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Solucion de cuarticas y la cuarta dimension
Fernando Barrera [email protected]
Universidad Autonoma del Estado de Hidalgo
Seminario de Investigacion, Maestrıa en Ciencias enMatematicas y su Didactica
Fernando Barrera Mora [email protected] Soluci on de cu articas y la cuarta dimensi on
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INTRODUCCION
“Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensi on, era eleterno tema de mi profesor de fısica, a quien yo detestabacon toda mi alma. Las razones de mi odio: esterepugnante individuo jam as se daba cuanta de mi belleza,y de mi condici on de mujer. Por m as que haya ensayadoposes de vedette con escotes generosos, este hombredirectamente me ignoraba. S olo existıa para el durante losexamenes, cuando con una refinada crueldad, indagabasobre f ormulas y par ametros que, por supuesto, yoignoraba.... Como para no tenerle fastidio, si era casado.”(http://www.lilysullos.com.ar/tesser.htm)
Las raıces de las cu articas existen y se expresan conradicales; la cuarta dimensi on . . . existe, y serepresenta de varias formas.Las cuadr aticas y cubicas se resuelven usando unbinomio.¿Las cu articas tambi en?
Fernando Barrera Mora [email protected] Soluci on de cu articas y la cuarta dimensi on
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INTRODUCCION
“Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensi on, era eleterno tema de mi profesor de fısica, a quien yo detestabacon toda mi alma. Las razones de mi odio: esterepugnante individuo jam as se daba cuanta de mi belleza,y de mi condici on de mujer. Por m as que haya ensayadoposes de vedette con escotes generosos, este hombredirectamente me ignoraba. Solo existıa para el durante losexamenes, cuando con una refinada crueldad, indagabasobre f ormulas y par ametros que, por supuesto, yoignoraba.... Como para no tenerle fastidio, si era casado.”(http://www.lilysullos.com.ar/tesser.htm)
Las raıces de las cu articas existen y se expresan conradicales; la cuarta dimensi on . . . existe, y serepresenta de varias formas.Las cuadr aticas y cubicas se resuelven usando unbinomio.¿Las cu articas tambi en?
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INTRODUCCION
“Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensi on, era eleterno tema de mi profesor de fısica, a quien yo detestabacon toda mi alma. Las razones de mi odio: esterepugnante individuo jam as se daba cuanta de mi belleza,y de mi condici on de mujer. Por m as que haya ensayadoposes de vedette con escotes generosos, este hombredirectamente me ignoraba. S olo existıa para el durante losexamenes, cuando con una refinada crueldad, indagabasobre f ormulas y par ametros que, por supuesto, yoignoraba.... Como para no tenerle fastidio, si era casado.”(http://www.lilysullos.com.ar/tesser.htm)
Las raıces de las cu articas existen y se expresan conradicales; la cuarta dimensi on . . . existe, y serepresenta de varias formas.Las cuadr aticas y cubicas se resuelven usando unbinomio.¿Las cu articas tambi en?
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INTRODUCCION
“Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensi on, era eleterno tema de mi profesor de fısica, a quien yo detestabacon toda mi alma. Las razones de mi odio: esterepugnante individuo jam as se daba cuanta de mi belleza,y de mi condici on de mujer. Por m as que haya ensayadoposes de vedette con escotes generosos, este hombredirectamente me ignoraba. Solo existıa para el durante losexamenes, cuando con una refinada crueldad, indagabasobre f ormulas y par ametros que, por supuesto, yoignoraba.... Como para no tenerle fastidio, si era casado.”(http://www.lilysullos.com.ar/tesser.htm)
Las raıces de las cu articas existen y se expresan conradicales; la cuarta dimensi on . . . existe, y serepresenta de varias formas.Las cuadr aticas y cubicas se resuelven usando unbinomio.¿Las cu articas tambi en?
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INTRODUCCION
“Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensi on, era eleterno tema de mi profesor de fısica, a quien yo detestabacon toda mi alma. Las razones de mi odio: esterepugnante individuo jam as se daba cuanta de mi belleza,y de mi condici on de mujer. Por m as que haya ensayadoposes de vedette con escotes generosos, este hombredirectamente me ignoraba. S olo existıa para el durante losexamenes, cuando con una refinada crueldad, indagabasobre f ormulas y par ametros que, por supuesto, yoignoraba.... Como para no tenerle fastidio, si era casado.”(http://www.lilysullos.com.ar/tesser.htm)
Las raıces de las cu articas existen y se expresan conradicales; la cuarta dimensi on . . . existe, y serepresenta de varias formas.Las cuadr aticas y cubicas se resuelven usando unbinomio.¿Las cu articas tambi en?
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“Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensi on, era eleterno tema de mi profesor de fısica, a quien yo detestabacon toda mi alma. Las razones de mi odio: esterepugnante individuo jam as se daba cuanta de mi belleza,y de mi condici on de mujer. Por m as que haya ensayadoposes de vedette con escotes generosos, este hombredirectamente me ignoraba. S olo existıa para el durante losexamenes, cuando con una refinada crueldad, indagabasobre f ormulas y par ametros que, por supuesto, yoignoraba.... Como para no tenerle fastidio, si era casado.”(http://www.lilysullos.com.ar/tesser.htm)
Las raıces de las cu articas existen y se expresan conradicales; la cuarta dimensi on . . . existe, y serepresenta de varias formas.Las cuadr aticas y cubicas se resuelven usando unbinomio.¿Las cu articas tambi en?
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“Eso de abrir puertas hacia la cuarta dimensi on, era eleterno tema de mi profesor de fısica, a quien yo detestabacon toda mi alma. Las razones de mi odio: esterepugnante individuo jam as se daba cuanta de mi belleza,y de mi condici on de mujer. Por m as que haya ensayadoposes de vedette con escotes generosos, este hombredirectamente me ignoraba. S olo existıa para el durante losexamenes, cuando con una refinada crueldad, indagabasobre f ormulas y par ametros que, por supuesto, yoignoraba.... Como para no tenerle fastidio, si era casado.”(http://www.lilysullos.com.ar/tesser.htm)
Las raıces de las cu articas existen y se expresan conradicales; la cuarta dimensi on . . . existe, y serepresenta de varias formas.Las cuadr aticas y cubicas se resuelven usando unbinomio.¿Las cu articas tambi en?
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Las raıces de las cu articas existen y se expresan conradicales; la cuarta dimensi on . . . existe, y serepresenta de varias formas.Las cuadr aticas y cubicas se resuelven usando unbinomio.¿Las cu articas tambi en?
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CONTENIDO DE LA CHARLA
Cuadraticas, cubicas y el binomio de Newton
Cuarticas y la cuarta dimension
Transformaciones de Tschirnhausen y la quıntica general
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CONTENIDO DE LA CHARLA
Cuadraticas, cubicas y el binomio de Newton
Cuarticas y la cuarta dimension
Transformaciones de Tschirnhausen y la quıntica general
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CONTENIDO DE LA CHARLA
Cuadraticas, cubicas y el binomio de Newton
Cuarticas y la cuarta dimension
Transformaciones de Tschirnhausen y la quıntica general
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CONTENIDO DE LA CHARLA
Cuadraticas, cubicas y el binomio de Newton
Cuarticas y la cuarta dimension
Transformaciones de Tschirnhausen y la quıntica general
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SOLUCION DE CUADRATICAS
1 t2 = ((t − u) + u)2 = (t − u)2 + 2(t − u)u + u2,
2 t2 − u2 = (t − u)2 + 2(t − u)u (∗). Haciendo:3 x = (t − u),
4 c = t2 − u2, y
5 b = 2u, la Ecuacion (∗) se transforma en c = x2 + bx6
x =−b ±
√b2 + 4c
2,
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SOLUCION DE CUADRATICAS
u t−u
1 t2 = ((t − u) + u)2 = (t − u)2 + 2(t − u)u + u2,
2 t2 − u2 = (t − u)2 + 2(t − u)u (∗). Haciendo:3 x = (t − u),
4 c = t2 − u2, y
5 b = 2u, la Ecuacion (∗) se transforma en c = x2 + bx6
x =−b ±
√b2 + 4c
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SOLUCION DE CUADRATICAS
u t−u
1 t2 = ((t − u) + u)2 = (t − u)2 + 2(t − u)u + u2,
2 t2 − u2 = (t − u)2 + 2(t − u)u (∗). Haciendo:3 x = (t − u),
4 c = t2 − u2, y
5 b = 2u, la Ecuacion (∗) se transforma en c = x2 + bx6
x =−b ±
√b2 + 4c
2,
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SOLUCION DE CUADRATICAS
u t−u
1 t2 = ((t − u) + u)2 = (t − u)2 + 2(t − u)u + u2,
2 t2 − u2 = (t − u)2 + 2(t − u)u (∗). Haciendo:3 x = (t − u),
4 c = t2 − u2, y
5 b = 2u, la Ecuacion (∗) se transforma en c = x2 + bx6
x =−b ±
√b2 + 4c
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SOLUCION DE CUADRATICAS
u t−u
1 t2 = ((t − u) + u)2 = (t − u)2 + 2(t − u)u + u2,
2 t2 − u2 = (t − u)2 + 2(t − u)u (∗). Haciendo:3 x = (t − u),
4 c = t2 − u2, y
5 b = 2u, la Ecuacion (∗) se transforma en c = x2 + bx6
x =−b ±
√b2 + 4c
2,
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SOLUCION DE CUADRATICAS
u t−u
1 t2 = ((t − u) + u)2 = (t − u)2 + 2(t − u)u + u2,
2 t2 − u2 = (t − u)2 + 2(t − u)u (∗). Haciendo:3 x = (t − u),
4 c = t2 − u2, y
5 b = 2u, la Ecuacion (∗) se transforma en c = x2 + bx6
x =−b ±
√b2 + 4c
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SOLUCION DE CUADRATICAS
u t−u
1 t2 = ((t − u) + u)2 = (t − u)2 + 2(t − u)u + u2,
2 t2 − u2 = (t − u)2 + 2(t − u)u (∗). Haciendo:3 x = (t − u),
4 c = t2 − u2, y
5 b = 2u, la Ecuacion (∗) se transforma en c = x2 + bx6
x =−b ±
√b2 + 4c
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SOLUCION DE CUADRATICAS
u t−u
1 t2 = ((t − u) + u)2 = (t − u)2 + 2(t − u)u + u2,
2 t2 − u2 = (t − u)2 + 2(t − u)u (∗). Haciendo:3 x = (t − u),
4 c = t2 − u2, y
5 b = 2u, la Ecuacion (∗) se transforma en c = x2 + bx6
x =−b ±
√b2 + 4c
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SOLUCION DE CUBICAS
1 t3 = ((t −u)+ u)3 = (t −u)3 + 3(t −u)2u + 3(t −u)u2 + u3,
2
t3 − u3 = (t − u)3 + 3(t − u)2u + 3(t − u)u2
= (t − u)3 + [3(t − u)u + 3u2](t − u)
= (t − u)3 + 3tu(t − u).
(1)
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SOLUCION DE CUBICAS
t−u u
t
u
t−u u
t−u
1 t3 = ((t −u)+ u)3 = (t −u)3 + 3(t −u)2u + 3(t −u)u2 + u3,
2
t3 − u3 = (t − u)3 + 3(t − u)2u + 3(t − u)u2
= (t − u)3 + [3(t − u)u + 3u2](t − u)
= (t − u)3 + 3tu(t − u).
(1)
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SOLUCION DE CUBICAS
t−u u
t
u
t−u u
t−u
1 t3 = ((t −u)+ u)3 = (t −u)3 + 3(t −u)2u + 3(t −u)u2 + u3,
2
t3 − u3 = (t − u)3 + 3(t − u)2u + 3(t − u)u2
= (t − u)3 + [3(t − u)u + 3u2](t − u)
= (t − u)3 + 3tu(t − u).
(1)
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SOLUCION DE CUBICAS
t−u u
t
u
t−u u
t−u
1 t3 = ((t −u)+ u)3 = (t −u)3 + 3(t −u)2u + 3(t −u)u2 + u3,
2
t3 − u3 = (t − u)3 + 3(t − u)2u + 3(t − u)u2
= (t − u)3 + [3(t − u)u + 3u2](t − u)
= (t − u)3 + 3tu(t − u).
(1)
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SOLUCION DE CUBICAS
Haciendo:1 t3 − u3 = q,
2 3tu = p, y3 x = (t − u), la Ecuacion 1 se transforma en4 q = x3 + px5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t3u3 = p3, por lo
que t3 −p3
27t3 = q
6
t3 =q2±
√
q2
4+
p3
27, (2)
u3 = −q2±
√
q2
4+
p3
27. (3)
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SOLUCION DE CUBICAS
Haciendo:1 t3 − u3 = q,
2 3tu = p, y3 x = (t − u), la Ecuacion 1 se transforma en4 q = x3 + px5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t3u3 = p3, por lo
que t3 −p3
27t3 = q
6
t3 =q2±
√
q2
4+
p3
27, (2)
u3 = −q2±
√
q2
4+
p3
27. (3)
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SOLUCION DE CUBICAS
Haciendo:1 t3 − u3 = q,
2 3tu = p, y3 x = (t − u), la Ecuacion 1 se transforma en4 q = x3 + px5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t3u3 = p3, por lo
que t3 −p3
27t3 = q
6
t3 =q2±
√
q2
4+
p3
27, (2)
u3 = −q2±
√
q2
4+
p3
27. (3)
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SOLUCION DE CUBICAS
Haciendo:1 t3 − u3 = q,
2 3tu = p, y3 x = (t − u), la Ecuacion 1 se transforma en4 q = x3 + px5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t3u3 = p3, por lo
que t3 −p3
27t3 = q
6
t3 =q2±
√
q2
4+
p3
27, (2)
u3 = −q2±
√
q2
4+
p3
27. (3)
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SOLUCION DE CUBICAS
Haciendo:1 t3 − u3 = q,
2 3tu = p, y3 x = (t − u), la Ecuacion 1 se transforma en4 q = x3 + px5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t3u3 = p3, por lo
que t3 −p3
27t3 = q
6
t3 =q2±
√
q2
4+
p3
27, (2)
u3 = −q2±
√
q2
4+
p3
27. (3)
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SOLUCION DE CUBICAS
Haciendo:1 t3 − u3 = q,
2 3tu = p, y3 x = (t − u), la Ecuacion 1 se transforma en4 q = x3 + px5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t3u3 = p3, por lo
que t3 −p3
27t3 = q
6
t3 =q2±
√
q2
4+
p3
27, (2)
u3 = −q2±
√
q2
4+
p3
27. (3)
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SOLUCION DE CUBICAS
Haciendo:1 t3 − u3 = q,
2 3tu = p, y3 x = (t − u), la Ecuacion 1 se transforma en4 q = x3 + px5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t3u3 = p3, por lo
que t3 −p3
27t3 = q
6
t3 =q2±
√
q2
4+
p3
27, (2)
u3 = −q2±
√
q2
4+
p3
27. (3)
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SOLUCION DE CUBICAS
Haciendo:1 t3 − u3 = q,
2 3tu = p, y3 x = (t − u), la Ecuacion 1 se transforma en4 q = x3 + px5 De las ecuaciones anteriores se tiene 27t3u3 = p3, por lo
que t3 −p3
27t3 = q
6
t3 =q2±
√
q2
4+
p3
27, (2)
u3 = −q2±
√
q2
4+
p3
27. (3)
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SOLUCION DE CUARTICAS Y LA CUARTA DIMENSI ON
1 ¿Se pueden usar las mismas ideas para resolver lascuarticas generales?
2 ¿Como representar geometricamente el cubo dedimension cuatro?
3 ¿Que interpretacion geometrica tiene el desarrollar unbinomio a la cuarta potencia?
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SOLUCION DE CUARTICAS Y LA CUARTA DIMENSI ON
1 ¿Se pueden usar las mismas ideas para resolver lascuarticas generales?
2 ¿Como representar geometricamente el cubo dedimension cuatro?
3 ¿Que interpretacion geometrica tiene el desarrollar unbinomio a la cuarta potencia?
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SOLUCION DE CUARTICAS Y LA CUARTA DIMENSI ON
1 ¿Se pueden usar las mismas ideas para resolver lascuarticas generales?
2 ¿Como representar geometricamente el cubo dedimension cuatro?
3 ¿Que interpretacion geometrica tiene el desarrollar unbinomio a la cuarta potencia?
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SOLUCION DE CUARTICAS Y LA CUARTA DIMENSI ON
1 ¿Se pueden usar las mismas ideas para resolver lascuarticas generales?
2 ¿Como representar geometricamente el cubo dedimension cuatro?
3 ¿Que interpretacion geometrica tiene el desarrollar unbinomio a la cuarta potencia?
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“CARAS” DE UN POLIGONO
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“CARAS” DE UN POLIGONO
DIMENSIÓN 1 ; DOS CARAS
DIMENSIÓN 3; SEIS CARAS
DIMENSIÓN 2; CUATRO CARAS
DIMENSIÓN 4; OCHO CARAS
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CUBO DE DIMENSION CUATRO O TESSERACT
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CUBO DE DIMENSION CUATRO O TESSERACT
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CUBO DE DIMENSION CUATRO O TESSERACT
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CUBO DE DIMENSION CUATRO O TESSERACT
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DISCUSION DE LA CUARTICA
1
t4 = ((t − u) + u)4
= (t − u)4 + 4(t − u)3u + 6(t − u)2u2 + 4(t − u)u3 + u4,
(4)
2
t4 − u4 = (t − u)4 + 4(t − u)3u + 6(t − u)2u2 + 4(t − u)u3
= (t − u)4 + [4(t − u)u + 6u2](t − u)2 + 4(t − u)u3
= (t − u)4 + [4tu + 2u2](t − u)2 + 4(t − u)u3.
(5)
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DISCUSION DE LA CUARTICA
1
t4 = ((t − u) + u)4
= (t − u)4 + 4(t − u)3u + 6(t − u)2u2 + 4(t − u)u3 + u4,
(4)
2
t4 − u4 = (t − u)4 + 4(t − u)3u + 6(t − u)2u2 + 4(t − u)u3
= (t − u)4 + [4(t − u)u + 6u2](t − u)2 + 4(t − u)u3
= (t − u)4 + [4tu + 2u2](t − u)2 + 4(t − u)u3.
(5)
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DISCUSION DE LA CUARTICA
1
t4 = ((t − u) + u)4
= (t − u)4 + 4(t − u)3u + 6(t − u)2u2 + 4(t − u)u3 + u4,
(4)
2
t4 − u4 = (t − u)4 + 4(t − u)3u + 6(t − u)2u2 + 4(t − u)u3
= (t − u)4 + [4(t − u)u + 6u2](t − u)2 + 4(t − u)u3
= (t − u)4 + [4tu + 2u2](t − u)2 + 4(t − u)u3.
(5)
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DISCUSION DE LA CUARTICA
1 Interpretaci on geom etrica : el tesseract de lado t sepuede dividir en dos tesseracts de lados t − u y u, mas 14hiperparalelepıpedos de los cuales cuatro compartencaras con el tesseract de lado t − u, otros cuatrocomparten caras con el tesseract de lado u y los seisrestantes tienen “aristas” en comun con los tesseracts delados t − u y u.
2 Haciendo x = t − u, q = t4 − u4, p = 4ut + 2u2 y r = 4u3,la Ecuacion 5 se puede escribir como x4 + px2 + rx = q, lacual puede ser resuelta conociendo los valores de t y u.
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DISCUSION DE LA CUARTICA
1 Interpretaci on geom etrica : el tesseract de lado t sepuede dividir en dos tesseracts de lados t − u y u, mas 14hiperparalelepıpedos de los cuales cuatro compartencaras con el tesseract de lado t − u, otros cuatrocomparten caras con el tesseract de lado u y los seisrestantes tienen “aristas” en comun con los tesseracts delados t − u y u.
2 Haciendo x = t − u, q = t4 − u4, p = 4ut + 2u2 y r = 4u3,la Ecuacion 5 se puede escribir como x4 + px2 + rx = q, lacual puede ser resuelta conociendo los valores de t y u.
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DISCUSION DE LA CUARTICA
1 Interpretaci on geom etrica : el tesseract de lado t sepuede dividir en dos tesseracts de lados t − u y u, mas 14hiperparalelepıpedos de los cuales cuatro compartencaras con el tesseract de lado t − u, otros cuatrocomparten caras con el tesseract de lado u y los seisrestantes tienen “aristas” en comun con los tesseracts delados t − u y u.
2 Haciendo x = t − u, q = t4 − u4, p = 4ut + 2u2 y r = 4u3,la Ecuacion 5 se puede escribir como x4 + px2 + rx = q, lacual puede ser resuelta conociendo los valores de t y u.
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TRANSFORMACIONES DETSCHIRHAUSEN Y LA
QUINTICA GENERAL
1 Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651- 1708)2 xn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 → yn+bn−2yn−2+· · ·+b1y+b0
3 x5 + a4x4 + · · · + a1x + a0 → y5 + py + q
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TRANSFORMACIONES DETSCHIRHAUSEN Y LA
QUINTICA GENERAL
1 Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651- 1708)2 xn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 → yn+bn−2yn−2+· · ·+b1y+b0
3 x5 + a4x4 + · · · + a1x + a0 → y5 + py + q
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TRANSFORMACIONES DETSCHIRHAUSEN Y LA
QUINTICA GENERAL
1 Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651- 1708)2 xn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 → yn+bn−2yn−2+· · ·+b1y+b0
3 x5 + a4x4 + · · · + a1x + a0 → y5 + py + q
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TRANSFORMACIONES DETSCHIRHAUSEN Y LA
QUINTICA GENERAL
1 Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651- 1708)2 xn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 → yn+bn−2yn−2+· · ·+b1y+b0
3 x5 + a4x4 + · · · + a1x + a0 → y5 + py + q
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