Ejercicio 1

Definida una senal discreta x[n] como

x[n] =

{

0 para n ≤ 0 y n ≥ 4

(−1)nn para n = 1, 2, 3

y la repeticion periodica y[n] como

y[n] =

∞∑

k=−∞

x[n+ 7k]

Encuentre la energıa y potencia de estas dos senales.

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Solucion

Para le energıa de x[n], tenemos

Ex =

∞∑

n=−∞

x2[n]

= x2[1] + x2[2] + x2[3] = 14

Para la potencia de x[n], tenemos

Px = lımN→∞

1

2N + 1

N∑

n=−N

x2[n]

= lımN→∞

14

2N + 1= 0

La energıa de y[n] es

Ey = lımN→∞

N ∗ Ex → ∞

Para la potencia de y[n] como esta es periodica seria

Py =1

N0

N0−1∑

n=0

x2[n]; donde N0 es el periodo

=1

714 = 2

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Ejercicio 2

Una senal discreta x[n] es definida como

x[n] =

1 + n3 , −3 ≤ n ≤ −1

1, 0 ≤ n ≤ 3

0, de otramanera

1 Determine estos valores y bosqueje la senal x[n]2 Dibuje las senales que resultan si nosotros:

1 Primero x[n] se invierte la senal y el resultado se retrasa por cuatromuestras.

2 Primero x[n] se retrasa cuatro muestras y luego se invierte el resultado.

3 Dibuje la senal x[−n+ 4]

4 Compare los resultados de la partes (2) y (3) y deduzca las reglas paraobtener la senal x[−n+ 4] de x[n]

5 ¿Puedes expresar la senal x[n] en terminos de las senales δ[n] y u[n]?

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Solucion

1 x[n] =

{

..,0, 13, 23, 1↑, 1, 1, 1, 0, ...

}

2 1 x[−n] =

{

..,0, 1, 1, 1, 1↑, 23, 13, 0, ...

}

Despues de retardar la senal invertida por 4 muestras, tenemos

x[−n + 4] =

{

..,0, 0↑, 1, 1, 1, 1, 2

3, 13, 0, ...

}

2 Si primero se retarda x[n] por cuatro muestras, se tiene

x[n − 4] =

{

... 0↑, 0, 1

3, 23, 1, 1, 1, 1, 0, ...

}

Ahora, invertimos

x[−n − 4] =

{

..,0, 0, 1, 1, 1, 1, 23, 13, 0, 0

↑, ...

}

3 x[−n + 4] =

{

... 0↑, 1, 1, 1, 1, 2

3, 13, 0, ...

}

4 Para obtener x[−n + k], primero se gira x[n] para obtener x[−n], luego si k > 0 se corre k

muestras a la derecha, o si k < 0 se corre k muestras a la izquierda.

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Ejercicio 3

Considere la siguiente senal, x[n] = δ[n]+2δ[n−1]+3δ[n−2]. Calcule su media

movil y[n] =x[n] + x[n− 1]

2.

Elige las respuestas correctas

La salida para n ≥ 4 es siempre cero.

La salida en n = 3 no depende de la entrada en n = 1

y[n] = 0,5δ[n] + 1,5δ[n− 1] + 2,5δ[n− 2] + 1,5δ[n− 3]

Solucion

Las respuestas correctas son la primera y la tercera.

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Ejercicio 4

Un sistema de tiempo discreto puede ser

Estatico o dinamico

Lineal o no lineal

Invariante con el tiempo o

variante con el tiempo

Causal o no causal

Estable o inestable

Examine los siguientes sistemas con respecto a las anteriores propiedades.

1 y[n] = cos(x[n])

2 y[n] =n+1∑

k=−∞

x[k]

3 y[n] = x[n]cos(ω0n)4 y[n] = x[−n+ 2]

5 y[n] = x[n]u[n]

6 y[n] = x[n] + nx[n+ 1]

7 y[n] = x[−n]

8 y[n] = sgn(x[n])

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Solucion

1 Estatico, no lineal, invariante , causal, estable.

2 Dinamico, lineal, invariante, no causal e inestable. Este ultimo es facil de probar. Parauna entrada acotada x[k] = u[k] , la salida es

y[n] =

n+1∑

k=−∞

u[k] =

{

0 n < −1

n+ 2 n ≥ −1

Como y[n] → ∞ cuando n → ∞, el sistema es inestable.

3 Estatico, lineal, variante, causal, estable.

4 Dinamico, lineal, invariante, no causal, estable.

5 Estatico, lineal, invariante, causal, estable.

6 Estatico, lineal, variante, no causal, inestable.

7 Dinamico, lineal, invariante, no causal, estable.

8 Estatico, no lineal, invariante, causal, estable.

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Ejercicio 5

Para una senal de tiempo discreto x[n] como se muestra en la figura, bosquejarcada una de las siguientes senales.

1 x[n− 3]

2 x[2n]

3 x[−n]

4 x[−n+ 2]

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Solucion

x[n− 3]

n2 43 5 6

1

2

3 3

10 7 8

(a)

x[2n]

n-1 0 1 2

2

3

3 4 5

(b)

n10-1-3 -2-4-5

1

2

33 x[−n]

(c)

n321-1 0-2-3

1

2

33 x[−n+ 2]

-4

(d)

Figura: (a) x[n− 3] (b) x[2n] (c) x[−n] (d) x[−n+ 2]

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Ejercicio 6

Usando las senales en tiempo discreto x1[n] y x2[n] tal como se muestran enla figura, representar cada una de las siguientes senales graficamente y por unasecuencia de numeros.

1 y1[n] = x1[n] + x2[n]

2 y2[n] = 2x1[n]

3 y3[n] = x1[n]x2[n]

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Solucion

n1

3

2 4 5

2

0

−1

6 7

−2

−3−4

2 2

3 3

2 2

4

y1[n]

(a)

n1 32 4 5

2

0−1 6 7−2−3−4

6

4 4

y2[n]4

(b)

n1 32 4 5

2

0−1 6 7−2−3−4

4y3[n]

(c)

Figura: (a) y1[n] (b) y2[n] (c) y3[n]

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