UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADORMateria: Matemtica IIngeniero: Rodolfo Elas Torres CornejoSeccin: 03

Trabajo de Investigacin

Tipos de Software para el Tratamiento de Funciones

Indice

Introduccin3 Geogebra4 Tamao4 Plataformas4 Descripcin 4 Valoraciones5 Aplicaciones6

Cabri7 Tamao 7 Plataformas7 Descripcin7 Caractersticas 8 Aplicaciones9 Valoraciones11 Forma de uso12

Derive 5.0-613 Tamao13 Plataformas13 Descripcin14 Caractersticas14 Aplicaciones15 Valoraciones16 Forma de uso18

Mxima19 Tamao19 Plataformas19 Descripcin19 Primer contacto con mxima20 Comandos bsicos21

Bibliografa24

Introduccin

Los softwares o programas de matemticas son muy tiles para ayudarnos a realizar ejercicios de diferentes maneras.Aprendemos a usar las herramientas del programa determinado, mostrndonos graficas funciones, geometra, calculo y algebraicos, estos software pueden resolver problemas muy complejos, al hacer graficas bien exactas y precisas.Aqu hay algunos de ellos de los cuales son muy tiles y son los que ms se usan para este tipo de situaciones fciles de usar muy prcticos y sencillos para los usuarios que los usan

GeoGebraTamao:20 MBPlataforma:XP/7/ Android/Linux Descripcion Es un programa interactivo en el que se combinan, por partes iguales, el tratamiento geomtrico y el algebraico. Fue diseado, porMarkus Hohenwarterde la Universidad de Salzburgo, como herramienta para la enseanza y aprendizaje de matemticas para la enseanza secundaria. No es un programa al uso de geometra dinmica, aunque recoge la prctica totalidad de las herramientas de los programas clsicos como Cabri. Su principal caracterstica diferenciadora es el tratamiento algebraico de los elementos geomtricos dibujados de forma clsica. Es de muy fcil manejo a pesar de su potencial. El aprendizaje es muy intuitivo y se realiza al hilo de su utilizacin en contextos de aprendizaje lo que no requiere ni sesiones especiales de manejo del programa ni elaboracin de apuntes sofisticados La presentacin de la pantalla del programa cuenta con dos ventanas activas: una zona de dibujo en la que se crean y manipulan objetos geomtricos: puntos, segmentos, rectas, vectores, tringulos, polgonos, crculos, arcos, cnicas... los mismos que en Cabri -; y otra donde aparecen las coordenadas de los puntos y las ecuaciones de las rectas y curvas trazadas que se actualizan simultneamente con los cambios en la regin grfica. Sus ventajas sobre Cabri y otros programas similares son que se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Permite manejarse con variables vinculadas a nmeros, vectores y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del anlisis matemtico, para identificar puntos singulares de una funcin, como races o extremos. Sus rutinas analticas permiten su uso como instrumento para el estudio de funciones como un programa clsico de representacin grfica y de tratamiento de puntos notables: corte con los ejes, extremos, funcin derivada, integral, etc. Tiene implementado rutinas de animacin de la funcin y de localizacin de mximos, mnimos, puntos de inflexin, funcin derivada, integral definida, recta tangente en un punto...Permite grabar los ficheros en formato HTML para ser utilizados con cualquier navegador. Su desventaja que no cuenta con una herramienta de animacin automtica de objetos lo que limita su potencial de mostrar los objetos con movimiento. Valoracin didcticaRene todas las ventajas didcticas de Cabri y adems incorpora herramientas bsicas de estudio de funciones sobre todo polinmicas.Es una ventaja la doble presentacin geomtrica y algebraica de los objetos estudiados ya que posibilita el trnsito natural de la geometra sinttica a la geometra analtica.Es de muy fcil aprendizaje y presenta un entorno de trabajo agradable. Los grficos se pueden exportar con facilidad tanto a pginas web interactivas en las que la construccin funciona como un applet de Java, como a documentos de texto.

AplicacionesLas mismas que Cabri ms el estudio de funciones, con aplicaciones tan llamativas como el desarrollo en serie de Taylor de una funcin en un punto con el nmero de trminos que se elijan. Como ejemplo de aplicacin como verdadera investigacin se estudia uno de los problemas de las oposiciones de este ao para profesores matemticas de secundaria.

En un tringulo cualquiera ABC se trazan los puntos que dividen a cada lado en tres partes iguales y se unen, como indica la figura con el vrtice opuesto; las rectas as

trazadas determinan el tringulo IJK. Qu relacin hay entre las reas de los tringulos ABC e IJK?

Cabri II Plus.Tamao:5.39MBPlataforma:XP/7/LinuxEl programa cabri-gomtre II fue diseado por Jean Marie Laborde y Franck Bellemain en la Universidad Joseph Fourier de Grenoble (Francia) y experimentado en sus aulas. DescripcinSe trata de un excelente programa diseado para construir Geometra. Permite construir objetos geomtricos, visualizarlos de forma dinmica, manipularlos, transformarlos y realizar medidas sobre ellos. Permite estudiar en el plano y ahora con Cabri 3D tambin en el espacio todo tipo de propiedades geomtricas y lugares geomtricos de forma sencilla e intuitiva. Muy fcil de utilizar para los alumnos. El programa permite realizar con el ordenador todas las construcciones que se pueden realizar con regla, comps y las herramientas habituales de dibujo, pero con este programa se pueden manipular directamente las figuras construidas en la pantalla mediante el arrastre con el ratn de ciertas partes de ellas. De hecho, una vez elaborada una figura geomtrica, Cabri reconoce cules son las partes (de dicha figura) que pueden ser arrastradas. Es fundamental sealar que esto ocurre, sin alterar las relaciones estructurales entre las partes constitutivas de la figura, lo que le convierte en una herramienta muy valiosa para el estudio de invariantes y propiedades geomtricas de carcter general de los objetos geomtricos. En concreto es un instrumento de primer orden para el estudio dinmico de lugares geomtricos Caractersticas principales Es un programa fundamentalmente grfico que funciona a travs de un men basado en botones para acceder a las distintas funciones

Permite construir: Puntos: aislados, sobre un objeto, como interseccin.Figuras rectilneas: rectas, semirrectas, segmentos, vectores, tringulos, polgonos y polgonos regularesFiguras curvilneas: circunferencias, arcos de circunferencia, cnicasConstrucciones y herramientas: punto medio, recta perpendicular, recta paralela, mediatriz, bisectriz, suma de vectores, construcciones con comps, transferir medidas, lugares geomtricos.Movimientos en el plano: simetra central y axial, traslacin, rotacin, homotecia e inversinDeterminacin de posiciones relativas: pertenece un punto a un objeto, estn alineados tres puntos, es equidistante, son paralelas dos rectas, son perpendicularesMedidas: coordenada, distancia, longitud, rea, ngulo, pendiente, ecuacin, valores numricos de expresiones algebraicas, crear tablasElementos de edicin: texto sobre objetos, nmeros, expresionesMarcas sobre objetos: ngulos, hacer trazas, animar objetos...Elementos de diseo grfico: color, espesor, llenado, ocultar, mostrar, aspecto, punteado, ejes, cuadrcula... CABRI tiene un problema nada desdeable, su dificultad de exportar sus grficos y sus animaciones a otras aplicaciones ms familiares para el usuario. Hace unos aos los creadores de CABRI han lanzado el Proyecto Cabriweb, que permite disfrutar de las aplicaciones con animaciones y la posibilidad de manipulacin de los objetos geomtricos a travs de cualquier navegador de Internet mediante applets de Java. Ahora Cabri puede traducir sus aplicaciones al lenguaje Java y permite verlas en ficheros html sin necesidad de tener el programa cargado en el ordenador. La idea es simple: una aplicacin llamada Cabri Web que traduce directamente un fichero de Cabri a un fichero HTML con un applet de Java incluido. Aplicaciones en clase El programa permite estudiar figuras geomtricas en movimiento. Esta facultad nos permitir: 1. Estudio de la rigidez y deformabilidad de una figura1. Movimientos que conservan algunas propiedades1. Definicin apropiada de figuras en el Cabri con el fin de que tengan propiedades invariantes si son sometidas a movimientos de sus componentes. La definicin de una figura a travs de elementos distintos permite comprobar de forma aproximada algunas propiedades de simetra e igualdad: 1. Definicin de una figura mediante movimientos y simetras y posterior estudio mtrico.1. Comprobacin de teoremas (Pitgoras, Tales, etc.) en figuras con elementos mviles. La facilidad de definicin de movimientos, semejanzas y simetras y la posibilidad de ocultar lneas auxiliares nos permiten la bsqueda de elementos notables entre figuras homlogas: 1. Bsqueda por tanteo del centro y ngulo de giro o de ejes de simetra1. Construccin de vectores de traslacin1. Construccin de figuras mediante movimientos Es muy interesante la combinacin de elementos fijos y mviles para estudiar cmo cambian algunas relaciones segn la distinta posicin de algunos elementos: Diferencias entre altura, bisectriz y mediana en un tringulo. Relaciones mtricas Tangentes, cuerdas y secantes a una circunferencia. Cuerda comn a dos circunferencias. La posibilidad de definir macros permitir a los alumnos mayores sintetizar en pocos elementos la definicin de una figura: Construccin de paralelogramos mediante traslaciones, ngulos o puntos. Dibujo de polgonos regulares mediante giros y simetras Construccin de figuras nuevas mediante movimientos de otras conocidas. En concreto para 4 de ESO el programa se puede utilizar para estudiar los siguientes contenidos: Figuras semejantes Teorema de Thales. Semejanza de tringulos. Relacin entre las reas de figuras semejantes. Teorema del cateto y Teorema de la altura ngulos y reas Razones trigonomtricas de un ngulo agudo. Relaciones fundamentales. Razones trigonomtricas de ngulos cualesquiera. Vectores. Operaciones. Vector que une dos puntos. Ecuacin de la recta. Ecuacin de la circunferencia Valoracin didcticaEl programa es de fcil manejo y no requiere de mucho tiempo y esfuerzo para su aprendizaje. Al tratarse de un programa de dibujo se pueden comprobar los aciertos y errores de la construccin de forma automtica. La manipulacin directa de los objetos geomtricos hace posible la experimentacin en dominios que anteriormente eran inaccesibles para el alumno. Adems, su conocimiento queda marcado por relacin directa entre percepcin y conceptualizacin durante la interaccin con el programa y la socializacin en el marco de la clase.Cabri incorpora herramientas de medida directa de los objetos construidos lo que permite desarrollar no slo un enfoque sinttico de la geometra sino que hace posible abordar problemas mtricos sobre objetos geomtricos reales, algo poco trabajado en clase hasta ahora.Dado el control formal del entorno, las experiencias desarrolladas pueden considerarse como genuinas investigaciones geomtricas. La visualizacin y las representaciones externas permiten atender otro problema medular del aprendizaje y de la enseanza de las matemticas: el problema de la validacin de los enunciados matemticos y de la comprobacin de los resultados.

Forma de usoCabri facilita una metodologa activa en la que los alumnos adems de construir figuras, pueden experimentar con ellas, comprobar conjeturas, descubrir propiedades y, en definitiva, hacer Geometra. El papel del profesor ser fundamentalmente, el de preparar el material impreso de apoyo, observar y ayudar para resolver las dudas particulares de cada equipo, el de motivar para la actividad y promover la reflexin, el intercambio de conjeturas y conclusiones, etc. Se puede plantear dos posibilidades de uso del programa: 1. El trabajo con toda la clase en el aula de informtica con equipos estables de dos alumnos por ordenador con prcticas guiadas y desarrollando autnticas investigaciones geomtricas y de descubrimiento de propiedades de los objetos estudiados. En este caso, las actividades han de ser auto-explicativas para que los alumnos vayan teniendo cada vez ms autonoma. Tambin sern necesarias explicaciones al grupo (sobre todo al comienzo de cada sesin en que conviene aclarar el sentido de lo que se va hacer y puede que tambin cmo transcurri la sesin anterior). 1. El uso como pizarra electrnica en la clase ordinaria por parte del profesor o de los alumnos para poner de manifiesto propiedades de las figuras y cuerpos, relaciones entre los elementos de las figuras, resultados mtricos, para mostrar situaciones y realizar comprobaciones.

Derive 5.0 6.0

Tamao:Derive 5: 5.39MB; Derive 6: 10 MBPlataforma: XP/7/Linux

Descripcin. Derive es una herramienta matemtica de propsito general que procesa todo tipo de nmeros (naturales, enteros, racionales, reales y complejos), variables, expresiones algebraicas, ecuaciones, vectores, matrices, funciones... Puede realizar clculos numricos y simblicos con lgebra, trigonometra, anlisis...Realiza representaciones grficas en dos y tres dimensionesSe puede utilizar Derive como una calculadora numrica de gran potencia. ConDerive podemos realizar clculos exactos con la precisin que sea necesaria. Permite manipular expresiones racionales como 1/3, sin necesidad de tener que operar con su expresin decimal aproximada. Incorpora rutinas de clculo matricial, estadstica, interpolacin, integracin numrica, etc.Maneja el clculo matemtico simblico, manipulando con facilidad expresiones algebraicas (identidades, ecuaciones, frmulas, polinomios y fracciones algebraicas) y puede realizar la mayora de operaciones con las mismas: simplificar, factorizar, resolver....Su potencial didctico reside en la capacidad de combinar el clculo simblico con la representacin grfica. Permite construir grficos de 2 y de 3 dimensiones. Es decir puede trabajar en el plano para la representacin de curvas y en el espacio para el estudio de planos y superficies. N el tratamiento grfico se pueden representar los datos y adjuntar sus tablas de valores, modificar escalas, colores y sombreados y otras caractersticas de los grficos. Calcula lmites, derivadas e integrales. Puede crear grficos animados. Caractersticas principales 1. lgebra: desarrollo y factorizacin de polinomios; simplificacin de expresiones algebraicas; resolucin de numrica y simblica; resolucin de sistemas lineales de ecuaciones... 1. Aritmtica: aritmtica exacta y aritmtica aproximada de precisin configurable; factorizacin de enteros; conversin de unidades mtricas; calculadora cientfica, nmeros complejos1. Grficos 2D: en forma explcita, implcitas y paramtricos; coordenadas rectangulares y polares; funciones de variable compleja; especificacin de colores; permite poner etiquetas de ejes y anotaciones sobre los grficos... 1. Grficos 3D: mallado para funciones de dos variables; seleccin del punto de vista; cambio de escala; rotacin de grficos en tiempo real... 1. Clculo: clculo simblico de lmites finitos e infinitos; primera y n-sima derivadas; integrales definidas e indefinidas; integracin numrica; sumas y productos finitos e infinitos; derivacin implcita y paramtrica; desarrollos de Taylor y series de Fourier; longitud de arco, reas y volmenes. En el currculo de secundaria se puede utilizar en los siguientes temas Nmeros, lgebra, Geometra analtica del plano, Funciones, Derivadas, Integrales, Geometra Analtica del Espacio y Programacin Lineal. Aplicaciones en clase Nmeros: Aproximaciones y errores, notacin decimal y cientfica, operaciones con nmeros racionales, nmeros irracionales, operaciones con radicales, potencias y races, notacin exponencial, racionalizacin. Logaritmos. Nmeros combinatorios. Sucesiones y progresiones. Lmites de sucesiones lgebra:Operaciones con polinomios y expresiones algebraicas: suma, resta, multiplicacin, divisin factorizacin, valor numrico, teorema del resto. Races de un polinomio. Potencias de polinomios. Binomio de Newton. Fracciones algebraicas: simplificacin, operaciones Trigonometra:Conversin de ngulos de un sistema a otro. Resolucin de tringulos no rectngulos. Representacin de funciones trigonomtricas y sus inversas. Familias de funciones dependiendo de uno o ms parmetros, aplicacin al estudio de ondas. Comprobacin de frmulas trigonomtricas, resolucin de ecuaciones trigonomtricas y sistemas, Funciones:Representacin grfica a partir de la frmula algebraica, de tablas de datos. Estudio global. Familias de curvas. Composicin de funciones y funciones inversas. Estudio local. Lmites laterales en un punto, continuidad, lmites infinitos, asntotas. Derivadas e integrales Geometra analticaVectores, operaciones. Trazado de rectas, familias de rectas, interseccin, paralelismo, ngulo de dos rectas. Problemas mtricos. ProbabilidadSimulacin de sucesos aleatorios. Representacin de frecuencias relativas. Estabilizacin. Probabilidad de sucesos. Valoracin didcticaDerive es un programa genrico de aplicacin a la prctica totalidad del currculo de la ESO y bachillerato. Es una herramienta matemtica muy completa de un potencial enorme que posibilita un enfoque activo en el aprendizaje de los alumnos. Hasta ahora el principal inconveniente era su complicado aprendizaje y funcionamiento que exiga para los alumnos un tiempo nada despreciable para aprender las rutinas de uso. A partir de las versiones 5 y 6 la presentacin del programa, el acceso y puesta en accin de mens y herramientas matemticas se ha hecho ms sencilla, algo ms fcil y atractiva. Sin embargo, contina exigiendo un aprendizaje guiado poco intuitivo y directo lo que hace casi imprescindible un doble enfoque por parte del profesor: ensear a utilizar la herramienta informtica, al mismo tiempo que muestra su utilidad didctica y los resultados matemticos perseguidos. Sin embargo desde el punto de vista pedaggico Derive tiene un inconveniente; la mayora de sus herramientas sirven, casi exclusivamente para proporcionar resultados. Como deca un alumno en una entrevista realizada a J.M. Arias en El Pas: es fabuloso, t le metes los datos y el ordenador te hace el problema Es decir, su nivel de interactividad con el alumno en su proceso de aprendizaje es bajo. El programa hace lo que debera hacer el alumno. Este hecho, en s no es negativo, ya que permite a profesores y alumnos liberarse de la realizacin de clculos y procesos tediosos y rutinarios y concentrarse en el origen y fundamento de los conceptos y en la aplicacin de procedimientos y tcnicas para alcanzar resultados y conclusiones en investigaciones ms amplias. Esto no invalida la utilizacin de Derive en algunas unidades de la ESO, pero condiciona el protocolo de uso del mismo. Su utilizacin se debe enfocar a situaciones en las que el alumno tiene que deducir propiedades observando ciertos resultados, enumerar caractersticas, condiciones de aplicacin... de objetos y conceptos matemticos, liberndole de la realizacin de clculos tediosos o de la aplicacin de tcnicas rutinarias. Forma de usoEsto condiciona la metodologa de uso del programa, y exige un material impreso elaborado previamente por el profesor para guiar no slo desde el punto de vista tcnico de manejo del programa, sino sobre todo desde el punto de vista pedaggico del itinerario a seguir para conseguir los objetivos didcticos perseguidos. Se puede plantar dos posibilidades de uso del programa: 1. El trabajo con toda la clase en el aula de informtica con equipos estables de dos alumnos por ordenador con prcticas guiadas. 1. El uso como pizarra electrnica en la clase ordinaria por parte del profesor o de los alumnos para poner de manifiesto resultados, mostrar situaciones y realizar comprobaciones. Con un enfoque constructivista del aprendizaje matemtico Derive puede ser una herramienta til para descubrir resultados, comprobar conjeturas, contrastar hiptesis,... En definitiva es un instrumento para que los alumnos, con unas orientaciones guiadas por el profesor pueda hacer matemticas de forma autnoma, abordando investigaciones asequibles a sus conocimientos.

MXIMA 5.34.1

Tamao: maxima-5.34.1 (29.5 MB)Plataformas Xp/7/Android/Linux/

DescripcinComo se ha comentado anteriormente, Mxima es un potente motor de clculo simblico (y numrico). El paquete bsico permite utilizar sus funcionalidades a travs de una consola de texto preparada para que el usuario comience a introducir rdenes en el lenguaje de Mxima.El paquete bsico permite utilizar sus funcionalidades a travs de una consola de texto preparada para que el usuario comience a introducir rdenes en el lenguaje de Mxima.Figura Mxima ejecutndose en entorno consolaAunque puede resultar demasiado espartano para personas nuevas en Mxima, este entorno permite acceder a todas sus posibilidades y muchos de los usuarios ms avanzados pueden preferir, en ocasiones, la claridad y velocidad que proporciona el acceso a las funcionalidades sin necesidad de navegar entre rboles de mens con el ratn.Pero adems, existen una serie de programas, entre ellos mxima, que actan como entornos grficos, permitiendo al usuario el ejecutar Mxima de forma indirecta e interaccionar con l mediante filosofas ms visuales Estos entornos estn dotados de licencia libre y se pueden instalar de forma complementaria a Mxima, siguiendo un proceso similar a lo que se coment en el apartado anterior. Cada una de ellas tiene unas caractersticas propias que la pueden hacer ms adecuada para unos usuarios u otros.En este manual se ha optado por elegir desde el principio una de estas interfaces para fijar concretamente los contenidos y la forma de interactuar con el programa. La interfaz elegida es Mxima, debido a que se trata, quizs, de aquella que puede resultar ms amable para un profesor o un estudiante que se enfrente por vez primera al uso de

Primer contacto con MximaPor otro lado, cuando accedemos a Mxima a travs de (pinchando en el men de aplicaciones de nuestro entorno de ventanas), encontraremos una ventana amigable, con numerosos botones y mens. La podemos considerar dividida en distintas

1. Barra de mens: Nos permite acceder al motor de clculo simblico Maxima2. Barra de iconos: Acceso rpido a algunas de las opciones de la barra de mens3. rea de salida o consola: En ella se muestran los resultados4. rea de entrada: Para teclear comandos5. rea de botones o atajos: Otro punto de acceso rpido a los comandos de MximaInicialmente, el rea de salida contiene una informacin similar a la que antes aprecibamos, con informacin sobre el programa:Como antes, comenzaremos realizando una simple suma. Para ello, en esta ocasin nos debemos situar en el rea de entrada (con el ratn o pulsando la tecla F4) y teclear la operacin que deseemos, por ejemplo, 44+77 A continuacin pulsamos enter

COMANDOS BSICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES En esta seccin mostraremos el uso de algunos comandos bsicos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias en Mxima.El comando desolve Los comandos principales para la solucin de EDOS son ode2 y desolve:ode2(eqn,dvar,ivar)desolve(eqn,x)dsolve([eqn_1,...eqn_n],[x_1,...,x_n])Parmetros:dvar variable dependiente.ivar variable independiente.eqn o eqn_1,...,eqn_n ecuacin diferencial ordinaria o lista de EDOS.x_1,...,x_n variables dependientes.Para definir derivadas podemos usar:'diff(y,x),'diff(y,x,2) o'diff(y(x),x),'diff(y(x), x,2)donde x es la variable independiente y y es la variable dependiente.Algunos otros comandos, como ic2, ic1 y bc2, permiten resolver problemas de condiciones iniciales o de frontera. El comando desolve resuelve ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de la transformada de Laplace. Por otra parte, las tcnicas o procedimientos (en el orden de ejecucin) que usa ode2 para resolver ecuaciones de primer orden de acuerdo con su tipo son: lineales, variables separables, exactas (con factor de integracin), homogneas, Bernoulli. Para las de segundo orden: coeficientes constantes, exactas, lineal homogneas con coeficientes no constantes que pueden transformarse en coeficientes constantes, Euler, variacin de parmetros y aqullas donde no aparece la variable dependiente o la variable independiente y que pueden reducirse a ecuaciones de primer orden.Podemos trabajar en Maxima en modo terminal o con las interfaces grficas xmaxima y wxmaxima, estas ltimas permiten que las expresiones algebraicas luzcan como tales. La figura 1 muestra estos entornos de trabajo:

Para obtener la ventana de ayuda, activamos el men de ayudas en la ventana principal de wxmaxima y vamos a la opcin ayuda en Maxima. Aqu podemos consultar la sintaxis de desolve o de ode2, una serie de ejemplos, detalles de los mtodos de solucin y algunas otras funciones con las que cuenta Maxima para resolver ecuaciones diferenciales. Esta ventana de ayuda se muestra en la figura 2. Los ejemplos de la siguiente seccin sern de utilidad para aclarar el uso de ode2 y desolve.

Bibliografa

Descarga de los programashttp://www.geogebra.athttp://www.derive-europe.com/ http://www.cabri,com/

Otros enlaces

http://www.cabri.net/cabrijava/,http://www.unp.edu.pe/pers/ripanaque/download/manual.pdfhttp://thales.cica.es/estalmat/oriental/files/s13.pdf/http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-58262009000200006http://matematicas.torrealmirante.net/PROGRAMAS%20INFORMATICOS/wxMaxima/maxima.pdf2