Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías.

Universidad de Guadalajara

Seminario de Solución de Problemas de Métodos

Matemáticos I

Actividad 2: Congruencias Modulo m

Sandoval Olivares Jesús Eduardo Código: 215254521

Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica Mtra. Miriam Ileana Flores Sandoval

Sandoval Olivares Jesús Eduardo

Introducción En esta actividad se trabajara sobre el método llamado “congruencias modulo m” el cual como su nombre nos indica nos ayuda a encontrar congruencia y divisibilidad en un conjunto de números dado y bajo ciertas reglas específicas. Marco Teórico Un entero a es congruente con un entero a’modulo m si a –a’ es múltiplo de m; en este caso se escribe a ≡ a (mod m) Así:

a ≡ a’ (mod m) ⇐⇒ existe z ∈ Z tal que a – a’ = mz;

donde (m) denota al conjunto (ideal) de los múltiplos de m. Cada entero m determina así una relación binaria en el conjunto Z de los enteros, llamada la congruencia modulo m.

a) Si a y b son enteros, entonces las relaciones a ≡ b (mod 0) y a = b son equivalentes, de modo que la relación de congruencia modulo cero es precisamente la relación de igualdad en el conjunto Z de los enteros.

b) Cualquiera que sea m ∈ Z, la relación a ≡ b (mod m) equivale a la relación a ≡ b (mod −m); esto es, las congruencias con respecto a un módulo m y su opuesto −m son idénticas.

c) La relación a ≡ b (mod 1) es válida cualesquiera que sean los enteros a y b.

Sandoval Olivares Jesús Eduardo

Encontrar 2 enteros positivos y 2 negativos equivalentes a 38 (mod3) 38+2(3)=44 38+5(3)=53 38+7(-3)=-59 38+9(-3)=-65

Encuentra el residuo módulo 5 de:

a) 374 + 49(801) + 120

mod5 (1913530) 1913530=382706x5+0 Residuo = 0

b) 1622 + 22(846) mod5 (309, 485, 009, 821, 345, 068, 724, 799, 668) 309,485,009,821,345,068,724,799,668 =

618,970,019,642,690,137,449,599,33*5+3 Residuo = 3

c) 5684 − (224)13 – 16 mod5 (2756) 2756=551x5+1 Residuo = 1

d) 654 − 12(530) + 29 mod5 (-5677) -5677= -1135x5-2 Residuo = -2

Encontrar el dígito de las unidades de 2(325) + 3(87) + 5104 + 1235, en módulo 10

28, 159, 354, 053 = 2, 815, 935, 405 * 10 + 3 Residuo = 3

Sandoval Olivares Jesús Eduardo

Se tienen 2003 tarjetas numeradas, se remueven de 3 consecutivas en 3 consecutivas hasta quedar 2. Juan dice que quedó la tarjeta 1002. ¿Miente o dice la verdad?

No es verdad; se quedó en la tarjeta 2001 mcd(2003,3)

2003=667x3+2 3=1x2+1 2=2x1+0 667x3=2001 2003-2001=2

Escribir las tablas de suma y producto para ℤ2, ℤ3, ℤ4, ℤ5, ℤ6, ℤ9, ℤ11.

Escribir los inversos aditivos y multiplicativos.

Sandoval Olivares Jesús Eduardo

Sandoval Olivares Jesús Eduardo

Un vendedor de naranjas quiere saber cuántas naranjas tenía ayer. Sólo

recuerda que eran más de 100 pero menos de 150 y que cuando hacía

montones de 2, 3, 4, 5, y 6 naranjas siempre sobraban 1.

121 Naranjas. 2x2x3x5=120+1=121

Sandoval Olivares Jesús Eduardo

Conclusión

Poco a poco y en base a las actividades que voy realizando afianzo mejor y

retomo temas vistos con anterioridad y me doy cuenta como distintos

métodos existentes pueden ser puestos en práctica en función del problema

o la situación de la vida real que quiera resolver y que por lo tanto me facilita

el trabajo.

Bibliografía

Congruencias. Lecciones de Algebra. Jaime Gutiérrez Gutiérrez y Carlos

Ruiz de Velasco y Bellas

http://personales.unican.es/ruizvc/algebra/congruencias1.pdf

http://www.saber.ula.ve/bitstream/123456789/15953/1/congruencia.

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