Primer examen previo de Matemáticas II/ Segundo Parcial 22 de septiembre de 2015

1. Estime los límites: (4.5 puntos)

a¿ limx→∞

x tan( 1x ) b¿ lim

x→∞(1+x )1/ x c ¿ lim

x→1+¿( 2

x2−1−

1x−1 )¿

¿

2. Determine el polinomio de Taylor para f ( x )=√x+2 , n=3 y c=2. (2 puntos)3. Dada la función f ( x )=ex. (3.5 puntos)

a) Determine los primeros cuatro términos de la serie de Maclaurin de f (x)b) Use la serie como base para predecir la serie de g ( x )=e− x

2

−1c) Evalúe g (0.5 ) a partir de la serie y estime el porcentaje de error

d) Integre ∫0

1

g ( x )dx

SOLUCIÓNReactivo 1

a¿ limx→∞

x tan( 1x ) , indet .(∞ .0)

limx→∞

tan( 1x )

1/ x,indet .( 0

0 )aplicar L ' Hopital limx→∞−x−2 sec( 1

x )−x−2

limx→∞

sec( 1x )=1

b¿ limx→∞

(1+x )1/ x , indet .(∞0)

lny=limx→∞

1x

ln (1+x ) , indet .(∞∞ )aplicar L' Hopital ,lny=limx→∞

11+x

1

lny=limx→∞

11+x

=0 , lny=0 , y=e0=1 , limx→∞

(1+x )1/ x=1

c ¿ limx→1+¿( 2

x2−1−

1x−1 ), indet .(∞−∞ )¿

¿

limx→1+¿( 2

x2−1−

1x−1 )= lim

x→1+¿ 2− ( x+1 )x2−1

¿ limx→1+¿ 2−x−1

x2−1= limx→ 1+¿ 1−x

x2−1,indet.( 0/0)¿

¿¿

¿¿¿

¿

aplicar L'Hopital limx→1+¿ 1− x

x2−1= limx→ 1+¿−1

2 x=−1

2¿

¿ ¿

¿

Reactivo 2f ( x )=√x+2 , n=3 y c=2

f ( x )=√x+2 , f ' ( x )=12( x+2)−1 /2 , f ' ' ( x )=−1

4(x+2)−3/2 , f IV ( x )=3

8(x+2)−5 /2 ,

f (2 )=2 , f ' (2)= 14, f ' ' ( 2)= 1

32, f IV (2 )= 3

256

√ x+2=2+ 14

( x−2 )+ 132

(x−2)2!

+ 3256

(x−2)3 !

Reactivo 3

a) f ( x )=1+x+ x2

2!+ x

3

3 !

b) g ( x )=−x2+ x4

2 !− x6

3 !c) g (0.5 )=−0.221199216, g (0.5 ) serie=−0.221354166, %error=-0.07

d) ∫0

1

g ( x )dx=−935

=−0.2571

Primer examen previo de Matemáticas II/ Segundo Parcial 22 de septiembre de 2015

1. Estime los límites: (4.5 puntos)

a¿ limx→∞

x sen ( 1x ) b¿ lim

x→0(1+ x )1 / x

c ¿ limx→2 ( 1

x−2−

4

x2−4 )2. Determine el polinomio de Taylor para f ( x )= 2

x+1, n=3 yc=1. (2 puntos)

3. Dada la función f ( x )=cos x. (3.5 puntos)a) Determine los primeros tres términos de la serie de Maclaurin de f (x)b) Use la serie como base para predecir la serie de g ( x )=√ xcos xc) Evalúe g (0.5 ) a partir de la serie y estime el porcentaje de error

d) Integre ∫0

π /2

g ( x )dx

SOLUCIÓNReactivo 1

a¿ limx→∞

x sen ( 1x ), indet .(∞ .0)

limx→∞

sen ( 1x )

1 /x, indet .( 0

0 )aplicar L' Hopital limx→∞−x−2 cos( 1

x )−x−2

limx→∞

cos ( 1x )=1

b¿ limx→0

(1+ x )1 / x ,indet .(1∞)

lny=limx→0

1x

ln (1+x ) ,indet .( 00 )aplicar L'Hopital ,lny=lim

x→0

11+ x

1

lny=limx→ 0

11+x

=1, lny=1 , y=e1, limx→0

(1+ x )1 / x=e

c ¿ limx→2 ( 1

x−2−

4

x2−4 )❑ , indet .(∞−∞)

limx→2 ( 1

x−2− 4x2−4 )=

limx→2

x+2−4

x2−4=

limx→2

x−2

x2−4, indet .(0 /0)

aplicar L'Hopitallimx→2

1

2 x=1

4

Reactivo 2

f ( x )= 2x+1

, n=3 yc=1

f ( x )= 2x+1

, f ' ( x )=−2(x+1)−2 , f ' ' ( x )=4 (x+1)−3 , f IV ( x )=−12(x+1)−5 ,

f (1 )=1 , f ' (1)=−12, f ' ' (1 )=1

2, f IV (1 )=−3

82x+1

=1−12

(x−1 )+ 12

(x−1)2 !

+ 38

(x−1)3!

Reactivo 3

a) f ( x )=1− x2

2 !+ x

4

4 !

b) g ( x )=√ x− x52

2!+x9 /2

4 !c) g (0.5 )=0.62054458, g (0.5 ) serie=0.620559857, %error=-0.0024617

a) ∫0

π /2

g ( x )dx=0.7093