U.E.A. Mtodos Numricos en Ingeniera

Orden del da

Tema 3 Solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

1. Mtodo grfico.

2. Mtodo de Gauss.

3. Mtodo de Gauss-Jordan.

4. Pivoteo parcial.

5. Mtodo de inversin de matrices.

6. Mtodo de Jacobi.

7. Mtodo de Gauss-Seidel.

8. Criterio de convergencia.

Introduccin

En esta ocasin nos ocuparemos de determinar los valores x1, x2, , xn que en forma simultnea satisfacen un sistema de ecuaciones. Tales sistemas pueden ser lineales o no lineales. En la parte tres, trataremos con ecuaciones algebraicas lineales, que tienen la forma general

donde las a son los coeficientes constantes, las b son los trminos independientes constantes y n es el nmero de ecuaciones. Todas las dems ecuaciones son no lineales.

Mtodos sin computadora para resolver sistemas de ecuaciones

Si son pocas ecuaciones (n = 3), las ecuaciones lineales (y algunas veces las no lineales) pueden resolverse con rapidez mediante tcnicas simples. Sin embargo, con cuatro o ms ecuaciones, la solucin se vuelve laboriosa y debe usarse una computadora. La incapacidad para resolver a mano los sistemas de ecuaciones ms grandes ha limitado el alcance de problemas por resolver en muchas aplicaciones de ingeniera.

Fundamentos

Muchas de las ecuaciones fundamentales en ingeniera se basan en las leyes de conservacin. Entre algunas cantidades conocidas que se someten a tales leyes estn la masa, la energa y el momentum. En trminos matemticos, estos principios nos conducen a ecuaciones de balance o de continuidad que relacionan el comportamiento del sistema, al representarlo por los niveles o respuesta de la cantidad sujeta a modelamiento con las propiedades o caractersticas del sistema, y por los estmulos externos o funciones forzadas que actan sobre el sistema.

Fundamentos

En el tema anterior, se observ cmo sistemas de un solo componente dan por resultado una sola ecuacin que puede resolverse mediante tcnicas de localizacin de races. Los sistemas con multicomponentes resultan en un sistema de ecuaciones matemticas que deben resolverse de manera simultnea. Las ecuaciones estn relacionadas, ya que las distintas partes del sistema estn influenciadas por otras partes. Cuando esas dependencias se expresan matemticamente, las ecuaciones resultantes a menudo son de forma algebraica y lineal. Los problemas de multi-componentes surgen tanto de modelos matemticos de variables agrupadas (macro) como distribuidas (micro). Los problemas de variables agrupadas involucran componentes finitos relacionadas. En cambio, los problemas con variables distribuidas intentan describir detalles espaciales de los sistemas sobre una base continua o semi-continua.

Fundamentos

La distribucin de sustancias qumicas a lo largo de un reactor tabular alargado es un ejemplo de un modelo de variable continua. Las ecuaciones diferenciales obtenidas a partir de las leyes de conservacin especifican la distribucin de la variable dependiente para tales sistemas. Esas ecuaciones diferenciales pueden resolverse numricamente al convertirlas en un sistema equivalente de ecuaciones algebraicas simultneas.

Antecedentes

Una matriz consiste en un arreglo rectangular de elementos representado por un solo smbolo. Un conjunto horizontal de elementos se llama un rengln (o fila); y uno vertical, columna. El primer subndice i siempre designa el nmero del rengln en el cual est el elemento. El segundo subndice j designa la columna.

Matrices

A las matrices en las que n = m se les llama matrices cuadradas. Por ejemplo, una matriz de 4 por 4 es: A la diagonal que contiene los elementos a11, a22, a33, a44 se le llama diagonal principal de la matriz. Las matrices cuadradas resultan particularmente importantes cuando se resuelven sistemas de ecuaciones lineales simultneas. En tales sistemas, el nmero de ecuaciones (que corresponde a los renglones) y el nmero de incgnitas (que corresponde a las columnas) debe ser igual para que sea posible tener una solucin nica.

Operaciones con matrices

La suma de dos matrices, por ejemplo, [A] y [B], se obtiene al sumar los trminos correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz resultante [C] son:

Matrices cuadradas

Matrices cuadradas

Matrices cuadradas

Operaciones con matrices

Producto de dos matrices

El producto de dos matrices se representa como [C] = [A][B], donde los elementos de [C] estn definidos como:

Sistema de ecuaciones lineales

Debe ser claro que las matrices proporcionan una notacin concisa para representar ecuaciones lineales simultneas. donde [A] es la matriz cuadrada n por n de coeficientes {B} es el vector columna n por 1 de las constantes,

Ecuaciones algebraicas lineales

y {X} es el vector columna n por 1 de las incgnitas: las ecuaciones algebraicas lineales simultneas que en general se representan como

Mtodo grfico

Para dos ecuaciones se puede obtener una solucin al graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro a x2. Debido a que en estos sistemas lineales, cada ecuacin se relaciona con una lnea recta, lo cual se ilustra fcilmente mediante las ecuaciones generales En ambas se despeja x2:

Ejercicio

Con el mtodo grfico resuelva La solucin es la interseccin de las dos lneas en x1 = 4 y x2 = 3. Este resultado se verifica al sustituir los valores en las ecuaciones originales para obtener

Errores en el acondicionamiento de ejercicios

Regla de Cramer

La regla de Cramer es otra tcnica de solucin adecuada para un sistema pequeo de ecuaciones. Antes de hacer una descripcin de tal mtodo, se mencionar en forma breve el concepto de determinante que se utiliza en la regla de Cramer. Adems, el determinante tiene relevancia en la evaluacin del mal condicionamiento de una matriz. Esta regla establece que cada incgnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fraccin de dos determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al reemplazar la columna de coeficientes de la incgnita en cuestin por las constantes b1, b2, , bn. Por ejemplo, x1 se calcula como

Ejercicio

Utilice la regla de Cramer para resolver

Solucin

El determinante se puede escribir como:

Los menores son:

Se ocupa para evaluar el determinante

Desventajas

Para ms de tres ecuaciones, la regla de Cramer no resulta prctica, ya que, conforme aumenta el nmero de ecuaciones, los determinantes consumen tiempo al evaluarlos manualmente (o por computadora). Por consiguiente, se usan otras alternativas ms eficientes. Algunas de stas se basan en la ltima tcnica, sin el uso de la computadora, que se analizar en la siguiente seccin: la eliminacin de incgnitas.

Eliminacin de incgnitas

La eliminacin de incgnitas mediante la combinacin de ecuaciones es un mtodo algebraico que se ilustra con un sistema de dos ecuaciones simultneas: La estrategia bsica consiste en multiplicar las ecuaciones por constantes, de tal forma que se elimine una de las incgnitas cuando se combinen las dos ecuaciones. El resultado es una sola ecuacin en la que se puede despejar la incgnita restante. Este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular la otra variable.

Regla de Cramer

Se relacionan con la regla de Cramer

Regla de Cramer

La eliminacin de incgnitas se puede extender a sistemas con ms de tres ecuaciones. Sin embargo, los mltiples clculos que se requieren para sistemas ms grandes hacen que el mtodo sea extremadamente tedioso para realizarse a mano. El procedimiento se puede resumir de la siguiente forma: 1. Las ecuaciones se manipularon para eliminar una de las incgnitas de las ecuaciones. El resultado de este paso de eliminacin fue el de una sola ecuacin con una incgnita. 2. En consecuencia, esta ecuacin se pudo resolver directamente y el resultado sustituirse atrs en una de las ecuaciones originales para encontrar la incgnita restante.

Eliminacin de Gauss simple

El mtodo est ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones:

Eliminacin hacia adelante de incgnitas

La primera fase consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El paso inicial ser eliminar la primera incgnita, x1, desde la segunda hasta la n-sima ecuacin. Para ello, se multiplica la ecuacin anterior por a21/a11 para obtener Ahora, esta ecuacin se resta para dar

Eliminacin hacia adelante de incgnitas

Eliminacin hacia adelante de incgnitas

El procedimiento se repite despus con las ecuaciones restantes. Por ejemplo, la ecuacin (9.12a) se puede multiplicar por a31/a11 y el resultado se resta de la tercera ecuacin. Se repite el procedimiento con las ecuaciones restantes y da como resultado el siguiente sistema modificado:

Eliminacin hacia adelante de incgnitas

En los pasos anteriores, la ecuacin base se llama la ecuacin pivote, y a11 se denomina el coeficiente o elemento pivote. Observe que el proceso de multiplicacin del primer rengln por a21/a11 es equivalente a dividirla entre a11 y multiplicarla por a21. Algunas veces la operacin de divisin es referida a la normalizacin. Se hace esta distincin porque un elemento pivote cero llega a interferir con la normalizacin al causar una divisin entre cero.

Sustitucin hacia atras

El ciclo externo mueve hacia abajo de la matriz el rengln pivote. El siguiente ciclo mueve hacia abajo el rengln pivote a cada rengln subsecuente, donde la eliminacin se llevar a cabo. Finalmente, el ciclo ms interno avanza a travs de las columnas para eliminar o transformar los elementos de un rengln determinado. Este resultado se puede sustituir hacia atrs en la (n 1)sima ecuacin y despegar xn 1. El procedimiento, que se repite para evaluar las x restantes, se representa mediante la frmula:

Eliminacin de Gauss simple

Emplee la eliminacin de Gauss para resolver

Solucin

La primera parte del procedimiento es la eliminacin hacia adelante. Se multiplica la fila de la matriz por (0.1)/3 y se resta el resultado de la ecuacin anterior para obtener: Luego de efectuar estas operaciones, el sistema de ecuaciones es:

Solucin

Para completar la eliminacin hacia adelante, x2 debe eliminarse de la ecuacin. Para llevar a cabo esto, se multiplica por 0.190000/7.00333 y se resta el resultado de la ecuacin. Esto elimina x2 de la tercera ecuacin y reduce el sistema a una forma triangular superior: