sol exa final civil mate iv 2010 ii

7/24/2019 Sol Exa Final Civil Mate IV 2010 II

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Solucion de Examen Final de Matematica IV.

Docente : Ms.C. MiguelAngel Yglesias Jauregui

Escuela : Ingeniera Civil.

Semestre : 2010 - II.

Cuestionario

Haga un desarrollo legible del examen y responda correctamente a lo pedido.

1. Dado el problema

tx + (4t 2)x + (13t 4)x= 0, t >0

x(0) = 0

x() = e2. Resolver aplicando transformada de Laplace.

Solucion

Sea X(s) = L[x(t)], aplicando transformada de Laplace a la ecuacion diferencial se tiene

L[tx(t)] + 4L[tx(t)] 2L[x(t)] + 13L[tx(t)] 4L[x(t)] = 0

d

ds s2X(s) sx(0) x(0)

4

d

ds{sX(s) x(0)} 2{sX(s) x(0)} 13

d

dsX(s) 4X(s) = 0

d

ds

s2X(s) x

(0)

+ 4d

ds{sX(s)} + 2sX(s) + 13d

ds X(s) + 4X(s) = 0

2sX(s) + s2X(s) + 4X(s) + 4sX(s) + 2sX(s) + 13X(s) + 4X(s) = 0

(s2 + 4s + 13)X(s) + 4(s + 2)X(s) = 0

dX

X =2

2(s + 2)

s2 + 4s + 13ds + ln k

ln X(s) = 2ln(s2 + 4s + 13) + ln k

luego

X(s) = k

[(s + 2)2 + 32]2

k

9

3

(s + 2)2 + 323

(s + 2)2 + 32

aplicando transformada inversa de Laplace a este ultimo resultado se obtiene

x(t) = k

9

e2t sen(3t) e2t sen(3t)

=

k

9

t0

e2u sen(3u)e2(tu) sen(3t 3u)du

= k e2t

9

t0

[cos(6u 3t) cos(3t)] du

= k e2t

9

1

6sen(6u 3t) u cos(3t)

t0

= k e2t

9

1

6sen(3t) t cos(3t) +

1

6sen(3t)

= k e2t

91

3sen(3t) t cos(3t)

y de esta manera

x(t) = k e2t

9

1

3sen(3t) t cos(3t)

Para determinar el valor de k , aplicamos la condicion x() = e2, de donde se obtiene que k= 9. Por lo tanto

x(t) = e2t

1

3sen(3t) t cos(3t)

2. Usando transformada de Laplace resuelva el problema:

2ux2

42ut2

= 0, 0< x < , t >0

u(0, t) = u(, t) = 0, t0

u(x, 0) = 0, 0 x ut

(x, 0) = sen(2x), 0 x

.


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Solucion

En este caso, aplicamos transformada de Laplace a la funci on u(x, t) en la variable t. Hacemos U(x, s) =L[u(x, t)],

luego aplicando la transformada a la ecuacion diferencial parcial se tiene:

L

2u(x, t)

x2

4L

2u(x, t)

x2

= 0

de donde

2x2

L[u(x, t)] 4

s2U(x, s) su(x, 0) t

u(x, 0)

= 0

ahora aplicando las condiciones iniciales del problema1, se tiene la nueva ecuacion diferencial

2

x2U(x, s) 4s2U(x, s) = 4 sen(2x) (1)

En este caso la solucion complementaria de (1) esta dada por la funcion

Uc(x, s) = c1e2sx + c2e

2sx (2)

Para determinar la solucion particular de (1) aplicamos el metodo de coeficientes indeterminados y asumimos que

Up(x, s) = A cos(2x) + B sen2x, que reemplazando en (1) se tienen los valores de A y B dados por: A = 0 ,B = 1s2+1 .

Con estos resultados, la solucion particular es

Up(x, s) = 1

s2 + 1sen(2x) (3)

Luego de (2) y (3) la solucion general de (1) esta dada por

U(x, s) = c1e2sx + c2e

2sx + 1

s2 + 1sen(2x) (4)

Puesto que

u(0, t) = 0

u(, t) = 0, entonces

U(0, s) = 0

U(, s) = 0. Aplicando estas ultimas condiciones en la solucion (4) se

tiene que c1 = c2 = 0. De esta manera se tiene que la solucion final de (1) esta dada por

U(x, s) = 1

s2 + 1sen(2x)

que aplicando transformada inversa de Laplace nos da la solucion del problema inicial u(x, t), la cual es

u(x, t) =1

2sen(t) sen(2x)

3. Una barra de cobre de 50 cm de longitud con su superficie lateral aislada tiene una temperatura inicial u(x, 0) = 2x,

y en el tiempo t = 0 sus dos extremos son aislados. (La constante de difusividad termica del cobre es 1,15 k(cm2)s)

a) Determine la temperatura u(x, t).

Solucion

De acuerdo a los datos del problema, se trata de una barra con extremos aislados, la ecuaci on diferencial con las

condiciones de frontera y condicion inicial se indican a continuacion:

ut

(x, t) = k 2u

x2(x, t), 0< x 0, k= 1, 15

ux

(0, t) = ux

(50, t) = 0, t 0

u(x, 0) = 2x, 0 x 50

(5)

La solucion correspondiente a este problema esta dada por la expresion

u(x, t) = c0

2 +

n=1 cncosnx

L en22kt

L2 , donde cn = 2

L L

0

f(x)cosnx

L dx, n= 0, 1, 2, (6)1En este caso, llamamos condiciones iniciales, aquellas que estan dadas en t = 0.


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En este caso, L = 50 y f(x) = 2x, x [0, 50]. En seguida determinamos los coeficientes.

Para n = 0, se tiene:

c0 = 2

50

500

2xdx= 100

Para n Z+, se tiene:

cn = 2

50

500

2x cosnx

50

dx=

2

25

500

x cosnx

50

dx

= 2

25

50n

x sen

nx

50

+

50n

2

cos

nx

50

500

= 200

(n)2(cos(n) 1)

Luego

u(x, t) = 50 +200

2

n=1

cos(n) 1

n

cos

nx50

e0,00046n

22t (7)

b) Cual sera su temperatura en x = 10 despues de un minuto?

Solucion

Cuandox = 10 y t = 60, la temperatura es u(10, 60), y esta dada segun (7) por la expresion

u(10, 60) = 50 +200

2

n=1

cos(n) 1

n

cos

n5

e0,0276n

22

para aproximar la temperatura desarrollamos los primeros terminos de la serie. En efecto:

u(10, 60) 50 + 20, 26423673

2 cos(

5)e0,27240108

2

3cos(

3

5 )e2,451609733

= 50 + 20, 26423673 (1,618033989(0, 761548757) + 0, 206011329(0, 086154788))

= 50 + 20, 26423673 (1, 232211773 + 0, 017748862)

= 25, 38

Por lo tanto u(10, 60) 25, 38oC.

c) Despues de aproximadamente cuanto tiempo su temperatura en x= 10 sera de 45oC?

Solucion

Hay que encontrar el instante t0 en el cual u(10, t0) = 45. En efecto, trabajando con el primer sumando de la

serie2 se tiene:

50 +200

2

2cos

5

e0,004540018t0

45

de donde

e0,004540018t0 0, 152493774

aplicando logaritmo en esto ultimo resulta t0 414, 2343731 = 6min con 54seg.

4. La vibracion transversal de una barra elastica se analiza con la ecuacion diferencial parcial 2ut2

+a4u4

x4= 0, donde

a4 = EI

, siendo la densidad lineal, Eel modulo de Young, Iel momento de inercia de la seccion transversal. Una

barra uniforme de longitud L esta simplemente apoyada en sus extremos x = 0 y x = L. Si la barra se pone en

movimiento desde el reposo con una posicion inicial f(x) dada, entonces la funcion de desplazamiento u(x, t) satisface

el problema:

2ut2

+ a44u

x4 = 0, 0< x < L, t >0

u(0, t) = 2u

x2(0, t) = 0, t 0

u(L, t) = 2u

x2(L, t) = 0, t0

u(x, 0) = f(x), 0 x L

u(x, 0) = f(x)ut

(x, 0) = 0

. Deducir la solucion del problema3

2Es decir, para n= 1.3Tiene que aplicar el metodo de separacion de variables y trabajar con constante de proporcionalidad positiva.


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Solucion

HacemosU(x, t) = X(x)T(t), y reemplazando en la EDP se tiene

X(4)

X =

T

a4Y =

asumiendo que es positivo, hacemos = 4 >0 ( >0). Luego se tiene la ecuacion

X(4)(x) 4X(x) = 0

cuya solucion general es

X(x) = A cos(x) + B sen(x) + Ccosh(x) + D senh(x)

usando las condiciones de frontera X(0) = X(0) = X(L) = X(L) = 0. por tanto: X(0) = A+ C y X(0) =

A + C= 0. De estos dos resultados

X(x) = B sen(x) + D senh(x)

usando las condiciones en x = L, dan por hecho que D = 0 y sen(L) = 0, de donde se tienen los autovalores

n = 4n

n44

L4

y las autofunciones

Xn(x) = sennx

L

Ahora, para cada n se tiene la ecuacion diferencial

Tn(t) +n444

L4 Tn(t)

que debido a la condicion Tn(0) = 0 se tiene la solucion

Tn(t) = cos

n222t

L2

y de esta manera aplicando el principio de superposicion la solucion del problema es

u(x, t) =n=1

cncos

n222t

L2

sen

nxL

Usando la condicion u(x, 0) = f(x), se tiene que los coeficientes cn estan dados por la formula

cn = 2

L

L0

f(x)sennx

L

dx

Puntaje: 1 (05 puntos), 2 (05 puntos), 3 (05 puntos), 4(05 puntos)

Enero 18, 2011

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