soluciones exactas y numéricas de modelos de difusión con ...resumen de la tesis la estructura...

SOLUCIONES EXACTAS Y NUMÉRICAS DE MODELOS DE DIFUSIÓN CON RETARDO EN

DOMINIOS BIDIMENSIONALES Y NO ACOTADOS

Julio Escolano Cerdán

www.ua.es

www.eltallerdigital.com

Departamento de Matematica Aplicada

Escuela Politecnica Superior

Soluciones exactas y numericas de

modelos de difusion con retardo en

dominios bidimensionales y no acotados

Julio Escolano Cerdan

Tesis presentada para obtener el grado de

DOCTOR POR LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE

Programa de Doctorado en:

Metodos Matematicos y Modelizacion en Ciencias e Ingenierıa

Dirigida por:

Francisco Rodrıguez Mateo, Profesor Titular de Universidad

Francisco Vives Macia, Catedratico de Escuela Universitaria

A mis hijas Ana e Inma

Agradecimientos

Esta Tesis Doctoral ha sido posible gracias a un grupo de personas a las

que me gustarıa expresar mi agradecimiento:

En primer lugar, a mis directores de tesis Francisco Rodrıguez Mateo

y Francisco Vives Macia por su orientacion en la eleccion de la lınea de

investigacion, por proporcionarme los documentos y conocimientos que

tan utiles han sido para la elaboracion de los artıculos que forman parte

de este trabajo, por su magnıfico esfuerzo en la supervision y direccion,

y por su motivacion y aliento para presentarlos.

Este agradecimiento lo hago extensivo tambien a los profesores del

Departamento de Matematica Aplicada de la Universidad de Alicante,

M. Angeles Castro por su inestimable ayuda en todo el proceso de ela-

boracion de los artıculos y de la tesis y Jose Antonio Martın Alustiza,

director del grupo de investigacion Ecuaciones diferenciales con retardo,

por sus aportaciones.

Por ultimo, a mi esposa y mis hijas por su paciencia y por su constante

apoyo.

El trabajo desarrollado en esta tesis se inicia en el marco del proyecto

GV06/07, financiado por la Generalitat Valenciana. En su fase final, ha

recibido financiacion parcial del proyecto GRE12-08 de la Universidad

5

6 Agradecimientos

de Alicante. El grupo de investigacion de Ecuaciones diferenciales con

retardo, en cuyo seno se ha realizado el trabajo, ha recibido financiacion de

la Universidad de Alicante a traves de las sucesivas convocatorias anuales

de ayudas a grupos de investigacion (VIGROB-038).

Indice general

Agradecimientos 5

I Sıntesis 13

1 Objetivos, estructura y resumen de la tesis 15

1.1 Antecedentes, objetivos y desarrollo del trabajo de inves-

tigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 La ecuacion de difusion bidimensional con retardo . . . . . 22

1.3 Modelos bidimensionales de conduccion del calor con retardo 26

1.4 Modelos de conduccion del calor con retardo en la semirrecta 32

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II Trabajos publicados 43

2 Proceedings XXI CEDYA 2009 45

2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2 Solucion exacta en forma de serie infinita . . . . . . . . . . 50

2.3 Solucion numerica aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7

8 Indice general

2.4 Condiciones de contorno no-Dirichlet . . . . . . . . . . . . 56

2.5 Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Mathematical and Computer Modelling 2011 61

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Non-Fourier models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Solutions of bidimensional models . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Abstract and Applied Analysis 2013 81

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2 Solutions of DPL models in a semi-infinite domain . . . . . 87

4.3 Numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

III Conclusiones 103

Indice de figuras

2.1 Solucion numerica aproximada uNM(t, x, y) (N = M =

20) del problema (2.1)-(2.4) con funcion inicial ϕ(t, x, y) =

sen(t)x(1 − x)y(1 − y) y parametros τ = 1, l1 = l2 = 1 y

a = b = 1, para y = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53



tx(1− x)y(1− y) y parametros τ = 1, l1 = l2 = 1, a = 1 y

b = 0,75, para y = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54



t2x(1 − x)y(1 − y) y parametros τ = 1, l1 = l2 = 1 y

a = b = 0,1, para y = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1 Temperature evolution, at (x, y) = (0,5, 0,5), for DPL and

DH models with Dirichlet boundary conditions and para-

meters τT = 0, τq = τCu, α = αCu, and initial function

ϕ(x, y, t) = sin(πx) sin(πy). Differences from classical dif-

fusion (top) and from DPL models to DH (bottom). . . . . 72

9

10 Indice de figuras

3.2 Temperature evolution for DPL, DH, and classical diffusion

(Diff) models, with Dirichlet boundary conditions, with

parameters τT = 0, τq = 1, and α = 0,1/π2 (top), or

α = 0,4/π2 (bottom). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3 Temperature evolution for DPL, DH, and classical diffusion

(Diff) models, with Dirichlet boundary conditions, with

τT = 0 and α = αCu. Top: τT = 29τCu, τq = 30τCu. Bottom:

τT = 59τCu, τq = 60τCu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4 Temperature evolution for DH model, with Neumann boun-

dary conditions, with initial function ϕ(x, y, t) = 2et +

et cos(πx) cos(πy)+et cos(πx) cos(2πy), and parameters τ =

1, α = 0,005, for t = 0 (top left), t = 5 (top right), t = 10

(down left), and t = 20 (down right). . . . . . . . . . . . . 76

4.1 Temperature evolution, at x = 10, for DPL, DH, and clas-

sical diffusion (Diff) models with Dirichlet boundary con-

ditions and parameters τT = 0, τq = 1, and initial function

ϕ(x, t) = 2(1−cos(x))/(πx), for α = 0.1 (top) and α = 0.8

(bottom). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Differences from classical diffusion for models DPL and

DH, for the data shown in Figure 1. . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Temperature evolution, for (x, t) ∈ [10, 20] × [0, 10], for

the DH model with Dirichlet boundary conditions and pa-

rameters τT = 0, τq = 1, α = 0.8, and initial function

ϕ(x, t) = 2(1 − cos(x))/(πx) (top), and differences from

DH of DPL(1,1) and DPL(2,1) at x = 10 (bottom). . . . . 94

Indice de figuras 11

4.4 Temperature evolution for DPL, DH, and classical diffu-

sion (Diff) models (left), and differences from DH of DPL

aproximations (right), at x = 10, with Dirichlet boundary

conditions, initial function ϕ(x, t) = 2(1 − cos(x))/(πx),

and parameters α = 0.8, τT = 1 and τq = 1 (top), or

τT = 19 and τq = 20 (down). . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Parte I

Sıntesis

13

Capıtulo 1

Objetivos, estructura y

resumen de la tesis

La estructura general de esta memoria de tesis viene determinada por

la normativa sobre presentacion de tesis por compendio de publicaciones

vigente en la Universidad de Alicante. Esta normativa, de obligado cum-

plimiento para las tesis presentadas dentro de los nuevos programas de

doctorado dependientes de la Escuela de Doctorado de la Universidad de

Alicante, define, de forma bastante rıgida, la estructuracion de los conte-

nidos de la memoria y diversas especificaciones concretas sobre cuestiones

de formato.

La normativa establece que la memoria debe incluir una seccion inicial

de sıntesis en la que se presenten, en una de las dos lenguas oficiales de la

Comunidad Autonoma, los objetivos e hipotesis, los trabajos presentados

y se justifique la unidad tematica, debiendo incorporar un resumen global

de los resultados obtenidos, de la discusion de estos resultados y de las

15

16 Capıtulo 1. Objetivos, estructura y resumen de la tesis

conclusiones finales, proporcionando una idea precisa del contenido de la

tesis.

La segunda seccion debe contener los artıculos o capıtulos de libro

publicados, bajo el tıtulo de Trabajos publicados. Cada uno de los trabajos

publicados debe aparecer como un capıtulo diferenciado, incluyendo la

referencia bibliografica completa, y puede consistir, tal como se presenta

en esta memoria, en una version maquetada para la tesis del trabajo

publicado, debiendo incluirse en este caso una reproduccion de la primera

pagina de la publicacion. La ultima seccion de la tesis debe estar formada

por las conclusiones de la misma.

En este primer capıtulo se presenta el conjunto de aspectos indica-

dos en la normativa para la seccion de Sıntesis, incluyendo un resumen

de todos los contenidos de las publicaciones recogidas en los siguientes

capıtulos de la memoria. Teniendo en cuenta que en las publicaciones

ya se ha llevado a cabo una necesaria labor de sıntesis de resultados, el

cumplimiento de la normativa en este aspecto conlleva una inevitable re-

peticion de parte de los contenidos presentes en las publicaciones, aunque

reflejados aquı de forma conjunta y en una de las lenguas oficiales de la

Comunidad Valenciana.

1.1 Antecedentes, objetivos y desarrollo del

trabajo de investigacion

Los modelos basados en ecuaciones diferenciales constituyen una de las

herramientas fundamentales de la modelizacion matematica. En muy di-

versos problemas reales de la ciencia y la tecnica es preciso tener en cuenta

1.1. Antecedentes, objetivos y desarrollo del trabajo de investigacion 17

que el comportamiento del sistema puede depender, de alguna forma, de

su historia previa, de modo que para poder construir modelos adecuados

para estos procesos es preciso utilizar ecuaciones diferenciales funciona-

les. Entre este tipo de ecuaciones, las ecuaciones diferenciales con retardo

(EDR) y las ecuaciones en derivadas parciales con retardo (EDPR) per-

miten de forma relativamente directa recoger las caracterısticas esenciales

de los procesos en los que existen efectos hereditarios o retardados, por lo

que han encontrado numerosas aplicaciones en problemas y campos muy

variados. Ejemplos de aplicaciones de modelos basados en EDR y EDPR

en problemas, entre otros, de dinamica de poblaciones, transmision de ca-

lor, control de procesos y propiedades de materiales viscoelasticos pueden

encontrarse en los manuales basicos sobre EDR y EDPR (vease, p. ej.,

[1–7] y las referencias allı incluidas).

El modelo clasico para describir procesos de difusion, transmision del

calor o fenomenos de transporte o dispersion es la ecuacion, usualmente

denominada de difusion o de conduccion del calor,

ut(t, x) = a2uxx(t, x). (1.1)

La incorporacion de efectos de retardo en estos procesos da lugar a la

ecuacion generalizada de difusion con retardo

ut(t, x) = a2uxx(t, x) + b2uxx(t− τ, x), (1.2)

donde τ > 0 es el valor del retardo, ecuacion que se reduce al modelo

clasico para b = 0.

En dos tesis anteriores [8, 9], desarrolladas dentro del grupo de Ecua-


ciones diferenciales con retardo de la Universidad de Alicante, se abordo la

construccion de soluciones exactas y numericas de problemas mixtos para

la ecuacion generalizada de difusion con retardo del tipo

ut(t, x) = a2uxx(t, x) + b2uxx(t− τ, x), t > τ, 0 ≤ x ≤ l, (1.3)

con condicion inicial

u(t, x) = ϕ(t, x), 0 ≤ t ≤ τ, 0 ≤ x ≤ l, (1.4)

y condiciones de contorno de tipo Dirichlet

u(t, 0) = u(t, l) = 0, t ≥ 0. (1.5)

Entre los problemas en los que intervienen fenomenos de retardo, ca-

be destacar los fenomenos de conduccion del calor a nivel de microescala,

desde el punto de vista temporal o espacial, en los que se ponen de ma-

nifiesto propiedades que no se corresponden con la ley de Fourier clasica

[10]. Como se explica mas adelante, algunos de los modelos mas usuales

para incorporar estos comportamientos se traducen en modelos de EDPR

o en modelos basados en aproximaciones de distinto orden.

El objetivo general planteado en el proyecto de esta tesis fue la obten-

cion de soluciones exactas y analıtico-numericas de ecuaciones generaliza-

das de difusion con retardo en dominios bidimensionales y no acotados. El

interes fundamental era extender los resultados obtenidos en [8] a domi-

nios mas generales de los allı considerados, permitiendo con ello ampliar

el rango de problemas y aplicaciones en los que podrıan ser de utilidad

resultados similares a los obtendidos en [8]. Asimismo, dado el enorme


interes que se estaba registrando en particular por los modelos no clasi-

cos de conduccion del calor, se incluyo entre los objetivos del proyecto

de tesis la obtencion de soluciones para algunos de los distintos modelos

de conduccion del calor con retardo propuestos en la literatura, con el fin

de disponer de soluciones que facilitaran el estudio comparativo de las

propiedades de los distintos modelos.

De forma algo mas detallada, los objetivos de este trabajo de tesis se

concretan en los siguientes puntos:

1. Obtencion de soluciones analıticas en forma de serie infinita para

la ecuacion generalizada de difusion con retardo en dominios bidimen-

sionales. Se consideran ecuaciones con coeficientes constantes y para la

construccion de las soluciones se utiliza el metodo de separacion de va-

riables. Se consideran distintas condiciones de contorno y se utilizan las

soluciones exactas para obtener aproximaciones numericas continuas me-

diante el truncamiento de las series que definen las soluciones analıticas.

Los algoritmos desarrollados se implementan mediante sistemas de calcu-

lo simbolico y numerico, obteniendo soluciones, exactas o aproximadas

dependiendo del problema considerado, que permiten el calculo efectivo

de sus valores y el estudio de sus comportamientos y propiedades.

2. Obtencion de soluciones similares a las consideradas en el punto

anterior para distintos modelos bidimensionales de conduccion del calor

con retardo. Calculo efectivo de las soluciones y comparacion de las pro-

piedades de los distintos modelos considerados.

3. Obtencion de soluciones analıticas y analıtico-numericas para mo-

delos de conduccion del calor con retardo en la semirrecta. Para la cons-

truccon de las soluciones exactas en este caso se utiliza el metodo de la

transformada de Fourier continua.


A lo largo del desarrollo del trabajo de tesis los resultados parcia-

les obtenidos se han ido presentando en diversos congresos y recogido

en diferentes publicaciones, tal como se enumera a continuacion. Las pu-

blicaciones mas relevantes son las incluidas en la siguiente seccion de la

memoria, Trabajos publicados, segun se indica en el siguiente listado.

Comunicaciones a congresos

1. Escolano, J.; Rodrıguez, F.; Vives, F.; Martın, J.A.

Constructive analytic solutions of mixed problems for the bidimen-

sional diffusion equation with delay.

First French-Spanish Congress of Mathematics, Zaragoza, 2007.

2. Escolano, J.; Vives, F.; Rodrıguez, F.; Martın, J.A.

Obtencion de soluciones exactas y analıtico-numericas de problemas

mixtos para la ecuacion de difusion bidimensional con retardo.

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones / XI Con-

greso de Matematica Aplicada, Ciudad Real, 2009.

3. Escolano, J.; Rodrıguez, F.; Castro, M.A.; Vives, F.; Martın, J.A.

Exact and analytic-numerical solutions of bidimensional lagging mo-

dels of heat conduction.

Mathematical Models of Addictive Behaviour, Medicine & Enginee-

ring 2010, Valencia, 2010.

Publicaciones

1. Escolano, J.; Vives, F.; Rodrıguez, F.; Martın, J.A.

Obtencion de soluciones exactas y analıtico-numericas de problemas


mixtos para la ecuacion de difusion bidimensional con retardo.

Proceedings XXI CEDYA, Cap. 74, 2009. ISBN: 978-84-692-6473-7

Publicacion incluida como Capıtulo 2 de la memoria.




En: L. Jodar (ed.), Modelling for Addictive Behaviour, Medicine

and Engineering 2010, pp. 66–70. Instituto de Matematica Multi-

disciplinar, Valencia, 2010. ISBN: 978-84-693-9537-0




Mathematical and Computer Modelling 54: 1841-1845, 2011.


4. Castro, M.A.; Rodrıguez, F.; Escolano, J.; Martın, J.A.

Exact and Analytic-Numerical Solutions of Lagging Models of Heat

Transfer in a Semi-Infinite Medium.

Abstract and Applied Analysis, Volume 2013, Article ID 397053.


A continuacion se presenta un resumen de los principales resultados

correspondientes a las publicaciones incluidas en los siguientes capıtulos

de la memoria.


1.2 La ecuacion de difusion bidimensional

con retardo

En la publicacion recogida en el Capıtulo 2 se aborda la obtencion de

soluciones exactas y la construccion de aproximaciones numericas conti-

nuas de problemas mixtos para la ecuacion de difusion bidimensional con

retardo,

ut(t, x, y) = a2 (uxx(t, x, y) + uyy(t, x, y))

+ b2 (uxx(t− τ, x, y) + uyy(t− τ, x, y)) ,

t > τ, 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2,


u(t, x, y) = ϕ(t, x, y), 0 ≤ t ≤ τ, 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2,

y, en primer lugar, con condiciones de contorno

u(t, 0, y) = u(t, l1, y) = 0, 0 ≤ t, 0 ≤ y ≤ l2,

u(t, x, 0) = u(t, x, l2) = 0, 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ l1,

aunque posteriormente tambien se consideran condiciones de contorno

mas generales.

El procedimiento utilizado consiste en aplicar el metodo de separacion

de variables y proponer una solucion formal mediante una serie infini-

ta que, bajo condiciones adecuadas de regularidad de la funcion inicial

ϕ(t, x, y), proporciona una solucion exacta del problema. A partir de esta

1.2. La ecuacion de difusion bidimensional con retardo 23

solucion exacta, pueden construirse soluciones numericas continuas trun-

cando la serie infinita en un numero adecuado de terminos, pudiendo

estimarse cotas de error en dominios acotados.

El metodo de separacion de variables, o metodo de Fourier, es una

tecnica clasica para la resolucion de problemas mixtos de ecuaciones en

derivadas parciales, especialmente utilizada en problemas con coeficien-

tes constantes [11–14], escalares o matriciales [15, 16], aunque puede ser

aplicada en problemas con coeficientes variables [17, 18]. Las soluciones

exactas en forma de serie infinita que resultan de la aplicacion de este

metodo, ası como las soluciones numericas aproximadas continuas que se

pueden obtener truncando estas series, se expresan en terminos de los

datos del problema y, en consecuencia, facilitan el analisis de las variacio-

nes de la solucion frente a perturbaciones de los datos, el estudio de sus

propiedades de oscilacion o asintoticas y la evaluacion de la correccion de

los supuestos de los modelo utilizados.

El metodo de separacion de variables tambien ha sido aplicado en

algunos problemas de ecuaciones en derivadas parciales con retardo [19,

20], incluyendo problemas para la ecuacion generalizada de difusion con

retardo en una dimension [8]. La aplicacion del metodo es similar al caso

de ecuaciones en derivadas parciales no funcionales, pero en la ecuacion

separada para el tiempo que se obtiene como resultado se obtiene un

problema de valores iniciales de una ecuacion diferencial con retardo,

siendo necesario disponer de una solucion explicita para este problema.

La aplicacion del metodo de separacion de variables en el problema

considerado en este trabajo lleva a buscar soluciones de la forma

u(t, x, y) = F (t)G(x)H(y)


y, mediante superposicion de estas soluciones, se obtiene la expresion

formal en serie infinita

u(t, x, y) =∞∑n=1

∞∑m=1

Fnm(t) sen

(nπx

l1

)sen

(mπy

l2

),

donde las funciones Fnm(t) corresponden a las soluciones de los problemas

temporales de valores iniciales con retardo

F ′nm(t) + λ2nm(a2Fnm(t) + b2Fnm(t− τ)

)= 0, t > τ,

Fnm(t) = Bnm(t), 0 ≤ t ≤ τ,

para la sucesion doble de valores propios

λ2nm =n2π2

l21+m2π2

l22

y donde las funciones Bnm(t) son los coeficientes de la serie doble de

Fourier de senos de la funcion inicial ϕ(t, x, y), de modo que

ϕ(t, x, y) =∞∑n=1

∞∑m=1

Bnm(t) sen

(nπx

l1

)sen

(mπy

l2

).

Utilizando un resultado previo de [34], que permite dar una expresion

explıcita para las funciones temporales Fnm(t), se deduce la expresion de

la solucion candidata para el problema considerado para valores de t en

cada intervalo [pτ, (p+1)τ ]. Se puede demostrar que esta expresion en serie

infinita es solucion exacta del problema si se asume que la funcion inicial

ϕ(t, x, y) cumple ciertas condiciones de regularidad. Asimismo, truncando

1.2. La ecuacion de difusion bidimensional con retardo 25

las sumas infinitas en n y m en los N y M primeros terminos se obtiene

una solucion numerica continua, uNM(t, x, y), con error acotado.

En la publicacion del Capıtulo 2 se presentan y discuten con mas deta-

lle los resultados indicados, presentando diferentes ejemplos, en terminos

de las funciones iniciales y los valores de los parametros a y b, de solucio-

nes numericas aproximadas que muestran los distintos comportamientos

que pueden exhibir las soluciones de los modelos de difusion con retardo

considerados. Asimismo, se presenta la extension de estos resultados al

caso de condiciones de contorno de tipo no-Dirichlet, incluyendo condi-

ciones tipo Newman,

ux(t, 0, y) = ux(t, l1, y) = 0, 0 ≤ t, 0 ≤ y ≤ l2,

uy(t, x, 0) = uy(t, x, l2) = 0, 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ l1,

o condiciones de contorno mas generales del tipo

Au(t, 0, y) +Bux(t, 0, y) = Au(t, l1, y) +Bux(t, l1, y) = 0,

para la variable x, para 0 ≤ t, 0 ≤ y ≤ l2 y, respectivamente para la

variable y,

Cu(t, x, 0) +Duy(t, x, 0) = Cu(t, x, l2) +Duy(t, x, l2) = 0,

para 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ l1, donde las constantes A y B, y respectivamente

C y D, no son simultaneamente nulas, pudiendo considerarse tambien

condiciones de tipo Dirichlet en un extremo del intervalo de una variable

espacial y de tipo Neumann en el otro extremo.


1.3 Modelos bidimensionales de conduccion

del calor con retardo

Al considerar la ecuacion clasica de difusion o conduccion del calor surge

una cuestion, que se ha venido planteando desde hace ya largo tiem-

po, sobre su falta de fundamento fısico, ya que este modelo implica una

velocidad de propagacion infinita [21–23]. Se han propuesto diferentes va-

riaciones del modelo clasico, especialmente en el campo de la transmision

del calor, que dan lugar a velocidades de propagacion finitas y que pue-

den, por tanto, resultar en modelos mas realistas en situaciones en las

que existen fenomenos de “inercia” termica, ondas de calor o respuestas

retardadas a las perturbaciones (vease, por ejemplo, [24]).

Consideremos el fenomeno de la conduccion del calor en una dimen-

sion, cuyo modelo clasico esta basado en la ley de Fourier

q(t, x) = −kux(t, x),

donde q es el flujo de calor, u la temperatura y k > 0 es la conductividad

termica, un coeficiente que mide la capacidad del material para conducir

el calor. La ecuacion clasica de difusion se obtiene combinando la ley de

Fourier con la ecuacion de conservacion de la energıa

−qx(t, x) +Q(t, x) = Cput(t, x),

donde Cp es el calor especıfico por unidad de volumen, Q es la energıa

termica generada por unidad de tiempo y volumen, correspondiendo a

la posible existencia de fuentes de calor, y a2 = k/Cp es la difusividad

1.3. Modelos bidimensionales de conduccion del calor con retardo 27

termica.

El modelo clasico de conduccion del calor proporciona descripciones

macroscopicas precisas del comportamiento, en periodos largos de tiem-

po, de sistemas con dimensiones espaciales suficientemente grandes, por

lo que se ha venido aplicando de forma plenamente satisfactoria en los

problemas tecnicos convencionales. Sin embargo, existen diversos proble-

mas, como se ha venido poniendo de manifiesto de forma creciente en

las ultimas decadas, en los que se necesita una descripcion de la conduc-

cion del calor a escala microscopica o en los que se producen fenomenos

transitorios rapidos. Ejemplos de este tipo de problemas son el analisis

del calentamiento de estructuras de laminas delgadas mediante laseres

ultrarrapidos o el fenomeno del segundo sonido en el helio [25–28], en los

que es preciso considerar modelos, denominados modelos de conduccion

del calor no-clasicos o no-Fourier, que incluyan retardos en el flujo de

calor y/o en el gradiente de temperatura [10, 29].

Uno de los modelos de este tipo que ha recibido mas atencion en la

literatura especializada es el modelo denominado de retardo de fase dual

(dual-phase-lagging o DPL) propuesto por Tzou [10]. En este modelo la

ley de Fourier se reemplaza por

q(t+ τq, x) = −kux(t+ τu, x),

donde τq y τu son, respectivamente, los retardos del flujo de calor y del

gradiente de temperatura.

En las aplicaciones del modelo DPL es habitual utilizar aproximacio-


nes de primer orden en la ecuacion anterior,

q(t, x) + τq∂q

∂t(t, x) ∼= −k{ux(t, x) + τu

∂ux∂t

(t, x)},

y es usual referirse como modelo DPL a la ecuacion resultante de esta

aproximacion [29]. Para τu = 0 este modelo se reduce a uno de los primeros

modelos propuestos para evitar el problema de la propagacion infinita en

la conduccion del calor, el denominado modelo de Cattaneo-Vernotte [21–

23].

En este trabajo este modelo sera denominado DPL(1,1), haciendo

explıcito el orden de aproximacion en cada uno de los dos retardos que

incorpora. Se han propuesto tambien otros modelos que se derivan de la

formulacion original del modelo DPL utilizando aproximaciones de orden

superior, hasta orden dos, en uno o en ambos retardos, τq y τT [30, 31].

Estos modelos de orden de aproximacion superior seran denominados en

este trabajo DPL(2,1), para el modelo de segundo orden en τq y de pri-

mer orden en τT y DPL(2,2), para el modelo de segundo orden en ambos

retardos.

Con la formulacion utilizada en el Capıtulo 3, valida para una o varias

variables, donde r representa un punto en el dominio espacial, ∆ es el

operador Laplaciano y T es la temperatura, combinando la ley de Fourier

modificada con la ecuacion de conservacion de la energıa se obtiene la

ecuacion para el modelo DPL(2,1)

Tt(r, t) + τqTtt(r, t) +τ 2q2Tttt(r, t) = α{∆T (r, t) + τT∆Tt(r, t)},


mientras que la correspondiente ecuacion para el modelo DPL(2,2) es

Tt(r, t)+τqTtt(r, t)+τ 2q2Tttt(r, t) = α{∆T (r, t)+τT∆Tt(r, t)+

τ 2T2

∆Ttt(r, t)}.

Sin embargo, si se mantiene la formulacion original del modelo DPL,

sin aproximaciones, y se combina con la ecuacion de conservacion de

energıa adecuada, puede demostrarse [32, 33] que, para τ = τq−τu > 0, el

modelo DPL de conduccion del calor puede escribirse en la forma de una

ecuacion en derivadas parciales con retardo. En el caso unidimensional se

tiene

ut′(t′, x) = αuxx(t

′ − τ, x), t′ > τq,

donde u es la temperatura, α la difusividad termica y t′ = t + τq, que

es de la forma de la ecuacion generalizada de difusion considerada en el

apartado anterior con a = 0, y que denominaremos modelo DH.

En la publicacion recogida en el Capıtulo 3 se obtienen soluciones

explıcitas para distintos modelos bidimensionales de conduccion del calor

con retardo, considerando diferentes tipos de condiciones de contorno. Las

soluciones se obtienen mediante la aplicacion del metodo de separacion

de variables, en forma de series infinitas, que pueden ser truncadas para

obtener soluciones aproximadas con errores acotados.

Se considera un problema de conduccion del calor en una placa rec-

tangular, con condiciones de contorno tipo Dirichlet, para t ≥ 0,

T (0, y, t) = T (l1, y, t) = T (x, 0, t) = T (x, l2, t) = 0, 0 ≤ y ≤ l2, 0 ≤ x ≤ l1,


o condiciones de contorno tipo Neumann

Tx(0, y, t) = Tx(l1, y, t) = Ty(x, 0, t) = Ty(x, l2, t) = 0, 0 ≤ y ≤ l2, 0 ≤ x ≤ l1.

Las condiciones iniciales que es preciso especificar dependen del tipo de

modelo considerado. Ası, para el modelo DPL(1,1) se deben especificar

valores iniciales para la temperatura y su derivada,

T (x, y, 0) = ϕ(x, y, 0), Tt(x, y, 0) = φ(x, y, 0), 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2,

mientras que para los modelos DPL(2,1) y DPL(2,2) es necesario especi-

ficar tambien los valores iniciales para la segunda derivada,

Ttt(x, y, 0) = ψ(x, y, 0), 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2.

Para el modelo DH, al tratarse de una ecuacion en derivadas parciales

con retardo, es preciso especificar las condiciones iniciales de temperatura

para un intervalo temporal de amplitud igual al valor del retardo, τ ,

T (x, y, t) = ϕ(x, y, t), 0 ≤ t ≤ τ, 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2.

La aplicacion del metodo de separacion de variables lleva a la obten-

cion de soluciones en forma de series infinitas dobles de senos o cosenos

en las variables espaciales, dependiendo, respectivamente, de que se con-

sideren condiciones de contorno tipo Dirichlet,

T (x, y, t) =∞∑n=1

∞∑m=1

Φn,m(t) sin

(nπx

l1

)sin

(mπy

l2

),


o condiciones de contorno tipo Neumann,

T (x, y, t) =∞∑n=0

∞∑m=0

Φn,m(t) cos

(nπx

l1

)cos

(mπy

l2

).

En estas expresiones, las funciones Φn,m(t) son las soluciones de los corres-

pondientes problemas separados temporales para cada uno de los valores

propios λn,m = −(n2π2/l21 + m2π2/l22). En el caso de los modelos DPL

aproximados, es decir, de los modelos DPL(1,1), DPL(2,1) y DPL(2,2),

estos problemas temporales consisten en problemas de valor inicial para

ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, que pueden

ser resueltos para obtener las soluciones buscadas. En el caso del modelo

DH, se trata de un problema de valor inicial para una ecuacion diferencial

con retardo,

Φ′(t) = λn,mαΦ(t− τ), t > τ, Φ(t) = Bn,m(t), 0 ≤ t ≤ τ,

donde Bn,m(t) son los coeficientes de Fourier de la funcion inicial ϕ(x, y, t).

Este problema puede resolverse de forma constructiva utilizando el meto-

do de pasos y una convolucion integral [34, 35], obteniendo la expresion

de la solucion, para cada intervalo t ∈ [pτ, (p+ 1) τ ],

Φn,m(t) = Bn,m(τ) +Bn,m(0)

p∑k=1

αkλkn,m (t− kτ)k

k!

+

p−1∑k=1

αkλkn,mk!

∫ τ

0

(t− kτ − s)k B′n,m (s) ds

+αpλpn,mp!

∫ t−pτ

0

(t− pτ − s)pB′n,m (s) ds.


Puede demostrarse que las series infinitas obtenidas convergen y pro-

porcionan soluciones exactas de los problemas considerados, asumiendo

condiciones adecuadas de regularidad de las funciones iniciales. Truncan-

do estas series infinitas en los N y M primeros terminos se obtienen

soluciones numericas continuas con errores acotados. Utilizando estas so-

luciones numericas, en el Capıtulo 3 se muestran distintos ejemplos que

ilustran los diferentes tipos de comportamiento que pueden presentar los

distintos modelos de conduccion del calor considerados.

1.4 Modelos de conduccion del calor con

retardo en la semirrecta

En la publicacion recogida en el Capıtulo 4 se aborda la obtencion de

soluciones explıcitas para modelos de conduccion del calor con retardo en

la semirrecta, incluyendo los distintos modelos indicados en el apartado

anterior, es decir, los modelos DPL aproximados que hemos denominado

DPL(1,1), DPL(2,1) y DPL(2,2), ası como el modelo en forma de ecuacion

en derivadas parciales con retardo que hemos denominado modelo DH.

En este caso, la herramienta utilizada es la transformada continua de

Fourier, obteniendose soluciones exactas en forma de integrales impropias,

cuyo intervalo de integracion es toda la semirrecta positiva. De forma si-

milar a los modelos considerados en los capıtulos anteriores, se consideran

diferentes tipos de condiciones de contorno. Asimismo, mediante la trun-

cacion del intervalo de integracion o mediante otras tecnicas de evaluacion

numerica de las integrales que aparecen en la solucion, es posible obtener

soluciones aproximadas con errores acotados.

1.4. Modelos de conduccion del calor con retardo en la semirrecta 33

La literatura previa que aborda la construccion de soluciones para

modelos de conduccion del calor con retardo en la semirrecta es escasa y se

limita a algunos casos particulares. En [10, 36] se obtiene, para un modelo

de tipo DPL(1,1), la solucion para la propagacion del calor en el caso de

un solido semiinfinito sometido a un aumento instantaneo de temperatura

en la frontera, mediante la utilizacion de transformadas de Fourier y de

Laplace. En [32, 37], tambien en el caso de un solido semiinfinito, se

estudio la relacion entre los valores locales de los flujos de calor y de

temperatura.

Aunque en este trabajo solo se consideran modelos con coeficientes

constantes, el metodo de la transformada de Fourier tambien puede ser

utilizado en problemas con coeficientes variables (e.g., [38, 39]), por lo que

el enfoque seguido en este trabajo tambien se podrıa aplicar en modelos

DPL con coeficientes variables en el tiempo, un tipo de modelo que ha

sido propuesto recientemente, [40], como una posible forma de enlazar los

modelos con retardo requeridos en tiempos ultracortos con los modelos

clasicos que resultan validos en tiempos mas largos.

Consideremos una placa de grosor infinito, x ∈ [0,∞], que puede

ser calentada bien en su superficie o bien hasta una cierta profundidad.

En el extremo inicial, para cualquier t ≥ 0, se consideran condiciones

de contorno tipo Dirichlet, T (0, t) = 0, o condiciones de contorno tipo

Neumann, Tx(0, t) = 0, imponiendose tambien la condicion lımite en el

infinito

lımx→∞

T (x, t) = 0, t ≥ 0.

De forma similar al trabajo del capıtulo anterior, es necesario propor-

cionar condiciones iniciales adecuadas segun el tipo de modelo considera-


do. En el caso del modelo DPL(1,1) se especifican los valores iniciales de

la temperatura y de su derivada,

T (x, 0) = ϕ(x, 0), Tt(x, 0) = φ(x, 0), 0 ≤ x <∞,

mientras que para los modelos DPL(2,1) y DPL(2,2) se necesita tambien

especificar los valores de su segunda derivada,

Ttt(x, 0) = ψ(x, 0), 0 ≤ x <∞.

En el modelo DH, en el que se mantiene la ecuacion original de difusion

con retardo, la distribucion de temperaturas debe especificarse para todo

un intervalo de tiempo de amplitud τ ,

T (x, t) = ϕ(x, t), 0 ≤ t ≤ τ, 0 ≤ x <∞.

La aplicacion del metodo de la transformada de Fourier permite obte-

ner soluciones exactas en forma de integrales impropias, utilizando trans-

formadas seno en el caso de las condiciones de contorno tipo Dirichlet,

T (x, t) =2

π

∫ ∞0

T (w, t) sin(wx)dw,

o transformadas coseno en el caso de condiciones tipo Neumann,

T (x, t) =2

π

∫ ∞0

T (w, t) cos(wx)dw.

En las expresiones anteriores, las funciones T (w, t), que son las correspon-

dientes transformadas seno o coseno T (x, t), se obtienen resolviendo los

1.4. Modelos de conduccion del calor con retardo en la semirrecta 35

correspondientes problemas transformados temporales, para el conjunto

continuo de autovalores w2.

Estos problemas transformados temporales, en el caso de los mode-

los DPL aproximados, son problemas de valores iniciales para ecuacio-

nes diferenciales lineales con coeficientes constantes. Ası, para el modelo

DPL(1,1) se tiene el problema

τqT ′′(w, t) + (1 + w2ατT )T ′(w, t) + w2αT (w, t) = 0,

T (w, 0) = F (w), T ′(w, 0) = G(w),

mientras que para los modelos DPL(2,1) y DPL(2,2) se plantean los pro-

blemas, respectivamente,

τ 2q2T ′′′(w, t) + τqT ′′(w, t) + (1 + w2ατT )T ′(w, t) + w2αT (w, t) = 0,

y

(τ 2q /2)T ′′′(w, t) + (τq + w2ατ 2T/2)T ′′(w, t) + (1 + w2ατT )T ′(w, t)+ w2αT (w, t) = 0,

en ambos modelos con las mismas condiciones iniciales,

T (w, 0) = F (w), T ′(0) = G(w), T ′′(0) = H(w).

En las expresiones anteriores, las funciones F (w), G(w) y H(w) son las

transformadas de Fourier, seno o coseno segun las condiciones de con-

torno, de las funciones iniciales ϕ(x, t), φ(x, t) y ψ(x, t), respectivamente.


Para el modelo DH, los problemas temporales transformados son pro-

blemas de valor inicial para una ecuacion diferencial con retardo,

T ′(w, t) + w2αT (w, t− τ) = 0, t > τ, T (w, t) = F (w, t), 0 ≤ t ≤ τ,

donde F (w, t) es la transformada de Fourier correspondiente, segun las

condiciones de contorno, de la funcion inicial ϕ(x, t). Para este problema,

similar al encontrado en capıtulos anteriores, se puede dar la solucion,

valida en cada intervalo t ∈ [pτ, (p+ 1) τ ],

T (w, t) = F (w, τ) + F (w, 0)

p∑k=1

(−w2)kαk (t− kτ)k

k!

+

p−1∑k=1

(−w2)kαk

k!

∫ τ

0

(t− kτ − s)k Fs (w, s) ds

+(−w2)pαp

p!

∫ t−pτ

0

(t− pτ − s)p Fs (w, s) ds.

Se puede demostrar que las soluciones obtenidas proporcionan solu-

ciones exactas de los problemas considerados, asumiendo condiciones ade-

cuadas de regularidad e integrabilidad para las funciones iniciales. Asi-

mismo, como ya se ha indicado, la evaluacion de las integrales, aunque en

algunos casos especiales puede realizarse de forma exacta, en general re-

quiere de aproximaciones numericas, que pueden realizarse manteniendo

bajo control el error cometido. Como se ilustra en la publicacion recogida

en el Capıtulo 4, las soluciones numericas obtenidas permiten estudiar los

distintos comportamientos que presentan los diferentes modelos conside-

rados.

Referencias

[1] R. Bellman and K.L. Cooke, Differential-Difference Equations, Aca-

demic Press, New York, 1963.

[2] O. Diekmann, S.A. van Gils, S.M. Verduyn Lunel and H.-O. Walther,

Delay Equations, Springer-Verlag, New York, 1995.

[3] L.E. El’sgol’ts and S.B. Norkin, Introduction to the Theory and Ap-

plication of Differential Equations with Deviating Arguments, Aca-

demic Press, New York, 1973.

[4] V. Kolmanovskii and A. Myshkis, Applied Theory of Functional Dif-

ferential Equations, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1992.

[5] V. Kolmanovskii and A. Myshkis, Introduction to the Theory and

Applications of Functional Differential Equations, Kluwer Academic

Publishers, Dordrecht, 1999.

[6] J. Wu, Theory and Applications of Partial Functional Differential

Equations, Springer-Verlag, New York, 1996.

[7] J.K. Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer-

Verlag, New York, 1977.

37

38 Referencias

[8] E. Reyes. Soluciones analıtico-numericas de ecuaciones en derivadas

parciales con retardo. Tesis doctoral, Universidad de Alicante, 2008.

[9] P. Garcıa. Soluciones numericas mediante esquemas en diferencias

de ecuaciones en derivadas parciales con retardo. Tesis doctoral, Uni-

versidad de Alicante, 2009.

[10] D.Y. Tzou, Macro- to Microscale Heat Transfer: The Lagging Beha-

vior, Taylor & Francis, Washington, 1996.

[11] G. Cain and G.H. Meyer, Separation of Variables for Partial

Differential Equations. An Eigenfunction Approach, Chapman &

Hall/CRC, Boca Raton, 2006.

[12] S.J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engi-

neers, Dover, New York, 1993.

[13] G.B. Folland, Fourier Analysis and its Applications, Wadsworth &

Brooks, Pacific Groove, 1992.

[14] E.A. Gonzalez-Velasco, Fourier Analysis and Boundary Value Pro-

blems, Academic Press, New York, 1995.

[15] L. Jodar, E. Navarro and J. A. Martın, Exact and Analytic-

Numerical Solutions of Strongly Coupled Mixed Diffusion Problems.

Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 43, pp. 1-25,

2000.

[16] E. Navarro, E. Ponsoda and L. Jodar, A Matrix Approach to the

Analytic-Numerical Solution of Mixed Partial Differential Systems,

Computers and Mathematics with Applications 30, pp. 99-109, 1995.

Referencias 39

[17] P. Almenar, L. Jodar and J.A. Martın, Mixed Problems for the

Time-Dependent Telegraph Equation: Continuous Numerical Solu-

tions with A Priori Error Bounds, Mathematical and Computer Mo-

delling 25, pp. 31-44, 1997.

[18] L. Jodar and P. Almenar, Accurate Continuous Numerical Solutions

of Time Dependent Mixed Partial Differential Problems, Computers

and Mathematics with Applications 32, pp. 5-19, 1996.

[19] E.J. Scott, On a Class of Linear Partial Differential Equations with

Retarded Argument in Time, Buletinul Institutului Politehnic Din

Iasi 15, pp. 99-103, 1969.

[20] J. Wiener and L. Debnath, Boundary value problems for the diffusion

equation with piecewise continuous time delay, International Journal

of Mathematics and Mathematical Sciences 20, pp. 187-195, 1997.

[21] C. Cattaneo, Sur une forme de l’equation de la chaleur eliminant

le paradoxe d’une propagation instantanee, Comptes Rendus de

l’Academie des Sciences 247, 431-433, 1958.

[22] P. Vernotte, Les paradoxes de la theorie continue de l’equation de

la chaleur, Comptes Rendus de l’Academie des Sciences 246, 3154-

3155, 1958.

[23] P. Vernotte, P. Vernotte, Some possible complications in the phe-

nomena of thermal conduction, Comptes Rendus de l’Academie des

Sciences 252, 2190-2191, 1961.

[24] D.D. Joseph and L. Preziosi, Heat waves, Review of Modern Physics

61, pp. 41-73, 1989.

40 Referencias

[25] B. Bertman and D.J. Sandiford, Second sound in solid helium, Scien-

tific American 222, p. 92, 1970.

[26] T. Q. Qiu and C. L. Tien, Short-pulse laser heating on metals, Inter-

national Journal of Heat and Mass Transfer 35, pp. 719-726, 1992.

[27] T. Q. Qiu and C. L. Tien, Heat transfer mechanisms during short-

pulse laser heating of metals, ASME Journal of Heat Transfer 115,

pp. 835-841, 1993.

[28] D.Y. Tzou, Experimental support for the lagging behavior in heat

propagation, AIAA Journal of Termophysics and Heat Transfer 9,

pp. 686-693, 1995.

[29] D.Y. Tzou, The generalized lagging response in small-scale and high-

rate heating, International Journal of Heat and Mass Transfer 38,

pp. 3231-3240, 1995.

[30] D.Y. Tzou, A unified approach for heat conduction from macro to

micro-scales, ASME J. Heat Transfer 117 (1995) 8-16.

[31] R. Quintanilla, R. Racke, A note on stability in dual-phase-lag heat

conduction, Int. J. Heat Mass Transfer 49 (2006) 1209-1213.

[32] V.V. Kulish and V.B. Novozhilov, An integral equation for the dual-

lag model of heat transfer, ASME Journal of Heat Transfer 126, pp.

805-808, 2004.

[33] M. Xu and L. Wang, Dual-phase-lagging heat conduction based on

Boltzmann transport equation, International Journal of Heat and

Mass Transfer 48, pp. 5616-5624, 2005.

Referencias 41

[34] J.A. Martın, F. Rodrıguez and R. Company, Analytic Solution of

Mixed Problems for the Generalized Diffusion Equation with Delay,

Mathematical and Computer Modelling 40, pp. 361-369, 2004.

[35] E. Reyes, F. Rodrıguez, J.A. Martın, Analytic-numerical solutions

of diffusion mathematical models with delays, Comput. Math. Appl.

56 (2008) 743-753.

[36] P.J. Antaki, Solution for non-Fourier dual phase lag heat conduc-

tion in a semiinfinite slab with surface heat flux, lnt. J. Heat Mass

Transfer. 41 (1998) 225-2258.

[37] V.V. Kulish, K.V. Poletkin, A generalized relation between the lo-

cal values of temperature and the corresponding heat flux in a one-

dimensional semi-infinite domain with the moving boundary, Int. J.

Heat Mass Transfer 55 (2012) 6595-6599.

[38] L. Jodar, J. Perez, Exact Solution of Mixed Problems for Varia-

ble Coefficient One-Dimensional Diffusion Equation, Comput. Math.

Appl. 41 (2001) 689-696.

[39] L. Jodar, J. Perez, R.J. Villanueva, Explicit Solution of Time Depen-

dent Diffusion Problems in a Semi-Infinite Medium, Comput. Math.

Appl. 43 (2002) 157-167.

[40] M. A. Castro , F. Rodrıguez , J. Cabrera, J. A. Martın, Difference

schemes for time-dependent heat conduction models with delay, Int.

J. Comput. Math. 91 (2014) 53–61.

Parte II

Trabajos publicados

43

Capıtulo 2

Obtencion de soluciones

exactas y analıtico-numericas

de problemas mixtos para la

ecuacion de difusion

bidimensional con retardo

Proceedings XXI CEDYA, Cap. 74, 2009

ISBN: 978-84-692-6473-7

45

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesXI Congreso de Matematica Aplicada

Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009(pp. 1–7)

Obtencion de soluciones exactas y analıtico-numericas de

problemas mixtos para la ecuacion de difusion

bidimensional con retardo

J. Escolano, F. Vives, F. Rodrıguez, J.A. Martın

Dpto. de Matematica Aplicada, Universidad de Alicante, Apdo. 99, 03080 Alicante. E-mails:[email protected], [email protected], [email protected], [email protected].

Palabras clave: Separacion de variables, solucion en serie, condiciones de contorno no-Dirichlet

Resumen

En este trabajo se aborda la obtencion de soluciones exactas y de aproximacionesnumericas continuas de problemas mixtos para la ecuacion de difusion bidimensionalcon retardo

ut(t, x, y) = a2 (uxx(t, x, y) + uyy(t, x, y)) + b2 (uxx(t− τ, x, y) + uyy(t− τ, x, y)) ,

t ≥ τ, 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2,


u(t, x, y) = ϕ(t, x, y), 0 ≤ t ≤ τ, 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2,

y condiciones de contorno

u(t, 0, y) = u(t, l1, y) = 0, 0 ≤ t, 0 ≤ y ≤ l2,

u(t, x, 0) = u(t, x, l2) = 0, 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ l1.

Mediante el metodo de separacion de variables se obtienen soluciones exactas en formade serie infinita, que pueden truncarse para construir aproximaciones numericas conti-nuas con precision prefijada en dominios acotados. Se consideran tambien condicionesde contorno mas generales.

1. Introduccion

Las ecuaciones diferenciales con retardo (EDR) y las ecuaciones en derivadas parcialescon retardo (EDPR) son herramientas utiles de modelizacion en numerosos problemas

1

2.1. Introduccion 49

2.1 Introduccion

Las ecuaciones diferenciales con retardo (EDR) y las ecuaciones en deri-

vadas parciales con retardo (EDPR) son herramientas utiles de modeli-

zacion en numerosos problemas cientıfico-tecnicos en los que intervienen

fenomenos hereditarios o retardados (vease, por ejemplo, [1], [5] y las

referencias allı incluidas), por lo que resulta de interes la obtencion de

soluciones exactas y de aproximaciones numericas precisas para distintos

tipos particulares de EDPR.

El objetivo de este trabajo es la obtencion de soluciones exactas y la

construccion de aproximaciones numericas continuas de problemas mixtos

para la ecuacion de difusion bidimensional con retardo,

ut(t, x, y) = a2 (uxx(t, x, y) + uyy(t, x, y))

+ b2 (uxx(t− τ, x, y) + uyy(t− τ, x, y)) , (2.1)

t ≥ τ, 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2,

con condiciones inicial y de contorno

u(t, x, y) = ϕ(t, x, y), 0 ≤ t ≤ τ, 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2,

(2.2)

y

u(t, 0, y) = u(t, l1, y) = 0, 0 ≤ t, 0 ≤ y ≤ l2, (2.3)

u(t, x, 0) = u(t, x, l2) = 0, 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ l1, (2.4)

aunque tambien se analizaran condiciones de contorno mas generales.

50 Capıtulo 2. Proceedings XXI CEDYA 2009

El procedimiento seguido es similar al utilizado en [2] para el caso

de la ecuacion generalizada de difusion con retardo unidimensional. Se

trata de utilizar el metodo de separacion de variables para proponer una

solucion formal mediante una serie infinita que, bajo ciertas condiciones

de regularidad de la funcion inicial ϕ(t, x, y), puede demostrarse que pro-

porciona una solucion exacta del problema (2.1)-(2.4). Truncando esta

solucion en serie, con el numero de terminos adecuado, se obtiene una

solucion numerica continua que proporciona aproximaciones con cotas de

error a priori en dominios acotados.

2.2 Solucion exacta en forma de serie infi-

nita

Usando el metodo de separacion de variables, se buscan soluciones de

(2.1) de la forma

u(t, x, y) = F (t)G(x)H(y)

y, mediante el procedimiento habitual, se propone como solucion candi-

data del problema (2.1)-(2.4) la expresion formal en serie infinita

u(t, x, y) =∞∑n=1

∞∑m=1

Fnm(t) sen

(nπx

l1

)sen

(mπy

l2

). (2.5)

Aquı, Fnm(t) es la solucion del problema de valores iniciales con retardo

F ′nm(t) + λ2nm(a2Fnm(t) + b2Fnm(t− τ)

)= 0, t > τ, (2.6)

Fnm(t) = Bnm(t), 0 ≤ t ≤ τ, (2.7)

2.2. Solucion exacta en forma de serie infinita 51

donde

λ2nm =n2π2

l21+m2π2

l22

y Bnm(t) son los coeficientes de la serie doble de Fourier de senos de la

funcion inicial ϕ(t, x, y),

Bnm =4

l1l2

∫ l2

0

∫ l1

0

ϕ(t, x, y) sen

(nπx

l1

)sen

(mπy

l2

)dxdy,

de modo que

ϕ(t, x, y) =∞∑n=1

∞∑m=1

Bnm(t) sen

(nπx

l1

)sen

(mπy

l2

).

En [2, Teorema 1] se dio una solucion explıcita para un problema

general del tipo (2.6)-(2.7), en terminos de las funciones gamma y gamma

incompleta complementaria,

Γ(k) =

∫ ∞0

e−ssk−1ds, Γ(k, x) =

∫ ∞x

e−ssk−1ds.

Utilizando ese resultado, la solucion candidata (2.5), para valores de t en

el intervalo [pτ, (p+ 1)τ ], puede escribirse en la forma

u(t, x, y) =∞∑n=1

∞∑m=1

sen(d1nx) sen(d2my)

(∑1

+∑2

+∑3

)+ (−1)pc2pϕ(t− pτ, x, y), (2.8)


donde

∑1

=

p∑k=1

(−1)k−1c2(k−1)(Bnm(τ) + c2Bnm(0)

)Q(k, λ2nma

2(t− kτ)),

∑2

=

p−1∑k=1

(−1)k−1c2k∫ τ

0

B′nm(s)Q(k, λ2nma

2(t− kτ − s))ds,

∑3

= (−1)p−1c2p∫ t−pτ

0

B′nm(s)Q(p, λ2nma

2(t− pτ − s))ds,

y

c =b

a, d1n =

nπ

l1, d2m =

mπ

l2, Q(k, t) =

Γ(k, t)

Γ(k).

Exigiendo que la funcion inicial ϕ(t, x, y) sea suficientemente regular, de

modo que las funciones ϕ(t, x, y) y ϕt(t, x, y) sean continuas en t y tengan

segunda derivada continua respecto de x y respecto de y, puede demos-

trarse, con argumentos similares a los utilizados en [2, Teorema 2], que

la expresion anterior proporciona una solucion exacta del problema (2.1)-

(2.4).

2.3 Solucion numerica aproximada

A partir de la solucion en serie infinita definida en (2.8), truncando las

sumas infinitas en n y m en los N y M primeros terminos, respectiva-

mente, se obtiene una solucion aproximada uNM(t, x, y). Bajo las con-

diciones de regularidad exigidas a la funcion inicial, pueden obtenerse

acotaciones para los restos de la serie truncada, y por tanto para el error

|u(t, x, y)− uNM(t, x, y)|, de forma analoga a los resultados obtenidos en

2.3. Solucion numerica aproximada 53

Figura 2.1: Solucion numerica aproximada uNM(t, x, y) (N = M = 20) delproblema (2.1)-(2.4) con funcion inicial ϕ(t, x, y) = sen(t)x(1−x)y(1−y)y parametros τ = 1, l1 = l2 = 1 y a = b = 1, para y = 0,5.

[4] para el caso unidimensional.

En las siguientes figuras se presentan ejemplos de soluciones numeri-

cas aproximadas, para distintas funciones iniciales y diferentes valores de

los parametros a y b (Figs. 2.1-2.3), que muestran los diferentes compor-

tamientos que pueden exhibir las soluciones de estos modelos de difusion

con retardo, tanto en una como en dos dimensiones, en funcion de los

valores de los parametros que determinan la importancia de los terminos

con y sin retardo en (2.1).


Figura 2.2: Solucion numerica aproximada uNM(t, x, y) (N = M = 20)del problema (2.1)-(2.4) con funcion inicial ϕ(t, x, y) = tx(1− x)y(1− y)y parametros τ = 1, l1 = l2 = 1, a = 1 y b = 0,75, para y = 0,5.

2.3. Solucion numerica aproximada 55

Figura 2.3: Solucion numerica aproximada uNM(t, x, y) (N = M = 20)del problema (2.1)-(2.4) con funcion inicial ϕ(t, x, y) = t2x(1−x)y(1− y)y parametros τ = 1, l1 = l2 = 1 y a = b = 0,1, para y = 0,5.


2.4 Condiciones de contorno no-Dirichlet

Se pueden considerar condiciones de contorno mas generales, del tipo,

para t ≥ 0,

Au(t, 0, y) +Bux(t, 0, y) = Au(t, l1, y) +Bux(t, l1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ l2,

(2.9)

para la variable x y, respectivamente para la variable y,

Cu(t, x, 0) +Duy(t, x, 0) = Cu(t, x, l2) +Duy(t, x, l2) = 0, 0 ≤ x ≤ l1,

(2.10)

donde A y B, respectivamente C y D, no son simultaneamente nulas.

En estas condiciones pueden darse algunos casos especiales. Si se tiene

B = 0 y D = 0, (2.9)-(2.10) se reduce a las condiciones tipo Dirichlet ya

estudiadas, mientras que si son A = 0 y C = 0 se tienen condiciones de

tipo Neumann,

ux(t, 0, y) = ux(t, l1, y) = 0, 0 ≤ t, 0 ≤ y ≤ l2, (2.11)

uy(t, x, 0) = uy(t, x, l2) = 0, 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ l1. (2.12)

En este caso, al buscar soluciones de (2.1) de la forma

u(t, x, y) = F (t)Φ(x, y) = F (t)G(x)H(y)

y resolver el problema de valores propios

∇2Φ + λ2Φ = 0

2.4. Condiciones de contorno no-Dirichlet 57

con las condiciones de contorno (2.11)-(2.12), se obtienen los autovalores

λ2nm =n2π2

l21+m2π2

l22, n = 0, 1, 2 . . . , m = 0, 1, 2 . . . ,

siendo las correspondientes autofunciones

Φnm(x, y) = cos

(nπx

l1

)cos

(mπy

l2

), n = 0, 1, 2 . . . , m = 0, 1, 2 . . . ,

con lo que la solucion candidata, que puede demostrarse que efectivamente

es solucion del problema (2.1)-(2.2),(2.11)-(2.12), resulta

u(t, x, y) =∞∑n=0

∞∑m=0

Fnm(t) cos

(nπx

l1

)cos

(mπy

l2

). (2.13)

En esta expresion, Fnm(t) es la solucion del problema (2.6)-(2.7), en donde

ahora los Bnm(t) son los coeficientes de la serie doble de Fourier de cosenos

de la funcion inicial ϕ(t, x, y),

ϕ(t, x, y) =∞∑n=0

∞∑m=0

Bnm(t) cos

(nπx

l1

)cos

(mπy

l2

),

de modo que

Bnm =knml1l2

∫ l2

0

∫ l1

0

ϕ(t, x, y) cos

(nπx

l1

)cos

(mπy

l2

)dxdy,

siendo knm = 4 si n 6= 0 y m 6= 0, knm = 2 si n = 0 y m 6= 0 o n 6= 0 y

m = 0 y knm = 1 si n = m = 0.

De forma similar, planteando y resolviendo los correspondientes pro-


blemas de valores propios para las variables espaciales, y utilizando la

expresion de la solucion del problema (2.6)-(2.7) dada en [2], pueden ob-

tenerse expresiones en serie doble, en general con senos y cosenos, para las

condiciones de contorno (2.9)-(2.10), ası como para otros casos de interes

no incluidos allı, como, por ejemplo, la especificacion de condiciones de

tipo Dirichlet en un extremo del intervalo de una variable espacial y de

tipo Neumann en el otro extremo.

2.5 Comentarios finales

Las ecuaciones generalizadas de difusion con retardo pueden aparecer,

entre otros, en problemas de dinamica de poblaciones y en modelos de

conduccion del calor cuando se debe analizar a escala microscopica la

evolucion de estados transitorios rapidos (veanse referencias en [4]). En

este contexto, el estudio de regiones espaciales bidimensionales, con con-

diciones de contorno generales, resulta natural y de interes.

La obtencion de soluciones analıtico-numericas, truncando las solu-

ciones exactas en forma serie obtenidas por el metodo de separacion de

variables, permite la obtencion de cotas de error en funcion del dominio

en el que se desea evaluar la solucion aproximada y de los parametros que

definen la ecuacion. Sin embargo, aunque las aproximaciones obtenidas

evaluando un numero reducido de terminos de la serie pueden mostrar un

alto grado de precision, las acotaciones del error de truncacion no garan-

tizan que esto deba ocurrir, obteniendose, para las condiciones de regula-

ridad exigidas a la funcion inicial en la Seccion 2, cotas de error que son

O(max(N,M)3 mın(N,M)). La utilizacion de aproximaciones polinomi-

cas de la funcion inicial, como se hizo en [4]) para la ecuacion generalizada

2.5. Comentarios finales 59

de difusion unidimensional, podrıa permitir aumentar el grado de preci-

sion garantizado en este tipo de soluciones numericas aproximadas.

Una alternativa para la obtencion de aproximaciones numericas, bien

conocida para el caso de ecuaciones en derivadas parciales sin retardo,

es el desarrollo y utilizacion de esquemas en diferencias finitas especıficos

para el problema considerado, como se ha hecho en [3] para la ecuacion

generalizada de difusion unidimensional con retardo con condiciones de

contorno de tipo Dirichlet.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el proyecto GV06/207

de la Conselleria de Empresa, Universidad y Ciencia de la Generalitat

Valenciana.

Referencias

[1] V. Kolmanovskii and A. Myshkis, Introduction to the Theory and

Applications of Functional Differential Equations, Kluwer Academic

Publishers, Dordrecht, 1999.

[2] J.A. Martın, F. Rodrıguez and R. Company. Analytical solution of

mixed problems for the generalized diffusion equation with delay.

Math. Comp. Mod., 40 (2004), 361–369.

[3] P. Garcıa, M.A. Castro, J.A. Martın and A. Sirvent. Numerical

solutions of diffusion mathematical models with delay. Math. Comp.

Mod., 50 (2009), 860–868.

[4] E. Reyes, F. Rodrıguez and J.A. Martın. Analytic-numerical solu-

tions of diffusion mathematical models with delays. Comput. Math.

Appl., 56 (2008), 743–753.

[5] J. Wu, Theory and Applications of Partial Functional Differential

Equations, Springer-Verlag, New York, 1996.

60

Chapter 3

Exact and analytic-numerical

solutions of bidimensional

lagging models of heat

conduction

Mathematical and Computer Modelling 54:

1841-1845, 2011

doi: 10.1016/j.mcm.2010.11.074

61

Mathematical and Computer Modelling 54 (2011) 1841–1845

Contents lists available at ScienceDirect

Mathematical and Computer Modelling

journal homepage: www.elsevier.com/locate/mcm

Exact and analytic-numerical solutions of bidimensional lagging modelsof heat conductionJ. Escolano, F. Rodríguez, M.A. Castro, F. Vives, J.A. Martín ∗

Dep. Matemática Aplicada, Universidad de Alicante, Apdo. 99, 03080 Alicante, Spain

a r t i c l e i n f o

Article history:Received 18 October 2010Accepted 22 November 2010

Keywords:Non-Fourier heat conductionSeries solutionSeparation of variablesDPL models

a b s t r a c t

Lagging models of heat conduction, such as the Dual-Phase-Lag or the Single-Phase-Lagmodels, lead to heat conduction equations in the form of partial differential equations withdelays or to partial differential equations of hyperbolic type, and have been considered tomodel microscale heat transfer in engineering problems or bio-heat transfer in medicaltreatments.

In this work we obtain explicit solutions for bidimensional lagging models ofheat conduction, with different types of boundary conditions, in the form of infiniteseries solutions, allowing the construction of analytic-numerical solutions with boundederrors. Numerical examples, showing differences between models and the influence ofparameters, are discussed.

© 2010 Elsevier Ltd. All rights reserved.

1. Introduction

The classicalmodel for describing heat conduction andother transport phenomena is the diffusion equation, the parabolicpartial differential equation

Tt(r, t) = α1T (r, t), (1)

whereα > 0 is the thermal diffusivity, t is time, r denotes a point in the space domain,∆ is the Laplacian, T the temperature,and Tt denotes partial differentiation with respect to t . It is based on the Fourier law

q(r, t) = −k∇T (r, t), (2)

where q is the heat flux vector and k > 0 the thermal conductivity, combined with the energy conservation equation

− ∇ · q(r, t)+ Q (r, t) = CpTt(r, t), (3)

where Cp is the volumetric heat capacity andQ the volumetric heat source. In the absence of heat sources, Eq. (1) is obtained,where α = k/Cp.

This classical model can be successfully applied to conventional technical problems, as it gives accurate macroscopicdescriptions for the long term behavior of systems with large spatial dimensions. However, it implies an infinite speed ofpropagation, which has no physical meaning, and does not explain phenomena such as thermal ‘‘inertia’’, heat waves anddelayed responses to thermal disturbances, which appear in transient responses at the microscale level (see [1,2]).

Non-Fourier models of heat conduction have attracted much attention in recent years. Models incorporating timelags, such as the Single-Phase-Lag (SPL) model [3] or the Dual-Phase-Lag (DPL) model [2,4,5], lead to heat conduction

∗ Corresponding author.E-mail addresses: [email protected] (J. Escolano), [email protected] (F. Rodríguez), [email protected] (M.A. Castro), [email protected] (F. Vives),

[email protected] (J.A. Martín).

0895-7177/$ – see front matter© 2010 Elsevier Ltd. All rights reserved.doi:10.1016/j.mcm.2010.11.074

3.1. Introduction 65

3.1 Introduction

The classical model for describing heat conduction and other transport

phenomena is the diffusion equation, the parabolic partial differential

equation

Tt(r, t) = α∆T (r, t), (3.1)

where α > 0 is the thermal diffusivity, t is time, r denotes a point in

the space domain, ∆ is the Laplacian, T the temperature, and Tt denotes

partial differentiation with respect to t. It is based on the Fourier law

q(r, t) = −k∇T (r, t), (3.2)

where q is the heat flux vector and k > 0 the thermal conductivity,

combined with the energy conservation equation

−∇ · q(r, t) +Q(r, t) = CpTt(r, t), (3.3)

where Cp is the volumetric heat capacity and Q the volumetric heat

source. In the absence of heat sources, Eq. 3.1 is obtained, where

α = k/Cp.

This classical model can be successfully applied to conventional tech-

nical problems, as it gives accurate macroscopic descriptions for the long

time behavior of systems with large spatial dimensions. However, it im-

plies an infinite speed of propagation, which has no physical meaning, and

does not explain phenomena as thermal “inertia”, heat waves and delayed

responses to thermal disturbances, which appear in transient responses

at the microscale level (see [1, 2]).

66 Chapter 3. Mathematical and Computer Modelling 2011

Non-Fourier models of heat conduction have attracted much attention

in recent years. Models incorporating time lags, as the Single-Phase-Lag

(SPL) model [3] or the Dual-Phase-Lag (DPL) model [2, 4, 5], lead to

heat conduction equations in the form of partial differential equations

with delays or to partial differential equations of hyperbolic type. These

models account for finite speeds of propagations and non-classical behav-

iors, and have been considered to model microscale heat transfer, as in

short-pulse laser processing of thin-film engineering structures [6, 7], or

heat transfer in nanofluids [8, 9], and also to model bio-heat transfer dur-

ing thermal therapy or laser irradiation of biological tissues in medical

treatments [10–12].

In this work, explicit solutions for bidimensional lagging models of

heat conduction, with different types of boundary conditions, are ob-

tained, in the form of infinite series solutions, allowing the construction

of analytic-numerical solutions with bounded errors.

3.2 Non-Fourier models

In the DPL model, Fourier law is replaced by

q(r, t+ τq) = −k∇T (r, t+ τT ), (3.4)

where τq and τT are the phase lags of the heat flux and the temperature

gradient, respectively. For τT = 0, it reduces to the SPL model.

It is common in the applications of the DPL model to use first-order

3.2. Non-Fourier models 67

approximations in (3.4),

q(r, t) + τq∂q

∂t(r, t) ∼= −k{∇T (r, t) + τT

∂

∂t∇T (r, t)}, (3.5)

and to refer to the equation derived from this approximation as the DPL

model [4], which we will denote DPL(1,1),

Tt(r, t) + τqTtt(r, t) = α{∆T (r, t) + τT∆Tt(r, t)}. (3.6)

For τT = 0, (3.6) reduces to the Cattaneo-Vernotte (CV) model [13–15].

Higher order approximations, up to order two in τq and/or τT , have

also been considered [16, 17]. Corresponding models will be denoted as

DPL(2,1),


and DPL(2,2),


τ 2T2

∆Ttt(r, t)}.

However, retaining the original formulation of the DPL model, as given in

(3.4), combined with the energy conservation equation, for τ = τq−τT > 0

the DPL heat conduction model leads to the retarded partial differential

equation [18, 19]

Tt′(r, t′) = α∆T (r, t′ − τ), (3.7)

where t′ = t+τq, which will be referred to as the delayed heat conduction

model (DH).


3.3 Solutions of bidimensional models

Consider heat conduction in a rectangular plate, with boundary Dirichlet

conditions, for t ≥ 0,

T (0, y, t) = T (l1, y, t) = T (x, 0, t) = T (x, l2, t) = 0, 0 ≤ y ≤ l2, 0 ≤ x ≤ l1,

or Neumann conditions

Tx(0, y, t) = Tx(l1, y, t) = Ty(x, 0, t) = Ty(x, l2, t) = 0, 0 ≤ y ≤ l2, 0 ≤ x ≤ l1.

Appropriate initial conditions have to be given for the different mod-

els, specifying initial values for temperature, and its time derivative, for

DPL(1,1),

T (x, y, 0) = ϕ(x, y, 0), Tt(x, y, 0) = φ(x, y, 0), 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2,

and also its second derivative for DPL(2,1) and DPL(2,2),

Ttt(x, y, 0) = ψ(x, y, 0), 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2.

For the DH model, initial conditions of temperature have to be specified

for a time interval of τ amplitude,

T (x, y, t) = ϕ(x, y, t), 0 ≤ t ≤ τ, 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2.

Using the method of separation of variables, exact solutions can be ob-

tained in the form of infinite double series of sine functions of the spatial

3.3. Solutions of bidimensional models 69

variables,

T (x, y, t) =∞∑n=1

∞∑m=1

Φn,m(t) sin

(nπx

l1

)sin

(mπy

l2

), (3.8)

for Dirichlet conditions, or cosine functions,

T (x, y, t) =∞∑n=0

∞∑m=0

Φn,m(t) cos

(nπx

l1

)cos

(mπy

l2

), (3.9)

for Neumann conditions, with coefficients Φn,m(t) the solutions of the sep-

arate temporal problems for each of the eigenvalues λn,m = −(n2π2/l21 +

m2π2/l22).

These problems, for the DPL approximations, are initial value prob-

lems for linear differential equations with constant coefficients,

τqΦ′′(t)+(1−λn,mατT )Φ′(t)−λn,mαΦ(t) = 0, Φ(0) = bϕn,m, Φ′(0) = bφn,m,

for DPL(1,1),

τ 2q2

Φ′′′(t) + τqΦ′′(t) + (1− λn,mατT )Φ′(t)− λn,mαΦ(t) = 0,

Φ(0) = bϕn,m, Φ′(0) = bφn,m, Φ′′(0) = bψn,m,

for DPL(2,1) and, with the same initial conditions,

(τ 2q /2)Φ′′′(t)+(τq−λn,mατ 2T/2)Φ′′(t)+(1−λn,mατT )Φ′(t)−λn,mαΦ(t) = 0,

for DPL(2,2), where bϕn,m, bφn,m, and bψn,m are the Fourier coefficients in


sine or cosine series, according to the type of boundary conditions, of the

initial functions ϕ(x, y, t), φ(x, y, t), and ψ(x, y, t), respectively. Hence,

they can be readily solved, and thus exact infinite series solutions for

these models, in the form of (3.8) or (3.9), can be obtained.

For the DH model, the separate temporal problems are initial value

problems for delay differential equations with general initial functions,

Φ′(t) = λn,mαΦ(t− τ), t > τ, Φ(t) = Bn,m(t), 0 ≤ t ≤ τ,

where Bn,m(t) are the Fourier coefficients of the initial function ϕ(x, y, t),

and to develop constructive solutions we applied a combination of the

steps method and a convolution integral [20, 21], obtaining, for t ∈[pτ, (p+ 1) τ ],

Φn,m(t) = Bn,m(τ) +Bn,m(0)

p∑k=1

αkλkn,m (t− kτ)k

k!

+

p−1∑k=1

αkλkn,mk!

∫ τ

0

(t− kτ − s)k B′n,m (s) ds

+αpλpn,mp!

∫ t−pτ

0

(t− pτ − s)pB′n,m (s) ds.

The infinite series solutions obtained with the method of separation

of variables can be shown to converge and provide exact solutions under

adequate regularity conditions on the initial functions. For the DH model,

sufficient conditions are rather strong, requiring the existence of partial

derivatives of ϕ(x, y, t) and ϕt(x, y, t) with respect to x and y, for each t,

up to order 2(p+1), and that even order derivatives satisfy the boundary


conditions.

By truncating these exact infinite series solutions to the N and M

first terms, analytic-numerical solutions can be obtained, with bounds on

the truncation errors which are of minimum order O(N−1M−1) for the

DH model, although lower bounds can be guaranteed for more regular

initial functions. It is to be noted, however, that actual accuracies of

these truncated series approximations are usually much better than error

bounds, and that for initial functions consisting in finite combinations

of spatial sine or cosine functions, depending on the type of boundary

conditions, the exact infinite series solutions reduce to finite sums.

Numerical explorations are presented in the following figures. In all

cases, we consider a squared plate with l1 = l2 = 1, and, to properly

compare DPL and DH models, the initial interval for DH, where the initial

function ϕ(x, y, t) is given, is displaced to [−τ, 0]. The initial functions for

DPL models are set so the values of temperature and its first derivative

at t = 0, and also its second derivatives for DPL(2,1) and DPL(2,2), are

equal to those of the DH model.

In Figure 1, it is shown that, for τT = 0, so that DPL(2,1) and

DPL(2,2) are the same, and values of τq = τCu = 0.4648 ps and α =

αCu = 1.1283 · 10−4 m2/s, corresponding to those experimentally found

in Copper [2, p. 123], the DPL and DH models differ slightly from clas-

sical diffusion and much less from each other, with only transient small

differences between DPL(2,1) and DH models (Fig. 1, right).

Non-Fourier models may also show overdiffusive or oscillating behav-

iors. For τT = 0 and the initial function, with a single periodic term,

ϕ(x, y, t) = sin(πx) sin(πy), the transition to oscillating behaviors de-

pends on the product 2π2ατq, that in the examples shown in Figure 2


0 0.5 1 1.5 2−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0 x 10−6

t

Δ T

(0.5

,0.5

,t)

DHDPL(1,1)DPL(2,1)

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5x 10

−7

t

Δ T

(0.5

,0.5

,t)

DPL(1,1)DPL(2,1)

Figure 3.1: Temperature evolution, at (x, y) = (0.5, 0.5), for DPL andDH models with Dirichlet boundary conditions and parameters τT = 0,τq = τCu, α = αCu, and initial function ϕ(x, y, t) = sin(πx) sin(πy).Differences from classical diffusion (top) and from DPL models to DH(bottom).


is set to values of 0.2 (left) and 0.8 (right). In Fig. 2 (left), non-Fourier

models decay similarly, and faster than classical diffusion, while in Fig. 2

(right) oscillations and differences between DPL and DH models appear.

Since the DH model only depends on the difference τ = τq − τT > 0,

for different values of τT and τq such that τ is kept constant, variations

should be observed in the DPL approximate models, but not in the DH

model, as can be observed in the examples in Figure 3. It is noticeable

that similar behavior is displayed by the DPL(2,2) and DH models.

In Figure 4, an example of temperature distributions for different

times, for the DH model with Neumann boundary conditions and a more

complex, time dependent, initial function, is presented.


0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

T(0

.5,0

.5,t)

DHDPL(1,1)DPL(2,1)Diff

0 2 4 6 8 10

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

T(0

.5,0

.5,t)

DHDPL(1,1)DPL(2,1)Diff

Figure 3.2: Temperature evolution for DPL, DH, and classical diffusion(Diff) models, with Dirichlet boundary conditions, with parameters τT =0, τq = 1, and α = 0.1/π2 (top), or α = 0.4/π2 (bottom).


0 10 20 30 40 50 60

0.9

1

t

T(0

.5,0

.5,t)

DHDPL(1,1)DPL(2,1)DPL(2,2)

0 10 20 30 40 50 60

0.9

1

t

T(0

.5,0

.5,t)

DHDPL(1,1)DPL(2,1)DPL(2,2)

Figure 3.3: Temperature evolution for DPL, DH, and classical diffusion(Diff) models, with Dirichlet boundary conditions, with τT = 0 and α =αCu. Top: τT = 29τCu, τq = 30τCu. Bottom: τT = 59τCu, τq = 60τCu.


0.1

0.5

0.9

0.1

0.5

0.9

0

2

4

xy

T(x

,y,0

)

0.1

0.5

0.9

0.1

0.5

0.9

012

xy

T(x

,y,5

)

0.1

0.5

0.9

0.1

0.5

0.9

012

xy

T(x

,y,1

0)

0.1

0.5

0.9

0.1

0.5

0.9

0

1

2

xy

T(x

,y,2

0)

Figure 3.4: Temperature evolution for DH model, with Neumann bound-ary conditions, with parameters τ = 1, α = 0.005, and initial functionϕ(x, y, t) = et (2 + cos(πx) cos(πy) + cos(πx) cos(2πy)), for t = 0 (topleft), t = 5 (top right), t = 10 (down left), and t = 20 (down right).

References

[1] D.D. Joseph, L. Preziosi, Heat waves, Rev. Mod. Phys. 61 (1989)

41-73.

[2] D.Y. Tzou, Macro- to Microscale Heat Transfer: The Lagging Be-

havior, Taylor & Francis, Washington, 1996.

[3] Tzou D.Y. On the thermal shock wave induced by a moving heat

source, J. Heat Transfer, 111 (1989) 232-238.


rate heating, Int. J. Heat Mass Transfer 38 (1995) 3231-3240.


propagation, AIAA J. Termophys. Heat Transfer 9 (1995) 686-693.

[6] T. Q. Qiu, C. L. Tien, Short-pulse laser heating on metals, Int. J.


[7] T. Q. Qiu, C. L. Tien, Heat transfer mechanisms during short-pulse

laser heating of metals, ASME J. Heat Transfer 115 (1993) 835-841.

77

78 References

[8] L. Wang, X. Wei, Heat conduction in nanofluids, Chaos Solitons

Fractals 39 (2009) 2211-2215.

[9] J.J. Vadasz, S. Govender, Thermal wave effects on heat transfer en-

hancement in nanofluids suspensions, Int. J. Thermal Sci. 49 (2010)

235-242.

[10] F. Xu, K.A. Seffen, T.J. Liu, Non-Fourier analysis of skin biother-

momechanics, Int. J. Heat Mass Transfer 51 (2008) 2237-2259.

[11] J. Zhou, Y. Zhang, J.K. Chen, An axisymmetric dual-phase-lag bio-

heat model for laser heating of living tissues, Int. J. Thermal Sci. 48

(2009) 1477-1485.

[12] J. Zhou, J.K. Chen, Y. Zhang, Dual-phase-lag effects on thermal

damage to biological tissues caused by laser irradiations, Comput.

Biol. Med., 39 (2009) 286-293.

[13] C. Cattaneo, Sur une forme de l’equation de la chaleur eliminant le

paradoxe d’une propagation instantanee, C. R. Acad. Sci. 247 (1958)

431-433.

[14] P. Vernotte, Les paradoxes de la theorie continue de l’equation de la

chaleur, C. R. Acad. Sci. 246 (1958) 3154-3155.

[15] P. Vernotte, Some possible complications in the phenomena of ther-

mal conduction, C. R. Acad. Sci. 252 (1961) 2190-2191.



References 79



[18] V.V. Kulish, V.B. Novozhilov, An integral equation for the dual-lag

model of heat transfer, ASME J. Heat Transfer 126 (2004) 805-808.

[19] M. Xu and L. Wang, Dual-phase-lagging heat conduction based on

Boltzmann transport equation, Int. J. Heat Mass Transfer 48 (2005)

5616-5624.

[20] J.A. Martın, F. Rodrıguez, R. Company, Analytic solution of mixed

problems for the generalized diffusion equation with delay, Math.

Comput. Modelling 40 (2004) 361-369.



56 (2008) 743-753.

Chapter 4

Exact and analytic-numerical

solutions of lagging models of

heat transfer in a semi-infinite

medium

Abstract and Applied Analysis

Volume 2013, Article ID 397053

doi: 10.1155/2013/3970532013

81

Hindawi Publishing CorporationAbstract and Applied AnalysisVolume 2013,Article ID 397053, 6 pageshttp://dx.doi.org/10.1155/2013/397053

Research ArticleExact and Analytic-Numerical Solutions of Lagging Models ofHeat Transfer in a Semi-Infinite Medium

M. A. Castro, F. Rodríguez, J. Escolano, and J. A. Martín

Departamento Matematica Aplicada, Universidad de Alicante, Apartado 99, 03080 Alicante, Spain

Correspondence should be addressed to J. A. Martın; [email protected]

Received 1November 2013;Accepted 4 December 2013

Academic Editor: L. Jodar

Copyright © 2013M. A. Castro et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License,which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Different non-Fourier models of heat conduction have been considered in recent years, in a growing area of applications, to modelmicroscale and ultrafast, transient, nonequilibrium responses in heat and mass transfer. In this work, using Fourier transforms,we obtain exact solutions for different lagging models of heat conduction in a semi-infin te domain, which allow the constructionof analytic-numerical solutions with prescribed accuracy. Examples of numerical computations, comparing the properties of themodels considered, are presented.

1. Introduction

Non-Fourier models of heat conduction have increasinglybeen considered in recent years to model microscale andultrafast, transient, nonequilibrium responses in heat andmass transfer, where thermal lags and nonclassical phenom-ena are present (see, e.g., [1] and references therein). Thegrowing area of applications of these models include, amongother examples, the processing of thin-film engineeringstructures with ultrafast lasers [2, 3], the transfer of heat innanofluids [4, 5], or the exchange of heat in biological tissues[6–8].

In the Dual-Phase-Lag (DPL) model [9–11], the equationrelating the heat flux vector q and the temperature𝑇, for time𝑡 and spatial point r,

q (r, 𝑡 + 𝜏𝑞) = −𝑘∇𝑇 (r, 𝑡 + 𝜏𝑇) , (1)

where 𝑘 > 0 is the thermal conductivity, incorporates twolags, 𝜏𝑞 for the heat flux and 𝜏𝑇 for the temperature gradient.When both lags are zero, the Fourier law is recovered, whilefor 𝜏𝑞 > 0 and 𝜏𝑇 = 0, it reduces to the Single-Phase-Lag(SPL) model [12].

Combining (1) with the principle of energy conservation,

−∇ ⋅ q (r, 𝑡) + 𝑄 (r, 𝑡) = 𝐶𝑝𝑇𝑡 (r, 𝑡) , (2)

where 𝐶𝑝 is the volumetric heat capacity and 𝑄, the volu-metric heat source, in the absence of heat sources a partialdifferential equation with delay is obtained [13, 14] as

𝑇𝑡 (r, 𝑡 + 𝜏𝑞) = 𝛼Δ𝑇 (r, 𝑡 + 𝜏𝑇) , (3)

where 𝛼 = 𝑘/𝐶𝑝 is the thermal diff sivity. When bothlags are zero, the diffusion equation, a parabolic partialdifferential equation which represents the classical model forheat conduction and other transport phenomena, is obtained.

Using fi st-order approximations in (1),

q (r, 𝑡) + 𝜏𝑞𝜕q𝜕𝑡

(r, 𝑡) ≅ −𝑘{∇𝑇 (r, 𝑡) + 𝜏𝑇𝜕

𝜕𝑡∇𝑇 (r, 𝑡)} , (4)

a hyperbolic equation is derived, commonly referred to as theDPL model [9], here denoted as DPL(1, 1),

𝑇𝑡 (r, 𝑡) + 𝜏𝑞𝑇𝑡𝑡 (r, 𝑡) = 𝛼 {Δ𝑇 (r, 𝑡) + 𝜏𝑇Δ𝑇𝑡 (r, 𝑡)} , (5)

which for 𝜏𝑇 = 0 reduces to the Cattaneo-Vernotte (CV)model [15–17].

Approximations in (1) up to order two in 𝜏𝑞 and/or 𝜏𝑇have also been considered [18, 19], leading to models that willbe denoted as DPL(2, 1),

𝑇𝑡 (r, 𝑡) + 𝜏𝑞𝑇𝑡𝑡 (r, 𝑡) +𝜏2

𝑞

2𝑇𝑡𝑡𝑡 (r, 𝑡)

= 𝛼 {Δ𝑇 (r, 𝑡) + 𝜏𝑇Δ𝑇𝑡 (r, 𝑡)} ,

(6)

4.1. Introduction 85

4.1 Introduction

Non-Fourier models of heat conduction have increasingly been consid-

ered in recent years to model microscale and ultrafast, transient, non-

equilibrium responses in heat and mass transfer, where thermal lags and

non-classical phenomena are present (see, e.g., [1] and references therein).

The growing area of applications of these models include, among other

examples, the processing of thin-film engineering structures with ultrafast

lasers [2, 3], the transfer of heat in nanofluids [4, 5], or the exchange of

heat in biological tissues [6–8].

In the Dual-Phase-Lag (DPL) model [9–11], the equation relating the

heat flux vector q and the temperature T , for time t and spatial point r,

q(r, t+ τq) = −k∇T (r, t+ τT ), (4.1)

where k > 0 is the thermal conductivity, incorporates two lags, τq for the

heat flux and τT for the temperature gradient. When both lags are zero,

the Fourier law is recovered, while for τq > 0 and τT = 0 it reduces to the

Single-Phase-Lag (SPL) model [12].

Combining (4.1) with the principle of energy conservation,

−∇ · q(r, t) +Q(r, t) = CpTt(r, t), (4.2)

where Cp is the volumetric heat capacity and Q the volumetric heat

source, in the absence of heat sources a partial differential equation with

delay is obtained [13, 14], as

Tt(r, t+ τq) = α∆T (r, t+ τT ), (4.3)

86 Chapter 4. Abstract and Applied Analysis 2013

where α = k/Cp is the thermal diffusivity. When both lags are zero, the

diffusion equation, a parabolic partial differential equation which repre-

sents the classical model for heat conduction and other transport phe-

nomena is obtained.

Using first-order approximations in (4.1),

q(r, t) + τq∂q

∂t(r, t) ∼= −k{∇T (r, t) + τT

∂

∂t∇T (r, t)}, (4.4)

a hyperbolic equation is derived, commonly referred to as the DPL model

[9], here denoted as DPL(1,1),

Tt(r, t) + τqTtt(r, t) = α{∆T (r, t) + τT∆Tt(r, t)}, (4.5)

which for τT = 0 reduces to the Cattaneo-Vernotte (CV) model [15–17].

Approximations in (4.1) up to order two in τq and/or τT have also been

considered [18, 19], leading to models that will be denoted as DPL(2,1),


and DPL(2,2),


τ 2T2

∆Ttt(r, t)}.

From the original formulation of the DPL model, as given in (4.1), for

τ = τq − τT > 0, a retarded partial differential equation is obtained

[13, 14], referred to as the delayed heat conduction model (DH),

Tt′(r, t′) = α∆T (r, t′ − τ), (4.6)

4.2. Solutions of DPL models in a semi-infinite domain 87

where t′ = t+ τq.

Exact solutions for some particular DPL models in different settings

have been discussed (e.g., [11, 13, 14, 20–22]), and many specific methods

to construct numerical solutions, usually in finite domains using finite

difference schemes, have been developed (see, e.g., [23–27]).

In semi-infinite domains, some particular problems have also been

considered. Solutions for heat propagation according to DPL(1,1) model

in a semi-infinite solid, produced by suddenly raising the temperature at

the boundary, were obtained in [11, 20], using Laplace and Fourier trans-

forms. Relations between the local values of heat flux and temperature,

in the form of integral equations, in a semi-infinite solid were considered

in [13, 28].

In this work, using Fourier transforms, explicit solutions for lagging

models of heat conduction in a semi-infinite domain, with different types

of boundary conditions, are obtained, allowing the construction of nu-

merical solutions with bounded errors.

It should be noted that Fourier transforms can also be used in time-

dependent problems (e.g., [29, 30]), and the approach of this work could

also be useful for time-dependent DPL models, which have already been

proposed [31].

4.2 Solutions of DPL models in a semi-infinite

domain

Consider a plate of infinite thickness, x ∈ [0,∞], that can be heated

either at its surface, x = 0, or up to a certain depth, x ∈ [0, l]. We will


consider, for t ≥ 0, either Dirichlet, T (0, t) = 0, or Neumann, Tx(0, t) = 0,

boundary conditions, and also that

limx→∞

T (x, t) = 0, t ≥ 0.

Appropriate initial conditions must be provided for the different models.

Thus, for DPL(1,1) initial values for temperature and its time derivative

have to be specified,

T (x, 0) = ϕ(x, 0), Tt(x, 0) = φ(x, 0), 0 ≤ x <∞,

while for DPL(2,1) and DPL(2,2) also its second derivative has to be

given,

Ttt(x, 0) = ψ(x, 0), 0 ≤ x <∞,

and for the DH model the initial condition for the temperature has to be

specified for a time interval of τ amplitude,

T (x, t) = ϕ(x, t), 0 ≤ t ≤ τ, 0 ≤ x <∞.

For a wide class of initial functions [32, 33], the method of Fourier trans-

form can be used to eliminate derivatives in the spatial domain and obtain

expressions for the exact solutions in the form of an infinite integral, either

using Fourier sine transforms for Dirichlet conditions,

T (x, t) =2

π

∫ ∞0

T (w, t) sin(wx)dw, (4.7)

4.2. Solutions of DPL models in a semi-infinite domain 89

or cosine transforms for Neumann conditions,

T (x, t) =2

π

∫ ∞0

T (w, t) cos(wx)dw, (4.8)

where the functions T (w, t), which are the corresponding Fourier sine or

cosine transforms of T (x, t), are obtained as solutions of the transformed

temporal problems, depending on the continuous set of eigenvalues w2.

For the family of DPL approximations, the transformed problems are

initial-value problems for linear differential equations with constant coef-

ficients. Thus, for DPL(1,1) one gets

τqT ′′(w, t) + (1 + w2ατT )T ′(w, t) + w2αT (w, t) = 0,

T (w, 0) = F (w), T ′(w, 0) = G(w),

for DPL(2,1) the problem reads

τ 2q2T ′′′(w, t) + τqT ′′(w, t) + (1 + w2ατT )T ′(w, t) + w2αT (w, t) = 0,

with initial conditions

T (w, 0) = F (w), T ′(0) = G(w), T ′′(0) = H(w),

and, with the same initial conditions as in DPL(2,1), for DPL(2,2) one

gets

(τ 2q /2)T ′′′(w, t) + (τq + w2ατ 2T/2)T ′′(w, t) + (1 + w2ατT )T ′(w, t)+ w2αT (w, t) = 0,


where F (w), G(w), and H(w) are the Fourier sine or cosine transforms,

accordingly to the type of boundary conditions, of the initial functions

ϕ(x, t), φ(x, t), and ψ(x, t), respectively.

Hence, these problems can be solved, obtaining expressions for T (w, t)

in terms of the roots of the corresponding characteristic equation, and

thus explicit expressions for the exact solutions for these models, in the

form of (4.7) or (4.8), can be obtained.

For the DH model, the transformed temporal problems are initial value

problems for delay differential equations with general initial functions,

T ′(w, t) + w2αT (w, t− τ) = 0, t > τ, T (w, t) = F (w, t), 0 ≤ t ≤ τ,

where F (w, t) is the appropriate Fourier transform, according to the

boundary conditions, of the initial function ϕ(x, t). To obtain construc-

tive solutions for this problem, a combination of the steps method and

a convolution integral can we applied [34, 35], producing the following

expression, for t ∈ [pτ, (p+ 1) τ ],

T (w, t) = F (w, τ) + F (w, 0)

p∑k=1

(−w2)kαk (t− kτ)k

k!

+

p−1∑k=1

(−w2)kαk

k!

∫ τ

0

(t− kτ − s)k Fs (w, s) ds

+(−w2)pαp

p!

∫ t−pτ

0

(t− pτ − s)p Fs (w, s) ds.

The solutions obtained with the Fourier transforms, as given in (4.7)

or (4.8), can be shown to converge and provide exact solutions under

4.3. Numerical examples 91

adequate integrability and regularity conditions on the initial functions.

Numerical integration is required in general to compute numerical ap-

proximations of these solutions, with errors that can be bounded in finite

spatial and temporal domains by controlling errors in the numerical in-

tegrators o by appropriately truncating the infinite integrals. However,

for some particular initial functions, the solutions given by (4.7) or (4.8)

may reduce to finite integrals.

4.3 Numerical examples

Numerical examples are presented in the following figures, where, in order

to properly compare DPL and DH models, the initial interval for DH,

where the initial function ϕ(x, t) is given, is displaced to [−τ, 0], and the

initial functions for DPL models are set so that the values of temperature

and its first derivative at t = 0, and also its second derivative for DPL(2,1)

and DPL(2,2), are matched to those of the DH model. The classical

diffusion model, whose solution is available and readily obtained [36], is

also included as reference.

First, we consider models with τT = 0, so that DPL(2,1) and DPL(2,2)

are equal, and an initial function with damped temperature oscillations,

thought to be the result of a modulated heat source that is switched off

at t = 0, showing the transient behavior for the different DPL models for

different values of α (Figure 1), as well as their differences from classical

diffusion (Figure 2).

In Figure 3, a more detailed view of the spatio temporal behavior of

the DH model (Fig. 3, top), and differences from DH of DPL(1,1) and

DPL(2,1) (Fig. 3, bottom) are presented.


0 2 4 6 8 10

0.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

t

T(1

0.00

,t)

DiffDPL(1,1)DPL(2,1)DH

0 2 4 6 8 10

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

t

T(1

0.00

,t)

DiffDPL(1,1)DPL(2,1)DH

Figure 4.1: Temperature evolution, at x = 10, for DPL, DH, and classicaldiffusion (Diff) models with Dirichlet boundary conditions and parame-ters τT = 0, τq = 1, and initial function ϕ(x, t) = 2(1− cos(x))/(πx), forα = 0.1 (top) and α = 0.8 (bottom).


0 2 4 6 8 10

−1.5

−1

−0.5

0 x 10−3

t

Δ T

(10.

00,t)

DHDPL(1,1)DPL(2,1)

0 2 4 6 8 10

−20

−15

−10

−5

0

5x 10

−3

t

Δ T

(10.

00,t)

DHDPL(1,1)DPL(2,1)

Figure 4.2: Differences from classical diffusion for models DPL and DH,for the data shown in Figure 1.


1115

19

−1 0

4.58.9

0

0.05

0.1

xt

T(x

,t)

0 2 4 6 8 10−5

0

5

10x 10

−3

t

Δ T

(10.

00,t)

DPL(1,1)DPL(2,1)

Figure 4.3: Temperature evolution, for (x, t) ∈ [10, 20] × [0, 10], for theDH model with Dirichlet boundary conditions and parameters τT = 0,τq = 1, α = 0.8, and initial function ϕ(x, t) = 2(1 − cos(x))/(πx) (top),and differences from DH of DPL(1,1) and DPL(2,1) at x = 10 (bottom).


In Figure 4, different values of τT and τq, such that τ = τq − τT is

kept constant, are used, so that variations in the temperature evolution

are observed in the DPL approximate models, but not in the DH model,

which only depends on the value of τ .


0 2 4 6 8 10

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

t

T(1

0.00

,t)

DiffDPL(1,1)DPL(2,1)DHDPL(2,2)

0 2 4 6 8 10

−5

0

5

10

15

20

x 10−3

t

Δ T

(10.

00,t)

DPL(1,1)DPL(2,1)DPL(2,2)

0 2 4 6 8 10

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

t

T(1

0.00

,t)

DiffDPL(1,1)DPL(2,1)DHDPL(2,2)

0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

t

Δ T

(10.

00,t)

DPL(1,1)DPL(2,1)DPL(2,2)

Figure 4.4: Temperature evolution for DPL, DH, and classical diffu-sion (Diff) models (left), and differences from DH of DPL aproximations(right), at x = 10, with Dirichlet boundary conditions, initial functionϕ(x, t) = 2(1− cos(x))/(πx), and parameters α = 0.8, τT = 1 and τq = 1(top), or τT = 19 and τq = 20 (down).

References

[1] D.Y. Tzou, J. Xu, Nonequilibrium Transport: The Lagging Behav-

ior. In: L.Q. Wang (Ed.), Advances in Transport Phenomena, AD-

VTRANS 2, pp. 93170. Springer-Verlag, Berlin, 2011.

[2] T. Q. Qiu, C. L. Tien, Short-pulse laser heating on metals, Int. J.


[3] T. Q. Qiu, C. L. Tien, Heat transfer mechanisms during short-pulse

laser heating of metals, ASME J. Heat Transfer 115 (1993) 835-841.

[4] L. Wang, X. Wei, Heat conduction in nanofluids, Chaos Solitons

Fractals 39 (2009) 2211-2215.

[5] J.J. Vadasz, S. Govender, Thermal wave effects on heat transfer en-

hancement in nanofluids suspensions, Int. J. Thermal Sci. 49 (2010)

235-242.

[6] F. Xu, K.A. Seffen, T.J. Liu, Non-Fourier analysis of skin biother-

momechanics, Int. J. Heat Mass Transfer 51 (2008) 2237-2259.

[7] J. Zhou, Y. Zhang, J.K. Chen, An axisymmetric dual-phase-lag bio-

97

98 References

heat model for laser heating of living tissues, Int. J. Thermal Sci. 48

(2009) 1477-1485.

[8] J. Zhou, J.K. Chen, Y. Zhang, Dual-phase-lag effects on thermal

damage to biological tissues caused by laser irradiations, Comput.

Biol. Med., 39 (2009) 286-293.


rate heating, Int. J. Heat Mass Transfer 38 (1995) 3231-3240.


propagation, AIAA J. Termophys. Heat Transfer 9 (1995) 686-693.

[11] D.Y. Tzou, Macro- to Microscale Heat Transfer: The Lagging Be-

havior, Taylor & Francis, Washington, 1996.

[12] Tzou D.Y. On the thermal shock wave induced by a moving heat

source, J. Heat Transfer, 111 (1989) 232-238.

[13] V.V. Kulish, V.B. Novozhilov, An integral equation for the dual-lag

model of heat transfer, ASME J. Heat Transfer 126 (2004) 805-808.

[14] M. Xu, L. Wang, Dual-phase-lagging heat conduction based on

Boltzmann transport equation, Int. J. Heat Mass Transfer 48 (2005)

5616-5624.

[15] C. Cattaneo, Sur une forme de l’equation de la chaleur eliminant le

paradoxe d’une propagation instantanee, C. R. Acad. Sci. 247 (1958)

431-433.

References 99

[16] P. Vernotte, Les paradoxes de la theorie continue de l’equation de la

chaleur, C. R. Acad. Sci. 246 (1958) 3154-3155.

[17] P. Vernotte, Some possible complications in the phenomena of ther-

mal conduction, C. R. Acad. Sci. 252 (1961) 2190-2191.





[20] P.J. Antaki, Solution for non-Fourier dual phase lag heat conduc-

tion in a semiinfinite slab with surface heat flux, lnt. J. Heat Mass

Transfer. 41 (1998) 225-2258.

[21] S. Su, W. Dai, P.M. Jordan, R.E. Mickens, Comparison of the so-

lutions of a phaselagging heat transport equation and damped wave

equation, Int. J. Heat Mass Transfer 48 (2005) 22332241.

[22] J. Escolano, F. Rodrıguez, M.A. Castro, F. Vives, J.A. Martın, Exact

and analytic-numerical solutions of bidimensional lagging models of

heat conduction, Math. Comput. Modelling 54 (2011) 18411845.

[23] W. Dai, R. Nassar, A finite difference scheme for solving the heat

transport equation at the microscale, Numer. Methods Partial Dif-

ferential Equations 15 (1999) 697-708.

[24] W. Dai, R. Nassar, A compact finite difference scheme for solving

a three-dimensional heat transport equation in a thin film, Numer.

Methods Partial Differential Equations 16 (2000) 441-458.

100 References

[25] W. Dai, R. Nassar, A compact finite difference scheme for solving a

one-dimensional heat transport equation at the microscale, J. Com-

put. Appl. Math. 132 (2001) 431-441.

[26] H. Wanng, W. Dai, R. Nassar, R. Melnik, A finite difference method

for studying thermal deformation in a thin film exposed to ultrashort-

pulsed lasers, Int. J. Heat Mass Transfer 49 (2006) 2712-2723.

[27] J. Cabrera, M.A. Castro, F. Rodrıguez, J.A. Martın, Difference

schemes for numerical solutions of lagging models of heat conduc-

tion, Math. Comput. Modelling, 57 (2013) 16251632.

[28] V.V. Kulish, K.V. Poletkin, A generalized relation between the lo-

cal values of temperature and the corresponding heat flux in a one-

dimensional semi-infinite domain with the moving boundary, Int. J.

Heat Mass Transfer 55 (2012) 6595–6599.

[29] L. Jodar, J. Perez, Exact Solution of Mixed Problems for Variable

Coefficient One-Dimensional Diffusion Equation, Comput. Math.

Appl. 41 (2001) 689-696.

[30] L. Jodar, J. Perez, R.J. Villanueva, Explicit Solution of Time Depen-

dent Diffusion Problems in a Semi-Infinite Medium, Comput. Math.

Appl. 43 (2002) 157-167.

[31] M. A. Castro , F. Rodrıguez , J. Cabrera, J. A. Martın, Difference

schemes for time-dependent heat conduction models with delay, Int.

J. Comput. Math., 91 (2014) 53–61.

[32] E.C. Tichmarsh, An Introduction to the Theory of Fourier Integrals,

Clarendon Press, Oxford, 1962.

References 101

[33] R.N. Bracewell, The Fourier Transform and its Applications,

McGraw-Hill, New York, 1965.

[34] J.A. Martın, F. Rodrıguez, R. Company, Analytic solution of mixed

problems for the generalized diffusion equation with delay, Math.

Comput. Modelling 40 (2004) 361-369.



56 (2008) 743-753.

[36] H.S. Caxslaw, J.C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Oxford

University Press, Oxford, 1995.

Parte III

Conclusiones

103

Conclusiones generales

Como se muestra en la publicacion recogida en el Capıtulo 2, la utilizacion

del metodo de separacion de variables, combinado con el empleo de so-

luciones explıcitas constructivas para los problemas separados de valores

iniciales para ecuaciones diferenciales con retardo que resultan al aplicar

el metodo, permite obtener soluciones exactas en forma de series infini-

tas para la ecuacion generalizada de difusion con retardo en dominios

rectangulares.

La expresion (2.8) proporciona la solucion explıcita del problema mix-

to (2.1)-(2.4) para la ecuacion bidimensional de difusion con retardo con

condiciones de contorno tipo Dirichlet, pudiendo obtenerse expresiones

similares para diferentes condiciones de contorno alternativas. Truncando

las series infinitas que definen las soluciones exactas, pueden obtenerse so-

luciones numericas continuas con errores acotados, que permiten el calculo

efectivo de los valores de la solucion y el estudio de sus comportamientos

y propiedades.

Los resultados obtenidos en la publicacion recogida en el Capıtulo 3

proporcionan soluciones exactas y numericas continuas para distintos ti-

pos de modelos bidimensionales de conduccion del calor con retardo de la

familia de modelos dual-phase-lagging o DPL, incluyendo el denominado

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modelo DH, en forma de ecuacion en derivadas parciales con retardo, y los

modelos con distintos ordenes de aproximacion en los retardos del flujo de

calor y del gradiente de temperatura denominados DPL(1,1), DPL(2,1)

y DPL(2,2).

Las expresiones (3.8) y (3.9) proporcionan la forma general de las so-

luciones exactas para los distintos modelos bidimensionales de conduccion

del calor con retardo considerados, para condiciones de contorno tipo Di-

richlet y tipo Neumann, respectivamente. Las aproximaciones numericas

que se derivan de estas expresiones permiten el calculo efectivo de las so-

luciones para los distintos modelos y la comparacion de sus propiedades,

entre ellos y respecto del modelo clasico de difusion, como se ilustra en

los experimentos numericos mostrados en las Figuras 3.1-3.4.

Como se muestra en la publicacion recogida en el Capıtulo 4, la utiliza-

cion del metodo de la transformada de Fourier permite obtener soluciones

exactas, en forma de integrales impropias, para modelos de conduccion

del calor con retardo en la semirrecta. Las expresiones (4.7) y (4.8) pro-

porcionan, para distintas condiciones de contorno, la forma general de las

soluciones exactas para los distintos modelos de conduccion del calor con

retardo de la familia DPL considerados en este trabajo, permitiendo el

calculo efectivo de soluciones numericas y el estudio de las propiedades

de los distintos modelos, como se ilustra en las Figuras 4.1-4.4.

Los metodos utilizados y los resultados obtenidos en este trabajo

podrıan ser extendidos en diferentes aspectos y aplicados a otros tipos

de problemas, lo que en algunos casos ya esta siendo llevado a cabo den-

tro del grupo de investigacion en ecuaciones diferenciales con retardo de la

Universidad de Alicante. Ası, por ejemplo, se podrıan abordar problemas

definidos en dominios diferentes de los considerados en esta memoria, se

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podrıan abordar problemas con coeficientes variables o se podrıan incluir

efectos aleatorios en los valores de los parametros y/o las condiciones

iniciales.

soluciones exactas y numéricas de modelos de difusión con ...resumen de la tesis la estructura...

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