SOLUCIÓN NUMÉRICA DE

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

EN ESTE TEMA VAMOS A DESARROLLAR UNA SERIE DE

MÉTODOS PARA DETERMINAR LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

DE ECUACIONES LINEALES.

UNA ECUACIÓN LINEAL ES AQUELLA QUE SE COMPONE POR

UNA SERIE DE VARIABLES ELEVADAS A LA PRIMERA

POTENCIA, AFECTADAS DE UN COEFICIENTE.

UN CONJUNTO DE ELLAS SE DENOMINA SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES.

11 1 12 2 13 1 1... n na x a x a a x b

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

...

..........................................................

..........................................................

..........................................................

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

ES UN CONJUNTO ORDENADO DE “n” VALORES QUE SATISFACENSIMULTANEAMENTE A TODAS LAS ECUACIONES DEL SISTEMA.

EN LA SOLUCIÓN SE PUEDEN PRESENTAR TRES CASOS:

A) QUE EL SISTEMA TENGA SOLUCIÓN FINITA ÚNICA, SE LE LLAMACOMPATIBLE DETERMINADO.

B) QUE EL SISTEMA ADMITA MAS DE UNA SOLUCIÓN , ENTONCES SERÁCOMPATIBLE INDETERMINADO.

C) QUE NO TENGA SOLUCIÓN ENTONCES SE DICE QUE ES,INCOMPATIBLE.

PARA CONOCER CUAL ES EL CASO AL QUE CORRESPONDE

UN SISTEMA NOS APOYAMOS EN EL TEOREMA DE ROUCHE-

FROBENIUS, NOS DICE:

1) LA CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE UN

SISTEMA SEA COMPATIBLE ES QUE EL RANGO DE LA

MATRIZ DEL SISTEMA Y EL RANGO DE LA MATRIZ AMPLIADA

SEAN IGUALES.

2) SIENDO POSIBLE EL SISTEMA, SERÁ DETERMINADO, SI EL

RANGO DE LA MATRIZ Y LA MATRIZ AMPLIADA SEAN

IGUALES A “n” NÚMERO DE INCOGNITAS, EN CASO

CONTRARIO EL SISTEMA ES INDETERMINADO Y ACEPTA

MUCHAS SOLUCIONES.

LA TÉCNICA FUNDAMENTAL PARA

ENCONTRAR LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

ES EL DE LA ELIMINACIÓN Y DICHO

PROCESO CONSISTE EN TRANSFORMAR EL

SISTEMA ORIGINAL EN SISTEMAS

EQUIVALENTES APLICANDO LAS TRES

OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE LOS

RENGLONES DEL SISTEMA.

1) INTERCAMBIAR DOS ECUACIONES (solo cambia elsigno del valor del determinante)

2) MULTIPLICAR UNA ECUACIÓN DEL SISTEMA PORUN ESCALAR DIFERENTE DE CERO.

3) MULTIPLICAR UNA ECUACIÓN POR UN ESCALARDIFERENTE DE CERO Y SUMAR EL RESULTADO AOTRA ECUACIÓN DEL SISTEMA.(combinación linealde ecuaciones)

EL SISTEMA RESULTANTE TIENE LA MISMASOLUCIÓN QUE EL ORIGINAL.

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN.

(Método de eliminación completa)

CONSISTE EN LA APLICACIÓN REITERADA DE LAS

OPERACIONES SOBRE LOS RENGLÓNES DE UNA

MATRIZ, PARA OBTENER SISTEMAS

EQUIVALENTES AL ORIGINAL, DE TAL FORMA DE

ENCONTRAR UN SISTEMA CON UNA SOLO

INCOGNITA EN CADA ECUACIÓN.

LOS PASOS A SEGUIR SON LOS SIGUIENTES:

1) SE REPRESENTA EL SISTEMA CON LA MATRIZ AMPLIADA

2) SE SELECCIONA UN ELEMENTO LLAMADO “PIVOTE” DE LA

MATRIZ DE COEFICIENTES, SI ÉSTE ES EL MAYOR EN VALOR

ABSOLUTO SE DICE QUE SE MINIMIZAN LOS ERRORES POR

REDONDEO.

3) SE NORMALIZA EL RENGLÓN DEL PIVOTE SELECCIONADO,

DIVIDIENDO TODOS LOS ELEMENTOS ENTRE EL PIVOTE.

4) CON UNA COMBINACIÓN DE ECUACIONES SE HACEN CERO LOS

ELEMENTOS DE LA COLUMNA DEL PIVOTE.

5) LA SOLUCIÓN AL SISTEMA SE OBTIENE CUANDO SE ENCUENTRA

UN SISTEMA EQUIVALENTE REPRESENTADO POR LA MATRIZ

IDENTIDAD, QUEDANDO LA SOLUCIÓN EN EL LUGAR DEL VECTOR

DE TÉRMINOS INDEPENDIENTES.

6) SI A LA MATRIZ DE COEFICIENTES SE AGREGA UNA MATRIZ

IDENTIDAD DEL MISMO ORDEN QUE LA MATRIZ DE COEFICIENTES,

AL APLICAR EL MÉTODO SE OBTIENE LA MATRIZ INVERSA, QUE

ENTRE OTRAS UTILIDADES NOS SIRVE PARA RESOLVER EL

SISTEMA CUANDO SOLO CAMBIA EL VECTOR DE TÉRMINOS

INDEPENDIENTES.

7) EL PRODUCTO DE LOS PIVOTES NOS PROPORCIONA EL VALOR DEL

DETERMINATE AFECTADO DE UN SIGNO MAS/MENOS

DEPENDIENDO DEL NÚMERO DE CAMBIOS DE RENGLÓN

Ejercicio 1.

Resuelva por Gauss-Jordan, con cuatro cifras decimales

correctas con redondeo.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 0

3 2 15

3 3 1

X X X

X X X

X X X

MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU.

MÉTODO DE CHOLENSKY.

ES UNA MODIFICACIÓN DEL MÉTODO DE ELIMINACIÓN Y ES MUY

USADO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES POR MEDIO

DE LA COMPUTADORA POR LA FACILIDAD QUE TIENE EN EL POCO

USO DE MEMORIA.

CONSISTE BASICAMENTE EN LA DESCOMPOSICIÓN DE LA MATRIZ

DE COEFICIENTES “A” EN DOS MATRICES “L” Y “U” EN DONDE “L”

ES UNA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Y “U” ES UNA MATRIZ

TRIANGULAR SUPERIOR Y ESTA ÚLTIMA TIENE LA

CARACTERÍSTICA DE QUE SOLO CONTIENE UNOS EN SU

DIAGONAL PRINCIPAL.

A L U

= *

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

nnnnn llll

lll

ll

l

321

333231

2221

11

0

00

000

1000

100

10

1

3

223

112

n

n

n

u

uu

uu

SI SE OBTIENE EL PRODUCTO DE LOS

RENGLONES DE L POR LA PRIMERA

COLUMNA DE U SE TENDRÁ.

DE DONDE SE CONCLUYE QUE LA PRIMERA

COLUMNA DE L ES LA MISMA QUE LA

PRIMERA DE LA MATRIZ A.

)1(;; 1121211111 nn alalal

SI SE MULTIPLICA EL PRIMER RENGLÓN DE L PORLAS COLUMNAS DE U SE TIENE:

LO QUE NOS DETERMINAEL PRIMER RENGLÓN DEU , QUE ES EL PRIMER RENGLÓN DE ANORMALIZADO.

ESTE MÉTODO ALTERNA LA OBTENCIÓN DE:PRIMERO UNA COLUMNA DE L Y SEGUNDO UNRENGLÓN DE U.

)2(;;

*;*;*

11

11

11

1313

11

1212

1111131311121211

l

au

l

au

l

au

aulaulaul

nn

nn

EN GENERAL LOS COEFICIENTES DE L Y U

ESTAN DADOS POR LAS SIGUIENTES

ECUACIONES:

nj

jil

ula

u

ni

ijulal

ii

i

k

kjikij

ij

j

k

kjikijij

,,3,2

,,3,2,1

1

1

1

1

LA SOLUCIÓN AL SISTEMA DE ECUACIONES

EN CHOLENSKY SE OBTIENE PARA

CUALQUIER VECTOR DE TÉRMINOS

INDEPENDIENTES (SIN NECESIDAD DE

OBTENER LA INVERSA).

LA MATRIZ L ES UN REGISTRO DE LAS

OPERACIONES REQUERIDAS PARA HACER

QUE A SE TRANSFORME EN UNA

TRIANGULAR SUPERIOR U.

EL VECTOR DE TÉRMINOS

INDEPENDIENTES SE TRANSFORMA EN

UN NUEVO VECTOR QUE AL

AUMENTARSE A U, SE ENCUENTRA, POR

SUSTITUCIÓN INVERSA LA SOLUCIÓN AL

SISTEMA.

PARA REDUCIR A SE UTILIZA LA

MISMA TRANSFORMACIÓN QUE EN U Y ES

LA SIGUIENTE:

b

b

b 'b

'b

UN MÉTODO EQUIVALENTE PARA TRANSFORMAR

LU, EN EL QUE L TIENE UNOS EN LA DIAGONAL

PRINCIPAL ES EL LLAMADO MÉTODO DE

DOOLITTE.

nil

blb

b

l

bb

ii

i

k

kiki

i ,,3,2

1

1

'

'

11

1'

1

EXPRESIONES QUE DEFINEN EL MÉTODO:

nil

blb

b

l

bb

ii

i

k

kiki

i ,,3,2

1

1

'

'

11

1'

1

nj

jil

ula

u

ni

ijulal

ii

i

k

kjikij

ij

j

k

kjikijij

,,3,2

,,3,2,1

1

1

1

1

Ejercicio 1.

Resuelva por la transformación LU con tres cifras decimales correctas,considere redondeo.

5942

968

19327

321

321

321

XXX

XXX

XXX

EJERCICIO 2.

Una persona invierte $25,000.00 en 3 diferentes tasas:

8%, 10% y 12%, los intereses totales al cabo de un año

fueron de $2,440.00 y los intereses por las inversiones

al 8% y al 12 % fueron iguales. ¿Cuánto invirtió en cada

tasa?

Resuelva por la transformación LU, con tres cifras

decimales correctas, considere redondeo.