Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías.

Universidad de Guadalajara

Seminario de Solución de Problemas de Métodos

Matemáticos I

Actividad 5: Transformaciones Lineales

Sandoval Olivares Jesús Eduardo Código: 215254521

Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica Mtra. Miriam Ileana Flores Sandoval

Introducción. En esta actividad aplicaremos transformaciones lineales a distintas funciones que se nos dan; al igual que veremos si algunas transformaciones ya dadas son lineales o no. Así mismo; determinaremos el rango, dimensión y núcleo de las transformaciones. Marco Teórico. En grandes rasgos las transformaciones lineales son aquellas que salen del

resultado de una multiplicación matricial con un vector, dándonos

ecuaciones lineales, donde podemos sacar algunas propiedades de este

tema. Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa

el cuerpo) se satisface que:

Si es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de de la

siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el

conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector

nulo del codominio. El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio

vectorial del dominio:

1. dado que (para probar esto, observar

que ).

2. Dados

3. Dados

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de

todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos

algún vector del dominio.

La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del

codominio.

El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

Para la transformación lineal 𝑇 ∶ ℝ3 → ℝ3 definida por: (𝑥,y,z) = (3𝑥

+𝑦,6𝑥 −𝑧,2𝑦 +𝑧) Obtener:

a. El kernel (𝑇) y su dimensión

Ker T= {(x, y, z)/ T(x, y, z)= (0, 0, 0)}

= {(x, y, z)/ (3x + y =0)

(6x – z= 0)

( 2y + z= 0)}

Ker T = {(x, y, z)/ = z (z/6 + -x/5 + z)

= 0.16+ (-0.2)+1 = 1.36

b. El rango o recorrido de 𝑇 y su dimensión.

Su dimensión es 3.

Verifica que la transformación 𝑇 ∶ ℝ2 → ℝ3 tal que (𝑥, 𝑦) = (𝑥 +𝑦, 𝑦, −𝑦) es

una transformación lineal.

Es transformación lineal

F(A) = TA= T

T (1, 0)= (1, 0, 1)

T (0, 1)= (1, 1, -1) T= [

] T= [

]

Determine la transformación lineal 𝑇 ∶ ℝ2 → ℝ2 tal que

𝑇 (1,1) = (0, 2)

𝑇 (3,1) = (2, −4)

T= [

] T = [

]

T (x, y)= (x-y,-3x +5y); esta es la transformación lineal, ya que f(A), nos

da esta ecuación por la matriz cuadrada que se genera.

Probar que existe una única transformación lineal 𝑓∶ ℝ2 → ℝ2 tal que (1,1) = (−5,3) 𝑦 𝑓(−1,1) = (5,2). Para dicha 𝑓, determinar (5,3) 𝑦 𝑓(−1,2).

⟾

a(1,1)+b(-1,1) x=a-b x=a-b y=a+b -x+y=2b

a= ⁄ x + ⁄ y b= ⁄ x + ⁄ y

( ⁄ x + ⁄ y)(-5,3)+( ⁄ x + ⁄ y)(5,2)

T(f)=(-5x, ⁄ x + ⁄ y)

f(5,3)= (-25,10)

f(-1,2)= (5, ⁄ )

¿Existirá una transformación lineal 𝑓∶ ℝ2 → ℝ2 tal que (1,1)= (2,6), 𝑓(−1,1)= (2,1) 𝑦 𝑓(2,7) = (5,3) ? a(1,1)+b(-1,1)+c(2,7) x=a-b+2c y=a+b+7c

⟾

⁄

El conjunto {(1,1) (2,7)} no es base de R2 No existe transformación lineal. Sean 𝑓,𝑔∶ ℝ3 → ℝ3 transformaciones lineales tales que 𝑓(1,0,1) = (1,2,1), 𝑓(2,1,0) = (2,1,0), 𝑓(−1,0,0) = (1,2,1), 𝑔(1,1,1) = (1,1,0), 𝑔(3,2,1) = (0,0,1), 𝑔(2,2,−1) = (3,−1,2). Determinar si 𝑓 = 𝑔

T(f)=(-x+4y+2z, -2x+5y+4z, -x+2y-2x)

T(g)=(- ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

F ≠ G

Conclusión.

Una actividad; parecida a las anteriores en el sentido en que tuve que

reforzar temas vistos en la cátedra de la materia y aplicarlos para resolver los

distintos problemas.

En mi caso, no pude hacer uso extenso del software Máxima; no sé si por

limitantes del propio software o falta de conocimientos a profundidad de mi

parte.

Bibliografía.

Rudin, W. (1980). Análisis Funcional, Reverté.

Lang, S. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano.