su enseÑanza con los postulados de … · el modelo del semiplano superior de la geometria...
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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
VICERRECTORIA DE INVESTIGACION Y POSTGRADO
PROGRAMA CENTROAMERICANO DE MAESTRIA EN MATEMÁTICA
EL MODELO DEL SEMIPLANO SUPERIOR DE LA GEOMETRIA HIPERBOLICA.
SU ENSEÑANZA CON LOS POSTULADOS DE BIRKHOFF.
GERMÁN LUIS BEITIA
TESIS PRESENTADA COMO UNO DE LOS REQUISITOS
PARA - OPTAR AL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS
CON ESPECIALIZACION EN MATEMATICA EDUCATIVA.
PANAMA, REPUBLICA DE PANAMA
1994
DEDICATORIA
truco II ?MUTE TRABAJO A 1117% y TATIANA QUI SON LA RAZON 71UMAJAVITAL Di SU Vino DI SIIMACJON 701 Sta TAN COAMLIMSNAS y PACIENTES contigo
AGRADECIMIENTOS
Agradezco al profesor Omar Olivares por aceptar dirigir
este trabajo y más aún por sus atinadas observaciones y
recomendaciones que han sido la razón fundamental en la
culminación de esta investigación Tambien estoy muy
agradecido a los profesores Analida Ardila y Julo M Note por
sus acertados comentarios Además quisiera agradecer a mis
compafleros de promoción y al cuerpo de profesores del
Programa Centroamericano de Maestrla en Matemática, por toda
la ayuda y apoyo que de manera incondicional me brindaron A
mi familia; mis padres y hermanos, a mis tios, por sus
permanentes estímulos
CONTENIDO pagina
INTRODUCC ION
Capitulo I
MARCO TEORICO Y SUPUESTOS
1 1 Introducción histórica del nacimiento de
la geometria hiperbólica 1
1 2 Definición de geometria hiperbólica y
conceptos básicos para deducir resultados
que la caracterizan y que son distintos a
• la geometria euclideana 5
1 2 1 Conceptos básicos de la geometria
hiperbólica 8
1 2 2 Algunos resultados básicos de la
geometria hiperbólica que son
distintos a la geometria euclideana 13
1 3 El problema de la consistencia de la
geometria hiperbólica y el concepto
general de interpretación de un sistema
axiomático y modelo 27
1 3 1 Modelo del sistema axiomático 28
1 3 2 Consistencia y completitud del sistema axiomático 28
1 4 Conjunto de axiomas de la geometria
hiperbólica plana 29
1 4 1 Axiomas de Birkhoff cuyo postulado
central es el postulado de la regla 29
pagina
Capitulo II
DEMOSTRACION FORMAL Y CON HERRAMIENTAS ELEMENTALES DE QUE EL SEMIPLANO SUPERIOR SATISFACE LOS AXIOMAS
DE SIRKHOFF
2 1 Modelo del semiplano superior 32
2 1 1 Características 32
2 2 Modelo del semiplano superior a la luz de la
geometria analítica y la trigonometría 34
2 2 1 El plano hiperbólico El punto
hiperbólico y la recta hiperbólica 34
2 2 1 1 Plano hiperbólico 35
2 2 1 2 Punto hiperbólico 36
2 2 1 3 Rectas hiperbólicas 36
2 2 2 Medida angular y distancia entre
dos puntos 38
2 2 2 1 Medida angular 38
2 2 2 2 Distancia entre dos puntos 40
2 3 Los axiomas de Sirkhoff en el modelo del
semiplano superior 43
Capitulo III
IMPORTANCIA DEL MODELO VENTAJAS Y LIMITACIONES
3 1 Prueba que la consistencia de la geometria
hiperbólica se sigue de la geometria
euclideana 74
pagina
3 2 Independencia del quinto postulado de
Euclides de la geometría neutra 74
3 3 Proporciona un método de demostración
de resultados de la geometría euclideana 75
3 4 El Modelo sirve para mostrar como lucen
algunas curvas características de la
geometría hiperbólica 77
3 4 1 Haces en la geometría hiperbólica 77
3 4 2 Curvas características de la
geometría hiperbólica 79
3 5 Importancia del modelo en la enseManza 83
3 5 1 Fórmula de Lobachevski-Bolyai 83
3 5 2 Relaciones trigonométricas
~ices de Lobachevski 86
3 6 La geometría hiperbólica en regiones
infinitesimales 91
3 7 Prerrequisitos para la enseManza de la
geometría hiperbólica, haciendo uso del
modelo del semiplano superior de Poincaré 92
3 8 Ventajas de enseriar geometría hiperbólica
con el modelo del semiplano superior de
Poincaré 94
3 9 Posibles aplicaciones de la geometría
hiperbólica 95
3 10 Limitaciones 95
Pagina
CONCLUSIONES
97
IONES
98
BIBLIOSRAFIA
99
INTRODUCCION
Es de todos conocido la grave crisis por la que
atraviesa la ensellanza y el aprendizaje de la geometría
atribuyéndosele en muchos casos la responsabilidad a los
docentes que prefieren evitarla, en otros a la falta de
propuestas metodolóqicas que permitan que nuestros
estudiantes se hagan del conorimiento geométriLo
Sin embargo, mis preguntamos si en Nuestra Máxima Casa
de Estudios Superiores estamos rreando las ‘ondiLiones para
que los docentes cuenten con los conocimientos y las
técnicas metodológicas que le permitan desarrollar un
estudio de la geometría al nivel que se plantea en los
programas del Ministerio de Educación
En cuanto a las técnicas metodológicas, creemos que se
hacen grandes esfuerzos por solucionar esta dificultad a
través de los constantes Seminarios y Ciclos de Conferencias
que se imparten en la Universidad de Panamá, además de los
Congresos Nacionales e Internacionales que se han realizado
en estos tres últimos aMos Pero en lo que se refiere a
los conocimientos que deben reunir nuestros egresados de la
carrera de Licenciatura en Matemática, podemos seMalar que
existen dos opciones (Pura y Aplicada) que no contemplan
siquiera un curso de geometría euclideana mucho menos algún
curso de geometria no-euclideana mientras que la otra
opción (Educativa) lo contempla de manera optativa
Nuestra propuesta pretende desarrollar desde el primer
afto de estudios de la especialidad, un ‘urso de Geometria
Hiperbólica que tendría como prerrequisito un curso de
Geometría Euclideana es decir en el primer semestre
académi o se desarrollarla el uurso de Geometría Eu lideana
y en el segundo semestre el de Geometría Hiperbóli a
Este Lurso de Geometría Hiperbóliva se presentará
usando el Modelo del Semiplano Superior de Poinrará orno
modelo euclideano de la geometría hiperbólica y los
axiomas de Birkhoff lo 'Alai es posible según el articulp
The Upper Half Plane Model for Hiperbolir Gepmetry
presentado por Richard S Millman en donde
sostiene que se puede intrpducir desde los últimos affus de
escuela secundaria, dado que las herramientas matemáticas
que se necesitan, orno lo son la geometría euclideana, la
geometría analítica y la trigonometría se uonocen
previamente
Nuestro trabajo está estruuturado de la siguiente
manera
Un primer ‘apitulo que corresponde al Marco teórico en
donde se describen aspectos tales como los origenes
históricos de la geometría hiperbólica Definimos geometría
hiperbólica y los conceptos básicos que la caracterizan y
que son distintos en la geometría eucladeana Presentamos el
problema de la consistencia de la geometría hiperbólica y el
concepto general de interpretación de un sistema axiomático
Finalmente se enumeran el conjunto de Axiomas de Birkhoff
que serán la base postulacional del trabajo
Un segundo capítulo que presenta las demostraciones de
que los Axiomas de Birkhoff se satisfacen en el Modelo del
Semiplano Superipr de Poinuará utilizando herramientas
IX
elementales de la geometría eu lideana geDmetría analítica
y la trigonometría
El tercer rapítulo presenta la importancia del Modelo
en lo con erniente a la enseRanza, en donde dedu imos la
famosa fórmula de Lobachevski-Bolyai 1 las relaciones
trigonométricas básicas de Lobachevski y el Lomportamiento
de la geometría hiperbóli a en regiones infinitesimales
además de proporcionar un método de demostraLión de
resultadDs de la geometría eu‘lideana Presenta por DtrD
lado, la forma tan pe uliar Lomo luren algunas curvas
característiLas de la geometría hiperbóli a en el Modelo
Finalmente describe los prerrequisitos que nuestros
estudiantes necesitan para el estudio de la geometría
hiperbólica, bajo este enfoque, además de presentar algunas
de las limitaciones que se dieron al realizar este trabajo
Creemos que se deja abierta la posibilidad de seguir
investigando en torno a las aplicaciones que tiene la
geometría hiperbólica en otras áreas de la ciencia como lo
son El análisis, la aritmética, la geometría diferencial
la teoría de la relatividad y otros lo cual escapaba a los
propósitos que motivaron nuestra investigación, que se
centra en el aspecto del dual enseManza-aprendizaje de la
geometría
Por último seMalamos nuestro interés en que la
presente Propuesta Metodológica se ponga en prá taca
en la Licenciatura en MatemátiLa a fan de atender aspe tos
que se des Ludan en la fDrmación de nuestras estudiantes
uy D úniLD ampo de trabajD está en las aulas de Liases
ni
CAPITULO I
MARCO TEOMCO Y SUPUESTOS
-1-
1 1 Introducción Histórica sobre el nacimiento de la
Geometría Hiperbólica
Es de todos conocidos la influencia que durante
veintitres siglos se dió en el estudio de la Geometría
con la geometría euclideana presentada por
Euclides (330-275 a C) en su obra titulada Los Elementos
En esta obra se presenta la primera organización de proresos
deductivos de la cual se tiene uonorimaento dado que antes
de ésta el estudio de la geometría presentaba según
()Uveros [Claveros, Omar, 19922 características tales
romo
- Una naturaleza Empírica
- Se aplicaba en la solución de problemas particulares
- No se presentaba distinción entre resultados exactos y
aproximados
- No se distinguía entre conceptos aritméticos y
geométricosw
Dentro del trabajo presentado por Euclides se tienen
nueve axiomas que llamó nociones comunes , los cuales
son resultados que se verifican en cualquier rama
científica y canco postulados que se verifican
UD retas ~Sri atacas corresponden a La secnneLrl a
Pro-belén ea basusunente en Loe trabases de Loe •abdomen Y
Lee Egipcios
-2—
en su geometria (dado que responden a una ciencia en
parttrular)
De 13s Linco postulados el postulado más p2lémi o es el
quint, el cual dice
Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma del
mismo lado ángulos internos que sumados son menores que dos
re t2s entonLes las dos rectas prolmgadas se enrontrarán en
el lado en que están los ángulos menores que dos rectos
El arácter polémi‘o de este postulado se da en función
de que presenta ciertas ‘arae_teristicas que lo dzferen la del
resto de los postulados entre las que podemos citar,
1 No cumplía el ideal griego de que lo que se postula sea
evidente por si mismo
2 Tás.ni‘amente es el reciproco de la proposición I 17 °I1
3 Euclides evitó su uso en las primeras veintiocho
proposiciones, a pesar de que algunas de estas proposiciones
se demostraban de manera más sencilla usando el Quinto
postulado
Estas características provocaron que desde tiempos muy
remotos, por ejemplo con Ptolomeo (siglo II d C ) se
intentara demostrar el quinto postulado, recurriendo o
utilizando proposiciones equivalentes al quinto postulado de
Euclides; Sin embargo, todos estos intentos resultaron
€.13Le proposición Z 17 en -Lee ilementeer dieren kede están
vade dee ángulos lemedee en juntaren menores que dee rectos
~G.
fallidos; pues suponían lo que habla que demostrar 1.2 que provocó que los matemáticos del siglo XIX que tenían perdida
gran parte de la fe en demostrarlo utilizaran la técnica de
Saccheri (1667-1733) de negar el quinto postulado para
enrontrarse con contradicciones La técnica de Saccheri n"
ronsistia en suponer las hipótesis del ángulo Obtuso y Agudo
De esta forma si la hipótesis del ángulo agudo no
conduce a contradicción alguna entonces estamos frente a un
postulado que complementado con los cuatro primeros de
Euclades forman otra geometrla tan ronsistente como la
euclideana, que a partir de Fellx Klein se llamó Geometria
Hiperbólica, a la cual nos referiremos posteriormente
Gegen Eves CEves, Noward, 1985], el primero en llegar a
la conclusión de que no exastia contradicción al suponer la
hipótesis del ángulo agudo fue Gauss (1777-1855), aunque no
publicó nada, lo cual se atribuye a su temor a las rrItiras
de los seguidores de la geometrla euclideana Aunque en 1831
se decide a redactar una Geometria No Euclideana
convencido del rigor de sus resultados
Otro de los matemáticos que traba-Sellen esta línea fue
anclocherl eh su cuadrilátero (cuadrilátero teemeoles cuyas
ángulos de la boa son rectos» y supuse que la sume de tes
ángulos que no son restes se o mayor que te restes thspeteete
deL amputo obtuso) o menor que te rectos Ospotesie del
dnguto agudo» sabia. Seren que la hipótesis del ángulo
recto ere equivalente al quinto postulado de ~lides
....4-
1331yal (1802-1860), quien publira un es rata en 1832 de 26
páginas aparecida en el apándire de una abra didáctiLa de su
padre En esta obra expone lo que el llamó una qeometría
absoluta la ‘ual es independiente del quinta postulado
Finalmente tenemos a Lobachevski (1793-1856) quien
presenta un esLrito en 1823 el rual es un trabajo muy similar
al de Bolyai pero más constructivo, en donde presenta un
desarrollo geométrico analltaro, san figuras rompuesta por
teoremas, fórmulas, una trigonometría que el llamó
Imaginaria
1 2 Definición de Geometria Hiperbólica y conceptos básicos
para deducir resultados que la caracterizan y que son
distintos a la geometria euclideana
Para dar una definiLadin de geometria hiperbóli a,
primeramente vamos a establerer lo que se ronnce nmo la
geometria neutra
La geometria neutra es aquella formada por los cuatro
primeros postulados y las primeras veintiocho proposiciones
del libro I de los Elementns de Euclides Los postulados
establecen
1 La posibilidad de trazar una linea recta que pase por dos
puntos dados
2 La posibilidad de extender una linea recta finita
ontinuamente sobre una linea recta
3 La posibilidad de describir un circulo, dado cualquier
rentro y cualquier distancia ( como radio)
4 La Igualdad de todos los ángulos rectos
Las veintiocho primeras proposiciones del labro I de los
elementos de Euclides son independientes del quinto
postulado, es decir todas estas proposiciones pueden ser
demostradas a partir de los primeros cuatro postulados, de
esta forma podemos decir que la geometria neutra no utiliza
el quinto postulado, ya que en ésta no se dice nada con
relación a la existencia y unicidad de paralelas a una recta,
respecto de un punto exterior (proposición equivalente
al quinto postulado)
-6-
Por otrn lado dado que la geometria neutra nn estos
cuatro postulados no resulta cnmpleta para demostrar las
proposiciones que forman parte de ella, debido a las
fallas propias de ésta entre la que podemos citar él no
postular la intersección entre rectas y usarlo libremente en
sus proposiciones Entonces tomaremos del moderno tratamiento
postulacional de David Htlbert (1862-1943) los siguientes
postulados que nos servirán de complemento que era el
propósito que habla motivado a Hilbert
Presentaremos un axioma que tiene que ver con la
intersección de una recta dada y los lados de un triángulo
que es equivalente a uno de los axiomas presentados por
Nilbert Algunos autores presentan este axioma y no el
presentado originalmente por Hilbert, por ejemplo Efimov, N
V LEfamov, N V , 1984] lo presenta como el cuarto axioma en
el grupo de axiomas de orden
Axioma de Pasch:
Dado un triángulo y una recta en el
mismo plano, distinta de los lados del triángulo Si la recta
corta a un lado del triángulo sin pasar por sus vértices
entonces corta a uno y sólo uno de los otrns dns lados del
triángulo (fig # 1)
-7-
A
C
S * 1
Otro axioma que será de mucha utilidad es el Axioma de
Separa‘zón del Plano
Axioma de Separación del plano
Sea 1 una recta en el plano la
‘ual lo divide en dos semaplanos disyuntos di y és Sean P y O
dos puntos que no pertenezcan a 1 Entonces ocurre que
SIPEO1 yged , El segmento PO cortaal
ul Si P, O e ató P, Qe 410 El segmento PO no corta a 1
Mg 2)
cas,
lig g 2
Consideremos por otro lado el siguiente postulado
Postulado de las paralelas de Lobachevski
Dada una recta 1 en
el plano y un punto P que no pertenez‘a a 1, pueden trazarse
al menos dos rectas que pasan por P que no cortan a 1
Mg 3)
lig e 3
La teoría geométrica que se desarrolla a partir de la
geometria neutra y este postulado, el cual es una negación
(niega la unicidad de la paralela) del quinto de euclides
[Moreno y Dromberg, 19871, es lo que conocemos como geometria hiperbólica
1 2 1 Conceptos básicos de la geometria hiperbólica:
Angula de paralelismo:
Consideremos una recta / y un
punto P que no pertenezca a Desde P bajemos la
perpendicular a / (lo cual es perfectamente posible ya que
esta proposición es de la geometria neutra) y llamémosle O al
pie de la perpendicular Ahora consideremos del lado derecho
-9—
de PQ (como se muestra en la figura 0 4) dos m'untos de
rectas bien especificas las rectas que pa san por P y que
cortan a 1, y el de las rectas que pasan por P y que no
3rtan a / lo ual es posible fa que el postulado de
Lobachevski garantiza la existencia de al menos dos rectas
que no ortan a /
Le llamaremos 411 (s, =las ) a los ángulos que
forman PQ con las rectas que pasan por P y que corta a / por
otro lado llamaremos Al (1 =sea ) a los ángulos que
forman PO con las rectas que pasan por P y que no cortan a /
(fig 05)
fag 5
-lo-
Definición
Llamaremos ángulo de paralelismo al menor de los
ángulos que forman PQ con las rectas que pasan por P y que no
Lortan a 1, el cual denotaremps 11c 5)
Esto es 0: mm it11/011 es el ángulo que forma PQ con la
recta que esta del lado derecho de PQ que
pasa por P y que no corta a 1)
pa existe ya que 4/31) es un conjunto acotado
inferiormente, dado que, At > O = I, 2, 3,
Definición*
Llamaremos paralela a derecha a la recta que pasando por
P, corresponde al lado terminal del ángulo po que tiene como
lado inicial a PO La Lual denotaremos 1 (fig 6)
De manera análoga, por simetría podemos construir el
ángulo de paralelismo del lado izquierdo con las rectas que
pasan por P y que no cortan a 1, el cual llamaremos m e; de
igual forma tendremos la paralela a izquierda, la cual
denotaremos / Cfig á 6) a
Es fácil probar que acta O. Además que fi < 90 0
Veamos su demostrar ión
Demostración
.1 Supongamos que a.< po entonces existe un rayo PM en el interior de pe tal que alla 6., con 6. = AQPM Así PM corta a
1 ( 6< fi) en un o o punto M con lo cual se forma el
triángulo PQ1I1
Comparemos este triángulo con la figura formada por / z, PQ y
1 (fig6 7)
6 lá a (por construcción) o o PQ PQ (lado común)
Además APQM es congruente con el ángulo adyacente formado
por PQ y (en el lado opuesto de PQ) Asi por el criterio de
congruencia ángulo-lado-ángulo (que está en la geometria
neutra) el triángulo POMA es congruente con la figura formada
por l a, PQ y 1, con lo cual l a y 1 se cortan, contradiciendo
que / es la paralela a izquierda de /
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eI se anb soweaA se4sando se4naAxwas uos saunwon ou sope/
so/ Tse soxAeluawaidns uos A unwon °pe/ un UOD so/n6us uos o
112 A anb opep el.naA ewsxw eun uevas si A yr sa o
nuolua 0 = o
anb soweqoAd eA OW02 A o4naA sa Od anb sowebuodns r
ce * 61 3)
opnbe se nwsxla/eAed ap °Tribus /a anb eAoqe sowaqoAd
w.c.o anb sowininucn TSV ASTIWIS U9I -410EA4U0n O o
eun e sowaAeba// s anb sowauodns xs rr
-13-
1 2 2 Algunos resultados Básicos de la Geometria Hiperbólica
que son distintos a la Geometria Euclideana
A continuación vamos a presentar en un cuadro
comparativo, algunos resultados que caracterizan a la
geometria hiperbólica , con sus opuestos de la geometria
euclideana, los cuales serán demostrados más adelate
CUADRO COMPARATIVO
G EUCLIDEANA G HIPERBOLICA
Dada una recta y un punto
exterior a la recta,
existe una Única recta
que no corta a la dada
Dada una recta y un punto
exterior a la recta, exas
ten al menos dos rectas
que no cortan a la dada
El ángulo de paralelismo
no depende de la distancia
entre las paralelas
El ángulo de paralelismo
depende de la distancia
entre las paralelas
La suma de los ángulos
internos de todo tra-
ángulo es 1800
La suma de los ángulos
ant de todo trián-
gulo es menor de 180°
La suma de los ángulos
internos de todo cuadri-
látero es 360°
La suma de los ángulos
internos de todo cuadri-
látero es menor de 360°
-14-
Consideremos los siguientes teoremas relacionados con el
CUADRO COMPARATIVO que acabamos de presentar los cuales se
referirán a resultados de la geometria haperbólara
Teorema M I:
Dado un triángulo y una
recta que no contenga ningdn lado del triángulo y que esten
en el mismo plano Si la recta corta un ~tics (entrando)
entonces torta al lado opuesto
Demostración Sea el triángulo ABC un triángulo cualquiera,
sea la recta que no contiene ningdn lado del triángulo ABC
Supongamos sin pérdida de generalidad que 1 pasa por el
vértice 8, con lo cual AC es el lado opuesto (lag M 9)
Sea P un punto de 1 en el anterior del triángulo ABC, sea
O un punto de BC Tracemos OP, de donde se dan las siguientes
posibilidades (Por axioma de Pasch)
- OP corta a AB (fag 9-a) ó
- QP corta a AC (fig A 9-o)
3) Supongamos que GP corta a AB, y llamémosle R a este
punto Tracemos ahora RC para formar los triángulos RGC y
RAC Como 1 corta a RO y no puede cortar a GC (ya que si lo
cortara por postulado Al de euclides 1 y BC coinciden lo
cual contradice la hipótesis),entonces corta a RC; llamémosle
S al punto de 1 que corta a RC De manera análoga en el
triángulo RAC, como 1 corta a RC y no puede cortar a RA (ya
que coincidirlan 1 y AB), entonces corta a AC (que es el
lado opuesto al vértice B)
31) Supongamos que GP corta a AC, llamémosle R al punto de
AC donde se cortan Consideremos el triángulo ROC y como 1
-15-
corta a RQ (en el punto P) y como no puede cortar a QC (ya
que coincidirían 1 y BC) entonces 1 corta a RC con lo cual 1
corta a AC como queriamos demostrar
A A
I; R
1 -sada" a 5 " - • Will i 1 a 4 t, G 1
fag * 9-a C lig * 9-6 ,
Teorema *2
Dada una recta y un punto exterior a la misma, por
el punto pasan infinitas rectas que no cortan a la recta
dada (fig * 10)
.e ik
%
r•".
lig * 10
-16-
Demostración:
Sea 1 una recta y P un punto exterior a 1 Sea Q
el pie de la perpendicular a 1 que pasa por P Por el postula-
do de Lobachevska, sean / ly 1, las paralelas a 1 a derecha e
izquierda respectivamente desde P Sea PM una recta cualquiera
entre 1 áy 1 2 (la cual hace con PQ un ángulo mayor que el
ángulo de paralelismo) Supongamos que PM corta a 1 y
llamémosle R a este punto de intersección Asl se forma el
triángulo POR Pero por el teorema 1, como l a pasa por P
entonces corta al lada opuesto, es decir a 1; lo cual contra-
dice que 1 1 es paralela a derecha a 1 Con lo cual concluimos
que PM no corta a 1
Definición;
Llamaremos al conjunto de rectas no cortantes distintas
de 1 y 1 a, las hiperparalelas a 1 por P (fig 11)
-17-
Teorema * 3:Sea / una recta P un punto fuera de / Sea / la t paralela en algunas de los sentidas a / por P Si Q es otro
punto de / EntonLes / es paralela a / por Q en el mismo 1 t sentido
Demostra ión
Sean R y S los pies de las alturas desde P y G
respectivamente a 1, así PR y OS son perpendiculares a / Come
/ no corta a 1, debemos probar que todo rayo con origen en t Q y en el interior del ángulo que forman OS y 11 , corta a /
Sea QX este rayo Consideremos a T un punto en QX Así el
rayo PT corta a / en un punto que llamaremos U , ya que el
rayo PT está en el interior del ángulo de paralelismo que se
forma en P De esta forma tenemas el triángulo PRU COM) OS
corta a RU y no corta a PR (ya que si lo cortara, esto contra-
dice la proposición 16 de la geometría neutra), entonces por
el axioma de Pasch corta a PU en un punto que llamaremos V De
esta manera se forma el triángulo VSU Como el rayo QX 'arta
a VU en T y no puede cortar a VS (ya que si lo cortara QX y OS
coincidirían por postulado I, lo cual no puede ser), entonces
por el axioma de Pasch corta a SU con lo cual QX corta a 1
(fig * 12)
-le- El teorema anterior nos permite asegurar que dos rectas
son paralelas en el mismo sentido, no Importa desde que punto
Teorema * 4:
Si dos rectas son paralelas a una tercera en el
mismo sentido, entonces son paralelas entre si
st
-4\ Y
/1
-
fig It 1
Demostración
Sea RZ una recta y sean PX, QY las rectas paralelas
a la recta RZ en el mismo sentido Consideremos los siguientes casos
Supongamos que RZ esté entre PX y 01 1 (fig O 13-a) Consi-deremos un punto Pa e PX y un punto Qam QY Unamos Pa y Q Por el axioma de separación del plano P
1 Corta a RZ en un punto que llamaremos R a Sea Pail un rayo en el interior del AQSPIX Ahora como PX es paralelo a RZ, entonces el rayo Phi
corta a RZ en un punto que llamaremos I Como RZ es
paralela a QY entonces al prolongar P aI, el mismo corta a OY
Como PX y QY no se cortan , ya que si se cortaran le
-19-
llamarlamos M al punto de intersección y se formarla el triángulo P1011 y como RZ corta a PaQi en Rt entonces por el
axioma de Pasch RZ corta a PX 6 corta a QY lo cual seria una
contradicción Así PX es paralela a OY
12 Supongamos ahora que PX y OY están del mismo lado de RZ
Sea PM la paralela a QY que pasa por P e PX, luego por J) PM
es la paralela a RZ pero PX tambien es la Paralela a RZ, asi
éstas coinciden con lo cual PX es paralela a QY (fig 13-b)
Definición:
LLamaremos triángulo limite formado por dos
rayos paralelos (en el mismo sentido) y el segmento rectilineo
que une los extremos de los rayos al cual llamaremos lado
finito del triángulo limite y los ángulos en los extremos los
llamaremos ángulos del triángulo limite Mg 14)
(0) El pLo de tridnguto Limite operen en te obre de Eva
Movord Estudio de Lee geometria Vira Meneo SOIS
-20-
Teorema 0 5:
Un ángulo exterior de un triángulo limite es mayor
que el ángulo interior no adyacente
X
1:1 ---trti 4
irl r K
.l4 . a
x
y ck Q T fag N 15-a fig á 15-b
Demostración
Sean PX y GlY las paralelas, sea PO el lado
finito Sea AIPX el ángulo exterior y ARGY el interior no
adyacente
Supongamos que ARPX < AMY entonces existe un rayo PM en el
interior del 4DPX tal que AIPM SOY Pero como PM esta en
el interior de ACIPX entonces PM corta a Olf en un punto que
llamaremos S Asl se forma el triángulo POS con AIPM SOY lo
cual contradice la proposición de la geometria neutra referen-
te a que un ángulo exterior es mayor que los anteriores no
adyacentes Cfig 15-a)
12 Supongamos que AI- PX ARDY Sea K el punto medio de PO,
-21-
desde K bajemos una perpendicular a PX y llamémosle S al pie
de esta perpendicular Prolonguemos SK hasta que intersecte a
QY y llamémosle T a este punto Así se forman los triángulos
SPK y TICO con las siguientes ‘aracteristicas
4SPK 21 ATQK (ARPX 2i AS")
PK a 121( (K es punto medio de PQ)
ASKP Z ATKO (son opuestos por el vórtice)
entonces los triángulos SPK y TICO son congruentes por crite-
rio ángulo-lado-ángulo luego AITK 21 APSK, pero 4PSK = 90 °
Así ADTK = 90° Entonces APSK es el ángulo de paralelismo en
S para la recta GIY, lo cual es imposible ya que este ángulo
debe ser agudo (fag 15-b)
De esta forma se demuestra que ÁRPX > ARQY
Teorema 6:
Si la longitud de PQ (distancia de P a la recta .1)
aumenta el ángulo de paralelismo disminuye (fig 16)
-22- Demostración
Sea I una recta, P un punto en el exterior de I, sea Q el pie de la perpendicular de P a 1 Sea R un punto en
la prolongación de CP tal que QP < QR Sean PX y RY las para-lelas a I en P y R respectivamente por demostrar que Rv < AQPX
Pero como RY y PX son paralelas a I entonces RY y PX son paralelas entre si (por teorema 02), con lo cual se tiene el
triángulo limite formado por PR y las paralelas RY y PX en
donde AQPX es un ángulo exterior y ~Y es el interior no
adyacente Así por el teorema anterior AQRY < AQPX
A continuación veremos algunos resultados relacionados
con los cuadriláteros no-euclideanos, los cuales definiremos a
Lontinuación
Definición
Se llama cuadrilátero de Saccheri al cuadrilátero
PQRS que rumple las siguientes condiciones
4 .11 21 = 90°, y
12 PS a QR (fig O 17)
e
1
ck fig e 17
-23=
Definición:
Se llama cuadrilátero de Lambert al cuadrilátero
PGRS que cumple que AP 2: AQ AS = 90 0 Mg 18)
5 4
1
Q fag ó 18
Pasaremos a demostrar algunos resultados relacionados con
los cuadriláteros antes definidos
Teorema e 7:
Sea el cuadrilátero PQRS un cuadrilátero de Sacche-
ra Entonces AR AS < 90 ° Mg 19)
5 S R T
><c. 11)1iNst
1
Fag ó 19
Demostración
Sea ~S un cuadrilátero de Saccher: y tracemos
las diagonales PR y OS can lo que se forman los triángulos
POR y GPS los cuales tienen:
-24-'
PS a OR (por ser de Sacchera)
ASPO a ARºP (por ser de Saccheri)
Pº a PO (lado coman)
entonces SPº a KIP (criterio L-A-L)
luego SOaRP (lados correspondientes de
triángulos congruentes)
Por otro lado tenemos los triángulos PSR y ºRS los
cuales tienen
So a RP
(por la congruencia anterior)
PS a ºR
(por ser de Sacchers)
SR a SR
(lado comón)
entonces
SPR a ROS
(criterio L-L-L)
luego AS a 4R
(ángulos correspondientes de
triángulos congruentes)
Nos faltaría probar que AR < 900 Para esto consideremos
SYyRX las Paralelas porSyRaPe en el mismo sentado Luego
SY y RX son paralelas entre sí (por Teorema 02) Así tenemos
el triángulo límite formado por RS y las paralelas RX y SY
Sea T un punto en la prolongación de SR
Luego 4TRX > ARSY(por teorema *3)
además ARRX a APSY (por teorema *6 ya que ºR a PS)
así ATRX + 42RX > deRSY + APSY (sumando)
entonces A2RT > APSR (adición de ángulos)
pero ASR(221APSR(AR a AS)
luego AºRT > ÁPSR a diSRG
entonces 42RT > ASRº, pero además AºRT + ÁSRGal 180°
así ASK) < 90° Como se quería probar
-25-
Con este teorema se ha demostrado que la suma de los
ángulos Internos de un cuadrilátero en la geometria
hiperbólica es estrictamente menor de 3600 ya que en este
cuadrilátero tenemos dos ángulos re tos y dos ángulos agudos
Más adelante probaremos que este resultado es cierto para
cualquier cuadrilátero Este resultado como sabemos se opone
a la geometria euclideana la cual afirma que la suma de los
ángulos internos de un cuadrilátero es 360°
Ahora vamos a probar otro resultado de gran trasi_en-
den‘ia en la geometria hiperbólica, relacionado con la suma de
los ángulos internos de todo triángulo
Teorema Si
Sea ABC un triángulo cualquiera Entonces la suma de
los ángulos internos es menor de 180 ° (f1g 20)
c
e L 1
4.--- m Q , V 1 'illf; A fig N 20 h
Demostrar ión
Sea ABC un triángulo cualquiera Sean M y L los
puntos medios de los lados BC y AC respe tkvamente Sean AP
BQ y CR las perpendirulares desde cada vértice a ML Con 12
‘ual
-26-
AAPL ACRL (Son rectos por construcción)
AL CL U. es punto medio de AC)
AALP DIACLR (Son opuestos por el vértice)
entonces los triángulos APL y CRL son congruentes por criterio
Angulo-Angulo-Lado (proposición 26 de la Geometria neutra) De
donde SAL ARCL (ángulos correspondientes de triángulos
congruentes) Análogamente ocurre que ADBM ARCM
Con lo que AP 21 CR Be (de las dos congruencias) Así el
cuadrilátero ABQP es de Saccheri, entonces
APAB + AQBA < 180° (son los ángulos agudos)
entonces APAL+ALAB+AABM+AQBM < 180° CAPAD = SAL + ALAB y
AMA = AGIBM + ¿IBA)
luego ALAB+AABM+ARCL+ARCM < 180° (APALDWRCL y ADBM2WRCM)
As1 ALAS + AABM + AACB < 180° (AACB = ARCL + ARCM)
Que era lo que queríamos probar
Finalmente probaremos que la suma de los ángulos internos
de cualquier cuadrilátero convexo es menor de 360 °
Teorema 4/91
La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero
convexo es menor que 360 ° (fsg . 21)
A fig 21
-27-
DemostraLión
Sea ABCD un ‘uadriláter, cunvexp cualquiera
Tral_emos la diagonal AC De donde se forman los triángulos ABC
y ACD Así
AABC + ABCA + ACAB < 1800 (Teorema anterior)
AACD + ACDA + ADAC < 180° (Teorema anterior)
luego sumando estas dos desigualdades se da
AB + (ABCA+AACD) + AD +(ACAB+ADAC) < 360°
Así AB + AC + AD + AA < 360° Como se deseaba probar
1 3 El problema de la consistencia de la geometria hiperbólica
y El concepto general de interpretación de un sistema
Axiomático y Modelo
Para analizar el concepto de interpretación
de un sistema axiomático es necesario comprender que es un
sistema axiomático
Según Jorge López (López 19893 todo sistema axiomático
consiste de términos indefinidos, postulados y reglas de infe-
rencia
En el caso de la geometria neutra los términos indefini-
dos serán, el punto, la linea y el plano Los postulados
serán las pr2posiciones que se admiten sin demostración es
decir, 12s Luatro primeros postulados Finalmente las reglas
de inferencia del sistema axi2mático Lorresponde a los
principios cara terlsticos de la lógica Aristotélica
-2S-
Las aseveraciones que se pueden obtener a partir de los
postulados usando las reglas de inferencia se llaman teoremas
1 3 1 Modelo del Sistema axiomático:
Cuando los términos
indefinidos se pueden interpretar (darles significado) y el
conjunto de axiomas con que se desarrolla la geometria se
pueden verificar, entonces estaremos frente a un modelo
geométrico
Así por ejemplo uno de los modelos más conocidos de la
geometria euclideana, lo es el modelo del plano cartesiano, el
cual interpreta
- Al punto, como una pareja de coordenadas <X,Y)
- Ala recta, con las ecuacionesY= mX +b 6 X= c
- Al plano, como el plano cartesiano
Es fácilmente demostrable que en este modelo se cumple el
quinto postulado de Euclides
Sin embargo en nuestro trabajo nos ocuparemos de un
modelo de la geometria hiperbólica, como lo es el modelo del
Semiplano Superior de Poincaré
1 3 2 Consistencia y Completitud de un Modelo Axiomático
1) Consistencia de un Sistema Axiomático:
Un sistema
axiomático es consistente si y sólo si existe un modelo que lo
interprete Esto es equivalente a decir que en el sistema
axiomático es imposible deducir una proposición y su negación
-29- Completitud de un Sistema axiomático
Un sistema
axiomático es completo si todo enunciado verdadero (respecto a
un modelo), es un teorema, es decir se puede demostrar a
partir de los postulados
1 4 Conjunto de Axiomas de la Geometria Hiperbólica Plana
El conjunto de axiomas que presentaremos, fueron tomados
del trabajo de F Allen y otros [Frani( Allen, E Douglas D
Richmond, C Rickart H Swain y R Walker 1963 3 Matemática
para la Escuela Secundaria , los cuales serán la base postula-
cional del trabajo que presentamos
1 4 1 Axiomas de Birkhoff cuyo postulado central es el Postu lado de la Regla
Las definiciones que aparecen de forma caracterizada
serán dadas de manera explícita en el desarrollo del segundo
capitulo de este trabajo
POSTULADOS DE BIRKHOFF CUYO POSTULADO
CENTRAL ES EL POSTULADO DE LA REGLA
Postulado 1: Dados dos puntos distintos, existe una única
recta que los contiene
-30- Postulado 2: Dados dos puntos distintos, a estos le
corresponde un único número real positivo
Definición: (De distancia entre dos puntos)
Postulado 3: (Postulado de la Regla)
Es posible establecer una correspondencia entre
los puntos de una recta y los números reales tal que :
(i) A cada punto de la recta le corresponda un número real
Cii) A cada número real corresponda exactamente un punto de la recta, y
(iii) La distancia entre dos puntos es un número real mayor o igual que cero
Postulado 4: Dados dos puntos podemos escoger un sistema de
coordenadas tal que la coordenadas de el primero sea el cero y la coordenadas del segundo sea un número real positivo
Definición: (Relación de estar entre)
Definición: (De segmento)
Definición: (De conjuntos convexos)
Postulado 5: Dada una recta en el plano Los puntos del plano
que no están en la recta forman dos conjuntos
convexos y tales que si un punto está en un
conjunto y el otro punto está en el otro
conjunto, entonces el segmento que estos determinan corta a la recta
-31 -
Definición: Me semiplano)
Postulado 6: A cada ángulo le corresponde un número real
entre O y 180
Definición: CDe medida angular)
Definición: CDe rayo)
Postulado 7: Dado un rayo y uno de los semiplanos en que se
divide el plano por este rayo Para cada número
r entre O y 180 existe un único rayo en el
semiplano tal que la medida del ángulo formado
por estos rayos es igual a r
Postulado Si Si P es un punto en el interior de AASC
entonces:
.148C • 4ASP + APEO
Definición: (De rayos opuestos)
Definición: (De par lineal)
Definición: (De ángulos suplementarios)
Postulado 9: Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios
CAPITULO II
DEMOSTRACION FORMAL Y CON HERRAMIENTAS ELEMENTALES DE QUE EL
SMPLANO SUPERIOR SATISFACE LOS AXIOMAS DE BIREHOFF
-32-
Con la aparición de la geometria hiperbólica el problema
de considerar la consistencia o verdad lógica, que no se tenia
con la geometria euclideana cobra gran Importancia ya que no
tenia sentido preguntarse si era consistente la geometria
euclideana , dado que era la ciencia del espacio flsaLo y por
ello no despertaba dudas acerca de si era o no consistente
puesto que aceptamos que el espacio flsico está labre de
contradicciones
A continuación presentaremos el Modelo del Semiplano
Superior de Poincaré que como tal viene a salvar el problema
de la geometria hiperbólica con respecto a su consistencia, es
decir, el estar libre de contradicciones Para este propósito
se toman objetos de esta geometria y se les da una
interpretación en este caso, como de objetos euclideanos Asi
decimos que este modelo es un Modelo Euclideano de la
Geometria No-Euclideana Verificaremos además que en éste, se
satisface los Axiomas de Birkhoff que presentamos al final
del primer capitulo
2 1 Modelo del Semiplano Superior
2 1 1 Caracteristicas
Consideremos una recta 1, la que sin pérdida de
generalidad, la tomaremos horizontal Cesto lo hacemos con el
propósito de hacer más simples los cálculos que aparecerán
posteriormente, aunque puede ser cualquier recta en el
plano ) la cual divide al plano euclideano en dos semiplanos
disyuntos Estos semaplanos serán el semiplano superior y el
semplano inferior Cfig O 22) San pérdida de generalidad
tomaremos el semiplano superior
ge,„,tkno 9 ort Lor
• •
%Ya tIblo
1v4extot
fig 22
De esta forma
El Plano Hiperbólico en este modelo corresponderá al
semiplano superior Mg M 23)
11 El punto hiperbólico corresponderá a un punto cualquiera
en el semiplano superior
JJJ Las rectas hiperbólicas serán de dos tipos, estas son:
-rectas tipo I: Las rectas eucladeanas perpendiculares a la
recta 1 que están en el semaplano superior
-rectas tipo II: Las semicarcunferencias sucladeanas
de centro en I y contenidas en el
semiplano superior (fig M 23)
-34-
;Recias T'yo%
stmoauu surttor
? • Rectas 10
• o
fig 23
2 2 Modelo del Semiplano Superior a la luz de la Geometría
Analítica y la trigonometría
2 2 1 El Plano Hiperbólico, El punto Hiperbólico y la Recta
Hiperbólica
Si consideramos un Sistema de Coordenadas Cartesianas, de
eje x 6 eje de las abscisas el cual tomaremos san pérdida de
generalidad como horizontal y perpendicular a éste, el eje y 6
eje de las ordenadas Como origen de coordenadas el punto de
intersección del eje x y el eje y (fig é 24) A este conjunto
que llamaremos Plano Cartesiano lo denotaremos
P CCx,y) e R5 Cfig a 24)
-35-
Y
fig # 24
2.2.1.1 Plano Hiperbólico.
De esta forma, si consideramos la recta 1 del plano
Cartesiano Euclideano como el eje de las abscisas; así podemos
considerar el Plano Hiperbólico como el conjunto de puntos del
plano Cartesiano cuyas ordenadas sean positiva, es decir, el
Plano Hiperbólico, como el conjunto H = {(x,y) R2/ y > 0)
(fig * 25). Resulta importante hacer notar que el eje de las
abscisas no pertenece al conjunto ki y pueden considerarse como
puntos al infinito.
X fig # 25
BIBUOJECA
INIURSIDAD DE PANAMA
-36-
2 2 1 2 Punto Hiperbólico
El punto Hiperbólico P Lorresponderá a una pareja
ordenada que pertenezca al Plano Hiperbólico , es decir, la
pareja (x,y) e H (lig 26)
)1
x fig O 26
2 2 1 3 Rectas Hiperbólicas
Como existen rectas de dos tipos, las mismas se
clasificarán de la sigulenti a forma
Rectas Tipo I: Serán las semirrectas verticales o
perpendiculares al eje x que tengan ordenada positiva, es
decir, las rectas La = ((a,y) a es constante
(fig 4.27)
12 Rectas Tipo II: Serán las semicarcunferencias de centro
en el eje x, que tengan ordenada positiva, es decir, las 1 1 rectas Lxopr = ((x,y) e H/ (x-xo)+ y = r a) (fig á 27)
-37-
De esta forma las rectas que denotaremos simplemente L
pueden ser L = La 6 bien L = buhr
Y
. Le 111111 14 Y •
• / /1.
• • •
a. Xcp X fag 27
Así, podemos definir ahora el concepto de rayo en el
Modelo del Semiplano Superior de la siguiente forma
Definición:
Llamaremos rayo en el Modelo del Semiplano Superior
a la porción de recta hiperbólica que tiene un origen coman
y se extiende indefinidamente sobre las dos orientaciones
(entendiento por orientaciones, las determinadas por la
recta hiperbólica que lo contiene)
En la figura 28-a se ilustra el caso de las rectas
hiperbólicas tipo I y tipo II, los rayos AB y AC
respectivamente
-38-
A
As
X X. fig 28-a
Definición:
Llamaremos ángulo en el Modelo del Semiplano
superior a la unión de dos rayos hiperbólicos que tienen el
mismo punto inicial (lag 28-b)
2 2 2 Medida Angular y Distancia entre dos Puntos
2 2 2 1 Medida Angular:
Antes de dar la definadn de la medida angular
en el Modelo del Semplano Superior presentaremos la noción de
ángulo horizontal de un rayo AB
Definición:
Llamaremos ángulo horizontal 0412 de un rayo AB a
90 sz ya > yi z) =
-90 si yi > ya
Si Afx pyz ) y 8(x a ,y z) pertenecen a una recta tapo 1,
(fig * 29)
zz) eig = arctan (-(x l - x0)/ye3, donde -90 < eis < 90 Sz A y 8 pertenecen a una recta tipo II, /nee r (fig * 29)
- 1415P bluP ,gb
, 1 le x %.
fig 29
Definición:
Sean AB y AC dos rayos en el Modelo del
Semiplano Superior entonces la medida hiperbólica de ABAC está
dada por:
-40 -
ASAC = lé-e- 0-m1 (fig M 30)
Y
414.9r- P. 441
e -- X x Ya lig 4I 30
La medida angular en el Modelo del Semaplano Superior
corresponde a la medida eucladeana entre las tangentes a las
rectas hiperbólicas (fig al 30)
2 2 2 2 Distancia entre dos puntos
Una de las dificultades que podríamos tener en el
Modelo es el hecho de que cuando pensamos en la distancia
entre puntos se nos ocurre de natural que ésta se
hace tan grande como se quiera al fajar uno de ellos y alejar
el otro Haciéndolo en cualquier dirección, san embargo surge
la pregunta: Qué ocurre cuando se fija un punto sobre una
recta hiperbólica y el otro se aleja este se acerca al eje x ,
(lig 41 31)
■41••
As!, lo antes citado nos lleva al convencimiento de que
la distancia hiperbólica en este Modelo no puede ser medida
como se mide la distancia suelte:Rana Es por esto que
definiremos la distancia hiperbólica de la siguiente forma
Definicidn:
Dados dos puntos A(xo ya) y D(xar ya) que están sobre una recta hiperbólica, definimos la distancia
hiperbólica como,
In (ya / ya) ,si xam xa y ya ya
(x - x + r)/ya 0
In
(x - x + r)/y 1
0
, si A,D a La.,. (x x1)
-42-
Nótese que en la definición la segunda expresión está
bien definida ya que I x - x0 1 < r, i = 1,2 Además, si
fajamos el punto 8 y el punto A lo acercamos al eje x tanto
como se quiera, esto es que si y a se acerca a O , la distancia
asa definida se hace tan grande como se quiera, es decir,
lis od(A B) = 44». (fig B 32-a)
VI
Por otro lado si ya se acerca a ya tanto como se quiera,
la distancia asa definida se acerca a O, es decir,
1.1» d(A,B) = O (fag • 32-a) Y1•--er Y21
Cabe salar que otros autores definen la distancia
hiperbólica de una forma equivalente a al que presentamos
anteriormente; por ejemplo Boone [Boone, James, 19943, la
define asá:
In (ya / ya) , si xa = ma y ya 2 ya d(A,B) =
ccc seri - cot(1)/(csca - cota)] SI App e Lahr ln (x # xa)
Los ángulos a y p son los formados por los radios eucl idea-nos de los puntos A y 8 respectivamente y el eje x (fag 32-b)
-43- 2 3 Los Axiomas de Sirkhoff en el Modelo del Semiplano
Superior
A continuación verificaremos que los Axiomas de Sirkhoff
cuyo Postulado central es el Postulado de la Regla y que
presentamos en el capitulo anterior, se satisfacen en el
Modelo del Semiplano Superior Además verificaremos que el
Postulado de Lobachevski se cumple en el Modelo entonces
resultará que las proposiciones de la geometria hiperbólica
se verifican en el mismo
Primeramente verificaremos que el Postulado de
Lobachevski se cumple en el Modelo del Semaplano Superior
Sea I una recta y Pfic il yt) un punto cualquiera que no
pertenezca a 1 Verifiquemos que por P pasan al menos dos
rectas que no cortan a
Para esto supongamos que
La recta I es una renta hiperbólica tapo I Por ejemplo
x = a, con a e R Cfig 1 33)
)1 I , s 0.‘ . < 711 rt , , %
• , . , , , ,
fig N 33 ,
-44-
Como P no pertenece a / entonces x a gil a, dado que si x l= a, entonces x a de esta forma satisface la ecuación de la recta
y con esto P e 1, asl la recta de ecuación x = xe es una de
las rectas que no corta a 1, llamémosle l a (esta recta es del
tapo I)
Por otro lado consideremos el punto medio eucladeano
entre los puntos P y (a,0) que llamaremos M Mg M33) con
coordenadas (c,d) = (Oc a+ a)/2 , ya/2) Sea además a la
pendiente de la recta euclideana, que pasa por P y (a,0), es
decir,
= ya/(xl- a), luego consideremos la pendiente p a= -1/s
(la pendiente al corresponde a la de la recta euclideana
perpendicular a la recta euclideana que pasa por P y (a,0)) y
tomemos la recta euclideana de ecuación y s ta (): - c) + d que
corresponde a la recta euclideana mediatriz del segmento
euclideano entre los puntos P y (a,0) Finalmente al resolver
el sistema de ecuaciones lineales
y s 0
y =(x - e) + d
resulta como solución la pareja ()c o ya) = (c - din 1 0),
que corresponde al centro euclideano de la recta hiperbólica
tipo II, cuyo radio es la distancia eucladeana entre los
puntos P y (xe ya) Siendo esta recta hiperbólica otra de las
rectas que no corta a / Llamémosle / a
Así hemos determinado la existencia de al menos dos
rectas hiperbólicas l a y la que no cortan 1 Con lo cual se
verifica para este caso el Postulado de Lobachevski
-45- 1.1 La recta hiperbólica 1 es del tapo II Por ejemplo la
recta de ecuación (x - x0) 3+ ya = r• (fig 41 34) Llamémosle A(x • w y• ) y 13(x • py •) a los puntos de intersección del eje x con
la recta hiperbólica 1 Conside -mos por un lado la recta
mediatriz euclideana entre los puntos P y A que tendrá por
ecuación y = st (x - c a) + di (*) donde a = -1/m (con a = (y,- y a)/(x x1) ) y el punto (c
tF elI) = ( (x I + x1)/2, (y1+ y)/2 )
Luego determinemos el punto solución del sistema formado
por la ecuación (*) y el eje x p al cual llamaremos Al con coordenadas (c - d a/e , O) que corresponde al centro euclideano
de una de las rectas hiperbólicas que no corta a 1; de radio la distancia euclzdeana entre los puntos P y A l Llamémosle 1 1 a esta recta hiperbólica
De manera análoga consideremos la recta mediatriz
euclideana entre los puntos P y D con ecuaciónt
-46-
y =(x - c) + d (**)
donde= -1/0 (con m = (y - y )/(X - X ) ) • t
y el punto (c ,d ) = ( (x + x )/2 , (y+ y )/2 ) a a t • a •
Luego determinemos el punto solución del sistema
formado por la ecuación (**) y el eje x (y = O), el cual
llamaremos B con coordenadas (c - d a /aa , O), que
corresponde al centro euclideano de otra recta hiperbólica que
no corta a /, de radio la distancia euclideana entre los
puntos P y Ba Llamémosle / a a esta recta hiperbólica
De esta forma hemos determinado las rectas hiperbólicas
que no cortan a 1, ~ince/idos. 254 el Postulado de 1 Lobachevsk: en el Modelo del Semaplano Superior
Ahora nos propondremos verificar que los Axiomas de
Birkhoff se satisfacen en el Modelo del Semiplano Superior
Convendremos considerar como equivalentes los conceptos
postulado y axioma
Antes de la prueba del conjunto de Postulado de Birkhoff,
vamos a considerar sin pérdida de generalidad que si se dan
dos puntos por ejemplo P(x Iey ) y 0(x py ); entonces x < x a Y 2 2 a
que ya< ya, ya que los otros casos se harán de manera análoga
Postulado 1:
Dados dos puntos distintos, existe una única
recta que los contiene
-47 -
Prueba:
Sean P(x l y) y Gl(x2 py ) dos puntos distintos de H De
donde se dan las siguientes posibilidades
z Si x 1= x, entonces la única recta hiperbólica que los
contiene es la de ecuación x = x la cual es del tipo I,
dado que ésta queda determinada por el valor de
Llamémosle /a (fig é 35)
.14
051. it; GhLIA dez
xsix,
(h-5f0 )0• fig 35
zz Si x1:11 xa, entonces consideremos la mediatraz euclideana
(fig 0 35) entre los puntos P y O de ecuación
y = al(x - h) + k (*)
donde sz = -1/zz (con a = (y- y1)/(x- x) )
y el punto (h,k) = ( (x 1+ x1)/2 , (ya+ y1)/2 )
Luego determinemos el punto solución del sistema formado
por (*) y el eje x (y = O), el cual tiene coordenadas
(h - kisa , O) que corresponde al centro euclideano de la
recta hiperbólica que pasa por P y O Siendo ésta del tapo II
Llamémosle 1 a a esta recta La unicidad de l a viene dada por
su centro (h - kisa , O) y su radio que están determinados de
forma única por xeyexavya
-4(3-
Asa hemos verificado que el Postulado 1 se cumple
Postulado 21 (Postulado de la Distancia)
Dados dos puntos distintos a estos corresponde un
único flamero real positivo
Prueba
Es consecuencia inmediata de la definición de
distancia en el Modelo, esto es, si P(xpy I) y Q(x 3 9 y3 ) son
dos puntos distintos en H y
Si la recta hiperbólica que contiene los puntos P y O es
del tapo I Entonces d(12,0) = In (ya/y1) con O < ya < ya
Cfig M 36) Dado que la función Ln es una función blyectiva
entonces d(P,Q) es única y queda determinada por ye y y, V
como y a <ya , entonces y,/y,> 1 y con esto In (y /y ) > O Así a a
d(P,Q) > O
-49- 12 Si la recta hiperbólica que contieneaPyQes del tapo
II Mg g 37) entonces la distancia hiperbólica entre estos puntos viene dada por
1
(x 3 - x0+ r)/y
a
d(P,Q) = In
(x a - x0+ r)/ya
donde (x09 0) es el centro eucladeano de la recta
hiperbólica tipo II Y r es el radio, el cual corresponde a la
distancia euclideana entre P y (x 0,0)
La unicidad de d(P,Q) viene dada por la bayectividad de
la función In , y queda determinada por P y Q, ya que xo y r quedan determinados por P y Q
El hecho de que d(P,(2) > O se da en función del valor ab-
soluto en la definición de la distancia hiperbólica y que PfQ
GIY-1441
PN )4)
(xe ld • X) fig O 37
Ahora nos proponemos verificar que el Postulado de la
Regla se cumple en H
=50
Definición:
La distancia entre dos puntos es el número positivo
obtenido en el postulado de la distancia La distancia entre
dos puntos A y 8 la denotaremos AB
Postulado 3:(De la Regla)
Es posible establecer una correspondencia entre
los puntos de una recta y los números reales tal que.
(2) A cada punto de la recta le corresponda un número real
(.2) A cada número real le corresponda exactamente un
punto de la recta, y
(122) La distancia entre dos puntos es el valor absoluto
de la diferencia de los números correspondientes
Prueba
El Postulado de la Regla habla en sus partes (I) y (Al)
de que dada una recta L, existe una aplicación biyectiva;
f L*-0R (entre puntos de la recta y números reales)
Y en (AA.) dice que para cualesquiera puntos P,Q • H,
d05,0) = If(P) - RO/
Asl, si L es una recta hiperbólica tapo I, por ejemplo
L = 1 entonces resulta sencillo verificar que f definida por
f(a,y) = In y7 satasface (222) del Postulado de la regla y que
f es biyectiva
Veamos que satisface (222) Para esto sean Ina,ya) y
War ya) en H, con ya > ya (fig 38); entonces:
d(P,O) = Iln(ya/y1)1 (1n(ya/y1) >0 ya que ya/ya> 1)
Iln ya - In ya l (prop de 1n)
= Iln ya - In Yal
d(P,Q) = If(apy l) - f(a,ya)I
-51-
~4) = f(P) - f(0)1
Además d(P,Q) = O , si P = O, ya que si P = 2 entonces y a= y In(y1/y1) = In 1 = O
Faltaría probar que f l a ----+ R
P(a,y)--ef(P) = f(a,y) = In y es blyectavaa
- f es anyectiva si y sólo sí V P 1(a,y1), Pa Ca r ya) a la si P a P entonces f(P a) f(P) a
Supongamos que f(111) = fa?
• f(apyl) = f(apya)
• In ye = In ya
• ya ya (In es bayectava)
•=
(a r ys) = Ca r los)
• Pa
= Pa
Así f es anyectiva
- 1 es suryectava sí y sólo sí V k a Rp existe Kap)? e 1e
-62- tal que f(P) = k
f(P) = k
• f(a r yt) = k
• In ye = k
• yt = ek
Así existe (ape k) e /o tal que f(P) = k Asi f es suryectiva
Con esto f es biyectiva
Si L es una recta hiperbólica tipo II por ejemplo L = loo r entonces definimos f(P) = f(x,y) = In (x - xo+ r)/y de manera similar los puntos Pr O a N satisfacen (lir) del Postulado de la regla, esto es que:
V PO: r y )' Gl(x ' y ) e H, d(P,R) = I f(P) - fQ)I Veamos, t a a a
1
(xa - xo + ~4) = In
(x -x + r)/yt a o
~4) = iln (x3 X0
+ r)/ya - In (x - x0 + r)/y1 I a ~1 0 = iln (xt - xo + r)/y1 - In (xo - xo + r)/yo I (1(15,0) = If(xe ye) - f(xopyo) 1 c/(15,0) a If(P) - fan'
Lo que faltaria probar es que f así definida es bayectiva (la prueba de .1 y II)
Veamos primero que f es suryectiva:
Esto es que f L gurR f es suryectiva si y sólo si:
VkeR, existe POc apya)eLtal que f(P) = k
-53- fa') = k
In (x a - xo+ r)/y1 = k
(x - x0+ r)/yt = el t k t sea • = e, pero e > O entonces,
(xt - xo+ r)/ya = s (*) tiene una solución, para cada s > O
SI hacemosz=x-x,resulta que :
= 1711:71 (fig 1139)
As1 sustituyendo en la ecuación (*) resulta:
(z + r)/ 477177= s
Trasponiendo términos y elevando al cuadrado tenemos z+ 2rz + r z = sa(r - za z )
que al factorizarlo es
(1 + sa)za + 2rz + (1 - sa)r a = O Co)
JI. )'!
a • • I a
• 1 • X
ate Ka fig 39
Resolviendo la ecuación cuadrátaca CO), resultan como
soluciones en z
z =-r 6 z = r((sz - 1)/(s + 1)) (***)
-54 —
Si consideramos la segunda solución de (***), poc y y) es
una solución de f(P) = k , para cada k e R, donde:
xt = xo+ r((sa - 1)/(sa + 1))
es decir x = xo+ r(Ce 1)/(eak+ 1))
y como tanh(k) = (eak - 1)/(e+ 1)
entonces xa = xo+ rtanh(k) (&)
Por otro lado, como y t = J772171721 luego y = %ir a- r atanha(k) 4 a entonces y1 = rsech(k) (&&)
De esta forma se prueba que f es suryectiva
Para la prueba de la inyectividad, es suficiente analizar
las soluciones de (**), dado que si f no fuera inyectiva
(**) tendría al menos dos soluciones posibles para algún
5 > 0
Pero la solución z = -r de (***) no es posible ya que
entonces ya = 0, lo cual no es posible que ocurra en (*)
Así f es inyectiva Luego f es Invectiva.
-55- Postulado 4:
Dados dos puntos podemos escoger un sistema de
coordenadas tal que la coordenadas del primero le corresponda
el cero y a la coordenadas del segundo un número real positivo
Prueba
Sean Pfx Épy ) y 2(x a l ya ) dos puntos distintos en H Consideremos adends la aplicacadn:
dmRxlit---0111 U(0)
= d(P,A)
La aplicación O está bien definida ya que d está bien definida
Asi r si consideramos el punto PC:c o ya), a éste le corresponde:
•(P) = d(P,P)
= If(P) - f(P1, (donde I es la aplicación
que aparece en el Postulado 3)
4I(P ) = O
Por otro lado, si consideramos el punto 0(xe,ya), a éste
le corresponde: •(61) = d(P,61), que como ya probamos en el
Postulado de la regla es un número mayor que cero, dado que P
y O son dos puntos distintos
Definición:
Llamaremos segmento hiperbólico a la porción de
una recta hiperbólica limitada por dos puntos , que llamaremos
extremos del segmento hiperbólico (fig é 40)
-06.•
Definición.
C está entre A y 8 sui
2) A, C y 8 son puntos distintos de la misma recta y
22) AC + CD = AB
Definición:
Un conjunto n se llama convexo si para cada dos
puntos A y 8 de n, todo el segmento AB está en n
Las dos últimas definiciones las podemos adaptar a nuestro
Modelo con tan sólo considerar las rectas hiperbólicas como
las rectas de la que habla la definición, al igual que los
segmentos hiperbólicos como los segmentos (fag 0 40-a)
-57-
ir
á k X fig 0 40-a
Postulado 51
Dada una recta en el plano Los puntos del plano
que no están en la recta forman dos conjuntos convexos y tales
que si un punto está en un conjunto y el otro punto está en el
otro conjunto, entonces el segmento que estos determinan corta
a la recta
Prueba
Sea L una recta en el plano hiperbólico II
2 Si L es una recta hiperbólica del tipo 1, por ejemplo
L = 1 (lig * 41), entonces los puntos que no están en L
forman dos conjuntos, a saber:
t= <Cx,y) e NI x > a>
y Siss <(x,y) • NI x < a>
-013-
Primeramente probemos que estos conjuntos son convexos
Probemos que es convexo
Consideremos a PCx f yt) • S y Wx py St; por a a demostrar que el segmento PO S 84 Mg 42)
io.094,4A
cp% I Flt •
X L %%X I fig 42
-59- a 1 Si X a xa (fag 42), entonces el segmento a
hiperbólico PO es una porción de la recta hiperbólica tipo I, ix ( x = x
t)
Sea R(x epy ) e PO (x = xt) Por demostrar que R e S
Pero comoRePO entonces xe = xt,Vy>Oycomo Pm St entonces x
a > a así x a, con lo cual R a SI De esta forma 9 es convexo
2 Si x I xe (fag 43), entonces el segmento hiperbólico
PO es una porción de la recta hiperbólica tapo II,
ina con centro en (x,0), xs = c - d/m (donde c= (x+
d = (ya + y1)/2 y m = (x4 - x)/(y - y1)), y radio, la distancia euclideana entre los puntos P y (x 4,0)
Las abscisas x e PO son tales que si xt < xa entonces x t S x S xa
-60-
Sea R(x w y ) e PO Por demostrar que ReSa a e
Como R m PO y si x a < xa entonces xa S xa S xa y como P e 9 ent a > a de esta forma x > a , luego R eS
Así S es convexo
Analogamente se prueba que S a es convexo
JJ Si L es una recta hiperbólica del tapo IX, por ejemplo
L c heea (fig 44), entonces los puntos que no están en
L, forman dos conjuntos, a saber
SC C(x,y) o Hl (x - xo) a + ya < r a)
y Si= ((x,y) e Hl (x - xo) a + ya > r a)
>411 fig a 44
Debemos probar que estos conjuntos son convexos
Probemos que Sa es convexo Consideremos a P(x l ya ) eSa y 12(x r ya ) • Sa por a
demostrar que el segmento PO S S a 44)
-61-
Sa
iCANNIED
lOWS)
1 Vas Xo
fig 45 ^
ir I Si xa = x
a (fig * 45), entonces el segmento
hiperbólico PO es una porción de la recta hiperbólica tipo I, las ( x = x
a )
Sea 12(x r y a) a PO (de donde x a x
a, y si y < ya
entonces O < y < ya
< ya
) Por demostrar que R e Sa
Como R e PU, entonces x a le xa
• xa
- xo
=x -x a
• (xa - x ) a la hl
a - x > a o a o
• (Xa
- xo
) a + ya
2 (x11- x0) . + y a ; (y: 2 y:) y como O e 8a entonces (x - x > a + y
: < by%
•• (x a - x0 ) a + y
a% < r'
Entonces R e 8a Ast lit es convexo
si 2 Si xt x
a (fig 11 46), entonces el segmento
hiperbólico PO es una porción de la recta hiperbólica tipo II,
lx4ka con centro en (x4,0); x c
á- d ( donde
c = (x + x)/2, d = (y + y)/2 y m = (x - x)/(ya - a a a
y radio r, la distancia eucladeana entre los puntos P y
(x ,0) •
Las abscisas x e PO son tales que si x a ( xa entonces
xa S x S xs; y las ordenadas son tales que si O < ya < ya entonces O < ya S y S ya
Así, sea ROcapya) e PO y si x a < xa y O < ya < ya entoncea x a S xe S x e y 0 ' ya S y S ys U
De esta forma x -x S x - x o a e o
- Ahora siOSx-x Sxe - xo entonces s o (x -x ) a S (xa - xo) a s o
y como 0 < ye S ya entonces ya. S ya a
'
Así (xe - xo) s + yaa 2 (x - x ) • + y • o e
Luego (x - x )1+ ysaS r a Entonces R e S
t a o
- Los casos donde:
x - xo Sx•-xo <Oy x5- xo S xa - xo < O, se
resuelven de manera similar
Así Ses convexo
r9,
...„.,, ...,
, , .
, , . 1 /
1 14 Xs • X
fag N 46
Veamos ahora la segunda parte de la prueba Esto es que
si tomamos un punto P(x I yl) mas y otro punto Q(x3 py ) e 8a entonces el segmento que los une corta a L
Supongamos que L es una recta hiperbólica tapo I, por ejemplo l e (x a) Así los puntos que no están en L forman
dos conjuntos (lig ó 47), a saber
8i C(x,y) e Hl x > a)
y Saa ((x,y) e Hl x ( a)
Es importante seflálar que el segmento hiperbólico que
formen P con 0 no puede ser una porción de una recta
hiperbólica tipo I; porque si mil fuera, entonces x am xm y de esta forma xa < a y xe> a, lo cual no es posible
Así el segmento hiperbólico que forma P con O es del tipo
II, por ejeaplo /met (fig O 48) Procedamos a determinar el
centro euclideano x y el radio euclideano r de dicha recta
hiperbólica
Sea M(c,d) el punto medio euclideano entrePyri f y sea
m = Oca - xss - ya) la pendiente de la recta me:Matriz
euclideana de PO
Así el centro euclideano de la recta hiperbólica tapo II,
1a4y rI, que pasa por P y 12 es (x ,0), con x d = c - cl/m
y radio r t = Q (xt - x4 ) 21 + yta '
Luego lic4,r 1 = C(x,y)40//(x - x4) 1 + ya = r 1}
Resolviendo el sistema:
Cx- xd ) a + ya = r
x = a
IP resultax=a y yoJr a - Ca- x) • el cual es el punto donde se cortan Id y Ixe rt
De manera análoga se sigue para el caso en donde L es una
recta hiperbólica del tipo II Esto es:
2 Si x a = x, el segmento hiperbólico PO es una porción de
una recta hiperbólica tapo I (fig 49)
22 SiI3 , el segmento hiperbólico PO es una porción de
una recta hiperbólica tipo II (fig 4$ 49)
1p(01 ,r
Z' /001
5 I •
/
"1 -
ettAP
fig 49
Definición,
Llamaremos semiplanos a los conjuntos convexos de
los que habla el postulado S, y la recta se llamará arista de
cada semaplano
Nos proponemos ahora verificar que los Axiomas
relacionados con medida angular se verifican en el Modelo del
Semiplano Superior
Postulado 6:
A cada ángulo le corresponde un nómero real entre O y 1E10
Prueba:
Es consecuencia inmediata de la definición de medida
angular en el Modelos esto es, si P(x e y1) 14(x1v ya) y R(xlo ya) son tres puntos distintos en N y a
-46-z El rayo hiperbólico PO está contenido en una recta
hiperbólica del tipo I, mientras que el rayo hiperbólico PR está contenido en una recta hiperbóla‘a tapo II y además,
-En el rayo PQ ya > yl (lig SO) Entonces
AOPR = le-. -10-.1 pa PM
sOPR = 190 -1Opal , pero -90 < Opa < 90, entonces
O < ¿PR < 180
-Si en el rayo PU, ya > ya (fag 51)
Entonces,
aliPR lel epa - asi
SPR I -90 -
entonces
0 < AWR < 180
, pero -90 < Opa < 90,
c re - NI= ader ePuoP)
08T > kielff > O
5•31.10411B
os + os >re - 'Me I >0 TSe
co4niosee Joie^
lee sepepaidomi Aed) I ate l + lelo I
os >1% 1 « os > re I e
06
06
O > 8
> "O
>
>
06-
06-
orlen!
A
151331.0;u3
'mg # 6:;) /I och4 cm yogJedni e43a4 eun ue optualuo-• y;se aid 021 merad: y oAr.A le A 4 I I °di 4 lee e2t yoq.Aeds ti e43e4 eun ue optuewo, me ed ODI Tochtedy ti ()Av.+ te 1s tr
■L9
-68-
Definición:
Al número especificado es el postulado 6 se llama la medida del ángulo y se escribe 4SAC
Definición:
Llamaremos rayo a la porción de recta que tiene en
uno de sus sentidos un punto inicial y que en el otro sentado es ilimitado
Postulado 7:
Dado un rayo y uno de los semiplanos en que se
divide el plano por este rayo Para cada número real r entre O
y 180, existe un tuco rayo en el semiplano tal que la medida
del ángulo formado por estos rayos es igual a r
Prueba:
Sean PCxIwyI),Obc a f ya ) dos puntos distintos en H y
s Si el rayo hiperbólico PO esté contenido en una recta
hiperbólica del tipo 1, por ejemplo l e y sea :
S. (.x,y) e If/x > a) uno de los se...aplanas en que PO divide
el plano hiperbólico y sea O < r ( 180 un ángulo dado Por
demostrar, existe un único rayo PR E S I tal que AOPR = r
Para determinar el rayo PR con Opa = 90 - r (fig 53),
debemos encontrar el centro de la recta hiperbólica tipo II
Un ,r ), que contiene a PR
Como 6L-spa = 90 - r
entonces -(x -x )/y = tan (90 - r) con y > y a 4 1 a a
así xs = xa + y a tan( 90 - r) (*)
La existencia de PR están dados por la ecuación (a) y su
unicidad, dado que x4 sólo dependen de x a, ya y del número
dado r e entonces se da en función de la ecuación (*)
22 Si el rayo hiperbólico PO está contenido en una recta
hiperbólica del tipo II, y sea :
-70- S = ((x,y) e Of/(x - xo) a + ya > r a
uno de los semiplanos en
que PO divide el plano hiperbólico y sea O < r < 180 un
ángulo dado Por demostrar que existe un único rayo PR E e l
tal que 40PR = r
Para determinar el rayo PR con ola = r +
(lig O 54), debemos encontrar el centro de la recta
hiperbólica tapo II (/• 41,r), que contiene a PR
Como O Pi = r +
ei8 entonces -Cx - x )/y = tan Cr + 0..)
• PO
así x =x +y tan(r + Opa ) (**) 1 • a
La existencia y unicidad de PR están dados por la
ecuación (**)
El considerar el otro semiplano en que el rayo PO divide
al plano hiperbólico se hace de manera análoga
et fr lidiall111111 X
fig 0 54
=71=
Postulado Si
Si P es un punto en el anterior de 4A2C entonces: AASC = 9p + SSC
Prueba
Sea JABC un ángulo hiperbólico dado, con S(x e y1) y sea g y
a) un punto en el interior de APBC 55-a)
PI
y X fig 55-a
Como P está en el anterior de AASC entonces:
auc =len - 410BC =100 - ea" y AASP =len - OP
As! ABC =len - 05.01 Anac -lea - eni+less - 054 ABC gg .ASP + SSC como que:riamos demostrar
Definición
Dos rayos se llaman opuestos si tienen el punto
inicial común y pertenecen a una misma recta
-72- Definición:
Si AB y AC son rayos opuestos y AD es otro rayo,
entonces ASAD y ADAC forman un par lineal Tambien se dice que
estos ángulos son adyacentes
Definicldre
El ángulo formado por dos rayos opuesto suma dos ángulos rectos
Definicidne
Si la suma de la medida de dos ángulos es dos
rectos entonces decimos que los ángulos son suplementarios
Postulado 9: (del suplemento)
Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios
Prueba:
Sean AASP y SSC dos ángulos que formen un par
lineal (fig. 53-b) Asi el ángulo AOC está formado por dos
rayos opuestos entonces AASC = 11:10 ° (1) Además AASP =len-ejjj P spec mien- esal
y AASC =161n- ese(
entonces:
dASP + SSC me-0 +0- • IDA ZIP SP RO
010 - Sc' EA = ¿ABC
= 180° (por 1)
De esta forma hemos verificado que el conjunto de
Postulados de Sirkhoff, cuyo postulado central es el de la
regla se satisfacen en el Modelo del Semaplano Superior de
Poincaré
Con lo cual podemos concluir 4 Je este Modelo, utilizando
los postulados de Sirkhoff, es un Modelo de la Geometria
Hiperbólica Así los resultados que se cumplen en esta
geometria, se cumplen tambien en el Modelo, lo que nos
resultara de gran utilidad en el desarrollo del siguiente
capitulo
CAPITULO III
IWORTANCIA DEL MODELO VENTAJAS Y UMITACIOPES
-74-
3 1 Prueba de que la Consistencia de la Geometria
Hiperbólica se sigue de la Geometria Euclideana
Como habiamos seMalado en el capitulo I, la consistencia
de un sistema axiomático se sigue de la existencia de un
Modelo que lo interprete
De esta forma, podemos concluir que la geometria
hiperbólica es consistente ya que hemos encontrado que existe
el Modelo del Semaplano Superior de Poincará que interpreta
los objetos hiperbólicos
Como los objetos con que se demuestran las proposiciones
de la geometria hiperbólica en el Modelo, son eucladeanos
(puntos, rectas perpendiculares al eje x, semicurcunferencias
ortogonales al eje x) entonces la consistencia de la geometria
hiperbólica se sigue de la consistencia de la geometria
euclideana, la cual no se duda que sea consistente Con lo
que la geometria hiperbólica es tan consistente como la
geometria eucladeana
3 2 Independencia del Quinto Postulado de Euclides de loe
de la Geometria Neutra
Por otro lado un postulado dentro de un sistema
axiomático es independiente de los otros postulados en el
sistema axiomático si y sólo si al sistema axiomático le
quitamos el postulado y le agregamos su negación y el nuevo
sistema axiomático es consistente Así el quinto postulado es
independiente de los cuatro primeros ya que el sistema
-75-
axiomático formado por los cuatros primeros postulados de
Euclides y el postulado de Lobachevski es consistente como
hemos mostrado previamente haciendo uso del Model3 del
Semplano Superior
3 3 Proporciona un Método de Demostración de Resultados de
la Geometria Euclideana
Una de las aplaua iones que tiene la geometria
hiperbólica a través del modelo del semiplano superior de
Poincará es la de poder interpretar resultados de ella para
resolver problemas de la geometria eucladeana; que resultarlan
posiblemente muy complicados de solucionar, sin esta
herramienta Esta forma de interpretar los resultados nos
propor zona un método de demostración de algunos teoremas de
la geometria euclideana
Veamos algunos de estos resultados
Teoremas
Sea 1 una recta, Cs una circunferencia con centro en
1 Sea P un punto exterior a C a Sean C y C• dos
circunferencias tangentes a C 1 con centros en 1 y tales que
pasen por PI y sea C2 una circunferencia ortogonal a Ca con
centro en 1 que pasa por P Entonces el ángulo formado por C2
y C2 y el formado por Ce y C2 en P son iguales (fig 0 55)
-76—
Teorema:
Sea ABC la figura formada por arcos de circunferencia tuyos centros pasan por alguna recta I dada Entonces la suma de los ángulos Internos de ABC es menor que dos rectos (lig 0 56)
fag 0 56
La demostración de estos teoremas resultarlan algo complicado, si utilazaramos las propiedades de las
-77-
circunferencias tangentes y ortogonales, en el caso de un
enfoque sintético o si nos apoyáramos en la geometria
analitica Sin embargo, estos resultados corresponden en el
Modelo del Semaplano Superior de Poincaré, el primero, a los
ángulos de paralelismos a izquierda y a derecha, que como
demostramos en el capitulo I, son iguales, por otro lado el
segundo, a la suma de los ángulos internos de todo triángulo
que como también demostramos en el capitulo I, suman menos de
dos re tos
3 4 El Modelo sirve para Mostrar como lucen Algunas Curvas
Características de la Geometria Hiperbólica
Resulta Interesante analizar y ver como lucen algunas
curvas particulares de la geometria hiperbólica, en el Modelo
del Semiplano Superior; las cuales siguen trayectorias
ortogonales Entre las cuales podemos seflálar Las
Larcunferencias no euclid , las equidistantes y los
2riri los Las ruales definiremos más adelante
3 4 1 Haces en la Geometria Hiperbólica
A continuación definiremos los tipos de haces que se
presentan en la geometria hiperbólica
Definición.
Al conjunto de rectas que pasan por un mismo punto,
las llamaremos haz elíptico Mg 0 57)
-78-
Á
Ja
JI fig 57
Definición:
Al conjunto de rectas paralelas entre si, en una
dirección determinada las llamaremos haz parabólico Mg * 58)
4):
s.
ftg 58 sil
Definicidne
Al conjunto de rectas perpendiculares a alguna
recta dada, las llamaremos haz hiperbólico (lig 0 59)
-79—
3 4 2 Curvas Características de la Geometria Hiperbólica
Ahora, definiremos algunas curvas hiperbólicas, e
Ilustraremos la forma como lucen en el Modelo deL Semiplano
Superior de %mascaré
Definición:
LLamaremos circunferencias en la geometria
hiperbólica a las trayectorias ortogonales de haces elípticos
(fig ó 60)
Vs
fig It 60
-80—
Notemos algunas caracterists‘as de las rlr unferencias no
eucladeanas
- Observemos que las carcunferenrsas en la geometria
hiperbólica, en el Modelo, lucen igual que las circunferencias
euclideanas Sin embargo sus centros no coinciden
- Se cumple la propiedad de formar ángulos rectos con
rada uno de sus radios que es una propiedad de todas las
rircunferencias
- Las circunferencias no euclideanas corresponden al
lugar geométrico de los puntos que equadistan de su centro
Definición:
Llamaremos Equidistantes a las trayectorias
ortogonales de haces hiperbólicos (fag 61)
Sas« lig 61
Notemos algunas caractertsticas de las equidistantes:
- Las equidistantes tambien se pueden definir como el lugar
geométrico de los puntos que están a igual distancia de una
recta hiperbólica que se llama Base de las equidistantes
- Si tenemos una recta 1 hiperbólica tipo II en el Modelo
del Semaplano Superior con puntos frontera U y V (fig * 61)
entonces las equidistantes a la recta 1 es un arco circular
Eucladeano que pasa por U y V
- Además el siguiente teorema muestra que segmentos
hiperbólicos congruentes pueden diferir de manera radical en
su longitud eucladeana
Teorema
Toda recta eucladeana en el Modelo del Semiplano
Superior que no sea ni paralela, ni perpendicular al eje de
las x es una recta de equidistancia
Demostración:
Sea n la recta euclideana que corta al eje x en
un punto (a,0) Construyamos la recta hiperbólica 1 del tipo I
que pase por (a,0) Sea P un punto sobre 1 (fig 1:62) Tracemos
la recta hiperbólica tipo II que pasa por P y de centro (a,0),
que llamaremos 1 0 (que es perpendicular a 1), la cual corta a n
en un punto que llamaremos O Construyamos la paralela a 1 que
pasa por a y llamémosle r Así el ángulo de paralelismo que
llamaremos a, es igual al ángulo que forma n con el eje x, ya
que el eje x es perpendicular a mi y n es perpendicular a la
tangente a 1' en el punto O, los cuales son los lados del
ángulo de paralelismo De esta forma, todos los segmentos
hiperbólicos que están entre » y 1 (los cuales serán del tipo
II) tienen el mismo ángulo de paralelismo, luego son
iguales Así todos los puntos de I equidastan de los puntos de JP
Hemos demostrado que los segmentos hiperbólicos PO, AB,
CD, etc, tienen igual longitud Pero euclideanamente sabemos
que esas mismas longitudes de arco, son diferentes
Definición:
Llamaremos °rancios a las trayectorias ortogonales
de haces parabólicos (fig 0 63)
-83-
3 5 Importancia del Modelo en la Enseflánza
Resultan interesantes, muchos de 12s resultados que
se desarrollan en la geometría hiperbólica, algunos ya vistos
en los capítulos precedentes, los cuales se oponen a la
geometría euclideana Pero existen otros resultados que son
muy interesantes como por ejemplo las relaciones
trigonométricas básicas y la famosa fórmula de
Lobachevski-Bolyai que algunos matemáticos destacados la
llaman La fórmula más importante en Matemática; las cuales
analizaremos a cuitinuarión
3 5 1 Fórmula de Lobachevski -Solyai
La fórmula de Lobachevska-Bolyai nos permite encontrar la
relación entre el ángulo de paralelismo (que llamaremos a) y
la longitud de la perpendicular a la recta / (que llamaremos
y), trazada desde un punto P que no pertenece a / (fíg * 64)
r Y
lA fig 64
-84-
Para determinar la fórmula de Lobachevski-Bolyaz, haremos
uso del Modelo de Poincaré del Semiplano Superior
Sea a = n(y) el ángulo de paralelismo correspondiente a
una longitud y, que como sabemos por el contrareclproco del
teorema 6 (del capitulo I), no depende de la posición en que
esté Sea a una recta hiperbólica tapo I (de abscisa a), sea 1
una recta hiperbólica tipo II cuyo centro eucladeano sea el
pie de la recta a intersertada con el eje x (llamémosle R, el
cual tendrá roordenadas (a,0) ) y cuyo radio sea la unidad
Así a y son perpendiculares, llamémosle 12(apy s) al punto de
intersección de a y 1 Sea P(apys) un punto de r que esté en
el exterior de 1 Sean n y p las paralelas a 1 que pasan por
P Así llamémosle y a la longitud no-euclideana PO y con esto
sea a = n(y) el ángulo de paralelismo de las rectas y p por
P, en uno de los sentidos (fig 65)
Sea h la distancia euclideana entre los puntos P y R
(fig 41 66)
-Os-
Así h = ya , mientras que yi = 1, ya que la distancia
euclideana entre R y O es la unidad, dado que corresponde al
radio euclideano de la recta hiperbólica 1
Como a es del tipo I, entonres:
y = In (y/y1), donde x a = xa = a
y = In (y2) (y1 = 1)
(1)
Sean S y T los centros eucladeanos de las rectas
hiperbólicas p y p respectivamente, sea PK la tangente a p en
P, de donde ST á TP, dado que corresponden a radio y tangentes
euclideanas de p De esta forma, considerando los triángulos
SPT y PRT, los ‘uales tienen el ángulo PTS en común y
ASPT a APRT (ángulo recto), entonces APST a 41115K = a (ángulo
de paralelismo a derecha) Sea V el punto de intersecridn de f
ron el eje x cuya distancia euclideana a S sea igual al radio
de la recta hiperbólica p Construyamos el segmento eucladeano
PV, con lo cual, el triángulo SPV es isósceles (SP a SV)
Sea /9 • APVS así en el triángulo SPV: a + 2p . n luego p - a)/2
-86- Del triángulo PRV resulta
RP/RV = tanp
entonces h/1 = tanp (h = RP y RV = I) entonces ya = tanp (h = y2) entonces ya = cot(a/2) (2)
De (I) y (2) se sigue
entonces
así arc tan
entonces
de donde
que:
y = In cot(a/2)
= cot(m/2) -r e = tan(m/2) -r e = of2
• = 2 arc tan e-Y
r(y) = 2 arc tan e -Y
Que corresponde a la fórmula de Lobachevski-Bolyai , la cual
presenta al ángulo de paralelismo dependiente &locamente de
la longitud del segmento hiperbólico y
3 5 2 Relaciones Trigonométricas Básicas de Lobachsvski
Haciendo uso del Modelo del Semiplano Superior de
%amaré, presentaremos las relaciones trigonométricas
hiperbólicas básicas que se verifican en la trigonometría Lobachevskiana
Empecemos por deducir la fórmula trigonométrica
Lobachevskiana que expresa un lado de un triángulo en función
de sus ángulos internos; lo que indica que en la geometría de
Lobachevska, la longutud de los lados de un triángulo queda
determinada por sus ángulos Internos, situación ésta, que no
ocurre en la geometría Euclideana Este planteamiento, trae
consigo, el hecho de que en la
existen triángulos semejantes
.47-
geometria de Lobarhevski no
Veamos ese resultado
Sea ABC un triángulo cualquiera, en el Modelo del
Semiplano Superior de Poincaré, sean a, fi‘ y las medidas de
los ángulos Internos de A,B,C y sean a, b, c las longitudes no
eucladeanas de los lados opuestos a a, pro y respectivamente,
el cual, a través de un desplazamiento congruente, hacemos
coincidir, sin pérdida de generalidad, el lado BC con un
segmento no euclzdeano que esté contenido en una recta
hiperbólica tapo I Mg * 67)
Como a es un segmento hiperbólico tipo I Entonces
a = In (ya/ye )
(1)
Asi cosita = (elatYral + erineYral )/2
entonces cosita = Cyly s + y 1/y3)/2 a entonces cosha = (y 3t ya )/2y ya (2)
a ae
a a pero y as r a - OH (por teorema de pitégoras)
-68- a as! y = OS' - OH (ra = OA) (3) a
analogamente y = OPA - O'H' (4)
Sumando (3) y (4) resulta
ya: + y:
: = OS' + OPA' - (OH' + O'H')
= DOP I + 2 DA OPA cos AMO' - C(DH-OPH) . + 2 OH OPH1 = 0091 + 2 DA OPA cos AMO , - 00 ,2 - 2 OH OPH
= 2 08 OPC cos AMO' - 2 OH OPH (5)
De (2) y (5) resulta
cosha = (08)/19 1 (OPC)/y1 con 4350' - (OH)/y1 (0 1 14)/y1 (6)
Pero (08)/ya mi l/senp <porque 480H = (3) (Ver fig 41 68) (OPC)/y, = 1/seny (porque 4COPH = n - r
y sen fa - r) . se.r) C'S 43ADP = cosa (porque a es el ángulo comprendido
entre las tangente, luego es igual
al comprendido entre los
respectivos radios)
(OH)/y4 = cotp
(OPH)/ya= -cotio (porque cot (n - r) = - cetr
Sustituyendo en (6) resulta
cocha = Ihsen8 1/seny cosa + cotpcoty
de donde
cocha = (cosa + cospcosr)/senp sem, (7)
La fórmula (7) nos proporciona la longitud no euclideana del
lado a en función &laca y exclusivamente de sus ángulos
internos
-69-
De manera análoga podemos determinar la longitud de los
otros lados en función de a, Al, r, esto es
coshb = (cosp + L2sr rosa)/senr sena (8) y
‘oshc = (cono + cosa cos0D/sena senP (9)
e 1 -
Sal lig I 68 X
Pasemos ahora a deducir la fórmula que presenta la
relación entre los lados y los ángulos no eucladeanos
senha/sena =coz/Cr/sena (senhaa os coshaa - 1 )
IfiC OSO + COSA COSr) a ••• senaft serrr 4/sena senp sena'
Haciendo
P = Vkcosa + coso cosr) a - senap faenar .
Resultas
senha/sena = IrTY sena sen sena,
Analogamente,
senhb/senp • TPY sena senP senr y senhc/senr = YrP, sena senP sena,
-90-
Asi,
senha/sena = senhb/senP = senhc/senr = "sena senP senr (10)
La relación (10) nos proporciona la relación entre los
lados y los ángulos de un triángulo no eucladeano
Por otro lado, considerando (8) y (9) , multiplicando
resulta
coshb coshc
= (cosp + ros? cosa)(cosr + cosa cospO/sen act senp senr
y por otr3 lado
senhb senhc cosa = P cosa/men sa senp senr
De donde haciendo las respectivas simplificaciones resulta
que coshb oshc - senhb senhc cosa
= (cosa + cos 9 cosr)/senp senr
= cosha
Despejando cosa se tiene
cosa = (coshb coshc - cosha)/senhb senhc; (11)
que proporciona el valor de un ángulo en relación a los lados
del triángulo no euclideano
De esta forma hemos deducido las fórmulas trigonométricas
básicas de la geometria Hiperbólica haciendo uso del Modelo
del Semipiano Superior de Poincará En donde hemos determinado
la interdependencia que existe entre los lados y los ángulos
internos de un triángulo en la geometria Hiperbólica;
resultados que no ocurren en la geometria Euclideana, lo cual
permite decir que son resultados que se oponen, como
esperábamos que ocurriera
3 6 La Geometria Hiperbólica en Regiones Infinitesimales
Veamos ahora el comportamiento de la geometria
hiperbólica en regiones infinitesimales
Para esto, consideremos segmentos hiperbólicos uya
longitud no sea mayor que y o, con yo positivo
Luego ha‘iendo
ae = 2 arr tan e-Yo
de donde, si y S yo, entonces
ae S n(y) S n/2
Pero ae se puede hacer tan próxima a n/2 como se desee,
haciendo que yo se haga tan pequefle como se quiera De esta
forma para todos los segmentos hiperbólicos y S y o el ángulo
de paralelismo n(y) se hace tan próximo a n/2 Esto demuestra
que en regiones muy pequeflás o infinitesimales, la geometria
hiperbólica se comporta como la geometria euclideana
-92- 3 7 Prerequisitos para la Entallaras de la geometria
Hiperbólica, haciendo uso del Modelo del Semiplano Superior de Poincará
En el presente trabajo se desarrollan los hipa os
elementales de la Geometria Hiperbólica en el Modelo del
Semsplano Superior de Poincaré utilizando los postulados de
Bzrkhoff, los cuales se consideran una gran contribución al
mejor entendimiento de la geometria, como lo sedála E Moise y
F Downs [Moise, E y Downs, F 19721, cuando diren Durante
varios siglos, el concepto de medida , tanto para segmentos
romo para ángulos, ha sido una idea central en ~merla
Los Postulados de Birkhoff introducen este concepto desde el
principio, describen los métodos que todo el mundo emplea
Así, aun cuando los postulados de Sirkhoff no están entre sus
grandes contribuciones al conocimiento matemático, ellos no
obstante, contribuyeron grandemente a un entendimiento mejor
de la geometria
Por otro lado, como nuestra propuesta está orientada a
estudiantes de la era en Matemática, consideramos que los
Lonocimientos previos a este estudio, utilizando el enfoque
antes seMálado, son manejados por éstos
A continuación presentamos la lista de conceptos, de
acuerdo a áreas de estudio de la matemática, que corresponden a los prerequisitos:
- Geometria Euclideana: (se desarrolla en primer ciclo)
1 Términos indefinidos: punto, linea y plano
2 Relaciones de Incidencia
3 Relaciones de Orden
-93-
4 Congruencia: De segmentos, de ángulos y triángulos
- Trigonometría (se desarrolla en quinto affo de esruela
secundaria en el Ba‘hiller en Ciencias
y en Bachiller Industrial)
1 Funciones Trigonométricas Básicas
2 Funciones trigonométricas Inversas
3 Funciones Trigonométricas Hiperbólicas
4 La Función Exponencial y la Función Logaritmo Natu-
ral Además de la relación que existe entre ellas
- Geometría Analítica: (se desarrolla en Sexto allb de escuela
secundaria en el Bachiller en
Ciencias y en Bachiller Industrial)
1 Sistema de Coordenadas Cartesianas
2 Lugares geométricos
3 Punto medio de un segmento
4 Distancia entre dos puntos
S Pendiente de una recta y la relación de
perpendicular-a:dad y paralelismo de dos rectas
respecto a las pendientes
6 Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente
7 Angulo entre dos rectas
8 Ecuación de la circunferencia en su forma canónica
9 Intersección entre rectas, entre circunferencias o
intersección entre rectas y circunferencias
-94-
3 S Ventajas de EnseMar Geometria Hiperbólica con el Modelo
del %mielan° Superior de Poincaré
Como nuestro interés en el trabajo está orientado haria
la enseflanza de la Geometria Hiperbólica , consideramos que lo
accesible de la propuesta, permitirá que nuestros estudiantes
de la Licenciatura en Matemática, empiecen desde muy temprano
(desde su primer ano de Licenciatura), a atender aspectos
tales como
1 La existencia de Geometrias No-Euclideanas Que en
muchos rasos, en la actualidad, se graduan y no las
conocen
2 Postulado es aquello que se acepta san demostración y
no aquello que resulta evidente por lo cual no se
demuestra (como seflalan algunos textos de enseflanza
media)
3 El uso de Modelos Geométricos, que en muchos casos
facilatan demostraciones
4 Conocer en que consiste la Consistencia de un Sistema
Postulacional
S Conocer en que consiste la Completitud de un Sistema
Postulacional
6 Comprender que el Quinto Postulado de Euclides es
independiente de los cuatro primeros en la geometria
Euclideana
-95-
3 9 Posibles Aplicaciones de la Geometria Hiperbólica
A pesar de que nuestra propuesta se centra en lo
relacionado con la ensellánza, cabe seMálar que existen múlti-
ples aplicaciones de la geometria hiperbólica en otras áreas
del saber Como lo indiLa M Berger [Berger, Geometry II],
‘uando dice La geometria Hiperbólica es usada en análisis,
en aritmética, en geometría diferencial, en la teoría de la
relatividad y otros
Asi se deja abierta la posibilidad de nuevos estudios y
trabajos de graduación que centren su atención en lo que
seMala M Berger, lo cual seria de gran importancia en el
estudio de la Geometria Hiperbólica
3 10 Limitaciones
Una de las limitaciones que se presentará en el uso de la
Propuesta que presentamos, es el hecho de no contar con la
certeza de que nuestros estudiantes hayan recibido un curso de
geometria euclideana en sus primeros anos de escuela
secundaria como está estipulado en los contenidos
programáticos del Ministerio de Educación, dado que en muchos
colegios (principalmente públicos) no se cumple con éste
Sin embargo esta limitación puede ser evitada si se
desarrrolla un curso de geometría euclideana antes del curso
de geometria no-euclideana usando el Modelo
Otra de las limitaciones está relacionada con la falta de
bibliografía tanto para desarrollar el trabajo, como para
poner en práctica el uso de la Propuesta Metodológica,
-96-
resultando ser muy complicado el desarrollo de investigaciones
que ayuden a nuestros do entes y estudiantes en la búsqueda de
soluciones a los graves prDblema. a pu" los que atraviesa la
enseManza y el aprendizaje de la matemática y en particular,
la geometria
-97-
CONCLUSIONES
t SE HAN PRESENTADO ALGUNAS CARACTERISTICAS QUE DIFERENCIAN A LA GEOMETRIA HPERBOLICA DE LA GEOMETRIA EUCUDEANA.
2 PROBAMOS as LOS AXIOMAS DE SIRICHOFF ano POSTULADO CENTRAL.
ES EL DE LA REGLA. SE VERIFICAN EN EL MODELO DEL SEIIPLANO
SUPERIOR DE POINCARE
3 EL USO DE HERRAMIENTAS MATEMATICAS ELEMENTALES RESULTO SER
CARACTEREITICO EN EL PRESENTE TRABAJO LO QUE PERMITE MANIFESTAR
QUE RESULTA SENCILLO PARA ESTUDIANTES QUE MANEJEN RESULTADOS DE
LA GEOMETRIA EUCUDEANA, GEOMETRIA ANALITICA Y LA TRIGONOMETRIA.
4 SE DESTACARON LOS ASPECTOS RELACIONADOS CON LA CONSISTENCIA.
LA COMPLETITUD Y LA INDEPENDENCIA DE UN asirEm^ Mona°
5 SE PRESENTO LA IMPORTANCIA DEL MODELO COMO POR EJEIIPLO
PROPORCIONANDO UNA HERRAMIENTA QUE PERMITE DEMOSTRAR RESULTADOS
DE LA monErRew Eucuoramh. COMO LUCEN ALGUNAS cuRvws HIPERBOUCAS Y EN LA DEDUCCION DE LA FORMULA DE
LamacvsecrEtama. amqc ornas.
ab91:1•
RECOMENDACIONES
1. DESARROLLAR LA PRESENTE PROPUESTA PRESENTANDO PRIMEFIAMENTE
ALGUNOS OBJETOS SPERBOLICOS DE MANERA VISUAL LLEGO A UN NIVEL
DE CONSTRUCOONES OEOMETRICAS V FINALMENTE LA PARTE FORMAL
DESARROLLADA EN EL TRABAJO
a PROPONEMOS QUE SE DESARROLLE LA PROPUESTA QUE PREsarrAmos
CON ESTUDIANTES DE LA LICENCIATURA EN MATEMATICA UNA VEZ
QUE HALLAN TOMADO UN CURSO DE GEOMETRIA EUCLJDEANA.
3 DESARROLLAR UN ESTUDIO DE ALGUNAS ~LOCACIONES DE LA
GEOMETRIA HPERBOLICA. EN OTRAS AREAS DE LAS CIE/CIAS EXACTAS
-99-
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