Mecanica de Fluidos General:

Escribir la ecuacion de Stokes

bajo la forma variacional

Olivier Skurtys

Departamento de Ingenierıa Mecanica

Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Email: olivier.skurtys@usm.cl

Santiago, 15 de marzo de 2012

Presentacion

1 Introduccion

Introduccion

Introduccion

1 Introduccion

Introduccion

Definicion del Laplaciano

Laplaciano de u en 2 dimension.

∆~u = ∇2~u = ∇.∇~u =

−→div(∇~u) =

∂2~u

∂x2+

∂2~u

∂y2(1)

Introduccion

Formula de Green

Teorema de Gauss∫

Ω

−→div~w dxdy =

∫

∂Ω

~w.~ndS (2)

Si ~w = ~u.v se puede escribir:

−→div(~u.v) = (~u.∇)v + v.

−→div~u (3)

∫

Ω

−→div(~u.v) dxdy =

∫

Ω

(~u.∇)v dxdy +

∫

Ω

v.−→div~u dxdy (4)

∫

∂Ω

(~u.v).~ndS =

∫

Ω

(~u.∇)v dxdy +

∫

Ω

v.−→divu dxdy (5)

∫

Ω

(~u.∇)v dxdy = −

∫

Ω

v.−→div~u dxdy +

∫

∂Ω

(~u.v).~ndS (6)

Introduccion

∫

Ω

(~u.∇)v dxdy = −

∫

Ω

v.−→div~u dxdy +

∫

∂Ω

(~u.v).~ndS (7)

Para una dimension con Ω = [a; b] y n(a) = −1, n(b) = 1,tenemos:

∫

b

a

u.v′ dx = −

∫

b

a

v.u′ dx+ (u(b)v(b) − u(a)v(a)) (8)

es la integracion por partes.

Introduccion

∫

Ω

v.−→div~u dxdy = −

∫

Ω

(~u.∇)v dxdy +

∫

∂Ω

(~u.v).~ndS (9)

Si ahora remplazamos, ~u por ∇~u tenemos:

∫

Ω

v.−→div(∇~u) dxdy = −

∫

Ω

(∇~u.∇)v dxdy+

∫

∂Ω

(∇~u.v).~ndS (10)

como−→div(∇~u) = ∆~u tenemos:

∫

Ω

v.∆~u dxdy = −

∫

Ω

∇~u.∇v dxdy +

∫

∂Ω

(∇~u.~n).vdS (11)

Esta relacion permite de bajar el grado de derivacion de ~u.

Introduccion

El problema de Stokes

−µ∆~u+∇p = ~f en Ω−→div~u = 0 en Ω

~u = 0 sobre ∂Ω (12)

donde:

µ es la viscosidad dinamica,

~u vector velocidad,

fi las fuerzas exteriores aplicadas al fluido.

Introduccion

Multiplicamos la primera relacion del sistema 12 por unafuncion test v:

−µ(∆~u).v + (∇p).v = (~f).v (13)

integramos:

−

∫

Ω

µ(∆~u).v dxdy +

∫

Ω

(∇p).v dxdy =

∫

Ω

(~f)v dxdy (14)

Ahora se usa:

La integracion por parte por la presion (Ec. 8),

La Ec. 11 por la presion.

Introduccion

Tomamos la primer componente de la velocidad segun x: u1∫

Ω

µ∆u1.v1dΩ = −µ

∫

Ω

(

∂u1

∂x

∂v1

∂x+

∂u1

∂y

∂v1

∂y

)

dxdy

+

∫

∂Ω

(

∂u1

∂xn1 +

∂u1

∂yn2

)

v1 dS (15)

Por la presion tenemos:

∫

Ω

∂p

∂xv1 = −

∫

Ω

p∂v1

∂x+

∫

∂Ω

pn1v1dS (16)

pero sabemos que v1 = 0 sobre ∂Ω entonces

∫

∂Ω

(

∂u1

∂xn1 +

∂u1

∂yn2

)

v1 dS = 0 y

∫

∂Ω

pn1v1dS = 0 (17)

Introduccion

A partir de las ecuaciones 15 y 17 obtenemos por el componenteu1:

µ

∫

Ω

(

∂u1

∂x

∂v1

∂x+

∂u1

∂y

∂v1

∂y

)

dxdy −

∫

Ω

p∂v1

∂xdxdy =

∫

Ω

f1v1dxdx

De la misma manera, obtenemos por el componente develocidad u2 segun y:

µ

∫

Ω

(

∂u2

∂x

∂v2

∂x+

∂u2

∂y

∂v2

∂y

)

dxdy −

∫

Ω

p∂v2

∂xdxdy =

∫

Ω

f2v2dxdx

Introduccion

Ademas, si usamos una funcion test q, la ecuacion decontinuidad se escribe:

∫

Ω

(

∂u1

∂x+

∂u2

∂y

)

qdxdy = 0 (18)

Introduccion

Finalmente, si f1 = f2 = 0 tenemos el sistema de ecuacionessiguientes:

µ

∫

Ω

(

∂u1

∂x

∂v1

∂x+

∂u1

∂y

∂v1

∂y

)

dxdy −

∫

Ω

p∂v1

∂xdxdy = 0

µ

∫

Ω

(

∂u2

∂x

∂v2

∂x+

∂u2

∂y

∂v2

∂y

)

dxdy −

∫

Ω

p∂v2

∂xdxdy = 0

∫

Ω

(

∂u1

∂x+

∂u2

∂y

)

q dxdy = 0 (19)

En codigo FreeFem se escribe:

int2d(Th)(mu*(dx(u1)*dx(v1)+dy(u1)*dy(v1) +dx(u2)*dx(v2)+ dy(u2)*dy(v2))

- dx(v1)*p - dy(v2)*p

+ q*(dx(u1)+dy(u2))

- 1e-10*p*q)

// condicion de frontera