soluciones-prueba3

DuocUC MAT 200 Programa de Matemática Álgebra

1

SOLUCIONES GUIA RESUMEN PRUEBA Nº3

1) Resuelva los siguientes problemas de Progresiones Aritméticas:

a) En la Progresión Aritmética: ....;.17 ;13 ;9 . Determine la suma de los 3.000 primeros términos.

Podemos saber que: 49131317 =−=−=d ; 9=a

Por lo tanto lo que piden es la suma de los 3.000 primeros términos, utilizando la fórmula:

( )[ ]dnan

Sn

⋅−+⋅⋅= 122

→ ( )[ ] 000.021.1841000.3922

000.3

000.3=⋅−+⋅⋅=S

Respuesta: La suma de los 3.000 primeros términos es 18.021.000.

b) En el primer año de negocios un hombre ganó 5.000 dólares y en el último ganó 19.000 dólares. Si cada año ganó 2.000 dólares más que en el año anterior. ¿Cuántos años tuvo el negocio y cuánto ganó en total durante esos años?

Primer año ganó : US$ 5.000 Segundo año ganó: US$ 7.000 Tercer año ganó : US$ 9.000

.

. Último año ganó : US$ 19.000

P.A. { { { 321n321

000.19 ...;;......... 000.9 ; 000.7 ; 000.5

aaaa

→

Donde: 000.2000.5000.7000.7000.9 =−=−=d ; 000.5=a

1º) ( ) dnaan

⋅−+= 1 → ( ) 000.19000.21000.5 =⋅−+ n

8

000.16000.2

000.19000.2000.2000.5

=

=

=−+

n

n

n

2º) ( )[ ]dnan

Sn

⋅−+⋅⋅= 122

→ ( )[ ] 000.96000.218000.522

8

8=⋅−+⋅⋅=S

Respuesta: Tuvo el negocio 8 años y ganó en total US$ 96.000.


2

c) Considere una Progresión Aritmética de primer término 11 y el término de lugar 132 es 404. Determine el término de lugar 40 y la suma de los 58 primeros términos.

Sabemos que: 11=a ; 404132

=a

Para obtener el valor de la diferencia constante “d”, utilizamos la fórmula:

( ) dnaa

n⋅−+= 1 → ( ) 404113211

132=⋅−+= da

3

393131

40413111

=

=⋅

=⋅+

d

d

d

Por lo tanto lo que piden es 40a y

58S , esto es:

1º) ( ) dnaan

⋅−+= 1 → ( ) 12831401140

=⋅−+=a

2º) ( )[ ]dnan

Sn

⋅−+⋅⋅= 122

→ ( )[ ] 597.531581122

58

58=⋅−+⋅⋅=S

Respuesta: El término de lugar 40 es 128 y la suma de los primeros 58 términos es 5.597.

d) Una persona debe pagar una deuda en 32 semanas, pagando $50 la primera semana, $80 la segunda semana, $110 la tercera semana y así sucesivamente. Determine el pago de la semana 20 y el valor total de la deuda.

Primera semana pagó : $ 50 Segunda semana pagó : $ 80 Tercera semana pagó : $ 110

.

.

.

.

P.A. { { { {32321

? ...;;......... 110 ; 80 ; 50

aaaa

→

Donde: 30508080110 =−=−=d ; 50=a


3

1º) ( ) dnaa

n⋅−+= 1 → ( ) 6203012050

20=⋅−+=a

2º) ( )[ ]dnan

Sn

⋅−+⋅⋅= 122

→ ( )[ ] 480.16301325022

32

32=⋅−+⋅⋅=S

Respuesta: El pago de la semana 20 fue de $620 y el valor total de la deuda es de $16.480. 2) Resuelva los siguientes problemas de Progresiones Geométricas:

a) La razón de una Progresión Geométrica es 5 y el quinto término es 875.1 . Calcule los tres primeros términos de la progresión.

SOLUCIÓN:

Podemos saber que: 5=R ; 875.1

5=a

Por lo tanto lo que nos piden lo calcularemos, de la siguiente manera:

1º) 1−⋅= n

nRaa → ( ) 875.15

15 =⋅ −a

875.1625 =⋅a → 3=a

2º) P.G. { { { ........ ; 75 ; 15 ; 3

321aaa

→

RESPUESTA: Los 3 primeros términos de la P.G. son; 75 15, ,3 .

b) Cuatro personas se reparten una cantidad de dinero, que obtuvieron de premio en el Kino, donde cada persona recibirá 4 veces lo que recibirá la anterior. Si la tercera persona recibió $3.200. ¿Cuál fue la suma repartida?

SOLUCIÓN:

Podemos saber que: 4R = ; 200.3a

3=

Por lo tanto lo que nos piden lo calcularemos, de la siguiente manera:

1º) 1−⋅= n

nRaa → ( ) 200.34

13 =⋅ −a


4

200.316 =⋅a → 200=a

2º) ( )1

1

−−⋅

=R

RaS

n

n →

( )( ) 000.17

3

000.51

14

14200 4

4==

−−⋅

=S

RESPUESTA: La suma repartida fue de $17.000. 3) Calcule las siguientes sumatorias:

a) ∑=

−+

60

1

339

k

kk

SOLUCIÓN:

∑=

−+

60

1

339

k

kk ∑∑∑====

⋅−+606060

3

111 39

kkkkk

( ) ( )950.343.3

2

160603609

4

1606022

=+⋅

⋅−⋅++⋅

=

b) ∑=

+

45

1

38

k

k

SOLUCIÓN:

∑=

+

45

1

38

k

k ∑∑===

+4545

3

118

kkk

( )585.071.1458

4

1454522

=⋅++⋅

=


5

c) ∑=

−102

40 3

23

k

k

SOLUCIÓN:

∑=

−102

40 3

23

k

k ∑

∑

===

−−−39102

11 3

23

3

23

kkkk

∑∑∑∑=====

+⋅−−⋅3939102102

1111 3

2 3

3

2 3

kkkkkk

( ) ( )377.13

3

239

2

139393

3

2102

2

11021023 =⋅+

+⋅⋅−⋅−

+⋅⋅=

d) ∑=

+

52

8k

2 k5k

SOLUCIÓN:

∑=

+

52

8k

2 k5k ( ) ( )∑∑==

+−+=7

1k1kk5kk5k 2

522 ∑∑∑∑

====⋅−−⋅+=

772

5252 2

1k1k1k1kk 5k k 5k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

840.542

1775

6172177

215252

56

152215252 =+⋅⋅−+⋅⋅+⋅−+⋅⋅++⋅⋅+⋅=

4) Considere la sucesión { }

kx cuyos términos están definidos en la siguiente tabla:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9

kx 4,5 2,1 1,2 3,4 1,6 2,5 6,2 1,8 5,1

Calcule: ( )27

2

∑=k

kx

SOLUCIÓN:


6

( )27

2

∑=k

kx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2xxxxxx +++++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2,65,26,14,32,11,2 +++++=

66,64=

5) Resuelva en los reales las siguientes ecuaciones:

a) 6)103(2

log =+x

SOLUCIÓN:

( )

18 3

54 64103

103261032

log 6

=⇒=⇔=+

+=⇔=+

xxx

xx

RESPUESTA: La solución de la ecuación es 18=x .

b) 2)32(3)2(3 loglog =−++ xx

SOLUCIÓN:

( ) ( )( ) ( ) ( )

0152

96432

322323223

2

2

2log

=−+

=−+−

−⋅+=⇔=−⋅+

xx

xxx

xxxx

15

1

2

−=

=

=

c

b

a

→ ( ) ( ) ( ) ( )( ) =

±−=

+±−=

⋅

−⋅⋅−±−=

4

111

4

12011

22

1524112

x

2

5

4

10

4

111

1==

+−=x ∧ 3

4

12

4

111

2−=

−=

−−=x

RESPUESTA: La solución de la ecuación es 2

5=x .

6) Determine el valor de n , si:


7

a) ( ) n35,26,3 =

SOLUCIÓN:

( )

.)( 465985,05,23

6,3

5,2 36,3

/ 5,2 6,3

log

log

loglog

log3

apróxn

n

n

=⋅

=

⋅=

=

RESPUESTA: El valor de n es 0,465985.

b) ( ) 6,1832,51022 =⋅ n

SOLUCIÓN:

( )

.)( 178262,02,52

8,1

8,1 2,5 2

/ 102

6,183 2,5

log

log

loglog

log2

apróxn

n

n

=⋅

=

=⋅

=

RESPUESTA: El valor de n es 0,178262.

7) Dados los siguientes números complejos:

iz 321

−= ; iz 512

+= ; iz 653

+=

Determine:

a) 23zz +

SOLUCIÓN:

23zz + iii 1165165 +=+++=

b)

2132 zz −⋅

SOLUCIÓN:

21

32 zz −⋅ ( ) ( ) iiiii 21115364513322 −=−−−=+⋅−−⋅=


8

c) 13zz −

SOLUCIÓN:

13zz − ( ) ( ) 1039093 93 3265 22 ==+=+=−−+= iii

d) 23

2 zz ⋅−

SOLUCIÓN:

23

2 zz ⋅− ( ) iiii 434351265 +=−== +⋅−+

e)

21zz ⋅

SOLUCIÓN:

21zz ⋅ ( ) ( ) iiiiiii 71715721531025132

2 +=++=−−+=+⋅−=

f)

12zz ÷

SOLUCIÓN:

12zz ÷

( )( ) ( )

ii

i

i

i

iii

i

i

i

i+−=

+

+−=

−

−+=

−

+++=

+

+⋅

−

+= 1

94

1313

94

15132

32

151032

32

32

32

51

222

2

8) Usando tablas de verdad, clasifique las siguientes proposiciones en Tautología, Contradicción o

Contingencia.

a) ( ) ( )pqqp ⇔⇒∨

(1) (2)

p

q

qp∨

pq ⇔

)2()1( ⇒

V V F V V

V F V F F

F V V F F

F F F V V

RESPUESTA: La proposición es una CONTINGENCIA.


9

b) ( ) ( )qpqp ∧⇔⇒

(1) (2)

p

q

q

qp⇒

qp ∧

)2()1( ⇔

V V F F V F

V F V V F F

F V F V F F

F F V V F F

RESPUESTA: La proposición es una CONTRADICCIÓN.

c) ( )rpq ∧⇒

(1) (2)

p

q

r

r

rp ∧

)2()1( ⇒

V V V F F F

V V F V V V

V F V F F V

V F F V V V

F V V F F F

F V F V F F

F F V F F V

F F F V F V

RESPUESTA: La proposición es una CONTINGENCIA.


10

d) ( ) ( )qpqp ∨⇒∧

(1) (2)

p

q

qp ∧

qp ∨

)2()1( ⇒

V V V V V

V F F V V

F V F V V

F F F F V

RESPUESTA: La proposición es una TAUTOLOGÍA.

9) Sean p y q proposiciones. Si qp ∧ es Verdadera, determine el valor de verdad de:

( ) ( )qpqp ⇒∧∨

SOLUCIÓN:

Verdaderaqp : ∧ Esto nos permite saber el valor de verdad de p y q , por lo que

tenemos que: Vp : ; Vq :

( ) ( )( ) ( )

F

VF

VFFF

qpqp

∧⇒∧∨

⇒∧∨


11

10) Sean p y q proposiciones. Si qp⇒ es falsa, determine el valor de verdad de:

( ) ( )pqqp ∨⇔⇒

SOLUCIÓN:

Falsaqp :⇒ Esto nos permite saber el valor de verdad de p y q , por lo que

tenemos que: Vp : ; Fq :

( ) ( )( ) ( )

V

VV

VVFF

pqqp

⇔∨⇔⇒

∨⇔⇒

11) Sean p y q proposiciones. Si pq⇒ es falsa, determine el valor de verdad de:

( ) ( )qpqp ∧∨⇒

SOLUCIÓN:

Falsapq :⇒ Esto nos permite saber el valor de verdad de p y q , por lo que

tenemos que: Vq : ; Fp :

( ) ( )( ) ( )

V

FV

FVVV

qpqp

∨∧∨⇒

∧∨⇒

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