SOLUCION PROBLEMAS CONCURSO DE MATEMTICA POR TV

SOLUCION PROBLEMAS CONCURSO DE MATEMTICA POR TV.

GRUPO I

RONDA I

1 Si dos medidas y media de azafrn cuestan tres sptimo de una moneda, Cuntas medidas de azafrn se podrn comprar con nueve monedas.

Este problema se puede resolver mediante una proporcin X: 9 : : :

X= X = 52 medidas de azafrn2 Al nmero de tres dgitos 3M6 se le adiciona el nmero 528 obteniendo el nmero 8N4 que es divisible por 24, hallar el valor de A = M N.3M6 + 528 = 8N4 Divisible por 24 8 y 3N = 6 M = 3

A = M-NA = 3 - 6

A = -3

3 . La suma de los dgitos de un nmero de dos cifras es 9, y si al nmero se le suma 27, los dgitos del nmero se invierten. Cul es el nmero?Una forma es buscar todos los nmeros de 2 cifras cuya suma de sus dgitos sea 9, luego se le suman 27 y si da el nmero invertido este es el nmero buscado.

Veamos 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81

18+2781 27 +27 72 36+27 = 63 Que es el nmero que se obtiene cuando se le invierten los dgitos de 36, que es el nmero buscado.

Otra forma es formando un sistema de ecuacin de primer grado con dos incgnitas, la cual le dejamos al pblico.

4 . Determine el valor del rea rayada en la figura.

Ac = R

A( = B x h Ac = 9cm

A( = 60 cm

Ac = 28.26 cm

A( = 60 cm.- 28.26cm.

rea sombreada = 31.74 cm. Aprox.

5 . Un nmero de tres cifras, N = abc, tiene las siguientes propiedades.

1. Es divisible entre cinco.

2. La suma de su cifra es 20.

3. a y b son nmeros consecutivos.

4. N< 800.

Determinar N.

El problema se puede resolver con los triadas que cumplen con las propiedades de la relacin.

* No puede iniciar terminar con 0, la suma no es 20.No puede iniciar con 8 o 9 porque el nmero seria mayor de 800

* Slo pueden terminar en 5, porque es divisible por 5.

* a y b, son consecutivos

* a + b + c = 20

R =

El nmero es 785

SEGUNDA RONDA

1. Mover un solo dgito, aunque pierda esta condicin, para que sea verdadera la expresin siguiente: 101 102 = 1Este es un problema de habilidad y su nica solucin moviendo un solo digito es

101 102 = 1 Falso

101 102 = 1 verdadero

2 En la figura los segmentos pt, tr y rs, tienen igual medida, si la altura del tringulo equiltero mtr es 9cms, encuentre el rea del rectngulo PS QZ. H= 9cms

A = B x h

Tag 60 =

A =cm x 9 cm

Tag 60 =

A = cm

= A=162 cm

X = cm

TR = cm x 2

TR = cm

PS= cm x 3PS = cm.3 .Determina todos los nmeros enteros positivos que en la divisin por 17 cumplan que el resto es igual al cuadrado del cociente.D = divisor y C el cociente

D = 17 C + C D = C (C + 17) : C

EMBED Equation.3 17 ; C ={ 1, 2, 3 , 4}

D 1 = 18

D 2 = 38

D 3 = 60

D 4 = 84

4Cuntos nmeros de telfono diferentes se pueden formar con el cdigo 829 delante, con los diez dgitos diferentes?

Comenzamos

* * * __ __ __ __ __ __ __

Nmero de 7! = 7x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 7!= 5,040 nmeros

5. Se quieren envasar 161, 253 y 207 Kgs. respectivamente de plomo, en tres cajas de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso y el mayor posible. Cunto debe pesar cada pedazo de plomo? La solucin se obtiene calculando el M.C.D. de 161, 253 y 207

Sol. 23 Kg

TERCERA RONDA

1. Cada 3 litros de fluido de radiador contiene 2 cuartos de anticongelante puro. Cuntos cuartos de anticongelante hay en 45 litros de esta mezcla?Usando proporciones

3 : 2 : : 45 : X

X= 30 Cuartos

2. Una constructora de azulejos tiene un nuevo diseo, para su producto, si desea cubrir un terreno de 254mt, con azulejos en forma de tringulos equilteros, con una altura de m Cuntas unidades aproximadamente de azulejos necesita para cubrir todo el terreno?.h =

tg 60 =

EMBED Equation.3

=

* =

* =

1) Base (B) =

2) A =

A =

A =

= 2,286 unds3 . Existen nmeros naturales X y Y tal que la mitad de X es igual a un tercio de Y. Encuentre todos los posibles valores de X y Y entre (1 y 10).Encontremos todos los nmeros de la forma

4. Cuntos tringulos diferentes pueden contarse en la figura?

Para resolver este problema la mejor estrategia es numerar los tringulos ms pequeos y poner una letra al pentgono del centro (por ejemplo).

Hay 10(S pequeos

Los tringulos que se forman con 2 (S son : (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(10,1)

Con 3 tringulos son : (1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),(7,8,9), (9,10,1)

Con 2 tringulos y el pentgono del centro son : (2,P,6), (4,P,10), (6,P,10), (8,P,4),(8,P,2)

Con 4 tringulos y el pentgono son : (1,2,10,P,6), (2,P,6,7,8), (2,3,4,P,8),(4.5.6.P,10),(8,9,10,P,4) R = 35 tringulos

5 El matemtico De Morgan vivi en el siglo XIX (entre 1800 y 1900), propuso el siguiente problema:

Yo tena x aos en el ao x. En que ao naci De Morgan?

Por tanteo x2 debe estar entre 1800 y 1900; por lo que 1800 y1900 estn entre (40)2 y (50)2 ya que 40 = 1600 y 50 =2500, de donde 40 < x < 50 como se observa 42 no llega a 1800 y 44 se pasa de 1900 por lo que x = 43 que es la edad de De Morgan en el ao 1849, luego de donde De Morgan nace 43 aos antes, es decir en el ao 1806.

SEGUNDO GRUPO

RONDA I

1. En un mapa 1 cm. representa 16 kilmetros Qu distancia queda representada por 5 cm?1 cm. 16 X 10 cm

5.5 cm X

X =cm

X= 55X10cm. x 16X10cm.

X= 88 .0 X10cm. 8, 800,000 cm.X = 88Km2. El rectngulo OABC est inscrito en el cuarto del crculo y las medidas son las que se indican en la figura. Cul es la medida de la diagonal AC?

Para hallar longitud AC solo hay que observar que longitud AC = longitud OB porque en todo rectngulo sus diagonales tienen igual longitud y como OB es el radio de la circunferencia, es decir, OB = 4+4 = 8, luego entonces AC = 8.

3. Usar distintos tipos de signos de agrupacin para formar una igualdad en la expresin siguiente:

36 4 + 5 1 + 2 x 3 + 12 3 + 1 = 6*{36 (4 + 5) (1 + 2) }3 + {12 (3 + 1)} = 6

{36 9 3}3+ {124}= 6

{4 3) 3 + 3 = 6

3+3 = 6otra forma

*[{[36 (4 + 5) (1 + 2)]}3+ 12] 3 + 1 = 6

[{[36 9 3]}3 +12] 3 + 1 = 6

[{4 3}3 + 12] 3 + 1=6[3+12] 3 + 1 = 6

15 3 + 1 = 6

5+ 1= 64. Colocar 10 monedas en 5 lneas, con 4 monedas en cada lneaEl problema se resuelve construyendo un pentgono regular se prolongan los extremos hasta que se cortan y forman una estrella y luego se ponen las monedas en las vrtices como se muestra en la figura y se obtienen cinco filas y 4 monedas en cada fila.

5. Encuentre el rea de la parte sombreada de la figura, sabiendo que las divisiones de los lados son de 3 cms.

Como hay tres tringulos sombreados basta con aplicar la formula del rea de y luego sumar el rea de cada triangulo y obtener el rea de la parte sombreada.

= 3 x 3 = 4.5 cm.

2

= 3 x 6 = 9 cm.

2

= 3 x 9 = 27 = 13.5 cm.

2 2

At = ++

At = 4.5 + 9 + 13 -5 = 27 cm.

SEGUNDA RONDA1. Cules son los tres mltiplos consecutivos de 7 cuya suma es igual a 1932?Sea M el primer nmero M +7 el segundo numero

M + 14 el tercer numero

Luego se tiene

M + M + 7+ M + 14= 1932

3M = 1932 21

3M = 1911

M = 637

M = 637 que es el Primer numeroM + 7= 637+7 = 644 el Segundo numeroM + 14 = 637 + 14 = 651 el Tercer numero2. Pasar por los 9 puntos con 4 rectas, sin levantar el lpiz. Una solucin de este problema es como se indica en la figura de ms abajo. 3. Si se multiplica el largo por el ancho de un terreno rectangular, se obtiene un rea de 600 unidades cuadradas. Cuando se multiplica por s misma la diferencia entre el largo y el ancho, y ese resultado se multiplica por 9, da una superficie equivalente al cuadrado del largo. Cuntas unidades miden el largo y el ancho?Sea X el largo, Y el ancho

1) X .Y = 600 2) 9 (X Y) = X, hallando raz cuadrada a ambos miembros nos queda

3 (X Y) = X3 X 3 Y = X

2 X 3 Y = 02X = 3Y

Y = sustituyendo ecuacin 2 en ecuacin 1 se tiene

X () = 600

2 X= 3 (600)

2 X= 1800 X = 900 hallando raz cuadrada a ambos miembros

X = 30

4. Encuentre tres nmeros pares consecutivos cuya suma es 72?Como los nmeros pares aumentan de dos en dos este se soluciona con una ecuacin de primer grado

Sea X el primero X + X +2 + X+4 = 72

Sea X + 2 el segundo 3 X + 6-6 = 72-6

Sea X + 4 es el tercero 3X = 63 =

X = 22 el Primero

X + 2 = 24 el Segundo

X = 22

X + 4 = 26 el Tercero

5. Un nio tiene curiosidad por saber en que ao muri el matemtico Tartaglia y pregunta a su padre por la fecha. El padre le aport los datos siguientes: muri en el siglo XVI, la suma de los dgitos que forma el ao es 18 y el dgito de las unidades excede al de la decena en 2. Cul es el ao?

R: 1,557

TERCERA RONDA

1. Usted planea servir un asado que toma 15 horas para cocinarse. La comida debe estar a las 7:00 pm A qu hora pondr el asado en el horno?

A la 4:00 A.M.

2. Obtener un cuadrado, de 5 unidades cuadradas de rea, cuyos vrtices coinciden con cuatro puntos de la figura. Para solucionar este problema basta con construir un rectngulo cuya hipotenusa sea , ya que: a = L luego 5 = L,de donde, L = ; veamos

ya que ,cuando los catetos de un triangulo rectngulo miden 1 y 2 unidades respectivamente, la hipotenusa mide

3. Dos ascensores parten del sexto piso de un edificio a las dos de la tarde y ambos van bajando. El ms rpido tarda un minuto en ir de un piso a otro y el ms lento, tarda dos minutos en lo mismo. El primer ascensor que llegue a un piso tendr que parar tres minutos para que suban y bajen los pasajeros. Qu ascensor llegar antes al vestbulo, situado en el primer piso?Ascensor ms

RpidoAscensor ms lento

A B

1 + 3 2

4 + 1 7

6 + 3 7 + 2

10 + 3 9 + 2

13 + 1 11 + 2

Total 14 minutosTotal 13 minutos

Luego el ms lento llega primero

4. En una lucha amorosa se quebr un collar, un tercio de las perlas cay al suelo, un quinto qued en el lecho, la joven encontr un sexto y su amigo recuper un dcimo de las perlas; en el hilo slo quedaron seis perlas. Cuntas perlas haba en el collar?

+ 6 = X10X + 6X + 5X + 3X + 180 = 30X

180 + 24X = 30X

180 + 24X 24X = 30X 24X180 = 6X

X = 30 30 perlas haban en el collar

5. Un carro se traslada de una ciudad A a una ciudad B a 40km/h y regresa a 30 Km./h. Cul es la velocidad media de ida y vuelta del automvil?

Este problema se resuelve encontrando la velocidad media pero hay que tener en cuenta que estas magnitudes son vectoriales por lo que se obtiene de la siguiente forma:

= 40 Km. /hr. Como hay dos tiempos uno de ida y otro de regreso

= 30Km/h

Se tiene = y =

De donde el Tiempo total es:

= + = +

y sabemos que = = = =

=

== 34Km/h

GRUPO FINALISTA PRIMERA RONDA1. Para que el nio estudie aritmtica, el padre propone pagarle 8 pesos por cada problema resuelto correctamente y cobrarle 5 pesos por cada solucin incorrecta. Despus de 26 problemas trabajados, ninguno de los dos se debe nada al otro. Cuntos problemas resolvi correctamente el nio?- Sea X la cantidad de problemas resuelto correctamente

Sea 26 X los resultados incorrectamente

8X 5 (26 X) = 0

8X 130 + 5X = 0

13X 130+130 = 0+130

13X = 130

X = 10El nio resolvi 10 problemas correctamente

Prueba

8(10) = 80 Costo Problemas correctos

5(16) = 80 Costo Problemas I incorrectos 2. Una cantidad, sus dos terceras partes, su mitad y un sexto de la de la misma, sumadas dan 28. Cul es la cantidad? Este problema se resuelve con una ecuacin sencilla de primer grado

X + + += 28

6 X + 4 X + 3 X + X = 168

14 X = 168

X = 12

3. Calcular dos nmeros reales cuya suma sea 5 y su producto sea el mayor posible.

. Si los nmeros son X e Y, se ha de verificar que X+Y = 5, donde Y = 5 X buscamos el mximo XY = X (5-X). Es decir f(x) = x (5-x)

, que se anula para X =

EMBED Equation.3 , como por tanto x = , y = son los nmeros buscados.

4. Un acuario tiene una base cuadrada de lado 10 mts. Una caa nace en el centro del acuario y crece perpendicularmente a la base hasta salirse 1 metro sobre la superficie del agua. Si se inclina la caa hacia un lado, su tope tocar el borde del acuario exactamente al nivel del agua Cul es la profundidad del agua y cul es la longitud de la caa? - Este problema se resuelve aplicando teorema de PitgorasHacemos X a la profundidad del agua, luego de donde la longitud de la caa ser X + 1Como la caa nace en el centro la longitud de la caa al lado del acuario es = 5 mPor Pitgoras

(X + 1)= X+ 5 Profundidad del Agua 12mts.

X+ 2 X + 1 = X+ 25 Altura de la Caa 13mts.

2 X +1-1 = 25-1

2X = 24

=

X = 12 mts.5. Un grupo de pintores tena que pintar dos muros, A y B, uno de los cuales, A, con el doble de la superficie que el otro, B. Durante medio da, todo el grupo trabaj en el muro A. El resto del da se repartieron trabajando la mitad del grupo en el muro A y la otra mitad en el muro B. Qued una pequea parte del muro B, que ocup un da entero a un solo pintor. Por cuntos pintores estaba formado el grupo?.-

Sea g el nmero de pintores en el grupo

Sea A la superficie del muro A

Sea B la superficie del muro B

Sea P la superficie del muro que un pintor hace en un da

La superficie A se hace mediante el trabajo g pintores en da ms el trabajo de pintores en otro da.

As A = g () + () ( )

A = g P

La superficie B se hace mediante el trabajo g () pintores en medio da ms el trabajo de un solo pintor en un da

As se tiene B = () ( )+ P

Como se nos dice A = 2B

A = 2B

A = g P

B = () P

Es decir g P = 2 () P

De donde g = 8.

8 es el nmero de pintores que formaban el grupo.

SEGUNDA RONDA1. En la sucesin; 0, 6, 16, 30 el 7mo. trmino es:

Este se resuelve encontrando el trmino general que es 2N2- 2

As 2 (1)2 2 = 0, 2 (2)2 2 = 6, 2 (3)2 2 = 16

2 (7)2 2 = 962. Se promete a una empleada 100 escudos y un abrigo por un ao de trabajo. Despus de 7 meses de servicios, la empleada se va y recibe 20 escudos y el abrigo. En cuanto se valor el abrigo?

Sea X el costo del abrigo, luego este problema es de la poca del renacimiento y se resuelve con una regla de 3.

Valor ganado en un ao 100 + X

Valor ganado en 7 meses 20 + X Costo del abrigo 92 escudos

Luego

100 + X 12 20 + X 7 7 (100 + X) = 12 (20 + X)

700 + 7x = 240 + 12X

700-700+ 7X -12X=240-700+12 X 12X- 5X = - 460

- =-

x = 925. De un rollo de cuerda, David utilizo la mitad de la cuerda y Beatriz las dos terceras partes, de la que quedaba. Si al final sobraron 8 mts. Qu longitud tenia el rollo de cuerda?

Sea X el largo de la cuerda

Multiplicado por 2 ambos miembros resulta:3X + 2X +48 = 6X

6X 5X = 5X 5X + 48

X = 48 Luego Longitud de la cuerda es 48 mts.4Cuales son los nmeros que faltan?

90 61 52 63 94 46 18 001

34 5 6 78910

5. El caf pierde de su peso al tostarlo. Comprando caf verde a 250 pesos por Kg., A cmo deber venderse el kilogramo de caf tostado para ganar del precio de compra?Se resuelve aplicando Regla de Tres

Como el caf verde disminuye en , despus de tostado, queda de 1kg. Solo 0.80kg.0.80 Kg. 250

1 Kg. X As X = = 312.5Por lo que el costo del caf tostado es de 312.5 pesos por kg.Y como debe ganar del precio de venta que es 25 pesos, entoncesDebe vender al costo mas 25 pesos es decir, 312.5 + 25 = 337.5 pesos.. TERCERA RONDA1. Completar el siguiente cuadrado mgico (recuerde que los nmeros no se repiten y que las sumas en filas y las columnas son iguales.

154 83

29514

110613

12711 0

2. . Mauricio, el bisabuelo de Jos, no es ciertamente centenario, pero es de edad muy avanzada. Lo que os puedo decir es que el ao anterior su edad era mltiplo de 8, y que el ao prximo es mltiplo de 7. Cul es la edad de Mauricio?Este problema se resuelve con una ecuacin de 1er grado como sigue.

Sea X edad actual de Mauricio

Como un ao atrs era mltiplo de 8 y el ao que viene es mltiplo 7. Sabemos que la diferencia entre el ao anterior y el ao que viene es 2 aos, tenemos: Mauricio tiene 97 aosX + 1 _ X 1 = 2 7 8

56

EMBED Equation.3 = 2(56)

8 (X + 1) 7 ( X - 1) = 112

8X + 8 7X + 7 = 112

X + 15 15 = 112 - 15

X = 97

3. Con 3 recipientes A, B y C, que tienen capacidad respectivamente de 8, 5 y 3 litros, y sin marca ninguna, se empieza con 8 litros de agua en A, 0 en B y 0 en C, y se quiere llegar a tener 4 litros de agua en A, 4 en B y 0 en C. Encuentre la solucin.

Para resolver este problema se puede hacer una tabla que indique los movimientos que se han de seguir par conseguir la solucin, que es ir vaciando de un recipiente a otro hasta que queden 4 en A, 4 en B y 0 en C, como se muestra mas abajo.

Tipos de recipientesABC

Situacin Inicial800

Movimiento 1350

Movimiento 2323

Movimiento 3620

Movimiento 4602

Movimiento 5152

Movimiento 6143

Movimiento 7440

4. Un nmero de dos cifras es tal que: la suma de los dgitos es 11 y el digito de las unidades es igual al doble del dgito de las decenas disminuido en uno. Cul es dicho nmero?Sea XY el nmero.X + Y =11 como Y = 2X 1 se tiene: X + 2 X - 1=11 X + Y = 11

3 X 1 + 1 = 11 + 1 4 + Y = 11

3X = 12 4 - 4 +Y = 11 - 4X = 4 Y = 7

Luego XY = 47 que es el numero buscado. 5. Encuentre el volumen del siguiente cuerpo.

Para hallar el volumen de este prima irregular se puede proceder de diversas formas. Una puede ser completar el prisma, hallar el volumen total y luego restar el volumen de la parte que se ha completado.

Vt = 6x10x12 = 120x 6 = 720.

V complemento = 12x6x3 = 72x3 = 216

V Real = 720 cm.

EMBED Equation.3 216cm= 720

- 216

504cm

H ay otras formas, las cuales se las dejamos al pblico

PAGE 10

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