soluciones de la ecuación de onda
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ONDAS PLANAS
Soluciones de la ecuación de onda
Ecuación de onda en coordenadas cartesianas
2 2
2 2 22
2 2 2
0
0
k
kx y z
∇ Ω + Ω =
∂ Ω ∂ Ω ∂ Ω+ + + Ω =
∂ ∂ ∂
Separación de variables
( ) ( ) ( )2 2 2
22 2 2
1 1 10
X x Y y Z z
d X d Y d Zk
X dz Y dy Z dz
Ω =
+ + + =
2
22
22
2
22
2
1
1
1
x
y
z
d Xk
X dzd Y
kY dy
d Zk
Z dz
= −
= −
= −
2 2 2 2x y zk k k k= + +
Ecuaciones de onda
22
2
22
2
22
2
0
0
0
x
y
z
d Xk X
dzd Y
k Ydy
d Zk Z
dz
+ =
+ =
+ =
Soluciones modales para el problema escalar
( ) ( ) ( )
( )
, ,
, ,
2 2 2 2
, , ' '
x y z
x y z
k k k x y z
x y z k k k
z x y
h k x h k y h k z
f k k k dx dy
k k k k
∞ ∞
−∞ −∞
Ω =
Ω = Ω
= − −
∫ ∫
Las funciones armónicas h, que son solución de la ecuación de onda son
( )( )( )( )
sin
cosx
x
x x
x x
jk xx
jk xx
h k x k x
h k x k x
h k x e
h k x e−
=
=
=
=
Las ondas planas se pueden propagar en distintas direcciones, para un caso sin variación según z, particularizando en kz=0 las ondas que se propagan son proporcionales a
2 2
yx k yjk x
x y
e e
k k k
−−Ω =
+ =
Si se representan las ondas para diversos valores de kx, se obtiene,
Representación gráfica de ( )Re yx k yjk xe e−−
Representación gráfica de las soluciones
Las ondas planas se propagan manteniendo constante su amplitud, y con una variación lineal de fase. La representación gráfica del módulo, fase, parte real e imaginaria puede ilustrar el comportamiento de dichas ondas
Representación gráfica de una onda plana
0 2 41
0
11.1
1−
e1j− k x⋅ x⋅
40 x 0 2 4
0
π
π−
arg e1j− k x⋅ x⋅( )
40 x xjk xe− ( )arg xjk xe−
0 2 41
0
11
1−
Re e1j k x⋅ x⋅( )
40 x 0 2 4
1
0
11
1−
Im e1j− k x⋅ x⋅( )
40 x ( ) ( )Re cosxjk x
xe k x− = ( ) ( )Im sinxjk xxe k x− = −
Espectro angular de ondas planas La solución de la ecuación de onda en coordenadas cartesianas se puede expresar en función de las soluciones elementales como una superposición de las mismas.
( )
( ) ( ) ( )
, ,
, ,
, , ' 'x y z
x y z
x y z k k k
k k k x y z
f k k k dx dy
h k x h k y h k z
∞ ∞
−∞ −∞
Ω = Ω
Ω =
∫ ∫
Las soluciones individuales en el caso del espacio libre se pueden escoger como ondas progresivas en la dirección radial
, ,yx z
x y z
jk yjk x jk z jk k k e e e e−− − − ⋅Ω = = k r
La solución de la ecuación se puede interpretar como un conjunto de ondas planas que se propagan en todas las direcciones del espacio, cada una de ellas con su amplitud, y con la misma constante de propagación. Las constantes de separación de la ecuación diferencial están relacionadas entre sí y tan sólo es necesario considerar dos de ellas como variables independientes.
2 2 2z x yk k k k= + −
La solución para cada una de las ondas elementales es
( )2 2 2
,
x yyx
x y
j k k k zjk yjk xk k e e e
− + −−−Ω =
Una interpretación alternativa es que la solución es un conjunto de ondas que se propagan todas ellas en la dirección del eje z, con constantes de propagación diferentes kz. La fase en planos z=cte no sería plana. La solución completa es
( ) ( )
( )
2 2 2
,
, ' '
' '
x yyx
yx
j k k k zjk yjk xx y
jk yjk xx y
f k k e e e dx dy
a k k e e dx dy
∞ ∞− + −−−
−∞ −∞
∞ ∞−−
−∞ −∞
Ω =
Ω =
∫ ∫
∫ ∫
La solución se puede interpretar como una transformada de Fourier de la función ( ),x ya k k , que se denominará espectro angular de ondas
planas. La relación que existe entre los ángulos del espacio y las constantes de propagación es
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
k k
k k
k k
θ φθ φ
θ
==
=
Los valores máximos y mínimos de las variables kx,ky,kz son –k y +k. La ecuación que liga k con las tres variables kx,ky,kz es la ecuación de una esfera. En el plano kx,ky los valores que hacen que kz sea real son los contenidos en un círculo de radio k.
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
sin cos
sin sin
sin
x
y
x y
k k
k k
k k k k
θ φ
θ φ
θ
=
=
+ = ≤
En los otros casos kz es imaginario, y la función ( ),x ya k k se atenúa
rápidamente, de forma proporcional a
( )2 2 2x yj k k k z
e− + −
Si se representa gráficamente el espectro en curvas de nivel, el margen visible (ondas que se propagan) está en el interior de un círculo de radio k, los ángulos correspondientes a dicha radiación se pueden obtener a partir de una simple transformación geométrica, tal y como se indica en la figuras. La zona que se encuentra fuera del margen visible no contribuye a la radiación, pero supone una energía reactiva almacenada.
Representación gráfica del espectro de ondas planas radiadas por una apertura, y su correspondiente diagrama de radiación.
Interpretación gráfica de la relación entre el espectro y el diagrama.
Efecto de filtrado espacial Se ha demostrado que las ondas en el espacio se pueden analizar a partir de la transformada de Fourier de una función
( ) ( )2 2 2
, ' 'x yyx
j k k k zjk yjk xx yf k k e e e dx dy
∞ ∞− + −−−
−∞ −∞
Ω = ∫ ∫
El efecto de propagación según z se puede interpretar como un filtrado, teniendo como función de peso
( ) ( )2 2 2
, ,x yj k k k z
x yA k k z e− + −
=
El módulo de dicha función es constante en el círculo de radio k, y decae exponencialmente en los otros casos. En la figura siguiente se representa la atenuación en función de kz/k .
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
11
0
A 0.2 k z,( )A 0.5 k z,( )A 1 k z,( )
30 k z
k Fig. Representación gráfica de la función filtro de propagación, para un espectro que se ha propagado las distancias de 0.2,0.5 y 1 longitudes de onda.
Representación tridimensional de la función filtro del espectro de ondas planas para distancias de 0.2 y 0.5 longitudes de onda.
Soluciones vectoriales de la ecuación de onda Hasta ahora se han encontrado las soluciones de la ecuación de onda en coordenadas cartesianas para una función escalar. Para obtener las soluciones completas de los campos en todo el espacio hay que tener en cuenta que de las seis componentes de los campos en un punto, Ex,Ey, Ez, Hx, Hy, Hz, tan sólo hay dos independientes, las demás se pueden obtener a partir de las ecuaciones de Maxwell. Por lo tanto se podrá obtener la solución completa de los campos en el espacio si se definen dos funciones independientes, que denominaremos potenciales escalares. La elección de las funciones potenciales es arbitraria, pero se suele emplear la componente z de los potenciales vector eléctrico y magnético. No se debe confundir la solución modal en el espacio libre con la relación que existe entre las fuentes y los potenciales.
Modos TMz
Se definen como aquellos cuyas componente z de campo magnético es 0. Se obtienen a partir de la función potencial Az(x,y,z)
( )
0
1
1
jj
ωωµε
µ
=
= − + ∇ ∇ ⋅
= ∇×
F
E A A
H A
Expresando los campos a partir de la función potencial, se obtiene
( )1
1
E
E E
E
jj
ωωµε
µ
= Ω
= − Ω + ∇ ∇⋅Ω
= ∇×Ω
A z
E z z
H z
Las expresiones en coordenadas cartesianas son
1
1
EE
E E
jj x y z z
y x
ωωµε
µ
∂ ∂ ∂ ∂Ω = − Ω + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ω ∂Ω
= − ∂ ∂
E z x y z
H x y
2
2
2
2
1
1
1
Ex
Ey
Ez E
Ej x z
Ej y z
E jj z
ωµε
ωµε
ωωµε
∂ Ω=
∂ ∂
∂ Ω=
∂ ∂
∂ Ω= − Ω +
∂
1
1
0
Ex
Ey
z
Hy
Hx
H
µ
µ
∂Ω=
∂∂Ω
= −∂
=
Modos TEz
Se definen como aquellos cuyas componente z de campo magnético es 0. Se obtienen a partir de la función potencial Fz(x,y,z)
( )
0
1
1j
j
ε
ωωµε
=
= ∇×
= − + ∇ ∇ ⋅
A
E F
H F F
Expresando los campos a partir de la función potencial, se obtiene
( )
1
1
H
H
H Hjj
ε
ωωµε
= Ω
= ∇×Ω
= − Ω + ∇ ∇⋅Ω
F z
E z
H z z
Las expresiones finales de los campos en coordenadas cartesianas son
1
1
H H
HH
y x
jj x y z z
ε
ωωµε
∂Ω ∂Ω= − ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂Ω = − Ω + + + ∂ ∂ ∂ ∂
E x y
H z x y z
1
1
0
Hx
Hy
z
Ey
Ex
E
ε
ε
∂Ω=
∂∂Ω
= −∂
=
2
2
2
2
1
1
1
Hx
Hy
Hz H
Hj x z
Hj y z
H jj z
ωµε
ωµε
ωωµε
∂ Ω=
∂ ∂
∂ Ω=
∂ ∂
∂ Ω= − Ω +
∂
Modos en guías rectangulares
Modos TMz
En una guía rectangular, la solución de los campos se puede obtener aplicando las condiciones de contorno para el campo eléctrico y campo magnético en las paredes de la guía
Las soluciones elementales del potencial para modos TMz que se propagan en la dirección z son de la forma
( ) ( ) zjk zE x yh k x h k y e−Ω =
El campo eléctrico en la dirección z, paralelo a las paredes es de la forma
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2
1
1
z
z
jk zE zz E x y
jk zz z x y
kE j j h k x h k y e
j z j
E k k h k x h k y ej
ω ωωµε ωµε
ωµε
−
−
∂ Ω= − Ω + = − − ∂
= −
Imponiendo las condiciones de contorno de campo cero en x=0,a, y=0,b se obtienen
( ) ( ) sin sinx y
m nh k x h k y x x
a bπ π =
Campo Ex,Ey Modo TM11
Campo Ex,Ey Modo TM21
Modos TEz
En este caso las soluciones para el campo magnético axial son
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2
1
1
z
z
jk zH zz H x y
jk zz z x y
kH j j h k x h k y e
j z j
H k k h k x h k y ej
ω ωωµε ωµε
ωµε
−
−
∂ Ω= − Ω + = − − ∂
= −
Imponiendo condiciones de contorno para las componentes de campo eléctrico paralelas a las paredes
1
1
Hx
Hy
Ey
Ex
ε
ε
∂Ω=
∂∂Ω
= −∂
Se obtienen las soluciones elementales de la ecuación de onda
( ) ( ) cos cosx y
m nh k x h k y x x
a bπ π =
La representación gráfica de los campo en z=cte es
Campo Ex,Ey Modo TE10
Campo Ex,Ey Modo TE11
Campo Ex,Ey Modo TE20
Campo Ex,Ey Modo TE21
Radiación de aperturas
Campos radiados
La formulación habitual para obtener los campos radiados en antenas de apertura se basa en el teorema de equivalencia y las corrientes superficiales equivalentes.
ˆ
ˆs
s
=
= −
J n × H
M n×E
Los vectores de radiación eléctrico y magnético se calculan a partir de las corrientes equivalentes
ˆ ˆ' '
' '
ˆ ˆ' '
' '
' '
' '
jkr r jkr rs
v s
jkr r jkr rs
v s
e ds e ds
e ds e ds
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= =
= =
∫∫∫ ∫∫
∫∫∫ ∫∫
N J J
L M M
r r
r r
Los campos radiados se calculan a partir de las componentes tangenciales de los vectores de radiación
( )
( )2
2
jkr
jkr
eE j N L
re
E j N Lr
EH
EH
θ θ φ
φ φ θ
φθ
θφ
ηλ
ηλ
η
η
−
−
= − +
= − +
= −
=
Finalmente se obtienen unas expresiones para los campos radiados en la forma
( )
( )
''
0 '
''
0 '
cos 1 cos sin ' '2
cos sin cos ' '2
yx
yx
jkrjk yjk x
x y
s
jkrjk yjk x
x y
s
eE j E E e e dx dy
r Z
eE j E E e e dx dy
r Z
θ
φ
ηθ φ φ
λ
ηθ φ φ
λ
−
−
= + +
= + − +
∫∫
∫∫
Campos próximos
Los campos próximos de una antena se pueden obtener a partir de la formulación vectorial. Modos TE Los campos de los modos TE son
1
1
0
Hx
Hy
z
Ey
Ex
E
ε
ε
∂Ω=
∂∂Ω
= −∂
=
2
2
2
2
1
1
1
Hx
Hy
Hz H
Hj x z
Hj y z
H jj z
ωµε
ωµε
ωωµε
∂ Ω=
∂ ∂
∂ Ω=
∂ ∂
∂ Ω= − Ω +
∂
Utilizando la solución espectral para el potencial, las derivadas se sustituyen por productos
( ) ( )2 2 2
, ' 'x yyx
j k k k zjk yjk xH x yf k k e e e dx dy
∞ ∞− + −−−
−∞ −∞
Ω = ∫ ∫
1
1
0
x y H
y x H
z
E jk
E jk
E
ε
ε
= − Ω
= Ω
=
( )2 2
1
1
1
x x z H
y y z H
z z H
H k kj
H k kj
H k kj
ωµε
ωµε
ωµε
= − Ω
= − Ω
= − Ω
Modos TM Los modos TM se pueden obtener de forma similar, a partir de la solución espectral del potencial
2
2
2
2
1
1
1
Ex
Ey
Ez E
Ej x z
Ej y z
E jj z
ωµε
ωµε
ωωµε
∂ Ω=
∂ ∂
∂ Ω=
∂ ∂
∂ Ω= − Ω +
∂
1
1
0
Ex
Ey
z
Hy
Hx
H
µ
µ
∂Ω=
∂∂Ω
= −∂
=
( )2 2
1
1
1
x x z E
y y z E
z z E
E k kj
E k kj
E k kj
ωµε
ωµε
ωµε
= − Ω
= − Ω
= − Ω
1
1
0
x y E
y x E
z
H jk
H jk
H
µ
µ
= − Ω
= − Ω
=
El campo total se obtiene a partir de la superposición de los modos TE y TM respecto a z La solución es
2 2
1
0
x y x zH
y x y zE
z z
E kk k k
E kk k kj
E k k
ηωµε
− Ω = − − Ω −
2 2
1
0
x x z yH
y y z xE
z z
H k k kk
H k k kkj
H k k
ηωµεη
Ω = − Ω −