sol 11 probabilidad

8/12/2019 Sol 11 Probabilidad

1/23

BLOQUE III

Estadstica y probabilidad11. Probabilidad

12. Inferencia estadstica.Estimacin por intervalos

13. Contraste de hiptesis


2/23

322 SOLUCIONARIO

G r

u p o E d i t o r i a l B r u o

, S

. L .

11 Probabilidad

Piensa y calculaEn una baraja espaola de 40 cartas, cuntas figuras hay?

Solucin:Las figuras son las sotas, los caballos y los reyes,en total 12 cartas.

1. Operaciones con sucesos

1. Sea el experimento de lanzar un dado de quinielas.Halla:a) el espacio muestral o suceso seguro.b) los sucesos elementales.

Solucin:a) E = {1, X,2}b) {1},{X}, {2}

2. En el experimento de lanzar un dado de seis caras nu-meradas del 1 al 6, halla:a) el espacio muestral o suceso seguro.b) el suceso A, formado por los nmeros impares.c) el suceso B, formado por los nmeros primos.d) el suceso C, formado por los nmeros pares.e) A y B son compatibles o incompatibles?f ) A y C son compatibles o incompatibles?g) B y C son compatibles o incompatibles?

Solucin:

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}b) A = {1, 3,5}c) B = {2,3,5}d) C = {2, 4,6}e) A B = {3, 5} A y B son compatibles.f) A C = A y B son incompatibles.g) B C = {2} A y B son compatibles.

3. Sean E = {1,2, 3,4, 5,6, 7,8, 9 10,11,12},A = {1, 3,5, 7,9, 11},B = {2, 3,5,7,11}.Calcula:a) A B b) A Bc) A

d) B

Solucin:a) A B = {1,2,3,5,7,9,11}b) A B = {3,5,7,11}

c) A

= {2,4,6,8,10,12}d) B

= {1,4,6,8,9,10,12}

4. Sean E = {1,2,3,4,5,6,7,8},A = {1,3,5,7},B = {2,3,5,7}.Calcula:a) A Bb) B Ac) Comprueba la ley de Morgan:

= A

B

d) Comprueba la ley de Morgan:= A

B

Solucin:a) A B = {1}b) B A = {2}c) A B = {1, 2,3, 5,7}

= {4, 6,8}A

= {2, 4,6,8},B

= {1,4, 6,8}A

B

= {4, 6,8}d) A B = {3, 5,7}

= {1,2,4, 6,8}A

= {2, 4,6,8},B

= {1,4, 6,8}

A

B

= {1,2,4, 6,8}

A B

A B

A B

A B

Aplica la teora


3/23

TEMA 11. PROBABILIDAD 323

G r


, S

. L .

Piensa y calculaSe lanzan dos dados de seis caras.Qu suma de puntos tiene la mxima probabilidad?

Solucin:

La mxima probabilidad la tiene la suma 7, porque es el que ms veces se presenta.1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 y 6 + 1

2. Regla de Laplace

5. Se toman cuatro cartas diferentes de una baraja, doscincos,un seis y un siete. Las cartas se ponen boca aba- jo sobre una mesa y se mezclan al azar. Determina laprobabilidad de que, al darles la vuelta, todas las cartasestn ordenadas en orden creciente si los dos cincosson indistinguibles.

Solucin:

Se aplica directamente la regla de Laplace:

P(5567) =

6. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de cadauno de los siguientes sucesos:a) A = Se obtiene cinco en alguno de los dados.b) B = Se obtiene un doble (los dos dados presentan la

misma puntuacin).c) A B d) A B

Solucin:

a) Se aplica directamente la regla de Laplace.

P(A) =

b) Se aplica directamente la regla de Laplace.

P(B) =

c) Se aplica directamente la regla de Laplace.

P(A B) =

d) Se aplican las propiedades de la probabilidad.P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) =

= + = = 4

9

16

36

1

36

6

36

11

36

136

636

1136

1

1

(1,1)

2

(2,1)

3

(3,1)

4

(4,1)

5

(5,1)

6

(6,1)

2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)

3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)

4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)

5 (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)

6 (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

112

5567

5576

5657

5675

5756

5765

6557

6575

6755

7556

7565

7655

7

6

7

5

6

5

7

5

5

6

5

5

6

7

5

7

5

6

5

7

5

5

6

5

5

6

7

5

7

5

5

6

7

6

Aplica la teora


4/23

Piensa y calculaa) Halla la probabilidad de sacar una carta de copas al extraer una carta de una baraja espaola de 40 cartas.b) La carta de copas extrada se deja fuera, y se extrae otra carta.Halla la probabilidad de que esta segunda carta tambin

sea de copas.Solucin:

a) P(C) = =

b) P((C) = =313939

14

1040

3. Probabilidad condicionada

324 SOLUCIONARIO

G r


, S

. L .

7. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatoriotales que P(A) = 0,6;P(B) = 0,4 y P(A B ) = 0,7a) Calcula P(A B)b) Razona si los sucesos A y B son independientes.c) Calcula P(A B)

Solucin:a) Propiedades de la probabilidad.

Por una ley de Morgan se tiene:= A

B

P( ) = P(A

B

) = 0,7

Luego:P(A B) = 1 P( ) = 1 0,7 = 0,3

b) P(A) P(B) = 0,6 0,4 = 0,24 P(A B)Por tanto,A y B son dependientes.

c) Propiedades de la probabilidad.P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) =

= 0,6 + 0,4 0,3 = 0,7

8. Lanzamos dos veces consecutivas un dado de seis carasnumeradas de 1 al 6a) Calcula la probabilidad de que la suma de los resul-

tados sea igual a 4b) Calcula la probabilidad de que en el primer lanza-

miento haya salido un 1, si la suma es 4

Solucin:

a) Se aplica directamente la regla de Laplace.

P(Suma 4) = =

b) Se aplica la probabilidad condicionada.

P(Primero 1/Suma 4) =1

3

112

336

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

A B

A BA B

Aplica la teora


5/23


G r


, S

. L .

Piensa y calculaSe lanzan al aire dos monedas.Halla la probabilidad de que una sea cara y la otra cruz.

Solucin:

P(CX, XC) = P(CX) + P(XC) = + = + = =1224

14

14

12

12

12

12

4. Regla de la suma y teorema de Bayes

9. Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene 3 bo-las blancas y 4 negras; la segunda, 5 bolas negras; y latercera, 4 blancas y 3 negras.a) Si se elige una caja al azar, y luego se extrae una bo-

la, cul es la probabilidad de que la bola extradasea negra?

b) Si se extrae una bola negra de una de las cajas,cul es la probabilidad de que proceda de la se-gunda caja?

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(N) = + 1 + =

b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(B/N) = =

10. Un da determinado, en una tienda de ropa joven, sehan realizado 400 ventas pagadas con tarjeta de crdi-toV, y 350 ventas pagadas con la tarjeta MC. Las ven-tas restantes del da han sido abonadas en metlico.Se comprueba que 150 de las ventas pagadas con latarjeta V superan los 150 , mientras que 300 de lascompras pagadas con tarjeta de crdito MC superanesa cantidad.Se extrae al azar un comprobante de lasventas del da pagadas con tarjetas de crdito.

a) Cul es la probabilidad de que corresponda a unacompra superior a 150 ?

b) Si la compra es inferior a 150 , cul es la proba-bilidad de que haya sido pagada con la tarjeta MC?

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.M = {Superan los 150 }

P(M) = + =

b) Se aplican las propiedades de la probabilidad y el teo-rema de Bayes.

P(M

) = 1 P(M) = 1 =

P(MC/M

) = = = 16

1 152

5

350 50 750 3502

5

25

35

35

300350

350750

150400

400750

150/400

V

MC

400/750

350/750

M150 M

M 250 m

300 M50 m

A = 400 VB = 350 MC

300/350

50/350

M

M

12

1 132 3

23

37

13

13

47

13

4/7

1/3

1/3

1/3

N3 B

N 4 N

1 N

N 5 N

3/7 N4 B

N 3 N

A = 3 B y 4 NB = 5 NC = 4 B y 3 N

Aplica la teora

CCC

CXX

XCC

C

XXXX

1/2

1/21/2

1/2 1/2

1/2


6/23

326 SOLUCIONARIO

G r


, S

. L .

Ejercicios y problemas

Preguntas tipo test

PA U

Dados dos sucesos A y B,sabemos que p(A B) = 0,1;p(A B) = 0,7 y p(A|B) = 0,2

Calcula p(A) y p(B)

P(A) = 0,1; P(B) = 0,1

P(A) = 0,2; P(B) = 0,5

P(A) = 0,3; P(B) = 0,5

P(A) = 0,4; P(B) = 0,7

En el problema 1, son independientes los sucesos Ay B?

Los sucesos A y B son dependientes.

Los sucesos A y B son independientes.

En el problema 1, calcula p(A

B), donde A

repre-senta el suceso complementario o contrario de A.

p(A

B) = 0,2

p(A

B) = 0,5

p(A

B) = 0,9

p(A

B) = 0,8

En un grupo de familias,un 10% ha cambiado de co-che y tambin ha cambiado de piso; un 50% no hacambiado de coche y s de piso.Entre los que han cam-biado de coche,un 25% ha cambiado de piso.

Qu porcentaje de familias ha cambiado de piso?

P(P) = 0,5

P(P) = 0,6

P(P) = 0,7P(P) = 0,8

En el problema 4, qu probabilidad hay de que unafamilia del grupo haya cambiado de coche?

P(C) = 0,4

P(C) = 0,5

P(C) = 0,6

P(C) = 0,7

En el problema 4,de las familias que no han cambia-do de piso, qu porcentaje ha cambiado de coche?

P(C/P

) = 0,45

P(C/P

) = 0,55

P(C/P

) = 0,65

P(C/P

) = 0,75

Se consideran dos sucesos A y B de un experimentoaleatorio, tales que:

P(A) = 1/4,P(B) = 1/3,P(A B) = 1/12

Son A y B sucesos independientes?Los sucesos A y B son dependientes.

Los sucesos A y B son independientes.

En el problema 7, calcula P(A

/B

)

P(A

/B

) = 3/4

P(A

/B

) = 1/4

P(A

/B

) = 2/3

P(A

/B

) = 4/5

Se sabe que el 30% de los individuos de una pobla-cin tienen estudios superiores; tambin se sabeque, de ellos, el 95% tiene empleo. Adems, de laparte de la poblacin que no tiene estudios superio-res, el 60% tiene empleo.

Calcula la probabilidad de que un individuo, elegidoal azar, tenga empleo.

P(E) = 0,505

P(E) = 0,605

P(E) = 0,705P(E) = 0,805

En el problema 9, se ha elegido un individuo aleato-riamente y tiene empleo; calcula la probabilidad deque tenga estudios superiores.

P(S/E) = 0,2

P(S/E) = 0,3

P(S/E) = 0,4

P(S/E) = 0,5

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Contesta en tu cuaderno:


7/23


G r


, S

. L .


1. Operaciones con sucesos11. Sea el experimento de lanzar una moneda al aire.

Halla:

a) el espacio muestral o suceso seguro.b) los sucesos elementales.

Solucin:a) E = {C,X}b) {C},{X}

12. En el experimento de extraer una carta de una barajaespaola de 40 cartas, halla:a) el espacio muestral o suceso seguro.b) el suceso A, formado por los oros.c) el suceso B,formado por las ases.d) el suceso C, formado por las figuras.e) A y B son compatibles o incompatibles?f ) A y C son compatibles o incompatibles?g) B y C son compatibles o incompatibles?

Solucin:a) E = {1O, 2O, 3O, ,10B,11B,12B}b) A = {1O, 2O, 3O, ,10O, 11O, 12O}c) B = {1O, 1C, 1E, 1B}d) C = {10O, 11O, 12O, ,10B,11B,12B}e) A B = {1O} A y B son compatibles.f) A C = {10O, 11O, 12O} A y B son compatibles.g) B C = A y B son incompatibles.

13. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7},B = {2,3, 5,7}Calcula:a) A B b) A Bc) A

d) B

Solucin:a) A B = {1, 2,3, 5,7}

b) A B = {3, 5,7}c) A

= {2, 4,6, 8}

d) B

= {1, 4,6, 8}

14. Sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5}.Calcula:a) A Bb) B Ac) Comprueba la ley de Morgan:

= A

B

d) Comprueba la ley de Morgan:= A B

Solucin:a) A B = {1}b) B A = {2}c) A B = {1, 2,3, 5}

= {4, 6}A

= {2, 4, 6}, = {1, 4, 6}A

B

= {4, 6}d) A B = {3,5}

= {1, 2,4, 6}A

= {2,4, 6}, B

= {1, 4,6}A

B

= {1, 2,4, 6}

2. Regla de Laplace15. Despus de haber escuchado tres discos, stos se guar-

dan al azar. Cul es la probabilidad de que al menosuno de los discos haya sido guardado en su funda?

Solucin:

Se aplica directamente la regla de Laplace.A = {123, 132, 213, 321}

P(A) = =

16. Dado un espacio muestral E, se consideran los sucesosA y B,cuyas probabilidades son:

P(A) = 2/3 y P(B) = 1/2a) Pueden ser los sucesos A y B incompatibles?Por

qu?b) Suponiendo que los sucesos A y B son independien-

tes, calcula P(A B)c) Suponiendo que A B = E, calcula P(AB)

Solucin:a) A y B no pueden ser incompatibles porque:

P(A) + P(B) = 7/6 > 1

b) P(A B) = P(A) + P(B) P(AB)Como A y B son independientes:P(A B) = P(A) P(B) = 2/3 1/ 2 = 1/3

P(A B) = 2/3 + 1/2 1/3 = 5/6

23

46

1233

1322

2133

1

22311

312233211

2

3

1

3

12

A B

A B

A B

A B


8/23

328 SOLUCIONARIO

G r


, S

. L .


c) Si A B = E P(A B) = 1AplicandoP(A B) = P(A) + P(B) P(AB)Se tiene:P(A) + P(B) P(A B) = 12/3 + 1/2 P(A B) = 1P(A B) = 1/6

17. El 35% de los estudiantes de un centro practicanftbol. El 70% de los que practican ftbol estudia Ma-temticas, as como el 25% de los que no practicanftbol.Si se elige al azar a un estudiante de este centro,calculala probabilidad de que ste:

a) estudie Matemticas.b) practique ftbol, sabiendo que no es alumno de Ma-

temticas.

Solucin:Se construye la tabla de contingencia:

a) P(Estudie matemticas) = 0,4075b) P(Practique ftbol/No Matemticas) = 0,8228

18. Supongamos que tras una encuesta se ha concluido quesi se elige al azar a una persona, la probabilidad de queest a favor de la retransmisin de partidos de ftbol esde 0,8; de que est a favor de la existencia de canales detelevisin de pago, de 0,4; y de que est a favor de la re-transmisin de partidos de ftbol y tambin de la exis-tencia de canales de pago,de 0,3

a) Calcula la probabilidad de que una persona est a fa-vor de la retransmisin de partidos de ftbol o de laexistencia de canales de televisin de pago.

b) Calcula la probabilidad de que una persona no est afavor de la retransmisin de partidos de ftbol ni dela existencia de canales de televisin de pago.

Solucin:a) Se aplican las propiedades de la probabilidad.

P(F P) = P(F) + P(P) P(FP)P(F P) = 0,8 + 0,4 0,3 = 0,9

b) Se aplican las propiedades de la probabilidad.

P(F

B

) = ( ) = 1 P(F P) = 0,1

3. Probabilidad condicionada19. La probabilidad de que, en un determinado mes,un clien-

te de una gran superficie compre un producto A es 0,6,y la probabilidad de que compre un producto B es 0,5.Se sabe tambin que la probabilidad de que un clientecompre el producto B no habiendo comprado el pro-ducto A es 0,4a) Cul es la probabilidad de que un cliente haya com-

prado nicamente el producto B?b) Cul es la probabilidad de que un cliente no haya

comprado ninguno de los productos?

Solucin:

a) P(B/A

) =

= 0,4

P(B A

) = 0,4 0,4 = 0,16P(B A) = P(B A

) = 0,16

b) Si P(B) = 0,5 y P(B A) = 0,16 P(A B) = 0,34P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) =

= 0,6 + 0,5 0,34 = 0,76

20. En una ciudad hay un 60% de habitantes aficionadosal ftbol, un 30% al baloncesto y un 25% a ambos de-portes.a) Son independientes los sucesos ser aficionado al

ftbol y ser aficionado al baloncesto.b) Si una persona no es aficionada al baloncesto, cul

es la probabilidad de que sea aficionada al ftbol?c) Si una persona no es aficionada al ftbol, cul es la

probabilidad de que no sea aficionada al baloncesto?

Solucin:a) Se aplica la condicin de dependencia.

P(F) = 0,6; P(B) = 0,3;P(FB) = 0,25P(F) P(B) = 0,6 0,3 = 0,18 0,25 F y B depen-dientes.

b) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedadesde la probabilidad.

P(F/B

) = = = 0,5 =

c) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedadesde la probabilidad.

P(B

/F

) =

P(F

) = 1 0,6 = 0,4

P(B

/F

) = = = 0,875 =7

8

0,35

0,4

P(F

B

)

P(F

)

P(F

B

)P(F

)

12

0,350,7

P(F B

)P(B

)

P(B A

)0,4

P(B A

)P(A

)

F P

Ftbol

Mate.

24,5% 10,5% 35%

No ftbol 16,25% 48,75% 65%

Total 40,75% 59,25% 100%

No Mate. Total


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G r


, S

. L .

Ejercicios y problemas21. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres

veces al aire se consideran los siguientes sucesos:A: sacar, al menos, una cara y una cruz.B: sacar, a lo sumo, una cara.

a) Determina el espacio muestral asociado a ese expe-rimento,y los sucesos A y Bb) Son independientes ambos sucesos?

Solucin:

a) E = {CCC,CCX,CXC,CXX,XCC,XCX,XXC,XXX}A = {CCX, CXC, CXX,XCC, XCX,XXC}B = {CXX,XCX, XXC,XXX}

b) Se comprueba utilizando la propiedadP(A B) = P(A) P(B) A y B independientes.A B = {CXX, XCX, XXC}P(A B) = 3/8

P(A) P(B) = 6/8 4/8 = 3/8Como las probabilidades son iguales, A y B son inde-pendientes.

22. El temario de una oposicin consta de 100 temas. El dadel examen stos se sortean, de manera que solo pue-den salir dos temas, a los que debe responder obligato-riamente el opositor. Calcula cuntos temas, como mni-mo,debe estudiar el opositor para que la probabilidad deconocer los dos temas que le toquen sea superior a 0,5

Solucin:

> 0,5

Resolviendo la inecuacin y tomando solo las solucionespositivas,se obtiene que:

n > 71,21

Por tanto n > 71

4. Regla de la suma y teorema de Bayes23. En una ciudad, la probabilidad de que uno de sus habi-

tantes censados vote al partido A es 0,4; la probabilidadde que vote al partido B es 0,35 y la probabilidad de quevote al partido C es 0,25. Por otro lado, las probabilida-des de que un votante de cada partido lea diariamentealgn peridico son, respectivamente, 0,4; 0,4 y 0,6.Se elige a una persona de la ciudad al azar:a) Calcula la probabilidad de que lea algn peridico.b) La persona elegida lee algn peridico. Cul es la

probabilidad de que sea votante del partido B?

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.L = {Leer el peridico}P(L) = 0,4 0,4 + 0,35 0,4 + 0,25 0,6 = 0,45


P(B/L) = = 0,31

24. Tres mquinas A, B y C fabrican tornillos.En una hora, lamquina A fabrica 600 tornillos, la B 300 y la C 100.Lasprobabilidades de que las mquinas produzcantornillos defectuosos son, respectivamente, de 0,01 pa-ra A, de 0,02 para B y de 0,03 para C. Al finalizar unahora se juntan todos los tornillos producidos y se eligeuno al azar.a) Cul es la probabilidad de que no sea defectuoso?b) Cul es la probabilidad de que lo haya fabricado la

mquina A, sabiendo que no es defectuoso?

Solucin:

D

LD

D

LD

D

LD

A0,01

BA 600B 300C 100

0,02

C0,03

0,99

0,98

0,97

0,6

0,1

0,3

0,35 0,40,45

L

L A

0,4

L

L B

ABC

0,4

L

L C

0,6

0,4

0,25

0,35

n 1100

n100

S(n 1)/99

n/100S

S

S

CCC

CCX

CXC

C1/2

1/21/2

1/21/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

XCXX

1/2

1/2

XCCC

C

X

XCX

C

X

C

X

C

X

XXCX

XXX

C

X


10/23

27. Se lanzan tres veces consecutivas dos dados equilibra-dos de seis caras:a) Calcula la probabilidad de que en los tres lanzamien-

tos salga el seis doble.b) Calcula la probabilidad de que en los tres lanzamien-

tos salga un doble distinto del seis doble.

Solucin:a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad com-

puesta.

P(666) = P(6) P(6) P(6) = =

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.P(111) + P(222) + P(333) + P(444) + P(555) =

= 5 =5

2161

216

1216

16

16

16

330 SOLUCIONARIO

G r


, S

. L .


a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.D = {tornillo defectuoso}D

= {tornillo no defectuoso}P(D

) = 0,6 0,99 + 0,3 0,98 + 0,1 0,97 = 0,985


P(A/D

) = = 0,603

25. En un supermercado, las mujeres realizan el 70% de lascompras. De las compras hechas por stas, el 80% supe-ra los 12 , mientras que de las compras realizadas porhombres, solo el 30% sobrepasa esa cantidad.a) Elegido un tique de compra al azar, cul es la proba-

bilidad de que supere los 12 ?b) Si se sabe que un tique de compra no supera los

12 , cul es la probabilidad de que la compra hayasido hecha por una mujer?

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.P(S) = 0,7 0,8 + 0,3 0,3 = 0,65


P(M/N) = = 0,4

26. Resuelve las siguientes cuestiones:a) Tenemos tres urnas, cada una de las cuales contiene

2 bolas rojas y 3 negras. Se extrae al azar una bola yse llamax al nmero de bolas rojas obtenidas.Calcu-la la probabilidad de quex sea mayor o igual que 1

b) Si cada urna hubiese contenido 5 bolas rojas y 3 bo-las negras y se hubiese extrado una bola de cada ur-

na, cul hubiese sido la probabilidad de quex hubie-se sido mayor o igual que 1?

c) Justifica la diferencia de los resultados obtenidos.

Solucin:

a) rbol de probabilidades.

P(x mayor o igual que 1) = 1 P(NNN) =

= 1 = 1 =

b) rbol de probabilidades.

P(x mayor o igual que 1) = 1 P(NNN) =

= 1 = 1 =

c) La probabilidad del segundo apartado es mayor porque hayms bolas rojas y las mismas negras.

485512

27512

38

38

38

R

N5/8

3/8

5 R3 N

5 R3 N

5 R

3 N

RRR

RRN

R

N5/8

3/8

5 R3 N

RNR

RNN

RN5/8

3/8

5 R3 N

NRR

NRN

R

N5/8

3/8

5 R3 N

NNR

NNN

R

N5/8

R

N

5/8

3/8

3/8

5 R3 N

R

N5/8

3/8

98125

27125

35

35

35

R

N2/5

3/5

2 R3 N

2 R3 N

2 R3 N

RRR

RRN

R

N2/5

3/5

2 R3 N

RNR

RNN

R

N2/5

3/5

2 R3 N

NRR

NRN

R

N2/5

3/5

2 R

3 N

NNR

NNN

R

N2/5

R

N

2/5

3/5

3/5

2 R3 N

R

N2/5

3/5

0,7 0,20,7 0,2 + 0,3 0,7

S

N

S

N

M0,8

H

M 70%H 30%

0,3

0,2

0,7

0,7

0,3

0,6 0,990,985

Para ampliar


11/23


G r


, S

. L .

Ejercicios y problemas28. Si se escoge un nmero al azar en la gua telefnica de

cierta ciudad espaola, la probabilidad de que figure anombre de un hombre es 0,7 y de que figure a nombrede una mujer es 0,3. En dicha ciudad, la probabilidad deque un hombre trabaje es 0,8,y de que lo haga una mujer es 0,7Se elige un nmero de telfono al azar.a) Cul es la probabilidad de que corresponda a una

persona que trabaja?b) Cul es la probabilidad de que corresponda a un

hombre, sabiendo que pertenece a una persona quetrabaja?

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.T = {Persona que trabaja}P(T) = 0,7 0,8 + 0,3 0,7 = 0,77


P(H/T) = = = 0,73

29. Disponemos de tres dados, uno de los cuales est tru-cado.La probabilidad de sacar 5 con el dado trucado es0,25, siendo los otros resultados equiprobables.Se eligeun dado al azar y se realiza un lanzamiento con l.a) Determina la probabilidad de obtener un 2b) Dado que ha salido 2, cul es la probabilidad de que

hayamos elegido el dado trucado?

Solucin:Si en el dado trucado P(5) = 0,25P(1, 2, 3, 4,6) = 1 0,25 = 0,75

P(2) = 0,75/5 = 0,15 =


P(2) = + =


P(T/2) = =

30. Sean A y B dos sucesos tales que:

P(A) = , P(B) = y P(AB) =

Calcula:a) P(A | B)b) P(B | A)c) P(AC B),(AC indica el contrario del suceso A)

Solucin:

a) P(A | B) = P(A) P(AB) = =

b) P(B | A) = P(B) P(AB) = =

c) P(AC B) = P(B | A) =

31. Se dispone de una baraja espaola de 40 cartas. Se ex-trae una carta al azar y, sin devolverla a la baraja,se sacaotra, tambin al azar.a) Calcula la probabilidad de que ninguna de las cartas

extradas sea una figura (es decir, sota, caballo o rey).

b) Sabiendo que la segunda carta extrada no ha sidouna figura, calcula la probabilidad de que tampoco lohaya sido la primera.

Solucin:

a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.

P(No F) = =

b) Se aplica el teorema de Bayes.P(No F la 1/No F la 2) =

= = = 913

63 1307 10

28 27 40 3928 27 12 28

+

40 39 40 39

63130

2739

2840

12 F28 no F

12 F26 no F

12 F27 no F

no F y no Fno F

F 11 F27 no F no F y F

27/39

12/39

11 F27 no F

11 F

28 no F

F y no Fno F

F 10 F28 no F F y F

28/39

11/39

no F

F

28/40

12/40

112

112

14

13

141412

14

13

12

929

1 3 3 2029 180

29180

16

23

320

13

2

2

2

2

T3/20

B

1 T2 B

1/6

1/3

2/3

320

811

0,7 0,80,77

T

T

T

T

H0,8

M

HM

0,7

0,7

0,3


12/23

332 SOLUCIONARIO

G r


, S

. L .

Ejercicios y problemas32. Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres

personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias ono de consumir un determinado producto.a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experi-

mento utilizando la letra S para las respuestas afir-mativas y N para las negativas.

b) Qu elementos del espacio muestral anterior cons-tituyen el suceso al menos dos de las personas sonpartidarias de consumir el producto?

c) Describe el suceso contrario de ms de una perso-na es partidaria de consumir el producto.

Solucin:

a) E = {SSS, SSN,SNS,SNN, NSS, NSN,NNS, NNN}b) A = {SSS,SSN,SNS,NSS}c) El suceso ms de una persona es partidaria de consu-

mir el producto coincide con el suceso AA

= {SNN, NSN, NNS, NNN}Que se puede describir como:a lo sumo una personaes partidaria de consumir el producto.

33. Se tienen tres cajas de bombones, A, B y C. La caja Acontiene 10 bombones, de los cuales 4 estn rellenos; lacaja B contiene 8 bombones,de los cuales 3 estn relle-nos;y la caja C contiene 6 bombones, de los que 1 estrelleno.a) Si se toma al azar un bombn de la caja A, cul es la

probabilidad de que no est relleno?b) Si se elige al azar una de las tres cajas y se toma un

bombn de la caja elegida,cul es la probabilidad deque est relleno?

Solucin:

a) P(N) = =

b) rbol de probabilidades:

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(R) = + + =

34. En un centro de enseanza secundaria se sabe que el70% de los alumnos practica atletismo,que el 50% juegaal ftbol y que el 40% de los que practican atletismo juega al ftbol.a) Razona si los sucesos jugar al ftbol y practicar

atletismo son independientes.b) Si se elige al azar a un alumno de ese centro, cul es

la probabilidad de que no participe en ninguno de es-tos deportes?

Solucin:a) Se aplica la propiedad correspondiente.

P(A F) = 0,4P(A) P(F) = 0,7 0,5 = 0,35Como dan distinto, A y F son dependientes.

b) Se aplican las propiedades de la probabilidad.P( ) = 1 P(A F)P(A F) = P(A) + P(F) P(AF)P(A F) = 0,7 + 0,5 0,4 = 0,8P( ) = 1 0,8 = 0,2

35.Se lanza al aire dos veces una moneda.a) Halla la probabilidad de que en ambas tiradas salga

cara.b) Sabiendo que, al menos, en una de las tiradas sale

cara, cul es la probabilidad de que en ambas sal-ga cara?

Solucin:


P(CC) = =

b) Se aplica la definicin de probabilidad condicionada.

P(CC/al menos una cara) = =13

1 43 4

14

12

12

CC

CX

XC

C1/2

1/21/2

1/2 1/2

1/2X

XX

C

X

C

X

A F

A F

113360

16

13

38

13

25

13

R

N2/5

3/5

4 R6 N

ABC

R

N

R

N3/8

5/8

3 R5 N

R

N

R

N

1/6

5/6

1 R

5 N

R

N

A

B

C

1/3

1/3

1/3

35

610

SSS

SSN

SNS

S1/2

1/21/2

1/21/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

N

SNN

1/2

1/2

NSSS

S

NNSN

S

N

S

NS

N

NNSN

NNN

S

N


13/23


G r


, S

. L .

Ejercicios y problemas36. Un estudiante hace dos pruebas el mismo da.La proba-

bilidad de que pase la primera prueba es 0,6; la de quepase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5a) Calcula la probabilidad de que no pase ninguna de las

pruebas.b) Calcula la probabilidad de que pase la segunda prue-

ba si no ha superado la primera.

Solucin:a) Se aplican las propiedades de la probabilidad.

P(A B) = P(A) + P(B) P(AB)P(A B) = 0,6 + 0,8 0,5 = 0,9P( ) = 1 0,9 = 0,1

b) Se aplica la definicin de probabilidad condicionada.P(B A

) = P(B A) = P(B) P(AB) =

= 0,8 0,5 = 0,3P(A ) = 1 P(A) = 1 0,6 = 0,4

P(B/A

) = = =

37. En un colectivo de 200 personas se ha observado que120 son hombres y que, de stos, 54 son fumadores.44 mujeres de este colectivo no fuman. Con estos da-tos, razona si el suceso fumar depende del sexo.

Solucin:Se aplica la regla de Laplace directamente.

P(F/H) = =

P(F/M) = =

Como ambas son iguales, no depende del sexo.

920

3680

920

54120

34

0,30,4

P(B A

)P(A

)

A B

38. Una persona desea jugar en una atraccin de feriadonde regalan un peluche si al tirar un dardo se aciertaen un blanco. Si solo se permite tirar tres dardos y laprobabilidad de acertar en cada tirada es 0,3a) cul es la probabilidad de llevarse el peluche?b) cul es la probabilidad de llevarse el peluche exacta-

mente en el tercer intento? Y de llevrselo exacta-mente en el segundo?

Solucin:a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad

compuesta.A = {acertar en el blanco en una tirada}P(A

A

A

) = P(A

) P(A

) P(A

) = 0, 7 0,7 0,7 = 0,343

P(Llevarse el peluche) = 1 P(A

A

A

) = 1 0,343 == 0,657

b) Se aplica directamente la regla de Laplace.P(3er intento) = P(A

A

A) = 0,7 0,7 0,3 = 0,147P(2 intento) = P(A

AA) = 0,7 0,3 = 0,21

39. Una urna contiene 7 bolas blancas,3 bolas rojas y 2 bo-las negras. Se considera el experimento aleatorio con-sistente en extraer tres bolas de la urna,de forma suce-siva y sin reemplazamiento. Sean los sucesos B1: La

primera bola es blanca, B2: La segunda bola es blanca yB3: La tercera bola es blanca:

a) Expresa con ellos el suceso las bolas extradas enprimer y tercer lugar son blancas, y la extrada en se-gundo lugar no.

b) Calcula la probabilidad del suceso las tres bolas sondel mismo color.

Solucin:a) B1 B

2 B3b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(BBB) + P(RRR) + P(NNN) =

= + + =

40. Una fbrica produce tres modelos de coche:A, B y C.Cada uno de los modelos puede tener motor de gaso-lina o disel.Sabemos que el 60% de los modelos son detipo A y el 30% de tipo B.Tambin sabemos que el 30%de los coches fabricados tienen motor disel, el 30% delos coches del modelo A son de tipo disel y el 20% delos coches del modelo B tienen motor disel.Se elige uncoche al azar. Se piden las probabilidades de los siguien-tes sucesos:a) El coche es del modelo Cb) El coche es del modelo A, sabiendo que tiene motor

disel.

c) El coche tiene motor disel,sabiendo que es del mo-delo C

955

010

111

212

110

211

312

510

611

712

Problemas


14/23

334 SOLUCIONARIO

G r


, S

. L .


Solucin:

a) Se aplican las propiedades de la probabilidad.P(C) = 1 [P(A) + P(B)] = 1 (0,6 + 0,3) = 0,1

b) Se aplica la definicin de probabilidad condicionada.

P(A/D) = = = 0,6c) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

0,6 0,3 + 0,3 0,2 + 0,1 P(D/C) = 0,3P(D/C) = 3/5 = 0,6

41. Un examen consiste en elegir al azar dos temas de en-tre los diez del programa,y desarrollar uno.a) Qu probabilidad tiene un alumno, que sabe seis te-

mas, de aprobar el examen?b) Qu probabilidad tiene el mismo alumno de saberse

uno de los dos temas elegidos y el otro no?

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.P(Aprobar) = 1 P(MM) =

= 1 = 1 =


P(Uno s y otro no) = + =

42. Una empresa emplea tres bufetes de abogados paratratar sus casos legales. La probabilidad de que un caso

se deba remitir al bufete A es 0,3; de que se remita albufete B es 0,5 y de que se remita al bufete C es 0,2.La

probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea ga-nado en los tribunales es 0,6; para el bufete B esta pro-babilidad es 0,8 y para el bufete C es 0,7a) Calcula la probabilidad de que la empresa gane un

caso.b) Sabiendo que un caso se ha ganado, determina la

probabilidad de que lo haya llevado el bufete A

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.G = {Ganar el caso}P(G) = 0,3 0,6 + 0,5 0,8 + 0,2 0,7 = 0,72


P(A/G) = = 0,25

43. De una urna con cinco bolas,dos blancas y tres negras,

extraemos dos bolas sin reemplazamiento. Calcula laprobabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:a) A = Las dos bolas extradas son del mismo color.b) B = Extraemos al menos una bola blanca.

Solucin:


P(A) = P(BB) + P(NN) = + =


P(NN) = =

P(B) = 1 P(NN) = 1 =710

310

310

24

35

25

24

35

14

25

2 N

1 B3 N

2 B3 N

1 B2 N

1 B2 N

2 B1 N

B

N1/4

B

N

2/5

3/5

3/4

2 B2 N

B

N2/4

2/4

BB

BN

NB

NN

0,3 0,60,72

G

G A

0,6

G

G B

ABC

0,8

0,7 G

G C

0,3

0,2

0,5

815

69

410

49

610

1315

215

39

410

4 B4 M

5 B4 M

6 B4 M

5 B3 M

5 B3 M

6 B

2 M

B

M5/9

B

M

6/10

4/10

4/9

6 B3 M

B

M6/9

3/9

BB

BM

MB

MM

0,6 0,30,3

P(A D)P(D)

D

D A

0,3

D

D B

ABC

0,2

D

D C

0,6

0,3


15/23


G r


, S

. L .

Ejercicios y problemas44. Se dispone de tres urnas: A, que contiene dos bolas

blancas y cuatro rojas; B, con tres blancas y tres rojas;y C, con una blanca y cinco rojas.a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola. Cul

es la probabilidad de que esta bola sea blanca?b) Si la bola extrada resulta ser blanca, cul es la pro-

babilidad de que proceda de la urna B?

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.S = {Bola blanca}

P(B) = + + =


P(B/S) = =

45. Los temas objeto de un examen estn compuestos portres temas de mxima dificultad,5 de dificultad media y2 de escasa dificultad, de los cuales se elige uno al azar.La probabilidad de que un alumno apruebe el examen siel tema es de mxima dificultad es de 1/8; si es de difi-cultad media,2/5,y si es de escasa dificultad,3/4a) Halla la probabilidad de que el alumno apruebe el

examen.b) Halla la probabilidad de que el tema elegido haya sido

de mxima dificultad, si el alumno lo aprob.

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.A = {Aprobar el examen}

P(A) = 0,3 + 0,5 + 0,2 = = 0,3875


P(Mxima/A) = =

46. Una caja contiene 10 tornillos, de los que dos son de-fectuosos.a) Si se van extrayendo uno a uno los tornillos hasta lo-

calizar los dos defectuosos, cul es la probabilidadde necesitar exactamente tres extracciones para lo-calizarlos?

b) Si extraemos solo dos tornillos, y el segundo ha re-sultado ser defectuoso, cul es la probabilidad deque el primero tambin lo haya sido?

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.A = {Extraer dos defectuosos}

P(A) = + =

b) Se aplica la probabilidad condicionada.

P(1 defectuoso/2 defectuoso) =19

245

18

29

810

18

89

210

1 D8 B

7 B8 B

7 B

1 D6 B

2 D8 B

2/10

8/10

2 D7 B

D

B

D

B

2/9

7/9

1 D

7 B

D

B

B

1/8

1

7/8

D

B1/8

7/8

D

B

2/8

6/8

DDB

DBD

DBB

7 B

1 D6 B

1 D7 B

BDD

BDB

1 D6 B

2 D5 B

D

B

1/9

8/9

2 D6 B

BBD

BBB

331

10,3 831 80

3180

34

25

18

1/8

Mxima 3Media 5Escasa 2

A

A

2/5 A

A

3/4 A

A

0,3

0,2

0,5

Mxima

Media

Escasa

12

1 3 3 61 3

13

16

13

36

13

26

13

B

R2/6

4/6

2 B4 R

ABC

B

R

B

R3/6

3/6

3 B3 R

B

R

B

R

1/6

5/6

1 B

5 R

B

R

A

B

C

1/3

1/3

1/3


16/23

336 SOLUCIONARIO

G r


, S

. L .

Ejercicios y problemas47. Tenemos un cofre A con 2 monedas de oro y 3 de pla-

ta, un cofre B con 5 monedas de oro y 4 de plata, y untercer cofre con 2 monedas de oro. Elegimos un cofreal azar y sacamos una moneda.a) Calcula la probabilidad de que sea de oro.b) Sabiendo que ha sido de plata, calcula la probabilidad

de que haya sido extrada del cofre A

Solucin:


P(Oro) = + + 1 =


P(Plata) = 1 =

P(A/Plata) = =

48. En un cineclub hay 80 pelculas: 60 son de accin y20 de terror. Susana elige una pelcula al azar y se la lle-va.A continuacin, Luis elige otra pelcula al azar.a) Cul es la probabilidad de que tanto Susana como

Luis elijan pelculas de accin?b) Cul es la probabilidad de que la pelcula elegida por

Luis sea de accin?

Solucin:


P(AA) = =


P(Luis accin) = + =

49. La probabilidad de que un jugador A marque un gol depenalti es de 5/6, mientras que la de otro jugador B esde 4/5. Si cada uno lanza un penalti:a) halla la probabilidad de que marque gol uno solo de

los dos jugadores.b) halla la probabilidad de que, al menos, uno marque

gol.

Solucin:


P(Marcar uno solo) = P(MN) + P(NM) == + =

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.P(al menos uno marque) = 1 P(NN) =

= 1 =

50. Dos urnas A y B,que contienen bolas de colores, tienenla siguiente composicin:A: 5 blancas,3 negras y 2 rojas.

B: 4 blancas y 6 negras.Tambin tenemos un dado que tiene 4 caras marcadascon la letra A y las otras dos con la letra B.Tiramos eldado y sacamos una bola al azar de la urna que indicael dado.a) Cul es la probabilidad de que esa bola sea blanca?b) Cul es la probabilidad de que esa bola sea roja?c) La bola extrada ha resultado ser blanca. Cul es la

probabilidad de que proceda de la urna B?

Solucin:

B

R

5/10

2/10

5 B3 N2 R

4 A2 B

A

N

4/6

3/10

2/6

5 B3 N1 R

AR

5 B2 N2 R

AN

4 B3 N2 R

AB

B

N4/10

6/10

4 B6 N

3 B6 N BB

4 B5 N BN

B

2930

15

16

310

45

16

15

56

MM

MN

NM

M4/5

1/55/6

1/6 4/5

1/5N

NN

MBA

N

M

N

34

6079

2080

5979

6080

177316

5979

6080

Accin

Terror

Accin

Terror

60/80

20/80

59/79

60/79

Accin 60

LuisSusana

Terror 20

Accin 59Terror 20

Accin 60Terror 19

2747

1 3 3 547 135

47135

88135

88135

13

59

13

25

13

O

P2/5

3/5

2 O3 P

ABC

O

P

O

P5/9

4/9

5 04 P

O

P

2 0 O

A

B

C

1/3

1/3

1/3O1


17/23


G r


, S

. L .



P(B) = + =

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.

P(R) = =

c) Se aplica el teorema de Bayes.

P(Urna B/Blanca) = =

51. Una determinada poblacin est formada, a partes igua-les, por hombres y mujeres. La probabilidad de que unindividuo de esa poblacin no lea ningn peridico es0,25. Adems, el porcentaje de individuos que o bienleen algn peridico o bien son hombres es el 95%.Se elige, al azar, a una persona.a) Halla la probabilidad de ser hombre y leer algn pe-

ridico.b) Halla la probabilidad de que lea algn peridico, sa-

biendo que es hombre.

Solucin:a) P(H L) = P(H) + P(L) P(HL)

95% = 50% + 75% P(HL)P(H L) = 30%Se construye la tabla de contingencia:

b) P(L/H) = P(L H)/P(H) = 30%/50% = 60%

52. Se dispone de 3 urnas y de 10 bolas, 5 blancas y 5 ne-gras. Distribuimos las bolas de la siguiente forma: En la 1 urna se introducen una bola blanca y una bo-

la negra. En la 2 urna se introducen 3 bolas blancas y 2 bolas

negras. En la tercera urna se introducen 1 bola blanca y 2 bo-

las negras.De una de las urnas, elegida al azar, se extrae una bola.Halla la probabilidad de que la bola elegida sea negra.

Solucin:

Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(N) = + + =

53. En un espacio muestral dado se consideran dos sucesosA y B tales que su unin es el suceso seguro, y las proba-bilidades condicionadas entre ellos valen P(A/B) = 1/2y P(B/A) = 1/3.Halla las probabilidades de A y B

Solucin:

P(A/B) = =

P(B/A) = =

P(A B) = P(A) + P(B) P(AB)1 = P(A) + P(B) P(AB)Resolviendo el sistema formado por las tres ecuacionescon las tres incgnitas,se obtiene:

P(A) = , P(B) = y P(AB) =

54. Dados los sucesos A y B de un mismo espacio muestral,se sabe que:

P(A) = 0,4;P(A B) = 0,8 y P(A

B

) = 0,7a) Comprueba si los sucesos A y B son independientes.b) Calcula la probabilidad de que solo se verifique uno

de los dos sucesos.Solucin:a) Se aplica la propiedad correspondiente.

P(A

B

) = 0,7 P( ) = 0,7 P(A B) == 0,3

P(A B) = P(A) + P(B) P(AB)0,8 = 0,4 + P(B) 0,3P(B) = 0,7P(A) P(B) = 0,4 0,7 = 0,28Como P(A B) P(A) P(B),A y B son dependientes.

b) P(A B) P(A B) = 0,8 0,3 = 0,5

A B

14

12

34

P(A B)P(A)

13

P(A B)P(A)

P(A B)P(B)

12

P(A B)P(B)

4790

23

13

25

13

12

13

B

N1/2

1/2

1 B1 N

ABC

B

N

B

N3/5

2/5

3 B2 N

B

N

B

N1/3

2/3

1 B2 N

B

N

A

B

C

1/3

1/3

1/3

Leer peridico (L)

Hombres

30% 45% 75%

No leer peridico 20% 5% 25%

Total H/M 50% 50% 100%

Mujeres Total leer

27

2 4 6 104 5 2 4 + 6 10 6 10

215

210

46

715

410

26

510

46


18/23

338 SOLUCIONARIO

G r


, S

. L .

Ejercicios y problemas55. La caja A contiene 40 bolgrafos azules y 30 bolgrafos

rojos, la caja B contiene 30 bolgrafos azules y 30 bol-grafos rojos, y la caja C contiene 30 bolgrafos azules y20 rojos. Se elige una caja al azar y, de ella, tambin alazar, se extrae un bolgrafo. Cul es la probabilidad deque el bolgrafo extrado sea azul?

Solucin:

Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(A) = + + =

56. Se dispone de dos bolsas con bolas numeradas. La1 bolsa tiene 7 bolas numeradas del 1 al 7,y la segundatres bolas numeradas del 8 al 10. Se realiza el siguienteexperimento compuesto: se saca una bola al azar de laprimera bolsa y se introduce en la segunda (antes de in-troducirla se anota si es par o impar),despus se saca alazar una bola de la segunda bolsa que en este momen-to tiene 4 bolas y se anota su nmero.a) Cul es la probabilidad de que las dos bolas extra-

das sean pares?b) Cul es la probabilidad de que la segunda bola ex-

trada sea impar?

Solucin:


P(PP) = =


P(I) = + =

57. El 20% de los tornillos de un gran lote es defectuoso.Secogen tres tornillos al azar y se pide calcular razonada-mente:a) la probabilidad de que los tres sean defectuosos.

b) la probabilidad de que ninguno sea defectuoso.c) la probabilidad de que solamente uno sea defec-tuoso.

Nota: como son muchos tornillos, se supone que laprobabilidad no cambia de sacar un tornillo al sacar elsiguiente.

Solucin:

a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.P(DDD) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.

P(BBB) = 0,8 0,8 0,8 = 0,512c) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(DBB, BDB,BBD) = 3 0,2 0,8 0,8 = 0,384

Para profundizar58. En un videoclub quedan 8 copias de la pelcula A,9 de la

B y 5 de la C. Entran tres clientes consecutivamente ycada uno elige una copia al azar. Calcula la probabilidadde que:

a) los tres escojan la misma pelcula.b) dos escojan la pelcula A, y el otro, la C

Solucin:a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(AAA) + P(BBB) + P(CCC) = +

+ + =

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadtotal.

3P(AAC) = =133

520

721

822

15154

320

421

522

720

821

922

620

721

822

DDD

DDB

DBD

D0,2

0,80,2

0,80,2

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

BDBB

0,2

0,8

BDDD

D

BBDB

D

B

D

B

D

B

BBDB

BBB

D

B

1128

14

37

12

47

928

34

37

2 I2 P

4 I

3 P

I

P1/2

I

P

4/7

3/7

1/2

1 I3 P

I

P1/4

3/4

II

IP

PI

PP

3970

35

13

12

13

47

13

A

R4/7

3/7

40 A30 R

ABC

A

R

A

R1/2

1/2

30 A30 R

A

R

A

R3/5

2/5

30 A20 R

A

R

A

B

C

1/3

1/3

1/3


19/23


G r


, S

. L .

Ejercicios y problemas59. Con el objetivo de recaudar fondos para un viaje,

los alumnos de un centro escolar realizan una rifa con500 nmeros.Un alumno compra dos nmeros.a) Si solo hay un premio, qu probabilidad tiene el

alumno de que le toque a l?b) Si hay dos premios, qu probabilidad tiene el alum-

no de que le toque,al menos, uno de ellos?

Solucin:a) Aplicacin directa de la regla de Laplace.

P(Premio) = =

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadtotal.

P(No premio) = = 0,992

P(Al menos un premio) = 1 0,992 = 0,008

60. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraendos bolas al azar, sucesivamente y sin reemplaza-miento.a) Cul es la probabilidad de que las bolas extradas

sean blancas?b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, cul es

la probabilidad de que la primera tambin lo hayasido?

Solucin:


P(BB) = P(B) P(B/B) = =

b) P(1 N/2 N) = =

61. Se considera una clula en el instante t = 0. En el instan-te t = 1 la clula puede reproducirse dividindose endos, con probabilidad 3/4; o bien morir, con probabi-lidad 1/4. Si la clula se divide, entonces, en el tiempot = 2, cada uno de sus dos descendientes puede tam-bin subdividirse o morir, independientemente uno deotro y con las mismas probabilidades de antes.a) Cuntas clulas puede haber en el tiempo t = 2?b) Con qu probabilidad?

Solucin:

a) En el instante t = 2 puede haber 4, 2, o 0 clulas.b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(4) = =

P(2) = 2 =

P(0) = + =

62. Dos cajas,A y B, tienen el siguiente contenido:La A tiene cinco monedas de 1 y 3 de 2La B tiene cuatro monedas de 1 , 4 de 2 y 2 de50 cntimos.De una de las cajas elegidas al azar, se extrae una mo-

neda.a) Cul es la probabilidad de que sea de 1 ?b) Si la moneda extrada resulta ser de 2 , cul es la

probabilidad de que proceda de la caja B?

Solucin:

1/2

5/8

3/8

1/2

AB

15 de 1 3 de 2

2

4/10

2/10

4/10

14 de 1 4 de 2 2 de 0,5

2

0,5

1964

14

14

34

14

932

14

34

34

27

64

3

4

3

4

3

4

R

M

3/4

9/16

1/16

6/16

1/4

1 C

4 C

2 C2 C

t = 2t = 1t = 0

0 C

0 C

15

2 1 6 54 2 2 1 + 6 5 6 5

25

35

46

3 B2 N

4 B2 N

3 B1 N

2 B2 N

3 B1 N

4 B

B

N

3/5

B

N

4/6

2/6

2/5

4 B1 N

B

N4/5

1/5

BB

BN

NB

NN

497499

498500

P 2No P 498

P 2No P 497no P

P

498/500

P 2No P 496no P

497/499

1250

2500


20/23


21/23


G r


, S

. L .

Ejercicios y problemasa) Si se selecciona al azar un turista que ha visitado M-

laga, cul es la probabilidad de que haya estado enlas playas de la costa occidental?

b) Si se selecciona al azar un turista que ha visitado M-laga y que ha estado en las playas de la costa occi-dental, cul es la probabilidad de que haya viajado entren?

Solucin:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.P(O) = 0,6 0,7 + 0,3 0,8 + 0,1 0,5 = 0,71


P(T/O) = = = 7 %

67. Se lanzan cinco monedas al aire.Calcula:a) la probabilidad de no obtener ninguna cara.b) la probabilidad de obtener una cara.

c) la probabilidad de obtener ms de una cara.Solucin:a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad

compuesta.

P(XXXXX) = =


5 P(CXXXX) = 5 =

c) P(Ms de una cara) = 1 P(0C,1C) =

= 1 ( + )= 1 = 1316316532132

532

12

12

12

12

12

132

12

12

12

12

12

571

0,1 0,50,6 0,7 + 0,3 0,8 + 0,1 0,5

AO

O

CO

O

TO

O

0,6

0,7

0,3

0,8

0,2

0,5

0,5

0,1

0,3


22/23

342 SOLUCIONARIO

G r


, S

. L .

68. Investiga sobre laLey de los grandes nmeros: si-mula el lanzamiento de un dado con forma de te-

traedro con las caras numeradas del 1 al 4. Hazdistintos lanzamientos, cuenta el nmero de lanza-mientos y las frecuencias absolutas de obtener una de las caras; por ejemplo, el3. Calcula las frecuen-cias relativas y represntalas en un grfico de lneas.Hacia qu valor tienden las frecuencias relativas,que, en definitiva, es la probabilidad?

69. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemticas, curso y tema.

Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.

Paso a paso

Windows Excel

70. En la Hoja2 del mismo libro investiga sobre laley de los grandes nmeros: simula el lanzamiento de un dado

de forma cbica con las caras numeradas del 1 al 6. Realiza distintos lanzamientos y cuenta el nmero de lanza-mientos y las frecuencias absolutas de obtener una de las caras; por ejemplo, el5. Calcula las frecuencias relati-vas y represntalas en un grfico de lneas. Hacia qu valor tienden las frecuencias relativas, que en definitiva esla probabilidad?

71. En la Hoja3 del mismo libro, haz otro estudio anlogo al anterior para un dado de forma octadrica, con las ca-ras numeradas del 1 al 8 y obtener, por ejemplo, el6. Hacia qu valor tienden las frecuencias relativas, que endefinitiva es la probabilidad?

Solucin:

Solucin:

Practica


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G r


, S

. L .

72. En la Hoja4 del mismo libro, haz otro estudio anlogo al anterior para un dado de forma de dodecaedro, conlas caras numeradas del 1 al 12 y obtener la cara9. Hacia qu valor tienden las frecuencias relativas, que en de-finitiva es la probabilidad?

73. En la Hoja5 del mismo libro, haz otro estudio anlogo al anterior para un dado de forma de icosaedro, con lascaras numeradas del 1 al 20 y obtener por ejemplo, el15. Hacia qu valor tienden las frecuencias relativas, queen definitiva es la probabilidad?

74. Al final, guarda el libro en tu carpeta personal con el nombre2C11 completo con todas las hojas de clculo.

Solucin:Haz clic en la barra de herramientas en el icono deGuardar.

Solucin:

Solucin:

Linux/Windows Calc

sol 11 probabilidad

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