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Solución de sistemas de ecuaciones
Método gráfico
Método por sustitución
Método por eliminación
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Hay varios métodos para resolver los sistemas de ecuación lineal.
Estudiaremos tres que usamos para hallar la solución de forma algebraica:
solución por el método gráfico, solución por sustitución y
solución por eliminación.
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Método gráfico
Se grafican ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas.
Así, las coordenadas del punto común en ambas gráficas será la solución del
sistema, ya que satisfacen ambas ecuaciones.
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Método gráficoUn sistema de ecuación lineal de los que hemos trabajado consta de dos ecuaciones y, por lo tanto,
se tendrán dos rectas.
Dos rectas en un plano pueden existir en una de tres situaciones: 1) se intersecan en un punto;
2) son paralelas; ó 3) coinciden.
Independiente, Consistente:
una solución un punto
Independiente Inconsistente: sin solución rectas paralelas
Dependiente, Consistente:
infinitas soluciones misma recta
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Método gráficoProcedimiento para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico
1. Se elabora una tabla de valores para ambas ecuaciones2. Se grafican los pares ordenados 3. Se unen los puntos mediante una recta.
x y
-1 3
0 2
1 1
2 0
x + y = 2
x y
-1 3
0 2
1 1
2 0
2x + 2y = 4Ejemplo x + y = 2 2x + 2y = 4
Las rectas coinciden Dependiente, Consistente:
(infinita soluciones)
-5 0 5
5 5
-5
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Método Gráfico
x y
-1 1
0 2
1 3
2 4
y = x + 2
y = x - 2
Ejemplo 2
-x + y = 2
-x + y = -2
x y
-1 -3
0 -2
1 -1
2 0
y = x + 2 y = x - 2
-10 -5 0 5
5
-5
y = x + 2
Y = x - 2
Rectas paralelas, no hay solución
Independiente
Inconsistente
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Método por sustitución
El método de sustitución consiste en resolver cualquier ecuación del sistema por una de las variables y luego sustituir
el valor de esa variable en la otra ecuación.
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Método por sustitución Procedimiento para resolver un sistema
por el método de sustitución
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuacionesx = -4y + 6 3. El valor de y se sustituye
2. Se sustituye el valor de x en la otra ecuación en cualquiera de las x – 2y = 18 dos ecuaciones originales.. -4y + 6 – 2y = 18 x + 4y = 6-6y = -6 + 18 x + 4 (-2) = 6-6y = 12 x + (-8) = 6y = -2 x = 8 + 6
x = 14
Ejemplox + 4y = 6x – 2y = 18
Independiente, Consistente
La solución es el par ordenado (14, -2)
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Método por eliminación
El objetivo de este procedimiento es obtener dos ecuaciones cuya suma sea
una ecuación con una sola variable.
Este método requiere que los coeficientes de la misma variable estén organizados en forma vertical: uno debajo del otro.
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Método por eliminación
Se suman o se restan las ecuaciones para obtener una ecuación en una variable.
x + y = 6-x – y = 2
0 = 8
Ninguna solución: ocurre cuando al sumar se eliminan las variables y tenemos una proposición falsa (independiente, inconsistente)
Ejemplo 2 x + y = 6-x – y = 2
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Método eliminación
Ejemplo 2
3x + 6y = 12
6y = -3x + 12
3x + 6y = 12
3x + 6y = 12
Multiplicamos por -1 cualquiera de las dos ecuaciones para poder eliminar una de las variables.
-1 (3x + 6y = 12) -3x – 6y = -12
3x + 6y = 12
0 = 0Soluciones infinitas: dependiente, consistente (0 = 0)
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Método por eliminación
Se utiliza la propiedad multiplicativa de la igualdad para lograr que los coeficientes de y tengan el mismo valor
(2x + y= 1) 4x + 2y = 2
4x - 2y = -18 4x – 2y = -18
8x = -16
8x = -16
8 8
x = -2
Ejemplo2x + y = 1
4x – 2y = -18
Se sustituye en alguna ecuación original el valor de x
2x + y = 1
2(-2) + y = 1
-4 + y = 1
y = 5
La solución es el par ordenado (-2, 5)
Se multiplica por 2 cada término
Independiente, consistente: una solución (valor para x y para y)
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Resumen de posibles situaciones
Relación de las rectas
Número de soluciones
Clasificación
Se intersecan 1 Independiente
Consistente
Paralelas 0 Independiente
Inconsistente
Coinciden infinitas Dependiente
Consistente