SOLUCIONARIO EXAMEN SUSTITUTORIOMATEMATICA III

MOLEROS INGUNZA CRISTINA NICOLE

July 23, 2016

Problema 1:Demuestre usando la notacion de indices la siguiente identidad.(

V · ∇)

V =∇

2

(V cot V

)+

(∇ × V

)× V

Solucion

∇ · (F ·G) = δi(F jG j) = F jδiG j + G jδi + F j

FiδiG j − F jδiGi + F jδ j + G jδiF j −G jδ jFi + G jδ jFi

δikδ jlF jδkGi − δilδ jkF jδkGi + F jδ jGi + δikδ jlG jδkFi − δilδ jkG jδkFi + G jδ jFi

= εmi jεmklF jδkGi + F jδ jGi + εmi jεmklG jδkF1 + G jδ jFi

= εmi jF j(∇ ×G)m + (F · ∇) + εmi jG j(∇ × F)m + (G · ∇)F

= εi jmF j(∇ ×G)m + (F · ∇) + εi jmG j(∇ × F)m + (G · ∇)F

= F × (∇ ×G) + G × (∇ × F) + (F · ∇)G + (G · ∇)F

F = G = ~V

∇(~V · ~V) = 2~V × (∇ × ~V) + 2(~V · ∇)~V

∇(~V · ~V) = −2(∇ × ~V) × ~V + 2(~V · ∇)~V

∇

2

(V cot V

)+

(∇ × V

)× V =

(V · ∇

)V

1

Problema 2:

Use el teorema de STOKES para calcular la integral de linea∫ζ(y2 − z2)dx + (z2 −

x2)dy + (x2 − y2)dz, siendo ζ la curva de interseccion de la superficie del hexaedro0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ a ; 0 ≤ z ≤ a y el plano x+y+z = 3a

2 , recorrido en sentido positivo.

Solucion

∫ζ

F.dr =

"s(∇xF).ds

F = [(y2 − z2); (z2 − x2); (x2 − y2)]

~∇ × ~F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

x2 − z2 z2 − x2 x2 − y2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = [(−2y − 2z); (−2x − 2z); (−2x − 2y)]

~r1 = (0;a2

;−a2

)

~r2 = (a2

; 0;−a2

)

2

~r1x~r2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣i j k0 a/2 -a/2

a/2 0 -a/2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−a2

4;−

a2

4;−

a2

4) = −

a2

4(1; 1; 1)

"D

4(x + y + z)dA = −4(3a2

)3(a2

8) =

9a3

4

Problema 3:

Use el teorema de Green para hallar el area de un lazo de la rosa de cuatro hojasr = 3 sin 2θ

Solucion:

−→

∫ζ

(Pdx + Qdy) =

"D

(∂Q∂x−∂P∂y

)dA −→ P = 0; Q = 0

A =

∫ζ

xdy −→ x = 3 sin 2θ cos θ

x = 3 sin 2θ sin θ

dy = (6 cos(2θ) sin (θ) + 3 sin(2θ) cos (θ))dθ

A =

∫ π2

0(3 sin 2θ cos θ)(6 cos(2θ) sin (θ) + 3 sin(2θ) cos (θ))dθ

3

A =

∫ π2

0

[9 sin2 2θ cos 2θ +

92

sin2 2θ(cos 2θ + 1)]

=9π8

Problema 4:

Evalue la integral de superficie!

S (∇ × F) · ¯dS , siendo S la superficie

x2 + y2 + z2 = 16 , x ≥ 0

F = (x2 + y − 4; 3xy; 2xz + z2)

Solucion:

~∇ × ~F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

x2 + y − 4 3xy 2xz + z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0,−2z, 3y − 1)

→ ~r = (x, y,√

16 − x2 − y2)

~rx = (1, 0,−x√

16 − x2 − y2)

4

~ry = (0, 1,−y√

16 − x2 − y2)

~rx × ~ry =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k1 0 −x√

16−x2−y2

0 1 −y√

16−x2−y2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (x√

16 − x2 − y2,

y√16 − x2 − y2

, 1)

→

"D

(−2y + 3y + 1)dA =

"D

(y − 1)dA

=

∫ π

0

∫ 4

0(r sin (θ) + 1)rdrdθ =

1283− 8π

Problema 5:

Una masa M en el origen R3 ejerce una fuerza sobre una masa m localizada enr = (x, y, z) con magnitud GmM

r2 y dirigida hacia el origen . Aqui G es la constantegravitacional, que depende de las unidades de medicion y r = ||r|| =

√x2 + y2 + z2.

Si recordemos que −rr es un vector unitario dirigido hacia hacia el origen , entonces

podemos escribir el campo de fuerzas como F(x, y, z) = −GmMrr3 .Demuestre que F es

irrotacional y hallar un potencial escalar para F.

Solucion:

F =−GmMr

r3

∇ × F = −GmM∇ ×rr3

∇ × F = −GmM∇ × rr−3

Sabemos

∇ × (aA) = a∇ × A − A × ∇U

= r3∇ × r − r × ∇r−3

= −r × (−3r−5r)

5

= r × r

∇ × F = 0

Problema 6:

Calcule el area de la superficie x2 − y2 = 1, donde x ≥ 0 , −1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

Solucion:

−→ A =

"S

dS =

"D

√(∂x∂

)2 + (∂x∂x

)2 + (∂x∂z

)2dA

"D

√(

y2

y2 + 1) + 1dydz

A =

∫−

11∫ 1

0

√(2y2 + 1y2 + 1

)dydz

= 2∫ 1

0

√(2y2 + 1y2 + 1

)dy = 2.1993

6

Problema 7:

Determine en caso exista

lim(x,y,z)→ (1,1,1)

x + y + z − 32x + y + z − 4

Solucion

Para y = 1 ; z = 1

limx→ 1

x − 12x − 2

=12

Para x = 1lim

(y;z)→ (1;1)

y + z − 2y + z − 2

= 1

∴ Dado que ambos resultados son diferentes, concluimos que el limite no existe.

Problema 8:

Determine, en caso que exista, una funcion armonica de la forma siguiente

u = φ(x2 + y2)

Solucion

u = φ(x2 + y2)

u = φ(t)→ t(x;y) = x2 + y2

∂u∂x

=∂u∂t.∂t∂x

∂2u∂x2 =

∂u∂t.2x

∂2u∂x2 =

∂2u∂t2 .4x2 +

∂u∂t.2

∂u∂y

=∂u∂t.∂t∂y

=∂u∂t.2y

∂2u∂y2 =

∂2u∂t2 .4y2 +

∂u∂t.2

7

0 = 4(x2 + y2)(d2udt2 ) + 4

dudt

0 = t(d2udt2 ) +

dudt

u′ = −t.ddt

(u′)

−dtt

=d(u′)

u′→ u′ =

C1

tu = C1ln|t| + C2

u = C1ln(x2 + y2) + C2

Problema 9:

Evalue la siguiente integral∫γ

iXidXi, donde γ : Xi = 1 , i =1,...,5.

Solucion

∫γ

iXidXi =

n=5∑i=1

iXidXi =

n=5∑i=1

iXi∆Xi∫1X1dX1 +

∫2X2dX2 +

∫3X3dX3 +

∫4X4dX4 +

∫5X5dX5

Xi = 1

X1 = X2 = X3 = X4 = X5 = 1

1.X2

1

2+ 2.

X22

2+ 3.

X23

2+ 4.

X24

2+ 5.

X25

212

(1 + 2 + 3 + 4 + 5) =152

Problema 10:

En una superficie esferica cuyo radio mide a se inscribe un cilindro circular recto.Calcule las dimensiones del cilindro de area total maxima.

8

Solucion

f (r; h; λ) = AT + λ f1

AT = 2πr2 + 4πrh

f1 = h2 + r2 − a2 = 0

fr(r; h; λ) = 4πr + 4πh + 2rλ = 0.......(I)

fh(r; h; λ) = 4πr + 2hλ.......(II)

λ =−(4πr + 4πh)

2r=−(4πr)

2h

r2 − hr − h2 = 0

r =h(√

5 + 1)2

Sir2 + h2 = a2

(h(√

5 + 1)2

)2 + h2 = a2

h = a

√2

5 +√

5

r = a

√2

5 −√

5

9