solución de problemas de programación lineal en enteros

TRABAJO DE DIPLOMA

Solución de Problemas deProgramación Lineal en Enteros

usando varias técnicas de Optimización.

Autor: Rubén Pérez Armas.

Tutor: MSc. Gonzalo J. Palencia Fernández.

2008

“Año 50 de la Revolución”

FACULTAD

MATEMATICA – FISICA - COMPUTACION

Hago constar que el presente trabajo fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu”de Las Villas como parte de la culminación de los estudios de la especialidad de Licenciaturaen Matemáticas, autorizando a que el mismo sea utilizado por la institución , para los finesque estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá serpresentado en eventos ni publicado sin la autorización de la Universidad.

_____________________Firma del autor

Los abajo firmantes, certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdos dela dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajode esta envergadura referido a la temática señalada.

________________ _________________________ Firma del tutor Firma del jefe del Seminario

i

Pensamiento

“Educar es depositar en cada hombre toda la obra humana que le ha

antecedido: es hacer a cada hombre re sumen del mundo viviente, hasta

el día en que vive: es ponerlo a nivel de su tiempo, para que flote en él,

y no dejarlo debajo de su tiempo, con lo que no podrá salir a flote; es

preparar al hombre para la vida.

José Martí Pérez

Nueva York, noviembre 1883.

ii

Dedicatoria

Dedico mi tesis a mis padres y familia.

Y a esta gran obra por la que cada día debemos ser mejores, “La Revolución”.

iii

Agradecimientos

Me gustaría expresar mi mayor agradecimiento por haber llegado a este momento tan especial

como es la culminación de mi tesis, a mis padres Rubén Pérez Ayo y Jenny Armas Margado por

darme su apoyo minuto a minuto y compartir conmigo comprendiendo y analizando cada

dificultad y cada problema con amor y dedicación y haciendo hasta lo imposible por ver mis

sueños hecho realidad, siempre con la fe puesta en m í de terminar con éxitos, junto a ustedes

incluyo también a mi hermana. Y por todo esto que aunque es poco lo que yo pueda expresar les

doy de todo corazón las gracias.

A mi novia, Grey Izquierdo Moreno, que a lo largo de estos años de estudio compartió conmigo

los momentos buenos y difíciles, logrando en mi el placer de admirarla.

Agradecer: palabra que encierra gratitud, reconocimiento, satisfacción, gusto, plac er es esto y

quizás más el merecido significado que deseo expresar para definir el trabajo realizado por

Gonzalo J. Palencia.

Por haber aceptado incondicionalmente mi solicitud para la tutoría de mi tesis de graduación

Por haber empleado el tan preciado tiempo del que dispone.

Por los días de incertidumbre y llegar hasta el desvelo.

Por su paciencia y comprensión.

Por la confianza depositada en m í desde el primer momento para realizar mi proyecto con gran

profundidad.

Por llegar al final con el espíritu de haber realizado un trabajo de grandes.

Y le digo con el mayor respeto, sinceridad y admiración: ha ganado usted un amigo.

Por todo esto y de corazón le doy las gracias...

A los profesores de Estadística, por ayudarme en los momentos en que fui con ellos, a pedir

aclaraciones de dudas que me fueron surgiendo a lo largo de la elaboración y análisis estadísticos

en mi proyecto.

Agradecimientos

iv

Agradezco y con especial reconocimiento también a Marisela profesora que me impartió por

primera vez la asignatura de op timización y me motivó a interesarme con profundidad en esta

rama de las Matemáticas.

A Yoandy Castillo Sánchez.

A Rangel Roque Fundora.

A Miguel Angel Estela Rodriguez.

A. Dayron Hernández Pérez .

Y a todos mis amigos, que mi mayor deseo es poderlos men cionar a todos, pero no terminaría

ni alcanzaría esta hoja. Para mí, la amistad y la unión en la que pude disfrutar en estos años, me

ha servido de gran impulso y estímulo para llegar al final.

Y por todo lo dejado escrito les doy las gracias por ha ber dejado compartir mi vida con todos

ustedes y esperando que este trabajo pueda servirle a muchos en un futuro.

v

Resumen

Éste documento investiga una de las técnicas novedosas en la programación en enteros, el método

de Ramificación y Acotación comb inado con los cortes de Gomory y Chvatal -Gomory

(Ramificación y Corte). A través del programa Programación Lineal en Enteros v.1.0 y del

programa SPSS v.11.0 se lleva a cabo la implementación y comparación de las distintas

alternativas empleadas en el m étodo de Ramificación y Corte para problemas con pequeña

dimensión (máximo 8 variables y 5 restricciones), utilizando los cortes anteriormente

mencionados y aplicados cada 1, 2, 0 -1, 1-0 niveles del árbol. El principio básico del Método de

Ramificación y Corte es igual al del método de Ramificación y Acotación, se utilizan las mejores

estrategias para la selección de la variable y los nodos a ramificar. Se incluyen además los

Métodos de los Planos Cortantes de Gomory y el de los Planos Cortantes de Chvata l-Gomory.

Además se hace una comparación co n el software Mathematica v.6.0 para validar los resultados

obtenidos. Un total de 12 estrategias fueron analizadas para la resolución de problemas de

programación lineal en enteros.

vi

Abstract

This document investigates one of the novel techniques in the integer programming, the Method

of Branch and Bound combined with the cuts of Gomory and Chvatal -Gomory (Branch and Cut).

Through the program Programaci ón Lineal en Enteros v.1.0 and of the program SPSS v.11.0 is

carried out the implementation and comparison of the different alternatives employees in the

method of Branch and Cut for problems with small dimension (maximum 8 variables and 5

restrictions), using the previously mentioned and applied cuts each 1, 2, 0-1, 1-0 levels of the tree.

The basic principle of the Method of Branch and Cut is similar to that of the method of Branch

and Bound, the best strategies are used for the selection of the variable and the nodes to ramify.

They are also included the Method s of the Sharp Planes of Gomory and that of the Sharp Planes

of Chvatal-Gomory. A comparison is also made with the software Mathematica v.6.0 to validate

the obtained results. A total of 12 strategies were analyzed for the resolution of problems of

integer lineal programming.

vii

Índice

PENSAMIENTO ................................ ................................ ................................ ................................ ........................... I

DEDICATORIA ................................ ................................ ................................ ................................ .......................... II

AGRADECIMIENTOS ................................ ................................ ................................ ................................ .............III

RESUMEN ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ... V

ABSTRACT ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ VI

ÍNDICE ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..... VII

1. INTRODUCCIÓN ................................ ................................ ................................ ................................ .................... 2

2. MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN ENTEROS ................................ ................................ ........... 6

2.1 NOTACIONES Y DEFINICIONES ................................ ................................ ................................ .............................. 62.2 RAMIFICACIÓN ................................ ................................ ................................ ................................ ..................... 82.3 MÉTODO DE RAMIFICACIÓN Y ACOTACIÓN ................................ ................................ ................................ .......... 9

2.3.1 Selección de las variables a ramificar ................................ ................................ ................................ ....... 112.3.2 Selección de los nodos a ramificar ................................ ................................ ................................ ............ 122.3.3 Búsqueda de una soluc ión inicial factible................................ ................................ ................................ .. 142.3.4 Aspectos del Algoritmo ................................ ................................ ................................ .............................. 152.3.5 Algoritmo general de Ramificación y Acotación ................................ ................................ ....................... 15

2.4 MÉTODO DE PLANOS CORTANTES DE GOMORY ................................ ................................ ................................ .. 162.4.1 Algoritmo de Planos Cortantes de Gomory ................................ ................................ ............................... 18

2.5 CORTES DE CHVATAL - GOMORY ................................ ................................ ................................ ....................... 192.5.1 Separación de un problema para F CG ................................ ................................ ................................ ........ 202.5.2 Algoritmo de Cortes de Chvatal -Gomory ................................ ................................ ................................ .. 21

2.6 RAMIFICACIÓN Y CORTES ................................ ................................ ................................ ................................ ... 212.6.1 Esquema General del Algoritmo de Ramificación y Corte ................................ ................................ ........ 23

3. PRUEBAS NUMÉRICAS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS ................................ ................................ ............ 25

3.1 ESTRATEGIAS UTILIZADAS ................................ ................................ ................................ ................................ . 253.2 DESCRIPCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE PRUEBA ................................ ................................ ................................ ... 263.3 DETALLES DE LA IMPLEMENTACIÓN ................................ ................................ ................................ ................... 273.4 EJEMPLO DESDE EL MATHEMATICA ................................ ................................ ................................ .................... 313.5 ANÁLISIS ESTADÍSTICO................................ ................................ ................................ ................................ ....... 34

3.5.1 Descriptivo ................................ ................................ ................................ ................................ ................. 343.5.2 Exploratorio ................................ ................................ ................................ ................................ ............... 373.5.3 No Paramétrico ................................ ................................ ................................ ................................ .......... 39

3.6 CONCLUSIONES................................ ................................ ................................ ................................ ................... 41

CONCLUSIONES ................................ ................................ ................................ ................................ ...................... 42

RECOMENDACIONES ................................ ................................ ................................ ................................ ............ 43

BIBLIOGRAFÍA ................................ ................................ ................................ ................................ ........................ 44

APÉNDICE A. TABLAS ................................ ................................ ................................ ................................ ........... 48

A.1 PROBLEMAS DE PRUEBA ................................ ................................ ................................ ................................ .... 49A.2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO. ................................ ................................ ................................ ................................ .... 62A.3 NOTACIÓN ................................ ................................ ................................ ................................ ........................ 65

1

1. Introducción

oy en día, la optimización se ha convertido en práctica habitual en las ciencias, las

ingenierías y los servicios. En Estadística son comunes los términos “máxima

probabilidad o mínimos cuadrados”; en el c ampo de los negocios es frecuente

encontrar términos como “máximo beneficio, mínimo costo o aprovechamiento máximo de los

recursos”. Aunque muchos de los aspectos básicos de la Optimización se desarrollaron en los

siglos XVIII y XIX con los trabajos de Lag range o Euler el verdadero desarrollo de la

Programación Matemática (PM) comienza con los trabajos de Kantorovich y Dantzig en los años

40. Sin embargo, no es hasta la revolución informática de los años 70, cuando apoyados en el

poder de cálculo de los ordenadores, la PM comienza a ser una herramienta ampliamente

utilizada en muchas aplicaciones. Los problemas de Optimización se pueden clasif icar en

problemas que involucran variables continuas solamente o en problemas con variables continuas

y discretas (o solamente discretas). En muchos problemas prácticos, las variables de decisión

sólo tienen un sentido real si su valor es entero. Por ejemplo, con frecuencia es necesario asignar

personas, máquinas, vehículos a las actividades , en cantidades enteras. El hecho de exigir valores

enteros es la única diferencia respecto a un problema de Programación L ineal (PL), entonces se

trata de un problema de Programación en Enteros (PE). El Modelo Matemático para PE es

sencillamente el modelo de PL con la restricción adicional de que las variables deben tener

valores enteros.

Un Problema de Programación Lineal en Enteros (PLE) está dado por:

mmxnnnT ZbZAbAxZxSsaZcxcxf ,,:,, (1.1)

Capítulo

1H

Capítulo 1. Introducción

2

En una forma más Standard un PLE se escribe:

n

T

Zxx

bAx

xc

,0

min

(1.2)

En forma de sumatoria un PLE se escribe:

Zxx

mibxa

xc

jj

ijij

n

j

jj

n

i

,0

,...,1,

min

1

1

(1.3)

Igual que en el caso de los PL las restricciones pueden aparecer con signo de , o de y en

forma similar, usando variables de holgura o superplus, se pueden llevar a la forma Standard.

Una generalización de los PLE son los Pro blemas Lineales Mixtos (PLM), donde solamente

algunas de las variables, deben satisfacer la restricción de ser enteras. Estos problemas pueden

escribirse:

0,

min

21

21

vZx

bvAxA

vcxc

n

(1.4)

Puede parecer que los problemas de PE son relativamente fáciles de resolver. Después de todo,

los problemas de PL se pueden resolver de una manera bastante eficiente, y la única diferencia es

que la PE tiene muchas menos solucione s que considerar. De hecho, está garantizado que los

problemas de PE pura con una región factible acotada tienen sólo un número finito de soluciones


3

factibles, pero éste número suele ser lo suficientemente grande (en un problema binario con n

variables el número de soluciones factibles a estudiar es 2 n) como para que resulte imposible su

comparación. Entonces, cada vez que n aumenta en 1, el número de soluciones se duplica. Este

patrón se llama el crecimiento exponencial de la dificultad del problema. Con 10n , se tienen

más de 1000 soluciones (1024); con 20n , son más de un 106; con 30n resultan más de mil

millones, y así sucesivamente; por eso, hasta las computadoras más eficie ntes son incapaces de

realizar una enumeración exhaustiva (que verifique la factibilidad de cada solución y si es

posible, que calcule el valor de la función objetivo) para Problemas Enteros Binarios (PEB) con

unas cuantas docenas de variables, sin mencion ar los problemas de PE en general con el mismo

número de variables enteras.

Los métodos más populares para resolver (1.1) fundamentalmente están basados en los métodos

de Ramificación y Acotamiento (B & B del inglés Branch and Bound ) y sus variantes, donde cada

subproblema lineal se resuelve utilizando cualquier método de PL (Simplex, Simplex -Revisado,

Método de Punto Interior, etc...). Este método consiste en una enumeración del árbol en el cual el

espacio de variables enteras se divide de forma sucesiva dando a lugar a subproblemas lineales

que se resuelven en cada nodo del árbol . Para la elección del nodo a ramificar se utilizan reglas

heurísticas (búsqueda en profundidad, búsqueda en anchura, etc…) que serán expuestas en el

Capítulo 2. Otra variante que existe para resolver (1.1) es el Método de los Planos Cortantes de

Gomory [Gomory, ´59], que se basa en la introducción de nuevas restricciones al problema

Relajado, hasta lograr que la solución óptima del nuevo problema sea entera. El mismo tiene una

desventaja: podemos realizar hasta 1000 iteraciones y no llegar al óptimo, es por eso que

acudimos a la aplicación de otros métodos de la PE.

El desarrollo de dos técnicas importantes ha contribuido a mitigar el crecimiento exponencial en

la solución de problemas de PLE Mixtos. El desarrollo de técnicas de pre -procesamiento y la

introducción de Planos Cortantes. El pre -procesamiento se basa en la utilización de eliminación

automática de variables y restricciones, reformulación de restricciones, fijar a pri ori algunas

variables enteras. Los Planos Cortantes son restricciones extra añadidas al problema, bien en el

nodo inicial o dentro de la enumeración, que tiene el efecto de reducir la región factible del

problema. Dos artículos reportan la aparición del al goritmo de Ramificación y Corte [Grötschel,

Holland, ’91], [Padberg, Rinaldi, ’91]. Los últimos desarrollos en la PE Mixta incluyen los

métodos de Ramificación y Precio (Branch and Price ) [Liberti, ´06] y Ramificación y Corte


4

(Branch and Cut, [Balas´93]); [Rinaldi, ´91]; [Jünger, ’95]; [Caprara and Fischetti, ’97];

[Fischetti, Lodi, ’05]; [Grossmann, Caballero, ’07]; etc... Se reporta en la bibliografía actualizada

que la aplicación de Métodos híbridos, o sea, Ramificación y Acotación combinado con los

Planos Cortantes de Gomory (Branch and Cut) proporciona mejoras de pre -procesado y aumento

en la velocidad de los ordenadores. Esta demostrado por Eisenbrand, F . que la separación de un

problema aplicando el corte Chvatal-Gomory es NP-Hard [Eisenbrand, ‘99]. En los últimos años

ha despertado un gran interés la aplicación de métodos híbridos en la Optimización para acelerar

su convergencia, es por eso que en nuestro trabajo centraremos nuestra atención en la resolución

de problemas de PLE aplicando el Método de Ramificación y Corte.

Los objetivos de nuestro trabajo son:

Objetivo General:

1. Implementar diferentes algoritmos que permiten resolver PLE usando el lenguaje del

paquete Mathematica.

Objetivos Específicos:

1. Implementar el algoritmo de Ramificación y Aco tación, Planos Cortantes de Gomory,

Planos Cortantes de Chvatal -Gomory y diferentes variantes de Ramificación y Corte en

lenguaje del paquete Matemática.

2. Realizar experimentos numéricos para verificar la efectividad de la implementación.

3. Realizar un análisis estadístico de las pruebas numéricas realizadas.

El presente trabajo consta de tres Capítulos:

Capítulo 1: En la Introducción se ofrece un estado de arte hasta la actualidad de los diferentes

métodos que existen para resolver problemas de PLE.

Capítulo 2: Se introducen las diferentes notaciones y definiciones que se utilizan en nuestro

trabajo. También se expone una idea básica de los fundamentos teóricos de diferentes algoritmos


5

que permiten resolver PLE (Ramificación y Acotación, Planos Cortan tes de Gomory, Planos

Cortantes de Chvatal-Gomory y el de Ramificación y Corte).

Capítulo 3: Se proponen 11 estrategias que involucran los métodos descritos en el capítulo

anterior, se suman a estas el método implementado en el paquete Mathematica ; realizándose las

corridas a los problemas de prueba y llevándose a cabo un análisis estadístico.

6

2. Métodos de Programación Lineal en Enteros

n este capítulo centraremos nuestra atención en exponer la idea básica de diferentes

algoritmos que permiten resolver problemas de PLE y algunos aspectos teóricos

relacionados con los algoritmos. Específicamente, uno de los primeros métodos que

surgió para resolver los problemas de PLE es el Método de Planos Cortantes de Gomory

[Gomory, ’63], después apareció el Método de Ramificación y Acotación, más conocido por su

nombre en inglés Branch and Bound , recibe su nombre precisamente por las dos técnicas en las

que basa su desarrollo, que son la Ramificación y la Acotación, y por último, la combinación de

los dos métodos anteriores, que se inscribió en la literatura como el Método de Ramificación y

Corte (Branch and Cut). Se introducirán las diferentes Notaciones y Definiciones que serán

utilizadas en el transcurso de nuestro trabajo.

2.1 Notaciones y Definiciones

Consideremos el siguiente problema de PLE, lo denotemos por (P)

n

T

Zxx

bAx

xc

,0

:sa

min

(P),

Donde nm c,b),,( nmMA y la relajación del problema (P ) lo denotemos por (RP)

que tiene la siguiente forma:

Capítulo

2E

Capítulo 2. Métodos de Programación Lineal en Enteros

7

0

:sa

min

x

bAx

xcT

(RP)

Denotemos por : nRP

nP SbAxZxS al conjunto formado por todas las

soluciones factibles de (P) que tienen coordenadas en entero y a bAxxS nRP : al

conjunto formado por todas las soluciones factibles de (RP).

Consideremos los dos problemas de Optimización siguientes:

P1:

nTx

:sa

)(min xcxz TRP

P2:

Sx

:sa

)(min xcxz TP

, donde S T

Definición 1 (Relajación de un Problema)

El problema de PL que se obtiene al eliminar en un PLE las condiciones de integridad , es

conocido como la relajación del PLE. En general el problema, se dice que P1 es una Relajación

para P2.

Definición 2 (Inecuación Válida (del inglés “Valid Inequalities”))

Dado un conjunto nX , una “Inecuación” o “restricción” 0 xt con n , 0 es

válida paranX , si y 0

t xXxxX , o sea, si se satisface en todos los

puntos factibles (enteros).

Lema. (Caracterización de las “ Inecuaciones Válidas”)

Consideremos el siguiente problema

X x:

)(min

sa

xf, donde by Z1 yX .

Entonces la “Inecuación” by es válida para X .

Definición 3 (Separación de un problema)


8

Dado cualquier punto RPSx * y F una familia de inecuaciones válidas para PS , Separación de

un problema es buscar una inecuación válida de F que se viole en *x ( x 0*t ) o

demostrar que no existe.

Definición 4 (Nivel de un vértice).

Sea G un árbol binario y v, w vértices del árbol.

El nivel del vértice v es la longitud del camino simple de la raíz de G a v.

Notas:

1. Un árbol binario es aquel cuyo vértice tiene a lo más 2 hijos.

2. Un camino simple es el camino de v a w sin vértices repetidos.

Haremos mención a algunos términos que se utilizan en el á rbol de enumeración, o sea, éste

árbol nos permite describir el proceso de cálculo aplicando el Método de Ramificación y

Acotación y sus variantes para la resolución de un PLE.

2.2 Ramificación

Vértice cancelado: cuando no tiene sentido hacer una separac ión a partir de él (no más

exploración).

Vértice vivo: no es cancelado y todavía no se ha hecho una separación a partir de el

(puede seguirse explorando)

Ramificar: significa seleccionar un vértice vivo para cancelarlo o separarlo.

Vértices vivos y cancelados son las hojas del árbol.

Expondremos a continuación los fundamentos teóricos en los cuales se basan los diferentes

métodos que permiten resolver problemas de PLE. Los métodos m ás usados parten de la

Relajación del problema.

Idea: sustituir el problema entero original por un problema más sencillo, que pueda ser resuelto

más fácilmente, por tanto; que pueda ser utilizado para obtener cotas.


9

Las más usada es la Relajación Lineal que consiste en eliminar la condición de que las variables

tomen valores enteros (condiciones de integridad) . Si los puntos extremos del problema tuvieran

coordenadas en enteros, pues no hubiera problema, entonces ¿por qué no obtener una envoltura

convexa? Es demasiado costoso. Por eso acudimos a otras herramientas matemáticas que nos

permiten resolver PLE, en el cual Ralph Gomory es el Díos en la PLE.

2.3 Método de Ramificación y Acotación

El método de Ramificación y Acotación ha evolucionado gracias a la contribución de muchos

investigadores, entre ellos los primeros que incursionaron éste tema fueron Land and Doig [Land

and Doig, ´60]. Este consiste en una búsqueda sistemática de soluciones continuas en las cuales

las variables enteras están forzadas a tomar valores enteros [Gupta, Ravindran, ´85], la estructura

lógica del conjunto solución son los árboles.

Inicialmente se resuelve el problema de PL relajado. Si todas las variables enteras toman valores

enteros, entonces se ha llegado a una solución entera factible para el problema (1 .1) ó (P).

Usualmente variables enteras toman valores no enteros, entonces se selecciona n una de estas

variables ix con valores ix~ y se ramifica [Gupta, Ravindran, ´85]. La ramificación genera dos

nuevos subproblemas de PL y las siguientes cotas para cada uno, o sea, a partir de RPS los dos

nuevos subproblemas se generan de la siguiente manera:

x~ x: x jj1 SS

1x~ x: x jj2 SS

Uno de estos dos nuevos subproblemas es escogido para ser resuelto. Si alguna de las variab les

enteras toma valores no enteros se vuelve a repetir el proceso anterior hasta encontrar una

solución factible entera. Si una de las siguientes reglas se satisface, entonces no se requiere

ramificación, el nodo correspondiente a sido explorado al máximo (tanteado) y puede ser

abandonado [Leyffer, ’98].


10

R1) Si un nodo no factible es detectado, el subárbol completo que comienza con este nodo es no

factible y el nodo es tanteado.

R2) Un nodo entero factible es detectado. Esto provee una cota superior, la ramificación no es

posible y el nodo será tanteado.

R3) La solución del nodo es mayor o igual que la cota superior actual, en este caso el nodo es

podado y una vez que esto ocurre el algoritmo hace Backtracking a otro nodo el cual no haya sido

explorado, hasta que todos los nodos se exploren o se haya llegado al umbral especificado.

Una vez que un nodo sea explorado el algoritmo hace un Backtracking hacia otro nodo que no

haya sido explorado. La estrategia de búsqueda que se usa es primero en profundidad para elegir

los subproblemas, hasta que una solución entera es encontrada. La búsqueda puede detenerse

cuando el árbol sea completamente explorado o hasta un Umbral especificado para no tener que

explorar el árbol completo, lo cual mejora considerablemen te la eficiencia del algoritmo, ya que

para problemas de grandes dimensiones sería muy costoso tener que explorar el árbol completo,

mientras que con un Umbral la búsqueda se hace mucho más eficiente.

En adición a los datos del problema y al árbol que des cribe el proceso de Ramificación y

Acotación, el algoritmo utiliza la variable:

Ub: Cota superior. Este es el valor de la función objetivo para la mejor solución entera

conocida. Es inicializada Ub = para un problema de minimización.

La eficiencia del método de Ramificación y Acotación frecuentemente depende de las

reglas usadas para seleccionar las variables a ramificar y los nodos a ramificar.

Un nodo generalmente almacena la cota superior y el correspondiente valor de la

función objetivo.

El procedimiento de ramificar y resolver una secuencia de problemas continuos se

procede hasta que una solución entera de uno de dichos problemas es encontrada.


11

Cuando obtenemos una de estas soluciones factibles enteras, el correspondiente v alor

de la función objetivo se convierte en una cota superior. Esto posibilita que en futuras

consideraciones podamos podar todos los nodos cuyos valores de la función objetivo

son mayores que la cota superior.

Cuando se encuentra una solución factible entera, y el valor de la función objetivo es

menor que la cota superior, este se convierte en la nueva cota superior.

2.3.1 Selección de las variables a ramificar

Existen diversos criterios para escoger la variable que se va a ramificar, a continuación h aremos

alusión a tres de ellos que son los más utilizados.

1. Menor índice primero: Cada variable entera es organizada en orden de importancia, la

más importante se comienza primero a procesar. Esto se puede lograr indexando las

variables con una prioridad en orden decreciente y seleccionando la variable con menor

índice primero.

2. Variables enteras más fraccionarias : Esta estrategia selecciona la variable que esté

más lejos de su valor entero más cercano.

3. Uso de Pseudos-Costos: Los Pseudos-Costos son usados como una medida cuantitativa

de la importancia de la variable entera, lo cual permite que se le asigne cierta prioridad

a las variables. Para cada variable entera jx se definen las siguientes cantidades: jpcl

llamado lower pseudos-cost y jpcu llamado upper pseudos-cost, estos valores son

computados durante la búsqueda de la siguiente forma:

jpcl =( Lf - Kf ) /*jx

Suponiendo que en el nodo K la variable jx es seleccionada para ser ramificada:

*jx : Denota la parte fraccionaria del valor de la variable jx .


12

Kf : Denota el valor de la función objetivo en el nodo K.

Lf : Denota el valor de la función objetivo cuando el problema continuo es

resuelto con la restricción adicional jx [ jx ].

jpcu = ( Uf - Kf ) / (1-*jx )

Uf : Denota el valor de la función objetivo cuando el problema continuo es

resuelto con la restricción adicional jx [ jx ]+1.

Estos pseudos-costos pueden ser interpretados como el deterioro del valor funcional por unidad

de cambio de la variable jx , donde jpcl corresponde al decrecimiento de jx y jpcu

corresponde al incremento de la variable jx .

Esta estrategia es invocada de la siguiente manera:

1. Calcular jpcl y jpcu para todas las variables enteras siempre que sea posible.

2. Calcular jV = [ jpcl*jx , jpcu (1-

*jx )].

3. Seleccionar la variable jx para la cual jV es máximo.

2.3.2 Selección de los nodos a ramificar

Para la selección de los nodos a ramificar existen diversos criterios, haremos alusión a tres de

ellos:

Ramificar por el nodo con menor cota : El nodo que tiene la menor cota es seleccionado a

ramificar por el. Lawler and Wood (1966) argumentaron que para cualquier problema dado el

conjunto de nuevos problemas acotados es únicamente determinado, entonces esta estrategia

tiene la ventaja que la cantidad total de cálculos es minimizada, en el sentido de que cualquier


13

operación de ramificación ejecutada bajo esta estrategia, también puede ser ejecutada bajo

cualquier otra estrategia. Estrategia conocida como búsqueda de anchura.

Ramificar por el nodo más nuevo: A los nodos correspondientes al nuevo problema le son

asignadas preferencia sobre el resto de los nodos seleccionados para ramificar. Esta estrategia

también es conocida como depth (profundidad), back -track (volver atrás) o last -in-first-out

(último en entrar primero en salir). Esta estrategia tiene la ventaja que economiza memoria y es

relativamente fácil de implementar.

Uso de estimación: Esta estrategia considera solo el valor de la función objetivo y no tiene en

cuenta lo “cualitativo” de las so luciones óptimas continuas. Para ilustrar el concepto de

“cualitativo” consideremos el siguiente ejemplo de tres variables:

)1(x = (1.3, 2.4, 5.1) , 1z =10.5

)2(x = (1.0, 3.0, 5.1) , 2z =10.6

Acorde con el esquema de selección de la cota inferior, se preferiría mejor el nodo 1 y no el

nodo 2. Sin embargo tal selección no parece ser la más apropiada ya que la solución 2 está más

cercana a una solución entera. Si selecc ionamos el nodo 2 este podrá ser explorado en la

próxima iteración, mientras que si seleccionamos el nodo 1 requeriremos un gran número de

iteraciones antes de que este pueda ser explorado.

Para evitar esto es que se utiliza este nuevo concepto llamado estimación, que utiliza pseudos-

costos. Dado un nodo K, la cantidad llamada estimación del nodo K y denotada por kE se

calcula de la siguiente manera:

kE = Kf +

m

jjV

1

kE es en cierto sentido un estimado del valor de la función objetivo, de la mejor solución

entera, que puede ser esperado para el descendiente del nodo K.


14

Esta estrategia debe ser invocada de la siguiente manera:

1. Computar la estimación de todos los nodos no explorados.

2. Seleccionar el nodo con menor valor de la estimación.

2.3.3 Búsqueda de una solución inicial factible

Para la búsqueda de esta solución inicial se han propuesto diversas heurísticas, aquí haremos

referencia a una de ellas.

Heurística A:

Tenemos que nxxxx ,...,, 21 es la solución de un nodo no explorado y p representa el

número de variables enteras que asumen valores no enteros en esta solución.

En esta heurística se llevan a cabo los siguient es pasos:

1. Seleccionar el nodo para el cual el orden de no factibilidad es mínimo. Seleccionar la

variable jx , para ramificar acorde a las reglas especificadas. Para este nodo, el número

de variables enteras ya deben tener valores enter os. Estas variables están fijas a sus

correspondientes valores enteros mientras se ramifica. Así, no tienen permitido cambiar

sus valores en ninguno de los dos subproblemas. La idea es decrementar el número de

variables enteras con valores no enteros y a sí se arriba a soluciones con un bajo orden

de no factibilidad.

2. Si el subproblema de cota superior con restricción jx [ jx ] es “continuo factible” , se

fija la variable jx a [ jx ] en todas las subsecuencias descendientes del nodo.

Similarmente si el subproblema con la restricción de cota inferior jx [ jx ]+1 es

“continuo factible”, se fija la variable jx a [ jx ]+1 en todas las subsecuencias

descendientes del nodo.


15

Si después de resolver los dos subproblemas una solución entera factible es obtenida, nos

detenemos, de otra forma se retorna al paso 1.

Heurística B:

Esta Heurística se aplica a problemas de Programación no lineal en Enteros y por tanto no es de

nuestro interés.

2.3.4 Aspectos del Algoritmo

Después de haber abordado brevemente la teoría de Ramificación y Acotación, vamos a

formalizar qué criterios seguiremos para implementar nuestro algoritmo que resuelve problemas

de PLE.

En los artículos consultados, para realizar esta tesis, se prueba mediante experimentos numéricos,

en los cuales se hacía una comparación con respecto a la optimalidad y rendimiento del algo ritmo

de Ramificación y Acotación usando las distintas estrategias expuestas anteriormente, que los

mejores resultados se obtuvieron con las siguientes heurísticas:

Para la ramificación de los nodos el criterio con el cual se obtuvieron los mejores

resultados y el cual nosotros elegimos para realizar la implementación del algoritmo de

Ramificación y Acotación es: Ramificar por el nodo con menor cota , y para la

ramificación de las variables elegimos el criterio: Variables enteras más fraccionarias .

Con respecto a la elección del umbral consideramos que debía ser 50 nodos a generar ya que en

los experimentos numéricos los resultados arrojaron que el promedio de nodos generados es de 6,

además de los requerimientos de memoria y procesamiento se harían críti cos con un umbral muy

grande.

2.3.5 Algoritmo general de Ramificación y Acotación


16

Sea PLE un problema de Programación Lineal Entera de minimización y PL su relajación lineal.

Los pasos del algoritmo de Ramificación y Acotación ( Branch and Bound) para resolver el PLE

son los siguientes:

Paso 1. Cota Superior: z . Subproblemas pendientes: L = {PL}.

Paso 2. Mientras L :

a) Tomar PL i de L y resolverlo.

b) Sí PL i es no factible, eliminarlo.

c) Sí PL i es factible, y su solución óptima es entera:

Actualizar z , *x y eliminar PL i.

d) Sí PL i es factible y su solución óptima no es entera:

Sí su valor óptimo es superior a z , eliminar PL i.

Si no,

Escoger una variable con valor no entero y ramificar

(Añadir a L los subproblemas correspondientes.)

Paso 3. Sí z , el problema es no factible; en caso contrario, *x es la solución óptima.

2.4 Método de Planos Cortantes de Gomory


17

Expondremos la idea general de este método y consideremos el problema (P) y

particionemos la matriz del sistema de restricciones de la forma siguiente:

][ DBA y las variables de decisión

D

B

x

xx , donde la matriz es de dimensión

B ),( mmM y se le llama matriz básica y a la matriz D ),( mnmM se le denomina

matriz no básica. Análogamente tenemos los vectores básicos mBx y a los vectores

mnDx se le denominan vectores no básicos. Sustituyendo estas notaciones en el

problema mencionado y expresando las variables básicas en función de las no básicas (por

coordenadas) obtenemos:

j

n

mjijiB xyyx

i1

0 (2.1)

Donde la matriz ),(*}{ 1 mnmMDByY ij y 0iy son los términos

independientes, mi ,...,1 . Precisamente la técnica de Gomory parte (2 .1). También

podemos reescribir (2.1) en forma vectorial de la manera siguiente:

RjjjB xYYx 0 , donde básicasno variablesdeíndicejjR

Tomando la u-ésima fila de (2.1) tendríamos:

RjjUjUBU xYYx 0 (2.2)

Para que el valor de la variable BUx se convierta en entero, es necesario que al menos una de las

variables no básicas asuma un valor positivo y para lograr esto es necesario ampliar el rango de la

matriz con la inclusión de nuevas restricciones a partir de ( 2.2).

Descompongamos (2.2) de la forma siguiente:

RjfY UjUjUj , y RjfY UUU ,000 (2.3)


18

Donde:

0U es el mayor entero menor que 0UY

0Uf es la mantisa que resulta de la diferencia de 0UY y 0U ., 10 0 Uf

Uj es el mayor entero menor o igual que UjY

Ujf es la mantisa que resulta de la diferencia de UjY y Uj ., 10 Ujf

Sustituyendo (2.3) en (2.2) y para cualquier solución entera de ( 2.2), realizando transformaciones

algebraicas obtenemos finalmente la ecuación del Plano Cortante de Gomory [Garfinkel, ´72] que

tiene la forma siguiente:

RjUjUj fxf )()( 0 (2.4)

La ecuación (2.4) es la que se añade al conjunto de restricciones ya modificadas por las

transformaciones elementales realizadas en la iteración óptima y es la que va forzando la solución

a que sea totalmente en enteros.

Utilizando la definición 2, denotemos por

Rj

UjUjG fxfF )()( 0 , le llamaremos corte

de Gomory y es una familia de inecuaciones o restricciones válidas para PS .

2.4.1 Algoritmo de Planos Cortantes de Gomory

Paso 1. (Inicialización). Se resuelve el problema Relajado. Si la solución actual no est á acotada o

es no factible, se detiene el proceso. En caso contrario ir al Paso 2.

Paso 2. (Chequeo de la Solución). Si la solución obtenida cumple con las condiciones de

integridad, se detiene el algoritmo, la solución actual es óptima. En caso contrario, ir al Paso 3.


19

Paso 3. (Generación de un corte). Se construye la ecuación de Planos Cortantes respecto a la

variable que requiere ser entera, añadiendo esta nueva restricción o inecuación válida para PS y

se regresa al Paso 1.

2.5 Cortes de Chvatal - Gomory

Expondremos los pasos a seguir para obtener el Corte de Chvatal -Gomory (del inglés Chvatal –

Gomory Cuts) [Pisinger, ‘07].

Supongamos que estamos en presencia del problema (P) , o sea,

njx

bxabxa

sa

xc

j

m

n

jjmj

n

jjj

n

j

t

,...,1,

,...,

:

max

11

11

1

Paso 1. Tomando una combinación lineal de las restricciones

m

iiij

n

j

m

iiji buxau

11 1 (2.5)

Escribiendo la ecuación (2.5) en forma compacta, obtenemos

bxa j

n

j

1

(2.6)

Paso 2. Como 001

j

n

j

xaax

Expandiendo la ecuación anterior y tomando en cuenta ( 2.5) obtenemos


20

bxa j

n

j

1

Paso 3. Como jjj xax , se cumple entonces que

bxa j

n

j

1

, esta inecuación puede escribirse

n

j

Tj

T buxAu1

y precisamente esta última expresión es la ecuación de Corte Chvatal - Gomory.

Denotemos por

n

j

Tj

TCG buxAuF

1

la ecuación de Corte de Chvatal -Gomory y es una

familia de inecuaciones o restricciones válidas para PS .

2.5.1 Separación de un problema para F CG

Sobre la aplicación de este tipo de corte se h an dedicado muchos trabajos, el modelo que

presentamos fue una variante aplicada en [Fischetti, Lodi ,’ 05].

Haciendo buyAu TT 0 , debe cumplirse que 00* xT , es por eso que en el

modelo se maximiza la expresión 0* xT , y de la literatura se reporta que una de las mejores

variantes es tomando 01.0 .


21

0:,...,1)(

}0{)(,

,...,1,10

}0{)(,10

)(,.

max

**

*

*

00

*

0)(

*

*

j

j

i

j

T

jjT

j

xJjjj

xnjxJdonde

xJjparaentero

miparau

xJjparaf

buf

xJjparaAufas

x

(2.7)

A partir del problema (2.7) podemos decir que existe la separación del problema en el intervalo

especificado o que no existe.

2.5.2 Algoritmo de Cortes de Chvatal -Gomory

Paso1. (Iniciación). Se resuelve el problema original s in restricciones de integridad . Si la solución

no esta acotada o el problema es no factible mensaje indicando la mala formulación, se detiene el

proceso.

Paso2. (Control de la Solución). Si la solución obtenida cumple con las condiciones de

integridad, se detiene dado que esta solución es la óptima. En caso contrario, ir al Paso 3.

Paso3. (Generación de un corte). Se utiliza el modelo (2.7) propuesto anteriormente para lograr

la separación del problema.

Paso 4. (Resolución). Se añade el corte de Chvatal -Gomory obtenido al problema previamente

resuelto, se resuelve el problema res ultante y se continúa con el Paso 2.

2.6 Ramificación y Cortes

En la búsqueda por mejorar las técnicas para resolver un PLE nos encontramos con uno de los

métodos avanzados para la resolución de este tipo de problemas, el método de Ramificación y

Corte.


22

Este método se obtiene como resultado de la combinación del método de Ramificación y

Acotación y el método de los Planos Cortantes. La base de estos métodos es la misma utilizada en

el método de Ramificación y Acotación con la diferencia de que en un nivel determinado del

árbol de exploración se aplica un corte válido que reduce el conjunto de solución del problema

relajado que se este analizando en ese momento, y este proceso se repite de manera alternada

hasta encontrar el óptimo. No se ha determinado cad a cuántos niveles, ni que posible corte

introducir, siendo este uno de los principales objetivos de este trabajo. La convergencia es

asegurada por Ramificación y Acotación [Pisinger, ‘07 ].

A continuación se describirán de manera ilustrativa la introducción de un corte cualquiera cada

cierto nivel del árbol o cada cierta combinación de estos (niveles analizados en este trabajo).

Niveles del árbol ,...3,2,1

Nota: Solo se ilustraran los primeros pasos.

Corte añadido cada 1 nivel del árbol.

Nivel donde se añade el corte ,...7,5,3,1

Corte añadido cada 0-1 nivel del árbol.


23

Nivel donde se añade el corte ,...9,8,6,5,3,2,0

Corte añadido cada 1-0 nivel del árbol.

Nivel donde se añade el corte ,...8,7,5,4,2,1

Corte añadido cada 2 niveles del árbol.

Nivel donde se añade el corte ,...8,6,4,2

2.6.1 Esquema General del Algoritmo de Ramificación y Corte

Paso 1. (Comenzar). Resolver el problema como si fuera un problema ordinario de PL

(Relajación de enteros). La solución obtenida se toma como cota máxima y base para el

procedimiento de búsqueda de una solución factible.

Paso 2. (Ramificar). A partir de la solución de PL designar una variable como entera y

seleccionar, a partir de los posibles valores e nteros que pueda tomar, una rama para investigarla.


24

Paso 3. (Limitar). Encontrar un límite para el problema definido por la rama seleccionada. El

límite esta dado por el valor de la mejor solución factible de enteros encontrada hasta el

momento, y domina a todos los otros posibles resultados de otra rama.

Paso 4. (Comparar). Comparar la solución obtenida en la rama con el l ímite de referencia vigente.

Si el valor de la solución es menor que el límite vigente, se elimina de consideración toda

la nueva rama. Se continúa con las ramas que no hayan sido evaluadas aún.

Si el valor de la solución es mejor que el límite vigente y si la solución es entera

(factible), entonces se convierte en el nuevo límite de referencia. Se examinan las ramas

que aún no se han considerado en relación al nuevo límite.

Si el valor de la solución es mayor que el límite vigente, pero la solución no es entera

(factible) deben explorarse las ramificaciones de nivel inferior en la misma rama.

Paso 5. (Terminar). Quedarse con la mejor solución factible obtenida una vez examinadas todas

las ramificaciones.

25

3. Pruebas Numéricas y Análisis de Resultados

a estadística es una de las herramientas más potentes para muchos trabajos de

investigación. Cuando nos referimos a un pr oblema donde nos encontramos con datos

experimentales y queremos conocer las causas de é ste comportamiento, predecir el

comportamiento o hacer diversas comparaciones, etc… , la estadística juega un papel importante

para poder resolver dichos enigmas.

En la sección 3.1 detallamos las estrategias utilizadas en nuestro trabajo, describiendo de é sta

forma los problemas de prueba en la sección 3.2. Las distintas tácticas fueron implementadas en

el programa: Programación Lineal en Enteros v.1.0, los detalles de la implementación del

mismo, así como la sintaxis de las p rincipales funciones, se abordarán en la sesión 3.3. Para

comprender el funcionamiento del programa se describirá un ejemplo en la sesión 3.4. En la

sección 3.5 se llevarán a cabo las pruebas estad ísticas necesarias para poder afirmar cuáles de las

estrategias resultan ser las mejores ante la población de problemas pequeños. Para finalizar en la

sección 3.6 se enunciarán las conclusiones de éste capítulo.

3.1 Estrategias Utilizadas

Para obtener respuesta a nuestro trabajo de investigación hemos considerado dos de los más

famosos cortes, como son el corte de Gomory y el corte de Chvatal -Gomory; hemos aplicado los

mismos cada 1, 2, 0-1, 1-0 niveles del árbol, además de compararlos con el método de

Ramificación y Acotación, el método de los Planos Cortantes de Gomory, el método de los

Planos Cortantes de Chvatal -Gomory y con el método implementado por el software mathematica

v.6.0 (Ramificación y Acotación en su función LinearProgramming [Wolfram, ´07]).

Capítulo

3L

Capítulo 3.Pruebas Numéricas y Análisis de Resultados

26

Estas diferentes alternativas para resolver PLE forman un total de 12 estrategias que son

enumeradas de la manera siguiente:

ESTRATEGIAS UTILIZADAS

No. Método Corte Nivel

1 Ramificación y Acotación (math) Ninguno Ninguno

2 Ramificación y Acotación (propio) Ninguno Ninguno

3 Planos Cortantes de Gomory Gomory 0

4 Planos Cortantes de Chvatal -Gomory Chvatal-Gomory 0

5 Ramificación y Cortes Gomory 1

6 Ramificación y Cortes Chvatal-Gomory 1

7 Ramificación y Cortes Gomory 0-1

8 Ramificación y Cortes Chvatal-Gomory 0-1

9 Ramificación y Cortes Gomory 1-0

10 Ramificación y Cortes Chvatal-Gomory 1-0

11 Ramificación y Cortes Gomory 2

12 Ramificación y Cortes Chvatal-Gomory 2

Estructura del análisis:

1. Hacer una comparación de las estrategias implementadas en el software Programación

Lineal en Enteros v.1.0, con el objetivo de determinar cuál o cuáles son las mejores.

2. Hacer una comparación de las mejores con la estrategia número1.

El costo significativo por ejecutar un PLE es el tiempo de solución de computadora. Por

consiguiente decidimos utilizar tiempo de la solución (Tiempo CPU) como el indicador de la

actuación de las estrategias. Además hemos considerado los nodos evaluados como un pa rámetro

de la rapidez con que los métodos se acercan a la solución.

3.2 Descripción de los problemas de Prueba


27

Es de vital importancia para cualquier estudio computacional examinar una amplia gama de

problemas de prueba.

Entre los problemas de prueba disponibles nosotros consideramos problemas pequeños

[Zaychenko, ´84], donde todas las variables son enteras. No tiene ningún propósito considerar

aquellos que no tienen ningún punto entero en su región factible o donde las variables asumen

valores grandes.

Un total de 40 problemas de prueba fueron seleccionados (Tabla 1, Apéndice A.1), entre ellos:

31 de 2 variables, entre los cuales 18, 11 y 2 constan con 2, 3 y 4 restricciones

respectivamente.

5 de 3 variables, entre los cuales 2 y 3 constan con 2 y 4 restricciones respectivamente.

3 de 3 variables con 4 restricciones.

1 de 8 variables y 5 restricciones.

En las Tablas 2...13 del Apéndice A.1 se muestran las 12 estrategias aplicadas a lo s problemas

analizados.

3.3 Detalles de la implementación

En el programa: Programación Lineal en Enteros v.1.0 se utilizaron las distintas alternativas

descritas anteriormente. El mismo se implementó en el paquete Mathematica v.6.0.


28

Los cortes probados en un gran número de problemas fueron: el corte de Gomory y los de

Chvatal-Gomory. El diseño de la función ProgramacionLinealPart1 y ProgramacionLinealPart2

tienen la ventaja de tener implementados los cuatro métodos analizados en este trabajo

(Ramificación y Acotación, Planos Cortantes de Gomory, Planos Cortantes de Chvatal -Gomory,

y Ramificación y Cortes), solo basta con cambiar l as opciones en dependencia del método que se

desee utilizar. El trabajo con los niveles del árbol para aplicar los cortes fue implementado de

manera general dándole la posibilidad al usuario de aplicar los cortes cada un cierto número n de

niveles, así como una combinación de ellos. Los problemas intermedios fueron resueltos por los

métodos Simplex Revisado y Simplex Dual [Castillo, ´02]. La estrategia para la selección de la

variable a ramificar fue Variables enteras más fraccionarias y para la selección del nodo a

ramificar fue Ramificar por el nodo más nuevo .

El programa fue dividido en 2 partes debido a que en la parte 1 se utiliz ó la técnica de la

reoptimización (adicionar el corte a la última tabla simplex) en relación a los cor tes de Gomory,

este análisis no se realizó para el corte de Chvatal -Gomory.


29

Las funciones implementadas en el programa capa ces de resolver cualquier problema en enteros

fueron la función ProgramacionLinealPart1 y ProgramacionLinealPart2.

Sintaxis # 1: )0()0()0()0(0 ,,,,,1Pr UvwuvnbvbLinealPartogramacion

Dado un problema de PLE (problema de minimización) en función de variables básicas y no

básicas la función ProgramacionLinealPart1 resuelve el mismo utilizando el método de

Ramificación y Acotación.

Ejemplo: (Parámetros de la función ProgramacionLinealPart1)

2,1,,0

15301

1742.

4max

21

21

21

ienterox

xx

xxas

xx

i

(3.1)

Cualquier problema de PL es equivalente a un Problema de PL en función de variables básicas y

no básicas, solo basta con hacer un grupo de transformaciones [Castillo, ´02].

El problema (3.1) se puede escribir:

4,3,2,1,,0

30115

4217.

4min

214

213

21

ienterox

xxx

xxxas

xx

i

(3.2)

Donde:

43 , xxvb y 21 , xxvnb

0)0(0 u y 4,1)0( w

15,17)0( v y 3,10,4,2)0( U .


30

Sintaxis # 2: OpcionesUvwuvnbvbLinealPartogramacion ,,,,,,1Pr )0()0()0()0(0

Sintaxis # 3: OpcionesUvwuvnbvbLinealPartogramacion ,,,,,,2Pr )0()0()0()0(0

Opciones de ambas funciones:

Cut: Especifica el tipo de corte empleado.

Level: Especifica cada cuántos niveles o combinación de niveles debe aplicarse dicho

corte.

WorkingPrecision: Especifica cuantos dígitos de precisión deben mantenerse en los

cálculos interiores ( significa que se trabaja con fracciones).

Iteración: Cantidad máxima de iteraciones que se pueden llevar a cabo (en el programa se

implementó un mensaje que nos avisa cuando se llega a esta iteraci ón sin alcanzar el

punto óptimo).

M: Los problemas intermedios son resueltos por e l método Simplex o Simplex-Dual. En el

caso del método Simplex se comienza el proceso iterativo a partir de una solución

básica factible, con este objetivo se utiliza el método de la M Grande [Castillo, ´02],

para lograr que dicha solución sea factible (en caso que no lo sea). El valor de la M

debe ser lo suficientemente grande para que cuando se obtenga la solución factible

inicial el valor de min)1(0 u . En caso que esto no ocurra , el problema no daría la

solución óptima (se implementó un mensaje que nos avisa cuando esto ocurre), solo

basta con aumentar el valor de la M .

Opciones por defecto para ambas funciones:

CutNone

LevelNone

WorkingPrecision

Iteracion100


31

M20

Llamada a los distintos métodos:

1. Método de Ramificación y Acotación.

)0()0()0()0(0 ,,,,,1Pr UvwuvnbvbLinealPartogramacion , utiliza técnica de reoptimización.

)0()0()0()0(0 ,,,,,2Pr UvwuvnbvbLinealPartogramacion , no utiliza técnica de reoptimización.

2. Método de Planos Cortantes de Gomory.

0,"",,,,,,1Pr )0()0()0()0(0 LevelGomoryCutUvwuvnbvbLinealPartogramacion

3. Método de Planos Cortantes de Chvatal -Gomory.

0,"",,,,,,2Pr )0()0()0()0(0 LeveloryChvatalGomCutUvwuvnbvbLinealPartogramacion

4. Método de Ramificación y Cortes.

nLevelGomoryCutUvwuvnbvbLinealPartogramacion ,"",,,,,,1Pr )0()0()0()0(0

,...,"",,,,,,1Pr 1)0()0()0()0(

0 nLevelGomoryCutUvwuvnbvbLinealPartogramacion

Nota: Utiliza cortes de Gomory.

nLevelGomoryCutUvwuvnbvbLinealPartogramacion ,"",,,,,,2Pr )0()0()0()0(0

,...,"",,,,,,2Pr 1)0()0()0()0(

0 nLevelGomoryCutUvwuvnbvbLinealPartogramacion

Nota: Utiliza cortes de Chvatal-Gomory.

3.4 Ejemplo desde el Mathematica

Sea el siguiente Problema de PLE


32

2,1,,0

15301

1742.

4max

21

21

21

ienterox

xx

xxas

xx

i

Nota: La llamada de los problemas se hizo desde un fichero texto.

Ejemplo: (Método de Ramificación y Corte , cada 0-1 niveles de árbol, utilizando el corte de

Gomory).

Paso 1. Escribir en un fichero texto el problema equivalente en función de las variables básicas y

no básicas.

Fichero.txt

0 -1 -4

17 -2 -4

15 -10 -3

Paso 2. Ejecutar el programa: Programación Lineal en Enteros.

Paso 3. Ejecutar la celda donde aparece implementado el código del programa.

Paso 4. Ejecutar

SetDirectory ["Dirección_Fichero"];

Data = ReadList ["Nombre_Fichero.txt", Number, R ecordListsTrue];

Problem =US [Data]

Donde:


33

Dirección_Fichero: Especifica la dirección donde se encuentra el fichero con el problema

que se desea resolver, ejemplo: "C:\\Documents and Settings\\usuario\\Escritorio"

Nombre_Fichero: Especifica el nombre del fichero, ejemplo: Fichero.txt

Aclaración de las 3 funciones utilizadas :

SetDirectory: Crea un directorio nuevo (directorio en el cual se encuentre el fichero

con el problema).

ReadList: Lee los datos del fichero entrado por el usuar io en la dirección creada por el

mismo (salida de los datos en forma de lista)

US: Función implementada en el programa que organiza los datos de forma tal que

estén listos para ser usados en las funciones ProgramacionLinelPart1 y

ProgramacioLinealPart2.

Se tiene entonces:

Problem = {{x3, x4}, {x1, x2}, 0, {-1,-4}, {17,15}, {{-2,-4}, {-10,-3}}}

Paso 5. Ejecutar la función ProgramacionLinealPart1 de la siguiente forma:

1,0,"",Pr1Pr LevelGomoryCutoblemLinealPartogramacion

Salida:

Method: Branch & Cut

Cuts Type: Gomory

Level: {0, 1}

Information of the problem:

Optimo Iteraciones Nodos Evaluados Tiempo CPU (m/s)

{-16,{0,4}} 3 4 0.0150


34

3.5 Análisis Estadístico

El tiempo de solución muchas veces depende de lo siguiente:

1. El particular sistema utilizado para el estudio.

2. El particular programa usado para resolver los problemas.

En nuestro estudio:

1. Los problemas fueron corridos en un Intel Celeron CPU 2.67 GHz, 247 RAM.

2. Se usó el programa Programación Lineal en Enteros v.1.0 implementado en el paquete

Mathematica v.6.0.

Las diferentes pruebas estadísticas fueron ejecutadas en el paquete SPSS v.11.0

Observación: Debido a que observamos que hay problemas donde el tiempo es casi insignificante

(0.×10-5), se reemplazará dicho valor por 0 (tratamiento a los datos perdidos)

3.5.1 Descriptivo

Breve Introducción:

Al analizar datos, lo primero que tenemos que hacer con una variable es, formarse una idea lo

más exacta posible acerca de sus características. Esto se consigue prestando atención a tres

aspectos básicos: tendencia central, dispers ión y forma de la distribución. Ahora bien, las medidas

de tendencia central y de dispersión, los índices y gráficos sobre la forma de la distribución,

resultan más o menos útiles dependiendo del tipo de variable que se intente caracterizar. Con

variables categóricas, por ejemplo, las medidas de tendencia central y de dispersión , carecen de

importancia comparadas con la utilidad de una distribución de frecuencias o un gráfico sobre la

forma de la distribución. Por e l contrario, con variables continuas una distribución de frecuencias

pierde importancia comparada con la capacidad informativa de las medidas de tendencia central y

de dispersión. Por otro lado, los diagramas que informan sobre la forma de una distribución son

diferentes dependiendo de que la vari able estudiada sea categórica o continua.


35

Emplearemos el procedimiento descriptivo ubicado en el menú analizar/estadísticos

descriptivos/descriptivos del SPSS.

Se analizarán un grupo de estadísticos como la media, la asimetría, la curtosis y sus respect ivos

errores tipificados, la varianza, la desviación típica, el menor valor, el mayor valor y los valores

tipificados asociados a cada observación [Bouza, Sistachs , ´04]

Análisis de la Tabla 14 (Apéndice A.2)

Destacar que en la estrategia 7 el mayor tiempo de solución de los problemas fue 0.0470 seg.

Resaltar la rapidez en el tiempo cómputo de las estrategias 7 y 9 con valores promedios por

debajo de 0.03 segundos. Además de la rapidez del grupo formado por las estrategias 5, 11, 3

y 2 que aunque el promedio no supera al anterior es muy bueno con promedios entre 0.03 y

0.04. El error típico de la media nos lleva a concluir que no hay una diferencia significativa

entre las observaciones de cada estrategia, destacando el menor valor en la estrategia 7.

La desviación típica de las estrategias 7, 9, 5, 11, 3 y 2 son muy pequeñas, por debajo del

valor promedio, lo que nos indica que los valores del tiempo para las estrategias anteriormente

mencionadas están muy cercanos a la media.

La varianza de las estrategias 7, 9, 5, 11, 3 y 2 es muy pequeña, ofreciéndonos una idea de

que las estrategias resolvieron todos los problemas en un período de tiempo similar.

Mediante el análisis de los principales estadísticos de distribución (asimetría y curtosis)

llegamos a la conclusión de que la única variable posible a distribuirse normalmente es la

estrategia 7, debido a que el cociente entre el índic e de asimetría y su error típico , y el

cociente entre el índice de curtosis y su error típico son menores en valor absol uto que 1.96,

mientras que las demás estrategias presentan una distribución asimétrica positiva y una

distribución leptocúrtica.


36

Se hizo un análisis de los valores tipificados de cada observación con respecto a las

estrategias y nos llevó a la conclusión de que los datos no seguían ninguna distribución

normal.


Destacar en las estrategias 4, 8, 10, 6 y 7 la mayor cantidad de nodos evaluados, por debajo de

11.

Despuntar el valor promedio de nodos evaluados en las est rategias 4, 8, 10, 6, 7 y 9 por

debajo de 5. El error típico de la media nos lleva a concluir que no hay una diferencia

significativa entre las observaciones de todas las estrategias.

La desviación típica de las estrategias son muy pequeñas, por debajo d el valor promedio, lo

que nos indica que los nodos evaluados para estas estrategias están muy cercanos a la media.

Las menores varianzas las encontramos en las estrategias 4, 8, 10, 6 y 7, podemos decir que la

variabilidad de los nodos evaluados para las estrategias anteriormente mencionadas no varían

significativamente.

Mediante el análisis de los principales estadísticos de distribución (asimetría y curtosis)

llegamos a la conclusión de que la única variable posible a distribuirse normalmente es la

estrategia 7, debido a que el cociente entre el índice de asimetría y su error típico, además del

cociente entre el índice de curtosis y su error típico son menores en valor absoluto que 1.96,

mientras que algunas estrategias presentan una distribución asimét rica positiva y otras una

distribución asimétrica negativa. Además algunas presentan una distribución leptocúrtica y

otras una distribución platicúrtica.

Se hizo un análisis de los valores tipificados de cada observación con respecto a las

estrategias, afirmando que los datos no siguen una distribución normal.

Conclusiones: Análisis Descriptivo


37

De acuerdo al análisis descriptivo desarrollado concluimos esta primera etapa de la manera

siguiente:

Ranking para las estrategias analizadas:

Tiempo CPU Nodos Evaluados

Estrategias Ranking Estrategias Ranking7 1 4 19 2 8 25 3 10 3

11 4 6 43 5 7 52 6 9 66 7 3 7

10 8 5 88 9 12 9

12 10 11 104 11 2 11

De acuerdo al indicador de tiempo analizado para elegir la mejor , podemos separar las que

utilizan el corte de Gomory como mejores .

De acuerdo al indicador de nodos evaluados podemos concluir que todas las estrategias

poseen promedios casi iguales, resaltando la 4 con el menor promedio.

Prestar una atención especial a la estrategia 7 y 9 con datos que demuestran ser las

mejores para los problemas analizados.

No se puede afirmar nada acerca de qué distribuciones siguen las distintas estrategias .

La única posible a distribuirse normal es la 7.

3.5.2 Exploratorio


Independientemente de la complejidad de los datos disponibles y del procedimiento estadístico

que se tenga intención de utilizar, una exploración minuciosa de los dat os previa al inicio de

cualquier análisis posee importantes ventajas que un analista de datos no puede pasar por alto.

Una exploración minuciosa de los datos permite identificar, entre otras cosas: posibles errores

(datos mal introducidos, respuestas mal c odificadas, etc…), valores extremos (valores que se


38

alejan en gran medida del resto), pautas extrañas en los datos (valores que se repiten mucho o

que no aparecen nunca, etc.), variabilidad no esperada (demasiados casos en una de las dos colas

de la distribución, demasiada concentración en torno a determinado valor), etc …

Emplearemos el procedimiento E xplorar, ubicado en el menú analizar/estadísticos

descriptivos/explorar del SPSS.

Analizaremos un grupo de estadísticos como la media truncada (media ari tmética calculada

eliminando el 5 % de los casos con valores más pequeños y el 5 % de los casos con valores más

grandes, con el objetivo de obtener una media menos sensible a la presencia de valores extremos),

la mediana y los percentiles 10, 20, 30,…, 90.

Se aplicará la prueba de Shapiro-Wilk [Shapiro, Wilk, ´65] y el método grafico para comprobar

el supuesto de normalidad.


Al igual que la media (descrita anteriormente), la media recortada nos indica que las

estrategias 7, 9, 5, 11, 2 y 3 poseen un menor promedio de tiempo cómputo .


La media recortada nos indica que las estrategias 4, 7 y 9 po seen un menor promedio de

nodos.

Se analizaron los percentiles anteriormente me ncionados, sin destacar nada nuevo.

Pruebas de Normalidad.

Se analizaron los gráficos Q-Q normal y los gráficos Q-Q normal sin tendencia para todas las

estrategias en cuanto al tiempo y al nivel de nodos evaluados , obteniendo como resultado una

distribución no normal. Se analizó la prueba de Shapiro-Wilk, obteniendo los mismos resultados

que con el análisis gráfico, debido a que en todos los casos el nivel de significación se encuentra

por debajo de 0.05, véase las Tablas 18 y 19, Apéndice A.2.


39

Conclusiones del Análisis Exploratorio:

Los resultados son muy similares a los anteriores (sección 3.5.1). Podemos decir que las

estrategias aplicadas no tienen una distribución normal.

3.5.3 No Paramétrico


Existen contrastes que permiten pone r a prueba hipótesis no referidas a parámetros poblacionales;

otros que no necesitan establecer supuestos exigentes sobre las poblaciones de donde se extraen

las muestras; y por último, los que no necesitan trabajar datos obtenidos con una escala de medida

de intervalo o razón. Esta otra familia se conoce con el nombre de Contrastes no p aramétricos o

Pruebas no paramétricas.

Algunos autores utilizan el término “no paramétricos” para referirse únicamente a los

contrastes que no plantean hipótesis sobre parám etros y que se limitan a analizar las

propiedades nominales u ordinales de los datos , además añaden el término de distribución

libre para referirse a los que no necesitan establecer supuestos (o establecen supuestos

poco exigentes, como simetría o continui dad) sobre las poblaciones originales de l as que

se extraen las muestras; pero lo cierto es que el incumplimiento de cualquiera de las tres

características señaladas al principio puede ser considerada suficiente para caracterizar a

un contraste como no paramétrico.

Emplearemos algunos de los procedimientos ubicados en el menú analizar/pruebas no

paramétricas del SPSS para llevar a cabo las distintas pruebas no paramétricas.

Prueba de Kolmogorov-Smirnov:

Se analizó la prueba de Kolmogorov-Smirnov [Kolmogorov, ´33], se comprobaron otros

supuestos de distribución (uniforme y exponencial). Después de obtener los resultados de las

pruebas podemos decir que las distintas estrategias no se ajustan a ninguna de las distribuciones

básicas (normal, uniforme y exponencial).


40

Debido a que nuestros datos no se ajustan a la distribución normal no se puede llevar a cabo un

análisis de varianza (ANOVA de un factor), emplearemos entonces la prueba de Friedman

[Friedman, `37] ubicada en el menú analizar/pruebas no parametr icas/k muestras relacionadas.

Los resultados obtenidos nos llevan a concluir que las medias poblacionales de las estrategias

para ambos indicadores difieren debido a que el nivel de significación se obtuvo por debajo de

0.05 (véase las Tablas 20 y 21 de la prueba de Friedman en el apéndice A.2).

Prueba de Wilcoxon:

Pasaremos a comparar las estrategias 2 a 2, para saber con exactitud c uáles difieren y cuáles no,

para éste análisis emplearemos la prueba de Wilcoxon [Wilcoxon, ´45] ubicada en el menú

analizar/pruebas no parametricas/2 muestras relacionadas. Estas se llevarán a cabo en el orden del

ranking de las estrategias , planteado en análisis anteriores y utilizando la corrección de

Bonferroni (con el objetivo de controlar el error de tipo I) que nos llev ará a basar nuestras

decisiones en un nivel de significación de 0.05/11. Un total de 55 pruebas para el tiempo de

CPU y un total de 55 pruebas para los nodos evaluados supuestas a analizar (se van ejecutando y

cuando se obtenga la igualdad de las estrat egias que se estén analizando en ese momento, no se

continúa, puesto que las restantes combinaciones darían el mismo resultado).

Conclusiones de las pruebas de Wilcoxon :

1. Tiempo CPU.

Podemos afirmar que las estrategias 7, 2, 3 5 8 9 y 11 no difieren en cua nto a promedios

poblacionales puesto que la significación de todas las pruebas de Wilcoxon donde se

involucraban dichas estrategias es menor que 0.05/11. De la misma forma concluimos con

las estrategias 6, 4, 8, 10 y 12.

2. Nodos Evaluados.

Podemos afirmar que las estrategias 4, 6, 7, 8, 10 y 12 no difieren en cuanto a promedios

poblacionales puesto que la signif icación de todas las pruebas de Wilcoxon donde se

involucraban dichas estrategias es menor que 0.05/11. De la misma forma concluimos con

las estrategias 9, 2, 3, 5, 12, 11 y 2.


41

Comparación con el Mathematica:

Por ser el grupo de estrategias 7, 9, 5, 11, 3 y 2 mejores en cuanto al tiempo que el grupo formado

por 6, 4, 8, 10 y 12, emplearemos la prueba de Friedman para comparar el mejor grupo con la

alternativa 1.

Los resultados obtenidos nos revelan que existe una significación en cuanto a las medias

poblacionales de las estrategias 7, 9, 5, 11 , 3 y 2 con respecto a la estrategia 1, siendo éstas las

mejores.

3.6 Conclusiones

Durante las secciones 3.5.1 y 3.5.2 podemos extraer como mejor estrategia a la 7, pero esto nada

nos dice de la actuación sobre la población de todos los problemas con características semejantes

(dimensión). Tras la culminación de las distintas pruebas no paramé tricas ejecutadas en el

software SPSS v.11.0 apreciamos que no existe una diferencia de medias poblacionales entre las

estrategias 7, 9, 5, 11, 3 y 2 (que fueron las que mejores resultados reportaron, con respecto al

tiempo cómputo), sin embargo el indicador de la cantid ad de nodos evaluados nos llevó a

determinar la eficiencia del Método de Ramificación y Acotación combinado con el Método de

Planos Cortantes de Gomory aplicados cada ,...7,6,4,3,1,0 niveles del árbol.

42

Conclusiones

Como resultado de este trabajo hemos arribado a las siguientes concluciones :

Se logró implementar y poner “puesta a punto” los diferentes algoritmos que permiten

resolver problemas lineales en enteros incluyendo diferentes tipos de corte combinado con

el método de Ramificación y Acotación.

En total fueron probados 40 problemas de PLE. Los resultados num éricos arrojaron que

las soluciones coinciden con el paquete M athematica v.6.0 al 100 %.

La mejor estrategia para resolver problemas pequeños es la aplicación del Método de

Ramificación y Corte, utilizando los cortes de Gomory aplicados cada 0 -1 niveles del

árbol.

La cantidad de nodos evaluados en el Método de Planos Cortantes de Chavatal -Gomory

superan al resto de las estrategias implementadas .

Todas las estrategias de Ramificación y Corte, utilizando el corte de Gomory superan al

método implementado por el paquete Mathematica v.6.0 en su función

LinearProgramming.

43

Recomendaciones

Aplicar el Método de Punto Interior combinado en el algoritmo de Ramificación y Corte,

en la resolución de problemas de Programación Cuadrática Convexa Discreta, para

problemas a grandes escalas.

Implementar la estrategia Uso de estimación en la selección del nodo a ramificar.

44

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48

Apéndice A. Tablas

En éste apéndice representaremos las principales tablas consideradas en el Capítulo 3.

Sección A.1: podemos encontrar la tabla con la descripción detallada de los problemas de

prueba, así como los distintos resultados obtenidos al aplicarle las distintas estrategias.

Sección A.2: podemos encontrar las principales tablas estadísticas.

Sección A.3 mostraremos las notaciones empleadas en las tablas de la sección A.2.

Apéndice

A

Apéndice A. Tablas

49

A.1 Problemas de Prueba

Tabla # 1: Descripción de los Problemas.

ID Variables Restricciones1 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2 27 2 28 2 29 3 2

10 2 211 4 312 4 313 2 214 2 215 2 316 2 317 4 318 2 319 2 420 2 221 2 322 2 323 3 424 3 425 2 326 2 327 2 428 2 229 3 230 2 331 8 532 2 333 2 234 2 335 2 236 2 237 2 238 3 439 2 3

40 2 2

Apéndice A. Tablas

50

Tabla # 2: Ramificación y Acotación en Mathematica 6.0.

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 - - 0.0632 - - 0.0473 - - 0.0474 - - 0.0785 - - 0.0796 - - 0.0637 - - 0.0638 - - 0.119 - - 0.078

10 - - 0.06211 - - 0.06212 - - 0.07813 - - 0.07914 - - 0.07815 - - 0.07816 - - 0.04717 - - 0.07818 - - 0.07819 - - 0.09320 - - 0.047

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 - - 0.07822 - - 0.04723 - - 0.07924 - - 0.09425 - - 0.07826 - - 0.09427 - - 0.07828 - - 0.07829 - - 0.07830 - - 0.03231 - - 0.03132 - - 0.07833 - - 0.06334 - - 0.07835 - - 0.06236 - - 0.06237 - - 0.07838 - - 0.09439 - - 0.06240 - - 0.078

Apéndice A. Tablas

51

Tabla # 3: Ramificación y Acotación (propio).

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 3 4 0.01602 3 4 0.01503 3 5 0.01604 3 4 0.01505 3 3 0.01606 6 8 0.03107 9 12 0.07808 4 5 0.01609 6 10 0.0470

10 4 5 0.016011 4 6 0.031012 4 4 0.031013 3 4 0.015014 3 5 0.016015 4 5 0.032016 5 6 0.031017 6 8 0.047018 9 12 0.063019 8 11 0.093020 3 5 0.0160

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 4 5 0.031022 4 4 0.015023 4 5 0.×10-5

24 6 8 0.047025 6 8 0.031026 3 4 0.016027 4 5 0.047028 4 5 0.031029 4 7 0.031030 5 8 0.031031 6 10 0.062032 3 3 0.016033 4 6 0.032034 4 5 0.047035 3 5 0.016036 5 8 0.047037 3 4 0.015038 8 11 0.062039 5 6 0.032040 6 9 0.0790

Apéndice A. Tablas

52

Tabla # 4: Ramificación y Corte.Corte: GomoryNivel: 0

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 3 3 0.01602 2 2 0.01603 13 13 0.07904 6 6 0.03105 3 3 0.01606 9 9 0.04607 5 5 0.03108 6 6 0.03209 4 4 0.0150

10 3 3 0.015011 4 4 0.031012 5 5 0.015013 2 2 0.015014 8 8 0.047015 6 6 0.031016 9 9 0.046017 3 3 0.016018 2 2 0.016019 3 3 0.016020 2 2 0.0150

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 8 8 0.046022 4 4 0.015023 3 3 0.016024 17 17 0.109025 5 5 0.031026 2 2 0.016027 7 7 0.047028 4 4 0.015029 2 2 0.015030 7 7 0.046031 5 5 0.031032 3 3 0.015033 3 3 0.016034 2 2 0.016035 9 9 0.047036 4 4 0.016037 3 3 0.015038 25 25 0.219039 6 6 0.031040 2 2 0.0150

Apéndice A. Tablas

53

Tabla # 5: Ramificación y Corte.Corte: Chvatal-GomoryNivel: 0

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 2 2 0.01502 2 2 0.01603 4 4 0.10904 4 4 0.09405 3 3 0.06206 4 4 0.07907 2 2 0.01608 3 3 0.07809 3 3 0.0310

10 3 3 0.062011 2 2 0.188012 4 4 0.187013 2 2 0.031014 3 3 0.110015 4 4 0.109016 5 5 0.110017 4 4 0.093018 3 3 0.063019 4 4 0.187020 2 2 0.0150

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 6 6 0.578022 2 2 0.031023 3 3 0.078024 10 10 1.859025 5 5 0.109026 2 2 0.031027 4 4 0.062028 2 2 0.047029 2 2 0.016030 2 2 0.140031 3 3 1.359032 3 3 0.031033 4 4 0.125034 3 3 0.031035 5 5 0.250036 2 2 0.047037 2 2 0.031038 8 8 0.703039 3 3 0.047040 2 2 0.0310

Apéndice A. Tablas

54


ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 3 3 0.01602 3 3 0.01603 3 4 0.01504 4 6 0.03105 3 3 0.01506 6 8 0.04707 4 5 0.03208 6 8 0.04709 6 9 0.0470

10 3 3 0.016011 5 7 0.016012 7 8 0.062013 3 3 0.016014 5 7 0.047015 3 3 0.015016 4 5 0.016017 5 6 0.031018 2 2 0.016019 3 3 0.032020 3 4 0.0160

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 5 6 0.031022 4 4 0.016023 3 3 0.015024 8 9 0.078025 6 7 0.047026 3 4 0.016027 3 3 0.015028 3 4 0.015029 4 5 0.016030 6 8 0.047031 4 5 0.031032 3 3 0.016033 4 5 0.016034 3 3 0.015035 15 22 0.125036 3 4 0.032037 3 3 0.015038 10 13 0.078039 5 6 0.031040 3 4 0.0150

Apéndice A. Tablas

55


ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 3 3 0.01602 3 3 0.04703 4 5 0.03104 3 4 0.03205 3 3 0.04706 4 5 0.07807 5 6 0.07808 4 5 0.07809 6 8 0.1090

10 3 3 0.031011 4 5 0.375012 5 6 0.219013 3 3 0.016014 3 4 0.062015 3 3 0.063016 4 5 0.093017 6 7 0.141018 2 2 0.031019 3 3 0.063020 3 4 0.0470

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 3 3 0.062022 4 4 0.062023 5 5 0.140024 5 5 0.282025 4 4 0.063026 3 4 0.094027 3 3 0.046028 3 4 0.031029 4 5 0.063030 5 6 0.125031 6 8 1.594032 3 3 0.031033 3 3 0.032034 3 3 0.047035 4 5 0.062036 3 4 0.016037 3 3 0.046038 8 10 0.297039 4 4 0.046040 3 4 0.0460

Apéndice A. Tablas

56

Tabla # 8: Ramificación y Corte.Corte: GomoryNivel: 0-1

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 3 4 0.03102 2 2 0.01603 4 5 0.01504 5 6 0.03205 3 3 0.01506 6 7 0.03207 5 6 0.03108 6 7 0.03109 4 5 0.0310

10 5 6 0.031011 5 6 0.031012 5 5 0.031013 2 2 0.×10-5

14 5 6 0.032015 4 4 0.016016 5 6 0.031017 4 5 0.031018 2 2 0.×10-5

19 2 2 0.016020 2 2 0.0150

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 5 5 0.031022 4 4 0.015023 4 4 0.016024 6 7 0.031025 5 6 0.031026 2 2 0.016027 4 4 0.015028 4 5 0.016029 2 2 0.×10-5

30 7 8 0.047031 4 5 0.032032 3 3 0.016033 4 4 0.031034 2 2 0.×10-5

35 4 5 0.032036 4 5 0.031037 3 4 0.016038 7 9 0.047039 5 5 0.032040 2 2 0.0160

Apéndice A. Tablas

57

Tabla # 9: Ramificación y Corte.Corte: Chvatal-GomoryNivel: 0-1

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 2 2 0.×10-5

2 2 2 0.01503 4 4 0.09404 4 4 0.07805 3 3 0.03106 3 3 0.06307 2 2 0.04708 3 3 0.03109 3 4 0.0310

10 3 4 0.047011 2 2 0.203012 5 5 0.328013 2 2 0.031014 3 4 0.078015 5 6 0.109016 4 5 0.047017 5 5 0.109018 3 4 0.047019 4 4 0.172020 2 2 0.0320

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 4 4 0.266022 2 2 0.047023 4 5 0.078024 6 8 0.875025 3 3 0.047026 2 2 0.047027 4 4 0.093028 2 2 0.047029 2 2 0.047030 2 2 0.172031 4 5 1.312032 3 3 0.031033 5 5 0.141034 4 5 0.063035 4 5 0.125036 2 2 0.047037 2 2 0.031038 5 6 0.156039 3 3 0.031040 2 2 0.0320

Apéndice A. Tablas

58

Tabla # 10: Ramificación y Corte.Corte: GomoryNivel: 1-0

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 3 3 0.×10-5

2 3 3 0.01603 3 4 0.01604 4 5 0.04705 3 3 0.01506 5 6 0.01607 4 5 0.03108 5 6 0.01609 6 7 0.0310

10 3 3 0.×10-5

11 5 6 0.031012 6 7 0.047013 3 3 0.×10-5

14 4 5 0.015015 3 3 0.015016 4 5 0.016017 4 4 0.016018 2 2 0.×10-5

19 3 3 0.016020 3 4 0.0150

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 4 4 0.016022 4 4 0.016023 3 3 0.015024 8 9 0.078025 6 7 0.046026 3 4 0.015027 3 3 0.031028 3 4 0.016029 4 5 0.031030 6 7 0.031031 4 5 0.047032 3 3 0.015033 4 5 0.031034 3 3 0.016035 8 11 0.047036 3 4 0.015037 3 3 0.016038 12 15 0.093039 4 4 0.031040 3 4 0.0150

Apéndice A. Tablas

59

Tabla # 11: Ramificación y Corte .Corte: Chvatal-GomoryNivel: 1-0

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 3 3 0.03102 3 3 0.04603 4 4 0.07804 3 4 0.04605 3 3 0.04606 4 5 0.04707 5 6 0.09408 4 5 0.06309 5 6 0.1090

10 3 3 0.031011 4 5 0.359012 6 7 0.234013 3 3 0.031014 3 4 0.047015 3 3 0.047016 4 5 0.063017 6 7 0.156018 2 2 0.031019 3 3 0.063020 3 4 0.0470

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 3 3 0.063022 4 4 0.047023 4 4 0.094024 6 6 0.453025 5 5 0.110026 3 4 0.062027 3 3 0.047028 3 4 0.047029 4 5 0.063030 5 6 0.156031 5 6 1.406032 3 3 0.047033 3 3 0.063034 3 3 0.031035 4 4 0.094036 3 4 0.047037 3 3 0.047038 9 11 0.375039 4 4 0.109040 3 4 0.0470

Apéndice A. Tablas

60


ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 3 4 0.01502 3 4 0.01503 3 5 0.01604 3 4 0.03105 3 3 0.01606 5 6 0.04607 6 8 0.04608 4 5 0.01609 8 13 0.0630

10 4 5 0.016011 4 6 0.031012 4 4 0.031013 3 4 0.015014 3 5 0.016015 4 5 0.031016 5 6 0.031017 5 6 0.031018 2 2 0.×10-5

19 7 9 0.047020 3 5 0.0160

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 4 4 0.032022 4 4 0.016023 4 4 0.032024 7 9 0.062025 5 6 0.031026 3 4 0.015027 4 5 0.032028 4 5 0.031029 4 7 0.031030 5 7 0.047031 6 9 0.063032 3 3 0.016033 4 6 0.032034 4 5 0.031035 5 6 0.016036 4 6 0.032037 3 4 0.031038 10 13 0.094039 4 5 0.031040 4 5 0.0310

Apéndice A. Tablas

61


ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU1 3 4 0.03202 3 4 0.03103 4 5 0.06204 3 4 0.01605 3 3 0.03106 5 6 0.09407 9 12 0.17208 4 5 0.04709 6 9 0.1410

10 4 5 0.062011 4 6 0.078012 4 4 0.094013 3 4 0.032014 3 5 0.031015 4 5 0.078016 5 6 0.110017 5 6 0.1090418 2 2 0.016019 7 9 0.141020 3 5 0.0160

ID IteracionesNodos

EvaluadosTiempo

CPU21 4 5 0.109022 4 4 0.063023 4 4 0.094024 5 5 0.156025 5 6 0.094026 3 4 0.031027 4 5 0.047028 4 5 0.063029 4 7 0.047030 5 6 0.141031 6 9 2.437032 3 3 0.032033 3 3 0.016034 4 5 0.063035 3 4 0.046036 5 8 0.063037 3 4 0.031038 9 12 0.297039 5 6 0.110040 6 8 0.1090

Apéndice A. Tablas

62

A.2 Análisis Estadístico.

Tabla # 14: Estadísticos Descriptivos para la variable Tiempo CPU.

E Min Max Media ETM DT V A ETA C ETC7 .0000 .0470 .023475 .001861 .0117691 .000 -.378 .374 -.193 .7339 .0000 .0930 .024500 .003045 .0192554 .000 1.733 .374 3.943 .7335 .0150 .1250 .030475 .003667 .0231893 .001 2.262 .374 6.328 .733

11 .0000 .0940 .030875 .002768 .0175078 .000 1.450 .374 3.373 .7333 .0150 .2190 .033050 .005691 .0359928 .001 3.972 .374 18.775 .7332 .0000 .0930 .033225 .003314 .0209609 .000 1.087 .374 .814 .7336 .0160 1.5940 .121050 .039791 .2516575 .063 5.434 .374 31.907 .733

10 .0310 1.4060 .126925 .036181 .2288289 .052 4.826 .374 26.161 .7338 .0000 1.3120 .132025 .037782 .2389524 .057 4.041 .374 17.370 .733

12 .0160 2.4370 .136051 .059641 .3772001 .142 6.118 .374 38.172 .7334 .0150 1.8590 .181525 .057416 .3631338 .132 3.656 .374 13.867 .733

Tabla # 15: Estadísticos Descriptivos para la variable Nodos Evaluados.

E Min Max Media ETM DT V A ETA C ETC4 2 10 3.40 .27 1.692 2.862 2.105 .374 5.761 .7338 2 8 3.55 .23 1.484 2.203 .740 .374 .338 .733

10 2 11 4.35 .26 1.642 2.695 1.891 .374 5.676 .7336 2 10 4.42 .26 1.662 2.763 1.425 .374 2.412 .7337 2 9 4.55 .29 1.839 3.382 .164 .374 -.458 .7339 2 15 4.85 .39 2.466 6.079 2.321 .374 6.986 .7333 2 25 5.48 .71 4.501 20.256 2.689 .374 9.020 .7335 2 22 5.53 .56 3.544 12.563 2.898 .374 11.521 .733

12 2 12 5.55 .35 2.230 4.972 1.362 .374 1.967 .73311 2 13 5.65 .37 2.327 5.413 1.696 .374 3.496 .7332 3 12 6.30 .40 2.514 6.318 .906 .374 -.203 .733

Apéndice A. Tablas

63

Tabla # 16: Estadísticos Descriptivos para la variable Tiempo CPU.

E MR Me2 .031722 .0310003 .026778 .0160004 .111472 .0705005 .027389 .0160006 .078917 .0620007 .023472 .0310008 .085528 .0470009 .022472 .016000

10 .087667 .06250011 .029528 .03100012 .074334 .063000

Tabla # 17: Estadísticos Descriptivos para la variable Nodos evaluados.

E MR Me2 6.17 5.003 4.81 4.004 3.17 3.005 5.03 4.506 4.28 4.007 4.47 5.008 3.44 3.509 4.53 4.00

10 4.19 4.0011 5.42 5.0012 5.36 5.00

Apéndice A. Tablas

64

Tabla # 18: Prueba de Normalidad para la variable Tiempo CPU.

Shapiro-WilkE Estadístico gl Sig2 .906 40 .0033 .868 40 .0004 .518 40 .0005 .459 40 .0006 .696 40 .0007 .355 40 .0008 .852 40 .0009 .455 40 .000

10 .793 40 .00011 .404 40 .00012 .838 40 .000

Tabla # 19: Prueba de Normalidad para la variable Nodos Evaluados.

Shapiro-WilkE Estadístico gl Sig2 .875 40 .0003 .707 40 .0004 .758 40 .0005 .708 40 .0006 .850 40 .0007 .927 40 .0138 .869 40 .0009 .759 40 .000

10 .815 40 .00011 .825 40 .00012 .862 40 .000

Apéndice A. Tablas

65

Tabla # 20: Prueba de Friedman para la variable Tiempo CPU.

Chi-cuadrado 216.801gl 10

Sig. asintót. .000

Tabla # 21: Prueba de Friedman para la variable Nodos Evaluad os.

Chi-cuadrado 109.235gl 10

Sig. asintót. .000

A.3 Notación

Análisis Estadístico

Notación DescripciónE Estrategias.

Min Valor más pequeño.Max Valor más grande.

Media Media muestral.ETM Error típico de la media muestral.DT Desviación típica.V Varianza muestral.A Asimetría.

ETA Error típico de la asimetría.C Curtosis.

ETC Error típico de la curtosis.MR Media recortada al 5 %.Me Mediana.