Matemticas II Septiembre 2008

Problema 2.1. Dados los planos pi1: x + y + z = 3 y pi2: x + y z = 0, se pide calcular razonadamente: a) El valor de para que los planos pi1 y pi2 sean perpendiculares y, para este valor de , obtener las ecuaciones paramtricas de la recta interseccin de estos dos planos. (1,5 puntos). b) El valor de para que los planos pi1 y pi2 sean paralelos y, para este valor de , obtener la distancia entre los dos planos pi1 y pi2 . (1,8 puntos).

Solucin: a) Valor de / pi1 pi2

Sea

pin un vector ortogonal al plano pi, entonces

2121 pipipipi nnsi

),1,1()1,1,1(21

pipi ==

nyn

Para que

21 pipi

nn debe ser 021

=

pipi nn

(1, 1, 1) (1, 1, ) = 0 1 + 1 = 0 2 = 0 = 2

Para = 2, ecuaciones paramtricas de 21 pipi I

La ecuacin de la recta r ser:

=+

=++

023

:zyx

zyxr

Para obtener la ecuacin paramtrica de la recta basta con resolver el sistema de ecuaciones que define a la recta. En el sistema anterior podemos calcular el siguiente menor de orden 2 no nulo 312

2111

==

por lo que podemos tomar como incgnitas principales: y, z. El sistema a resolver ser:

=

=+

xzyxzy

23

Resolvindolo por Cramer,

133

31

31

2336

326

32

13

=

+=

=

=

+=

++=

=

xxx

x

y

xxxxx

x

x

Por lo que las ecuaciones paramtricas de r sern:

=

=

=

12

z

yx

b) Valor de / pi1 y pi2 sean paralelos. 21 pipi y son paralelos si

21// pipi nn

Deber ser:

( )21 ,111

11

11

pipi

dcalcularPara =

=

==

Para este valor de , pi1: x + y + z = 3 y pi2: x + y + z = 0 Como pi1 // pi2 , d (pi1 , pi2 ) = d ( P1, pi2 ) siendo P1 un punto de pi1, por ejemplo, para x = 0 e y = 0, sustituyendo en la ecuacin de pi1, 0 + 0 + z = 3 z = 3, por lo que P1( 0, 0, 3 )

( ) 33

333

3111

300,

22221===

++

++=piPd