Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías.

Universidad de Guadalajara

Seminario de Solución de Problemas de Métodos

Matemáticos I

Actividad 3: Campos Finitos

Sandoval Olivares Jesús Eduardo Código: 215254521

Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica Mtra. Miriam Ileana Flores Sandoval

Introducción En esta actividad además de poner en práctica y uso los conocimientos adquiridos en las actividades anteriores también veremos ejercicios sobre los campos finitos y aprenderemos un poco más acerca del tema. Marco Conceptual Sea 𝐹 un conjunto no vacío y +,∙ ∶𝐹×𝐹→𝐹 dos operaciones binarias sobre 𝐹. Decimos que 𝐹 es un campo si se cumplen los siguientes axiomas para cualesquiera 𝑎,,∈𝐹:

1. Asociativa: 𝑎+(𝑏+𝑐)=(𝑎+𝑏)+𝑐 𝑦 𝑎⋅(𝑏⋅𝑐)=(𝑎⋅𝑏)⋅𝑐

2. Conmutativa: 𝑎+𝑏=𝑏+𝑎 𝑦 𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎

3. Distributiva: 𝑎⋅(𝑏+𝑐)=(𝑎⋅𝑏)+(𝑎⋅𝑐)

4. Identidad aditiva: Existe un elemento 0∈𝐹 tal que 0+𝑎=𝑎, para cualquier 𝑎∈𝐹

5. Identidad multiplicativa: Existe un elemento 1∈𝐹,1≠0,𝑙 𝑞𝑢𝑒 1⋅𝑎=𝑎 para cualquier 𝑎∈𝐹

6. Inversos aditivos: Para cualquier 𝑎∈𝐹 existe un 𝑏∈𝐹 tal que 𝑎+𝑏=0

7. Inversos multiplicativos: Para cualquier 𝑎∈𝐹,≠0,𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑏∈𝐹 tal que 𝑎⋅𝑏=1 Si ℤ𝑚 es el conjunto de las clases de equivalencia módulo 𝑚∈ℕ,≠0, podemos definir una suma y una multiplicación de la siguiente forma:

[𝑎]𝑚+[𝑏]𝑚=[𝑎+𝑏]𝑚 [𝑎]𝑚∙[𝑏]𝑚=[𝑎∙𝑏]𝑚

Los campos finitos juegan un rol crucial en varios algoritmos criptográficos. El orden de un campo finito (número elementos) debe ser potencia de un

número primo 𝑝: , (donde 𝑛 es un entero positivo).

Demuestra de las siguientes ternas cuales son campos finitos

a. (ℱ4,+,∙),ℱ4={0,𝑎,𝑏,𝑐} y las operaciones (+ 𝑦 ∙) de la terna están definidas de

la siguiente manera:

+ 0 a b c x 0 a b c

0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c d a 0 a b c

b b c 0 a b 0 b c a

c c d a 0 c 0 c a b

Asociativa

𝑎+(𝑏+𝑐)=a, (𝑎+𝑏)+𝑐 𝑦 𝑎⋅(𝑏⋅𝑐)=(𝑎⋅𝑏)⋅𝑐 =a

Conmutativa

𝑎+𝑏=c,+𝑎 𝑦 𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎 =c

Distributiva

𝑎⋅(𝑏+𝑐)=a,(𝑎⋅𝑏)+(𝑎⋅𝑐)=a

Identidad aditiva

0+a=a

Identidad multiplicativa

1⋅𝑎=𝑎 equivalente a *a=a

No es campo

b. (ℤ5,+,∙),ℤ5={0,1,2,3,4} y las operaciones (+ 𝑦 ∙) de la terna están definidas

de la siguiente manera:

c. (ℤ10,+,∙),ℤ10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

+

0

1

2

3

4

+

0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

1

2

3

4

0

1

0

1

2

3

4

2

2

3

4

0

1

2

0

2

4

1

3

3

3

4

0

1

2

3

0

3

1

4

2

4

4

0

1

2

3

4

0

4

3

2

1

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1

3 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

4 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3

5 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4

6 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5

7 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6

8 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7

d. (ℤ6,+,∙),ℤ10={0,1,2,3,4,5,}

9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

3 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7

4 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6

5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5

6 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4

7 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3

8 0 8 6 4 2 5 8 6 4 2

9 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

. 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

e. (ℤ11,+,∙),ℤ10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,𝑋}

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1

3 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2

4 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3

5 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4

6 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5

7 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6

8 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7

9 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8

10 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Realiza una investigación completa sobre los campos finitos o campos de

Galois.

Sea un número primo. es un campo y la colección de polinomios

con coeficientes en él es un anillo. Si es un polinomio cualquiera

de grado , el cociente es el introducido por la relación de

equivalencia de polinomios:

. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9

3 0 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8

4 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7

5 0 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6

6 0 6 1 7 2 8 3 9 4 10 6

7 0 7 4 10 6 2 9 5 1 8 4

8 0 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3

9 0 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2

10 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y es un anillo con las operaciones heredadas de . De hecho, puede

verse que el cociente posee exactamente elementos. Si

es además un polinomio irreducible de grado entonces el cociente

es un campo, llamado de Galois. Se puede ver que

no depende del polinomio irreducible (si se toma algún otro polinomio

irreducible de grado , el cociente es isomorfo al

cociente ). es un campo finito con elementos, es

cíclico y es de suma importancia en aplicaciones relativas a las

Telecomunicaciones, específicamente en la Teoría de Códigos y en

Criptografía. Todo esto se puede ver con más detalle en los libros [Li] y [Sch].

es pues una -

Sea F[7] el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición y multiplicación

módulo 7. Es decir, los elementos de F[7] son las clases de equivalencia

representadas por los elementos [0], [1], [2], [3], [4], [5] y [6] donde:

[a] + [b] = [j], siendo [j] el resto de la división de (a+b)/7 ( por ejemplo

[5] + [6] = [4], puesto que 5+6=11, que dividido por 7, da resto 4).

[a] x [b] = [k] donde [k] es el resto de la división de (h x i)/7 (Por

ejemplo, [5] x [6] = [2], puesto que 5 x 6 = 30 y 30 entre 7, da como

resto 2).

Además se cumple:

[1] x [1] = [1] = [6] x [6].

[2] x [4] = [1] = [4] x [2].

[3] x [5] = [1] = [5] x [3].

Los elementos de F[7] distintos de cero forman un grupo abeliano bajo la

multiplicación. F[7] es, pues, un campo. Puesto que tiene un número finito de

elementos es un campo finito.

Bibliografía

http://www.repositoriodigital.ipn.mx/bitstream/handle/123456789/7

845/DOC6.pdf?sequence=6

http://www.mat.uc.cl/~ldissett/cursos/iic2252-022/clase14.pdf

http://www.miscelaneamatematica.org/Misc53/5306.pdf