suma de funciones
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Funciones : Definición y características
Unidad 1Funciones y sus gráficas
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1. El costo de producir cualquier artículo está en función del número de artículos producidos.
Para entender el concepto de función consideremos algunos casos:
2. El interés ganado al invertir un dinero depende del tiempo transcurrido.
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Una función f es una regla que asigna a cada número real de entrada x un único número real de salida, llamado f(x).
nombre dela función f
entrada
f ( x )salida
Al principio uno puede confundir las notaciones f y f(x). Téngase en cuenta que x es el elemento de entrada, f se usa para representar la función, sin embargo, f(x) es un elemento salida de la función.
Importante!!!
4
x2 + y2 = 4
Prueba de la recta vertical
y = x2
-1
1
3
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
Una curva en el plano xy es la gráfica de una función en la variable x, si ninguna recta vertical corta a la curva más de una vez.
Es función No es función
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La grafica de f también nos permite tener una imagen del dominio y del rango de f sobre el eje X y el eje Y respectivamente.
x
y
y = f (x)
0dominio
rango
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Es útil comparar la función con una máquina en la cual para cada x que ingresa, la máquina produce la salida f(x).
fentrada salida
x f(x)
y = f(x) se lee “y es igual a f de x” o “el valor de f en x”, llamada regla de correspondencia de una función.
Aquí, x es la variable independiente y y es la variable dependiente.
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Funciones polinomialesUna función polinomial de grado n, es una función cuya regla de correspondencia está dada por un polinomio de grado n.Por ejemplo:
f(x) = 3x –2g(x) = 3x2 +4x – 6 h(x) = 5x3 - 2x + 4i(x) = 2x4 + 5x3 + x - 3
-4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16
2
4
6
8
10
12
x
y
Una función cuadrática es de la forma:
0;)( 2 acxbaxxf
Su gráfica es una parábola con eje vertical cuya forma dependerá de los valores de a, b y c.
Función cuadrática
116)( 2 xxxf
Gráfica de una función cuadráticaHay dos formas prácticas para graficar una función cuadrática (una parábola):
1. Determinando el vértice (h; k), un punto de paso y apoyándonos en el hecho de que una parábola es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por su vértice.
2. Por transformaciones: para esto es necesario primero completar cuadrados para obtener la forma estándar.
khxxfy 2)()(
Determinando el vérticeSe puede determinar el vértice ( h ; k ) de la parábola de la función cuadrática: f (x) = ax² + bx + c, a 0, usando la siguiente fórmula:
)(2hfka
bh
Y se grafica ubicando el vértice, las intersecciones con los ejes y un punto de paso.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
(h, k)
a > 0
h = Valor de x que genera el valor extremo
k = Valor mínimo de f
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
(h, k)
a < 0
h = Valor de x que genera el valor extremo
k = Valor máximo de f
El Sr. López es dueño de una pastelería y contrató a un consultor que le dice que sus ganancias P(q) por la venta de “q” pasteles están dadas por:
P(q)= 120q – q2
¿Cuántos pasteles debe vender para maximizar las ganancias?
P(q)= – q2 +120q +0,
En este caso tenemos que la parábola se abre hacia abajo pues:
360060)60(120)(
602
1202
2
hfk
ab
h
01a
a < 0
h = Valor de x que genera el valor extremo
k = Valor máximo de f-7-6-5-4-3-2-11234567-6-5-4-3-2-112345678xy(h, k)
OPERACIONES CON FUNCIONESDadas dos funciones de variable real: f(x) y g(x), pueden realizarse con ellas las siguientes operaciones:
Adición: f(x) + g(x)
Sustracción: f(x) – g(x)
Multiplicación: f(x).g(x)
División: f(x) / g(x)
OBSERVACIÓN: La operación entre dos funciones sólo puede realizarse en un dominio común a ambas. Es decir, las funciones: f + g, f – g, f . g y f / g se encuentran definidas en Domf ∩ Domg.
Importante!!! además de considerar la
intersección de dominios, en la división de funciones se debe tener
en cuenta que g(x) ≠ 0
Sumemos estas expresiones:
2x –1 3f (x) = g (x)=
= 2x + 2h(x) )()( xgxf
))(( xgf 2x +2
1086420-2-4-6-8
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8
6
4
2
0
-2
-4
-6
f (x) = 2x –1 g (x) = 3
h(x) = 2x + 2
Ahora sumemos estos gráficos:
Este es el par: (-1; -3)
Este es el par: (-1; 3)
Resulta: (-1; 0)
Este es el par: (0; 3)
Este es el par: (0; -1)
SUMAMOS
Resulta: (0; 2)
SUMAMOS
Este es el par: (1; 3)
Este es el par: (1; 1)
Resulta: (1; 4)
SUMAMOS
(f +g)(x) = 2x + 2
19
(– 4; 0)
(– 4; 5)
f
g
Determinaremos: f + g
f + g
EJEMPLO 2:
20151050-5-10-15
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
20151050-5-10-15
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
A partir de los gráficos de f y g determine el gráfico de g – f.
D O M N I O E N C O M Ú N
fg
EJEMPLO 3:
Sean las funciones: 42;1)(
24;33)(2
xxxg
xxxf
g – f
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Ejemplo 1:
Dibuje la gráfica de f(x)= x3-x2-6x
Solución:
Determinando la forma factorizada de f y encontrando las intersecciones con el eje X:
f(x) = x(x+2)(x-3)
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Paso 1:Intersecciones con eje X:x(x+2)(x-3) = 0 x = -2; 0; 3Signo de la función en cada intervalo:
Intervalo N° de prueba Valor de f(x) Signo de f(x)
x<-2
-2<x<0
0<x<3
3<x
-3
-1
1
4
-18
4
-6
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Negativo
Positivo
Negativo
Positivo
Intersecciones con eje y: x = 0 y = 0
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-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
y
Paso 2:
Tabulación
x f(x)
-3 -18
-1 4
1 -6
2 -8
4 24
Paso 3:
Graficar:
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AplicaciónLa función polinomial definida por:
A (x) = -0,015x3 + 1,058x;
Da la concentración aproximada de alcohol (en décimos de porcentaje) en la sangre de una persona promedio, x horas después de tomar cerca de 8 onzas de whisky grado 100.
La función es aproximadamente válida para 0 x 8.1. Dibuje la gráfica de A(x).
2. Estime el tiempo de máxima concentración de alcohol.
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Solución:
Determinando la forma factorizada de A(x):
A(x) = -0.015x (x - 8,40)(x+ 8,40)
Intersecciones con eje X: -8,40; 0; 8,40
Signo de la función en cada intervalo:
IntervaloNúmero de
pruebaValor de
f(x)Signo de
f(x)
x<-8,40
-8,40 <x<0
0<x<8,40
8,40<x
-10
-4
4
10
4,420
-3,272
3,2736
-4,420
Positivo
Negativo
Positivo
Negativo
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Intersecciones con eje Y:
x = 0 y = 0
Tiempo de máxima concentración: entre 4 y 5 horas