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ESTALMAT-Andalucía Oriental

Sesión inaugural curso 2007-2008

SOBRE ASTRONOMÍA DE POSICIÓN

Antonio López López (Profesor invitado) y Ceferino Ruiz Garrido

27 de septiembre de 2007

SOBRE ASTRONOMIA DE POSICIÓN

Los contempladores de estrellasAntes de astrónomos fuimos sólo unos mirones de los cielos. El

aspecto del cielo estrellado ha poseído al Hombre desde que se elevó a la dignidad humana, es posible que haya sido la causa de que la haya alcanzado.

Osa Mayor

Osa Menor

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Mientras contemplamos las estrellas podemos sentir todavía la alegría del pastor homérico, la veneración de egipcios y caldeos y la curiosidad de los primeros matemáticos.

.

Can Mayor y Sirio

Fuimos contempladores de estrellas y vivimos esa emoción de pertenecer y participar de ese todo que todo lo llena, que todo lo invade de forma suave y placentera, con esa luz plateada que nos une a la vida y con esa dorada luminosidad en la que navegamos diariamente.

Aries y Triángulo

FANDANGOMe gusta ver a la Lunabailando entre las encinas.Me gusta ver a la Luna,en lo alto la colina,me dan las doce y la una,me dan las doce y la una.Y las estrellas por techo,mi manto de cabecera.Y las estrellas por techo el “ganao” en la “laera”,la tierra bajo mi pechoy mi serrana a mi vera.

El Cabrero

Otro Fandango

Porque me guío por el Solno tengo prisa ninguna,porque me guío por el Solyo con mirar las alturasno necesito reloj“pa” saber la hora segura.

El Cabrero

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Digo fuimos contempladores de estrellas porque en la actualidad, en este mundo tan moderno, es difícil contemplar el cielo estrellado en todo su esplendor. La contaminación lumínica de las ciudades nos han robado ese placer de las noches estrelladas, ahora para ver las estrellas hemos de ir a un planetario, visitaagradable y que no está mal pero no es lo mismo que el paseo a las afueras del pueblo o tumbarse boca arriba y caer con la imaginación en ese universo oscuro con puntitos blancos.

Casiopea

La contaminación luminosa de las ciudades, pueblos, autovías, carreteras y otros entes, nos ciega para la contemplación de esos maravillosos cielos en las distintas estaciones. Por otra parte, esa contaminación es un derroche de energía que sólo sirve para fastidiar y hurtar algo que se puede tener sin pagar. Millones de euros van a la basura, dinero que se podría utilizar en otros menesteres más necesarios. Este despilfarro de euros y energía nos hace más tristes, tristes con las luces de neón, tristes con las luces de escaparates falsamente alegres, tristes en los paseos por las calles tan iluminadas en las que no podemos gozar con esa mirada interior y la lentitud para cocinar esos sentimientos absolutos y profundos.

Contaminación lumínica

Primero fuimos contempladores de estrellas, después astrónomos y, muchos, contempladores y astrónomos a la vez.

Quizás en la actualidad sólo seamos astrónomos que estudiamos el cielo en la pantalla de un ordenador.

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Nebulosa del Cangrejo Constelación del León

Orión LA TIERRADurante muchos siglos nuestro tamaño en relación al tamaño

de la Tierra nos ha engañado. Creíamos que nuestro planeta era plano como el suelo de nuestra habitación. Bueno, más o menos plano, algunas montañas, algunos valles se podían interpretar como pequeñas arrugas en ese plano inmenso que era nuestra amada Tierra.

Los primeros griegos concibieron la Tierra como un disco con Grecia, naturalmente, en el centro.

Este disco plano estaba formado en su mayor parte por tierra firme, estaba bordeado por el “Río Océano” que penetraba en el centro como mar Mediterráneo. Hecateo de Mileto, hacia el 500 a.C., geógrafo, estimó que el disco circular debía tener un diámetro de 8000 kilómetros. La superficie de la Tierra se calculaba en unos 51 millones de kilómetros cuadrados (una décima parte de la superficie real de la Tierra).

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Para una persona con los ojos bien abiertos no podía resultarle de sentido común, ¿por qué? Si nuestro planeta fuera plano desde cualquier punto se verían las misma estrellas en el cielo (con diferente perspectiva, por supuesto). Se sabía que los navegantes que se dirigían hacia el Norte veían nuevas estrellas que no se observaban desde el Sur y viceversa: unas aparecían en el horizonte y desaparecían otras.

• “Así que el divino Odiseo desplegó gozoso las velas al viento y sentado gobernaba el timón con habilidad. No caía el sueño sobre sus párpados contemplando las Pléyades y el Bootes, que se pone tarde, y la Osa, que llaman carro por sobrenombre, que gira allí y acecha a Orión y es la única privada de los baños de Océano. Pues le había ordenado Calipso, divina entre las diosas, que navegase teniéndola a la mano izquierda. “

Homero-Odisea, Canto V.

Las PléyadesOtros filósofos griegos sugirieron:

* Anaximandro de Mileto (610 a.C.- 546 a.C.): La Tierra tenía forma de cilindro curvado hacia el Norte y el Sur (en una novela de Arthur C. Clarke los personajes habitan un mundo cilíndrico) .

* Filolao de Tarento (siglo V antes de Cristo): La Tierra tiene forma esférica. Lo prueba basándose en la forma circular que siempre produce la sombra de nuestro planeta sobre su satélite en los eclipses de Luna.

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Esta concepción creaba el problema de arriba y abajo, los que estuvieran en las antípodas estarían cabeza abajo. Se pensó en los conceptos de arriba y abajo como relativos, al igual que derecha e izquierda.

En buena parte de la Edad Media la mayoría de la gente pensaba que la Tierra no podía ser redonda: los de las antípodas se caerían, cosa lógica.

Eratóstenes y su cálculo

El primer cálculo bien hecho sobre las dimensiones de la Tierra lo hizo el matemático, gramático y geógrafo Eratóstenes, director de la Biblioteca de Alejandría, hacia el 230 a.C.

Al parecer, conocía que en Siena (Asuán), en Egipto, a mediodía en el solsticio de verano los rayos del Sol iluminaban por completo el fondo de un pozo profundo: los rayos eran perpendiculares sobre esa ciudad. A la misma hora, en Alejandría, al Norte de Siena (más o menos en el mismo meridiano) un obelisco proyectaba una sombra cuyo ángulo se medía con facilidad y resultóser, aproximadamente, la cincuentava parte de la circunferencia.

La distancia entre Siena y Alejandría era de unos 5000 estadios, una sencilla proporción nos da la longitud de la circunferencia terrestre: 1/50 =5000/x, así que longitud de la circunferencia era de unos 250000 estadios.

250000 estadios = 157,5 x 250000 metros = 39375 km, cálculo bastante aproximado al real.

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La precesión de los equinocciosComo todos sabemos, la Tierra tiene dos movimientos uno de traslación alrededor del Sol y otro de rotación sobre si misma, cuyo eje pasa por los polos y define en la esfera celeste el eje del mundo. La Tierra en su movimiento de rotación lo hace como una peonza o un trompo, realizando a la vez un leve balanceo, inclinándose de un lado para otro. El eje de rotación define o describe en el espacio una superficie cónica.

Como consecuencia de este balanceo, llamado movimiento de precesión, los polos celestes no permanecen fijos, desplazándose de forma muy lenta a los largo de un circunferencia. Para dar una vuelta completa se requieren 26000 años.

La estrella polar que hoy coincide, más o menos, con el polo norte dejará de coincidir al cabo de cierto tiempo. Así cuando se construyó la Gran Pirámide de Egipto, la estrella polar coincidía con la estrella Thuban, en la constelación del Dragón, orientando los constructores el pasillo central de la pirámide hacia esa estrella.En el año 10000, la estrella polar será Deneb en el Cisne y en el 14000 será Vega en Lira.

Precesión

Precesión y nutación

Estrellas polares en la Historia (pasada, presente, futura)Movimiento aparente de las estrellas

Como consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra tenemos las sensación de que la esfera celeste gira alrededor del eje del mundo. Como la Tierra rota de oeste a este, los cuerpos celestes los vemos desplazarse en sentido contrario: salen por el este y se ponen por el oeste.

Un observador situado en el polo norte (o sur) ve la estrella polar (δ-octante) encima de su cabeza, en el cenit, y las demás estrellas describen una trayectoria paralela al horizonte.

Un observador situado en el ecuador ve a la estrella polar en el horizonte, mientras que las demás estrellas describen una trayectoria vertical, salen hacia arriba, llegan hasta una cierta altura sobre el horizonte y después bajan.

Un observador situado entre el polo y el ecuador verá a la polar (δ-octante ) en un punto situado a una cierta altura sobre el horizonte (su latitud). Las estrellas cercanas al polo describirán circunferencias alrededor del polo, mientras que las demás estrellas salen por el este, describen un arco de circunferencia y se ponen por el oeste.

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• img9.gif

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Geometría sobre la superficie esféricaEs importante el estudio de la Geometría esférica para resolver problemas de la Astronomía y de la Geodesia, muchos de ellos fundamentales para las Geografía, Cartografía, Navegación aérea y marítima, Medición del tiempo y otras materias.

Geometría sobre la esfera

Otras partes de la esfera

Coordenadas geográficas

En cada época las necesidades han cambiado, necesitándose más información y más precisión en los datos. Con los largos viajes, la navegación y otros menesteres el ser humano tuvo la necesidad de conocer las estrellas, los planetas y su movimiento en la esfera celeste: los ciclos, los ritmos, la siembra, la cosecha, el calendario,… todo dependía en cierta manera de los cielos.

Necesitamos saber con exactitud dónde nos encontramos sobre la superficie terrestre. Para ello, se tenía que tomar unas líneas de referencia.

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La Tierra rota sobre sí misma y el eje imaginario de rotación pasa por dos puntos terrestres, uno llamado Polo Norte (PN) y el otro llamado Polo Sur (PS). Tomamos un plano perpendicular al eje de rotación y que pase por el centro de la Tierra, ese plano dibuja sobre la Tierra una circunferencia máxima llamada Ecuador.

Las circunferencias sobre la superficie terrestre paralelas al ecuador se les denominará paralelos. Las circunferencias máximas que pasan por los polos (perpendiculares al ecuador) se les llamará meridianos. Para definir unas coordenadas sobre la Tierra tomaremos como referencia el ecuador y el meridiano que pasa por Greenwich.

N

Polo Norte = Latitud 90° N

E

S

O

Meridiano

Paralelo

Latitud

Ecuador

Meridiano

de Greenwich

0°

180°

Longitud

A cada punto sobre la superficie de la Tierra le asociaremos dos números:

LATITUD: distancia angular existente entre el distancia angular existente entre el ecuador y el paralelo que pasa por ese punto o ecuador y el paralelo que pasa por ese punto o lugar, medido sobre el meridiano del lugar.lugar, medido sobre el meridiano del lugar.

LONGITUDLONGITUD: distancia angular entre el meridiano : distancia angular entre el meridiano que se toma como referencia, meridiano de que se toma como referencia, meridiano de GreenwichGreenwich y el meridiano que pasa por el punto o y el meridiano que pasa por el punto o lugar.lugar.

La latitud se expresa con un ángulo entre 0º y 90º, latitud Norte o latitud Sur, dependiendo de que el lugar esté en el hemisferio norte o en el hemisferio sur.

La longitud se expresa con un ángulo entre 0º y 180º, longitud este o longitud oeste, dependiendo de que el punto esté al este o al oeste del meridiano origen.

Hay varios métodos para el cálculo de las coordenadas geográficas, necesitamos a los cielos para este menester.

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Coordenadas geográficas de algunas ciudades españolas

Almería 36.50 N 2.28 OGranada 37.11 N 3.35 OJaén 37.46 N 3.47 OMálaga 36.43 N 4.25 OMotril 36.44 N 3.31 O

Barcelona 41.23 N 2.11 ECastellón de la Plana 39.59 N 0.02 OOropesa 40.06 N 0.09 E

LA ESFERA CELESTE

Como en la antigüedad se creía que la Tierra estaba inmóvil en el centro del Universo se suponía que las estrellas fijas estaban sobre la superficie de una esfera. Esta esfera giraba alrededor de la Tierra, los planetas giraban en órbitas circulares y lo mismo hacía el Sol y la Luna. Incluso en la Edad Media la gente sospechaba que esa esfera era algo sólido y firme, de ahífirmamento, con agujeritos, a través de los cuáles la luz del divino cielo, las estrellas, llegaba hasta nosotros.

De cualquier forma, los astrónomos antiguos idearon conceptos y artilugios para localizar los astros en cualquier momento en esa esfera sólida que giraba alrededor de la Tierra.

Para ese fin localizador de cuerpos celestes, era necesario definir algunos puntos, líneas, y planos especiales en la esfera celeste. Estos objetos especiales servirían como referencia y punto de partida.

Cuadrante

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El astrolabio es un instrumento que permite determinar las posiciones de las estrellas sobre la bóveda celeste. La palabra astrolabio significa etimológicamente "el que busca estrellas" y debe su procedencia al griego ("Astro", estrella y "Labio", el que busca). Sinesio de Ptolemaisatribuye su invención a Hiparco de Nicea, alrededor de 150 adC. Para el siglo VIII ya era ampliamente conocido en el mundo islámico y en Europa en el siglo XII.

Durante los siglos XVI hasta el XVIII el astrolabio fue utilizado como el principal instrumento de navegación hasta la invención del sextante.

Los astrolabios eran usados para saber la hora y podían usarse también para determinar la latitud a partir de la posición de las estrellas. Los marineros musulmanes a menudo los usaban también para calcular el horario de oración y encontrar la dirección hacia la Meca.

El astrolabio se basa en la proyección estereográfica de la esfera. En su forma original requería una placa de coordenadas de horizonte distinta para cada latitud, pero en el siglo XI el astrónomo al-Zarqallu, en al-Andalus, inventó una placa cónica que servía para todas las latitudes. La obra maestra de la técnica de fabricación de astrolabios fue la del sirio ibn al-Shatir, una herramienta matemática que podía ser usada para resolver todos los problemas comunes de astronomía esférica de cinco formas diferentes.

herramienta matemática que podía ser usada para resolver todos los problemas comunes de astronomía esférica de cinco formas diferentes.

La parte delantera de la madre sirve para saber en qué parte del mundo se está y que hora es. Una pieza gira encima de la placa madre, que se llama araña o red, y sirve para saber en que posición del cielo estáel Sol. Esta pieza representa al firmamento visible de todo el mundo. Una aguja representa, por un extremo, al Sol, y por el otro, la hora que es.

Sextante

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El sextante es un instrumento que permite medir ángulos entre dos objetos tales como dos puntos de una costa o un astro -tradicionalmente, el Sol-y el horizonte. Conociendo la elevación del Sol y la hora del día se puede determinar la latitud a la que se encuentra el observador. Esta determinación se efectúa con bastante precisión mediante cálculos matemáticos sencillos de aplicar.Este instrumento, que reemplaza al astrolabio por tener mayor precisión, ha sido durante varios siglos de gran importancia en la navegación marítima, incluso en la navegación aérea también, hasta que en los últimos decenios del siglo XX se impusieron sistemas más modernos, sobre todo, la determinación de la posición mediante satélites. El nombre sextante proviene de la escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60 grados, o sea, un sexto de un círculo completo.

Forma de operar el sextante. Para determinar el ángulo entre dos puntos, por ejemplo, entre el horizonte y un astro, primero es necesario asegurarse de utilizar los diferentes filtros si el astro que se va a observar es el Sol (muy importante por las graves secuelas oculares que puede generar). Además, es necesario proveerse de un cronómetro muy preciso y bien ajustado al segundo, para poder determinar la hora exacta de la observación y, de ese modo, anotarla para los inmediatos cálculos que se van a realizar.

Para llevar a cabo estas mediciones, el sextante dispone de:

Un espejo móvil, con una aguja (alidada) que señala en la escala (limbo) el ángulo medido.

Un espejo fijo, que en media parte permite ver a través de él.

Una mira telescópica. Filtros de protección ocular.

Uso del sextante:En la medición de la altura de un astro se

coloca el sextante perpendicularmente y se orienta el instrumento hacia la línea del horizonte. Acto seguido se busca el astro a través de la mira telescópica, desplazando el espejo móvil hasta encontrarlo. Una vez localizado, se hace coincidir con el reflejo del horizonte que se visualiza directamente en la media parte del espejo fijo. De ese modo se verá una imagen partida, en un lado el horizonte y en el otro el astro.

A continuación se hace oscilar levemente el sextante (con un giro de de muñeca) para tangentear la imagen del sol con la del horizonte y de ese modo determinar el ajuste preciso de ambos. Lo que marque el limbo será el ángulo que determina la Altura Instrumental u Observada de un astro a la hora exacta medida al segundo. Tras las correcciones pertinentes se determina la altura verdadera de dicho astro, dato que servirá para el proceso de averiguar la situación observada astronómicamente.

Coordenadas celestes

Si queremos fijar la posición de un astro en la esfera celeste debemos utilizar algún sistema de coordenadas. Nosotros utilizaremos algunos de ellos.

Características:

- El punto origen de estos sistemas es el centro de la esfera celeste.

- Cada sistema tiene un plano fundamental y un radio vector.

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- Mediremos a partir de un dirección fija del plano fundamental de 0º a 360º. La otra coordenada se mide a uno y a otro lado del plano fundamental de 0º a 90º.

Coordenadas HorizontalesEn el primer sistema que estudiaremos, las

coordenadas se llamarán azimut y altura. El plano fundamental es el HORIZONTE y el radio vector es la MERIDIANA (dirección Norte-Sur).

N´

O

E

En la figura NOSE representa el plano del horizonte.NZS representa el plano meridiano y NS que es la

intersección entre el plano meridiano y el horizonte es la meridiana.

El punto Z es el cenit del lugar y Z´ el nadir.La estrella representa el astro, el ángulo sobre el

paralelo entre el plano meridiano del lugar y el plano meridiano del astro (Z-estrella) es el Azimut. En astronomía los azimutes se miden a partir del sur hacia el oeste, de 0º a 360º.

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La otra coordenada en este sistema es el ángulo entre el plano del horizonte y la estrella sobre el meridiano del astro. Esta coordenada se llama Altura. Se mide de 0º a 90º. El complemento de la altura se llama distancia cenital del astro.

Este sistema se adapta a la determinación de las coordenadas del astro por medio del teodolito y otros instrumentos. Estas coordenadas debido al movimiento diurno irán variando de forma continua y nos hará falta la “hora”.

La latitud del lugar será la altura del polo, aproximadamente, la altura de la estrella polar.

Coordenadas Ecuatoriales HorariasEn este segundo sistema a estudiar las coordenadas se llamarán Ángulo Horario y Declinación. El plano fundamental será el Ecuador y el radio vector la Meridiana.

δ

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Como se puede observar en la figura, el ángulo formado por el plano meridiano superior (contiene al cenit), contiene a la dirección norte-sur y el círculo horario de la estrella es el Ángulo Horario, H (en la segunda figura viene representado por t). En atención al movimiento aparente de la esfera celeste, la estrella y su círculo horario girará, alrededor de la línea de los polos, eje del mundo, efectuando un giro completo en 24 horas, pudiéndose expresar los ángulos horarios en unidades de tiempo:360º = 24 h; 15º = 1 hora; 15’ = 1 minuto; 15´´ = 1 segundo.

El ángulo horario se mide en sentido retrógrado de 0º a 360º (0h a 24h) desde el punto Sur.

La segunda coordenada es la declinación,δ. Es el arco de meridiano desde el ecuador a la estrella. Se mide de 0º a 90º en ambos sentidos. La declinación serápositiva si el astro está en el hemisferio boreal y seránegativa si se encuentra en el hemisferio austral. Esta coordenada es fija para una estrella dada.

El inconveniente de este sistema es que se necesita para fijar las coordenadas un instrumento especial. Éste se llama Ecuatorial y su eje es paralelo al eje polar.

Coordenadas Ecuatoriales absolutasLas coordenadas que usaremos serán: Ascensión

recta y Declinación. El plano fundamental es el ecuador y el radio vector es la línea de equinoccios. El punto fundamental es el punto Aries, γ (gamma), y el sentido de medición es el directo, el sentido contrario a las agujas de reloj.

ήo

69

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La ascensión recta, α, es el ángulo o arco formado sobre el Ecuador desde el punto vernal o punto Aries, γ,(equinoccio de primavera), hasta el meridiano que contiene a la estrella. Se mide en sentido directo (hacia el este) de 0º a 360º o de 0h a 24h.

La declinación ya la conocemos.

En este sistema las coordenadas son fijas y es el que se utiliza de forma generalizada.

Puntos Aries y Libra

La eclíptica es el plano donde se mueve la Tierra alrededor del Sol en su movimiento de traslación. Este plano corta al ecuador en dos puntos: el punto Aries y el punto Libra, comienzo de la primavera y comienzo del otoño, respectivamente. La eclíptica y el ecuador forma un ángulo de 23º 27´ aproximadamente. Este ángulo no es fijo y se designa por la letra ε.

El Sol alcanza su máxima declinación cuando estáen 69, llamado Trópico de Cáncer y corresponde al 21 de junio y alcanza su valor mínimo cuando alcanza el punto ήo, llamado Trópico de Capricornio y corresponde al 21 de diciembre (más o menos). El máximo valor para la declinación del Sol es la oblicuidad de la eclíptica, ε.

La declinación del Sol varía entre los valores - ε < δ < 0 < δ < ε. El primer tramo hasta cero corresponde a otoño e invierno y el otro a primavera y verano.

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La ascensión recta de una estrella, α, es constante al igual que la declinación,δ, pero como la Tierra estágirando H varía constantemente. El valor α+H es lo que llamaremos hora sidérea y la representaremos por θ. La hora sidérea de un lugar es igual al ángulo horario más la ascensión recta del astro. También se puede definir como el ángulo horario de punto Aries.

La igualdad θ=α+H es la relaciónfundamental en Astronomía de Posición.

Cada vez que al girar la Tierra el meridianode un lugar pasa por el punto Aries, decimos que en eselugar empieza un día sidéreo, es decir, son las 0 horasde tiempo sidéreo.

Con la relación fundamental θ=α+H podemos pasarde coordenadas ecuatoriales absolutas a horarias y viceversa, para lo que se necesita conocer la horasidérea en el momento de la observación.

También podemos pasar de coordenadas horizontales a ecuatoriales absolutas, haciéndolo a través de lashorarias resolviendo el triángulo de posición de vérticesel Polo Norte, el cenit y el centro del astro.

Coordenadas EclípticasLa órbita sobre la que se mueve la Tierra o el Sol,

según se mire, es una curva que se encuentra sobre un plano: la eclíptica. Realmente esa órbita no es totalmente plana y eso es debido a la atracción de los demás planetas, en particular a Júpiter y Saturno.

La eclíptica corta a la esfera celeste en una circunferencia máxima que pasa por los puntos Aries y Libra, línea de equinoccios, formando con el ecuador un ángulo de 23º 27’ = ε, aproximadamente.

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El eje de la eclíptica, perpendicular al plano por el centro de la Tierra ( o el Sol), dependiendo de que consideremos el sistema geocéntrico o heliocéntrico, corta a la esfera celeste en dos puntos π y π´, son los polos de la eclíptica.

π es el polo norte de la eclíptica.π´es el polo sur de la eclíptica.

Las coordenadas en este sistema son la longitud celeste, λ, y la latitud celeste, β.

La longitud celeste, λ, de un astro es el arco de la eclíptica contando desde el punto vernal, γ, hasta el máximo de longitud ( meridiano que pasa por los polos de la eclíptica y por el centro del astro: λ = γE1).

La latitud celeste, β, es el arco máximo contado desde la eclíptica hasta el centro del astro: β = E1E.

La longitud se mide de 0º a 360º y la latitud entre 0ºy ± 90º, dependiendo del hemisferio en que se encuentre.

Coordenadas eclípticas y ecuatoriales absolutas

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Relación con las ecuatoriales

Las coordenadas ecuatoriales absolutas : α,δ.Las coordenadas eclípticas : λ, β.πP = 23º 27’= ε.PE = 90º - δ.πE = 90º - β.^P = 90º + α^π = 90º - λ.

Como ε es conocido, podemos determinar unas coordenadas en función de las otras.

Transformación de coordenadas horizontales en horarias

Nuestro cometido actual es conocer las coordenadas ecuatoriales horarias en un momento determinado, dadas las coordenadas horizontales y la latitud del lugar.

Coordenadas Horizontales:

A = azimuth = alturaφ = latitud geográfica

Coordenadas horarias:

H = Ángulo horario

δ = Declinación

Para resolver el problema consideraremos el triángulo esférico PZE y calcularemos lo necesario.

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Datos: A y h , azimut y altura del astro E.

^P = H^Z = 180-Ac = 90-φb = 90-ha = 90-δIncógnitas: H y δ, ángulo horario y declinación.

Problema 1

El observatorio Astronómico de Cartuja tiene de latitud φ = 37º 11´13´´ N. Desde allí se observa una estrella con coordenadas horizontales A = 80º 25´34´´ y h = 61º 46´9´´. ¿Cuáles serán en el instante de la observación sus coordenadas ecuatoriales horarias.

Solución: Resolvemos el triángulo PZE.φ = 37º 11´ 13´´ c = 90º - φ = 52º 48´ 47,2´´A = 80º 25´ 34´´ a = 90º - δh = 61º 46´ 9´´ b = 90º - h = 28º 13´ 50,9´´

^Z = 180º - A = 99º 34´ 26´´

Utilizando las fórmulas adecuadas obtenemos :H = 31º 53´ 48,5´´

δ = 28º 1´ ´27´´

Problema 2

Desde el Observatorio de Oslo de latitud 60º12´42´´,5 N se ha observado la estrella γDraconis. Las coordenadas ecuatoriales horarias de las estrella son H = 11h 10m 38s y δ = 51º 29´23´´,64.Calcula las coordenadas horizontales.

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Datos:

H =11h 10m 38sδ = 51º 29´ 24´´

Resolviendo obtenemos:

A = 171º 44´ 20.2´´

h = 22º 8´ 34.5´´

Transformación de coordenadas ecuatoriales absolutas en horarias y viceversa

Para resolver este tipo de transformaciones usaremos la relación fundamental θ=α+H.

θ = hora sidérea del lugarα = ascensión rectaH = ángulo horarioδ = declinación, que es la misma para ambos sistemas.

Podemos pasar de horizontales a ecuaciones absolutas, pasando por las horarias, utilizando la relación fundamental y resolviendo el triángulo PZE.

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Los elementos del triángulo PZE los conocemos:

PZ = 90 – φ = colatitud

PE = 90 – δ = distancia polar

ZE = 90 – h = distancia cenital

^Z = 180 – A ( A es el azimut)

^P = H (ángulo horario)

Transformación de coordenadas eclípticas en coordenadas ecuatoriales absolutas

α, δ son las coordenadas ecuatoriales absolutas de la estrella, E.

λ, β son las coordenadas eclípticas.

Resolvemos el triángulo esférico PπE

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Elementos del triángulo:

πP = ε = 23º 27´

PE = 90 – δ = distancia polar

πE = 90 – β

^P = 90+α

^π = 90 – λ

Problemas

1.- Halla la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Granada, 3º 35´O,37º 11´N.

Situación:

Solución: En primer lugar calcularemos el radio, R , del

paralelo correspondiente a Granada. Una vez calculado se halla fácilmente la longitud de un grado de paralelo granadino:

Calculamos el radio, fijémonos en la segunda figura:

Luego

G

2 2360 , .1 360

G GR RLLπ π

= =

90 37º11́13́ ´ 52º 48́ 47´́ ..TR radio ecuatorial o radio de la Tierra

α = − ==

/ ; .G T G Tsen R R R R senα α= = ⋅6371 0.796667662 5075,57 ; 88.585 .GR km km L km= ⋅ = =

2.- Un avión se dirige de Madrid a Nueva Yorkcon una velocidad de 990 km / h. Halla las coordenadas geográficas del punto donde se encuentra el avión al cabo de 3 horas de vuelo (como es natural suponemos que la trayectoria es un arco de circunferencia máxima).Coordenadas geográficas de Madrid: 40º 24´N, 3º 40´OCoordenadas geográficas de N.York: 40º 34´N, 76º 21´O

Utiliza como radio de la esfera sobre la que se mueve el avión una longitud de 6371 km.

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Situación: Datos:

M representa a Madrid.P representa al Polo Norte.N representa a Nueva York.n = 90 – 40º 24´ = 49º 36´.m = 90 – 40º 34´= 49º 26´.C = Lugar donde se encuentra el avión

a las tres horas de vuelo.p = es el arco de circunferencia

máxima que une a Madrid con Nueva York.

3.- Calcula la superficie del triángulo esférico de ángulos:

 = 137º^B = 61º^C= 57º .

El radio de la esfera mide 5 metros.

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( )2

2´ 180 32,725 .180

ra rea A B C mπ= + + − =

4.- Demuestra que si dos ángulos de un triángulo esférico son rectos, los lados opuestos a estos ángulos son cuadrantes y el tercer ángulo estámedido por el lado opuesto. Si los tres ángulos de un triángulo esférico son rectos, demuestra que la superficie esférica del triángulo es un octante de la esfera.

Como los ángulos A y B son rectos, entonces :

La segunda parte se deduce de lo anterior.

}

2 3

3 11 3 3 3

3 2

1 2

9090

9090

( , ) .

Ar r b

B rr r a

C r r c

= ⇒Π ⊥Π

⊥ ⇒ =⎧= ⇒Π ⊥Π ⇒ ⊥Π ⇒ ⎨ ⊥ ⇒ =⎩= =

5.- Con un teodolito se ha observado una estrella obteniéndose un acimut A = 357º29´29´´,31 y una distancia cenital z = 14º20´55´´,75. Calcular las coordenadas ecuatoriales absolutas de la estrella si el lugar de observación fue La Coruña, de latitud 43º22´12´´ y se observó a las 0h 5 m de tiempo sidéreo local.

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Datos: A = 357º 29´29´´,31z = 14º 20´55´´,75φ (latitud) = 43º 22´12´´h (altura) = 90 – z = 75º39´4´´,25.

Calculamos δ.

δ = 29º 1´56´´,58.

Coordenadas ecuatoriales horarias:

Pasamos a las absolutas: θ=α+H, α = 1º57´39´´.

Coordenadas ecuatoriales absolutas: α = 1º57´39´´δ = 29º 1´56´´,58.

La estrella que se observaba era α-Andrómeda, Sirach oAlferatz.

359º17´21́ ´29º1́56́ ,́58

Hδ

=⎧⎨ =⎩

6.- Sabiendo que la latitud de Madrid es φ = 40º 24´30´´ N hallar el acimut y la distancia cenital de la estrella Procyón (α= 7h 38m 4,86s, δ = 5º 17´ 5´´, 5 ) en el instante en el que el punto Aries está en dirección oeste.

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Solución: Coordenadas ecuatoriales absolutas de

Procyón: α = 114º 31´13´´δ = 5º 17´5´´,5.

Como el punto vernal, γ, está en dirección oeste la hora sideral local sería 6 h, equivalente a 90º. Luego el ángulo horario de Proción, H, sería 90 – α = 335º 28´47´´. No se puede olvidar que el ángulo horario se pide desde el punto sur en el sentido de las agujas del reloj.

Coordenadas ecuatoriales horarias:H = 335º 28´47´´, δ = 5º 17´5´´,5.

Ahora calculamos las coordenadas horizontales de la estrella utilizando las fórmulas adecuadas.

Las coordenadas horizontales son:A = 321º 44´42´´h = 52º 16´ 25´´.

Can Menor (Proción) 7.- ¿A qué hora (aproximadamente) sale una estrella que hace un mes salió a las 10 de la noche?

Nota: A causa del movimiento de traslación de la Tierra, cada estrella sale 3 m 56s antes que el día anterior siempre que se cuente el tiempo corriente (solar).

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Solución:

Como cada estrella sale por el este 3 minutos y 56 segundos antes que el día anterior. Hemos de multiplicar ese tiempo por 30 y ese resultado es el lo que se adelanta en un mes.

3m 36s ·30 = 1h 58m.La estrella saldrá a las 8 horas y 2 minutos de la

tarde-noche.Si el mes es de 31 días entonces saldrá a las 7

horas 58 minutos y 4 segundos.

8.- ¿Dónde está en el cielo Sirio (α = 6 h 41m, δ = -16º 39´) el 21 de marzo una hora después de la puesta del Sol? ¿El 23 de septiembre una hora después de la salida del Sol (para latitudes medias del hemisferio septentrional.)?

9.- La distancia polar de una estrella es de 20º 15´,¿cuál es su distancia cenital en su culminación inferior en un lugar de latitud φ = 59º 13´?

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Solución:En la culminación superior de un astro

su ángulo horario es igual a cero horas y la ascensión recta es igual al tiempo sidéreo: θ = α + H = α.

En la culminación inferior el ángulo horario es igual a 12 horas o 180º.

Por tanto, las coordenadas horarias en la culminación inferior son : δ = 90º - 20º 15´= 69º 45´, y H = 180º. Usamos las fórmulas de transformación de coordenadas horarias en horizontales:

Haciendo los cálculos necesarios obtenemos:

h = 38º 53´,

Y la distancia cenital, z, será igual a 90º - 38º 53´ =51º 7´..

10.- Cerca del año 1100 antes de Cristo los astrónomos chinos establecieron que el día del solsticio de verano la altura del Sol a mediodía era de 79º 7´, mientras que el día del solsticio de invierno era de 31º 19´( al sur del cenit).

¿A qué latitud se hizo la observación? ¿Cuál era la inclinación de la eclíptica con respecto al ecuador?

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Solución:Como podemos observar en la figura

anterior, M representa el Sol en el solsticio de verano y se verifica la relación:

h +φ-δ= 90; φ-δ = 90 – h;(1) φ – δ = 10º 53´.

La altura del Sol, h´, en el solsticio de invierno es de 31º19´ y estará debajo del la línea del ecuador, verificándose la relación:

φ +δ+h´= 90º ; φ +δ = 90º - h´;(2) φ +δ = 50º 41´.

Resolviendo el sistema (1),(2), resulta que φ = 34º 47´.La declinación, δ, es la inclinación de la eclíptica:ε = φ – 10º 53´ = 23º 54´.

Problema 11

Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 48º 35´ N con velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo 36º 52´ N y velocidad 18 nudos. Ambos barcos siguen su paralelo en dirección oeste. Encontrar la distancia, en millas, que los separa al cabo de 56 horas de marcha.

Nota: El arco de un minuto, de longitud 1852 metros, se llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo.

Situación:Bibliografía

* ASIMOV, Isaac : El Universo. Alianza Editorial.Madrid, 2004.

* AZARQUIEL, Grupo: Astronomía en la Escuela.Madrid, 1986.

* FUENTES YAGÜE, J.L. : Nociones de Astronomía. Ministerio de Agricultura, Pesca y Alimentación, Madrid 1987.* Martín Asín, F. : Astronomía. Editor F. Martín Asín, Distribuido por Paraninfo, Madrid 1982.

* OMISTE CHACÓN, Juan: Apuntes de Matemáticas Curso Preuniversitario, Motril 1970.

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* Unidad Docente de Matemáticas (2003): Apuntes de Trigonometría Esférica.

Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía de la

Universidad Politécnica de Madrid.* VORONTSOV-VELIAMÍNOV, B.A. : Problemas

y ejercicios prácticos de Astronomía.Editorial Mir, Moscú 1985.

* WEBB, E. J. : Los nombres de las estrellas.Fondo de Cultura Económica. Mexico, 1957.

Algunas direcciones en internet

http://sohowww.nascom.nasa.gov/http://www.astrored.org/http://www.xtec.es/recursos/astronom/indexs.htmhttp://www.mallorcaweb.net/masm/conloc.htmhttp://www.eso.cl/acerca.phphttp://www.latinquasar.com/http://www.astromia.com/index.htmhttp://www.astrosurf.com/http://160114.99.9/astrojanGoogle Sky

Unos programas• Cosmos (programa antiguo pero muy bueno para ver el

cielo en un momento determinado y el movimiento de los planetas).

• Starry Night Bundle 2.1 (presentación del cielo).• Sky Map Pro11 (se encuentra en la última dirección

dada).• Esféricas (programa de ordenador para resolver

triángulos ya sean planos o esféricos). Unidad Docente de Matemáticas (2003) en la Bibliografía.

• Stellarium (Otro programa de ordenador bueno y bonito para aprender constelaciones e informarse de la posición de planetas y algunos asteroides en un momento determinado).