soje_sspmmi_ac1

7/23/2019 SOJE_SSPMMI_Ac1

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Centro Universitario de CienciasExactas e Ingenierías.

Universidad de Guadalajara

Seminario de Solución de Problemas de MétodosMatemáticos I

Actividad 1:

Divisibilidad de enteros, números primos, algoritmo de

Euclides

Sandoval Olivares Jesús Eduardo

Código: 215254521

Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica

Mtra. Miriam Ileana Flores Sandoval




Introducción

En este trabajo se explicara el teorema o algoritmo de Euclides a la vez que

se reforzaran los conocimientos sobre las reglas de divisibilidad y números

primos así como los conocimientos adquiridos en otras materias tales como

la programación.

Marco conceptual

Algoritmo de Euclides

Un algoritmo se define como la secuencia de pasos a seguir para conseguir

un resultado. El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el

máximo común divisor (m.c.d) de dos números.

Esto se logra de la siguiente manera:

1. Se divide el número mayor entre el menor.

2. Si la división… a. es exacta, el divisor es el m.c.d.

b. no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se

continúa de esta forma hasta obtener una división exacta,

siendo el último divisor el m.c.d.

Máximo común divisor

El mayor número por el que se pueden dividir dos o más números. Si se

encuentran todos los factores de dos o más números y se encuentra que

algunos factores son los mismos ("Comunes"), entonces el mayor de estosfactores comunes es el Máximo Común Divisor.

Ejemplo: El MCD de 12 y 30 es 6, porque 1, 2, 3 y 6 son los factores comunes

de 12 y 30, y 6 es el mayor

Divisibilidad

Se refiere a la parte de la aritmética que estudia las condiciones que han de

tener los números para ser divisibles por otros, es decir, que se puedan

dividir exactamente.

Investiga las reglas de divisibilidad para los primeros 11 números naturales.

2. El número es divisible si termina en cero o número par (26, 240,

1038)

3. Si la suma de sus dígitos da como resultado un múltiplo de 3

(1029….1+0+2+9=12)




4. Si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4 (2040/4=510….

40/4=10)

5. Si termina en cero o cinco

6. Si es divisible entre 2 y entre 3

7. Cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidadesy el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7

(343…34-(3*2)=28…28/7=4)

8. Si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8

(1048…048/8=6)

9. Si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9 (189…1+8+9=18)

10. Cuando termina en cero

11. Cuando la suma de las cifras en lugares impar menos la suma de

las cifras en lugares par es 0 ó múltiplo de 11 (97889… (9+8+9)-

(7+8)…26-15=11)

Encuentra el mcd (m, n) aplicando el algoritmo de Euclides.

a) m=15, n=1415 – (14 x 1) = 114 – (1 x 14) = 0mcd (15,14) = 1

b) m=9251, n=13429251 – (1342 x 6) = 1199

1342 –

(1199 x 1) = 1431199 – (143 x 8) = 55143 – (55 x 2) = 3355 – (33 x 1) = 2233 – (22 x 1) = 1122 – (11 x 2) = 0mcd (9251,1342) = 11

c) m=1329, n=8461329 – (846 x 1) = 483846 – (483 x 1) = 363

483 –

(363 x 1) = 120363 – (120 x 3) = 3120 – (3 x 40) = 0mcd (1329,846) = 3

d) m=5685, n=22405685 – (2240 x 2) = 12052240 – (1205 x 1) = 1035




1205 – (1035 x 1) = 1701035 – (170 x 6) = 15170 – (15 x 11) = 515 – (5 x 3) = 0mcd (5685,2240) = 5

e) m=654, n=530654 – (530 x 1) = 124530 – (124 x 4) = 34124 – (34 x 3) = 2234 – (22 x 1) = 1222 – (12 x 1) = 1012 – (10 x 1) = 210 – (2 x 5) = 0mcd (654,530) = 2

Implementa un algoritmo en cualquier lenguaje de programación que

despliegue al menos los primeros 15 números primos.

int main()

{

unsigned int num, n, p, num_columnas;

num = 15 ;

num_columnas = 0 ;

n = 2;

while(n <= num){

for (p = 2; n % p!= 0; p++);

if (p == n)

{

cout << n <<", ";

if(++num_columnas % 10 == 0)

cout << "\n" << endl;

}

n++;

}


}




Mejore su programa anterior permitiendo que el usuario pueda teclear la

cantidad de números que requiera.

María prepara una cena especial para su familia. Ha hecho 56 canapés de

queso y 40 de paté. Quiere repartir los canapés en el máximo número deplatos posible, de manera que haya el mismo número de canapés de cada

tipo en todos los platos. ¿Cuántos platos necesitará?

m=56, n=40

56 – (40 x 1) = 16

40 – (16 x 2) = 8

16 – (8 x 2) = 0

mcd (56,40) = 8

Bibliografía

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cillerue/Curso/Libro.pdf

Pérez Segui, María Luisa (2006), teoría de los números, instituto de

matemáticas, UNAM

int main()

{

unsigned int num, n, p, num_columnas;

cout << "Introduzca la cantidad de numeros primos que quiere obtener: ";cin >> num;

cout << '\n' << endl;

num_columnas = 0 ;

n = 2;

while(n <= num)

{

for (p = 2; n % p!= 0; p++);

if (p == n)

{

cout << n <<", ";

if(++num_columnas % 10 == 0)


}

n++;

}


}




José Bonet (2014) - El análisis matemático y los números primos.

Instituto Universitario de Matemática Pura y Aplicada.

http://jbonet.webs.upv.es/wpcontent/uploads/2014/04/Bonet_VLC27

mz14_final.pdf Brassard, Gilles; Bratley, Paul(1997), Análisis de algoritmos.

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