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Solucion Prueba 3

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Solucion Prueba 3Electromagnetismo, cuadragesima segunda

clase

Jose Rogan

Depto. Fısica

22 de julio de 2005

Depto. Fısica, 22 de julio de 2005. Jos e Rogan

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Problema 1a

1a) Sea VAB = VB � VA en el circuito de la figura1. Muestre que jVAB j2 = V 2

0 para cualquierfrecuencia !. Encuentre la frecuencia para lacual VAB esta 90� fuera de fase con V0.

ωtcos( )VoR

C

C

RA B

Figura: Bosquejo del circuito.Depto. Fısica, 22 de julio de 2005. Jos e Rogan

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Solucion problema 1a

� La impedancia equivalente

Zeq = ZR + ZC = R � i!C= !CR � i!C

=) Yeq = !C!CR � i:

La admitancia total YT de ambas ramas delcircuito

Yeq = 2!C!CR � i!CR + i!CR + i

= 2!2C2R + 2i!C!2C2R2 + 1:


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La corriente

I = YeqV0 = 2!2C2RV0 + 2i!CV0!2C2R2 + 1

La diferencia de potencial

VAB = VB � VA = ZRIB � ZCIA :La ecuacion de las corrientes en el nodo esIA + IB = I y por simetrıa IA = IB = I=2, luego

VAB = !2C2R2V0 + i!CRV0!2C2R2 + 1+ i!CRV0 � V0!2C2R2 + 1

= !2C2R2V0 � V0 + 2i!CRV0!2C2R2 + 1:


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El modulo de la diferencia de potencial

jVABj2 = !4C4R4V 20 + 2!2C2R2V 2

0 + V 20(!2C2R2 + 1)2

= V 20 (!2C2R2 + 1)2

(!2C2R2 + 1)2 = V 20

La diferencia de fase igual a �=2

� = �2= Arctan

�2!CRV0!2C2R2V0 � V0

�

=) 2!CRV0!2C2R2V0 � V0!1


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Lo que implica

!2C2R2V0 � V0 = 0 =) ! = 1RC


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Problema 1b1b) La caja (a) con cuatro terminales contieneun capacitor C y dos inductores de igualinductancia L conectados como se muestra.Una impedancia Z0 es conectada a losterminales de la derecha. Para una frecuenciadada ! encuentre el valor que Z0 debe tener sila impedancia resultante entre los terminales dela izquierda (la impedancia de entrada) es iguala Z0. Usted encontrara que el valor requerido deZ0 es una resistencia pura (justifique) R0 (de elvalor) probando que !2 < 2=LC.


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¿A que corresponde Z0 en el caso especial! =p2=LC? En este caso el contenido de la

caja (a) puede ser igualmente bienrepresentado por la caja (b).

Z0

L L

C

(a)

L L

(b)

C2

C2

Figura: Par de cajas con los circuito.


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Solucion 1b

La impedancia de la parte superior del circuitoincluida Z0 es

ZU = i!L + Z0 =) Y1 = 1i!L + Z0

La admitancia asociada al condensador esY2 = i!C, por lo tanto, la admitancia total sera

YT = i!C+ 1i!L + Z0

=) ZT = �i!C + 1

i!L + Z0

��1


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La impedancia de entrada la obtenemossumandole a ZT la impedancia de la inductanciai!L y eso debe ser igual a Z0

i!L + ZT = Z0

=) ZT = Z0 � i!L = �i!C + 1

i!L + Z0

��1

i!C + 1i!L + Z0

= 1Z0 � i!L

=) 1Z0 � i!L

� 1Z0 + i!L

= i!C


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Z0 � i!L� Z0 + i!LZ 2

0 + !2L2= i!C =) 2i!L

Z 20 + !2L2

= i!C

2LC

= Z 20 + !2L2 =) Z0 =

r2LC� !2L2

La impedancia es real si !2 < 2=LC por lo tantoes una resistencia pura. El caso ! =p

2=LC laresistencia es nula por tanto la suma de los doscondensadores de la caja (b) correspondeexactamente al condensador de la caja (a).Ambas cajas son equivalentes.


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Problema 2a

2a) Una onda electromagnetica tiene unafrecuencia de 100 [MHz] y se propaga en elvacıo. El campo magnetico viene dado por~B(z; t) = B0x cos(kz � !t)

i) Demuestre que cumple la ecuacion de onda.ii) Encuentre la frecuencia angular, la longitud

de onda y la direccion de propagacion de laonda.

iii) Encuentre el campo electrico ~E(z; t).Depto. Fısica, 22 de julio de 2005. Jos e Rogan

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Solucion problema 2a

@2B@z2 = �B0k2 cos(kz � !t)@2B@t2 = �B0!2 cos(kz � !t)

para que se cumpla con la ecuacion de onda

�B0k2 cos(kz � !t) + B0!2

c2 cos(kz � !t) = 0

�k2 + !2

c2 = 0Depto. Fısica, 22 de julio de 2005. Jos e Rogan

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k = !c

Que es la relacion de dispersion para las ondasplanas. La frecuencia angular

! = 2�T

= 2�� = 2� � 102 = 628 [MHz]La longitud de onda

k = !c

= 2�� =) � = 2�c! = c�� = 3� 1010

108 = 3� 102 [cm]. La direccion es z.


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Calculemos el campo electrico:

~r� ~B = @Bx@zy � @Bx@y

z

= �Bok sen(kz � !t)y= 1

c@~E@t

:Integrando respecto al tiempo

~E(z; t) = �Z B0kc sen(kz � !t 0)ydt 0~E(z; t) = �B0kc! cos(kz � !t)y


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Pregunta 2b

2b) A partir de las ecuaciones de Maxwell en unmedio dielectrico, no conductor y neutro,demuestre que cada componente del campomagnetico satisface una ecuacion de onda.Considere una solucion tipo onda plana yencuentre la relacion de dispersion !(k)


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Respuesta pregunta 2b

Consideremos las ecuaciones de Maxwell paraun medio dielectrico neutro y no conductor

~r � ~B = 0 ~r � ~E = 0

~r� ~B = �c@~E@t

~r� ~E = �1c@~B@t

Usando la identidad vectorial

~r� ~r� ~C = ~r(~r � ~C)�r2~CDepto. Fısica, 22 de julio de 2005. Jos e Rogan

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sobre la ecuacion del rotor de ~B tenemos

~r� ~r� ~B = ~r(~r � ~B)�r2~B = ~r� �c@~E@t

�r2~B = �c@@t

�~r� ~E��r2~B = � �

c2

@2~B@t2

r2~B � �c2

@2~B@t2 = 0

Lo cual muestra que cada componente delcampo magnetico satisface una ecuacion deonda.


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Consideremos una solucion tipo onda plana

~B(~r ; t) = ~B0ei(~k �~r�!t)

Derivando

r2~B = �~B0k2ei(~k �~r�!t)

@2B@t2 = �~B0!2ei(~k �~r�!t)

Reemplazando en la ecuacion

�~B0k2ei(~k �~r�!t) + �c2

~B0!2ei(~k �~r�!t) = 0

�k2 + �c2!2 = 0


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Finalmente la relacion de dispersion

! = kcp�


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Pregunta 3a

3a) En el centro de una cavidad esferica deradio a practicada en un bloque de materialdielectrico de constante �, se coloca una cargapuntual q. Calcule el campo electrico y elpotencial electrico en todos los puntos delespacio. Demuestre que la suma de las cargas

inducida y la carga original esq� , independiente

de a.


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Respuesta pregunta 3aUsando la Ley de Gauss, para r < aZ

s

~E � d~a = 4�q

~E = qr2 r

Para r > a Zs�~E � d~a = 4�qlibre

�E4�r2 = 4�q

~E = q�r2 r


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El potencial para r > a

V (1)� V (r) = �Z 1r

~E � d~r 0 = Z r

1q�r 02 r � r dr 0

= � q�r 0��r1 = � q�r

luego para r > a tenemos V (r) = q�r . Para r < a

V (1)� V (r) = �Z a

r

~E � d~r 0 � Z 1a

~E � d~r 0= Z r

a

qr 02 r � r dr 0 + Z a

1q�r 02 r � r dr 0

= �qr 0��ra� q�r 0

��a1 = �qr+ q

a� q�a


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Para r < a tenemos V (r) = qr+ q

a

�1� � 1

�Dentro de la cavidad r < a y ~P = 0 puesesta vacıo. Pero para r > a

~P = �e~E = �� 1

4� q�r2 r

Evaluemos la carga ligada como

�ligada = �~r � ~P = � 1r2

@(r2Pr)@r

= � 1r2

@@r

�� 14� q�

� = 0


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La densidad de carga superficial ligada

�ligada = ~P � n��r=a

con n = �r

= � ~P � r ��r=a

= � �� 14� q�r2

��r=a

= �� 14� q�a2

La carga total de polarizacion inducida es

Qp = Zs�da = �� 1

4� q�a2 4�a2 = 1� �� q :Depto. Fısica, 22 de julio de 2005. Jos e Rogan

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De este modo la carga total es

QT = Qp + q = 1� �� q + q = q�


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Pregunta 3b

3b) ¿Cual es la magnitud y direccion delmomento dipolar para la configuracion de lafigura 3 ? Considere ademas un campoelectrico uniforme y constante ~E = E0(z � x) ycalcule el trabajo necesario para invertir eldipolo en este campo.


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La figura

+q

+q +q

+q

−q−q

−q

Figura: Configuracion de cargas sobre un cubo de aristaa.


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Respuesta pregunta 3b

El momento dipolar de la configuracioncorresponde a

~p = �qax + qay � q(ax + ay) + qaz + q(ax + az)+ q(ay + az)� q(ax + ay + az)= �2qax + 2qaz= 2qa(�x + z)Finalmente

~p = 2qa(�x + z)Depto. Fısica, 22 de julio de 2005. Jos e Rogan

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Evaluemos el trabajo

W = Z�

04qaE0 sen � d�

= 4qaE0

Z�

0sen � d� = 8qaE0

El resultado final

W = 8qaE0


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