suce siones

Sucesiones

1. Dada la sucesión�sin n�2

la suma de los primeros 5 términos es:

a) �1 b) 1 c) �2 d) 2

Solución.

Para n = 1, se tiene: sin �2 = 1Para n = 2, se tiene: sin� = 0Para n = 3, se tiene: sin 3�2 = �1Para n = 4, se tiene: sin 2� = 0Para n = 5, se tiene: sin 5�2 = 1

La suma de estos términos es: 1 + 0� 1 + 0 + 1 = 1

R: b)

2. El valor de la suma de los múltiplos de 8 entre 7 y 792 es:

a) 19; 600 b) 29; 600 c) 39; 600 d) 49; 600

Solución.

La sucesión presentada es aritmética, ya que la diferencia común (d) es 8:Se tiene: a1 = 8 y an = 792. Encontrando el valor de n, con la expresión deln-ésimo término de una sucesión aritmética:

an = a1 + (n� 1)d792 = 8 + (n� 1)8

792� 88

= n� 198 = n� 1n = 99

Utilizamos la expresión para encontrar la n-ésisma suma parcia Sn :

Sn =n

2(a1 + an)

S99 =99

2(8 + 792)

S99 =99

2(800)

S99 = 39600

R: c)

1

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov"[email protected]@[email protected]


3. El término n-ésimo de la sucesión in�nta de�nida recurrentemente por

x1 = 3; xk+1 = 2xk parak � 1

es:a) 3(4n) b) 2n c) 3( 12 )

n d) 3(2n)

Solución.

Con los datos dados se tiene: k = 1; 2; 3; 4; :::; nEntonces:

x1 = 3

x2 = 2(3) = 6 = 3(2)

x3 = 2(6) = 12 = 3(4) = 3(2)2

x4 = 2(12) = 24 = 3(8) = 3(2)3

De lo anterior puede verse que: Xn = 3(2)n

R: d)

4. La sucesión de Fibonnaci se de�ne recurrentemente por

ak+1 = ak + ak�1 ; 8k � 2

a1 = a2 = 1

La diferencia entre el séptimo y el tercer término es:a) 7 b) 9 c) 10 d) 11

Solución.

Los datos dados son:

ak+1 = ak + ak�1 ; 8k � 2 ^ a1 = a2 = 1

Entonces:a1 = a2 = 1

a3 = a2+1 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2

2



a4 = a3+1 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3

a5 = a4+1 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5

a6 = a5+1 = a5 + a4 = 5 + 3 = 8

a7 = a6+1 = a6 + a5 = 8 + 5 = 13

Así:a7 � a3 = 13� 2 = 11:

R: d)

5. Si fang es una sucesión aritmética, a3 = 24 y a10 = 66, su primer términoes:

a) 12 b) 17 c) 22 d) 27

Solución.

Utilizando la expresión del n-ésimo término de una sucesión aritmética:

an = a1 + (n� 1)d

a10 = 66

66 = a1 + (10� 1)d66 = a1 + 9d (�)

a3 = 24

24 = a1 + (3� 1)d24 = a1 + 2d (��)

Eliminando d de (�) y (��) nos queda:

�84 = �7a1a1 =

�84�7 ! a1 = 12:

R: a)

3



6. Encuentre la solución a la ecuación 2 + 5 + 8 + :::+ x = 155

a) 28 b) 30 c) 29 d) 27

Solución.

Según 2+ 5+8+ :::+ x = 155. Puede verse que: a1 = 2, an = x ^ d = 3Por tanto es una sucesión aritmética. De la expresión para encontrar la n-ésimasuma parcial Sn :

Sn =n

2(a1 + an)

se tiene:155 =

n

2(2 + x)

310 = 2n+ nx (�)

De la expresión del n-ésimo término de una sucesión aritmética:

an = a1 + (n� 1)d

se tiene:x = 2 + (n� 1)3

x = 2 + 3n� 3

1 = 3n� x (��)

Eliminado x de (�) y (��), se tiene: 3n2+n�310 = 0, factorizando la últimaexpresión:

n1;2 =�1�

p1� 4(3)(�310)2(3)

n1;2 =�1�

p3721

6

n1;2 =�1� 616

n1 =�1 + 616

= 10 ^ n2 =�1� 616

= �1013

Tomando el valor positivo n1 = 10:Se tiene:

an = a1 + (n� 1)d

4



x = a1 + (n� 1)d

x = 2 + (10� 1)3

x = 2 + 27

x = 29

R: c)

7. La razón de la sucesión geométrica que se obtiene al insentar 3 términos

entre 5 y 80 es:a) � 16 b) �75 c) � 2 d) 4

Solución.

Al agregar 3 términos desde 5; 80 queda en la quinta posición. Por lo tanton = 5:Utilizando la fórmula del n-ésimo término de una sucesión geométrica:

an = a1rn�1

Se tiene:

an = a1rn�1

80 = 5r5�1

80

5= r4

r = � 4p16

r = �2

R: c)

8. La suma de los 5 primeros términos de una sucesión aritmética de

enteros positivos es un número entre 71 y 79. ¿Cuál es el tercer término?a) 11 b) 15 c) 5 d) 20

Solución.

Usando la expresión para encontrar la n-ésima suma parcial Sn = n2 (a1+an)

Se tiene: S5 = 52 (a1 + a5). Esto nos indica que S5 debe ser múltiplo de 5. Así

que S5 = 75:De lo anterior:

5



75 =5

2(a1 + a5)

150

5= a1 + a5

a1 + a5 = 30

Se sabe que: � d = a5 � a4 (1)d = a4 � a3 (2)

d = a3 � a2 (3)d = a2 � a1 (4)

Eliminando d de (2) y (3); nos queda:

0 = a4 � 2a3 + a2 ! a2 = 2a3 � a4 (�)

Como a1+a2+a3+a4+a5 = 75 y a1+a5 = 30, entonces: a2+a3+a4 = 45:Sustituyendo (�) en esto último, tenemos:

2a3 � a4 + a3 + a4 = 45! 3a3 = 45

a3 = 15

R: b)

9. En una sucesión aritmética con términos a29 = 625 y a9 = 225, entonces

el término a41 es:a) 665 b) 765 c) 865 d) 965

Solución.

Usando al expresión an = a1 + (n� 1)d se tiene:

a29 = a1 + (29� 1)d! 625 = a1 + 28d (1)

a9 = a1 + (9� 1)d! 225 = a1 + 8d (2)

Eliminando a1 de (1) y (2) nos queda: d = 20: Hallando el valor de a1:De(2) se tiene:

225 = a1 + 8(20)

225 = a1 + 160

a1 = 65:

6



Usando al expresión an = a1 + (n� 1)d con a41 se tiene:

a41 = 65 + (41� 1)(20)a41 = 65 + 800

a41 = 865

R: c)

10. El primer término de una sucesión aritmética es 1 y la media aritmética

de sus n primeros téminos es igual a n. ¿Cuál es el trigésimo cuartotérmino?

a) 11 b) 43 c) 111 d) 67

Solución.

Usando al expresión an = a1 + (n� 1)d tenemos:

a1 = 1

a2 = 1 + (2� 1)d! a2 = 1 + d

a3 = 1 + (3� 1)d! a3 = 1 + 2d

Como la suma de los n términos es n, se tiene:

a1 + a2 + a33

= 3

1 + (1 + d) + (1 + 2d)

3= 3

3 + 3d = 9

3d = 6

d = 2

Así que:a34 = 1 + (34� 1)(2)

a34 = 1 + 66

a34 = 67

R: d)

7



11. La suma de los primeros 10 términos y la suma de los primeros cien tér-minos de una sucesión aritmética dada son cien y diez respectivamente.Encuentre la diferencia de dicha sucesión.

a) �11 b) � 1150 c) 11150 d) 50

Solución.

De los datos dados:

a1 + a2 + a3 + :::+ a10 = 100 (�)

a1 + a2 + a3 + :::+ a100 = 10 (��)Usamos la ecuación para la n-ésima suma parcial

Sn =n

2(a1 + an)

En (�), se tiene:100 =

10

2(a1 + a10)

20 = a1 + a10

a10 = 20� a1 (i)

En (��), se tiene:10 =

100

2(a1 + a100)

1

5= a1 + a100

a100 =1

5� a1 (ii)

Usamos la ecuación para el n-ésimo término

an = a1 + (n� 1)d

En (�), se tiene:a10 = a1 + (10� 1)da10 = a1 + 9d (1)

En (��), se tiene:a100 = a1 + (100� 1)da100 = a1 + 99d (2)

8



Eliminando a1 de (1) y (2), tenemos:

a100 � a10 = 90d (3)

Sustituyendo (i) y (ii) en (3), tenemos:

(1

5� a1)� (20� a1) = 90d

1

5� 20 = 90d

d = �1150

R: b)

12. En una sucesión aritmética dada, el primer término es 2, el último términoes 29 y la suma de todos los términos es 155. La diferencia común es:

a) �5 b) �3 c) 5 d) 3

Solución.

Con la ecuación para la n-ésima suma parcial Sn = n2 (a1+an), encontramos

n:

Sn =n

2(a1 + an)

155 =n

2(2 + 29)

310 = n(31)

n = 10

Usamos la ecuación para el n-ésimo término

an = a1 + (n� 1)d:

an = a1 + (n� 1)d29 = 2 + (10� 1)d

27 = 9d

d = 3:

R: d)

9



13. ¿Cuántos términos de la sucesión �11;�4; 3; 10; ::: hay que tomar para quesu suma sea 570?

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17

solución.

Hallando d, de la sucesión:

�4� (�11) = �4 + 11 = 7

3� (�4) = 3 + 4 = 7

Así,d = 7:

Lo que muestra es una sucesión aritmética. Como Sn = 570, entonces:

570 =n

2((�11) + an)

1140 = �11n+ nan (�)

Usando an = a1 + (n� 1)d, se tiene:

an = �11 + (n� 1)(7)

an = 7n� 18(��)

Sustituyendo (��) en (�), se tiene:

1140 = �11n+ n(7n� 18)

1140 = �11n+ 7n2 � 18n:

7n2 � 29n� 1140 = 0

Resolviendo con la fórmula cuadrática: a = 7; b = �29 y c =�1140

n1;2 =�(�29)�

p(�29)2 � 4(7)(�1140)2(7)

n1;2 =29�

p32761

14

n1 =29� 18114

10



n1 =29 + 181

14= 15 ^ n2 =

29� 18114

= �10:85:::

Tomamos el valor positivo n1 = 15:R: c)

14. El término general de la sucesión geométrica dada por 13 ; 1; 3; 9; ::: es:

a) 3n�1 b) 3n�2 c) 3n�3 d) 3n�4

Solución.

Encontrar el valor de la razón:

r = 1� 13= 3; r = 3� 1 = 3; r = 9� 3 = 3:

Utilizando la fórmula del n-ésimo término de una sucesión geométrica:

an = a1rn�1

an = a1rn�1

an =1

33n�1

an = 3�13n�1

an = 3n�2

R: b)

11



15. En una suscesión geométrica de números reales, la suma de los primerosdos términos es siete y la suma de los primeros seis es noventa y uno. Lasuma de los primeros cuatro términos es:

a) 48 b) 18 c) 38 d) 28

Solución.

De los datos dados:a1 + a2 = 7

a1 = 7� a2:

Utilizando la expresión para la n-ésima suma parcial Sn de la sucesión ge-ométrica:

Sn = a11� rn1� r

7 = a11� r21� r

7(1� r) = a1(1� r2)

1� r =a1(1� r2)

7(�)

91 = a11� r61� r

91(1� r) = a1(1� r6) (��)

Sustituyendo (�) en (��), tenemos:

91(a1(1� r2)

7) = a1(1� r6)

13(1� r2) = (1� r6)

13� 13r2 = 1� r6

r6 � 13r2 + 12 = 0

Haciendo u = r2, tenemos:

u3 � 13u+ 12 = 0:

12



u3 � 13u+ 12 = 0

(u2 + u� 12)(u� 1) = 0

Factorizando

(u+ 4)(u� 3)(u� 1) = 0

u+ 4 = 0; u� 3 = 0; u� 1 = 0

u = �4; u = 3; u = 1

r2 = �4; r2 = 3; r2 = 1

Sustituyendo

r = �p�4 r = �

p3 r = �

p1 = �1

Probando con r = �p3 en 7 = a1 1�r

2

1�r ; tenemos:

7 = a11� (

p3)2

1�p3

a1 =7(1�

p3)

�2

Calculamos S4:

S4 =

"7(1�

p3)

�2

#"1� (

p3)4

1�p3

#

S4 = �7

2(1� 9)

S4 = �7

2(�8)

S4 = 28:

R: d)

16. El producto de los veinte primeros términos de la sucesión geométrica

116 ;

18 ;

14 ; :::

es:a) 215 b) 2110 c) 211 d) 2210

13



Solución.

Observamos la forma de todos los términos:

a1 = a1r1�1 = a1r

0

a2 = a1r2�1 = a1r

1

Concluimos que el producto es:

(a1r0)(a1r

1)(a1r2):::(a1r

19)

Entonces:

(a1r0)(a1r

1)(a1r2):::(a1r

19) = (a1)20r190

= (2�4)20(2)190

= (2�80)(2)190

Suma de los números del 1 al 19

2110

n(n+ 1)

2=(19)(20)

2= 190

R: d)

17. Los lados de un triángulo rectángulo están en sucesión aritmética de difer-encia 3. ¿Cuáles son esos lados?

a) 9; 12; 15 b) 6; 9; 12 c) 12; 15; 18 d) 3; 6; 9

Solución.

De la �gura puede plantearse que:

a23 = a21 + a

22 (�)

14



Usamos la ecuación an = a1 + (n� 1)d, con d = 3:

a2 = a1 + (2� 1)(3)

a2 = a1 + 3

a3 = a1 + (3� 1)(3)

a3 = a1 + 6

Sustituyendo a2 y a3 en (�), se tiene:

(a1 + 6)2 = a21 + (a1 + 3)

2

a21 + 12a1 + 36 = a21 + a21 + 6a1 + 9

a21 � 6a1 � 27 = 0

Resolviendo usando la fórmula cuadrática con: a = 1 b = �6 c =�27

a1;2 =�(�6)�

p(�6)2 � 4(1)(�27)(2)(1)

a1;2 =6�

p144

2

a1;2 =6� 122

a1 =6 + 12

2= 9

a1 =6� 122

= �3

Tomamos el valor positivo, así: a1 = 9; a2 = 12; a3 = 15:R: a)

15



18. La suma de tres números en sucesión aritmética es 33 y su producto 1287.Halla estos números.

a) 8; 10; 15 b) 7; 12; 14 c) 10; 11; 12 d) 9; 11; 13

Solución.

Según los datos: a1 + a2 + a3 = 33 (�) ^ (a1)(a2)(a3) = 1287(��)Se sabe que:

a2 = a1 + d ^ a3 = a2 + d

a3 = (a1 + d) + d

a3 = a1 + 2d

Sustituyendo los valores de a2 y a3 en (�), se tiene:

a1 + a1 + d+ a1 + 2d = 33

3a1 + 3d = 33

a1 + d = 11

a1 = 11� dDe esto último:

a2 = 11� d+ d = 11 ^ a3 = 11� d+ 2d = 11 + d

Sustituyendo los valores encontrados en (��), se tiene:

(11� d)(11)(11 + d) = 1287(112 � d2)(11) = 12871331� 11d2 = 1287

�11d2 = �44

d2 =�44�11 = 4

d = �p4

d = �2:

Tomando el valor positivo: d = 2: Se tiene: a1 = 9; a2 = 11; a3 =13:R: d)

16



19. La suma de n números naturales consecutivos tomados a partir de 11 es1715. ¿Cuántos términos hemos sumado?

a) 41 b) 49 c) 51 d) 53

Solución.

Según los datos: 11 + 12 + 13 + ::: + n = 1715: Utilizando la expresiónSn = n

2 (a1 + an), se tiene:

1715 =n

2(11 + an)

3430 = 11n+ nan (�)

Encontrando an con la expresión an = a1 + (n� 1)d; se tiene:

an = 11 + (n� 1)(1);

ya que d = 1:

an = n+ 10 (��)

Sustituyendo (��) en (�), se tiene:

3430 = 11n+ n(n+ 10)

3430 = 21n+ n2

n2 + 21n� 3430 = 0

(n+ 70)(n� 49) = 0

n+ 70 = 0 ^ n� 49 = 0

n = �70 _ n = 49

Tomamos el valor positivo: n = 49R: b)

17



20. Halla los ángulos de un triángulo sabiendo que están en sucesión aritmética.

a) 60 b) 180�3d c) 60�d d) 120�d

Solución.

Se sabe que: a2 = a1 + d;a3 = a2 + d

a3 = (a1 + d) + d = a1 + 2d

Si están en sucesión artimética, entonces:

a1 + a2 + a3 = 180o

Sustituyendo sus valores:

a1 + a1 + d+ a1 + 2d = 180o

3a1 + 3d = 180o

a1 + d = 60

a1 = 60� d

R: c)

21. Las edades de cuatro hermanos forman una sucesión aritmética, y su sumaes 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Hallar las edades delos cuatro hermanos.

a) 4; 6; 10; 12 b) 6; 7; 8; 11 c) 5; 6; 7; 14 d) 5; 7; 9; 11

Solución.

Según los datos: a1 + a2 + a3 + a4 = 32, además: a4 = a1 + 6: Utilizando laexpresión Sn = n

2 (a1 + an), se tiene:

32 =4

2(a1 + a1 + 6)

32 = 4a1 + 12

20

4= a1

a1 = 5

Utilizamos la expresión an = a1 + (n� 1)d, para hallar d.

18



11 = 5 + 3d! d =6

3= 2

Así:a1 = 5; a2 = 7; a3 = 9; a4 = 11

R: d)

22. Hallar los valores de x para que x � 1; x + 1; 2(x + 1) estén en sucesióngeométrica.

a)�1; 3 b) 1; 3 c)�1;�3 d) 1;�3

Solución.

De los datos dados: a1 = x� 1; a2 = x+1; a3 = 2(x+1): Se puedever que:

r =a3a2=2(x+ 1)

x+ 1= 2

Utilizando la expresión: an = a1rn�1; se tiene:

2(x+ 1) = (x� 1)(2)2

2x+ 2 = 4x� 4

x+ 1 = 2x� 2

x = 3

Utilizando nuevamente la expresión an = a1rn�1; con r = x+1x�1 ; se tiene:

2(x+ 1) = (x� 1)(x+ 1x� 1)

2

2(x+ 1) =(x+ 1)2

x� 12(x2 � 1) = (x+ 1)2

2x2 � 2 = x2 + 2x+ 1

x2 � 2x� 3 = 0! (x� 3)(x+ 1) = 0

x� 3 = 0 _ x+ 1 = 0

19



x = 3 x = �1Que son los valores buscados.R: a)

23. En una sucesión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a512 y que el término décimo es igual a 16. El valor de la razón es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Solución.

Con los datos del dados: a15 = 512; a10 = 16:Utilizando la expresión: an =a1r

n�1; con a10 = 16 se tiene:

16 = a1r9 ! a1 =

16

r9

Utilizando la expresión: an = a1rn�1; con a15 = 512 se tiene:

512 = a1r14

512 =16

r9r14

512 = 16r5

r5 =512

16= 32

r =5p32! r = 2:

R: b)

24. La suma de los ocho primeros términos de una sucesión geométrica es

17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Solución.

Según los datos: a1 + a2 + ::: + a8 = 17(a1 + a2 + a3 + a4): Empleando laexpresión Sn = a1 1�r

n

1�r , sería: S8 = 17S4, es decir:

a11� r81� r = 17a1

1� r41� r

1� r8 = 17(1� r4)

20



(1� r4)(1 + r4) = 17(1� r4)

1 + r4 = 17

r4 = 16

r =4p16! r = 2:

R: b)

25. Calcula el producto de los once primeros términos de una sucesión ge-ométrica sabiendo que el término central vale 2.

a) 28 b) 29 c) 210 d) 211

Solución.

De los datos entonces: a6 = 2: Utilizando la expresión: an = a1rn�1, se

tiene:2 = a1r

5 ! a1 =2

r5

Como11Yn=1

an = a1a2:::a11

= a1(a1r)(a2r2):::(a1r

10)

= a111 r55

r55, ya que n(n+1)2 = 10(10+1)

2 = 55

= (2

r5)11r55

= (211

r55)r55

= 211

R: d)

21



26. La suma de los siete primeros términos de una sucesión geométrica de razón3 es 7651. El séptimo término es:

a) 4� 36 b) 5� 36 c) 6� 36 d) 7� 36

Solución.

Empleando la expresión para la suma

Sn = a11� rn1� r :

Tenemos:

7651 = a11� 371� 3 ! a1 =

(7651)(�2)1� 37

Empleando la expresión: an = a1rn�1, se tiene:

a7 = ((7651)(�2)1� 37 )(36)

a7 = ((7)(1093)(�2)

1� 37 )(36)

a7 = ((7)(1093)(2)

37 � 1 )(36)

a7 = (7(37 � 1)37 � 1 )(36)

a7 = (7)(36):

R: d)

27. Las edades de 5 personas forman una sucesión aritmética. Si la menor deellas nació en 1988, el mayor pudo haber nacido en:

a) 1977 b) 1938 c) 1941 d) 1940

Solución.

Consideramos la sucesión:

a1; a2; a3; a4; a5

donde a5 = 1988 que es el año de nacimiento del menor y a1 representa elaño de nacimiento del mayor.

22



Escribamos entonces:

a5 = a1 + 4d

1988 = a1 + 4d

a1 = 1988� 4d

Tenemos entonces una ecuación con un parámetro que especi�car, d: Comono podemos determinar d directamente, consideramos entonces la eliminiaciónde casos:

d = 1 ! a1 = 1984d = 2 ! a1 = 1980...

......

d = 12 ! a1 = 1940

Por tanto R: d)

28. Se da una sucesión aritmética de números naturales an entre 10 y 100. Alcambiar el orden de los dígitos de todos sus términos se obtiene de nuevouna sucesión aritmética. ¿Cuál es el máximo número de términos quepuede tener la sucesión?

a) 25 b) 40 c) 9 d) 11

Solution 1 Se considera la sucesión con términos 10 � an � 100; esta sucesiónsería:

10; 11; 12; 13; :::; 100

Al invertir los dígitos resulta:

1; 11; 21; 31; :::99

Luego, debemos determinar cuántos términos como máximo tiene esta suce-sión, es decir, n. Consideremos a1 = 11 y d = 10;Nótese que después de invertir el primer bloque de 10 números, el último

término resulta en 91, en el siguiente bloque de 10 números, el primero es 2,luego 91 y 2 no están en sucesión aritmética, así consideramos la sucesión como

a1 = 11

an = 91

d = 10

23



A partir de

an = a1 + (n� 1)d

n� 1 =an � a1d

n =an � a1d

+ 1

n =91� 1110

+ 1

n = 9

Por tanto: R: c)

29. ¿Cuántos términos se han tomado en una sucesión geométrica, sabiendoque el primer término es 7, el último 448 y su suma 889?

a) 7 b) 9 c) 11 d) 13

Solución.

Usando la expresión: an = a1rn�1, se tiene: an = 7rn�1 ! an =

7rn

r !ran = 7r

n(�)Empleando la expresión para la suma:

Sn = a11� rn1� r ! 889 = 7

1� rn1� r

889(1� r) = 7(1� rn)

889� 889r = 7� 7rn

889� 889r = 7� ranSustituyendo (�)

889� 889r = 7� 448r

Ya que an = 448:

889 = 7 + 441r

441r = 882

24



r = 2

De la expresión: ran = 7rn, se tiene:

(2)(448) = 7(2)n ! 896 = 7(2)n

128 = 2n

log 128 = log 2n

log 128 = n log 2

n =log 128

log 2

n = 7

R: a)

30. Tres números están en sucesión geométrica, el segundo es 32 unidades mayorque el primero y el tercero 96 unidades mayor que el segundo. Halla losnúmeros.

a) 12; 46; 142 b) 16; 48; 144 c) 18; 50; 146 d) 20; 52; 148

Solución.

Según los datos: a2 = a1 + 32 y a3 = a2 + 96De la de�nición de la razón, se tiene: a2 = a1r y a3 = a1r

2

Puede verse que: a1 + 32 = a1r (�) También:

a1r2 = a1r + 96! a1r

2 � a1r � 96 = 0

Aplicando la ecuación cuadrática con:

a = a1; b = �a1 y c = �96

Se tiene:

r =�(�a1)�

p(�a1)2 � 4(a1)(�96)2(a1)

! r =a1 �

pa21 + 384a12a1

;

sustituyendo el valor de r (considerando el valor negativo) en (�)

25



se tiene:

a1 + 32 = a1(a1 �

pa21 + 384a12a1

)! 2a1 + 64 = a1 �qa21 + 384a1

a1 + 64 = �qa21 + 384a1

(�a1 � 64) = (qa21 + 384a1)

2

a21 + 128a1 + 4096 = a21 + 384a1

4096 = 384a1 � 128a14096 = 256a1

a1 =4096

256= 16

Así:

a1 = 16; a2 = 16 + 32 = 48; a3 = 48 + 96 = 144

R: b)

26



suce siones

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utilizando

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