soluciones a los ejercicios y...

1Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 34

ú l t i p l o s y d i v i s o r e s

1 Encuentra cuatro parejas múltiplo-divisor entre los siguientes números:

• 143 y 13

• 124 y 31

• 364 y 13

• 364 y 52

2 Responde justificando tu respuesta.

a) ¿Es 132 múltiplo de 11?

b) ¿Es 11 divisor de 132?

c) ¿Es 574 múltiplo de 14?

d)¿Es 27 divisor de 1 542?

a) Sí, 132 = 12 · 11

b) Sí, 132 : 11 = 12

c) Sí, 574 = 41 · 14

d) No, 1542 = 57 · 27 + 3 8 división con resto.

3 Calcula.

a) Los cinco primeros múltiplos de 10.

b)Los cinco primeros múltiplos de 13.

c) Los cinco primeros múltiplos de 31.

a) 10, 20, 30, 40 y 50.

b) 13, 26, 39, 52 y 65.

c) 31, 62, 93, 124 y 155.

4 Calcula.

a) Todos los divisores de 18.

b)Todos los divisores de 23.

c) Todos los divisores de 32.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

b) 1 y 23.

c) 1, 2, 4, 8, 16 y 32.

135231180

36412412143

M

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Unidad 1. Divisibilidad y números enteros


5 Copia estos números y selecciona:

a) Los múltiplos de 2.

b)Los múltiplos de 3.

c) Los múltiplos de 5.

a) 66, 90, 156, 220 y 708.

b) 66, 90, 105, 156 y 708.

c) 90, 105, 220 y 315.

6 Copia estos números, rodea con un círculo los múltiplos de 3 y tacha losmúltiplos de 9:

33 41 54 87 108

112 231 341 685

33 41 54 87 108

112 231 341 685

ú m e r o s p r i m o s y c o m p u e s t o s

7 Escribe:

a) Los diez primeros números primos.

b)Los números primos comprendidos entre 50 y 60.

c) Los números primos comprendidos entre 80 y 100.

d)Los tres primeros números primos mayores que 100.

a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

b) 53 y 59.

c) 83, 89 y 97.

d) 101, 103 y 107.

8 Mentalmente, sin lápiz ni papel, separa los números primos de los com-puestos:

• Primos: 7, 17, 31, 41 y 67.

• Compuestos: 4, 10, 15, 24 y 51.

6751413124

17151074

N

708421315220156

105103907166

Pág. 2



9 Descompón, mentalmente, en el máximo número de factores las siguien-tes cantidades:

• 6 = 2 · 3 • 8 = 23 • 10 = 2 · 5

• 14 = 2 · 7 • 15 = 3 · 5 • 18 = 2 · 32

• 20 = 22 · 5 • 24 = 23 · 3 • 25 = 52

• 27 = 33 • 30 = 2 · 3 · 5 • 42 = 2 · 3 · 7

10 Descompón en factores primos.

a) 48 b)54 c) 90

d)105 e) 120 f ) 135

g) 180 h)200 i) 250

a) 48 = 24 · 3 b) 54 = 2 · 33 c) 90 = 2 · 32 · 5

d) 105 = 3 · 5 · 7 e) 120 = 23 · 3 · 5 f ) 135 = 33 · 5

g) 180 = 22 · 32 · 5 h) 200 = 23 · 52 i) 250 = 2 · 53

11 Descompón en el máximo número de factores:

a) 378 b)1 144 c) 1 872

a) 378 = 2 · 33 · 7 b) 1 144 = 23 · 11 · 13 c) 1 872 = 24 · 32 · 13

í n i m o c o m ú n m ú l t i p l o y m á x i m o c o m ú n d i v i s o r

12 Calcula.

a) Los diez primeros múltiplos de 10.

b)Los diez primeros múltiplos de 15.

c) Los primeros múltiplos comunes de 10 y 15.

d)El mínimo común múltiplo de 10 y 15.

a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100.

b) 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 y 150.

c) 30, 60, 90, …

d) 30

13 Calcula mentalmente.

a) mín.c.m. (2, 3) b)mín.c.m. (6, 9) c) mín.c.m. (4, 10)

d)mín.c.m. (6, 10) e) mín.c.m. (6, 12) f ) mín.c.m. (12, 18)

a) mín.c.m. (2, 3) = 6 b) mín.c.m. (6, 9) = 18 c) mín.c.m. (4, 10) = 20

d) mín.c.m. (6, 10) = 30 e) mín.c.m. (6, 12) = 12 f ) mín.c.m. (12, 18) = 36

M

423027252420

1815141086

Pág. 3



14 Calcula.

a) mín.c.m. (12, 15) b)mín.c.m. (24, 60)

c) mín.c.m. (48, 54) d)mín.c.m. (90, 150)

e) mín.c.m. (6, 10, 15) f ) mín.c.m. (8, 12, 18)

a) mín.c.m. (12, 15) = 60 b) mín.c.m. (24, 60) = 120

c) mín.c.m. (48, 54) = 432 d) mín.c.m. (90, 150) = 450

e) mín.c.m. (6, 10, 15) = 30 f ) mín.c.m. (8, 12, 18) = 72

15 Escribe:

a) Todos los divisores de 18.

b)Todos los divisores de 24.

c) Los divisores comunes de 18 y 24.

d)El máximo común divisor de 18 y 24.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

c) 1, 2, 3 y 6.

d) 6

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a) máx.c.d. (4, 8) b)máx.c.d. (6, 9)

c) máx.c.d. (10, 15) d)máx.c.d. (12, 16)

e) máx.c.d. (16, 24) f ) máx.c.d. (18, 24)

a) máx.c.d. (4, 8) = 4 b) máx.c.d. (6, 9) = 3

c) máx.c.d. (10, 15) = 5 d) máx.c.d. (12, 16) = 4

e) máx.c.d. (16, 24) = 8 f ) máx.c.d. (18, 24) = 6

17 Calcula.

a) máx.c.d. (36, 45) b)máx.c.d. (48, 72)

c) máx.c.d. (105, 120) d)máx.c.d. (135, 180)

e) máx.c.d. (8, 12, 16) f ) máx.c.d. (45, 60, 105)

a) máx.c.d. (36, 45) = 9 b) máx.c.d. (48, 72) = 24

c) máx.c.d. (105, 120) = 15 d) máx.c.d. (135, 180) = 45

e) máx.c.d. (8, 12, 16) = 4 f ) máx.c.d. (45, 60, 105) = 15

Pág. 4



r o b l e m a s

18 ¿De cuántas formas distintas se pueden envasar 80 botes de mermeladaen cajas iguales? Indica, en cada caso, el número de cajas necesarias y el núme-ro de botes por caja.

Los 80 botes se pueden envasar de las 10 formas distintas que corresponden a las di-ferentes formas de descomponer 80 en dos factores.

80 = 24 · 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 8 las descomposiciones en 2 factores son:

2 · 40 16 · 5

4 · 20 1 · 80

8 · 10

19 Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 200 m. ¿Cuál es su lon-gitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en tro-zos de 18 m?

La longitud del rollo es de 180 m.

mín.c.m. (15, 18) = 90 8 El primer múltiplo de 90 comprendido entre 150 y 200es 180.

20 Un agricultor riega su campo cada 10 días y lo fumiga cada 18. ¿Cadacuánto tiempo le coinciden ambos trabajos en la misma jornada?

Cada 90 días.

mín.c.m. (10, 18) = 90

21 De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su acti-vidad a las 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada 24 minutos, yla línea B, cada 36 minutos. ¿A qué hora vuelven a coincidir en la parada losautobuses de ambas líneas?

A las 8 h 12 min.

mín.c.m. (24, 36) = 72

72 min = 1 h + 12 min 8 7 h + (1 h + 12 min) = 8 h + 12 min

22 Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo másgrandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. ¿Cuánto medirá cada trozo?

Cada trozo medirá 10 metros.

máx.c.d. (20, 30) = 10

8 cajas de 10 botes10 cajas de 8 botes

1 caja de 80 botes80 cajas de 1 bote




PPág. 5



23 Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de an-cho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidadde cortar ninguna. ¿Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo quese han empleado las mayores que había en el almacén?

30 cm de lado.

8 máx.c.d. (90, 123) = 3

3 dm = 30 cm = 0,3 m

24 Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rec-tangulares de cartulina, de 12 cm por 18 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadra-do? ¿Cuántas piezas ha empleado?

El lado del cuadrado mide 36 cm y se han empleado 6 piezas.

mín.c.m. (12, 18) = 36

(36 cm) : (12 cm) = 3 8 Caben 3 anchos del rectángulo en el lado del cuadrado.

(36 cm) : (18 cm) = 2 8 Caben 2 largos del rectángulo en el lado del cuadrado.

3 · 2 = 6 piezas

25 Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conser-va de pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos pro-ductos en la misma caja. ¿Cuál es el mínimo número de cajas necesarias?¿Cuántos botes irán en cada caja?

• Se necesitan 12 cajas como mínimo.

• Habrá 25 botes en cada caja.

Los divisores comunes de 125 y 175 son 5 y 25. Podemos envasar en cajas de 5 ode 25 botes. Para utilizar un mínimo número de cajas envasaremos en cajas de 25botes.

8 5 + 7 = 12 cajas en total

26 En un horno de bollería se han fabricado 2 400 magdalenas y 2 640 man-tecados, que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unida-des y sin mezclar ambos productos. ¿Cuántas magdalenas o cuántos manteca-dos se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe sersuperior a 15 e inferior a 30?

Se pueden poner 16, 20 ó 24 unidades por bolsa.

8

8 24 = 16 23 · 3 = 24 22 · 5 = 20

Divisores comunes de 2 400 y 2 640 que son mayores de 15 y menores de 30

°¢£

2 400 = 25 · 3 · 52

2 640 = 24 · 3 · 5 · 11

°¢£

125 : 25 = 5 8 5 cajas de tomates175 : 25 = 7 8 7 cajas de pimientos

°¢£

12,3 m = 123 dm9 m = 90 dm

Pág. 6



r o f u n d i z a

27 Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor co-mún es la unidad. Por ejemplo:

Son primos entre sí.

Escribe otras tres parejas de números primos entre sí.

Por ejemplo:

• 4 y 15

• 14 y 15

• 22 y 39

28 Justifica la siguiente afirmación:

Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.

8 a = ? · c

a = (k · h ) · c

8 a = k · b = k · (h · c ) = (k · h ) · c 8 a es múltiplo de c.

29 Demuestra que si a es divisor de b y b es divisor de c, entonces a esdivisor de c.

8 c = ? · a

c = (m · n) · a

8 c = b · n = (a · m) · n = (m · n) · a 8 a es divisor de c.

30 Si m es múltiplo de n, calcula:

a) mín.c.m. (m, n)

b)máx.c.d. (m, n)

a) mín.c.m. (m, n) = m

b) máx.c.d. (m, n) = n

°¢£

b = a · mc = b · n

°¢£

b = a · mc = b · n

°¢£

a = k · bb = h · c

°¢£

b = k · bb = h · c

22 = 2 · 1139 = 3 · 13

°¢£

14 = 2 · 715 = 3 · 5

°¢£

4 = 22

15 = 3 · 5°¢£

°¢£

32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 235 = 5 · 7

PPág. 7



PÁGINA 36

u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s


a) 5 – 9 b)5 – 11 c) 13 – 9

d)22 – 30 e) 21 – 33 f ) 46 – 52

g) –8 – 14 h)–21 – 15 i) –33 – 22

j) –13 + 18 k)–22 + 9 l) –37 + 21

a) –4 b) –6 c) 4

d) –8 e) –12 f ) –6

g) –22 h) –36 i) –55

j) 5 k) –13 l) –16

32 Calcula.

a) 5 – 8 – 4 + 3 – 6 + 9 b)10 – 11 + 7 – 13 + 15 – 6

c) 9 – 2 – 7 – 11 + 3 + 18 – 10 d)–7 – 15 + 8 + 10 – 9 – 6 + 11

a) –1 b) 2 c) 0 d) –8

33 Quita paréntesis y calcula.

a) (+5) – (–3) – (+8) + (–4)

b)–(–7) – (+5) + (–6) + (+4)

c) +(–9) – (+13) – (–11) + (+5)

d)–(+8) + (–3) – (–15) – (+6) – (+2)

a) –4 b) 0 c) –6 d) –4

34 Calcula.

a) 3 – (5 + 7 – 10 – 9)

b)4 + (8 – 6 – 10) – (6 – 10 + 4)

c) (7 – 11 – 4) – (9 – 6 – 13)

d)–(6 – 3 – 5) – (–4 – 7 + 15)

a) 10 b) –4 c) 2 d) –2

35 Opera.

a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)]

b)8 – [(6 – 9) – (7 – 13)]

c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)]

d)(2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 – 15)]

e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 – 13)]

a) 3 b) 5 c) –18 d) –7 e) 3

S

Pág. 8




a) 6 – (5 – [4 – (3 – 2)])b)6 – (7 – [8 – (9 – 10)])c) 10 + (11 – [12 + (13 – 14)])d)10 – (9 + [8 – (7 + 6)])e) [(3 – 8) – 5] + (–11 + [7 – (3 – 4)])a) 4 b) 8 c) 10 d) 6 e) –13

u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e n ú m e r o s e n t e r o s

37 Opera aplicando la regla de los signos.

a) (–5) · (–6) b) (–21) : (+3)

c) (–4) · (+7) d)(+42) : (–6)

e) (–6) · (–8) f ) (+30) : (+5)

g) (+10) · (+5) h)(–63) : (–9)

i) (–9) · (–5) j) (+112) : (–14)

a) 30 b) –7 c) –28 d) –7 e) 48

f ) 6 g) 50 h) –8 i) 45 j) –8

38 Obtén el valor de x en cada caso:

a) x · (–9) = +9 b)(–5) : x = –1 c) (–5) · x = –45

d)x : (–4) = +3 e) x · (+6) = –42 f ) (+28) : x = –7

a) x = –1 b) x = 5 c) x = 9

d) x = –12 e) x = –7 f ) x = –4

39 Calcula.

a) (–2) · [(+3) · (–2)] b) [(+5) · (–3)] · (+2)

c) (+6) : [(–30) : (–15)] d)[(+40) : (–4)] : (–5)

e) (–5) · [(–18) : (–6)] f ) [(–8) · (+3)] : (–4)

g) [(–21) : 7] · [8 : (–4)] h)[6 · (–10)] : [(–5) · 6]

a) 12 b) –30 c) 3 d) 2

e) –15 f ) 6 g) 6 h) 2

p e r a c i o n e s c o m b i n a d a s c o n n ú m e r o s e n t e r o s

40 Calcula.

a) 5 – 4 · 3 b)2 · 9 – 7 c) 4 · 5 – 6 · 3

d)2 · 8 – 4 · 5 e) 16 – 4 · 7 + 2 · 5 – 19 f ) 5 · 6 – 21 – 3 · 7 + 12

a) –7 b) 11 c) 2

d) –4 e) –21 f ) 0

O

M

Pág. 9



41 Opera dentro del paréntesis y, después, multiplica.

a) 3 · (9 – 11)

b)–5 · (4 – 9)

c) 5 · (9 – 4) – 12

d)1 + 4 · (6 – 10)

e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11)

f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15)

a) 3 · (9 – 11) = 3 · (–2) = –6

b) –5 · (4 – 9) = –5 · (–5) = 25

c) 5 · (9 – 4) – 12 = 5 · 5 – 12 = 25 – 12 = 13

d) 1 + 4 · (6 – 10) = 1 + 4 · (–4) = 1 – 16 = –15

e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11) = 6 · (–4) – 3 · (–6) = –24 + 18 = –6

f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15) = 4 · 5 + 3 · (–6) = 20 – 18 = 2

42 Calcula y observa que el resultado varía según la posición de los paréntesis.

a) 17 – 6 · 2 b) (17 – 6) · 2

c) (–10) – 2 · (–3) d)[(–10) – 2] · (–3)

e) (–3) · (+5) + (–2) f ) (–3) · [(+5) + (–2)]

a)17 – 6 · 2 = 17 – 12 = 5

b) (17 – 6) · 2 = 11 · 2 = 22

c) (–10) – 2 · (–3) = –10 + 6 = –4

d) [(–10) – 2] · (–3) = (–12) · (–3) = 36

e) (–3) · (+5) + (–2) = –15 – 2 = –17

f ) (–3) · [(+5) + (–2)] = (–3) · (+3) = –9

PÁGINA 37

43 Calcula paso a paso.

a) 5 · (–4) – 2 · (–6) + 13

b)–6 · (+4) + (–3) · 7 + 38

c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4)

d)–(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6)

a) 5 · (–4) – 2 · (–6) + 13 = –20 + 12 + 13 = –20 + 25 = 5

b) –6 · (+4) + (–3) · 7 + 38 = –24 – 21 + 38 = –45 + 38 = –7

c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4) = –16 – 30 – 36 = –82

d) –(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6) = –2 496

Pág. 10



44 Opera.

a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)]

b) (–4) · [12 + 3 · (5 – 8)]

c) 6 · [18 + (–4) · (9 – 4)] – 13

d)4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)]

e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)]

f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)]

a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)] = 5 · [11 – 4 · 4] = 5 · [11 – 16] = 5 · (–5) = –25

b) (–4) · [12 + 3 · (5 – 8)] = (–4) · [12 + 3 · (–3)] = (–4) · [12 – 9] = (–4) · 3 = –12

c) 6 · [18 + (–4) · (9 – 4)] – 13 = 6 · [18 + (–4) · 5] – 13 = 6 · [18 – 20] – 13 =

= 6 · (–2) – 13 = –12 – 13 = –25

d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)] = 4 + 2 · [–8 – 3 · (–2)] = 4 + 2 · [–8 + 6] =

= 4 + 2 · [–2] = 4 – 4 = 0

e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)] = 24 + 3 · [13 – 4 – 5] = 24 + 3 · 4 = 24 + 12 = 36

f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)] = 6 · (–4) + (–5) · [5 · 6 – 4 · 5] =

= –24 – 5 · [30 – 20] = –24 – 5 · 10 = –24 – 50 = –74

45 Calcula paso a paso.

a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)]

b)6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)]

a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)] = 10 : [8 – 12 : 2] = 10 : [8 – 6] = 10 : 2 = 5

b) 6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)] = 6 : (–2) – [4 : (–2) + 2] =

= –3 – [–2 + 2] = –3

o t e n c i a s d e n ú m e r o s e n t e r o s

46 Calcula.

a) (–2)1 b) (–2)2 c) (–2)3

d)(–2)4 e) (–2)5 f ) (–2)6

g) (–2)7 h)(–2)8 i) (–2)9

a) –2 b) 4 c) –8

d) 16 e) –32 f ) 64

g) –128 h) 256 i) –512

47 Calcula.

a) (–5)4 b) (+4)5 c) (–6)3

d)(+7)3 e) (–8)2 f ) (–10)7

a) 625 b) 1 024 c) –216

d) 343 e) 64 f ) –10 000 000

P

Pág. 11



48 Observa…

(–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8 (+2)3 = (+2) · (+2) · (+2) = +8

–23 = –2 · 2 · 2 = –8 +23 = +2 · 2 · 2 = +8

…y calcula.

a) (–3)4 b) (+3)4 c) –34 d)+34

a) 81 b) 81 c) –81 d) 81

49 Expresa como potencia de un único número.

a) 104 : 54 b)127 : (–4)7 c) (–9)6 : 36

d)26 · 26 e) (–4)5 · (–2)5 f ) 24 · (–5)4

a) 104 : 54 = (2 · 5)4 : 54 = (24 · 54) : 54 = 24

b) 127 : (–4)7 = (3 · 4)7 : (–4)7 = (37 · 47) : (–4)7 = –37

c) (–9)6 : 36 = 312 : 36 = 36

d) 26 · 26 = 212

e) (–4)5 · (–2)5 = –(45) · (–25) = 45 · 25 = 210 · 25 = 215

f ) 24 · (–5)4 = 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104

50 Reduce a una sola potencia.

a) x4 · x6 b)m3 · m4

c) m8 : m6 d)x7 : x6

e) (x2)5 f ) (m4)3

g) [a10 : a6]2 h)(a · a3)3

i) (x5 : x2) · x4 j) (x6 · x4) : x7

a) x4 · x6 = x10 b) m3 · m4 = m7

c) m8 : m6 = m8 : m6 = m2 d) x7 : x6 = x

e) (x2)5 = x10 f ) (m4)3 = m12

g) [a10 : a6]2 = a8 h) (a · a3)3 = a12

i) (x5 : x2) · x4 = x7 j) (x6 · x4) : x7 = x3

51 Expresa como una potencia única.

a) 43 · 4 b)52 · (–5)3

c) (–6)8 : (–6)5 d)78 : (–7)

e) (52 · 54) : 53 f ) [74 · (–7)4] : (–7)6

g) (24)3 : 29 h)(–4)7 : (42)2

i) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 j) (52)5 : [(–5)3]2

a) 43 · 4 = 44 b) 52 · (–5)3 = –55

c) (–6)8 : (–6)5 = –63 d) 78 : (–7) = –77

e) (52 · 54) : 53 = 53 f ) [74 · (–7)4] : (–7)6 = 72

g) (24)3 : 29 = 23 h) (–4)7 : (42)2 = –43

i) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 = –33 j) (52)5 : [(–5)3]2 = 54

Pág. 12



52 Opera y calcula.

a) [29 : (23)2] · 53

b)102 : [(52)3 : 54]

c) 63 : [(27 : 26) · 3]2

d)[(62)2 · 44] : (23)4

a) [29 : (23)2] · 53 = [29 : 26] · 53 = 23 · 53 = 103 = 1 000

b) 102 : [(52)3 : 54] = 102 : [56 : 54] = 102 : 52 = (10 : 5)2 = 22 = 4

c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 = 63 : [2 · 3]2 = 63 : 62 = 6

d) [(62)2 · 44] : (23)4 = [64 · 44] : (23)4 = [6 · 4]4 : (23)4 = [3 · 23]4 : (23)4 =

= [(3 · 23) : 23]4 = 34 = 81

a í c e s d e n ú m e r o s e n t e r o s

53 Calcula.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a) ±7 b) ±7 c) No existe.

d) ±15 e) ±15 f ) No existe.

g) ±50 h) ±50 i) No existe.

54 Calcula las raíces siguientes:

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a) ±x b) ±x c) No existe.

d) ±a2 e) ±a2 f ) No existe.

g) ±m3 h) ±m3 i) No existe.

55 Calcula, si existen, estas raíces:

a) b) c)

d) e) f )

a) 1 b) –1 c) 4

d) ±5 e) No existe. f ) ±10

4√10 0004√–6254√625

3√643√–13√1

√–m6√(–m)6√m6

√–a4√(–a)4√a4

√–x2√(–x)2√x2

√–2 500√502√2 500

√–225√225√152

√–49√72√49

R

Pág. 13



56 Calcula.

a) b) c)

a) a b) ±x c) m

57 Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar.

• = x3, puesto que (x3)4 = x3 · 4 = x12

a) b) c)

a) = a4, ya que (a4)3 = a4 · 3 = a12

b) = m2, ya que (m2)5 = m2 · 5 = m10

c) = ±x5, ya que (x5)2 = x10 y (–x5)2 = x10√x10

5√m10

3√a12

√x105√m103√a12

4√x12

5√m54√x43√a3

Pág. 14


1Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 16

Empezamos este nuevo curso repasando algunos contenidos que yaestudiaste el año pasado.

Las relaciones de divisibilidad te ayudarán a profundizar en la estruc-tura de los números, y algunos de sus procedimientos, especialmentela obtención del mínimo común múltiplo, serán imprescindibles paraoperar con fracciones y resolver ecuaciones.

La operativa con números enteros es una herramienta que utilizarás apartir de ahora en cualquier proceso matemático.

1 Los trenes inician el servicio a las 6 h.

a) ¿Saldrá de la estación un tren de la línea A a las 7 h? ¿Y uno de la línea C?

b) ¿A qué hora vuelven a coincidir las salidas de un tren de A con otro de B?

a) A las 7 h saldrá un tren de la línea A (1 h = 60 min 8 60 es múltiplo de 5).

A las 7 h no saldrá un tren de la línea C (60 no es múltiplo de 7).

b) A las 6 h 15 min, porque 15 es el mín.c.m. de 3 y 5.

HORARIO DE CERCANÍASde 6 h a 22 h

FRECUENCIASLÍNEA A 8 CADA 5 MINUTOS

LÍNEA B 8 CADA 3 MINUTOS

LÍNEA C 8 CADA 7 MINUTOS

HORARIO DE CERCANÍAS

de 6 h a 22 h

FRECUENCIAS

LÍNEA A 8 CADA 5 MINUTOS

LÍNEA B 8 CADA 3 MINUTOS

ZONA OCIO

ZONA COMERCIAL

ANDENESV 1 V 2 V 3

APARCAMIENTO

APARCAMIENTO

ESTACIÓN DE CERCANÍAS

PRENSA DIARIA

TAQUILLAS

MODA PARA LA MUJERPANADERÍA-BOLLERÍA

Pág. 1



2 ¿Cuántas plantas has de subir si te desplazas desde el aparcamiento inferiora la zona comercial? ¿Cuál de estas expresiones refleja ese desplazamiento?:

(+1) – (–3) (+1) + (+3)

4 plantas: (+1) – (–3).

3 Si la altura de cada planta es de cuatro metros, ¿a qué nivel asocias estas can-tidades?

0m 8 nivel 0

+4 m 8 nivel 1

–12 m 8 nivel –3

–4 m 8 nivel –1

PÁGINA 17

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 ¿Está 18 contenido una cantidad exacta de veces en 126? ¿Y en 218?

• 18 está contenido una cantidad exacta de veces en 126:

8 126 = 18 · 7 división sin resto.

• 18 no está contenido una cantidad exacta de veces en 218:

8 218 = 18 · 12 + 2 división con resto.

2 Una cuenta bancaria tiene un saldo de 75 €. ¿Cuál será el nuevo saldo si in-greso una deuda de 80 €?

Saldo: –5 €

(+75 €) + (–80 €) = –5 €

3 Separa los números enteros de los que no lo son:

• Enteros: –4 86 0 –35 1 000

• No enteros: 1,3 2/3 0,06 –1,8

1 000–35–1,80,060862/31,3–4

218 18

002 12

126 18

000 7

–4 m–12 m+4 m0 m

Pág. 2



4 Calcula.

a) 3 · 9 – 2 · 4 b)3 · (9 – 2) · 4

c) 3 · (9 – 2 · 4) d)(3 · 9 – 2) · 4

a) 3 · 9 – 2 · 4 = 27 – 8 = 19

b) 3 · (9 – 2) · 4 = 3 · 7 · 4 = 84

c) 3 · (9 – 2 · 4) = 3 · (9 – 8) = 3 · 1 = 3

d) (3 · 9 – 2) · 4 = (27 – 2) · 4 = 25 · 4 = 100

PÁGINA 19

1 Busca, entre estos números, parejas emparentadas por la relación de divisibili-dad:

13 y 91 8 91 : 13 = 7

15 y 90 8 90 : 15 = 6

15 y 225 8 225 : 15 = 15

18 y 90 8 90 : 18 = 5

23 y 92 8 92 : 23 = 4

81 y 243 8 243 : 81 = 3

2 Calcula mentalmente y contesta.

a) ¿Es 18 múltiplo de 5? ¿Y de 6?

b) ¿Es 50 múltiplo de 10? ¿Y de 9?

c) ¿Es 6 divisor de 20? ¿Y de 300?

d)¿Es 10 divisor de 75? ¿Y de 750?

a) 18 no es múltiplo de 5.

18 es múltiplo de 6 8 6 · 3 = 18

b) 50 es múltiplo de 10 8 10 · 5 = 50

50 no es múltiplo de 9.

c) 6 no es divisor de 20.

6 es divisor de 300 8 300 : 6 = 50

d) 10 no es divisor de 75.

10 es divisor de 750 8 750 : 10 = 75

243225929190

8123181513

Pág. 3



3 Calcula con lápiz y papel y responde.

a) ¿Es 17 divisor de 153? ¿Y de 204?

b) ¿Es 780 múltiplo de 65? ¿Y de 80?

a) 17 es divisor de 153 8 153 : 17 = 9

17 es divisor de 204 8 204 : 17 = 12

b) 780 es múltiplo de 65 8 65 · 12 = 780

780 no es múltipo de 80 8 780 = 80 · 9 + 60

4 Selecciona, entre estos números:

a) Los múltiplos de 10. b)Los múltiplos de 12.

c) Los múltiplos de 15. d)Los múltiplos de 30.

a) Múltiplos de 10: 20 - 30 - 40 - 50 - 60 - 80 - 90 - 120 - 130

b) Múltiplos de 12: 36 - 60 - 96 - 120 - 300

c) Múltiplos de 15: 30 - 60 - 75 - 90 - 120 - 300

d) Múltiplos de 30: 30 - 60 - 90 - 120 - 300

5 Encuentra, entre estos números:

a) Los divisores de 60. b)Los divisores de 75.

c) Los divisores de 90. c) Los divisores de 100.

a) Divisores de 60: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 10 - 12 - 15 - 30

b) Divisores de 75: 1 - 3 - 5 - 15 - 25

c) Divisores de 90: 1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 10 - 15 - 30

d) Divisores de 100: 1 - 2 - 4 - 5 - 10 - 25 - 50

6 Escribe los cinco primeros múltiplos de 12 y los cinco primeros múltiplos de 13.

• 12 - 24 - 36 - 48 - 52

• 13 - 26 - 39 - 52 - 65

7 Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 420 y 480.

435 - 450 - 465

5030251512

109876

54321

30022212011296

9080756560

5040363020

Pág. 4



8 Calcula el primer múltiplo de 13 mayor que 1 000.

1 001

1 000 : 13 = 76 · 13 + 12 = 988 + 12 8 988 + 13 = 1 001

9 Calcula todos los divisores de cada uno de los siguientes números:

• 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12

• 1 - 2 - 4 - 8 - 16

• 1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 10 - 15 - 30

• 1 - 71

• 1 - 2 - 5 - 10 - 13 - 26 - 65 - 130

• 1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 10 - 15 - 25 - 30 - 50 - 75 - 150

• 1 - 7 - 29 - 203

PÁGINA 21

1 Descompón en dos factores los siguientes números:

93 = 31 · 3

95 = 19 · 5

153 = 51 · 3 = 17 · 9

168 = 84 · 2 o las posibles combinaciones de sus factores primos.

325 = 65 · 5 = 25 · 13

533 = 41 · 13

663 = 221 · 3 = 17 · 39 = 51 · 13

2 Descompón los siguientes números en el máximo número de factores que seaposible:

32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

81 = 3 · 3 · 3 · 3

84 = 2 · 2 · 3 · 7

132 = 2 · 2 · 3 · 11

200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5

221 = 13 · 17

22120013284817232

6635333251681539593

203

150

130

71

30

16

12

20315013071301612

Pág. 5



3 Descompón en factores, de todas las formas que sea posible, el número 100.

• Con 4 factores:

2 · 2 · 5 · 5

• Con 3 factores:

2 · 2 · 25 2 · 5 · 10 4 · 5 · 5

• Con 2 factores:

2 · 50 5 · 20 4 · 25 10 · 10

4 Separa, entre los siguientes números, los primos de los compuestos:

Primos: 29, 83, 101, 113

Compuestos: 39, 57, 91, 111, 243, 341

PÁGINA 22

5 Descompón mentalmente en el máximo número de factores.

a) 12 b)16 c) 18

d)20 e) 24 f ) 30

g)32 h)36 i) 40

j) 50 k)75 l) 100

a) 12 = 2 · 2 · 3 b) 16 = 2 · 2 · 2 · 2 c) 18 = 2 · 3 · 3

d) 20 = 2 · 2 · 5 e) 24 = 2 · 2 · 2 · 3 f ) 30 = 2 · 3 · 5

g) 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 h) 36 = 2 · 2 · 3 · 3 i) 40 = 2 · 2 · 2 · 5

j) 50 = 2 · 5 · 5 k) 75 = 3 · 5 · 5 l) 100 = 2 · 2 · 5 · 5

6 Copia y completa los procesos de descomposición factorial.

2 600

2 300

3 150

7 75

7 25

1 5

1

588 = 2 · · 2 600 = 3 · · 2

885

341243113111101

9183573929

Pág. 6



2 6002 3003 1507 757 25

1 51

588 = 2 · · 2 600 = 3 · · 2

7 Descompón estos números en el máximo número de factores:

a) 270 b)360 c) 630

d)750 e) 1 000 f ) 1 100

a) 270 = 2 · 33 · 5 b) 360 = 23 · 32 · 5 c) 630 = 2 · 32 · 5 · 7

d) 750 = 2 · 3 · 53 e) 1 000 = 23 · 53 f ) 1 100 = 22 · 52 · 11

8 Descompón en factores primos los números siguientes:

a) 84 b)130 c) 160

d)280 e) 230 f ) 400

g) 560 h)594 i) 720

j) 975 k)2 340 l) 5 230

a) 84 = 22 · 3 · 7 b) 130 = 2 · 5 · 13 c) 160 = 25 · 5

d) 280 = 23 · 5 · 7 e) 230 = 2 · 5 · 23 f ) 400 = 24 · 52

g) 560 = 24 · 5 · 7 h) 594 = 2 · 33 · 11 i) 720 = 24 · 32 · 5

j) 975 = 3 · 52 · 13 k) 2 340 = 22 · 32 · 5 · 13 l) 5 230 = 2 · 5 · 523

9 Calcula los números que tienen las siguientes descomposiciones factoriales:

a) 22 · 3 · 7 b)23 · 53 c) 32 · 52 · 7 d)22 · 7 · 13

a) 84 b) 1 000 c) 1 575 d) 364

PÁGINA 23

10 Escribe factorizados, sin hacer ninguna operación, tres múltiplos de 12 = 22 · 3.

Por ejemplo:

22 · 2 · 2 22 · 3 · 3 22 · 3 · 5

11 Escribe factorizado un número que sea a la vez múltiplo de a = 2 · 3 · 3 y deb = 2 · 3 · 5.

Por ejemplo:

22 · 33 · 5

532732

557394274124922885

Pág. 7



12 Escribe tres múltiplos comunes a los números m = 22 · 3 y n = 22 · 5.

Por ejemplo:

22 · 3 · 5 23 · 3 · 5 22 · 3 · 52

13 Escribe factorizados, sin hacer operaciones, todos los divisores de 75 = 3 · 5 · 5.

Por ejemplo:

3 · 5 · 5 5 · 5 3 · 5 5 3

14 Escribe un número que sea divisor de a = 2 · 3 · 5 y de b = 2 · 5 · 5 a la vez.

Por ejemplo:

2, 5 ó 2 · 5

15 Escribe tres divisores comunes a los números m = 23 · 32 y n = 22 · 3 · 5.

Tres cualquiera de los siguientes:

2 · 3 22 · 3 2 3

PÁGINA 24


a) mín.c.m. (3, 5) b)mín.c.m. (6, 8)

c) mín.c.m. (10, 15) d)mín.c.m. (20, 30)

a) 15 b) 24 c) 30 d) 60

2 Calcula.

a) mín.c.m. (12, 18) b)mín.c.m. (21, 35) c) mín.c.m. (24, 36)

d)mín.c.m. (36, 40) e) mín.c.m. (72, 90) f ) mín.c.m. (90, 120)

a) 36 b) 105 c) 72

d) 360 e) 360 f ) 360

3 Calcula.

a) mín.c.m. (4, 6, 9) b)mín.c.m. (6, 8, 9) c) mín.c.m. (12, 18, 30)

d)mín.c.m. (24, 28, 42) e) mín.c.m. (60, 72, 90) f ) mín.c.m. (50, 75, 100)

a) 22 · 32 = 36 b) 23 · 32 = 72 c) 22 · 32 · 5 = 180

d) 23 · 32 · 7 = 504 e) 23 · 32 · 5 = 360 f ) 22 · 3 · 52 = 300

4 Se apilan, en una torre, cubos de 30 cm de arista y, al lado, en otra torre, cu-bos de 36 cm de arista. ¿A qué altura coinciden las cimas de ambas torres?

Las torres coinciden a una altura de 180 cm.

mín.c.m. (30, 36) = 22 · 32 · 5 = 180, ya que 30 = 2 · 3 · 536 = 22 · 32

°¢£

Pág. 8



PÁGINA 25


a) máx.c.d. (4, 6) b)máx.c.d. (6, 8) c) máx.c.d. (5, 10)

d)máx.c.d. (15, 20) e) máx.c.d. (18, 27) f ) máx.c.d. (50, 75)

a) 2 b) 2 c) 5

d) 5 e) 9 f ) 25

2 Calcula.

a) máx.c.d. (24, 36) b)máx.c.d. (28, 42) c) máx.c.d. (63, 99)

d)máx.c.d. (90, 126) e) máx.c.d. (165, 275) f ) máx.c.d. (360, 450)

a) 12 b) 14 c) 9

d) 18 e) 55 f ) 90

3 Calcula.

a) máx.c.d. (6, 9, 12) b)máx.c.d. (12, 18, 24) c) máx.c.d. (32, 40, 48)

d)máx.c.d. (36, 60, 72) e) máx.c.d. (50, 60, 90) f ) máx.c.d. (75, 90, 105)

a) 3 b) 2 · 3 = 6 c) 23 = 8

d) 22 · 3 = 12 e) 2 · 5 = 10 f ) 3 · 5 = 15

4 Se desea dividir un terreno rectangular, de 100 m de ancho por 120 m de lar-go, en parcelas cuadradas lo más grandes que sea posible. ¿Cuánto debe medirel lado de cada parcela?

El lado de cada parcela debe medir 20 m.

8 máx.c.d. (100, 120) = 22 · 5 = 20

PÁGINA 27


a) 5 – 7 b)2 – 9 c) 3 – 4

d)6 – 10 e) 5 – 12 f ) 9 – 15

g) –12 + 17 h)–22 + 10 i) –21 + 15

j) –3 – 6 k)–1 – 9 l) –12 – 13

a) –2 b) –7 c) –1

d) –4 e) –7 f ) –6

g) 5 h) –12 i) –6

j) –9 k) –10 l) –25

°¢£

100 = 22 · 52

120 = 23 · 3 · 5

Pág. 9



2 Resuelve.

a) 10 – 3 + 5 b)5 – 8 + 6

c) 2 – 9 + 1 d)7 – 15 + 2

e) 16 – 4 – 6 f ) 22 – 7 – 8

g) 9 – 8 – 7 h)15 – 12 + 6

a) 12 b) 3 c) –6 d) –6

e) 6 f ) 7 g) –6 h) 9

3 Calcula.

a) –3 + 10 – 1 b)–8 + 2 – 3

c) –5 + 6 + 4 d)–12 + 2 + 6

e) –18 + 3 + 6 f ) –20 + 12 + 5

g) –7 – 3 – 4 h)–2 – 13 – 5

a) 6 b) –9 c) 5 d) -4

e) –9 f ) –3 g) –14 h) –20

4 Copia y completa como en el ejemplo.

§ § § 9• 7 – 4 – 6 – 2 + 5 + 3 – 4 = 15 – 16 = –1

§ § § § 7

a) 3 – 9 + 4 – 8 – 2 + 13 = – =

b)–15 – 4 + 12 – 3 – 11 – 2 = – =

a) 3 – 9 + 4 – 8 – 2 + 13 = – =

b) –15 – 4 + 12 – 3 – 11 – 2 = – =

5 Calcula.

a) 3 – 7 + 2 – 5 b)2 – 6 + 9 – 3 + 4

c) 7 – 10 – 5 + 4 + 6 – 1 d)–6 + 4 – 3 – 2 – 8 + 5

e) 12 + 5 – 17 – 11 + 20 – 13 f ) 16 – 22 + 24 – 31 + 12 – 15

a) –7 b) 6 c) 1

d) –10 e) –4 f ) –16


a) (–3) – (+4) – (–8) b)–(–5) + (–6) – (–3)

c) (+8) – (+6) + (–7) – (–4) d)–(–3) – (+2) + (–9) + (+7)

a) (–3) – (+4) – (–8) = –3 – 4 + 8 = 1

b) –(–5) + (–6) – (–3) = 5 – 6 + 3 = 2

c) (+8) – (+6) + (–7) – (–4) = 8 – 6 – 7 + 4 = –1

d) –(–3) – (+2) + (–9) + (+7) = 3 – 2 – 9 + 7 = –1

–233512

11920

Pág. 10



7 Resuelve de dos formas, como en el ejemplo.

• a) 10 – (13 – 7) = 10 – (+6) = 10 – 6 = 4

b) 10 – (13 – 7) = 10 – 13 + 7 = 17 – 13 = 4

a) 15 – (12 – 8) b)9 – (20 – 6)

c) 8 – (15 – 12) d)6 – (13 – 2)

e) 15 – (6 – 9 + 5) f ) 21 – (3 – 10 + 11 + 6)

a) 15 – (12 – 8) = 15 – (+4) = 15 – 4 = 11

15 – (12 – 8) = 15 – 12 + 8 = 23 – 12 = 11

b) 9 – (20 – 6) = 9 – (+14) = 9 – 14 = –5

9 – (20 – 6) = 9 – 20 + 6 = 15 – 20 = –5

c) 8 – (15 – 12) = 8 – (+3) = 8 – 3 = 5

8 – (15 – 12) = 8 – 15 + 12 = 20 – 15 = 5

d) 6 – (13 – 2) = 6 – (+11) = 6 – 11 = –5

6 – (13 – 2) = 6 – 13 + 2 = 8 – 13 = –5

e) 15 – (6 – 9 + 5) = 15 – (11 – 9) = 15 – (+2) = 15 – 2 = 13

15 – (6 – 9 + 5) = 15 – 6 + 9 – 5 = 24 – 11 = 13

f ) 21 – (3 – 10 + 11 + 6) = 21 – (20 – 10) = 21 – (+10) = 21 – 10 = 11

21 – (3 – 10 + 11 + 6) = 21 – 3 + 10 – 11 – 6 = 31 – 20 = 11

8 Resuelve de una de las formas que ofrece el ejemplo:

• a) (8 – 13) – (5 – 4 – 7) = (8 – 13) – (5 – 11) == (–5) – (–6) = –5 + 6 = 1

b) (8 – 13) – (5 – 4 – 7) = 8 – 13 – 5 + 4 + 7 == 19 – 18 = 1

a) (4 – 9) – (5 – 8) b)–(1 – 6) + (4 – 7)

c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13) d)12 + (8 – 15) – (5 + 8)

e) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2) f ) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5)

En cada caso, de cualquiera de las dos formas:

a) (4 – 9) – (5 – 8) = (–5) – (–3) = –5 + 3 = –2

(4 – 9) – (5 – 8) = 4 – 9 – 5 + 8 = 12 – 14 = –2

b) –(1 – 6) + (4 – 7) = –(–5) + (–3) = 5 – 3 = 2

–(1 – 6) + (4 – 7) = –1 + 6 + 4 – 7 = 10 – 8 = 2

c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13) = 4 – (+10) – (–10) = 4 – 10 + 10 = 14 – 10 = 4

4 – (8 + 2) – (3 – 13) = 4 – 8 – 2 – 3 + 13 = 17 – 13 = 4

d) 12 + (8 – 15) – (5 + 8) = 12 + (–7) – (13) = 12 – 7 – 13 = 12 – 20 = –8

12 + (8 – 15) – (5 + 8) = 12 + 8 – 15 – 5 – 8 = 20 – 28 = –8

Pág. 11



e) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2) = (+2) – (3 – 9) + (3 – 8) =

= (+2) – (–6) + (–5) = +2 + 6 – 5 = 8 – 5 = 3

(8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2) = 8 – 6 – 3 + 7 + 2 + 1 – 8 + 2 = 20 – 17 = 3

f ) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5) = (–11) – (7 – 9) – (9 – 18) =

= (–11) – (–2) – (–9) = –11 + 2 + 9 = 11 – 11 = 0

(5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5) = 5 – 16 – 7 + 3 + 6 – 9 + 13 + 5 =

= 32 – 32 = 0

10 Calcula.

a) 7 – [1 + (9 – 13)] b)–9 + [8 – (13 – 4)]

c) 12 – [6 – (15 – 8)] d)–17 + [9 – (3 – 10)]

e) 2 + [6 – (4 – 2 + 9)] f ) 15 – [9 – (5 – 11 + 7)]

a) 7 – [1 + (9 – 13)] = 7 – [1 + 9 – 13] = 7 – 1 – 9 + 13 = 20 – 10 = 10

b) –9 + [8 – (13 – 4)] = –9 + [8 – (9)] = –9 + [8 – 9] = –9 + [–1] = –9 – 1 = –10

c) 12 – [6 – (15 – 8)] = 12 – [6 – 15 + 8] = 12 – 6 + 15 – 8 = 27 – 14 = 13

d) –17 + [9 – (3 – 10)] = –17 + [9 – (–7)] = –17 + [9 + 7] = –17 + 16 = –1

e) 2 + [6 – (4 – 2 + 9)] = 2 + [6 – 4 + 2 – 9] = 2 + 6 – 4 + 2 – 9 = 10 – 13 = –3

f ) 15 – [9 – (5 – 11 + 7)] = 15 – [9 – (12 – 11)] = 15 – [9 – (+1)] = 15 – [9 – 1] =

= 15 – [+8] = 15 – 8 = 7

11 Resuelve.

a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7]

b)13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)]

c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)]

d)(13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15]

e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)]

f ) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)]

a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7] = (2 – 9) – [5 + (–4) – 7] = (2 – 9) – [5 – 4 – 7] =

= (–7) – [5 – 11] = –7 – [–6] = –7 + 6 = –1

b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)] = 13 – [15 – 6 + 8 + 5 – 9] =

= 13 – 15 + 6 – 8 – 5 + 9 = 28 – 28 = 0

c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)] = 8 – [(–5) + (–3) – (–3)] = 8 – [–5 – 3 + 3] =

= 8 – [–8 + 3] = 8 – [–5] = 8 + 5 = 13

d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15] = (13 – 21) – [12 + 6 – 9 + 2 – 15] =

= 13 – 21 – 12 – 6 + 9 – 2 + 15 = 37 – 41 = –4

e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)] = [4 + (6 – 22)] – [5 – (10 – 18)] =

= [4 – 16] – [5 + 8] = –12 – 13 = –25

f ) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)] = [10 – 21 + 14] – [5 + 17 – 11 + 6] =

= 10 – 21 + 14 – 5 – 17 + 11 – 6 = 35 – 49 = –14

Pág. 12



PÁGINA 29

12 Multiplica.

a) (+10) · (–2) b) (–4) · (–9) c) (–7) · (+5) d)(+11) · (+7)

a) –20 b) 36 c) –35 d) 77

13 Observa los ejemplos y calcula.

• (–3) · (+2) · (–5) = (–6) · (–5) = +3014243

• (–3) · (+2) · (–5) = (–3) · (–10) = +3014243

a) (–2) · (–3) · (+4) b) (–1) · (+2) · (–5)

c) (+4) · (–3) · (+2) d)(–6) · (–2) · (–5)

a) (–2) · (–3) · (+4) = (+6) · (+4) = +24

(–2) · (–3) · (+4) = (–2) · (–12) = +24

b) (–1) · (+2) · (–5) = (–2) · (–5) = +10

(–1) · (+2) · (–5) = (–1) · (–10) = +10

c) (+4) · (–3) · (+2) = (–12) · (+2) = –24

(+4) · (–3) · (+2) = (+4) · (–6) = –24

d) (–6) · (–2) · (–5) = (+12) · (–5) = –60

(–6) · (–2) · (–5) = (–6) · (+10) = –60

14 Divide.

a) (–18) : (+3) b) (–15) : (–5) c) (+36) : (–9)

d)(–30) : (–10) e) (–52) : (+13) f ) (+22) : (+11)

a) –6 b) +3 c) –4

d) +3 e) –4 f ) +2

15 Calcula el valor de x en cada caso:

a) (–18) : x = +6 b)(+4) · x = –36

c) x · (–13) = 91 d)x : (–11) = +5

a) x = –3 b) x = –9 c) x = –7 d) x = –55

16 Copia, completa y compara. ¿Qué observas?

(+60) : [(–30) : (–2)] = (+60) : [+15] =

[(+60) : (–30)] : (–2) = [ ] : (–2) =

(+60) : [(–30) : (–2)] = (+60) : [+15] =

[(+60) : (–30)] : (–2) = [ ] : (–2) =

Se observa que la división no es asociativa.

+1–2

+4

Pág. 13



17 Calcula.

a) (–28) : [(+12) : (–3)]

b) [(–45) : (+3)] : (+5)

c) (–100) : [(–36) : (–9)]

d)[(–72) : (+9)] : (–8)

a) (–28) : [(+12) : (–3)] = (–28) : [–4] = +7

b) [(–45) : (+3)] : (+5) = [–15] : (+5) = –3

c) (–100) : [(–36) : (–9)] = (–100) : [+4] = –25

d) [(–72) : (+9)] : (–8) = [–8] : (–8) = +1

18 Calcula siguiendo el ejemplo.

• [(–8) · (+9)] : [(+6) · (–3)] = [–72] : [–18] = +4

–72 –18

+4

a) [(+5) · (–8)] : [(–2) · (–5)]

b) [(+28) : (–7)] · [(+20) : (–4)]

c) [(–10) : (+5)] : [(–28) : (+4)]

a) [(+5) · (–8)] : [(–2) · (–5)] = [–40] : [+10] = –4

b) [(+28) : (–7)] · [(+20) : (–4)] = [–4] · [–5] = +20

c) [(–10) : (+5)] : [(–28) : (+4)] = [–2] : [–7] = +2/7

19 Calcula como en el ejemplo.

• 15 – 8 · 3 = 15 – 24 = –9

a) 18 – 5 · 3 b)6 – 4 · 2 c) 7 · 2 – 16

a) 18 – 5 · 3 = 18 – 15 = 3

b) 6 – 4 · 2 = 6 – 8 = –2

c) 7 · 2 – 16 = 14 – 16 = –2

20 Calcula.

a) 18 – 15 : 3 b)3 – 30 : 6 c) 20 : 2 – 11

a) 18 – 15 : 3 = 18 – 5 = 13

b) 3 – 30 : 6 = 3 – 5 = –2

c) 20 : 2 – 11 = 10 – 11 = –1

Pág. 14




• 21 – 4 · 6 + 12 : 3 = 21 – 24 + 4 = 25 – 24 = 1

a) 20 – 4 · 7 + 11 b)12 – 6 · 5 + 4 · 2

c) 15 – 20 : 5 – 3 d)6 – 10 : 2 – 14 : 7

e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6 f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6

a) 20 – 4 · 7 + 11 = 20 – 28 + 11 = 31 – 28 = 3

b) 12 – 6 · 5 + 4 · 2 = 12 – 30 + 8 = 20 – 30 = –10

c) 15 – 20 : 5 – 3 = 15 – 4 – 3 = 15 – 7 = 8

d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7 = 6 – 5 – 2 = 6 – 7 = –1

e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6 = 15 – 16 + 12 = 27 – 16 = 11

f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6 = 21 – 20 + 3 = 24 – 20 = 4

22 Observa el ejemplo y calcula.

• (–3) · (–4) + (–6) · 3 = (+12) + (–18) = 12 – 18 = –6

a) 5 · (–8) – (+9) · 4

b)32 : (–8) – (–20) : 5

c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4)

d)(+25) : (–5) + (–16) : (+4)

e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2)

f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3)

a) 5 · (–8) – (+9) · 4 = (–40) – (+36) = –40 – 36 = –76

b) 32 : (–8) – (–20) : 5 = (–4) – (–4) = –4 + 4 = 0

c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4) = (+18) + (–20) = 18 – 20 = –2

d) (+25) : (–5) + (–16) : (+4) = (–5) + (–4) = –5 – 4 = –9

e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2) = (–42) + (+25) = –42 + 25 = –17

f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3) = (–7) – (–36) = –7 + 36 = 29

23 Calcula.

a) 18 – 5 · (3 – 8)

b)11 – 40 : (–8)

c) 4 · (8 – 11) – 6 · (7 – 9)

d)(4 – 5) · (–3) – (8 – 2) : (–3)

a) 18 – 5 · (3 – 8) = 18 – 5 · (–5) = 18 – (–25) = 18 + 25 = 43

b) 11 – 40 : (–8) = 11 – (–5) = 11 + 5 = 16

c) 4 · (8 – 11) – 6 · (7 – 9) = 4 · (–3) – 6 · (–2) = (–12) – (–12) = –12 + 12 = 0

d) (4 – 5) · (–3) – (8 – 2) : (–3) = (–1) · (–3) – (+6) : (–3) = (+3) – (–2) = 3 + 2 = 5

Pág. 15



25 Calcula.

a) 15 + 2 · [8 – 3 · 5]

b) (–3) · (+5) – 3 · [11 + 3 · (5 – 11)]

c) 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5 · (9 – 4)]

d)(–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7)

e) [18 + 5 · (6 – 9)] – [3 – 16 : (5 + 3)]

a) 15 + 2 · [8 – 3 · 5] = 15 + 2 · [8 – 15] = 15 + 2 · [–7] = 15 – 14 = 1

b) (–3) · (+5) – 3 · [11 + 3 · (5 – 11)] = –15 – 3 · [11 + 3 · (–6)] =

= –15 – 3 · [11 – 18] = –15 – 3 · [–7] = –15 + 21 = 6

c) 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5 · (9 – 4)] = (–4) – (–6) · [23 – 5 · (5)] =

= –4 + 6 · [23 – 25] = –4 + 6 · [–2] = –4 + (–12) = –16

d) (–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7) = (–2) · (–4) – [12 – (–2)] : (–7) =

= 8 – [12 + 2] : (–7) = 8 – [14] : (–7) = 8 – (–2) = 8 + 2 = 10

e) [18 + 5 · (6 – 9)] – [3 – 16 : (5 + 3)] = [18 + 5 · (–3)] – [3 – 16 : 8] =

= [18 + (–15)] – [3 – 2] = [+3] – [+1] = 3 – 1 = 2

PÁGINA 30

26 Escribe en forma de potencia.

a) (–2) · (–2)

b) (+5) · (+5) · (+5)

c) (–4) · (–4) · (–4) · (–4)

d)(–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2)

a) (–2)2 b) (+5)3 c) (–4)4 d) (–2)6

27 Copia y completa.

P O T E N C I A B A S E E X P O N E N T E VA L O R

(–1)7 –1 7 –1

(–2)4 –2 4 +16

(+3)3 +3 3 +27

(–4)2 –4 2 +16

P O T E N C I A B A S E E X P O N E N T E VA L O R

(–1)7

(–2)4

(+3)3

(–4)2

Pág. 16



28 Escribe en forma de producto y calcula:

a) (–2)6 b) (–3)1

c) (+3)4 d)(–5)2

e) (–10)5 f ) (–8)3

a) (–2)6 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = +64

b) (–3)1 = (–3) = –3

c) (+3)4 = (+3) · (+3) · (+3) · (+3) = +81

d) (–5)2 = (–5) · (–5) = +25

e) (–10)5 = (–10) · (–10) · (–10) · (–10) · (–10) = –100 000

f ) (–8)3 = (–8) · (–8) · (–8) = –512

29 Calcula con ayuda de la calculadora como se hace en el ejemplo.

• 125 8 12**==== 8 {∫“¢°°«“}a) 86 b)(–8)6

c) 115 d)(–11)5

e) 277 f ) (–27)7

a) 86 = 262 144 b) (–8)6 = 262 144

c) 115 = 161 051 d) (–11)5 = –161 051

e) 277 = 10 460 353 203 f ) (–27)7 = –10 460 353 203

30 Calcula el valor de x en cada caso:

a) (–2)x = +16 b)(–3)x = –27 c) (+6)x = +36

d)(–5)x = –125 e) (–10)x = +10 000 f ) (–10)x = –10

a) x = 4 b) x = 3 c) x = 2

d) x = 3 e) x = 4 f ) x = 1

31 Averigua el valor o los valores de x que cumplen la igualdad en cada caso:

a) x2 = +4 b)x3 = –64

c) x6 = +1 d)x7 = –1

e) x4 = 2 401 f ) x5 = –100 000

a) x = 2 y x = –2 b) x = –4

c) x = 1 y x = –1 d) x = –1

e) x = 7 y x = –7 f ) x = –10

Pág. 17



PÁGINA 32

32 Calcula.

a) (–2)6 + (–2)5

b)104 + (–10)3 – 102 + (–10)

c) (–5)2 – (–2)4 + (–1)6

d)(+4)3 : (–2)4 + (+9)2 : (–3)3

e) (+4)2 · [(–2)3 + (–3)2] : (–2)3

a) (–2)6 + (–2)5 = 64 + (–32) = 32

b) 104 + (–10)3 – 102 + (–10) = 10 000 + (–1 000) – 100 + (–10) =

= 10 000 – 1 110 = 8 890

c) (–5)2 – (–2)4 + (–1)6 = 25 – (+16) + (+1) = 26 – 16 =10

d) (+4)3 : (–2)4 + (+9)2 : (–3)3 = (64) : (+16) + (81) : (–27) = 4 + (–3) = 1

e) (+4)2 · [(–2)3 + (–3)2] : (–2)3 = 16 · [–8 + 9] : (–8) = 16 · (+1) : (–8) = –2

33 Reduce a una sola potencia como en el ejemplo.

• 25 · (–3)5 = [2 · (–3)]5 = (–6)5

a) 32 · 42

b) (–2)3 · 43

c) (–5)2 · (+3)2

d)36 · (–2)6

a) 32 · 42 = (3 · 4)2 = 122

b) (–2)3 · 43 = [(–2) · 4]3 = (–8)3

c) (–5)2 · (+3)2 = [(–5) · (+3)]2 = (–15)2

d) 36 · (–2)6 = [3 · (–2)]6 = (–6)6

34 Expresa con una sola potencia igual que en el ejemplo.

• (–15)4 : (+3)4 = [(–15) : (+3)]4 = (–5)4 = 54

a) 94 : 34

b) (+15)3 : (–5)3

c) (–20)2 : (–4)2

d)(–18)4 : (–6)4

a) 94 : 34 = (9 : 3)4 = 34

b) (+15)3 : (–5)3 = [(15) : (–5)]3 = (–3)3 = –33

c) (–20)2 : (–4)2 = [(–20) : (–4)]2 = 52

d) (–18)4 : (–6)4 = [(–18) : (–6)]4 = 34

Pág. 18



35 Reduce aplicando la propiedad am · an = am + n.

• a3 · a2 = a5

a) x2 · x3 b)m3 · m5

c) a4 · a4 d)z5 · z

a) x2 · x3 = x5 b) m3 · m5 = m8

c) a4 · a4 = a8 d) z5 · z = z6


a) (–6)3 · (–6)4 = (–6) b) (+3)6 · (+3)2 = 3

c) (–2)8 · (–2)2 = 2 d)(–5)3 · (+5)2 = (–5)

a) (–6)3 · (–6)4 = (–6)7 b) (+3)6 · (+3)2 = 38

c) (–2)8 · (–2)2 = 210 d) (–5)3 · (+5)2 = (–5)5


a) 25 · 27 b) (–2)3 · (+2)6

c) (–12)2 · (+12)2 d)(+9)4 · (–9)2

a) 25 · 27 = 212 b) (–2)3 · (+2)6 = (–2)9

c) (–12)2 · (+12)2 = 124 d) (+9)4 · (–9)2 = 96

38 Reduce aplicando la propiedad am : an = am –n.

a) x7 : x4 b)m5 : m4

c) a7 : a2 d)z8 : z3

a) x7 : x4 = x3 b) m5 : m4 = m

c) a7 : a2 = a5 d) z8 : z3 = z5

39 Copia y completa:

a) 59 : 53 = 5 b) (–2)6 : (–2)3 = (–2)

c) (–4)8 : (+4)3 = 4 d)(+6)8 : (–6)5 = (–6)

a) 59 : 53 = 56 b) (–2)6 : (–2)3 = (–2)3

c) (–4)8 : (+4)3 = 45 d) (+6)8 : (–6)5 = (–6)3

40 Reduce a una potencia única.

a) (–7)8 : (–7)5 b)109 : (–10)4

c) 124 : (–12) d)(–4)10 : (+4)6

a) (–7)8 : (–7)5 = (–7)3 = –73 b) 109 : (–10)4 = 105

c) 124 : (–12) = (–12)3 = –123 d) (–4)10 : (+4)6 = 44

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41 Aplica la propiedad (am)n = am · n, y reduce.

a) (x3)2 b) (m4)3

c) (a3)3 d)(z6)3

a) (x3)2 = x6 b) (m4)3 = m12

c) (a3)3 = a9 d) (z6)3 = z18


a) (32)4 = 3 b) [(–2)4]3 = (–2)

c) [(+5)2]2 = (+5) d)[(–6)3]5 = (–6)

a) (32)4 = 38 b) [(–2)4]3 = (–2)12

c) [(+5)2]2 = (+5)4 d) [(–6)3]5 = (–6)15


a) [(–2)2]2 b) [(+5)3]2

c) [(+7)3]3 d)[(–4)2]4

a) [(–2)2]2 = (–2)4 = 24 b) [(+5)3]2 = 56

c) [(+7)3]3 = 79 d) [(–4)2]4 = (–4)8 = 48

44 Reduce como en el ejemplo.

• (a6 · a4) : a7 = a10 : a7 = a3

a) (x5 · x2) : x4 b)m7 : (m2 · m3)

c) (a · a6) : (a2 · a4) d)(z5 · z3) : (z6 · z2)

a) (x5 · x2) : x4 = x7 : x4 = x3 b) m7 : (m2 · m3) = m7 : m5 = m2

c) (a · a6) : (a2 · a4) = a7 : a6 = a d) (z5 · z3) : (z6 · z2) = z8 : z8 = 1


• [(–4)7 · 43] : [(–4)2]4 = (–4)10 : (–4)8 = (–4)2 = 16

a) (58 · 54) : (52)5

b) [(–2)6 · (+2)3] : [(+2)3]2

c) [(–3)3]3 : [(–3)2 · (–3)3]

d)[(–7)8 · 75] : (74)3

a) (58 · 54) : (52)5 = 512 : 510 = 52

b) [(–2)6 · (+2)3] : [(+2)3]2 = 29 : 26 = 23

c) [(–3)3]3 : [(–3)2 · (–3)3] = (–3)9 : (–3)5 = (–3)4 = 34

d) [(–7)8 · 75] : (74)3 = 713 : 712 = 7

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• 125 : 65 = (12 : 6)5 = 25 = 32

a) 154 : 54 b) (–12)3 : 63 c) (–20)5 : (–2)5

d)86 : (–2)6 e) (63 · 43) : (–8)3 f ) [84 · (–5)4] : (–20)4

a) 154 : 54 = (15 : 5)4 = 34 = 81

b) (–12)3 : 63 = [(–12) : 6]3 = [–2]3 = –8

c) (–20)5 : (–2)5 = [(–20) : (–2)]5 = [+10]5 = 100 000

d) 86 : (–2)6 = [8 : (–2)]6 = [–4]6 = 4 096

e) (63 · 43) : (–8)3 = [(6 · 4) : (–8)]3 = [24 : (–8)]3 = [–3]3 = –27

f ) [84 · (–5)4] : (–20)4 = [[8 · (–5)] : (–20)]4 = [(–40) : (–20)]4 = [2]4 = 16

47 Opera y calcula.

a) 106 : (54 · 24) b) (–12)7 : [(–3)5 · 45]

c) [(–9)5 · (–2)5] : 184 d)[57 · (–4)7] : 204

e) 84 : (25 · 42) f ) 253 : [(–15)5 : 35]

a) 106 : (54 · 24) = 106 : (5 · 2)4 = 106 : (10)4 = 102 = 100

b) (–12)7 : [(–3)5 · 45] = (–12)7 : [(–3) · 4]5 = (–12)7 : (–12)5 = (–12)2 = 144

c) [(–9)5 · (–2)5] : 184 = [(–9) · (–2)]5 : 184 = 185 : 184 = 18

d) [57 · (–4)7] : 204 = [5 · (–4)]7 : 204 = (–20)7 : 204 = (–20)3 = –8 000

e) 84 : (25 · 42) = (23)4 : (25 · (22)2) = 212 : (25 · 24) = 212 : 29 = 23 = 8

f ) 253 : [(–15)5 : 35] = (52)3 : [(–15) : 3]5 = 56 : (–5)5 = –5

PÁGINA 33

48 Calcula, si existen.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

j) k) l)

a) = ±1 b) No existe. c) = ±5

d) No existe. e) = ±10 f ) No existe.

g) = ±11 h) No existe. i) = ±20

j) No existe. k) = ±22 l) No existe.√(–1 000)√(+484)√(–400)

√(+400)√(–169)√(+121)

√(–100)√(+100)√(–36)

√(+25)√(–1)√(+1)

√(–1 000)√(+484)√(–400)

√(+400)√(–169)√(+121)

√(–100)√(+100)√(–36)

√(+25)√(–1)√(+1)

Pág. 21



49 Reflexiona y calcula, si existen.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

j) k) l)

a) = 3 b) = –3 c) = ±2

d) No existe. e) = 2 f ) = –2

g) = ±2 h) No existe. i) = 1

j) = –1 k) = ±1 l) No existe.8√–18√(+1)7√–1

7√(+1)6√–646√64

5√–325√324√–16

4√163√–273√27

8√–18√(+1)7√–1

7√(+1)6√–646√64

5√–325√324√–16

4√163√–273√27

Pág. 22


soluciones a los ejercicios y...

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