solucionario psu n 1 2008 final

7/25/2019 Solucionario PSU N 1 2008 Final

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S O L U C I O N A R I OPSU MATEMTICASde

Fmat.cl, Foro Matemtico 2008

Viernes 21 de Marzo de 2008

3.0

foro matemtico

PRIMERA ENTREGA

R E S O L U C I N F A C S M I L P S U N 1 D E L 2 0 0 8

En este facsmil encontrars el anlisis del Ensayo PSU N1 deMatemticas, publicado 14 de marzo de 2008 en el sitio ,sector PSU.

www.fmat.cl

3.

0

Estimados usuarios:

Estos ensayos, que estn construidos con gran afinidad a lasPSUreales, creemos que tedarn una gran familiaridad con la PSUque redundar en un puntaje excelente en el evento real. La mejorde las suertes en este proceso, tu xito es lo que anima a FMAT, cualquier comentario lo recibiremos en elsector PSU, as que no repares en hacerlo, queremos ir mejorando constantemente.

Atte.Staff Fmat.
http://www.fmat.cl/http://www.fmat.cl/


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Fmat.cl, Calidad en educacin

SOLUCIONARIO | PSU N 1 DEL 20081


SOLUCIONARIO PSU N 1 DEL 2008 FMAT

1.

2 1

5 3 =

23 51 6 5 1

53 15 15

= = Respuesta E.

2. Cuntos ceros tiene 5527?

552522 = (52)54 = 1054 = 400.000

Respuesta B.

3.1 1 1 1

1 1 1 ... 12 3 4 2008

=

2 1 3 1 4 1 2008 12 3 4 2008 =

12

2

3 2007

3 4 2008 = , si seguimos simplificando cruzado, nos quedar finalmente 1

2008

Respuesta D.

4. El precio de un saco de 15 kilos de naranjas es $ 9.000, cunto costarn 2,5 kilos?

Si nos ocupamos de saber el valor de un kilo tenemos: 9.00015

, ahora que preguntan por el

valor de 2,5 kilos, finalmente nos queda:9.000 9.000 25

2,515 15 10 = = , simplificando cruzadoresulta: $ 1.500.

Respuesta D.

5. En una tienda un televisor de 29 pulgadas se ofrece con un 40% de descuento, si el precionormal es de $ 250.000, entonces el precio a pagar es

Si se hace un descuento del 40%, entonces se paga el 60% del precio (100% - 40%), por

tanto nos queda: 60 250.000100

, simplificando resulta $ 150.000.

Respuesta D.

6. Si un grupo de 8 albailes levantan una pared en 8 horas, entonces en cunto tiempolevantarn la misma pared 4 albailes?

Planteamos la proporcionalidad8 albailes 8 horas

4 albailes x horas

, si nos damos cuenta que al

disminuir los albailes las horas deben aumentar, entonces tenemos cantidadesinversamente proporcionales, lo que implica que el producto es constante, luego nosqueda:8 8 = 4 x, despejando xx = 16

Respuesta D.


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7. Alicia va la club cada da, Beatriz va cada 2 das, Carlos va cada 3 das, Daniel cada 4 yEnrique cada 5, Francisco cada 6 y Gabriela cada 7. Si hoy estn todos en el club, dentrode cuntos das ser la primera vez que vuelvan a reunirse?

Deducimos del enunciado que; Alicia va todos los das, Beatriz va en los mltiplos de dos,Carlos en los mltiplos de 3, Daniel en los mltiplos de 4, Enrique en los mltiplos de 5,Francisco en los mltiplos de 6 y Gabriela en los mltiplos de 7, por tanto para que sevuelvan a encontrar debemos obtener un mltiplo comn, luego para resolver debemosobtener el mnimo comn mltiplo entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

Respuesta D.

8. El 30% de 30 centsimos es igual a:

30 30 90,09

100 100 100 = = .

Respuesta E.

9. Si un nmero natural mayor que 2, es dividido por su antecesor, entonces cul(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) el cuociente siempre es mayor que el divisor.II) el cuociente y el resto son siempre iguales a 1.III) el dividendo es uno menos que el producto del cuociente con el divisor.

Al dividir dos nmeros consecutivos en que el dividendo es mayor siempre ocurre que elcuociente es 1 y resto tambin, ejemplos:8 : 7 = 1, 12 : 11 = 1, luego en general1 1

n : (n 1) = 11

I) Falso, el cuociente siempre ser 1, y el divisor puede ser cualquier natural.II) VerdaderaIII) Falso, el dividendo es siempre uno mas que cuociente por el divisor.

Respuesta B.

10. Una tabla de 215

m. de largo, se divide en 5 partes iguales, entonces cul ser la longitud

de 3 trozos?

La tabla mide 2 715 5

= , luego cada trozo mide 1 7 75 5 25

= , entonces 3 trozos miden 7 21325 25

=

Respuesta D.


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11. El nmero de gente que visita un museo es inversamente al valor de la entrada, si elmuseo necesita reunir $ 2.000.000, para sus gastos, que slo lo generar la venta deentradas, entonces, cul ecuacin permite obtener el valor de la entrada vsi visitarn el

museo npersonas?

Si queremos juntar $ 2.000.000 slo con la venta de entradas, el valor de la entrada debe

ser el cuociente en los $ 2.000.0000 y el nmero de personas; 2.000.000 vn

= , arreglando

nos queda 2.000.000 = v n.

Respuesta B.

12. Sea 3 101 21 2 3 10

x xx xw

x x x x= + + + + , si x1, x2, x3, , x10son reales distintos de cero, entonces

cuntos valores distintos tiene w?

El resultado de 11

xx

puedes ser -1 o 1, esto se cumple en todas las fracciones de la suma

que es igual a w, por tanto el mayor valor de la suma es 10 y el menor valor es -10, comoun -1 con un 1 se hacen 0, entonces no hay resultados impares, es decir que el conjuntode valores posible de w es {-10, -8, -6, , 6, 8, 10}, contando nos quedan 11resultados posibles.

Respuesta C.

13. Cul de los siguientes nmeros es el mayor?

Escribamos todas las alternativas de igual forma, A) (62

)10

, B) (53

)10

, C) (43

)10

, D) (26

)10

yE) (34)10, luego como todos tiene igual exponente (10), solo comparamos A) 62 = 36,B) 53=125, C) 43= 64, D) 26= 64 y E) 34= 81

Respuesta B.

14. Al simplificar (x + 3)2 (x 3)2resulta

Aplicamos suma por diferencia y nos queda [(x+3) + (x-3)][(x+3) (x-3)] = 2x 6 =12x

Respuesta C.

15. La edad de Pepe es n + 1, entonces en cuntos aos ms tendr el doble de su edadactual?

Si analizamos la situacin una persona tendr el doble de su edad en la misma cantidad deaos que tiene, es decir si la edad de alguien es n + 1, entonces en n + 1 aos ms tendr2(n + 1).

Respuesta C.


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16. Para qu valor de a, la ecuacin2x 5

a3x 8

+=

+no tiene solucin?

Despejemos x, 2x + 5 = a(3x + 8)2x + 5 = 3ax + 8a2x 3ax = 8a 5, factorizando por xx(2 3a) = 8a 5

8a 5x

2 3a

=

Luego no tiene solucin si el denominador es 0 y el numerador es distinto de 0, luego

2 3a = 0 2a3

= , y con 2a3

= el numerador es distinto de 0.

Respuesta D.

17. La fraccin1

12

x x 3

+

+ +

puede ser expresada como2

2

x ax b

x cx d

+ +

+ +, luego a + b + c + d =

Escribamos la fraccin dada como la piden:2 2

2 2 2 2

1 1 x 3 x 3x 2 x 3 x 4x 51 1 1

2 x 3x 2 x 3x 2 x 3x 2 x 3x 2xx 3 x 3

+ + + + + + ++ = + = + = =

+ + + + + + + +++ +

Luego a = 4, b = 5, c = 3 y d = 2, 4 + 5 + 3 + 2 = 14

Respuesta E.

18. Cul(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) a b a b +

II) a b c a b c+ + + +

III) a b a b

I) Verdadera, la resta de dos reales siempre ser menor o igual a la suma de sus valoresabsolutos.

II) Verdadera, el valor absoluto de la suma de tres reales ser menor igual que la suma delos valores absolutos de cada sumando.

III) Verdadera,a (a b) b (a b) b a b b a a b b

a b a b

= + + + +

Respuesta D.

19. Si el dimetro de un crculo es incrementado en un 100%, entonces su rea se incrementaen un

Si el dimetro aumenta el radio tambin aumenta en el 100%, entonces:rea inicial = 2r rea final = 2 2(2r) 4 r = El incremento (aumento) de rea es 2 2 24 r r 3 r = , es decir es 3 veces lo inicial por tantoes 300%.

Respuesta C.


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20. Si m lpices se compran a n pesos cada uno, y n plumones en m pesos cado uno,entonces cul es costo promedio de lpices y plumones?

El costo promedio lo obtenemos como el total de dinero gastado dividido por el nmero

total de lpices y plumones, mn nm 2mnm n m n

+=

+ +

Respuesta B.

21. En la figura 1, las reas achuradas corresponden a dos cuadrados iguales ms mediocuadrado, el rea del rectngulo grande menos la suma de las reas achuradas es

rea del rectngulo = 5a2

rea achurada = 2 21 52 a a2 2

= , luego:

2 2 25 5

5a a a2 2 =

Respuesta B.

22. Al resolver la ecuacin 6x (8 x) = 7[9 (3 + 2x 2)], x =

6x 8 + x = 7[9 3 2x + 2]7x 8 = 7[8 2x]7x 8 = 56 14 x

21x = 6464x

21=

Respuesta C.

23. El(los) valor(es) de 2x 5, si 5 x 7 x+ + = , es(son)

Despejemos: 5 x 7 x+ + = 2

2

2

x 7 x 5 /()

x 7 x 10x 25

0 x 11x 180 (x 9)(x 2)

+ =

+ = +

= +=

Por lo tanto tenemos dos soluciones; x 9 = 0 x = 9, x 2 = 0 x = 2, pero como esuna ecuacin irracional al reemplazar las soluciones en la ecuacin original, slo sirve comosolucin x = 9, finalmente tenemos 2 9 5 = 13

Respuesta C.

a

a

a

aa

a2

a


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24. Cul de los siguientes nmeros representa un nmero racional?

Para que sea racional la raz debe desaparecer, por tanto A) no es ya que 1.800 no es

cuadrado perfecto. La alternativa B) tampoco es pues al racionalizar en el numerador sigueapareciendo una raz, lo mismo ocurre con la C), la D) tampoco ya que 1.000 no escuadrado perfecto, entonces debe ser la E), recordemos el tro pitagrico 5, 12, 13 si estese multiplica por 2 tenemos; 10, 24, 26, entonces 102 + 242 = 262, luego

2 2 210 24 26 26+ = =

Respuesta E.

25. La solucin de la inecuacin x x 3 08 2

< , es

Resolvamosx x 3

0

8 2x 4(x 3)0

8x 4x 12

08

12 3x0

8

Respuesta D.

29. En la figura 2-a) aparece la grfica de la funcin f(x) x= , luego la figura 2-b) representa ala funcin:

La grfica 2-a) corresponde a f(x) x= , los movimientos que la llevan a 2b) son;

i) se refleja en torno al eje x, quedando f(x) x=

ii) se desplaza horizontalmente 2 unidades hacia los positivos, y nos queda ahoraf(x) x 2=

iii) finalmente se desplaza 3 unidades verticalmente hacia arriba, resultandof(x) x 2 3= +

Respuesta E.


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53

116

53

116

x

y

30. Si 1 1 4x y

+ = y 3 7 13x y

= , entonces x + y =

Para simplificar el trabajo usemos incgnitas auxiliares, a saber: 1 1u y vx y

= = , quedando

u v 4multiplicamos la primera por 7 y sumamos

3u 7v 13

15 3 1 210u 15, luego u x

10 2 x 33 3 3 5 1 2

Si u v 4 v 4 y2 2 2 2 y 5

2 2 16Finalmente x y

3 5 15

+ =

=

= = = = =

= + = = = = =

+ = + =

Respuesta B.

31. Al resolver la inecuacin 1 23x 5

0

11 6x 0 3x 5 011 6x 3x 511 5 5

x x x6 3 3

> < < >

< > >

Respuesta E.

32. La grfica de la figura 3, representa a f(x) = x2bx + c, sabiendo que pasa por el origen(0,0), entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) c > 0II) b < 0

III) bc > 0

Al pasar por el origen (0,0), c = 0, entonces I) yIII) son falsas.El eje de simetra es positivo, por lo tanto

( b)0 b 0

2 1

> >

, por lo tanto II) es falsa.

Respuesta A.


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2x-18

x-15

x+12

p

m

n

y

x+12

2x-18y

33. Sea g(x) =2x 7x 12

x 3 +

, luego g(0) =

Reemplazando x = 0 en la funcin tenemos:

20 7 0 12 12

40 3 3

+

= = Respuesta A.

34. Si x > 0, entonces log5 250x log52x =

Aplicando propiedades de logaritmos, tenemos:3

5 5 5 5 5250x

og 250x log 2x log log 125 log 5 32x

l = = = =

Respuesta E.

35. Sea f(x) una funcin tal que: f(x) = 2f(x-1) + 4 y f(0) = 16, entonces el valor def(-2) + f(2) es

Aplicando la definicin de la funcin tenemos:f(2) = 2f(2-1) + 4 = 2f(1) +4f(1) = 2f(1-1) + 4 = 2f(0) + 4, como sabemos el valor de f(0) = 16, lo reemplazamos ynos devolvemos,f(1) = 2 16 + 4 = 36, luego f(2) = 2 36 + 4 = 76.Ahora buscamos el valor de f(-2) y para eso partimos de f(0), a saber:f(0) = 2f(0-1) + 4 = 2f(-1) + 4f(-1) = 2f(-1-1) + 4 = 2f(-2) + 4, luego reemplazamos f(0) y seguimos la secuenciahasta encontrar f(-2),16 = 2f(-1) + 4, despejamos f(-1), 16 4 = 2f(-1), 12 = 2f(-1), 6 = f(-1)6 = 2f(-2) + 4, 6 4 = 2f(-2), 2 = 2f(-2), 1 = f(-2),finalmente f(2) + f(-2) = 76 + 1 = 77

Respuesta D.

36. En la figura 4, p // m // n, luego la medida del ngulo yes

Trasladando los ngulos por el paralelismo,tenemos:2x 18 + x + 12 = 1803x = 180 + 6 = 186x = 62 por otro lado,x 15 + y + x + 12 = 1802x + y = 180 + 3, reemplazando

262 + y = 183y = 183 - 124 = 59

Respuesta B.


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x

aa

bb

b

a120

e

f

c d

e+f

c+d

a+b

60

37. Las bisectrices de dos ngulos consecutivos y complementarios forman un ngulo de:

En la figura adjunta se muestran dos ngulos consecutivos

y complementarios, luego el ngulo preguntado (x) seobtiene: x = a + b, como 2a + 2b = 90,a + b = 45

Respuesta D.

38. En la figura 5, cunto suman los ngulos a, b, c, d, ey f?

Aplicando ngulo exterior de un tringulo y uncuadriltero, tenemos:a + b + c + d + e + f + 60 = 360, luegoa + b + c + d + e + f = 300

Respuesta D.

39. En el polgono de la figura 6, AB // PC, AP // BC, si AP y CP son bisectrices de los ngulosinteriores respectivos, entonces el ngulo x mide

Considerando que los ngulos consecutivos sonsuplementarios en un paralelogramo y que susngulos opuestos son iguales, agregando lo queentrega el enunciado al respectos los lados que sonbisectrices tenemos lo que muestra la figura,ahora como ABCDE es pentgono y la suma de susngulos interiores es 180(5 2) = 180 3 = 540,entonces finalmente nos queda:x + 80 + 60 + 60 + 120 + 60 + 60 = 540x + 440 = 540

x = 100

Respuesta B.D

C

B

A

EP

120

80

x 6060

6060

60

120


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40. En el tringulo de la figura 7, DA = AB, si ABC - ACB = 30, entonces DBC =

Aplicando ngulo exterior y la igualdad

de lados, nos queda lo indicado en lafigura, luego: ABC x y x 2x y= + + = + ,por otro lado ACB y= , reemplazandoen la igualdad dada nos queda:2x + y - y = 302x = 30 x = 15

Respuesta A.

41. Cul es el permetro de un rectngulo cuya rea es 294 cm2si sus lados estn en razn

3 : 2?

Si los lados estn en razn 3 : 2, entonces digamos que ellos miden 3k y 2k, luegoaplicamos la frmula de rea y tenemos:3k 2k = 2946k2= 294k2= 49k = 7, es decir sus lados son 3 7 = 21 y 2 7 = 14, en consecuencia el permetro es:P = 2(21+14) = 2 35 = 70

Respuesta B.

42. Si la figura patrn se ha rotado -180 respecto del punto P, entonces resulta

Respuesta D.

C B

A

D

xy

x+y

x+y

P


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1

1

1

30 30

60601212

1260

30

43. Cul(es) de las siguientes transformaciones llevan al punto (3,5) a ser el punto (-3,-5)?

I) Una rotacin de -180 con respecto al punto (1,1).

II) Una rotacin de 180 respecto al punto (0,0).III) Una reflexin respecto al eje x luego una reflexin respecto al eje y.

I) Falsa, si un punto se rota -180, que es lo mismo que rotar 180, resulta con suscomponentes de signos opuestos solo cuando se rota con respecto al origen (0,0).

II) Verdadera, por lo anterior, al rotar 180 un punto (x,y) respecto al origen (0,0) resulta(-x,-y).

III) Verdadera, el reflejar sucesivamente respecto de dos rectas (ejes) es equivalente auna rotacin respecto al punto de interseccin (0,0), igual al doble delngulo que forman las rectas (2 90 = 180)

Respuesta D.

44. El rea del cuadrado de la figura 8 es 1 m2, E es un punto en la extensin de la diagonalAC, si C es punto medio de AE, entonces el segmento DE mide

Si el cuadrado tiene rea 1 su lado mide 1.Recordando que las diagonales en un cuadrado soniguales y se dimidian, luego llamaremos a a lamitad de la diagonal y como C es punto medio deAE, CE = 2a, por tanto lo pedido es la hipotenusadel tringulo EDF, ahora aplicamos Pitgoras:

a2+ (3a)2= DE2

2

10a DE a 10 DE= = , como la diagonal de uncuadrado es el lado por la raz de 2, entonces:

2a 1 2

2a

2

=

=

Reemplazamos finalmente quedando: 2 20 4 5 2 5DE 10 52 2 2 2

= = = = =

Respuesta A.

45. Cul es el rea del trapecio de la figura 9?

Si trazamos las alturas, se generan dos tringulos de 30, 60 y 90, si recortamos eltringulo achurado y lo desplazamos como lo indica la figura generamos un rectngulo, los

lados de este rectnguloequivalente al trapecio son: 1 3y (1 )2 2

+ , por tanto el rea pedida

es:1 2 3 2 3

A2 2 4

+ += =

Respuesta C.

13

2 1

A B

CD

E

1

1F

a

a

a

2a


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A

B

C

M

P

O Q4

N

C D B

A

F E

4 6

8

x

A B

C

D

ab

p qc

h

46. En la figura 10, M, N y P son puntos medios de los lados CB, BA y AC respectivamente, si

CQ = 4 , entonces OQ =

Como M y P son puntos medios MP es lamediana del tringulo ABC, de lo cualpodemos concluir que CQ = QN = 4. LuegoCN = 8 y O es la interseccin de lastransversales de gravedad por tanto

1 1 8ON CN ON 8

3 3 38 4

OQ QN ON 43 3

= = =

= = =

Respuesta C.

47. En el tringulo de la figura 11, AD y BF son alturas. Si AD = 8, BD = 6 y CD = 4, entoncesED =

Los tringulos CDA y EDB son semejantes, luego4 x 6 4

x 38 6 8

= = =

Respuesta A.

48. En la figura 12, ABC es rectngulo en C, CD es altura, entonces Cul(es) de lassiguientes relaciones es(son) verdadera(s)?

I) (p + q) h = a bII) a2= pc

III)2 2

22

a bh

c=

I) Verdadera, p + q = c, luego c h = a bII) Falsa; debe ser a2= q cIII) Verdadera, c2h2= a2b2 c h = a b

Respuesta D.


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O

A

C

BE

r

rr

r

6060

3030

r

r

49. En la circunferencia de centro O y radio r de la figura 13, E es punto medio de OB, BA y BC

son tangentes en A y C respectivamente. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

falsa(s)?

I) El rea del cuadriltero ABCO es 2r 3 .II) ABC = 60III) OAEC es rombo.

Al ser E punto medio de OB, OE = EB = r.Como A y C son puntos de tangencia,los ngulos OAB y OCD son rectos,luego los tringulos OAB y OCB sonrectngulos congruentes y adems altener un cateto que mide la mitad de

la hipotenusa, dichos tringulos sonde 30, 60 y 90, estos nos lleva aconcluir que II) y III) sonverdaderas. El rea del cuadrilteroABCO es equivalente al rea de untringulo equiltero de lado 2r,

luego:2 2

2(2r) 4rA 3 3 r 34 4

= = = ,

entonces I) es verdadera y ojo,preguntan por las falsa(s)

Respuesta E.

50. Los tres cuadrados que aparecen en la figura 14 son congruentes, M, N y P son puntosmedios de los lados, luego cul de las siguientes afirmaciones es la ms completa alrespecto del tringulo ABC?

Al observar la figura los tringulos LBC y KAC sonrectngulo congruentes, lo que implica que CB = CAy adems por Pitgoras CB = CA = a 17 , eltringulo OAB es rectngulo issceles de catetos 3a,luego AB = 3a 2 . Veamos ahora los ngulos;

BCA 90


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a

a

a a a a a a

a

a

51. En la circunferencia de la figura 15, AB es dimetro, si BAC 20= y ABD 50= , entoncesCD=

Recordando que el arco encerrado por un nguloinscrito mide el doble del ngulo inscrito y ademssabemos que AB es dimetro, entonces;

100 CD 40 180 CD 40+ + = =

Respuesta C.

52. La figura 16 esta formada 12 cuadrados iguales, entonces tg tg =

cateto opuesto 3a 3tg

cateto adyacente 2a 2 = = =

cateto opuesto a 1tg

cateto adyacente 6a 6 = = =

Finalmente tenemos 3 1 8 42 6 6 3

= =

Respuesta C.

53. Cul es el volumen engendrado al rotar el tringulo encerrado por la funcin f(x) x 1= +

y el eje x, con respecto al eje y?

La funcin f(x) x 1= + esta representada en la

figura de color rojo y esta con el eje x formaun tringulo, que la ser rotado respecto aleje y forma un cono de radio 1 y altura 1,por tanto:

2 21 1V r h (1) 13 3 3

= = =

Respuesta D.

A B

C

D

20 50

1-1

1

y

x


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54. En el cubo de la figura 17, A, B y C son puntos medios de las aristas, cunto mide elngulo ABC?

Para encontrar lo pedido buscaremos las medidas delos lados del tringulo ABC, luego:AB = BC = a 2 , ahora buscamos la medida del ladoAC en el tringulo ADC, que es rectngulo y tienenpor catetos AD = 2a y DC = a 2 , si aplicamos

Pitgoras tenemos: 2 2 2AC 4a 2a 6a a 6= + = =

El tringulo ABC es issceles de lados a 2 y ellado AC = a 6 , si en el trazamos la altura BD,

AD = a 62

, entonces el tringulo ABD es

rectngulo de hipotenusa a 2 y uncateto a 6

2, adems se verifica lo

siguiente:

a 16 a 2 3, por lo tanto el ABD 60

2 2= =

Respuesta C.

55. Las circunferencias de la figura 18 son tangentes exteriores en Q, PA y PB son tangentesen A y en B respectivamente y la recta tes tangente a ambas circunferencias en Q, si el APB = 80, entonces AQB=

Al ser A, Q y B puntos de tangencia, AP = PQ yQP = PB, por lo tanto AP = PQ = PB. La recta queva desde el vrtice de un ngulo y pasa por elcentro de la circunferencia tangente a los lados delngulo debe ser bisectriz, luego 2a + 2b = 80 loque implica que a + b = 40, y si nos fijamos enel cuadriltero achurado, tenemosx + 90 + 90 + 40 = 360x = 140

Respuesta D.

A

B

C

a

a

a

a

D

2a

A C

B

D

60 60

A

BQ

t

P

x

aa

b b


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56. Durante los 7 primeros partidos jugados por un equipo de ftbol, marc; 3, 2, 1, 2, 3, 3 y0 goles, respectivamente, entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)falsa(s)?

I) La moda es 3II) La mediana es 3III) La media es 2

Primero ordenemos la muestra; 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, el dato que ms se repite es la moda,por tanto la moda es 3, luego I) es verdadera. El dato central es la mediana, en este casosera 2, lo que implica que II) es falsa. La media es el promedio aritmtico de los datos es

decir 0 1 2 2 3 3 3 14 27 7

+ + + + + += = , por tanto III) es verdadera, teniendo el cuidado que

preguntan por las falsas.

Respuesta B.

57. Cul es la mediana en la siguiente tabla de distribucin?

Para determinar la mediana agregamos la columna de frecuencia acumulada, de estadeducimos que el dato e la ltima lnea es el total de datos, es decir 11. En este caso como

el total de datos es impar el dato central sera 11 1 12 62 2+

= = . Debemos buscar el dato

nmero 6, volvemos a la columna de frecuencia acumulada y de ella deducimos que; desdeel dato 1 al 3 son 13 aos, del dato 4 hasta el dato 5 son 14 aos, del dato 6 al dato 9 son15 aos, por lo tanto la mediana es 15 aos.

Respuesta C.

58. La media de los primeros nnaturales consecutivos es

La media es el promedio aritmtico y lo obtenemos como la suma de ellos dividido por el

total de nmeros, es decir;

n(n 1)1 2 3 ... n n(n 1) n 12

n n 2n 2

++ + + + + +

= = =

Respuesta C.

59. Cul es la probabilidad de sacar a lo menos una cara al lanzar tres monedas?

La probabilidad de sacar a lo menos una cara es la negacin de sacar solo sellos, portanto podemos decir que:P(sacar a lo menos una cara) = 1 P(sacar solo sellos), entonces tenemos:

1 1 1 1 7P(sacar a lo menos una cara) 1 1

2 2 2 8 8= = =

Respuesta E.

Edad en aos frecuencia frecuencia acumulada13 3 314 2 515 4 916 2 11


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60. Si se lanzan dos dados normales, cul es la probabilidad que salgan nmeros iguales enambos dados?

Los resultados requeridos son (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) y (6,6), por lo tanto los casosfavorables son 6 y los posibles al lanzar dos dados son 36 (6 6), por lo tanto lo pedido es6 136 6

=

Respuesta A.

61. Se lanzan dos dados normales si en el primero sale ay en segundo b, entonces cul es la

probabilidad que los resultados hagan que el sistema2x y 0ax by 0

+ =

+ =tenga infinitas soluciones?

El sistema para que tenga infinitas soluciones se debe cumplir que a = 2b, por tanto les

resultados favorables son (2,1), (4,2) y (6,3), luego los casos favorables son 3 y losposibles al lanzar dos dados es 36, entonces:3 136 12

=

Respuesta B.

62. Se tienen dos dados perfectos y sus caras marcadas de la siguiente forma:

Dado A: dos caras marcadas con el 1 y las cuatro restantes con 5.Dado B: 4 caras marcadas con el nmero 2 y las dos restantes con el nmero 6.

Lanzando los dos dados a la vez cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?

I) La probabilidad de que el dado A tenga un nmero superior es 49

II) La probabilidad de que el dado B obtenga un nmero menor que el de A es 23

III) Si el dado ganador es el que presenta el nmero mayor que el otro, entoncesambos tienen la misma probabilidad de ganar.

I) Verdadera, para que en el dado Atenga un nmero mayor en Adebe salir 5 y en el

dado Bsalga 2, luego P(5 en A y 2 en B) = 4 4 2 2 4

6 6 3 3 9

= = .

II) Falsa, la probabilidad de que B obtenga un nmero menor Aes igual a la probabilidad

de que Atenga un nmero superior, que por I) es 49

, teniendo presente que no

hay empate.

III) Falsa, Por I) la probabilidad de que Agane es 49

. Por lo tanto, dado que no hay

posibilidad de empates la probabilidad de que Bgane es 4 519 9

= .

Respuesta A.


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63. La lanzar un dado normal dos veces, cul es la probabilidad de nosacar 6 en el primero ynosacar 4 en el segundo?

P(no sacar 6) = 56

P(no sacar 4) = 56

P(no sacar 6 y no sacar 4) = 5 5 256 6 36

=

Respuesta D.

64. El nmero N = 5,3ab7, donde a y b son cifras (dgitos), se desea aproximar a la milsima,para ello es necesario saber que:

(1) a = 3(2) b > 6

Para saber es necesario conocer la cifra b y la cifra a, por tanto falta informacin.

Respuesta E.

65. El trinomio 2 2x ax b+ + resulta ser un cuadrado de binomio si:

(1) a = 2(2) 2b = a

Como estn los dos cuadrados falta saber que asea igual a 2 1 b, es decir a = 2b.

Respuesta B.

66. Para que el sistemax ay 1x by 1

+ =

=tenga infinitas soluciones, se debe verificar que:

(1) a = b(2) a + b = 0

Apliquemos geometra analtica, para que tenga infinitas soluciones las rectas deben tenerigual pendiente e igual coeficiente de posicin, veamos esto:

x + ay = 1 ay = -x + 1 1 1y xa a

= + 1 1m y ca a

= = .

x by = 1 x 1 = by 1 1x yb b

= 1 1m y cb b

= =

Igualemos las pendientes: 1 1 b a 0 a ba b

= = = +

Igualemos los coeficientes de posicin: 1 1 b a a b 0a b

= = + =

Respuesta B.


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67. Si f(x) = 1 + 2f(x-1), entonces para conocer el valor de f(37) es necesario conocer:

(1) f(0)

(2) f(1)

Si nos damos cuenta en la definicin de la funcin concluimos que es igual a 1 ms el doblede la funcin del antecesor, es una suerte de reaccin en cadena, a saber:f(37) = 1 + 2f(37 1) = 1+ 2f(36)f(36) = 1 + 2f(35)f(35) = 1 + 2f(34), y as sucesivamente, en algn momento llegaremos a f(1) o f(0) y siconocemos dichos valores reemplazamos y nos devolvemos.

Respuesta D.

68. En la figura 19; APCD es trapecio issceles de bases AP y CD, si AP = PB, entonces lamedida del ngulo ABP se puede conocer si:

(1) ADC 100= (2) PAD 2 ABP=

Si conocemos el ngulo ADC y comoes trapecio

ADC DAP 180 100 2x 180+ = + = ,luego la informacin (1) sirve por sisola.La informacin (2) por si sola noaporta nada.

Respuesta A.

69. ABCD es un paralelogramo (figura 20), M es punto medio del lado AB, cunto mide GM?

(1) AD = AC(2) DG = 2GM

Para determinar la medida de GM,necesitamos como antecedente algunamedida, y ninguna de las informacionesentregadas nos da alguna referencia demedida.

Respuesta E.

70. En que razn estn las aristas de dos cubos?

(1) sus volmenes estn en razn 125 : 64(2) sus reas estn en razn 25 : 16

La informacin (1) por si sola da respuesta pues dos cubos son semejantes, por tanto susvolmenes estn en una razn igual al cubo de la razn en que estn las aristas.La informacin (2) por si sola es suficiente, pues los cubos son semejantes y sus reas estnen razn igual al cuadrado de la razn en que estn las aristas.

Respuesta D. FMAT 2008

D C

BA M

G

A B

P

C

D

xx

2x

2x

solucionario psu n 1 2008 final

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