Solución de sistemas de ecuaciones

Método gráfico

Método por sustitución

Método por eliminación

Hay varios métodos para resolver los sistemas de ecuación lineal.

Estudiaremos tres que usamos para hallar la solución de forma algebraica:

solución por el método gráfico, solución por sustitución y

solución por eliminación.

Método gráfico

Se grafican ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas.

Así, las coordenadas del punto común en ambas gráficas será la solución del

sistema, ya que satisfacen ambas ecuaciones.

Método gráficoUn sistema de ecuación lineal de los que hemos trabajado consta de dos ecuaciones y, por lo tanto,

se tendrán dos rectas.

Dos rectas en un plano pueden existir en una de tres situaciones: 1) se intersecan en un punto;

2) son paralelas; ó 3) coinciden.

Independiente, Consistente:

una solución un punto

Independiente Inconsistente: sin solución rectas paralelas

Dependiente, Consistente:

infinitas soluciones misma recta

Método gráficoProcedimiento para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico

1. Se elabora una tabla de valores para ambas ecuaciones2. Se grafican los pares ordenados 3. Se unen los puntos mediante una recta.

x y

-1 3

0 2

1 1

2 0

x + y = 2

x y

-1 3

0 2

1 1

2 0

2x + 2y = 4Ejemplo x + y = 2 2x + 2y = 4

Las rectas coinciden Dependiente, Consistente:

(infinita soluciones)

-5 0 5

5 5

-5

Método Gráfico

x y

-1 1

0 2

1 3

2 4

y = x + 2

y = x - 2

Ejemplo 2

-x + y = 2

-x + y = -2

x y

-1 -3

0 -2

1 -1

2 0

y = x + 2 y = x - 2

-10 -5 0 5

5

-5

y = x + 2

Y = x - 2

Rectas paralelas, no hay solución

Independiente

Inconsistente

Método por sustitución

El método de sustitución consiste en resolver cualquier ecuación del sistema por una de las variables y luego sustituir

el valor de esa variable en la otra ecuación.

Método por sustitución Procedimiento para resolver un sistema

por el método de sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuacionesx = -4y + 6 3. El valor de y se sustituye

2. Se sustituye el valor de x en la otra ecuación en cualquiera de las x – 2y = 18 dos ecuaciones originales.. -4y + 6 – 2y = 18 x + 4y = 6-6y = -6 + 18 x + 4 (-2) = 6-6y = 12 x + (-8) = 6y = -2 x = 8 + 6

x = 14

Ejemplox + 4y = 6x – 2y = 18

Independiente, Consistente

La solución es el par ordenado (14, -2)

Método por eliminación

El objetivo de este procedimiento es obtener dos ecuaciones cuya suma sea

una ecuación con una sola variable.

Este método requiere que los coeficientes de la misma variable estén organizados en forma vertical: uno debajo del otro.

Método por eliminación

Se suman o se restan las ecuaciones para obtener una ecuación en una variable.

x + y = 6-x – y = 2

0 = 8

Ninguna solución: ocurre cuando al sumar se eliminan las variables y tenemos una proposición falsa (independiente, inconsistente)

Ejemplo 2 x + y = 6-x – y = 2

Método eliminación

Ejemplo 2

3x + 6y = 12

6y = -3x + 12

3x + 6y = 12

3x + 6y = 12

Multiplicamos por -1 cualquiera de las dos ecuaciones para poder eliminar una de las variables.

-1 (3x + 6y = 12) -3x – 6y = -12

3x + 6y = 12

0 = 0Soluciones infinitas: dependiente, consistente (0 = 0)

Método por eliminación

Se utiliza la propiedad multiplicativa de la igualdad para lograr que los coeficientes de y tengan el mismo valor

(2x + y= 1) 4x + 2y = 2

4x - 2y = -18 4x – 2y = -18

8x = -16

8x = -16

8 8

x = -2

Ejemplo2x + y = 1

4x – 2y = -18

Se sustituye en alguna ecuación original el valor de x

2x + y = 1

2(-2) + y = 1

-4 + y = 1

y = 5

La solución es el par ordenado (-2, 5)

Se multiplica por 2 cada término

Independiente, consistente: una solución (valor para x y para y)

Resumen de posibles situaciones

Relación de las rectas

Número de soluciones

Clasificación

Se intersecan 1 Independiente

Consistente

Paralelas 0 Independiente

Inconsistente

Coinciden infinitas Dependiente

Consistente