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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

PRESENTACION DE UN NUEVO MODELO MATEMATICO PARA EL ANALISIS SISMICO

DINAMICO DE ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS DE “N” PISOS DE RESPUESTA NO LINEAL POR EL METODO PASO A PASO Y POR EL METODO ESPECTRAL

Ing. José Alejandro Gómez Hernández *

RESUMEN El objetivo del presente estudio es presentar un modelo matemático para el análisis sísmico dinámico no lineal para edificios de “N” pisos considerando el efecto “P-” y la variación de los períodos de vibración para estructuras de respuesta no lineal en función de su desplazamiento y su ductilidad con base en los métodos de la Dinámica Estructural no lineal.

SUMMARY This paper presents a new mathematical model for seismic analysis of building structures with nonlinear behavior. This model is based on the advanced theory of structural dynamics, considering the “P- ” effect for structural systems with MDOF.

INTRODUCCIÓN El conocimiento muy limitado referente a las soluciones de ecuaciones diferenciales no lineales que prevaleció hasta principios del siglo XX condujo a las ciencias a una concepción sobre-simplificada del comportamiento de los fenómenos físicos, donde los modelos matemáticos en uso eran los de un mundo linealizado. Hoy en día es bien conocido que la naturaleza está gobernada por leyes con estructuras no lineales y que sus efectos tienen una gran importancia en todas las ciencias naturales. Basada en los resultados casi olvidados de Poincaré y Lyapunov, la teoría de los sistemas dinámicos no lineales es una disciplina que ha tenido un desarrollo mayor en el comienzo del siglo XXI, siendo la parte más popular de las ciencias no lineales la teoría del caos. Para entender correctamente el comportamiento de los sistemas dinámicos no lineales se debe de estudiar su estabilidad, se hace notar que la variación de los parámetros en el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que modela al sistema físico puede conducir a la perdida de la estabilidad del sistema no lineal propiciando bifurcaciones y fenómenos de caos. En el análisis sísmico dinámico no lineal para edificios de “N” pisos considerando el efecto “P-”, el problema de calcular la variación del período de vibración de una estructura no lineal de un edificio es de gran importancia para el diseño sísmico de las estructuras, ya que de no hacerlo se corre el riesgo de que el sistema suelo-estructura se encuentre dentro del rango en el cual ocurre el fenómeno de amplificación de respuestas dinámicas no lineales (Resonancia no lineal), propiciando efectos destructivos en la estructura, como resultado de la amplificación de acciones que se pueden generar. Este parámetro es determinante en el comportamiento dinámico de las estructuras, por estas razones es importante calcular su magnitud y rango de variación, con la mejor precisión posible. También es importante calcular la carga crítica de pandeo dinámica para estructuras de respuesta no lineal con el fin de evitar este tipo de falla que se propicia con el efecto “ P - ”. --------------------------------------------------- * Director General de AGH Ingenieros, A. C. (Consultor en Ingeniería Estructural y Geotécnica – UNAM) MEXICO, D. F. / TEL.-55-24-72-22 / CEL.- 044-55-27199018 / e-mail: [email protected]

XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Guerrero 2012

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ANTECEDENTES Este importante problema ya ha sido estudiado por varios investigadores, los cuales han propuesto diversos modelos de diferentes tipos como lo son los analíticos, los empíricos y los semiempíricos. En este estudio se presenta un modelo de tipo analítico, considerando comportamiento elástico no lineal en el modelo de la estructura y todas las hipótesis pertenecientes a la mecánica de sólidos no lineales, las cuales se dan por conocidas. Los modelos existentes los hay desde los simplistas hasta los complicados y sus resultados presentan dispersiones importantes. Por supuesto el modelo propuesto también puede evaluar la respuesta inelástica de forma aproximada. Los modelos analíticos basados en comportamiento elástico no lineal tienen una dispersión mucho menor entre los de su mismo tipo. Los modelos que aquí se presentan se han comparado contra varios modelos de su tipo con aceptación internacional, resueltos por los métodos de Newmark, de Wilson, el de elemento finito no lineal y el numérico de diferencias finitas obteniendo resultados y conclusiones que dan sustento al modelo propuesto. Este modelo da resultados satisfactorios para las estructuras de concreto reforzado y en general para las estructuras de respuesta no lineal.

Tipos de modelos para el análisis sísmico dinámico no lineal

Los modelos que han sido propuestos en relación al análisis sísmico no lineal pueden agruparse en tres categorías, dependiendo del nivel al que se consideran las no linealidades. En orden creciente de dificultad , el comportamiento no lineal puede incluirse en:

I. Las rigideces laterales de entrepiso de cada marco.

II. Las relaciones momento - curvatura para los elementos de cada marco.

III. Las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad y las leyes constitutivas de cada material a nivel diferencial.

La mayor parte de los modelos del primer grupo corresponden a vigas de corte. Inicialmente propuestos para sistemas con un solo grado de libertad, las mismas ideas se pueden aplicar a sistemas con N grados de libertad en forma similar al análisis lineal clásico. Diversas relaciones fuerza cortante - distorsión han sido utilizadas, basadas en fórmulas semiempíricas o en los resultados de análisis estáticos no lineales para los pórticos planos. Este tipo de modelo permite considerar diversos efectos no lineales, al menos cualitativamente, con muy poco esfuerzo de cómputo. Sus principales desventajas están en las dificultades para estimar apropiadamente las rigideces de entrepiso y en que por lo general no es factible determinar con precisión los efectos a nivel local.

Al segundo grupo corresponden una serie de modelos de rótulas plásticas. Cuando las relaciones momento-curvatura se suponen elastoplásticas, las secciones que alcanzan el momento de fluencia no son capaces de soportar momentos adicionales, actuando entonces para cualquier incremento de cargas como si se tratara de rótulas. Con tales hipótesis el análisis puede realizarse sin mucha dificultad. Los modelos de este tipo pueden ser mejorados considerando para los elementos diagramas momento-curvatura bolinéales (lo que puede, por ejemplo, lograrse superponiendo un comportamiento lineal a otro elastoplástico) o eventualmente multilínea les. Este tipo de modelos pueden también utilizarse para un análisis tridimensional.

En el tercer grupo podrían incluirse diversos modelos de fibras. Los elementos se dividen en segmentos, para cada uno de los cuales pueden suponerse interpolaciones polinómicas de los desplazamientos. Puede también admitirse que las secciones planas antes de la deformación siguen siendo planas después de ésta. En consecuencia, conociendo los desplazamientos en los nudos pueden obtenerse (en forma aproximada) las deformaciones en cualquier sección transversal. Esta información se combina con las leyes esfuerzo-deformación de cada material, para obtener módulos tangentes o esfuerzos y a partir de estos resultados las flexibilidades y rigideces o las fuerzas desequilibradas, según sea necesario para el algoritmo utilizado en la solución. Un análisis de este tipo es por regla general muy complicado; no es pues la herramienta del diseñador sino más bien la del investigador. Por el momento, el uso de estos modelos se limita al análisis de pórticos planos considerados aisladamente.

Cabe aclarar que el efecto “ P - ” se puede incluir en estos modelos para obtener una mejor aproximación del modelo a la respuesta real de la estructura.

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El modelo que se presenta en este estudio es del tipo I y considera el efecto P-. El modelo esta formulado con un sistema de “N” ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales y la acción sísmica se modela con el acelerograma del sismo de diseño del sitio donde se ubica la estructura analizada, la solución teóricamente exacta se obtiene mediante la integración numérica del sistema de “N” ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales paso a paso por el método Runge-Kutta. El modelo que se presenta en este estudio del tipo I considerando el efecto P- también se puede simplificar y formular de manera aproximada con un sistema de “N” ecuaciones algebraicas no lineales y la acción sísmica se modela con un espectro de respuesta del sismo para diseño o con un espectro de diseño del sitio donde se ubica la estructura analizada, la solución es aproximada y se obtiene mediante la solución numérica del sistema de “N” ecuaciones algebraicas no lineales por un método iterativo. Esta alternativa también se presenta en este estudio. Es importante comentar y enfatizar que los resultados experimentales obtenidos de la instrumentación de más de 35 edificios ubicados en México y E.U.A. reflejan de forma general las siguientes tendencias de respuesta ante vibraciones ambientales y sísmicas :

- El período real “ T(x,),x> 0 ” ( no lineal) de las estructuras medido en pruebas de vibración

ambiental es mayor que el período fundamental elástico lineal “ To = T(0,=1) ”.

- El período real “ T(x,),x> 0 ” ( no lineal) de las estructuras medido en pruebas de vibración

sísmica de intensidad media es mayor que el período fundamental elástico lineal “ To = T(0,=1) ” y que el período fundamental medido en pruebas de vibración ambiental.

- El período real “ T(x,),x> 0 ” ( no lineal) de una estructura particular medido en pruebas de

vibración ambiental y sísmica cumple con la siguiente relación “ T(xb,) > T(xa,), xb > xa, xR ”. El modelo elástico lineal puede dar la respuesta dinámica máxima de forma aproximada si en este modelo se usan los parámetros dinámicos experimentales tales como el período dominante real no lineal, el amortiguamiento y la forma modal dominante, obtenidos del edificio en estudio previamente instrumentado sujeto a una acción sísmica al cual se desea modelar matemáticamente. Este procedimiento modela el mismo movimiento sísmico en particular y reproduce matemáticamente su respuesta experimental previamente obtenida por medio de instrumentos. Los resultados experimentales medidos en pruebas de vibración sísmica de intensidad baja, media y mayor

registran fuertes incrementos en el período fundamental elástico lineal “ To = T(0,=1) ” que no se pueden justificar con argumentos simplistas como se ha intentado hacerlo hasta la fecha por muchos investigadores que aún confían en las capacidades del modelo elástico lineal el cual es el paradigma de diseño dominante. Actualmente existe un conjunto de investigadores que ya han detectado las limitaciones del modelo elástico lineal y están trabajando en otras líneas de investigación entre ellas las de respuesta no lineal. Los desastres sísmicos recientes en el mundo y muy especialmente en E.U.A., México y Japón, que son países líderes en ingeniería sísmica ponen en evidencia que el paradigma de diseño actual debe de ser cuestionado, revisado y corregido esto es que se debe de cambiar el actual paradigma de diseño por otro que dé resultados satisfactorios para la sociedad a la que servimos. Se propone estudiar, experimentar, revisar y aplicar el paradigma de diseño basado en el análisis no lineal. Los resultados experimentales indican y demuestran que la respuesta dinámica de la gran mayoría de las estructuras de edificios reales es de tipo no lineal y por lo tanto los actuales criterios de análisis elástico lineal no modelan adecuadamente la respuesta dinámica de las estructuras reales de concreto y acero ante sismos. La naturaleza del problema de diseño sísmico es muy compleja y su estudio requiere un tratado completo por lo que en este estudio sólo daremos un paso adelante aplicando el análisis elástico no lineal que es más adecuado para modelar la respuesta dinámica de las estructuras de edificios reales de comportamiento no lineal. Este modelo es especialmente acertado para estructuras de marcos rígidos de concreto reforzado.


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PRESENTACION DEL MODELO MATEMÁTICO El modelo de 1D permite desarrollar una solución cerrada que tiene por objeto obtener la función “ T(x,) ” de los períodos de vibración libre de una estructura simétrica de comportamiento elástico no lineal de un edificio con un nivel horizontal con propiedades de rigidez no lineal en su entrepiso se considera el efecto “ P - ” (Fig.-1). El modelo se fundamenta en las siguientes hipótesis teóricas: el comportamiento de la estructura es aproximadamente de tipo elástico no lineal en un rango de sus desplazamientos relativos y cumple con las hipótesis simplificadoras de la Dinámica Estructural no lineal, el modelo es unidimensional y considera la ductilidad estructural “” como se define en este artículo (Fig.-2) y (Ec.-1). El modelo tipo I acepta que una viga de cortante en cantilever discretizada (Péndulo invertido) (Fig.-1)es capaz de representar a la estructura como usualmente se considera en la práctica de la ingeniería sísmica. La solución es aproximada, considerando que las premisas antes citadas son aproximadamente isomorfas al sistema real en una etapa de su comportamiento, como la experiencia lo indica. Además el análisis dinámico tiene su propio rango de aproximación. En resumen el modelo cumple su objetivo satisfactoriamente, dentro de los rangos usuales en ingeniería sísmica. Cabe aclarar que el modelo que se presenta aquí para 1D y “1” grado de libertad (GL) se puede generalizar para el caso de 1D y “N” grados de libertad como se presenta en este estudio en paginas posteriores. Dentro del ámbito del análisis elástico no lineal la solución teóricamente exacta sería la que se obtiene de la relación fuerza deformación obtenida experimentalmente del sistema estructural estudiado de forma numérica y gráfica pero este criterio no permite una solución general analítica del problema por lo que es conveniente para poner la información en términos analíticos usar una función polinomial que represente de

forma aproximada a la relación fuerza deformación no lineal “ F = F(x,) ” en la que responde la estructura real. Esta relación se puede modelar de forma adecuada por el método del polinomio de Lagrange o de forma más simple con un ajuste de curvas por el método de los mínimos cuadrados o por otro método de

aproximación similar a los mencionados que consideren la condición: “ F’(xu,) = 0 y Fu = F(xu,) ”. Observando que la condición de falla de la estructura ocurre cuando la rigidez efectiva del sistema estructural vale cero al alcanzar la deformación de falla en el punto en donde se localiza la fuerza máxima que puede tomar la estructura entonces se puede plantear a partir de esta condición la ecuación de donde se obtiene la carga critica de pandeo dinámico no lineal por sismo, esto es posible al considerar de forma explicita el efecto “ P - ” en la ecuación diferencial del modelo sísmico dentro del ámbito de la teoría de deformaciones pequeñas. Es importante mencionar que el modelo elastoplástico perfecto que se usa actualmente de forma indiscriminada en el ámbito internacional no modela adecuadamente en la mayoría de los casos reales ya que ese tipo de respuesta no se presenta en las estructuras que soportan carga vertical importante y/ó tienen un mecanismo de falla del tipo de columna débil y vigas fuertes, situación que es muy común en las estructuras de edificios reales (Fig.-1). Considerando lo antes dicho para simplificar el problema y obtener resultados analíticos generales se determinó que el conjunto de polinomios más sencillo que se aproxima de forma adecuada a la relación

fuerza deformación no lineal “F = F(x,) (Ec.-2) donde F’(xu,) = 0 ” de las estructuras reales es un conjunto de polinomios del tipo de AGH-Duffing con ablandamiento por deformación como se presenta a continuación (Fig.-2). Este modelo de análisis es una aportación original del autor a la dinámica no lineal. Cabe aclarar que el desarrollo de estos modelos mediante ecuaciones diferenciales (Ec.-3.1) se han efectuado dentro del ámbito de la teoría de deformaciones pequeñas para comportamiento lineal y no lineal. Para estos modelos en el ámbito no lineal se presenta su análisis de respuestas ante vibración libre, vibración libre amortiguada y vibración forzada amortiguada en este artículo.

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MODELO MATEMÁTICO GRAFICO DEFINICION DE VARIABLES, PARAMETROS Y FORMULAS QUE LOS RELACIONAN:

:u (desplazamiento del terreno “+” en el sentido “x”)

:yx (desplazamiento de fluencia “+” en el sentido “x”)

:ux (desplazamiento de falla ó ultimo “+” en el sentido “x”)

y

u

x

x (factor de ductilidad )

:x (desplazamiento de trabajo en el sentido “x”)

),( xFF : (fuerza cortante en la base)

x

FxK ),( (rigidez no lineal de entrepiso a fuerza cortante)

oo x

Fk (rigidez lineal de entrepiso a cortante)

)1(),(1 n

o xxkxF (fuerza elástica no lineal tipo AGH-Duffing)

1

n (exponente de la función de fuerza elástica no lineal)

11

nunx

(modulo – - de la función de fuerza elástica no lineal)

m (masa del nivel “1”) g 9.81 (m/seg2) (aceleración de la gravedad)

mgw (peso del nivel “1”)

m

koo (frecuencia circular - elástica lineal en rad/seg.)

ooT

2

(período fundamental elástico lineal en seg.)

oo T

f1

(frecuencia fundamental elástica lineal en Hz.)


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VIGA DE CORTANTE DISCRETIZADA

(Fig.-1)

RELACION FUERZA DEFORMACION

Factor de ductilidad : y

u

x

x

(Ec.-1) ; 1

n ; 0),( udxd xF

Fuerza elástica no lineal : )1(),( 11 xxkxF o (Ec.-2) ; x R (Fig.-2)

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MODELO MATEMÁTICO EN ECUACIÓN DIFERENCIAL NO LINEAL

Definición de las fuerzas que actúan en condición dinámica por sismo y formulas que las relacionan:

)1( 11

1 xxkF o

(fuerza elástica no lineal tipo AGH-Duffing) (Ec.-2)

xcF 2 (fuerza de amortiguamiento viscoso equivalente) (Ec.-2.1)

xH

mgF 3

(fuerza equivalente por efecto “ P - ”) (Ec.-2.2)

APLICACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON A LA DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL NO LINEAL DE LA INGENIERIA SÍSMICA

CONSIDERANDO EL EFECTO P- EN LA ESTRUCTURA

3

12

2

)( iFsdtd

m

(Ec.-3) donde: xus

3

12

2

)( iFxudtd

m

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA INGENIERIA SÍSMICA EN NOTACIÓN DE LEIBNIZ

xxxkdtdx

cxudtd

m Hmg

o )1()( 11

2

2

2

2

2

2

)1( 11

dtud

mxxxkdtdx

cdt

xdm H

mgo

(Ec.-3.1)


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MODELO PROPUESTO DE RELACION FUERZA-DEFORMACION TIPO AGH-DUFFING El modelo de ley constitutiva de tipo Duffing se basa en la teoría de la dinámica no lineal y a partir de la ecuación diferencial no lineal se determina la función de períodos de vibración no lineal de un sistema masa – resorte elástico no lineal que es un problema clásico de los pocos que tienen una solución analítica aproximada pues como es bien sabido la gran mayoría de los modelos dinámicos no lineales no tienen una solución analítica. Este modelo estudia una familia completa de respuestas que incluyen desde el caso lineal y hasta el caso elastoplástico pasando por los casos intermedios de respuesta no lineal. En este caso se ha generalizado la propuesta de Duffing para su aplicación a una viga de cortante de masa discretizada. El modelo se presenta con la ecuación (Ec.-2). Este modelo de forma aproximada representa la fuerza de respuesta dinámica de un sistema estructural no lineal por causa del comportamiento de su material y por el efecto de no linealidad geométrica ya que considera la acción “ P - ” (Fig.-1), lo cual puede incrementar los desplazamientos y esfuerzos dinámicos actuantes en la estructura.

RELACION FUERZA-DEFORMACION TIPO AGH-DUFFING

)1(),( 11 xxkxF o

(Ec.-2)

GRAFICAS DE LA RELACION FUERZA-DEFORMACION TIPO AGH-DUFFING

(Fig.-3)

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ECUACION DIFERENCIAL NO LINEAL DE VIBRACIONES LIBRES

De la dinámica estructural no lineal se puede establecer la ecuación diferencial de vibración libre (Ec.-3.3) de una estructura de un grado de libertad con fuerza de respuesta elástica no lineal del tipo AGH-Duffing como sigue:

0)1( 11

xxkxm o

(Ec.-3.3)

FUNCION DE PERIODOS DE VIBRACION DE ESTRUCTURAS DE RESPUESTA NO LINEAL De la ecuación diferencial de vibración libre de una estructura de un grado de libertad con fuerza de respuesta elástica no lineal del tipo AGH-Duffing se obtiene la función de períodos no lineales (Ec.-5) como sigue:

112.111

),(

uxx

oTxT

(Ec.-5)

Esta ecuación integra el modelo matemático propuesto para el cálculo de la función de períodos de vibración no lineal de una estructura considerando los efectos de amplificación o atenuación dinámica y fue deducida por el método numérico de diferencias finitas de L.Euler y por el método aproximado de AGH para calcular las funciones de períodos de sistemas dinámicos no lineales con un exponente de ajuste de 1.2 para cerrar el rango de la función de forma aproximada con el valor del límite teórico de la función cuando “ x = xu ”. Esta función cumple de forma compatible con los límites teóricos del análisis dinámico no lineal: __

“ T(x,1) = To ”, “ T(0,) = To ” y “ T(xu ,) To (0.9) ”.

Este modelo puede considerarse como cuasi exacto, por el rango de aproximación de sus resultados al compararse con los modelos más complejos, elaborados con el método de elemento finito no lineal en dos y tres dimensiones. También se efectuó la comparación entre los resultados del modelo y algunos resultados experimentales, observando que sus diferencias fueron inferiores al 10 %. Cabe decir aquí que el efecto del comportamiento no lineal de la estructura genera un incremento al valor del período fundamental lineal, el cual varía en la mayoría de los casos prácticos entre el 10 % para vibración ligera y el 300 % para vibración extrema próxima a la condición de falla de la estructura, como lo consigna la literatura técnica especializada en ingeniería sísmica. Es importante efectuar un trabajo más amplio en esta línea de investigación de tipo experimental y documental que permita identificar la precisión del modelo y su correcta calibración. ( La deducción de la fórmula (Ec.-5) se efectuó por el método aproximado de AGH.)


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GRAFICAS NORMALIZADAS DE LA RELACION DE LA FUNCION DE PERIODOS NO LINEALES AL PERIODO LINEAL PARA ESTRUCTURAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

T(x,) / To

(Fig.- 4)

11


Los resultados de la Fig.-4 nos muestran con precisión las tendencias del modelo, las cuales son del mismo tipo que las experimentales comentadas en los antecedentes de este articulo. En especial es importante resaltar que este modelo coincide y explica el resultado de muchas pruebas de vibración ambiental en que se ha medido un incremento del período lineal de hasta un 60 % sin encontrar daño estructural aparentemente. En las graficas de la Fig.-4 se presenta una área de color amarillo la cual representa la zona de valores de

“ T(x ,) / To y x / xu ” en donde no hay daño estructural ya que el desplazamiento relativo es inferior o igual que el de fluencia “0 x xy ” y si el desplazamiento relativo está en el rango de “ xy x xu ” entonces existe un grado de daño que puede ser de ligero a mayor pero sin llegar al colapso en el caso de que el desplazamiento relativo “ x > xu ” entonces se llega al rango donde existe el riesgo de colapso. El modelo aquí propuesto para un grado de libertad se puede generalizar para el caso de “N” grados de libertad y es de tipo asimétrico en el sentido vertical ya que considera el efecto inducido por el orden de los niveles en la estructura no lineal analizada. El modelo “NGL” es analítico y se sustenta en la dinámica estructural.

AMORTIGUAMIENTO EN LA ESTRUCTURA

El porcentaje de amortiguamiento del valor crítico considerando comportamiento viscoso equivalente en la estructura depende de muchas variables y de cada tipo de material lo cual requiere de un estudio especial. En este estudio sólo se indica que el valor que alcanza este parámetro, está entre un 2 % y 10 % del valor crítico para la mayoría de los tipos de estructuras, para diseño se recomienda considerar un valor de 5 %. En estructuras con dispositivos de amortiguamiento se pueden alcanzar valores mayores para este importante parámetro que puede atenuar los efectos nocivos de las vibraciones siempre y cuando el diseño sea el adecuado para cada caso. Para tomar en cuenta este parámetro en el cálculo del período no lineal se propone como una primera aproximación usar en la ecuación “5” el valor de “Toa” (Ec.-6.1) en lugar de “To”.

FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO PARA ESTRUCTURAS

21

1

(Ec.-6) donde 1.002.0

PARAMETROS DINAMICOS DE LA ESTRUCTURA PARA DISEÑO SISMICO

Período amortiguado:

21

1

oooa TTT (Ec.-6.1)

Frecuencia lineal amortiguada: oa

oa Tf

1 (Ec.-6.2)

frecuencia circular amortiguada: oa

oa T

2 (Ec.-6.3)

Período de vibración libre lineal: oT

Es importante mencionar que el efecto que genera el amortiguamiento en el período fundamental es un incremento pequeño en su valor.


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INTERACCION DINAMICA SUELO – ESTRUCTURA (IDSE) Los efectos de la interacción dinámica suelo–estructura como bien se sabe son de gran importancia en suelos blandos como las arcillas de la zona del lago en la ciudad de México, pero también pueden ser de importancia en suelos de mediana rigidez como los de la zona de transición y se deben de considerar en el diseño. El tipo de cimentación es una variable fundamental en el fenómeno de IDSE, siendo las cimentaciones superficiales las más sensibles al fenómeno de amplificación de período derivado de la IDSE. El efecto fundamental de la IDSE es que genera un sistema estructural más flexible con respecto al de base rígida, produciendo consecuentemente un incremento en el valor del período de la estructura este incremento puede ser muy importante y se debe de considerar en el diseño sísmico ya que de no hacerlo el período del sistema estructural podría igualarse al período dominante del suelo y propiciar el fenómeno de resonancia con sus efectos nocivos para la estructura tales como un posible incremento en la fuerza cortante basal, desplazamientos mayores a los de base rígida y un incremento en la magnitud del efecto “ P - ” . El tema de la IDSE actualmente está abierto a la investigación y existen varios métodos para evaluar sus efectos, éstos van desde los muy simplificados hasta el análisis explícito y extensivo de la estructura por el método de elemento finito en 3-D, considerando comportamiento no lineal del suelo y de la estructura. El reglamento de construcciones del D.F. en sus NTCS-2004, propone la siguiente ecuación para valuar el efecto de IDSE para el caso elástico lineal:

2

122

1

o

r

o

xooise T

T

T

TTT

(Ec.-7)

EFECTO P- EN ESTRUCTURAS DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL

El efecto “ P - ” en estructuras de comportamiento no lineal por la respuesta de los materiales, en sí es un efecto no lineal de tipo geométrico que se agrega al sistema estructural y genera un incremento adicional al valor del período fundamental “To” (ver Ec.-9 y10), el cual varía en la mayoría de los casos prácticos entre el 1 % y el 10 %, para las estructuras de concreto reforzado a base de marcos continuos y es función de la relación de la carga axial de compresión “P” a la carga critica de pandeo “Pc”.

EFECTO DE LA DEGRADACION DE RIGIDEZ EN ESTRUCTURAS DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL

El efecto de degradación de rigidez de elementos estructurales y de elementos no estructurales por daño en estructuras de comportamiento no lineal también genera un incremento adicional al valor del período fundamental “To” (ver Ec.-8, 9 y 10), el cual varía en la mayoría de los casos prácticos en función de la magnitud del daño estructural por sismo que depende del numero de ciclos “N” de carga y de la amplitud de la deformación relativa “x / xu” de la estructura en cada ciclo, este efecto se conoce con el nombre de fatiga de bajo ciclaje y puede conducir a las estructuras y en especial a las de concreto reforzado a base de marcos continuos al colapso, como lo registra la literatura técnica especializada en ingeniería sísmica. Se propone una función de degradación de rigidez por cada ciclo de carga del tipo de la ecuación (8):

i

u

ii

u

iii x

x

x

x

1

1

donde: 1

u

i

x

xdaño estructural.

(Ec.-8)

Los valores de “ i y ” se determinan con datos experimentales y criterios de probabilidad y estadística.

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ECUACION DIFERENCIAL NO LINEAL DE VIBRACION AMORTIGUADA Y FORZADA CONSIDERANDO LOS EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN

De la dinámica estructural no lineal se puede establecer la ecuación diferencial de vibración amortiguada y forzada (Ec.-9) de una estructura de un grado de libertad con fuerza de respuesta elástica no lineal del tipo AGH-Duffing, donde “a(t )” es el acelerograma del sismo y también se considera el efecto “ P - ” y

el efecto “ i ” de degradación de rigidez en cada ciclo por daño estructural.

)()1( 11

tmaxxxkxcxm HP

io

(Ec.-9)

Esta ecuación diferencial no lineal de vibración amortiguada y forzada no se puede resolver de forma analítica exacta para el caso general por lo que su solución para obtener el período se efectúa por un método aproximado, aquí se uso el método de AGH y se presenta el resultado en la ecuación (10) para el caso de vibración libre amortiguada considerando efectos de segundo orden, esto es cuando: a(t )= 0 y xo > 0.

FUNCION DE PERIODOS DE VIBRACION LIBRE AMORTIGUADA DE ESTRUCTURAS DE RESPUESTA NO LINEAL CONSIDERANDO LOS EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN

De la ecuación diferencial de vibración amortiguada y forzada de una estructura de un grado de libertad con fuerza de respuesta elástica no lineal del tipo AGH-Duffing se obtiene la función de períodos no lineales para el ciclo “ i ” considerando los efectos de segundo orden siguientes: interacción suelo estructura,

amortiguamiento, efecto “ P - ” y el efecto “ i ” de degradación de rigidez en cada ciclo por daño mediante la (Ec.-10) como sigue (ver Fig.-5):

ix

xPP

TT

TT

oi

uc

o

r

o

XTxT

112.112

2

122

11

1),(

(Ec.-10)

Esta ecuación integra el modelo matemático propuesto para la función de períodos de vibración no lineal de una estructura considerando los efectos de segundo orden y fue deducida por el método aproximado de AGH para determinar las funciones de períodos de sistemas dinámicos no lineales.


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LEY DE RESONANCIA PARA SISTEMAS DINAMICOS LINEALES Y NO LINEALES DEL TIPO AGH-DUFFING

El modelo propuesto permite establecer las siguientes leyes de resonancia lineal( =1) y no lineal( >1): Para que se dé el fenómeno de resonancia lineal se requiere que: “ T(x,1) = To = Ts”. Para que no se dé el fenómeno de resonancia lineal se requiere que: “ T(x,1) = To Ts”.

Para que se dé el fenómeno de resonancia no lineal se requiere que: “ T(0,) = To < Ts”.

Para que no se dé el fenómeno de resonancia no lineal se requiere que: “ T(0,) = To > Ts”. Donde: “Ts” es el período dominante del sismo y a(t) es armónico (arcilla de la cd. de mex.).

ANALISIS PASO A PASO DE 2 MODELOS MATEMATICOS DE COMPORTAMIENTO LINEAL Y NO LINEAL DEL TIPO AGH–DUFFING EXITADOS POR ACCION DE UN SISMO EN SU BASE

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALES DE VIBRACION FORZADA

De la dinámica estructural lineal y no lineal se pueden establecer las ecuaciones diferenciales de vibración amortiguada y forzada (Ec.-A-1 a A-2) para estructuras de un grado de libertad con fuerza de respuesta elástica lineal y no lineal del tipo AGH-Duffing como sigue:

MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL SIN EFECTO P- EN VIBRACIÓN FORZADA

)(tmaxkxcxm o (Ec.-A-1)

MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL CON EFECTO P- EN VIBRACIÓN FORZADA

)()1( 11

tmaxxxkxcxm HP

o (Ec.-A-2) Estas ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de vibración amortiguada y forzada con y sin efecto P- se pueden resolver usando algún método numérico, aquí se uso el método de Runge Kutta y se presentan algunos resultados para mostrar las diferencias de respuesta entre las estructuras que responden a los modelos aquí presentados.

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ACELEROGRAMA DE ANALISIS - SISMO DEL 19/SEP/1985 EN SCT-- E-W -- MEX. D.F. a(t): acelerograma del sismo de 1985 – S.C.T. componente E-W.

.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60200

150

100

50

0

50

100

150

200ACELEROGRAMA-SISMO-19/SEP/1985 - S.C.T.

TIEMPO EN SEGUNDOS

AC

EL

ER

AC

ION

EN

GA

LS

.

0.00.0A t( )

t

(Fig.-A-1) Periodo dominante de la acción sísmica: Ts = 2.00 seg. Aceleración máxima del suelo: a(t=40) = 169 Gals. Datos de la estructura lineal y no lineal para análisis paso a paso P = w = mg = 227.0 ton. , c = 0.05 cc , ko = 10.0 ton./cm. , xu = 10.0 cm., = 2 , H = 400 cm. To = 0.96 seg. (PERIODO LINEAL ) T(0.0, 2.0) = 0.96 seg. (PERIODO INICIAL NO LINEAL) a(t): acelerograma de análisis del sismo de 19/ septiembre /1985 – S.C.T.- E-W – Méx., D.F.

RELACION FUERZA DEFORMACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS LINEAL Y NO LINEAL

(Fig.-A-2)


16

RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS DE LOS MODELOS DE ESTRUCTURAS LINEAL SIN EFECTO P- Y NO LINEAL CON EFECTO P-

MODELO DE ESTRUCTURA LINEAL SIN EFECTO P- EN VIBRACIÓN FORZADA

)(tmaxkxcxm o

.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 6010

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10ANALISIS LINEAL SIN P-D

TIEMPO - t (seg.)

DE

SP

LA

ZA

MIE

NT

O -

x (

cm.)

4

4

U1

s

U0

s

T(x,=1) =Ts = 2 seg. (Fig.-A-3)

.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60100

75

50

25

0

25

50

75

100FUERZA SISMICA LINEAL SIN P-D

TIEMPO--- t (seg)

FU

ER

ZA

---

f (t

on)

40

40

fi

ti

(Fig.-A-4)

coeficiente sísmico efectivo: cs = 0.1762

17


MODELO DE ESTRUCTURA NO LINEAL CON EFECTO P- EN VIBRACIÓN FORZADA

)()1( 11

tmaxxxkxcxm HP

o .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 6012

10

8

64

2

02

4

68

10

12ANALISIS NO LINEAL CON P-D

TIEMPO - t (seg.)

DE

SP

LA

ZA

MIE

NT

O -

x (

cm.)

10

10

U1

s

U0

s

T(x,=2) =Ts = 2 seg. (Fig.-A-5)

.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60100

75

50

25

0

25

50

75

100FUERZA SISMICA NO LINEAL CON P-D

TIEMPO--- t (seg)

FU

ER

ZA

---

f (t

on)

50

50

fi

ti

(Fig.-A-6)

coeficiente sísmico efectivo: cs = 0.2202


18

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS DE LOS MODELOS DE ESTRUCTURAS LINEALES Y NO LINEALES CON Y SIN EFECTO P-

RESPUESTAS DINAMICAS PICO DE LAS ESTRUCTURAS

Desplazamiento pico de la estructura a la falla (xu = 10.0 cm.): Desplazamiento pico de la estructura lineal sin efecto P- 4.00 (cm) Desplazamiento pico de la estructura no lineal con efecto P- 12.0 >10.0 (cm) , * FALLA.

12.00 / 4.00 = 3.00 Fuerza sísmica pico de la estructura a la falla (Fu = 50.0 ton.): Fuerza sísmica pico de la estructura lineal sin efecto P- 40.00 (ton) Fuerza sísmica pico de la estructura no lineal con efecto P- 50.00 (ton) , * FALLA.

50.00 / 40.00 = 1.25 Aceleración pico de la estructura a la falla (Au = 0.22 cm/seg2.): Aceleración pico de la estructura lineal sin efecto P- 0.1762 g (cm/seg2) Aceleración pico de la estructura no lineal con efecto P- 0.2202 g (cm/seg2), * FALLA.

0.2202 / 0.1762 = 1.25 Estos efectos se incrementan al considerar la interacción - suelo estructura y la degradación de la rigidez por daño estructural y/ó agrietamiento de muros no estructurales y elementos que aporten rigidez a la estructura. Cabe aclarar que la estructura analizada es la misma lo que se ha variado es el modelo que la representa y en este caso se ha demostrado que los modelos mas simplificados subestiman la condición de falla que se presenta al efectuar una modelación más completa y representativa de la estructura, por lo tanto los modelos de diseño sísmico sobre-simplificados que actualmente están en el RCDF y otros reglamentos nacionales y extranjeros pueden propiciar fallas estructurales como se ha demostrado en este estudio. Es importante que se investigue de forma explícita el comportamiento no lineal de las estructuras y se desarrollen modelos completos y confiables para su aplicación al diseño estructural, en un lapso de tiempo breve ya que es obvio que el actual paradigma de diseño sísmico no modela correctamente en muchos casos.

ANALISIS PASO A PASO DE MODELOS MATEMATICOS DE “1D” CON COMPORTAMIENTO

NO LINEAL DEL TIPO AGH–DUFFING Y CON “NGL” CONSIDERANDO EL EFECTO P- Y EXITADOS POR LA ACCION DE UN SISMO EN SU BASE

SISTEMEA DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES PARA EL MODELO DE 1D-NGL

i

i

i

h

xmgtamxxkfxcxm1

)(1)(

19


SISTEMA DINAMICO DE 1D Y 2GL

SISTEMEA DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES PARA EL MODELO DE 1D- 2GL

m1

0

0

m2

2t

x1

d

d

2

2t

x2

d

d

2

c1

c2

c2

c2

c2

tx1

d

d

tx2

d

d

k1

f x1 k

2f x

2

k2

f x2

k2

f x2

k2

f x2

x1

x2

m

1

0

0

m2

1

1

a t( )

m1

gx1

h1

m2

gx2

h1

h2

m

1

0

0

m2

2t

x1

d

d

2

2t

x2

d

d

2

c1

c2

c2

c2

c2

tx1

d

d

tx2

d

d

k1

f x1 k

2f x

2

k2

f x2

k2

f x2

k2

f x2

x1

x2

m

1

0

0

m2

1

1

a t( )

m1

gx1

h1

m2

gx2

h1

h2


20

DUCTILIDAD DE LA ESTRUCTURA:

2 n

1 n 2.00

1

1

Xu

1

1

0.04

XyXu

Xy 6.00

1K1

m1 2

K2

m2 3

K3

m3 4

K4

m4

1 14.22 2 14.01 3 14.01 4 14.01

N 4To

2 1.0

g

w1 w2 w3 w4

K1 K2 K3 K4

N 1( ) 2 N 1( )

6

To 1.22 o2

To o 5.13 0.05 C 2 o C 0.51

METODO DE RUNGE KUTTA DE PASO VARIABLE - AGH-2011ANALISIS SISMICO DINAMICO NO LINEAL PASO A PASO - 4- GL

SOLUCION DE LA ECUCION:

DATOS: g 981 Xu 12.00 uo 0 vo 0 so 0 qo 0 H 400

Xu

H0.03

PESOS Y MASAS:

w1 50 w2 50 w3 50 w4 50 m1w1

g m2

w2

g m3

w3

g m4

w4

g

RIGIDECES:

K1 10.3 K2 10.0 1( ) K3 10.0 1( ) K4 10.0 1( )

21


SISTEMEA DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES PARA EL MODELO DE 1D- 4GL

i

i

i

h

xmgtamxxkfxcxm1

)(1)(

DESPLAZAMIENTOS TOTALES PARA UN EDIFICIO DE 4 PISOS

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 603633302724211815129630369

121518212427303336

ANALISIS NO LINEAL : 4- DOF

TIEMPO - t (seg.)

DE

SP

LA

ZA

MIE

NT

O: X

1- X

2 -

X3-

X4

(cm

.)

36

36

0.0

Xu

X1

i

X3

i

X5

i

X7

i

600.00

2.01

X0

i

DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS (DRIFT) PARA UN EDIFICIO DE 4 PISOS

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 602422201816141210

864202468

1012141618202224

ANALISIS NO LINEAL : 4 - DOF

TIEMPO - t (seg.)

Dri

ft :

X1-

(X

2-X

1) -

(X

3-X

2)-(

X4-

X3)

24

24

0.0

Xu

X1i

X2i

X3i

X4i

600.00

2.01

X0

i


22

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 10

5

0.4

0.8

1.2

1.6

ESPECTRO DE POTENCIA (DRIFT)

FRECUENCIA ANGULAR

E

2

0.00001

E1i

E2i

120 i

10

10 14 18 22 26 301

2

3

4DESPLAZAMIENTOS TOTALES MAXIMOS

Xm ---DESPLAZAMIENTOS MAX.

NIV

EL

ES

j

Xmj

Xm

X1424

X2424

X3424

X4424

Xm

12.35

20.32

24.83

26.82

23


ANÁLISIS SISMICO MODAL ESPECTRAL DE MODELOS MATEMATICOS DE “1D” CON COMPORTAMIENTO NO LINEAL DEL TIPO AGH–DUFFING Y CON “NGL” CONSIDERANDO

EL EFECTO P- Y EXITADOS POR LA ACCION DE UN SISMO EN SU BASE

SISTEMEA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES PARA EL MODELO DE 1D-NGL

ffxxkf )(

4 23 22 21 2

FACTOR DE DUCTILIDAD:

k4

10k3

10k2

10k1

10.325

RIGIDECES DE ENTREPISO LINEALES (TON. /CM.):

w4

50w3

50w2

50w1

50

PESOS DE ENTREPISOS (TON.):

ui 0.03 hi

DESPLAZAMIENTO RELATIVO ULTIMO (CM.):

h4

400h3

400h2

400h1

400

ALTURA DE ENTREPISOS (CM.):

g 981i 1 NN 4ORIGIN 1

ANALISIS SISMICO DINAMICO MODAL-ESPECTRAL NO LINEAL METODO DE AGH-20


24

ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES DE AGH - 2010

k1

x1

11

n1

x1

u1

n1 1

x2

x1

k2

11

n2

x2

x1

u2

n2 1

f1

x1

h1

w1

x2

x1

k2

11

n2

x2

x1

u2

n2 1

x3

x2

k3

11

n3

x3

x2

u3

n3 1

f2

x2

y2

w2

x3

x2

k3

11

n3

x3

x2

u3

n3 1

x4

x3

k4

11

n4

x4

x3

u4

n4 1

f3

x3

y3

w3

x4

x3

k4

11

n4

x4

x3

u4

n4 1

f4

x4

y4

w4

RESULTADOS DE DESPLAZAMIENTOS DEL ANALISIS NO LINEAL

x

11.467

18.966

23.592

25.796

FUERZAS SISMICAS DE PISOS POR EL EFECTO P- . (TON.):

fi

xi

yi

wi

f 4.408 f 57.420

ff

0.077

25


PERIODO FUNDAMENTAL DE LA ESTRUCTURA LINEAL SIN EFECTO P- :

Tl2

g1

n

i

1

ki

1

n

i

wi

Di 2

Tl 1.222 segundos .

CALCULO DE PERIODOS LINEAL Y NO LINEAL SE CONSIDERA EL EFECTO P- :

CALCULO DE PERIODOS NO LINEALES POR METODO DE SHWARTZ

ANALISIS SISMICO PASO A PASO:

To2

g

1

n

i

wi

xoi 2

1

n

i

Fi

xoi

To 1.696

ANALISIS SISMICO ESPECTRAL:

T2

g

1

n

i

wi

xi 2

1

n

i

Fi

xi

T 1.653

T

To0.974


26

ANÁLISIS SISMICO DE DESPLAZAMIENTOS NO LINEALES DEL TIPO AGH- DUFFING POR LOS METODOS DINAMICOS PASO A PASO Y ESPECTRAL

Los resultados que se presentan demuestran que el Análisis Espectral es una buena aproximación a los resultados teóricamente exactos del Análisis paso a paso como se ve en esta comparación de desplazamientos.

ANALISIS ESPECTRAL ANALISIS PASO A PASO xoi

xi

1.077

1.071

1.052

1.040

x

11.467

18.966

23.592

25.796

xo

12.350

20.320

24.830

26.820

27


COMENTARIOS Y CONCLUSIONES 1.-En la ingeniería práctica existen modelos matemáticos deducidos con base en hipótesis simplificadoras las cuales generan modelos convencionales ya que no son una fiel representación matemática del sistema que pretenden modelar; sin embargo, los resultados obtenidos y frecuentemente calibrados con la experimentación son lo suficientemente buenos para fines de las aplicaciones prácticas de la ingeniería. Este es el caso de los modelos matemáticos sustentados en la mecánica de sólidos no lineal y aplicados a la dinámica de las estructuras como el que aquí se presenta. 2.-La experiencia indica que el período fundamental de vibración lineal y el período dominante de vibración no lineal de las estructuras depende de sus propiedades geométricas, dinámicas, del amortiguamiento, del desplazamiento relativo, de la ductilidad, de la degradación del material y de la interacción suelo estructura entre otras características del sistema. El valor de este parámetro es muy sensible a las variaciones de las propiedades y características del sistema no lineal citadas. 3.-Del inciso “2” se deriva la necesidad de conocer con precisión el valor del período dominante del suelo y de la estructura ya que de esto depende en parte importante el comportamiento dinámico del sistema ya que si los períodos están en su intervalo de acoplamiento puede ocurrir el fenómeno de amplificación de efectos en la estructura, el cual también se le puede llamar resonancia no lineal. 4.-El modelo propuesto estima el efecto de amplificación o de atenuación de efectos generado por la variación de la rigidez de la estructura en función del desplazamiento y la ductilidad. Cabe decir que este modelo también se puede aplicar a otro tipo de estructuras como: puentes, tanques elevados, etc. 5.-El modelo propuesto (Ec.-5) se resolvió de forma cerrada con el método de AGH para cálculo de períodos de sistemas mecánicos no lineales y se verificó el resultado obtenido por el método de Duffing - Timoshenko. La solución teóricamente exacta no se puede obtener de forma general para todos los casos posibles con una fórmula algebraica sencilla en estructuras no lineales ya que éstas se modelan con ecuaciones diferenciales no lineales las cuales no tienen solución analítica conocida.

6.-El amortiguamiento aparente y el efecto “P-” de la estructura se deben de considerar explícitamente para la calibración del modelo. Para diseño se debe de considerar el período con una corrección adicional por efecto de interacción suelo estructura si éste es importante.

7.-El modelo propuesto permite establecer las siguientes leyes de resonancia lineal y no lineal ( >1):

Para que se dé el fenómeno de resonancia lineal se requiere que ( =1): “ T(x,1) = To = Ts”. Para que no se dé el fenómeno de resonancia lineal se requiere que: “ T(x,1) = To Ts”.

Para que se dé el fenómeno de resonancia no lineal se requiere que: “ T(0,) = To < Ts”.

Para que no se dé el fenómeno de resonancia no lineal se requiere que: “ T(0,) = To > Ts”. Donde “Ts” es el período dominante del sismo y a(t) es armónico (arcilla de la Cd. de Mex.). 8.-El cálculo del valor del período dominante de la estructura no lineal es fundamental para el diseño sísmico por el método dinámico de análisis con espectro de respuesta o de diseño, con objeto de evitar que la estructura entre en resonancia no lineal. 9.-El modelo propuesto se ha verificado con resultados empíricos y con resultados de modelos, elaborados por el método de elemento finito no lineal obteniendo resultados muy similares, lo que confirma la buena capacidad del modelo propuesto. También se ha propuesto una definición del factor de ductilidad “ ” (ver Fig.-2), para reducir ó evitar el riesgo de colapso de las estructuras. 10.- El modelo propuesto se ha verificado positivamente con resultados empíricos de edificios instrumentados en México y en USA.

11.-Se propone revisar y corregir el actual modelo sísmico que es ingenuo para estructuras no lineales.


28

COMENTARIOS FINALES AL ANÁLISIS SISMICO CONFORME EL R.C.D.F. Y SUS N.T.C.

Recordando el sismo del 19 de septiembre de 1985 en la Ciudad de México, se pueden efectuar las siguientes observaciones como ejemplo si se consideran los colapsos totales en la colonia Roma y en la colonia Narvarte. Teniendo presente que en S.C.T. fue donde se obtuvo el registro del acelerograma de mayor magnitud amax = 169 gals. y con Ts = 2.0 segundos, la mayoría de estos colapsos ocurrieron en las áreas con periodos dominantes del suelo entre 1.80 y 2.20 segundos, es importante notar que el 80% de los edificios colapsados en estas zonas tenían de 2 a 8 pisos por lo tanto prácticamente ninguno de estos edificios tenían un periodo fundamental To = 2.00 segundos, por lo que dentro del paradigma de comportamiento lineal no

pudieron entrar en resonancia lineal ya que para que se dé esta condición se requiere “T(x,) = To = Ts” y

= 1. Sin embargo estos hechos se pueden explicar satisfactoriamente dentro del paradigma de comportamiento no lineal considerando todos los efectos adicionales que incrementan el periodo como son el amortiguamiento, el efecto “P-”, la interacción suelo-estructura y la degradación de rigidez por daños en la estructura y en elementos no estructurales pero que aportan rigidez al sistema, lo antes dicho se justifica con los resultados obtenidos en este estudio que como ya se dijo el fenómeno de resonancia no lineal puede

ocurrir cuando “T(0,) = To < Ts” y >1, Con los efectos destructivos ya bien conocidos. Cabe aclarar que existen algunas razones de otros tipos para la falla de algunos de estos edificios colapsados como lo son obras antiguas ya dañadas, fallas en el suelo y/ó en la cimentación, diseños defectuosos, mala calidad en las obras y en los materiales, coeficientes sísmicos muy bajos en los RCDF de 1942, 1966 y de 1976, vicios ocultos en los proyectos estructurales y/ó en las construcciones, etc. Pero observando los resultados de la instrumentación de edificios y los daños ocurridos en San Fernando (1971), México(1985), Northridge (1994) y Kobe(1995), entre otros se puede concluir con certeza que de forma urgente se requiere una revisión y corrección del actual paradigma de diseño sísmico en México y en otros países que también usan el mismo paradigma de diseño sísmico con variantes menores como son E.U.A., Japón, Italia, Colombia, etc.

29


BIBLIOGRFIA

Timoshenko, S. P. , Young, D. H. - (1974) - Vibration Problems in Engineering, John Wiley & Sons. Thomson, W. T. – (1981) – Theory of Vibration with Applications, Prentice Hall. Clough, R. W. , Penzien, J. – (1975) – Dynamics of Structures, McGraw – Hill. Newmark, N. M. , Rosenblueth, E. – (1971) – Fundamentals of Earthquake Engineering, Prentice Hall. Plascheco, P., Teran, L. – (2002) – Sistemas dinámicos no lineales, McGraw – Hill. Donald E. Hudson – (1971) – Dynamic properties of full-scale structures determined from natural excitations. Stanford University, California. Gómez Hernández José Alejandro - (2007-XVI-CNIS-SMIS) - Presentación de un nuevo modelo matemático de la función de periodos de vibración de estructuras de edificios de respuesta no lineal. Gómez Hernández José Alejandro - (2008-XVI-CNIE-SMIE) - Presentación de un nuevo modelo matemático para el Análisis sísmico dinámico de estructuras de respuesta no lineal con efecto P-. Gómez Hernández José Alejandro - (2002-XIII-CNIE-SMIE) - Presentación de un nuevo modelo matemático para el calculo del periodo fundamental de vibración de estructuras de edificios. Gómez Hernández José Alejandro - (2002-XIII-CNIE-SMIE) - Presentación de un nuevo modelo matemático para el calculo de la respuesta modal total de estructuras de edificios. Gómez Hernández José Alejandro - (2005-XV-CNIS-SMIS) - Presentación de un nuevo método simplificado para el Análisis sísmico dinámico de estructuras de edificios.

AGRADECIMIENTOS

Se le agradece y reconoce su actitud abierta, imparcial y profesional al Comité de Ingeniería Sísmica del I.I. de la U.N.A.M. y al IIE, por su apoyo en beneficio de la Ingeniería Sísmica Mexicana al incorporar oportunamente los avances técnicos de vanguardia a las Normas Técnicas Complementarias-2004 del R.C.D.F. el primero y en el Manual de diseño por sismo de la CFE-2008, el segundo. En especial a los Doctores: Roberto Meli, Luis Esteva Maraboto, Mario Ordaz y Javier Avilés, Dr. Ulises Mena y Dr. Luis Eduardo Pérez Rocha. También se agradece el apoyo y valiosos comentarios de los ingenieros: M.I. Carlos Javier Mendoza E., Dr. David Muriá V. y del Ing. Santiago Loera Pizarro. Del II – UNAM. Dr. Alberto López López. Del IIE., Dr. Fernando Monrroy. De la F.I.-UNAM. M.I. Alejandro Barrios (MIT). Finalmente se le agradecen sus valiosos comentarios y apoyo a los señores Ing. Francisco García Jarque (Ex presidente de la SMIE) e Ing. Manuel Moran Garza. (DRO y CSE). AGH - 2012.

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