gerlach utili-

zando un haz de tomos de plata, cuando se encontraron con la sorpresa de que el

comportamiento observado no era el esperado (ver [Ger-Ste 24]): se observaba una

desviacin, pero no hacia arriba o hacia abajo, sino hacia arriba y abajo a la vez

(la Figura 1 da una representacin esquemtica del experimento).

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

x

x

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xxxxxxx xxxxxxxx

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xxxxxxxxxxxxxxxx

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xxxx

xx

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xxxxxxxxx

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xxxxxxxxx

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x

x

x

xxxxxxxxxxxxxxxx

5 cm 15 cm

B, gradB

0

1

2

3

1

2

cm

Figura 1. Experimento de Stern-Gerlach.

La magnitud de la desviacin era la misma en ambos rayos y esto era totalmente

incompatible con el modelo clsico. En 1925 S. Goudsmith y G. Uhlenbeck (ver


[Gou-Uhl 25]) propusieron una solucin al enigma planteado por este experimento

mediante la introduccin de un nuevo nmero cuntico

2

, el espn, capaz de in-

teraccionar con un campo magntico. De hecho, formalmente las propiedades del

espn son las mismas que las de un momento angular ordinario, por lo que a veces

se le denomina momento angular interno (sin embargo, debe resaltarse el hecho

de que el espn no est asociado a ningn movimiento espacial, ni de la partcula ni

de su distribucin de carga asociada, es una magnitud intrnseca a cada partcu-

la, de ah el calicativo de momento interno ). Al igual que al momento angular

orbital asociado al movimiento de rotacin del electrn alrededor del ncleo se le

asocia un momento magntico, al nuevo momento angular de espn se le asocia un

momento magntico m, con las mismas propiedades que , en particular, su formade acoplarse a un campo magntico.

El caso es que experimentalmente se determina que el espn del electrn vale

1/2, y el operador (observable) correspondiente proyectado sobre un eje espacial,digamos el del campo magntico entre los imanesB, admite slo dos valores propios:1/2 y 1/2 (vase la seccin 4). Esto, junto con el hecho de que el momento angularneto de los tomos de plata se debe nicamente al momento de espn del electrn

exterior de su capa de valencia, explica por qu se observan dos rayos desviados en

sentidos opuestos

3

.

3. Espacio de estados y observables

La descripcin cuntica habitual del estado de un sistema fsico se lleva a cabo

a travs de su funcin de onda asociada, un elemento L2(R3) del espacio de lasfunciones con valores complejos y de cuadrado integrable (en sentido Lebesgue) de

R3. Este espacio resulta ser de Hilbert, y su producto escalar est dado por

, =R3, (2)

donde denota la conjugada compleja de .Realmente, como estamos interesados en estudiar evoluciones temporales, los

objetos bsicos son curvas f : R L2(R3) tales que f(t) = t(x), y es comnescribir simplemente t(x) (t,x) diciendo que la funcin de onda depende deltiempo .

Una observacin: no hay que confundir t(x) (t,x) con una trayectoria dela partcula. La interpretacin estndar de t(x) slo arma que en cada instante thay una cierta probabilidad de hallar la partcula en un entorno de x, no que en sumovimiento la partcula describa una trayectoria denida (tal concepto est fuera

de la Mecnica Cuntica debido a las relaciones de incertidumbre de Heisenberg,

vase el Apndice A).

2

Histricamente, Goudsmith y Uhlenbeck no introdujeron la hiptesis del espn para explicar

los resultados de Stern-Gerlach, sino para corregir unas irregularidades observadas en el estudio

de ciertas series espectroscpicas, pero pronto se pudo ver, a la luz de la nueva propuesta, que

la explicacin que hasta el momento se daba del experimento de Stern-Gerlach (basadas en la

llamada cuantizacin espacial) era errnea, y que el espn serva tambin para dar una nueva

teora ms acertada.

3

Un tomo de plata tiene 47 electrones, de los cuales 46 se encuentran en un estado que tienemomento angular orbital y de espn nulos, mientras que el electrn restante se encuentra en un

estado s1, que tambin tiene momento angular orbital nulo; por tanto, el espn total del tomo esel momento de espn de este electrn

6 JOS A. VALLEJO

De acuerdo con la interpretacin probabilista de Max Born, el signicado fsico

de la funcin de onda es que la probabilidad de encontrar el sistema en una posicin

e instante determinados viene descrita por la funcin de densidad

(t,x) = (t,x) (t,x), (3)supuesta la normalizacin

t(x)2L2(R3) =R3tt = 1. (4)

La interpretacin de Copenhague de la Mecnica Cuntica, basada en este pos-

tulado de Born, arma adems que el producto (2) proporciona la amplitud de

probabilidad de transicin desde un estado del sistema descrito por a otro descri-to por .En la notacin de Dirac, un elemento de L2(R3) tal como ( (t,x) si trabaja-mos con curvas) se escribe | ( |(t,x)) y se denomina ket . De acuerdo con elTeorema de Representacin de Riesz, si es otro elemento de L2(R3) o un conjuntode ellos dados por una curva (t,x), a cada uno le corresponde un elemento deldual topolgico

(L2(R3)

), es decir, un funcional continuo que acta mediante el

producto escalar y que se representa por (t,x)|, el llamado bra: para cada t Rse tiene

(t,x)| : L2(R3) C|(t,x) 7 (t,x), (t,x) .As, para pasar de un estado |(t,x) a otro |(t,x) no hay ms que formar elbracket de ambos.

Resulta evidente que la funcin de densidad (3), que codica la informacin

bsica acerca de la partcula, no se ve alterada si en lugar de (t,x) tomamos sumodicacin por un factor de fase global, esto es, una funcin de onda de la forma

ei(t,x), donde C. Y, de hecho, ya hemos utilizado esta caracterstica alimponer la normalizacin (4); en este sentido, a veces se dice que los estados de un

sistema fsico estn descritos por rayos en el espacio L2(R3): se toma como espaciode trabajo el cociente L2(R3)upslopeR, donde la relacin de equivalencia es: R siy slo si existe un C tal que = ei (es decir, se trabaja con el espacioproyectivizado P (L2(R3))). Entonces, el normalizar la funcin de onda equivale atrabajar con el representante de la clase con norma unitaria.

Sobre estos estados |(t,x) actan los observables: llamamos observable a unoperador A EndCL2(R3) tal que es autoadjunto respecto del producto escalar enL2(R3). Es sabido que, en tal caso, A tiene todos sus valores propios reales y esosvalores propios (segn postula la Mecnica Cuntica) son los posibles valores de las

mediciones de (la magnitud fsica que representa) A sobre el sistema.La forma habitual de construir estos observables cunticos procede por analoga

con sus contrapartidas clsicas. Sin embargo, no existe un mtodo general para rea-

lizar este proceso, conocido como cuantizacin, por lo que denirlos correctamente

es casi un arte. De hecho, hay propiedades observables cunticas que no tienen

un anlogo clsico directo (como es el caso del espn en el experimento de Stern-

Gerlach) y, en denitiva, el problema de la cuantizacin es fundamental y sigue

abierto.

En cualquier caso, lo que nos interesa resaltar ahora es que si slo consideramos

operadores actuando sobre funciones (o curvas) en L2(R3), nos estamos restringien-do a propiedades del sistema que dependen de su extensin espacio-temporal, pero


no es posible describir entonces propiedades intrnsecas como el espn de Gouds-

mith y Uhlenbeck. Es preciso ampliar el espacio de estados de L2(R3) a otro espaciode Hilbert en el que tengan cabida los objetos necesarios para describir propiedades

como el espn, que no dependen del movimiento del sistema en el espacio fsico

tridimensional

4

.

En los siguientes prrafos veremos cmo la descripcin del espn 1/2 (es decir,una magnitud fsica representada por un operador autoadjunto que slo admite dos

valores propios, uno positivo y otro negativo) puede hacerse muy fcilmente en un

espacio bien sencillo: C2 = CC. Si a este espacio lo llamamos espacio de espn,por contraposicin al espacio de grados de libertad espacio-temporales L2(R3) ,vemos que el espacio total de estados para una partcula de espn 1/2 es

H = L2(R3) C2,y los observables fsicos sern los endomorsmos autoadjuntos de H. La evolucindel sistema nuevamente estar descrita por curvas en H: si f : R H es una deellas, se tendr

f(t) = (

) |(t,x)

((t)(t)

), (5)

(con la particularidad de que puede darse el caso en que (t) y (t) sean funcionesconstantes).

Por supuesto esta no es la nica posibilidad, hay otras y para un espn diferente

se necesita otro espacio, pero para la discusin del modelo supersimtrico sencillo

que presentaremos esta descripcin es suciente.

4. Descripcin de partculas con espn 1/2

Cmo explicar el resultado del experimento de Stern-Gerlach?. De acuerdo con

la hiptesis de Goudsmith y Uhlenbeck, el fenmeno observado se debe a que el elec-

trn tiene espn 1/2 y a que esta nueva magnitud tiene dos posibles proyecciones, 12 . Un modelo para esta situacin es el siguiente: consideremos el espacio

C2 ={ =

(

): , C

},

dotado del producto escalar complejo (hermtico)

, =(

),

(

)= + = ,

con = ()> la conjugacin hermtica (la traspuesta de la matriz conjugadacompleja). Diremos que C2 es un estado de espn si = , = 1.Identicaremos dos estados , si existe un z C con |z| = 1 tal que

= z =(zz

).

Es decir, si llamamos a esta relacin de equivalencia y U(C2) = { C2 : =1}, trabajaremos con el espacio cociente

S2 = U(C2)upslope 4

Que esto es as puede verse considerando que los resultados del experimento de Stern-Gerlach

no dependen de la orientacin espacial del dispositivo ni del estado de movimiento de ste.

8 JOS A. VALLEJO

cuyos elementos se denominan espinores bidimensionales o biespinores. Sin em-

bargo, por comodidad, denotaremos las clases de equivalencia [] S2 por susrepresentantes, es decir, escribiremos [] = .Cul es la estructura del espacio S2?. Observemos que

S2 = { C2 ' R4 : = 1} ' S3(la esfera unitaria en R4), y que la relacin de equivalencia , que determina losestados fsicamente equivalentes, nos dice que se identican todos los puntos que

bajo la correspondencia anterior van a parar a S1 (la esfera unitaria en R2). Msconcretamente, la rbita de un elemento cualquiera en el cociente S2 es difeomorfaa S1, pues

[] = { C2 : |z| = 1, = z } S1 .Por tanto, el espacio cociente (o espacio de rbitas) es

S2 = S3upslopeS1 ' S2,(donde S2 es la esfera unitaria en R3) que resulta, por tanto, ser bidimensional.Como curiosidad, mencionaremos que esta construccin es equivalente a lo que en

Matemticas se conoce como bracin de Hopf de S3.Llamaremos observables del espacio de espn a los Cendomorsmos autoadjun-tos de

(C2, ., .), esto es, a las aplicaciones Clineales autoadjuntas A : C2 C2.Del lgebra Lineal, es sabido que una tal aplicacin puede verse como una matriz

A Mat22(C) con coecientes complejos:

A =(

)tal que A = A (se dice a veces que A es una matriz hermtica, y se representapor A Her22(C)). En particular, esto implica que A posee dos valores propiosreales 1, 2 R (se escribe entonces 1, 2 SpecR(A)). Adems, dado uno deestos observables existen 1, 2 C2 vectores propios tales que

A1 = 1 1A2 = 2 2,y {1, 2} es una base ortonormal compleja de C2.Como su propio nombre indica, los observables estn asociados a medidas sobre

el sistema fsico que representan los estados. Veamos cmo son los resultados de

estas medidas: supongamos que un sistema se encuentra en el estado descrito por

el vector C2 y que se realiza una medida correspondiente al observable A, conSpecR(A) = {1, 2} y vectores propios {1, 2}. Entonces, se puede escribir

= 1 1 + 2 2,donde (por ser {1, 2} ortonormal)

|1|2 + |2|2 = 1.Pues bien, la hiptesis fundamental de la interpretacin estndar de la Mecnica

Cuntica dice que la medicin del observable representado por A en el estado da como posibles resultados 1, 2 con probabilidades respectivas |1|2 , |2|2 y,adems, tras la medicin, si se ha obtenido el resultado j (j = 1, 2) el sistemapasa a estar descrito por el estado j (j = 1, 2); a este fenmeno se le conoce comocolapso de la funcin de onda. Dentro de este esquema, j = j , es la amplitud


de probabilidad para la transicin del estado al j , y |j |2 es la probabilidad deque esto se produzca.

A |A| = ,A R se le llama valor esperado del observable A en el estado. Observemos que

|A| = |1|2 1 + |2|2 2,de modo que el valor esperado de A oscila entre 1 y 2. Tambin, jmonos en quelos valores esperados de un observable son independientes del representante elegido

para describir el estado del sistema, ya que dos de ellos se relacionan por un z Ctal que |z|2 = zz = 1: si y = z son dos representantes de un mismo estadofsico

|A| = z ,A(z ) = zz |A| = |A| .Al igual que hicimos con los estados, ocupmonos ahora de la estructura del

espacio de los observables. Si A Mat22(C) es uno de ellos, debe cumplir lacondicin A = A, de modo que si su representacin matricial es

A =(

),

como

A =(

),

debe vericarse

= = r R = = s R = = u+ iv C,o sea,

A =(r u+ ivu iv s

).

Por motivos que sern evidentes enseguida, nos interesar reparametrizar A, po-niendo en lugar de r, s, u, v R unos nuevos coecientes a0, a1, a2, a3 relacionadoscon los anteriores por

a0 + a3 = ra0 a3 = sa1 = ua2 = v,as que nuestro observable ms general A pasa a ser

A =(a0 + a3 a1 + ia2a1 ia2 a0 a3

). (6)

Resulta entonces que el espacio de todos los observables puede verse como

Obs = {A End (C2, ., .) : A = A} ' R4,que, a su vez, tiene estructura de espacio vectorial real y de (6) se puede hallar

fcilmente una base explcita. De hecho, si se consideran las llamadas matrices de

Pauli

1 =(

0 11 0

), 2 =

(0 ii 0

), 3 =

(1 00 1

),

y se escribe 0 =(

1 00 1

)= I para la matriz identidad, un observable A seexpresa como

A = a00 + a11 + a22 + a33 = a0I+ a ,

10 JOS A. VALLEJO

donde = (1, 2, 3),a = (a1, a2, a3) (esto es slo una notacin cmoda).Ahora, es muy fcil comprobar

5

que si se expresa A a partir de los parmetrosa0,a, sus dos posibles valores propios son

= a0 a21 + a

22 + a

23 = a0 a . (7)Si a = 0, los valores propios son degenerados e iguales a a0.Por denicin, el operador observable de espn 1/2 (o momento de espn 1/2) esel vector de operadores autoadjuntos S dado por S = 12 (1, 2, 3). Generalizandola descripcin clsica de la seccin 2, una partcula con momento de espn

12 se

comporta como si tuviera un momento magntico asociado a ese espn, de la misma

forma que tiene asociado un mometo magntico a su momento angular orbital: se

introduce pues un momento magntico asociado al espn m, dado por

m = BS,

es decir, el nuevo operador es m = B2 (1, 2, 3), donde B es una constante quese conoce como magnetn de Bohr. Lo que interesa, por lo que respecta a la fuerza

que acta sobre la partcula, es conocer los valores propios de la proyeccin de msobre una direccin dada en el espacio (cfr. (1)): si u = (u1, u2, u3) R3 es una taldireccin, resulta que la proyeccin del operador m es

m u = B2(u1 1 + 2 u2 + 3 u3) = B2

(u3 u1 iu2u1 + iu2 u3

),

y de acuerdo con (7), los valores propios de esta proyeccin son

= B2 u ,as que si u es unitario obtenemos = B2 . Es habitual tomar u = z, en cuyocaso se escribe

mz = B2para los valores propios de la proyeccin del momento magntico de espn.

Por tanto, este formalismo da cuenta de los resultados del experimento de Stern-

Gerlach: en un haz de tomos de plata, los electrones exteriores cuyo espn es

1/2 se hallarn en uno de los dos estados posibles para la proyeccin del espn, eldado por el valor propio

B2 o el dado por B2 , y las fuerzas que actan en cadacaso sern colineales pero de sentidos opuestos, es decir, los tomos se desviarn

en uno de los dos sentidos (arriba o abajo) dependiendo de si el estado del electrn

exterior se corresponde con el vector propio correspondiente a

B2 o B2 .Por otra parte, tenemos que los estados del espacio de espn C2 se pueden expre-sar en la base ortonormal formada por los vectores propios de m u, llammoslos, y que estn denidos por

(m u) = .As, para todo C2 se puede poner = 1++2, con |1|2+ |2|2 = 1. Comoya hemos mencionado, es comn tomar u = z y escribir + = , = (con suscorrespondientes 1 = , = ), de modo que un estado de espn ser lo quese conoce como un biespinor:

=(

)= + ,

5

Ejercicio para el lector


y las funciones de onda completas (5) se escriben entonces en la forma

f(t) = |(t,x) (+ |++ |)

= + |t,x,++ |t,x,(8)

donde, obviamente, |t,x, = |(t,x) |.

5. Las ecuaciones de Schrdinger y Dirac-Heisenberg

Al igual que la dinmica en Mecnica Clsica viene determinada por la ecuacin

de Newton para una trayectoria en el espacio euclideo tridimensional x = x(t),que para fuerzas que derivan de un potencial se escribe en funcin del operador

gradiente comod2xdt2

= V x,en Mecnica Cuntica toda partcula interaccionando con un potencial V (x) (su-pongamos por simplicidad potenciales dependientes slo de la posicin) viene descri-

ta por su funcin de onda (x, t) 6, que satisface la llamada ecuacin de Schrdinger

i~t

=( ~

2

2m

(2x2

+2y2

+2z2

)+ V (x)

)(x, t) H(x, t), (9)

aqu, H = ~22m(2x2 +

2y2 +

2z2

)+ V (x) es el observable denominado Hamilto-niano cuntico del sistema. Aplicando el conocido mtodo de separacin de variables

(es decir, suponiendo que (x, t) = (x)F (t)), esta ecuacin puede reducirse a otrams sencilla, denominada ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo:

H(x) = E(x), (10)

donde E es una constante real7 que, por analoga con el caso clsico, se identicacon la energa del sistema. Esta ecuacin puede generalizarse al caso de que existan

variables internas como el espn; de hecho, recordando que el espacio de Hilbert

que describe los estados del sistema (por ejemplo para una partcula de espn 1/2)tiene la estructura H = L2(R3) C2, lo anterior debera escribirse:(i~

t t

)(x, t) =

(( ~

2

2m

(2

x2+

2

y2+

2

z2

)+ VL2(R)

) VC2

)(x, t),

esto es, el Hamiltoniano sera

H =( ~

2

2m

(2

x2+

2

y2+

2

z2

)+ VL2(R)

) VC2 .

En concreto, para una partcula de espn 1/2 en el seno de un campo magntico B,ya hemos visto que es

VC2 = BS B,

6

Para explicar la aparicin de t recordemos que, realmente, cuando decimos funcin de onda(x, t) nos estamos reriendo a una curva en el espacio de estados : R L2(R3) C2. Laecuacin de Schrdinger, como ecuacin dinmica, es una ecuacin para estas curvas pero el uso

ha consagrado la identicacin de la curva con su imagen.7

Observemos que E resulta ser un valor propio del observable H y ste, por hiptesis, es unoperador autoadjunto.

12 JOS A. VALLEJO

y as, cuando slo interesa estudiar la evolucin del factor de la funcin de onda

completa pertenenciente a C2, se dice que el Hamiltoniano de una partcula de espn1/2 en un campo magntico B es

H = BS B.Por tanto, vemos que es el Hamiltoniano el que determina toda la dinmica del

sistema, que bsicamente se reduce a un problema de valores propios para este

operador.

Heisenberg y, de manera independiente, Dirac proporcionaron una ecuacin b-

sica para la dinmica cuntica diferente de la de Schrdinger

8

. Para comprender su

signicado, recordemos brevemente la formulacin de la dinmica Newtoniana en

trminos de los corchetes de Poisson. Suponiendo una partcula que se desplaza en

R3 siguiendo la curva x = x(t) bajo la inuencia de un potencial V C(U) (conU R3 una cierta regin que podemos suponer abierta), la ecuacin de Newton es

d2xdt

(t) = V x(t).

Introduciendo la variable v(t) = dxdt y llamando x(t) = (x(t),v(t)) a la curva enU R3 determinada por x(t) y su derivada9, el sistema anterior se transforma en:{

v(t) = dxdt (t)dvdt (t) = V x(t)

. (11)

En trminos del Hamiltoniano del sistema, que es la funcin H C(U R3) dadapor

H(x,v) =12||v||2 + V (x),las ecuaciones (11) se escriben (para i {1, 2, 3}){

dxi

dt (t) =Hvi x(t)

dvi

dt (t) =Hxi x(t)

, (12)

que son conocidas como ecuaciones de Hamilton. Para resolver estas ecuaciones,

que son equivalentes a las de Newton para el caso que estamos considerando, es

preciso dar unas condiciones iniciales sobre x(t) y v(t). En otras palabras, paradeterminar el estado futuro de un sistema clsico es necesario tener las ecuaciones

de evolucin (12) y conocer x(t), v(t) en un instante dado t0. Por eso, en MecnicaClsica a U R3 se le denomina espacio de estados del sistema (a veces, tambin sele denomina espacio de fases, aunque no son exactamente lo mismo, pues el espacio

de fases es un subbrado del cotangente, cfr. la nota a pie de pgina precedente).

Supongamos ahora que queremos evaluar una funcin f a lo largo de una tra-yectoria x(t) = (x(t),v(t)) en el espacio U R3, donde introducimos coordenadas

8

Bajo condiciones muy generales, las dinmicas proporcionadas por ambas ecuaciones son equi-

valentes, aunque esto no es cierto con toda generalidad. La Mecnica Cuntica en la formulacin

de Born, Heisenberg, Jordan y Dirac es ms general que la de Schrdinger.

9

En realidad, x(t) es el levantamiento de la curva x(t) al brado cotangente T U =FxU T

xU ,

donde v(t) Tx(t)U se identica con su imagen mediante el isomorsmo T x(t)U ' Tx(t)U inducidopor la mtrica asociada a la energa cintica. Pero para el propsito de estas notas, podemos ignorar

estas sutilezas.


{x1, x2, x3, v1, v2, v3}. Se tiene que, aplicando la regla de la cadena y las ecuacionesde Hamilton,

d(fx)dt (t) =

fxi

x(t)

dxi

dt (t) +fvj

x(t)

dvj

dt (t)

=3

i=1fxi

x(t)

Hvi (x(t)) fvi

x(t)

Hxi (x(t))

=3

i=1

(fxi

Hvi fvi Hxi

) x(t)

. (13)

Esto se suele escribir en forma ms compacta omitiendo la trayectoria particular

x(t) e introduciendo el llamado corchete de Poisson, una aplicacin Rbilineal{., .} : C(U R3) C(U R3) C(U R3) denida por

{f, g} =3i=1

(f

xig

vi fvi

g

xi

). (14)

Las ecuaciones (13) resultan ser, entonces,

df

dt= {f,H}, (15)llamada la ecuacin de Poisson. Lo que hizo Dirac fue postular una ecuacin din-

mica cuntica anloga a (15), pero reemplazando los observables clsicos (en general

funciones de C(URn)) por observables cunticos (operadores de EndC(L2(Rn))).Para el caso n = 1, esto se traduce en las llamadas reglas de cuantizacin canni-cas

x 7 x p 7 i~ d

dxy el corchete de Poisson por el llamado conmutador cuntico [., .] denido mediante:

[A,B] =i

~(A B B A) , A,B EndC(L2(R))(vase el Apndice B, donde se reproduce el razonamiento de Dirac para llegar

a esta expresin) de manera que si A EndC(L2(R)) es un observable cualquie-ra que depende de posiciones, velocidades e implcitamente del tiempo (pero no

explcitamente) su evolucin est dada por la ecuacin de Dirac-Heisenberg :

dA

dt= [H,A],

siendo H EndC(L2(R)) el Hamiltoniano cuntico del sistema.6. El teorema de conexin espn-estadstica

Mediante experimentos del tipo Stern-Gerlach, pronto se pudo determinar que

las partculas elementales se podan clasicar segn su valor del espn en dos gru-

pos: aqullas con espn entero, llamadas bosones, y aquellas con espn semientero,

llamadas fermiones. Ejemplos de la primera clase son los fotones (espn 1), y de lasegunda, como ya hemos mencionado, los electrones (espn 1/2). La denominacinbosn y fermin se debe a la diferente estadstica que obedecen estas partculas:

de Bose-Einstein o de Fermi-Dirac, respectivamente. Con el n de explicar esta fra-

se, supongamos ahora que disponemos de un conjunto de partculas indistinguibles,

14 JOS A. VALLEJO

tales como los electrones en un haz de tomos de plata, aunque para simplicar

la discusin slo consideraremos dos de ellas. La propiedad de indistinguibilidad se

traduce en que

H(1, 2) = H(2, 1), (16)donde 1 representa todo el conjunto de parmetros (llamados nmeros cunticosen Fsica) necesarios para describir la partcula 1 (includo su espn), y lo mismo 2para la partcula 2. La ecuacin de Schrdinger para este sistema de dos partculasse escribe entonces como H(1, 2)(1, 2) = E(1, 2), aunque al no importar cmoetiquetemos a las partculas, esto es equivalente a H(2, 1)(2, 1) = E(2, 1).Ahora bien, haciendo uso de (16), tambin resulta

H(1, 2)(2, 1) = E(2, 1). (17)

Llegados a este punto, conviene introducir el llamado operador de intercambio

P12, que aplicado a un estado intercambia todas las coordenadas (espaciales y espn)de las partculas 1 y 2, es decir, P12(1, 2) = (2, 1). As, de (17)

HP12(1, 2) = E(2, 1) = EP12(1, 2) = P12E(1, 2) = P12H(1, 2),

o, lo que es lo mismo en trminos del conmutador entre operadores

10

, denido por

[A,B]_ = A B B A,[H,P12]_ = 0. (18)Notemos que, como hemos sealado en la seccin precedente, la estructura formal

de la Mecnica Cuntica en la forma en que la estamos utilizando ( la Heisenberg),

es idntica a la de la Mecnica Clsica en la formulacin de Poisson reeemplazando el

corchete clsico de Poisson {_,_} por el conmutador cuntico [_,_]. En particular,la evolucin temporal de las magnitudes representadas por los operadores como

P12 viene dada por su conmutador con el Hamiltoniano, por lo que (18) nos diceque el operador de intercambio es una constante del movimiento. Otra propiedad

importante de este operador es su idempotencia: (P12)2(1, 2) = (1, 2), as quesus valores propios son 1; sus funciones propias son las combinaciones simtricasy antisimtricas

S(1, 2) = 12((1, 2) + (2, 1))y

A(1, 2) = 12((1, 2)(2, 1)) .(19)

El que P12 sea una constante del movimiento, implica que un estado que essimtrico en un instante inicial siempre ser simtrico y que un estado antisimtrico

siempre seguir siendo antisimtrico. Lo verdaderamente importante (tanto que a

su descubridor, Pauli, le vali el Nobel en 1945), es que la simetra o antisimetra

bajo el intercambio de dos partculas es una caracterstica de las partculas, y no

algo que se pueda decidir en la preparacin del estado inicial. Esta propiedad se

conoce como teorema de conexin espn-estadstica

11

y arma que:

10

Sobre la notacin: muchos autores denominan [_,_] a lo que nosotros estamos llamandoconmutador de endomorsmos, [_,_]_. Estos autores escriben la ecuacin de Dirac-Heisenbergcomo

i~dAdt

= [A,H].

11

A veces se habla del principio de conexin espn-estadstica, pero hay que hacer notar

que uno de los logros (quizs el logro) de la teora cuntica de campos axiomtica, es que este

enunciado se deriva como un teorema a partir de unos postulados, vase [Str-Wig 89].


1. Los sistemas consistentes en partculas idnticas con espn semientero se

describen mediante funciones de onda antisimtricas, y se dice que obedecen

la estadstica de Fermi-Dirac.

2. Los sistemas consistentes en partculas idnticas con espn entero se des-

criben mediante funciones de onda simtricas, y se dice que obedecen la

estadstica de Bose-Einstein.

7. Principio de exclusin y nmeros de ocupacin

Una consecuencia inmediata del teorema de conexin espn-estadstica que en un

sistema no puede haber ms de dos fermiones en un estado de energa, momento

angular, paridad, etc... denidos

12

, limitacin que no existe en el caso de los boso-

nes. Este enunciado, se conoce como Principio de exclusin de Pauli. Vamos a ver

con algo de detalle esta implicacin, ya que es la clave para la introduccin de las

ideas de la Supersimetra (al menos por lo que respecta a estas notas).

Supongamos pues un sistema de N fermiones indistinguibles (digamos N electro-nes), descritos por las funciones de onda respectivas 1(1), ..., N (N ) (pensemosque en van includos todos los nmeros cunticos del sistema, pero esto son sloetiquetas: las partculas son indistinguibles!). Recordemos de la seccin 3 que esto

signica, en el ejemplo de partculas de espn

12 (recurdese (8))

i(i) = + |t,x,++ |t,x, .El intento naf de formar una funcin de onda comn a partir de las de cada

partcula es, obviamente, el producto tensorial 1(1) N (N ), pero lamen-tablemente esta funcin no satisface el requisito de antisimetra. Una manera fcil

de conseguir que si se cumpla, es mediante el operador de antisimetrizacin

13

: se

toma la funcin denida por

=1N !

SN

sig()1((1)) N ((N))

donde SN es el grupo de permutaciones de N elementos y sig () es la signatura dela permutacin . Es claro que es antisimtrica bajo el intercambio de las coor-denadas de dos partculas cualesquiera (es la generalizacin de (19)!). De hecho, se puede escribir como un determinante, el llamado determinante de Slater (donde

el producto de los factores debe entenderse como producto tensorial):

=

1(1) 1(2) 1(N1) 1(N )2(1) 2(2) 2(N1) 2(N )

N1(1) N1(2) N1(N1) N1(N )N (1) N (2) N (N1) N (N )

,

12

En un hipottico sistema de tres o ms fermiones, dos de ellos tendran la variable de espn

con valores opuestos y el tercero repetira los valores de esta variable, lo cual, por la antisimetra

de la funcin de onda, implicara que sta es nula

13

Fijmonos en que este operador no es otro que el operador Alt que pasa del producto tensorialal exterior sobre mdulos o espacios vectoriales.

16 JOS A. VALLEJO

de modo que es maniesto que la funcin de onda total se anula idnticamentesi dos cualesquiera de las funciones i(j) son la misma, es decir: en un sistema deN fermiones no puede haber dos de ellos en el mismo estado cuntico14.Naturalmente, este proceso no agota todas las posibilidades de obtener funciones

de onda totales para un sistema de fermiones que sean antisimtricas. Por ejemplo,

podemos tomar combinaciones lineales de determinantes de este tipo y el resultado

es automticamente antisimtrico. Esta idea es la base de una construccin ms

general llamada en Fsica espacio de Fock. Veamos cmo se describe en Fsica:

nuestras funciones de onda pertenecen a un cierto espacio de Hilbert separable

que, como buen espacio vectorial provisto de producto escalar complejo (y con

respecto a la mtrica inducida por el cual es completo!) posee una base numerable

y ortonormal de funciones, {j}jN. Los estados de una partcula de nuestro sistemase pueden expresar como el conjunto de lmites de todas las combinaciones lineales

de las j () (tomadas de una en una, es decir, cosas del tipo 11+ +kk+ ),y se puede probar que los estados antisimtricos de N partculas estn formados portodas las combinaciones lineales de los determinantes de Slater obtenidos tomando

N funciones de entre las {j}jN. ste es el llamado espacio de Fock de orden Ndel sistema

15

, y el espacio de Fock total es la clausura de la suma directa de todos

ellos para los diferentes valores de N . En realidad, como vemos, el espacio de Fockes el resultado de tomar la clausura del cociente del lgebra tensorial del espacio

de Hilbert (considerado como simple espacio vectorial) por el ideal engendrado por

la antisimetrizacin aplicada a los elementos generadores, es decir: desde un punto

de vista matemtico no es otra cosa que la clausura del lgebra exterior del espacio

de Hilbert original.

Vamos a introducir una notacin ms cmoda para estas funciones de onda

antisimtricas de N fermiones, basada en el hecho de que cualquier espacio deHilbert separable de dimensin innita es isomorfo a un espacio de sucesiones (vase

[Von 32]). Supongamos que los diferentes estados base que puede tener una sola

partcula se enumeran como

{1(1), 2(2), 3(3), ...} = {i(i)}iN;como ya hemos mencionado, el Principio de exclusin de Pauli hace que en cada

uno de los estados descritos por 1(1), ..., N (N ) haya una o ninguna particula,pero nunca dos o ms. Una manera muy conveniente de escribir las funciones, pues,

es indicar los estados que estn ocupados : aquellos en los que se encuentra alguna

partcula. De este modo, en general escribiremos

|n1, n2, ...para la funcin de onda total que describe a n1 partculas en el estado 1, n2partculas en el estado 2, etc. La particularidad es que las nj slo pueden tomarlos valores 1 y el resto se sobreentiende que es 0 (hay una representacin similar paralos estados de bosones, pero estos no tienen esa limitacin: nj puede ser cualquier

14

Esto slo es cierto para fermiones en un mismo sistema. No se aplica a fermiones cuyas

funciones de onda estn completamente incorrelacionadas.

15

Obsrvese que estamos suponiendo N partculas indistinguibles. Cuando no es as, la estruc-tura del espacio de estados total si es la del producto tensorial de los espacios individuales de cada

partcula.


natural). Por ejemplo,

|11 = |1, 0, 0, 0, 0, 0, ... = 1(1)|11, 13 = |1, 0, 1, 0, 0, 0, ... = 12 (1(1) 3(3) 3(3) 1(1)) .En cualquiera de los casos, n1+n2+ = N . Esta manera de describir los estados delsistema, con mucha propiedad se llama representacin por el nmero de ocupacin.

8. Ejemplo: un bosn y un fermin en una caja

Consideremos un bosn (digamos, un pin pi0 cuya carga y espn valen 0) y unfermin (un e, con carga 1 y espn 1/2), sin interaccin entre ellos, movindosea lo largo de una recta y connados a la regin ]0, L[. La descripcin matemticade esta situacin se basa en tomar un potencial C a trozos (llamado de pozocuadrado innito por razones obvias) de la forma

V (x) =

si x L x 00 si 0 < x < L,que separa la recta en tres regiones: ], 0] , ]0, L[ , [L,+[. Slo la segunda deellas tendr inters desde el punto de vista del clculo (y desde el fsico tambin!),

pues obviamente la funcin de onda de cualquiera de las partculas en las otras dos

es 0.Olvidmonos por un momento del espn de las partculas. Busquemos soluciones

separables a la ecuacin de Schrdinger para V (x), esto es, en la forma (t, x) =(x) f(t). Por lo que respecta a su comportamiento espacial, cualquiera de ellasvendr descrita por una (x) L2(]0, L[) que satisfaga la ecuacin de Schrdingeren la regin ]0, L[ R (en la cual V (x) = 0, cfr. (9), (10)):

~2

2m(x) = E(x), (20)

donde suponemos que E la energa de la partcula es positiva, en tanto que laparte temporal est descrita por una f(t) L2(]0, L[) con

f (t) = iE~f(t),

o sea

f(t) = exp(iEt/~),de modo que la funcin de onda espacio-temporal sera

(t, x) = (x) exp(iEt/~).Ocupmonos ahora de las soluciones a (20). El polinomio caracterstico de la

ecuacin es P () = ~2

2m2 + E, con races imaginarias = i2mE/~, por lo queuna base del espacio de soluciones es la trigonomtrica y existirn unas constantes

A,B tales que

(x) = A cos(x2mE/~

)+B sin

(x2mE/~

).

18 JOS A. VALLEJO

En denitiva, nuestra funcin de onda espacio-temporal para cualquiera de las

partculas en la caja tendr que ser de la forma

(t, x) =

(A cos

(x2mE~

)+B sin

(x2mE~

))eiEt/~, (x, t) ]0, L[ R

0, x L x 0.Las constantes A,B se pueden determinar por las condiciones de frontera, prove-nientes del hecho de que el potencial est denido por secciones pero queremos

que las soluciones correspondientes a cada seccin se empalmen adecuadamente

para dar funciones C (en ingls, a estas condiciones se las denomina matchingconditions):

(t, 0) = 0 = (t, L), t R,de donde es inmediato que

A = 0 y B sin(L2mE/~

)= 0.

La segunda condicin no implica que la constante E (en principio arbitraria) sea

nula, sino que L2mE/~ = npi con n Z 0, esto es

E =2n2

m

(~piL

)2,

de manera que las posibles energas de las partculas no pueden tomar valores

arbitrarios, sino slo algunos de ellos parametrizados por n Z {0}: sta es lafamosa cuantizacin de la energa!. Fijmonos en que, por aparecer la n elevadaal cuadrado, podemos tomar

16 n N. Escribiremos En cuando queramos hacerexplcito el valor concreto a que nos referimos.

Con esto, la funcin de onda pasa a ser

(t, x) =

B sin

(npiL x)exp

(i~2n22m

(piL

)2t), (x, t) ]0, L[ R

0, x L x 0.Para determinar la constante B, utilizaremos el hecho de que la funcin de ondadel sistema debe estar normalizada a 1:

R(t, x)(t, x)dx = 1, t R.

En nuestro caso, la ecuacin precedente se reduce a L0

B2 sin2(x)dx = 1, donde =npi

L,

esto es [B2(x

2 1

4sin(2x)

)]L0

= 1,

de donde resulta

B =

2Lei,

16

Observemos que el valor n = 0 no es admisible fsicamente, pues conduce a una funcin deonda nula y sta no puede cumplir el requisito de normalizacin (4)


con [0, 2pi]. Por tanto, la funcin de onda espacio-temporal de cualquiera de laspartculas ser una de la familia, para n N,

n(t, x) =

2L sin

(npiL x)exp

(i(~2n22m

(piL

)2t

)), (x, t) ]0, L[ R

0, x L x 0.(21)

Ntese la indeterminacin de la funcin de onda n(t, x) introducida por el factor defase ei. La notacin habitual (en trminos de los bra y kets de Dirac) es n(t, x) =|t, x, n .Para el pin pi0, que tiene espn 0, stas son las funciones de onda totales. Ahorapodemos considerar la inclusin del espn para el caso del fermin, que dar como

funcin de onda total el producto tensorial de n(t, x) por una de las funcionesespinoriales = + que ya hemos estudiado. Con mayor precisin, parael pi0 tenemos que el nico nmero cuntico es n esto es, es un conjunto deparmetros con un nico elemento: n y los estados base sern {i(i)}iN, dondepara cada i N, i(t, x) est dada por (21). Abreviadamente, se suelen denotarestas funciones de onda por {|i}iN. Para el fermin, podemos numerar los estadosbase, de acuerdo con (8), como

{|1,+ , |1, , |2,+ , |2, , ...},donde, recordemos, |i, = |i(t, x) |.

9. El lgebra de los operadores de creacin y aniquilacin

Volvamos al estudio de un conjunto de N partculas ferminicas indistinguibles.Nos interesa ahora una situacin ms dinmica, en la que los fermiones de nuestro

sistema pueden pasar de un estado a otro. Esta es la situacin que uno estudia, por

ejemplo, en teora cuntica de campos (QFT), donde se va incluso un paso ms all

y se admite no slo que los estados de las diferentes partculas puedan cambiar, sino

tambin el propio nmero de stas. Salvo algunas particularidades tcnicas (muy

importantes!) las ideas centrales de la QFT en su presentacin estndar se basan

en una generalizacin del formalismo que vamos a introducir ahora para describir

cambios de estado, a uno que describa procesos de creacin y aniquilacin de las

propias partculas.

Denimos, formalmente, un operador creacin que crea un estado de una part-

cula en el modo ksimo, bk:bk |n1, n2, ..., nk, ... = |n1, n2, ..., nk + 1, ... ,y un operador aniquilacin que destruye un modo, bk:

bk |n1, n2, ..., nk, ... = |n1, n2, ..., nk 1, ... .Naturalmente, hay que establecer alguna regla adicional para estos operadores,

pues no podemos violar el Principio de exclusin y tener ms de una partcula en el

mismo estado. Como adems sabemos (por la misma razn) que los nj de partidano pueden valer ms de 1, tenemos las reglas obvias:

(bk)2 = 0, y (bk)2 = 0,

20 JOS A. VALLEJO

actuando sobre cualquier estado. As, tendremos, por ejemplo (si |0 representa elestado en que todos los modos del sistema estn desocupados):

bk |0 = |1k = k()y tambin

17

,

bkbk |0 = |1k , 1k =

12(k(k) k(k) k(k) k(k)) .Fijmonos en que la antisimetra de la funcin de onda total (i.e: |1k , 1k = |1k, 1k implica que

bkbk |0 = bkbk |0 , (22)es decir:

(bkbk + b

kb

k) |0 = 0.No hay nada de especial en este clculo que se reera al |0, de hecho, podemosescribir con generalidad

bkbk + b

kb

k = 0,y es costumbre abreviar esta expresin escribindola en trminos del anticonmuta-

dor [., .]+, denido para un par de operadores A, B como [A,B]+ = A B +B A:[bk, b

k ]+ = 0.

As, decimos que los operadores de creacin anticonmutan entre ellos (observemos

que el caso k = k tambin est trivialmente includo). De manera totalmenteanloga se ve que tambin los operadores de aniquilacin anticonmutan entre ellos:

[bk, bk ]+ = 0,

as que para establecer el lgebra de los operadores de creacin y aniquilacin,

debemos estudiar qu ocurre con su anticonmutador cuando cada uno es de un

tipo. Es trivial que si k 6= k se tiene:[bk, bk ]+ = 0,

luego podemos centrar nuestra atencin en el caso de [bk, bk]+.Consideremos las siguientes actuaciones, que se deducen de las deniciones y del

Principio de exclusin de Pauli:{bkbk |0k = 0, bkbk |0k = |0kbkbk |1k = |1k , bkbk |1k = 0;(23)

sumndolas con coecientes arbitrarios y , resulta:

(bkbk + bkbk) |0k+ |1k = |0k+ |1k ,as que para operaciones efectuadas sobre cualquier vector que describa el modo

ksimo,bkbk + bkb

k = 1.Por supuesto, el modo ksimo es totalmente arbitrario, es decir, realmente tenemosun resultado general:

[bk, bk]+ = 1.

17

Recurdese que el orden de actuacin de los operadores (que se traduce en el orden en que

se toman los trminos del producto tensorial) es importante.


De forma unicada, podemos resumir las frmulas obtenidas diciendo que

[bk, bk ]+ = kk . (24)

Adems, de (23) resulta evidente que el operador nk = bkbk juega el papel deoperador nmero de ocupacin del estado ksimo, y de hecho as se le conoce. Estosoperadores son muy importantes en el esquema algebraico de la Mecnica Cuntica;

de hecho, es bien sabido que deniendo el operador nmero total N =k

nk, el

Hamiltoniano del oscilador armnico cuntico (bosnico) se expresa como

H = N +12(vase, por ejemplo, [Gas 03] para profundizar en este aspecto).

Hasta ahora hemos trabajado con fermiones, pero el mismo anlisis formal puede

llevarse a cabo con bosones, partculas para las cuales no existe la restriccin im-

puesta por el Principio de exclusin de Pauli. Revisando, o mejor dicho, repitiendo el

argumento que hemos dado y haciendo los cambios pertinentes

18

(especialmente en

(22), donde ahora hay que tener en cuenta la simetra!), es fcil convencerse de que

para el caso de los bosones, el lgebra de los operadores de creacin-aniquilacin,

que ahora denotaremos respectivamente por ak, ak , viene dada por las relaciones

[ak, ak ]_ = kk , (25)

donde [_,_]_ es el conmutador entre dos operadores, que, recordemos, puede de-nirse sobre los endomorsmos de cualquier espacio vectorial (en particular sobre

los operadores de nuestro espacio de Hilbert-Fock): si V es un espacio vectorial yS, T EndV,

[S, T ]_ = S T T S.El resto de estas notas se dedicar a dos cosas:

1. Formalizar estas construcciones en el contexto de las superlgebras de Lie.

2. Estudiar algunas consecuencias particulares, como la posibilidad de dar

una realizacin de una superlgebra particular (la de Heisenberg) y sus

aplicaciones en Fsica.

10. Superlgebras de Lie, teoras gauge y supervariedades

Fijmonos en las ecuaciones (24) y (25): tienen un parecido muy llamativo, de

hecho slo dieren en un signo, que distingue al conmutador del anticonmutador,

seguro que hay alguna manera de escribirlas de forma unicada!. Esta pudo ser la

pregunta (o el reto) que se plante Bertram Kostant a mediados de los aos 70,

cuando introdujo la nocin de supervariedad a partir de las superlgebras de Lie.

Vamos a ver qu son esas lgebras y qu tienen que ver con el problema que hemos

venido considerando hasta ahora, el de describir un sistema de partculas idnticas,

bosones y fermiones.

La idea intuitiva para unicar el tratamiento de (24) y (25) puede expresarse

as: si convenimos en asignar a los bosones y fermiones una etiqueta, un grado

que los identique y distinga, podramos decir que asociando a los bosones el 0 y alos fermiones el 1, sus operadores de creacin-aniquilacin vienen descritos por

[[ck, ck ]] = kk , (26)

18


22 JOS A. VALLEJO

donde c puede ser a o b y [[_,_]], el superconmutador, est dado por

[[S, T ]] = S T (1)grad(S)grad(T )T S, (27)siendo grad(S) el grado de S y grad(T ) el de T . Obviamente, (26) se reduce a (24)y (25), respectivamente, cuando c = a y c = b.Llegados a este punto, podramos pensar lo siguiente: ahora que ya sabemos que

nuestra descripcin de los fenmenos asociados a fermiones y bosones requiere de

dos tipos de operadores distintos (unos que conmutan y otros que anticonmutan),

no podramos comenzar desde el principio deniendo algn tipo de espacios en los

que se pueda desarrollar todo el anlisis precedente pero que trate por igual a los

bosones y fermiones?. La respuesta, que debemos fundamentalmente a Kostant y

Berezin (consultar por ejemplo [Kos 77], [Ber 87] y las referencias de ste ltimo

para un seguimiento histrico) es que s, y la gua nos la dan las ecuaciones (26) y

(27).

Se trata de construir un lgebra con un producto de manera que nos describaformalmente la situacin que tenemos para los operadores de creacin-aniquilacin.

Como ya hemos mencionado, toda la construccin se basa en la introduccin de

un grado: consideremos un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, que se puedeexpresar como suma directa de dos espacios V = V0 V1. Los elementos de V0 sellaman (vectores) pares, y los de V1 (vectores) impares. Se dice entonces que sobreV se ha denido una Z2graduacin, y que V es un espacio vectorial Z2graduadoo un superespacio vectorial. Si S : V V es un endomorsmo (es decir, unaaplicacin lineal), puede ocurrir que lleve los elementos de V0 en los de V0, o enlos de V1, o incluso parte en uno y otro subespacio. Consideremos slo los que nomezclan elementos, y llammoslos endomorsmos graduados homogneos, EndGK (V ).Tendremos entonces aplicaciones de dos tipos: las pares (que transforman cada Vicon i = 0, 1 en s mismo) y las impares, que intercambian V0 con V1. A las primeras,se les asigna grado 0 y a las segundas, grado 1.Ahora, sobre los endomorsmos de un espacio vectorial graduado podemos denir

varias estructuras algebraicas: una de ellas es la de espacio vectorial (sobre el mismo

cuerpo que V ), mediante la suma de aplicaciones y el habitual producto por unescalar. Otra es una estructura de semigrupo, en la que el producto es la composicin

de aplicaciones S T . Este producto es asociativo y tiene neutro (la aplicacinidentidad), pero en general no todo elemento tiene inverso y, desde luego, no es

conmutativo. Con esto, (EndGK (V ),+, ) se dice que tiene una estructura de lgebraZ2graduada o superlgebra.Una medida de la no conmutatividad de la da el llamado conmutador de en-domorsmos graduados:

[[S, T ]] = S T (1)grad(S)grad(T )T S (28)(jmonos en que esto no es otra cosa que lo que antes hemos llamado superconmu-

tador, cuando V es el espacio de Hilbert-Fock). Es claro que se tienen las siguientespropiedades

19

:

1. Kbilinealidad (con K el cuerpo base de V ).2. [[S, T ]] = (1)ST [[T, S]] .3. [[S, [[T,U ]]]] = [[[[S, T ]], U ]] + (1)ST [[T, [[S,U ]]]].

19



Con estas propiedades, (EndGK (V ), [[_,_]]) tiene estructura de lo que se denominasuperlgebra de Lie. En la seccin siguiente trataremos estos conceptos con mayor

detalle, utilizando un ejemplo concreto.

Notemos que estas son generalizaciones de las estructuras con las que uno tra-

baja habitualmente, incluso a nivel clsico: los espacios que aparecen en Mecnica

Clsica como espacios de fase o de conguracin son variedades diferencialesM mo-deladas sobre espacios vectoriales Rn, es decir, espacios que localmente son comoun abierto de Rn (pinsese en el espacio de conguracin de un pndulo, por ejem-plo, que es la circunferencia S1 muy distinta globalmente de R), y los observablesclsicos son las funciones de C(T M) (T M es el espacio cotangente), equipadascon el corchete de Poisson {_,_} que convierte a (C(M), {_,_}) en un lgebrade Lie: sus propiedades son las mismas que las (1), (2), (3) anteriores

20

, pero con la

graduacin trivial (todos los elementos son pares). As, reemplazando los espacios

vectoriales (modelos locales) de la teora clsica por sus anlogos Z2graduados,resulta un marco de trabajo que retiene todas las caractersticas algebraicas y ana-

lticas necesarias para poder hacer mecnica (se tienen las mismas estructuras que

en el caso clsico, pero ahora graduadas) y se obtiene la ventaja de un tratamiento

simtrico (o mejor dicho, supersimtrico) ab initio de bosones y fermiones, segn

hemos visto.

Los espacios que localmente estn modelados sobre productos de abiertos de Rny una superlgebra, se denominan supervariedades, y la categora de tales espacios

es en la que tiene cabida de manera natural las teoras que pretenden unicar los

distintos tipos de partculas (junto con sus interacciones) que conocemos hoy en

dia.

Por ejemplo, pensemos en la descripcin de las partculas mediante campos. Aqu

los objetos fundamentales son aplicaciones (x), denidas en el espacio-tiempo ycon valores en algn espacio vectorial sobre el que acta un cierto grupo de simetra

G, que en Fsica se denomina grupo de gauge de la teora. Los espacios vectorialesen que toman valores los distintos campos correspondientes a partculas de distinto

tipo tienen caractersticas muy diferenciadas, lo cual hace que las teoras gauge

clsicas tengan que trabajar con fermiones y bosones por separado, cosa que no

sucede si se consideran supervariedades.

Con algo ms de detalle tcnico, podemos decir que las teoras gauge clsicas se

basan en la consideracin de una variedad espacio-tiempo M4, sobre la que se tieneun brado principal (P, pi,M4, G); los objetos fsicos de inters son de dos tipos:los campos de materia (que describen electrones, muones, etc), que se representan

por secciones de un brado vectorial (E, ,M4) asociado a (P, pi,M4, G), y los cam-pos de gauge (que describen la interaccin, como el campo electromagntico), que

vienen dados por secciones del brado de conexiones de (P, pi,M4, G); el grupo deLie G se denomina grupo de gauge. En otras palabras: desde este punto de vistageomtrico, los campos gauge mediadores de la interaccin son precisamente las

conexiones del brado principal (P, pi,M4, G). De hecho, la ley de transformacinde los representantes locales de las conexiones bajo un cambio de la seccin local

20

En realidad, el corchete de Poisson {_,_} tiene una importantsima propiedad adicional: sif, g, h C(M), entonces,

{f, gh} = {f, g}h+ g{f, h}.Se dice que {_,_} acta sobre C(M) mediante derivaciones y que (C(M), {_,_}) es unlgebra de Poisson. En estas notas tendremos necesidad de recurrir a esta propiedad adicional en

el apndice B.

24 JOS A. VALLEJO

que los determina coincide con la expresin para la transformacion de los campos

de Yang-Mills, y la eleccin de un gauge para stos corresponde a elegir una seccion

local del brado (esta idea fue introducida por C.N. Yang y T. T. Wu en [Yan-Wu

75]. Una referencia muy detallada, con clculos explcitos y numerosas aplicacio-

nes, en particular a la relacin con las teoras de cohomologa, es [Azc-Izq 98]). Sin

embargo, esta estructura introduce una asimetra maniesta entre los campos de

materia y los campos gauge: mientras los primeros pueden ser de tipo bosnico o

ferminico y estn denidos en un brado vectorial arbitrario (salvo por estar aso-

ciado a un brado principal igualmente arbitrario), los segundos estn denidos en

un brado de conexiones, y slo pueden ser de tipo bosnico. Los trminos bosnico

y ferminico se reeren al tipo de parntesis de Poisson que es posible denir para

estos campos (cuando se hace un anlisis de Fourier en modos cunticos resultan

los conmutadores o anticonmutadores que ya conocemos para los operadores de

creacin-aniquilacin), y ste a su vez determina el proceso de cuantizacin de los

mismos, de modo que las teoras gauge en su formulacin original no pueden verse

como las candidatas nales a una teora unicada de campos.

Como ya hemos mencionado, las teoras supersimtricas ofrecen una solucin

a este problema a travs de una sustitucin de los conceptos tradicionales de la

Geometra Diferencial por unos anlogos Z2graduados; los supercampos que apa-recen en esta formulacin poseen, en general, tanto parte una par (bosnica) como

una impar (ferminica), de modo que las ecuaciones de campo describen simul-

tneamente campos de materia y campos de gauge. El principal problema es la

complejidad tcnica de su formulacin, que hace que no sea sencillo el construir un

formalismo que permita obtener estas ecuaciones de campo de un modo semejante

al clsico; en cualquier caso, el estudio de las variedades Z2graduadas o superva-riedades, presenta un indiscutible inters no slo matemtico, sino tambin fsico

(vanse [Fre 86, Wit 92]).

En las siguientes Secciones, describiremos un modelo sencillo que implementa

las ideas bsicas de la supersimetra en el contexto de la Mecnica Cuntica, si-

guiendo las ideas de E. Witten (vase [Wit 81]), que son una reelaboracin de otras

ya existentes (cfr. [Ber-Mar 75], [BDZVH 76]). Como referencias bsicas citaremos

[CKS 01, Cro-Rit 83, Gen-Kri 85, Kib-Dao 04, Fer 09].

11. Ejemplo: La superlgebra de Lie End(C2)

Aprovecharemos esta seccin para introducir algunas deniciones formales y ana-

lizar un ejemplo muy sencillo pero que rene todas las caractersticas en las que

estamos interesados. Referencias tiles para el estudio de las superlgebras de Lie

son [CNS 75, Sche 79, FSS 00].

Consideremos el grupo abeliano Z2 = {0, 1}, con la suma mdulo 2, y V unKespacio vectorial. Se dice que V es Z2graduado, que es un Ksuperespaciovectorial, si admite una descomposicin en suma directa de subespacios

V =mZ2

Vm = V0 V1.

Los elementos del subespacio Vm se llaman homogneos de grado m Z2. Cuandom = 0 se dice que son elementos pares y cuando m = 1, impares. Se dene as unaaplicacin | | : (V1 V2) {0} Z2 mediante

|v| = m si v Vm,


llamada aplicacin grado. Con el n de que esta aplicacin resulte bien denida, se

conviene en asignar a los elementos de K grado 0 y establecer que |k.v| (con k Ky v V ) es |k|+ |v| = |v|.Supongamos ahora que V y W son Ksuperespacios vectoriales. Una aplicacin

Klineal : V W se dice que es homognea de grado p Z2 (par si p = 0,impar si p = 1) cuando ocurre que

(Vm) Wm+ppara todo m Z2. Si p = 0 (esto es, es una aplicacin par) suele decirse que HomK(V,W ) es un morsmo de Ksuperespacios vectoriales. Naturalmente,se tiene el caso particular en que V = W . Entonces, se habla de endomorsmoshomogneos de grado p Z2 y de endomorsmos de superespacios vectoriales sip = 0.Recordemos que una Klgebra es un Kespacio vectorial A junto con unaaplicacin Kbilineal A A A que escribiremos como (a1, a2) 7 a1 a2. Si Aes un Ksuperespacio vectorial y esta aplicacin lleva AmAn en Am+n (la sumamdulo 2), con m,n Z2, entonces diremos que A es una Klgebra Z2graduadao, simplemente, una superlgebra.

Como veremos enseguida, puede darse el caso en que una superlgebra A tenga,adems, denida otra operacin, una aplicacin Kbilineal [[, ]] : A A A talque se cumplen las siguientes propiedades adicionales:

1. [[a1, a2]] = (1)|a1||a2|[[a2, a1]] (antisimetra Z2graduada),2. [[a1, [[a2, a3]]]] = [[[[a1, a2]], a3]] + (1)|a1||a2|[[a2, [[a1, a3]]]] (identidad de JacobiZ2graduada).En tal caso, se dice que (A, [[, ]]) forma una superlgebra de Lie. La operacin [[, ]]suele denominarse corchete de Lie (graduado) o supercorchete.

Veamos cmo surgen de manera natural las superlgebras de Lie. Consideremos

un superespacio vectorial V = V0 V1 y los endomorsmos homogneos sobre V ,EndGK (V ). Sabemos que se tiene la descomposicin inducida por el grado

EndGK (V ) = End0K(V ) End1K(V ),donde

End0K(V ) = {f EndGK (V ) : f(Vi) Vi}

End1K(V ) = {f EndGK (V ) : f(Vi) V(i+1)mod2}siendo i {0, 1}. En este espacio de endomorsmos homogneos, est denida lacomposicin

21

y, a partir de ella, construmos un corchete de Lie graduado [[, ]] :EndGK (V ) EndGK (V ) EndGK (V ) poniendo

[[f, g]] = f g (1)|f ||g|g f.Es inmediato

22

comprobar que esta denicin determina una estructura de su-

perlgebra de Lie sobre EndGK (V ). Este ejemplo de superlgebra de Lie es uni-versal en el siguiente sentido: al igual que ocurre en la teora de lgebras de Lie

clsicas, donde todo lgebra ndimensional sobre un cuerpo K, g, es isomorfa auna del tipo (EndK(Kn), [, ]) con [, ] el conmutador de endomorsmos dado por21

De manera que (EndGK (V ), ) es una superlgebra si se establece que |f + g| = |f |+ |g|. Sedeja la comprobacin como un sencillo ejercicio.

22

Ejercicio para el lector.

26 JOS A. VALLEJO

[A,B] = A B B A (teorema de Ado), en el caso Z2graduado toda super-lgebra tambin es isomorfa a una del tipo (EndGK (V ), [[, ]]) (vase [Sche 79] 4).De hecho, el objetivo central de este trabajo consiste en mostrar explcitamente c-

mo el lgebra de la Mecnica Cuntica supersimtrica se representa en esta forma.

Obviamente, para lograr este objetivo necesitaremos primero dar el superespacio

vectorial V = V0 V1 sobre el cual se considerarn los endomorsmos graduadoshomogneos.

Como un ejercicio previo, vamos a estudiar la estructura de EndGC (V ) cuando setiene el Csuperespacio vectorial C1|1 = C C, donde C ' C son isomorfos yla nica diferencia entre ellos es que la copia C corresponde a los elementos de C1|1con grado 0 (i.e, C = (C1|1)0) y la copia C contienen a los elementos de C1|1 congrado 1 (i.e, C = (C1|1)1). En otras palabras: todo elemento z C1|1 se escribeen la forma z = z0 z1, con z0 C y z1 C, siendo pues |z0| = 0 y |z1| = 1. Sinembargo, ya que la manera ms cmoda de trabajar con endomorsmos consiste

en utilizar sus representantes matriciales, aprovecharemos que como Cespaciosvectoriales C1|1 ' C2 e introduciremos la notacin siguiente: si z C1|1 = CCse descompone como z = z0 z1 escribiremos

z =(z0z1

)(esto es, vemos a los elementos de C1|1 como biespinores). Con esta notacin, unf EndGC (C1|1) se escribir como

f =(f00 f01f10 f11

),

y su accin vendr dada por

f(z) =(f00 f01f10 f11

)(z0z1

)=(f00z0 + f01z1f10z0 + f11z1

).

Ahora bien, dado que f00z0 + f01z1 debe tener grado 0 y f10z0 + f11z1 grado 1,mientras que |z0| = 0 y |z1| = 1, para que f sea homognea de grado 0 se requiereque

|f00| = 0 = |f11||f10| = 1 = |f01| .

Pero los elementos de matriz del endomorsmo f EndGC (C1|1) son elementosdel cuerpo base C y estos elementos recordemos que siempre tienen grado 0. Enconsecuencia, podemos escribir

End0C(C1|1) ={f EndGC (C1|1) : f

(f00 00 f11

)}.

Un anlisis anlogo nos conduce a

End1C(C1|1) ={f EndGC (C1|1) : f

(0 f01f10 0

)}.

Es til, por otra parte, observar lo siguiente: dada la base cannica de C1|1,

B ={e0 =

(10

), e1 =

(01

)},


automticamente se tiene una base asociada en EndGC (C1|1), dada por23

B ={ =

(1 00 0

), =

(0 10 0

), =

(0 01 0

), =

(0 00 1

)}.

De acuerdo con lo dicho, de entre los elementos de la base B hay dos pares:

|| =( 1 00 0

) = 0 = ( 0 00 1) = ||,y dos impares:

|| =( 0 01 0

) = 1 = ( 0 10 0) = ||.Todo elemento f EndGC (C1|1) se escribe como una combinacin Clineal

f = f00+ f01 + f10+ f11.

Si f End0C(C1|1), entonces su expresin coordenada se reduce a

f = f00+ f11,

y si es g End1C(C1|1), entonces,

g = g01 + g10.

Como es bien sabido, la composicin de endomorsmos se corresponde con el

producto matricial de sus representantes matriciales. Esto hace que los clculos

con la estructura de superlgebra de Lie (End1C(C1|1), [[, ]]) sean muy sencillos. Porejemplo, supongamos que

f =(ei 00 0

), g =

(0 ei

3ei 0

), , , R.

Entonces:

[[f, g]] =(ei 00 0

)(0 ei

3ei 0

) (1)01

(0 ei

3ei 0

)(ei 00 0

)=

(0 ei(+)

3ei(+) 0)y claramente |[[f, g]]| = 1 (no hace falta jarse en la forma de la matriz resultante,basta con concocer los grados de los endomorsmos f y g: observemos que el gradodel corchete siempre es el grado |f g| = |f |+ |g|).

23

En este contexto, ,,, son simplemente unos nombres para los vectores base deEndGC (C1|1). En particular, no denota conjugacin de ningn tipo (y, de hecho, ms adelanteveremos otra convencin igualmente extendida para denominar a estos elementos utilizando los

smbolos 0, ..., 3). El origen de esta notacin est en su similitud con otros operadores en Fsicaque si estn relacionados por cierto tipo de conjugacin.

28 JOS A. VALLEJO

12. Mecnica Cuntica Supersimtrica (SUSY QM)

Hemos mencionado en repetidas ocasiones que uno de nuestros objetivos es el de

dar una realizacin de la superlgebra de Heisenberg. En esta seccin vamos a ver

cul es este lgebra y analizaremos su origen fsico tal y como suele presentarse en

los textos de Fsica, basndonos en el formalismo de los operadores de creacin y

aniquilacin. Una vez que sepamos cmo es el lgebra y su signicado fsico, resul-

tar ms sencillo formalizar su construccin en el contexto de los endomorsmos

de un superespacio vectorial (esto es, en el contexto de las supermatrices).

Supongamos una partcula que posee un grado de libertad bosnico y un grado de

libertad ferminico, esto es, para caracterizar el estado de la partcula supondremos

que debemos dar dos vectores correspondientes respectivamente a los espacios de

Hilbert de variables bosnicas y ferminicas. En otras palabras, el espacio de

Hilbert que describe al sistema ser

H = HB HF .Por ejemplo, para una partcula de espn

12 movindose en una dimensin la posicin

de la partcula es el grado de libertad bosnico, y HB = L2(R), mientras que segnhemos visto en la seccin 4, HF = C2. En el caso de tener N partculas (de lascuales hay nB bosones y nF fermiones) de acuerdo con el Principio de Pauli debemossimetrizar los estados bosnicos y antisimetrizar los ferminicos, es decir, debemos

tomar

H = SHB HF ,y podemos trabajar entonces con la representacin por el nmero de ocupacin.

As, para describir el sistema necesitamos dar un vector

|nB |12...r SHB con i N, 1 i r, 1 + + r = nB|nF |12...s HB con j {0, 1}, 1 j s, 1 + + s = nF .Para un elemento arbitrario, pondremos

|nB |nF |nB , nF .En este contexto, se pueden introducir heursticamente unos operadores de creacin

y aniquilacin para estados bosnicos y ferminicos de la siguiente forma. Para

bosones tenemos (obsrvese la notacin abreviada):

ar |nB , nF = (ar 1) |1...r... |1...s...= |1...r 1... |1...s... = |nB 1r, nF y

ar |nB , nF =(ar 1

) |1...r... |1...s...= |1...r + 1... |1...s... = |nB + 1r, nF ,

(29)donde nB = 1 + ...+ r + ..., nF = 1 + ...+ s + ..., y para fermiones:

bs |nB , nF = (1 bs) |1...r... |1...s...= |1...r... |1...s 1... = |nB , nF 1sy

bs |nB , nF =(1 bs

) |1...r... |1...s...= |1...r... |1...s + 1... = |nB , nF + 1s .

(30)


Naturalmente, es inmediato que estos operadores cumplen las siguientes relaciones

algebraicas:

[aj , ak]_ = jk[br, bs]+ = rs[aj , bs]_ = 0,

(donde realmente habra que escribir [aj 1, ak 1]_ = jk1 1, etc, pero elcontexto debera evitar las confusiones).

Para introducir la supersimetra, querramos disponer de operadores que trans-

formasen un estado bosnico en uno ferminico y viceversa. De las expresiones (29)

y (30) se ve que basta con denir unos operadores adjunto el uno del otro como

sigue:

Qrs = arbs = ar bsQrs = a

rbs = a

r bs.En efecto:

Qrs |nB , nF = ar |1...r... bs |1...s...= |1...r 1... |1...s + 1...

= |nB 1r, nF + 1 ,(31)

y de manera similar

Qrs |nB , nF = |nB + 1r, nF 1 . (32)Se tiene una relacin importantsima entre los operadores Qrs y Q

rs. Si se cal-

cula su anticonmutador, aplicando las reglas de conmutacin para las a's y las b's,resulta:

[Qrs, Qrs]+ = [ar bs, ar bs]+

=(ar bs

) (ar bs

)+(ar bs

) (ar bs

)= arar bsbs + arar bsbs= arar

(1 bsbs

)+(1+ arar

) bsbs= arar 1 arar bsbs + arar bsbs + 1 bsbs= nBr 1+ 1 nFs ,es decir: [Qrs, Qrs]+ nos da el nmero de bosones en el estado nr y el de fermionesen el estado ns. As

r,s

[Qrs, Qrs]+ = NB 1+ 1NF , (33)

donde NB es el operador nmero total de bosones y NF es el operador nmero totalde fermiones:

NB 1 |nB , nF = (1 + ...+ r + ...) |nB , nF = nB |nB , nF 1NF |nB , nF = (1 + ...+ s + ...) |nB , nF = nF |nB , nF .Por tanto,

(NB 1+ 1NF ) |nB , nF = (nB + nF ) |nB , nF = N |nB , nF y debido a esto, al operador N = NB1+1NF se le denomina operador nmerototal de partculas.

30 JOS A. VALLEJO

Por otra parte, el hecho de que tanto Qrs como Qrs contengan a los operadoresfermimicos bs, bs, hace que sean nilpotentes:(

Qrs)2 |nB , nF = (ar)2 |nB (bs)2 |nF = (ar)2 |nB 0 = 0

(Qrs)2 |nB , nF = (ar)2 |nB

(bs)2 |nF = (ar)2 |nB 0 = 0. (34)Esta propiedad de nilpotencia es la que nos permitir construir un Hamiltoniano

que admita a (31) y (32) como transformaciones de simetra

24

y que, por mezclar

bosones y fermiones, denominaremos supersimetras.

Basta con tomar

H =r,s

[Qrs, Qrs]+ = NB 1+ 1NF (35)

y jarse en que para cualquier par de ndices j, k:

[H,Qjk]_ = 0 = [H,Qjk]_. (36)

Por ejemplo:

[H,Qjk]_ =r,s

[[Qrs, Qrs]+, Qjk]_

=r,s

[[arbs, arbs]+, ajb

k]_

=r,s

[[ar, ar]+, aj ]_ [[bs, bs]+, bk]_

=r,s

[[ar, ar]+, aj ]_ [1, bk]_

=r,s

[[ar, ar]+, aj ]_ 0 = 0.

Observemos ahora otra propiedad bsica

25

del anticonmutador de los operadores

Qrs y Qrs:

[Qjk, Qrs]+ = 0 (37)

cuando (r, s) 6= (j, k). A la vista de (34), (35), (36) y (37), deniendo

Q =r,sQrs

Q =r,sQrs,(38)

24

Conviene recordar que, en Mecnica Cuntica, un operador A se dice que es el generadorde unas transformaciones de simetra si conmuta con el Hamiltoniano del sistema. Esto est

relacionado con el hecho de que la ecuacin de evolucin para A sea dAdt

= [A,H] y, por tanto,

[A,H] = 0 implica A constante del movimiento (si A no depende explcitamente del tiempo).25

Ejercicio. No hay ms que repetir el razonamiento de (33).


resulta claro que el espacio vectorial sobre C generado por {H,Q,Q} tiene laestructura de una superlgebra de Lie:

[Q, Q]+ =r,s

[Qrs, Qrs]+ = H

[H,H]_ = 0 (39)

[Q,H]_ = 0

[Q,H]_ = 0

(en la primera ecuacin se ha utilizado (37) para eliminar la contribucin de los

trminos cruzados). Para verlo an ms explcitamente, declaramos que el grado de

cada operador viene dado por

|H| = 0|Q| = 1 = Q ,y agrupamos los conmutadores [., .]_,[., .]+ en uno solo [[., .]], de manera que [[., .]]sobre dos elementos impares acta como [., .]+ y coincide con [., .]_ cuando hay unelemento par. Si F,G {H,Q,Q} podemos poner, entonces,

[[F,G]] = F G (1)FGG F,como en (28), y las ecuaciones (39) se resumen entonces en la llamada superlgebra

de Heisenberg :

[[Q, Q]] = H

[[Q,H]] = 0 = [[Q,H]]. (40)

Fijmonos, por otra parte, en que la ecuacin (35) puede interpretarse fsica-

mente como la suma del Hamiltoniano de un oscilador armnico bosnico y otro

oscilador ferminico, sin interaccin entre ellos. Lo que es importante en este pun-

to, es que la existencia de supersimetras se mantiene incluso cuando se introduce

una interaccin. Ciertamente, podramos generalizar las deniciones de Qrs, Qrs yponer

Qrs = Br

(ar, ar

)bs

Qrs = Br(ar, ar

)bs,

donde B,B son funciones arbitrarias26 de los operadores bosnicos ar, ar. De-niendo entonces Q,Q y H como antes (vase (38)), las propiedades (39) se siguencumpliendo, y se sigue teniendo una estructura supersimtrica. Sin embargo, no

seguiremos este camino. En la prxima seccin veremos otra descripcin, ms cer-

cana al formalismo de las superlgebras de Lie, en la que partiremos directamente

de la ecuacin de Schrdinger incluyendo el potencial de interaccin para llegar a la

superlgebra (40). Como se ver en la ltima seccin, esta nueva descripcin resulta

mucho ms til por lo que respecta a las aplicaciones.

26

Observemos que si Qrs es el adjunto de Qrs, esto implica que Br debe ser el adjunto de Br.La arbitrariedad se entiende salvo este hecho.

32 JOS A. VALLEJO

13. Realizacin explcita de la superlgebra de Heisenberg

En esta seccin, vamos a realizar la superlgebra {H,Q,Q} como sublgebra delos endomorsmos de un cierto superespacio vectorial. Este espacio no es otro que

el producto tensorial de las funciones de cuadrado integrable con el la suma directa

de dos copias del plano complejo, donde a la primera copia se le asigna paridad 0y a la segunda paridad 1.Consideraremos un sistema con bosones y fermiones de spin

12 y supondremos

que la evolucin del sistema est determinada, de acuerdo con lo expuesto en la

seccin 5, por una ecuacin de Schrdinger que incluye un potencial de interaccin

entre las partculas V . El espacio de las funciones de onda27 ser H = L2(R)C1|1.Ahora, H adquiere una estructura de Csuperespacio vectorial asignndole alfactor L2(R) la gradacin (par) trivial, de modo que utilizando la distributividaddel producto tensorial sobre la suma directa de espacios vectoriales se tiene la

descomposicin

H = H0 H1 = (L2(R) C) (L2(R)C).Veamos con un poco ms de detalle la estructura de H = H0 H1. Dada unafuncin de onda (x) L2(R) y un elemento

z = z0 z1 =(z0z1

) C1|1,

el producto tensorial (x) z puede representarse matricialmente mediante

(x) z =((x) z0(x) z1

)=((x) z0

0

)(

0(x) z1

),

esto es,

(x) z = ((x) z0) ((x) z1).Supongamos ahora que tenemos el Hamiltoniano clsico

H = 12d2

dx2+ V (x)

donde, por simplicidad, omitimos el factor constante

~2m que es inesencial para

nuestra discusin. El lector puede, como ejercicio, restaurar este factor en cada

una de las expresiones que siguen (en trminos fsicos, estamos utilizando unidades

naturales, ~ = 1, y hemos rescalado la unidad de masa para que m = 1). Ntese quedenominamos este Hamiltoniano con H y no simplemente H, el motivo es que ms

adelante construiremos el superhamiltoniano H a partir de H. Queremos hallar unarealizacin del superlgebra de Heisenberg [[Q, Q]] = H en trminos de operadorespertenecientes a los endomorsmos homogneos de algn superespacio vectorial. El

candidato natural es el superespacio H = H0 H1 que acabamos de introducir;por otra parte, en la superlgebra de Heisenberg H debe tener grado |H| = 0y los elementos de EndGC (H) tienen la forma T f , donde T EndC(L2(R)) y

27

Los bosones tambin se describen mediante funciones de onda de H pero slo con aquellaspertenecientes al subespacio L2(R)

fi10

fl.


f EndGC (C1|1), de modo que se pueden representar como

T f =(f00 T 0

0 f11 T)

si f End0C(C1|1)

T f =(

0 f01 Tf10 T 0

)si f End1C(C1|1)

. (41)

Como acabamos de decir, H debe pertenecer al primer tipo, mientras que los ope-radores Q y Q deben pertenecer al segundo. Por tanto, H debe tener el aspecto

H =(H0 00 H1

)= H0 +H1 ,

mientras que Q y Q deben ser de la forma

Q =(

0 Q1Q2 0

)= Q1 +Q2

Q =(

0 Q1Q2 0

)= Q1 +Q2

.

La idea central de Witten en [Wit 81] consiste en tomar la forma ms sencilla posible

para estos operadores (o supercargas, en la terminologa fsica). Concretamente,

tomaremos

Q =(

0 0A 0

)= A

Q =(

0 A

0 0

)= A

, (42)

donde A,A EndC(L2(R)) son operadores que habr que determinar. Para ello,veamos qu condiciones imponen las ecuaciones a las que queremos llegar. De

[[Q, Q]] = H, resulta:(H0 00 H1

)= H = [[Q, Q]] = Q Q+Q Q =

(AA 00 AA

). (43)

Vemos entonces que todo resulta sencillo si se cumplen dos condiciones:

1. Tomamos como componente H0 del superhamiltoniano H el propio opera-dor clsico:

H0 = H = 12d2

dx2+ V (x). (44)

2. Se puede encontrar una descomposicin de H en la forma AA. En ese caso,tambin conoceremos H1 = AA.El problema de encontrar unos operadores A,A tales que H = AA es, bsica-mente, el de hallar una raz cuadrada del Hamiltoniano clsico H. Esto se puederesolver mediante el procedimiento de completar cuadrados: partimos de (44); si

V pudiera expresarse como

V = 12dW

dx+W 2, (45)

tendramos

H = 12d2

dx2 1

2dW

dx+W 2

34 JOS A. VALLEJO

y esto, entendiendo el producto de operadores como su composicin, no es otra cosa

que

H =( 1

2d

dx+W

)(

12d

dx+W

).

Por tanto, conseguiremos tener H = AA si tomamos

A = 12ddx +W

A = 12ddx +W

siendo W una solucin a la ecuacin (45). A W se le denomina en Fsica el super-potencial.

Volviendo ahora a las ecuaciones (42) y (43), es fcil darse cuenta

28

de que

deniendo los operadores H,Q, Q EndGC (H) comoH = AA +AA

= ( 12 d2

dx2 12 dWdx +W 2) + ( 12 d2

dx2 +12dWdx +W

2)

Q = A = ( 12ddx +W )

Q = A = ( 12ddx +W )

,

o bien, en trminos matriciales,

H =(AA 00 AA

)=

( 12 d

2

dx2 12 dWdx +W 2 00 12 d

2

dx2 +12dWdx +W

2

)

Q =(

0 012ddx +W 0

)

Q =(

0 12ddx +W

0 0

)(46)

se cumple que

[[Q,H]] = 0 = [[H,Q]]

[[Q, Q]] = H,

esto es: se tiene una realizacin explcita del superlgebra de Heisenberg

H,Q, Q

como sublgebra de EndGC (H).Finalizaremos esta seccin con unas observaciones acerca de otras convenciones

que pueden encontrarse en la literatura sobre SUSY QM. En Fsica, adems de la

base B de EndGC (C1|1) que denimos en la seccin precedente, tambin es comnutilizar esta otra:

B ={0 =

(1 00 0

), + =

(0 10 0

), =

(0 01 0

), 3 =

(1 00 1

)}.

28

Se deja como ejercicio para el lector comprobar que AA = 12d2

dx2+ 1

2dWdx

+W 2.


Los elementos de esta base, tienen las siguientes propiedades (que son las que hacen

que sean de inters fsico):

+ + + = [+, ]+ = I =(

1 00 1

)

+ + = [+, ]_ = 3 =(

1 00 1

) .sta es la base que utiliz Witten en [Wit 81]. De hecho, l escribi el superhamil-

toniano H (omitiendo de nuevo el factor ~m ) como

H =12p2 +W 2(x) 1

23W

(x),

donde el apstrofe denota derivacin. Segn lo que hemos visto, esto debe enten-

derse como

H = (12p2 +W 2(x))

(1 00 1

) 1

2W (x)

(1 00 1

)

=

(12p

2 +W 2(x) 12W (x) 0

0 12p2 +W 2(x) + 1

2W (x)

) .

Como p = i

susyqm vallejo

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