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SMA0332. NOTAS DE AULA DO CALCULO II

2o semestre de 2014

1. “Lembrancas” do calculo I e da geometria analıtica

Ninguem precisa de definicoes: a gente as conhece desde ser nascido.— Misha Kapranov (com sua namorada na plateia), 1990

Para quaisquer x, y ∈ Rn, vale a desigualdade triangular |x+ y| ≤ |x|+ |y|. Alem disso, |rx| = |r| · |x|para todos x ∈ Rn e r ∈ R.

1.1. Definicao. Um subconjunto U ⊂ Rn e dito aberto, o que denotamos U ⊂◦Rn, se junto comcada seu ponto p ∈ U ele contem uma bola aberta centrada neste ponto, isto e, existe r > 0 tal queB(p, r) ⊂ U , onde B(p, r) :=

{x ∈ Rn | |x − p| < r

}. Um subconjunto F ⊂ Rn e dito fechado, o que

denotamos F ⊂f Rn, se seu complemento Rn \ F e aberto, (Rn \ F )⊂◦Rn.

1.2. Observacoes. 1. Qualquer bola aberta e aberta.2. Se U1, U2 ⊂◦Rn, entao U1 ∩U2 ⊂◦Rn. (A intersecao de dois subconjuntos abertos e um subconjuntoaberto.)3. Se Ui⊂◦Rn para todo i ∈ I, entao

∪i∈I

Ui⊂◦Rn. (A uniao de qualquer famılia de subconjuntos

abertos e um subconjunto aberto.) Em particular, ∅ e Rn sao abertos.4. Para quaisquer pontos distintos p1, p2 ∈ Rn, p1 = p2, existem subconjuntos abertos pi ∈ Ui⊂◦Rn,i = 1, 2, (chamados vizinhancas abertas dos pi’s) que sao disjuntos, isto e, U1 ∩ U2 = ∅. (Estapropriedade se chama o axioma de Hausdorff.)

Acabamos de introduzir a topologia padrao em Rn.

Demonstracao. 1. Seja q ∈ B(p, r). Entao |q − p| < r e B(q, ε) ⊂ B(p, r) pela desigualdadetriangular, onde ε := r − |q − p| > 0. Com efeito, x ∈ B(q, ε) implica |x − q| < r − |q − p|. Logo,|x− p| ≤ |x− q|+ |q − p| < |q − p|+ r − |q − p| = r.2. Seja p ∈ U1 ∩ U2. Entao B(p, r1) ⊂ U1 e B(p, r2) ⊂ U2 para alguns r1, r2 > 0. Portanto, B(p, r) ⊂U1 ∩ U2, onde r := min(r1, r2) > 0.

3. E obvio.4. Temos |p2 − p1| = 2r > 0. Basta tomar Ui := B(pi, r) e aplicar a desigualdade triangular ■

Usando as formulas C \( ∪i∈I

Si)=

∩i∈I

(C \Si) e C \( ∩i∈I

Si)=

∪i∈I

(C \Si), validas para quaisquer sub-

conjuntos Si ⊂ C, i ∈ I, de um conjunto C dado, podemos reescrever as propriedades caracterısticas 2–4da topologia em termos de subconjuntos fechados.

1.3. Definicao. Seja X ⊂ Rn um subconjunto.Para a topologia induzida em X, um subconjunto V e aberto em X, o que denotamos V ⊂◦X, se V =

X ∩ U para algum U ⊂◦Rn. Subconjuntos abertos em X satisfazem as propriedades caracterısticassemelhantes as 2–4 na Definicao 1.1, pois X ∩

( ∩i∈I

Ui)=

∩i∈I

(X ∩ Ui) e X ∩( ∪i∈I

Ui)=

∪i∈I

(X ∩ Ui).

Equivalentemente, um subconjunto G e fechado em X, o que denotamos G ⊂f X, se G = X ∩F paraalgum F ⊂f Rn. Como acima, podemos reescrever as propriedades caracterısticas da topologia em Xem termos de subconjuntos fechados.

2 2o SEMESTRE DE 2014

O sentido intuitivo do conceito de subconjunto aberto e que todos os pontos bastante proximos a umponto dado deste subconjunto estao no subconjunto. O sentido intuitivo do conceito de subconjuntofechado e dado pelo seguinte lema.

1.4. Lema. Um subconjunto F ⊂ Rn e fechado se e somente se, para toda sequencia convergentexi ∈ Rn, i ∈ N, cujos membros estao em F , o limite da sequencia tambem esta em F . Em palavras,um subconjunto e fechado se e so se ele e fechado relativamente a passar aos limites.

Demonstracao. Recordamos que uma sequencia de pontos xi ∈ Rn, i ∈ N, e convergente e temlimite x ∈ Rn, o que denotamos lim

i→∞xi = x, se, para todo ε > 0, existe m ∈ N tal que |xi − x| < ε para

todo i ≥ m. Podemos reformular essa definicao: para qualquer vizinhanca aberta de x, a sequencia ficatoda nessa vizinhanca a partir de um momento. O axioma de Hausdorff implica que qualquer sequenciaconvergente possui um unico limite.

Se F e fechado, xi ∈ F para todo i ∈ N e limi→∞

xi = x, mas x /∈ F , entao a partir de um momento a

sequencia fica na vizinhanca aberta Rn \ F do ponto x. Uma contradicao.

Reciprocamente, se F ⊂ Rn e fechado relativamente a fazer limites, entao o complemento Rn \ F eaberto. Realmente, se Rn \F nao fosse aberto, poderıamos achar um ponto x ∈ Rn \F tal que nenhumabola aberta centrada em x esta contida em Rn \ F . Em outras palavras, para qualquer bola abertaB(x, ε), ε > 0, a intersecao F ∩ B(x, ε) nao e vazia. Fazendo ε := 1

i , i ∈ N, encontramos um ponto

xi ∈ F tal que |xi − x| < 1i . E imediato que lim

i→∞xi = x. Uma contradicao ■

1.5. Definicao. Sejam X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn. Uma aplicacao f : X → Y e contınua se, paratodo subconjunto aberto V ⊂◦Y , a imagem inversa f−1(V ) :=

{x ∈ X | f(x) ∈ V

}e aberta em X,

f−1(V )⊂◦X. Uma definicao equivalente usa subconjuntos fechados: G ⊂f Y =⇒ f−1(G) ⊂f X. Istosegue da propriedade f−1(Y \ S) = X \ f−1(S), valida para quaisquer subconjunto S ⊂ Y e aplicacaof : X → Y entre conjuntos.

Note que a aplicacao f : X → Y e contınua se e so se a correspondente aplicacao f : X → Rn econtınua ja que a topologia em Y e induzida pela topologia em Rn. Pelo mesmo motivo, a aplicacaof |X′ : X ′ → Y (chamada a restricao de f para X ′) e contınua se a aplicacao f : X → Y e contınua eX ′ ⊂ X.

Dada uma aplicacao f : X → Y com X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn, usando n coordenadas em Rn, podemos

interpretar a aplicacao f : X → Rn como sendo n funcoes fi : X → R, i = 1, . . . , n, isto e, f(x) =(f1(x), . . . , fn(x)

)∈ Rn para todo x ∈ X. Chamamos as funcoes fi’s componentes da aplicacao f

(ou de f).

Dadas aplicacoes f : X → Y e g : Y → Z entre conjuntos, lembramos que a aplicacao compostag ◦ f : X → Z e definida pela regra (g ◦ f)(x) := g

(f(x)

)para x ∈ X. Uma verificacao direta mostra a

formula (g ◦ f)−1(S) = f−1(g−1(S)

)para imagens inversas, onde S ⊂ Z.

A seguinte proposicao e uma lista das propriedades basicas de aplicacoes contınuas. Na maioriados casos que encontraremos em nossa pratica, a proposicao junto com a continuidade das funcoeselementares e uma ferramenta adequada para demonstrar que uma aplicacao concreta e contınua.

1.6. Proposicao. Sejam f1, f2 : X → R funcoes contınuas, g1, g2 : X → Rm aplicacoes contınuas,

f : X → Y e g : Y → Z aplicacoes, Rm L−→ Rn uma aplicacao linear, X ′ ⊂ X e p ∈ Rn, onde X ⊂ Rl,Y ⊂ Rm e Z ⊂ Rn. Entao as seguintes afirmacoes sao validas.

1. A aplicacao f e contınua se e so se a correspondente aplicacao f : X → Rm e contınua.

2. Se f e contınua, entao sua restricao f |X′ : X ′ → Y e contınua.

3. Se f e g sao contınuas, entao a composta g ◦ f e contınua.

4. Sejam Ui⊂◦X, i ∈ I, subconjuntos abertos tais que X =∪i∈I

Ui. Entao a aplicacao f e contınua se

e so se todas as restricoes f |Ui , i ∈ I, sao contınuas. Em palavras, “ser contınua” e uma propriedadelocal de uma aplicacao.

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5. A aplicacao f e contınua se e so se ela preserva limites. Isto significa que, toda vez em que temosuma sequencia xi ∈ X, i ∈ N, convergente a um ponto x ∈ X, lim

i→∞xi = x, a sequencia f(xi), i ∈ N,

e convergente e limi→∞

f(xi) = f(x), ou seja, limi→∞

f(xi) = f(limi→∞

xi).

6. A aplicacao f e contınua se e so se suas componentes sao funcoes contınuas. Em particular, o “es-quecimento” Rn → Rm de algumas coordenadas em Rn e uma aplicacao contınua.

7. As aplicacoes Rm const−→ Rn e Rn 1Rn−→ Rn e as funcoes R2 +−→ R, R2 ×−→ R e R \ {0}−1

−→ R, dadaspelas regras x 7→ p, x 7→ x, (x1, x2) 7→ x1 + x2, (x1, x2) 7→ x1 · x2 e x 7→ x−1, sao contınuas.8. As funcoes f1 + f2 e f1f2 sao contınuas. Se f2(x) = 0 para todo x ∈ X, entao a funcao f1/f2 econtınua.9. A aplicacao f1g1 + f2g2 : X → Rm e contınua.10. A aplicacao linear L e contınua.1

Demonstracao. 1. Discutido acima.2. Discutido acima.3. Uma consequencia direta da formula (g◦f)−1(S) = f−1

(g−1(S)

)e da definicao de aplicacao contınua.

4. Suponhamos que todas as restricoes f |Ui : Ui → Y , i ∈ I, sao contınuas e seja V ⊂◦Y . Precisamos

verificar que f−1(V )⊂◦X. E facil ver que (f |Ui)−1(V ) = Ui ∩ f−1(V ). Logo, Ui ∩ f−1(V )⊂◦Ui

para todo i ∈ I, ou seja, Ui ∩ f−1(V ) = Ui ∩Wi para algum Wi⊂◦X, implicando Ui ∩ f−1(V )⊂◦X.Concluımos de X =

∪i∈I

Ui que f−1(V ) =

∪i∈I

(Ui ∩ f−1(V ))⊂◦X.

A recıproca segue do item 2.5. Suponhamos que f e contınua e que lim

i→∞xi = x com xi, x ∈ X. Tomemos uma vizinhanca aberta

arbitraria f(x) ∈ V ⊂◦Y . Entao x ∈ f−1(V )⊂◦X e uma vizinhanca aberta de x. Logo, a partir de ummomento k, temos xi ∈ f−1(V ) para i ≥ k. Portanto, f(xi) ∈ V para i ≥ k, como desejado.

Reciprocamente, suponhamos que f preserva limites e seja V ⊂◦Y . Tomemos qualquer ponto x ∈f−1(V ). Precisamos provar que existe uma bola aberta B(x, ε) centrada em x tal que X ∩ B(x, ε) ⊂f−1(V ). Senao, para todo i ∈ N, temos X ∩ B(x, 1i ) ⊂ f−1(V ). Podemos escolher entao um ponto

xi ∈ X ∩ B(x, 1i ) tal que xi /∈ f−1(V ). Claro que limi→∞

xi = x. Concluımos daı que limi→∞

f(xi) = f(x).

Mas f(x) ∈ V ⊂◦Y e uma vizinhanca aberta de f(x) e xi /∈ f−1(V ) implica f(xi) /∈ V . Uma contradicaocom a definicao de limite.

6. Primeiramente observamos, utilizando o item 4, que a funcao de projecao Rmπj−→ R, definida pela

regra (x1, . . . , xm) 7→ xj , e contınua. Com efeito, se limi→∞

pi = q para pi = (p1i, . . . , pmi) ∈ Rm e

q = (q1, . . . , qm) ∈ Rm, entao limi→∞

|pi − q| = 0 pela definicao de limite. Logo, limi→∞

|pi − q|2 = 0 e

limi→∞

(pji − qj)2 = 0, pois 0 ≤ (pji − qj)

2 ≤ |pi − q|2. Daı segue limi→∞

(pji − qj) = 0, como desejado.

De fato, raciocınios parecidos aos acima mostram que o limite de uma sequencia de pontos em Rmse calcula por componentes.

A j-esima componente de f e nada mais do que πj ◦ f . Pelo item 3, a funcao πj ◦ f e contınua se ffor contınua.

Reciprocamente, suponhamos que todas as componentes f1, . . . , fm de f sao contınuas e seja pi ∈ X,i ∈ N, uma sequencia convergente a um ponto q ∈ X, lim

i→∞pi = q. Precisamos demonstrar que

limi→∞

f(pi) = f(q). Como foi observado, o limite se calcula por componentes. Deste modo, precisamos

verificar que limi→∞

fj(pi) = fj(q). Mas isto segue da continuidade da componente fj pelo item 5.

7. A aplicacao Rm const−→ Rn e contınua, pois a imagem inversa de qualquer subconjunto S ⊂ Rn e ouvazia (se p /∈ S) ou todo Rm (se p ∈ S).

A aplicacao Rn 1Rn−→ Rn e contınua, pois a imagem inversa de qualquer subconjunto S ⊂ Rn e elemesmo.

1Cabe mencionar que este fato nao vale para espacos lineares de dimensao infinita.


Para demonstrar que as funcoes R2 +−→ R e R2 ×−→ R sao contınuas, tomemos uma sequencia(xi, yi) ∈ R2 convergente a um ponto (x, y) ∈ R2, lim

i→∞(xi, yi) = (x, y). Como foi observado na

demonstracao do item anterior, isto significa que limi→∞

xi = x e limi→∞

yi = y. Lembramos agora que

limi→∞

(xi + yi) = x+ y e limi→∞

xiyi = xy. Resta utilizar o item 5.

O mesmo funciona para a funcao R \ {0}−1

−→ R. Sejam xi ∈ R \ {0}, i ∈ N, tais que limi→∞

xi = x ∈

R \ {0}. Sabemos que limi→∞

x−1i = x−1.

8. Consideremos a aplicacao h : X → R2 cujas componentes sao f1 e f2. A funcao f1 + f2 e a compostada funcao + (vide item 7) e da aplicacao h. Pelo item 3, f1 + f2 e contınua. Da mesma maneira,a funcao f1f2, sendo a composta de × e de h, e contınua. Finalmente, f1/f2 = f1(1/f2). A funcao 1/f2,

sendo a composta da funcao f2 : X → R \ {0} com a funcao −1 (vide item 7), e continua pelo item 3.9. A afirmacao segue dos itens 8 e 6.10. Pelo item 6, podemos supor que n = 1, ou seja, L(x1, . . . , xm) = c1x1 + · · · + cmxm para algunsc1, . . . , cm ∈ R. Agora, o fato segue do item 8 e da segunda afirmacao do item 6 ■

1.7. Continuidade uniforme e convergencia uniforme. Como sabemos, a continuidade de umafuncao f : X → R se expressa assim: ∀ ε > 0 ∀x0 ∈ X ∃ δ > 0 ∀x ∈ X |x−x0| < δ =⇒

∣∣f(x)−f(x0)∣∣ < ε.Enfatizamos que δ depende de x0 ∈ X e de ε. Se trocarmos os quantificadores, ou seja, se fizermos δindepender de x0 ∈ X, obtemos a seguinte

1.7.1. Definicao. Seja X ⊂ Rn. Uma funcao f : X → R e dita uniformemente contınua sobre X se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x0, x1 ∈ X |x1 − x0| < δ =⇒

∣∣f(x1)− f(x0)∣∣ < ε.

1.7.2. Definicao. Um subconjunto L ⊂ Rn e limitado se ele esta contido em uma bola. Equivalen-temente, L e limitado se |L| ≤ r para algum r ∈ R. Dizemos que ∅ = K ⊂ Rn e um compacto se K efechado em Rn, K ⊂f Rn, e limitado.

Um exemplo de um compacto e um bloco fechado [a, b]× [c, d] ⊂ R2.

1.7.3. Exercıcio. Utilizando o fato que as coordenadas em R2 sao contınuas pela Proposicao 1.6 (6),prove que o bloco [a, b]× [c, d] ⊂ R2 e fechado.

1.7.4. Definicao. Seja f : X → R uma funcao. Definimos a norma de f (sobre X) pela formula||f || := ||f ||X := sup

∣∣f(X)∣∣, onde supS denota o supremo (isto e, a menor cota superior2) de S ⊂ R.

Claro que ||f || = 0 implica f = 0.

1.7.5. Lema. Sejam f, g : X → R funcoes. Entao ||f + g|| ≤ ||f ||+ ||g|| e ||fg|| ≤ ||f || · ||g||.

Demonstracao. Para qualquer x ∈ X, temos∣∣f(x) + g(x)

∣∣ ≤∣∣f(x)∣∣ + ∣∣g(x)∣∣ ≤ ||f || + ||g|| e∣∣f(x) · g(x)∣∣ = ∣∣f(x)∣∣ · ∣∣g(x)∣∣ ≤ ||f || · ||g|| ■

1.7.6. Definicao. Dizemos que uma sequencia de funcoes fi : X → R, i ∈ N, converge uniformementea uma funcao f : X → R e escrevemos lim

i→∞fi = f se lim

i→∞||fi − f || = 0.

O fato que ||fi− f || ≤ ε significa que o “grafico” de fi esta situado na “faixa” de largura 2ε em tornodo “grafico” de f . Consequentemente, a convergencia uniforme implica que o grafico de fi esta na faixa,de largura arbitrariamente pequena, em torno do “grafico” de f para todo i suficientemente grande.

Recordamos agora o

1.7.7. Lema (teorema de Lagrange). Seja f : [u, v] → R uma funcao contınua derivavel em (u, v).Entao f(v) = f(u) + f ′(ξ)(v − u) para algum ξ ∈ (u, v).

2A propriedade caracterıstica do supremo: S ≤ supS (isto significa que s ≤ supS para todo s ∈ S) e, para qualquerr ∈ R ∪ {∞} tal que S ≤ r, temos supS ≤ r.


1.7.8. Definicao. Uma funcao f : [a, b] → R e dita integravel se f e o limite uniforme de umasequencia de funcoes escada fi : [a, b] → R, i ∈ N, lim

i→∞fi = f .

Lembramos tambem as propriedades basicas da integral de funcoes de uma variavel real.

1.7.9. Proposicao. Sejam f, f1, f2, hi : [a, c] → R, i ∈ N, funcoes integraveis, h : [a, c] → R umafuncao, b ∈ [a, c] e r1, r2 ∈ R. Entao os seguintes fatos sao validos.

• As funcoes f |[a,b] e f |[b,c] sao integraveis e∫ caf(t) dt =

∫ baf(t) dt+

∫ cbf(t) dt.

• A funcao r1f1 + r2f2 e integravel e∫ ca

(r1f1(t) + r2f2(t)

)dt = r1

∫ caf1(t) dt+ r2

∫ caf2(t) dt.

• Se f1(t) ≤ f2(t) para todo t ∈ [a, c], entao∫ caf1(t) dt ≤

∫ caf2(t) dt.

• A funcao |f | e integravel e∣∣ ∫ caf(t) dt

∣∣ ≤ ∫ ca

∣∣f(t)∣∣dt.•∣∣ ∫ caf(t) dt

∣∣ ≤ ||f ||(c− a).• A funcao f1f2 e integravel.• Se

∣∣f(t)∣∣ ≥ m > 0 para todo t ∈ [a, c] e algum m ∈ R, a funcao 1f e integravel.

• Se limn→∞

hi = h e limite uniforme, entao h e uma funcao integravel e∫ cah(t) dt = lim

i→∞

∫ cahi(t) dt.

Em outras palavras, limite uniforme comuta com integral. Em particular, toda funcao contınua eintegravel.

Nossas “reminiscencias” ja estao ultrapassando todos os limites. Vamos por isto adiar a demonstracaodo seguinte lema ate um momento adequado.

1.7.10. Lema. Sejam K ⊂ Rm um compacto e g : K → R uma funcao contınua. Entao a funcaog e uniformemente contınua. Alem disso, existem k0, k1 ∈ K tais que g(k0) ≤ g(k) ≤ g(k1) para todok ∈ K.

Os conceitos e fatos introduzidos acima possibilitam em certas circunstancias comutar a derivacaocom a integracao:

1.7.11. Lema. Seja f : [a, b] × (u, v) → R uma funcao contınua tal que f(t, s) e derivavel em

s ∈ (u, v) para cada t ∈ [a, b]. Suponhamos que a funcao dfds (t, s) e contınua em [a, b]× (u, v). Entao a

funcao h(s) :=∫ baf(t, s) dt e derivavel e h′(s) :=

∫ ba

dfds (t, s) dt. Em outras palavras, d

ds

∫ baf(t, s) dt =∫ b

addsf(t, s) dt se a funcao d

dsf(t, s) e contınua em [a, b]× (u, v).

Demonstracao. Seja s ∈ (u, v). Precisamos mostrar que, para qualquer sequencia s = si ∈ (u, v),

i ∈ N, convergente a s, limi→∞

si = s, vale limi→∞

h(si)−h(s)si−s =

∫ ba

ddsf(t, s) dt, isto e, lim

i→∞

∫ baf(t,si)−f(t,s)

si−s dt =∫ ba

ddsf(t, s) dt. Pela Proposicao 1.7.9, e suficiente provar que a funcao g(t) := d

dsf(t, s) e o limite

uniforme da sequencia de funcoes gi(t) :=f(t,si)−f(t,s)

si−s , i ∈ N. E claro que existe um intervalo fechado

[c, d] ⊂ (u, v) tal que s, si ∈ [c, d] para todo i ∈ N. Sendo g(t, x) := ddsf(t, x) contınua em [a, b]× (u, v),

ela e uniformemente contınua em [a, b]× [c, d] pelos Exercıcio 1.7.3 e Lema 1.7.10.Tomemos ε > 0 qualquer. Sendo g(t, x) uniformemente contınua em [a, b] × [c, d], existe δ > 0 tal

que |x − s| < δ =⇒∣∣g(t, x) − g(t, s)

∣∣ < ε. Devido a limi→∞

si = s, existe m ∈ N tal que |si − s| < δ para

todo i ≥ m. Pelo teorema de Lagrange (o Lema 1.7.7), para cada i ≥ m e cada t ∈ [a, b], podemos

encontrar ξi entre si e s tal que f(t,si)−f(t,s)si−s = g(t, ξi). Ja que |si − s| < δ implica |ξi − s| < δ, obtemos∣∣g(t, ξi) − g(t, s)

∣∣ < ε para todo i ≥ m, ou seja,∣∣gi(t) − g(t)

∣∣ < ε para todo i ≥ m e t ∈ [a, b]. Istosignifica que ||gi − g|| < ε para todo i ≥ m ■

1.8. Definicao. Uma aplicacao contınua c : [a, b] → Rn se chama caminho de classe C0 em Rnou simplesmente caminho em Rn ou curva parametrizada em Rn. Um caminho c : [a, b] → Rn e dito

diferenciavel se existe a derivada c(t0) := c′(t0) := lim[a,b]∋t→t0

t =t0

c(t)−c(t0)t−t0 para todo t0 ∈ [a, b]. Se, por

sua vez, c : [a, b] → Rn e um caminho de classe C0, ou seja, e contınuo, dizemos que c e um caminho


de classe C1. Por inducao, um caminho de classe Ck e um caminho diferenciavel cuja derivada e declasse Ck−1. Se um caminho e de classe Ck para todo k ∈ N, dizemos que o caminho e de classe C∞.

As vezes, vale a pena pensar no parametro t em c(t) como se t fosse o tempo. Com esta visao, o valorc(t) indica no espaco a posicao do ponto no momento t. Fazendo t variar, c(t) descreve o movimentodo ponto no espaco e, em particular, a trajetoria do ponto. A derivada c(t0) (quando existir) podeser considerada como vetor velocidade no momento t0 ∈ [a, b]. A segunda derivada c(t0) pode serinterpretada como vetor aceleracao.

Pela Proposicao 1.6 (6), um caminho c : [a, b] → Rn e nada mais do que n funcoes contınuasc1, . . . , cn : [a, b] → R, as componentes de c. Deste modo, um caminho diferenciavel c : [a, b] → Rne simplesmente n funcoes derivaveis.

1.9. Integracao de caminho. A gente pode integrar caminhos do mesmo jeito como acabamosde deriva-los. Por exemplo, os itens 1, 2, 3 (interpretando a desigualdade (p1, . . . , pn) ≤ (q1, . . . , qn)como pi ≤ qi para todo i = 1, . . . , n) e 8 da Proposicao 1.7.9 sao obviamente validos para caminhos.Os itens 4 e, consequentemente, 5 tambem permanecem validos para caminhos, mas o 4 exige umademonstracao. “Lembraremos” tudo isto quando necessitarmos (veja a Proposicao 2.11.5).

1.10. Topologia e normas em Rn. Na Definicao 1.1, introduzimos a topologia padrao em Rnusando de fato uma norma “padrao” em Rn.

1.10.1. Definicao. Seja V um espaco R-linear. Uma aplicacao | | : V → R se chama norma em Vse sao validos os seguintes axiomas.

• |v| ≥ 0 para todo v ∈ V com |v| = 0 apenas no caso v = 0.• |rv| = |r| · |v| para todos v ∈ V e r ∈ R.• |v1 + v2| ≤ |v1|+ |v2| para todos v1, v2 ∈ V .

Duas normas | | e | |′ em V sao equivalentes se existem constantes c, c′ tais que |v|′ ≤ c|v| e |v| ≤ c′|v|′para todo v ∈ V .

1.10.2. Lema. Se V e um espaco R-linear de dimensao finita,3 entao todas as normas em V saoequivalentes.

Demonstracao. Basta considerar a norma “padrao” | | e uma norma arbitraria | |′ em V .Note que

∣∣|p|′−|q|′∣∣ ≤ |p−q|′. Realmente, |p|′ = |p−q+q|′ ≤ |p−q|′+ |q|′ implica |p|′−|q|′ ≤ |p−q|′.

Pela simetria, |q|′ − |p|′ ≤ |q − p|′ =∣∣(−1)(p− q)

∣∣′ = |p− q|′.Primeiramente observamos que a funcao | |′ e contınua em V . Com efeito, pela Proposicao 1.6 (5),

basta ver que limi→∞

pi = q implica limi→∞

|pi|′ = |q|′, ou seja, limi→∞

∣∣|pi|′ − |q|′∣∣ = 0. Logo, e suficiente

provar que limi→∞

|pi − q|′ = 0. Escrevendo q e pi em termos da base “padrao” e1, . . . , en ∈ V = Rn,

obtemos pi =n∑j=1

pijej e q =n∑j=1

qjej com pij , qj ∈ R. Como foi observado na demonstracao da

Proposicao 1.6 (6), temos limi→∞

pij = qj , ou seja, limi→∞

|pij − qj | = 0 para todo j = 1, . . . , n. Agora

concluımos que |pi − q|′ =∣∣∣ n∑j=1

(pij − qj)ej

∣∣∣′ ≤ n∑j=1

|pij − qj | · |ej |′ tende a 0 quando i→ ∞.

Sendo a imagem inversa do conjunto fechado {1} ⊂ R em relacao a funcao contınua | |, a esferaSn−1 :=

{p ∈ Rn | |p| = 1

}e compacta, pois e obviamente limitada. Pelo Lema 1.7.10, a funcao

contınua | |′ assume em Sn−1 seu mınimo 1c′ > 0 e seu maximo c > 0. Para qualquer 0 = v ∈ V , temos

v|v| ∈ Sn−1. Consequentemente, 1

c′ ≤ | v|v| |′ ≤ c, isto e, 1

c′ |v| ≤ |v|′ ≤ c|v| ■

Concluımos do Lema 1.10.2 que a topologia padrao em Rn independe da escolha de norma em Rn.

3Cabe mencionar que este fato nao vale para espacos lineares de dimensao infinita.


2. Funcoes e aplicacoes diferenciaveis

Na rodovia, todo mundo anda ao longo de uma reta.So que a reta tambem esta andando!

— Um motorista bebado

Lidando no calculo I com derivadas de funcoes de uma variavel real, apesar de saber relacionar aderivada com a reta tangente ao grafico da funcao, talvez nao chegamos ao entender pleno que a derivadaf ′(p) da funcao f(x) em p e de fato a melhor aproximacao de f(x) por uma funcao linear na vizinhancade p.

2.1. Definicao. Sejam V, V ′ espacos R-lineares de dimensao finita, seja U ⊂◦V um subconjuntoaberto e seja f : U → V ′ uma aplicacao. Dizemos que f e derivavel em p ∈ U se existe uma aplicacaolinear L : V → V ′ tal que a aplicacao g(h) := f(p + h) − f(p) − Lh, definida em uma vizinhanca de

0 ∈ V , e pequena em comparacao com |h|. Isto significa que lim0=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente,

que lim0=h→0

g(h)|h| = 0).

A aplicacao linear L e unica se existir. Realmente, se a aplicacao g′(h) := f(p + h) − f(p) − L′h

tambem e pequena em comparacao com |h|, de∣∣g′(h)−g(h)∣∣ ≤ ∣∣g′(h)∣∣+∣∣g(h)∣∣ segue lim

0=h→0

∣∣(L′−L)h∣∣

|h| = 0.

Supondo que L′ − L = 0, encontramos v ∈ V tal que (L′ − L)v = 0. Agora, 0 = lim0<t→0

∣∣(L′−L)(tv)∣∣

|tv| =∣∣(L′−L)v∣∣

|v| , uma contradicao.

Chamamos L a derivada de f em p e denotamos Dpf := L. Note que, pelo Lema 1.10.2, estesconceitos independem da escolha de normas em V e V ′.

O conceito de derivada de uma funcao de uma variavel real e, mais ainda, o de derivada de um caminho

c : (a, b) → Rn em t0 ∈ (a, b), sao casos particulares da Definicao 2.1, pois c(t0) = lim0=h→0

c(t0+h)−c(t0)h

implica que a funcao g(h) := c(t0 + h) − c(t0) − c(t0)h, definida em uma vizinhanca aberta de 0 ∈ R,e pequena em comparacao com |h|. A unica diferenca e que agora a derivada c(t0) nao e um vetor, mas euma aplicacao linear c(t0) : R → Rn, dada pela regra h 7→ c(t0)h, sendo c(t0) como na Definicao 1.8.

2.2. Lema (regra da cadeia4). Sejam V1, V2, V3 espacos R-lineares de dimensao finita, U1 ⊂◦V1 e

U2 ⊂◦V2 subconjuntos abertos e U1f1−→ U2

f2−→ V3 aplicacoes. Se f1 e derivavel em p ∈ U1 e f2e derivavel em f1(p) ∈ U2, entao a composta f2 ◦ f1 : U1 → V3 e derivavel em p e Dp(f2 ◦ f1) =Df1(p)f2 ◦Dpf1.

Demonstracao. As aplicacoes g1 : U → V2 e g2 : U ′ → V3, dadas pelas regras

g1(h) := f1(p+ h)− f1(p)− (Dpf1)h, g2(h′) := f2

(f1(p) + h′

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)h

′

e definidas respectivamente em vizinhancas abertas 0 ∈ U ⊂◦V1 e 0 ∈ U ′ ⊂◦V2, sao pequenas emcomparacao com |h| e |h′|. Ja que Dpf1 e contınua pela Proposicao 1.6 (10) e lim

h→0g1(h) = 0, podemos

reescolher a vizinhanca 0 ∈ U ⊂◦V1 fazendo-a tao pequena que h′ := (Dpf1)h + g1(h) ∈ U ′ para todoh ∈ U . Agora, pela linearidade de Df1(p)f2, temos

f2(f1(p+ h)

)= f2

(f1(p) + (Dpf1)h+ g1(h)

)= f2

(f1(p) + h′

)= f2

(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)h

′ + g2(h′) =

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)(Dpf1)h+ (Df1(p)f2)

(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h+ g1(h)

)4Tenho certeza que o inventor desta “terminologia” esta no inferno, na cadeia, pois regra e regra.


para todo h ∈ U . Portanto,

f2(f1(p+ h)

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)(Dpf1)h = (Df1(p)f2)

(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h+ g1(h)

).

Sendo Df1(p)f2 linear e contınua pela Proposicao 1.6 (10), a funcao (Df1(p)f2)(g1(h)

)e pequena em

comparacao com |h|, pois lim0=h→0

(Df1(p)f2)(g1(h)

)|h| = Df1(p)f2 lim

0=h→0

g1(h)|h| = 0 pela Proposicao 1.6 (5).

Resta provar que lim0=h→0

∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| = 0. Sabemos que∣∣g2(h′)∣∣ = |h′|g(h′), onde g : U ′ → R≥0

e uma funcao que satisfaz limh′→0

g(h′) = 0. Logo,

∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| =

∣∣(Dpf1)h+g1(h)∣∣

|h| g((Dpf1)h+ g1(h)

)≤

(∣∣(Dpf1)h|h|

∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h+ g1(h)

).

A aplicacao Dpf1 e linear e, pela Proposicao 1.6 (10), e contınua. De limh→0

g1(h) = 0, concluımos que

(Dpf1)h+ g1(h) tende a 0 quando h tende a 0. Levando em conta que lim0=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar

que os valores da funcao 0 = h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|

∣∣ sao limitados. Note que os pontos h|h| , h = 0, estao na

esfera unitaria Sn−1 (onde n e a dimensao de V1). Na demonstracao do Lema 1.10.2 foi observado queSn−1 e um compacto. Pelo Lema 1.7.10, os valores da funcao

∣∣(Dpf1)x∣∣, x ∈ Sn−1, sao limitados, pois

essa funcao e contınua pela Proposicao 1.6 ■

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e (y1, . . . , yn) em Rn,a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplicacao f : U → Rn , pode ser descrita pela matriz jacobiana:Denotemos por fi(x1, . . . , xm) e Di(h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f(x) e de (Dpf)he seja e1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde as coordenadas (x1, . . . , xm). Substituindo h := tej ,

0 = t ∈ R, em g(h)|h| =

f(p+h)−f(p)−(Dpf)h|h| , obtemos

0 = lim0=t→0

fi(p+ tej)− fi(p)−Di(tej)

|tej |=

= lim0=t→0

(fi(p1, . . . , pj−1, pj + t, pj+1, . . . , pm)− fi(p1, . . . , pj−1, pj , pj+1, . . . , pm)

t−Diej

) t

|t|.

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf e montada pelas derivadas parciais em p das componentes

fi’s de f , ou seja, [Diej ]ij =[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim, fi(p + h) = fi(p) +

m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi(h) para todos

i = 1, . . . , n, onde gi denota a i-esima componente de g.

2.4. Definicao. Sejam V1, V2 espacos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplicacao contınua f : U → V2 sechama aplicacao de classe C0. Uma aplicacao f : U → V2 e derivavel sobre U se ela e derivavel em cadap ∈ U . Neste caso, f e de classe C0 pela Proposicao 1.6 (5). Mais ainda, a regra p 7→ Dpf define umaaplicacao Df : U → LinR(V1, V2). Sabemos que LinR(V1, V2) e um espaco R-linear de dimensao finita.Caso a aplicacao Df seja contınua, chamamos f uma aplicacao de classe C1. Por inducao, se Df ede classe Ck−1, dizemos que f e uma aplicacao de classe Ck. Se f e de classe Ck para todo k ∈ N,a aplicacao f e de classe C∞.

Caso f : U → R seja uma funcao de classe Ck, escrevemos f ∈ Ck(U), onde k ∈ N ∪ {∞}.

Por 2.3, f e de classe Ck se e so se todas as derivadas parciais de ordem k das componentes de f sao

contınuas sobre U , isto e, ∂kfi∂xj1 ...∂xjk

∈ C0(U) para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.


2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma funcao. Dizemos que um ponto p ∈ U e um mınimo

(maximo) local de f se existe uma vizinhanca aberta p ∈ W ⊂◦U tal que f(w) ≥ f(p) (f(w) ≤ f(p))para todo w ∈ W . Lidando no calculo I com funcoes de uma variavel real, estudamos condicoesnecessarias (a primeira derivada e nula no ponto) e suficientes (a primeira derivada e nula no ponto e asegunda e positiva/negativa) para um ponto ser um mınimo/maximo local de uma funcao de classe C2.Para funcoes de varias variaveis, a situacao e parecida, mas um pouco mais complicada.

Consideremos uma funcao f : Rn → R dada pelo polinomio de grau ≤ 2 nas coordenadas (x1, . . . , xn)

em Rn, f(x1, . . . , xn) = c0 +n∑j=1

cjxj +n∑

j,k=1

cjkxjxk, onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj . As derivadas

parciais de ordem 1 de f sao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+n∑k=1

cikxk +n∑j=1

cjixj = ci+2n∑k=1

cikxk, i = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem 2 de f sao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i, j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f sao portanto nulas. Assim, f ∈ C∞(Rn). A decom-

posicao f(x1, . . . , xn) = c0 +n∑j=1

cjxj +n∑

j,k=1

cjkxjxk pode ser vista como a decomposicao f(x) = f(0)+

(D0f)x+g(x), onde g(x) e uma funcao pequena em comparacao com |x|. Isto implica (D0f)(x1, . . . , xn)

=n∑j=1

cjxj .

Quando a origem 0 e um mınimo local de f ? Suponhamos que 0 e um mınimo local de f . Se D0f = 0,podemos encontrar p ∈ Rn tal que (D0f)p < 0. Agora, para todos suficientemente pequenos t > 0,temos t(D0f)p+ g(tp) < 0. Portanto, f(tp) = f(0) + t(D0f)p+ g(tp) < f(0) para tais t, contradizendo0 ser um mınimo local de f . Logo, D0f = 0 e, sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0,ou seja, que f(x1, . . . , xn) = xCxt, onde x := [x1 . . . xn], x

t denota a matriz x transposta e C e a matrizsimetrica C := [cij ]. Dizemos que uma matriz simetrica C e positiva se xCxt ≥ 0 para todo x e se

xCxt = 0 apenas para x = 0. E imediato que 0 e um mınimo local da funcao xCxt se a matriz simetricaC e positiva. (Claro que este mınimo e de fato global.) O criterio de Sylvester possibilita decidir se umamatriz simetrica e positiva. Por exemplo, no caso n = 2, o criterio diz que a matriz C = [cij ] e positivase e so se c11 > 0 e detC > 0.

Podemos resumir o resultado obtido: um polinomio f de grau ≤ 2 tem um mınimo local em p se

Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f∂xi∂xj

(p)]ij de f em p e positiva. Posteriormente perceberemos que o

mesmo fato vale para qualquer funcao de classe C3.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma funcao de classe C∞ definida em uma vizinhancaaberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn) ∈ Rn. Entao existem uma vizinhanca aberta p ∈W ⊂◦Ue funcoes gi :W → R de classe C∞ tais que f(x) = f(p) +

n∑i=1

(xi − pi)gi(x) para todo x ∈W .

Demonstracao. Seja W := B(p, r), r > 0, uma bola aberta centrada em p tal que W ⊂ U e sejax ∈W . Definimos uma funcao u : [0, 1] → R pela regra u(t) := f

(p+ t(x−p)

). Pelo Lema 2.2 e por 2.3,

a funcao u(t) e de classe5 C∞ e u′(t) =n∑i=1

∂f∂xi

(p+ t(x− p)

)(xi − pi).

Pelo teorema fundamental do calculo,

f(x)− f(p) = u(1)− u(0) =

∫ 1

0

u′(t) dt =

∫ 1

0

n∑i=1

∂f

∂xi

(p+ t(x− p)

)(xi − pi) dt =

=

n∑i=1

(xi − pi)

∫ 1

0

∂f

∂xi

(p+ t(x− p)

)dt.

5De fato, para cada x ∈ W fixo, a funcao u pode ser definida em um intervalo aberto que contem [0, 1]; a funcao u ede classe C∞ neste intervalo aberto.


Resta fazer gi(x) :=∫ 1

0∂f∂xi

(p+ t(x− p)

)dt e observar que gi e de classe C∞ aplicando varias vezes

o Lema 1.7.11 ■

2.7. Lema. A funcao f : R → R≥0, definida pela regra f(x) :=

{0 se x ≤ 0e−

1x se x > 0

, e de classe C∞,

f ∈ C∞(R), e f(x) = 0 se e so se x ≤ 0.

Demonstracao. Basta mostrar, por inducao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0e−

1xx−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) e um polinomio, pois sabemos que lim0<x→0

e−1xxk = lim

y→∞y−k

ey = 0 para qualquer k ∈ Z. (Note

que (2.8) define uma funcao contınua.) Para n = 0, tomemos p0(x) := 1. Finalmente,

ddx

(e−

1xx−2npn(x)

)= e−

1x

1x2x

−2npn(x)− 2ne−1xx−2n−1pn(x) + e−

1xx−2np′n(x) =

= e−1xx−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) e um polinomio ■

2.9. Corolario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn. Entao existe uma funcao g : Rn → [0, 1] de classe C∞,g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para |x− p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x− p| ≤ r0.

Demonstracao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e g1(x) := f

(r21 − |x − p|2

), onde f e a funcao

do Lema 2.7, vemos que g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, que g1(x) > 0para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo, g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e

g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

e a funcao desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 ■

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivada c(t0) de c : (a, b) → V(onde V e um espaco R-linear de dimensao finita e t0 ∈ (a, b)), introduzida na Definicao 1.8, pode serinterpretada como um vetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitivamente.Para chegar a uma definicao adequada e rigorosa de vetor tangente, e bem util entender o que este vetor“faz” com funcoes definidas numa vizinhanca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U , uma funcao de classe C∞. A composta f ◦ c, definida numa vizinhanca

aberta de t0 ∈ (a, b), e uma funcao de classe C1, supondo que c e de classe C1. Assim, podemos fazer aderivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 =t→t0

f(c(t)

)− f

(c(t0)

)t− t0

.

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada funcao f de classe C∞, definida numa vizinhancaaberta de p = c(t0), um numero c(t0)f ∈ R. Claro que este numero depende apenas do comportamentode f na proximidade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhanca U para W , p ∈ W ⊂◦U ,temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .

Sejam f1, f2 funcoes de classe C∞, definidas em vizinhancas abertas p ∈ U1, U2 ⊂◦V , e sejamr1, r2 ∈ R. As funcoes r1f1 + r2f2 e f1f2 sao definidas numa vizinhanca aberta de p (por exem-plo, em U1 ∩ U2) e sao de classe C∞. Portanto, podemos calcular os numeros c(t0)(r1f1 + r2f2)e c(t0)(f1f2). Lembrando como derivar funcoes de uma variavel real, obtemos c(t0)(r1f1 + r2f2) =r1(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) e linear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)

(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).

Chegamos a seguinte

2.10.1. Definicao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V e um espaco R-linear de dimensao finita. Um vetortangente v a U em p e uma regra que associa um numero vf ∈ R a cada funcao f de classe C∞ definida


numa vizinhanca aberta de p (ou seja, U ◦⊃Wf−→ R com p ∈W ) de modo que, para quaisquer funcoes

f1, f2 de classe C∞ definidas em vizinhancas abertas de p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf e R-linear em f);• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhanca de p; mais formalmente,

isto significa que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′ ⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p e simplesmente uma derivacao local de funcoes definidasna proximidade de p.

Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p. De fato, TpU e um espacoR-linear, pois podemos definir (rv)f := r(vf) e (v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v, v1, v2 ∈ TpU ,r ∈ R e funcao f de classe C∞ definida em uma vizinhanca aberta de p. (A verificacao do fato querv, v1 + v2 ∈ TpU e imediata.) Chamamos TpU espaco tangente a U em p.

2.10.2. Exemplo. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V e um espaco R-linear de dimensao finita e seja v ∈ V .

Para algum ε > 0 suficientemente pequeno, temos um caminho linear (−ε, ε) cp,v−→ U definido pela regra

cp,v(t) := p+ tv. Seja U ◦⊃Wf−→ R uma funcao de classe C∞ definida numa vizinhanca aberta de p,

p ∈W . A derivada direcional vpf de f em p (na direcao de v) e nada mais do que

vpf := cp,v(0)f =d

dt

∣∣∣t=t0

f(p+ tv) = lim0 =t→0

f(p+ tv)− f(p)

t.

Considerando uma base linear “padrao” b1, . . . , bn ∈ Rn e as correspondentes coordenadas (x1, . . . , xn),e facil verificar que (bi)p =

∂∂xi

∣∣ppara todos i = 1, . . . , n.

Na verdade, todos os vetores tangentes sao derivadas direcionais:

2.10.3. Proposicao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V e um espaco R-linear de dimensao finita. Entao aaplicacao ip : V → TpU dada pela regra ip : v 7→ vp e um isomorfismo de espacos R-lineares.

Demonstracao. O fato que ip e linear segue diretamente do Lema 2.2. Com efeito, lembrando comorelacionam-se a derivada considerada como um vetor e a derivada interpretada como uma aplicacaolinear, obtemos vpf =

((Dpf) ◦ (D0cp,v)

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv. Logo, vpf =

(Dpf)v e linear em v.

Seja l : V → R uma funcao linear. E imediato que vpl = lv. Em particular, o nucleo de ip e nulo e,assim, a aplicacao ip e injetora.

Seja w ∈ TpU . Para todas as funcoes f1, f2 de classe C∞ definidas em vizinhancas abertas de p,de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pela regra de Leibniz. Alem disso, w1 = 0, pois w1 =w(1 · 1) = w1 + w1 pela regra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer funcao constante c.

Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identificamos V com Rn e denotamos por (x1, . . . , xn) ascorrespondentes coordenadas. Sendo cada coordenada uma funcao de classe C∞, definimos ci := wxi

para todo i = 1, . . . , n, v :=n∑j=1

cjbj e w′ := w − vp. Agora, w′xi = (w − vp)xi = ci − xi( n∑j=1

cjbj)=

ci − ci = 0 para todo i. Resta mostrar que w′ = 0.Seja f uma funcao arbitraria de classe C∞ definida numa vizinhanca aberta de p. Pelo Lema 2.6,

diminuindo a vizinhanca, obtemos f(x) = f(p)+n∑i=1

(xi−pi)gi(x) para algumas funcoes gi’s de classe C∞

definidas numa vizinhanca aberta de p. Aplicando o mesmo lema as funcoes gi’s, obtemos f(x) =

f(p) +n∑i=1

(xi − pi)gi(p) +n∑

i,j=1

(xi − pi)(xj − pj)hij(x). Daı segue w′f = 0 ■

2.10.4. Definicao. Seja V um espaco R-linear de dimensao finita e seja U ⊂◦V um subconjuntoaberto. Um campo vetorial suave F sobre U ou um operador diferencial de ordem 1 sobre U e umaaplicacao F : C∞(U) → C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (linearidade de F )e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) para todos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.


Sejam F, F1, F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U). As regras (gF )f := g(Ff),(F1 +F2)f := F1f +F2f e [F1, F2]f := F1(F2f)−F2(F1f), onde f ∈ C∞(U), definem campos vetoriaissuaves gF , F1 + F2 e [F1, F2] sobre U . Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a verificacaoe imediata. Vamos verificar que o comutador de campos [F1, F2] e um campo. Para quaisquer f1, f2 ∈C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1, F2](r1f1 + r2f2) = F1

(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

(F1(r1f1 + r2f2)

)=

= r1(F1(F2f1)

)+ r2

(F1(F2f2)

)− r1

(F2(F1f1)

)− r2

(F2(F1f2)

)= r1

([F1, F2]f1

)+ r2

([F1, F2]f2

),

[F1, F2](f1f2) = F1

(F2(f1f2)

)− F2

(F1(f1f2)

)=

= F1

((F2f1)f2)

)+ F1

(f1(F2f2)

)− F2

((F1f1)f2

)− F2

(f1(F1f2)

)=

=(F1(F2f1)

)f2 + (F2f1)(F1f2) + (F1f1)(F2f2) + f1

(F1(F2f2)

)−

−(F2(F1f1)

)f2 − (F1f1)(F2f2)− (F2f1)(F1f2)− f1

(F2(F1f2)

)=

=([F1, F2]f1

)f2 + f1

([F1, F2]f2

).

2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador ∂∂xi

, i = 1, . . . , n, provi-dencia um campo suave sobre U . A gente se acostumou a imaginar este campo como sendo formadopelos vetores unitarios, todos na direcao do i-esimo eixo coordenado.

2.10.6. Proposicao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um campo suave sobre U . Entao

F =n∑i=1

fi∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U). O campo F pode ser tambem visto como uma famılia suave

Fp ∈ TpU , p ∈ U , de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑i=1

fi(p)∂∂xi

∣∣p. Para qualquer subconjunto aberto

W ⊂◦U , podemos restringir F para W obtendo um campo suave F |W sobre W .

Demonstracao. Utilizando as funcoes construıdas no Corolario 2.9, observemos que, para todafuncao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto aberto W ⊂◦U , de f |W = 0 segue (Ff)|W = 0. Realmente,suponhamos que f |W = 0, mas (Ff)(p) = 0 para algum ponto p ∈ W . Sem perda de generalidade,podemos supor que W e uma bola aberta centrada em p, ou seja, que W = B(p,R) com R > 0. PeloCorolario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R, construımos uma funcao g ∈ C∞(Rn) e definimos h := g|U .Obviamente, fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff)h + f(Fh). Calculando os valores em p, temos 0 =(Ff)(p) · h(p) + f(p) · (Fh)(p) = (Ff)(p), pois h(p) = 1 e f(p) = 0. Uma contradicao.

Seja p ∈ U . Definamos o vetor tangente Fp ∈ TpU .

Para isto, tomemos uma funcao arbitraria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞ definida numa vizinhanca

aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizinhanca aberta de p, a estendemos a uma funcao h ∈ C∞(U)novamente utilizando o Corolario 2.9. Para um apropriado R > 0, temos B(p,R) ⊂ W ∩ U . Comoacima, pelo Corolario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R, construımos uma funcao g ∈ C∞(Rn) e definimos

h(x) :=

{f(x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \B(p,R)

. A verificacao de h ∈ C∞(U) pode ser realizada localmente.

Sobre B(p,R) a funcao h e de classe C∞, pois h = fg com f e g de classe C∞. Denotando porB(p, r1) :=

{x ∈ Rn | |x− p| ≤ r1

}a bola fechada, vemos que a funcao g e nula no subconjunto aberto

U \B(p, r1) e que U \B(p, r1) ⊃ U \B(p,R). Resta observar que U = B(p,R)∪(U \B(p, r1)

). A funcao

h coincide com a funcao f numa vizinhanca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).A definicao Fpf := (Fh)(p) independe da escolha de h, pois, para uma outra escolha h′ ∈ C∞(U),

a funcao h − h′ e nula numa vizinhanca aberta de p, implicando(F (h − h′)

)(p) = 0 pela observacao

acima. Pela mesma razao, Fpf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhanca de p.A linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facilmente as correspondentes propriedadesde Fp.


Pelos Exemplo 2.10.2 e Proposicao 2.10.3, Fp =n∑i=1

fi(p)∂∂xi

∣∣ppara funcoes apropriadas fi : U → R,

i = 1, . . . , n. Seja f ∈ C∞(U). Entao, pelas consideracoes acima, Fpf = (Ff)(p). Aplicando isso paraa coordenada f := xj |U ∈ C∞(U), obtemos C∞(U) ∋ F (xj |U ) = fj ■

2.10.7. Lema.[∂∂xi

, ∂∂xj

]= 0.

Demonstracao. Provaremos um fato mais forte: Seja R2 ◦⊃Uf−→ R uma funcao tal que as

derivadas parciais ∂f∂x1

, ∂f∂x2

e ∂2f∂x1∂x2

existem em todos os pontos de U , sendo ∂2f∂x1∂x2

contınua em

p ∈ U . Entao a derivada ∂2f∂x2∂x1

(p) existe e ∂2f∂x2∂x1

(p) = ∂2f∂x1∂x2

(p).

Seja p = (p1, p2). Primeiramente provamos um analogo bidimensional do teorema de Lagrange(o Lema 1.7.7) do valor medio. Suponhamos que, para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1+ t1r1, p2+ t2r2),onde (t1, t2) percorre o quadrado unitario [0, 1]×[0, 1], estao todos em U , ou seja, (p1+t1r1, p2+t2r2) ∈ Upara qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1]. Entao

f(p1 + r1, p2 + r2)− f(p1, p2 + r2)− f(p1 + r1, p2) + f(p1, p2) = r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).Com efeito, a funcao g(x2) := f(p1 + r1, x2)− f(p1, x2) e contınua e derivavel para x2 variando entre

p2 e p2 + r2. Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)− g(p2) = r2g′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1). Note que

g′(p2 + t2r2) =∂f∂x2

(p1 + r1, p2 + t2r2) − ∂f∂x2

(p1, p2 + t2r2). Aplicando novamente o Lema 1.7.7, nessa

vez, para a funcao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que e contınua e derivavel para x1 variando entre p1 e

p1 + r1, obtemos g′(p2 + t2r2) = r1h′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1), ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2). Resta observar que

g(p2 + r2)− g(p2) = f(p1 + r1, p2 + r2)− f(p1, p2 + r2)− f(p1 + r1, p2) + f(p1, p2).

Precisamos provar que limp2 =x2→p2

∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2= ∂2f

∂x1∂x2(p1, p2), ou seja, que, para todo

ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 = |x2 − p2| < δ implica

∣∣∣∣ ∂f∂x1(p1, x2)− ∂f

∂x1(p1, p2)

x2 − p2− d

∣∣∣∣ ≤ ε, onde

d := ∂2f∂x1∂x2

(p1, p2). Fixamos ε > 0.

Sendo ∂2f∂x1∂x2

contınua em (p1, p2) e sendo U aberto, encontramos δ > 0 tal que as desigualdades

|r1|, |r2| < δ implicam (p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U e∣∣ ∂2f∂x1∂x2

(p1 + t1r1, p2 + t2r2) − d∣∣ < ε para todo

(t1, t2) ∈ (0, 1) × (0, 1). Pelo analogo bidimensional do teorema do valor medio demonstrado acima,as desigualdades 0 < |r1|, |r2| < δ implicam

(2.10.8)∣∣∣f(p1 + r1, p2 + r2)− f(p1, p2 + r2)− f(p1 + r1, p2) + f(p1, p2)

r1r2− d

∣∣∣ < ε.

Passando ao limite em (2.10.8) com r1 → 0, obtemos∣∣∣∣ ∂f∂x1(p1, p2 + r2)− ∂f

∂x1(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ ε

para qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ ■

2.10.9. Campos vetoriais e equacoes diferenciais ordinarias. Os campos vetorias sao ferra-mentas indispensaveis quando lidamos com equacoes diferenciais ordinarias. Seja F um campo vetorialsobre U ⊂◦V , onde V e um espaco R-linear de dimensao finita, e seja p0 ∈ U . Queremos achar um


caminho derivavel c : (a, b) → U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t) para todo t ∈ (a, b).(Tal caminho se chama curva integral de F .) Em outras palavras, buscamos um caminho que, no mo-mento dado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes estao no campo dado F .Este problema pode ser formulado tambem na lıngua de equacoes diferenciais ordinarias (o que naofazemos aqui); o caminho c(t) em questao sera uma solucao de um sistema apropriado de equacoesdiferenciais ordinarias. Podemos tambem fazer o campo F depender da variavel do tempo t e consideraro problema mais geral: achar um caminho c : (a, b) → U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) paratodo t ∈ (a, b). Nao planejamos estudar essa materia nas presentes notas de aula. Um aluno/leitorinteressado no assunto pode consultar o apendice das notas.

2.11. Polinomios de Taylor. A formula f(p + h) = f(p) + (Dpf)h + g(h) providencia a melhoraproximacao de uma funcao f de classe C1 por uma constante mais uma funcao linear. Uma aproximacaosera esperadamente mais exata se tentamos aproximar f por um polinomio.

2.11.1. Teorema. Sejam U ⊂◦Rn, f ∈ Ck+1(U) e [p, p+ h] ⊂ U , onde [p, p+ h] denota o segmentode reta que liga os pontos p e p+ h. Entao

f(p+ h) = f(p) +k∑s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂sf

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his+

+

∫ 1

0

(1− t)k

k!

n∑i1,...,ik+1=1

∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

(p+ th)hi1 . . . hik+1dt,

onde h = (h1, . . . , hn).

Demonstracao. Em seguida, usamos repetidamente a formula ddtg(p + th) =

n∑i=1

∂g∂xi

(p + th)hi,

valida para qualquer g ∈ C1(U) pelo Lema 2.2. Pelo teorema fundamental do calculo,

f(p+ h)− f(p) =

∫ 1

0

d

dtf(p+ th) dt =

∫ 1

0

d(t− 1)

dt

n∑i=1

∂f

∂xi(p+ th)hi dt.

Integrando por partes, obtemos

f(p+ h)− f(p) =n∑i=1

∂f

∂xi(p)hi −

∫ 1

0

(t− 1)n∑i=1

d

dt

∂f

∂xi(p+ th)hi dt =

=n∑i=1

∂f

∂xi(p)hi +

∫ 1

0

(1− t)n∑

i1,i2=1

∂2f

∂xi1∂xi2(p+ th)hi1hi2 dt

pela formula acima. Acabamos de demostrar o teorema no caso k = 1.

Utilizando a inducao sobre k, resta observar que ddt

(1−t)k+1

(k+1)! = − (1−t)kk! e integrar por partes o ultimo

termo na formula do teorema ■

2.11.2. Corolario. Sejam f ∈ Ck+1(B(p,R)

)e 0 < r < R. Entao existe uma funcao g : B(0, r) → R

tal que lim0=h→0

g(h)|h|k = 0 e

f(p+ h) = f(p) +k∑s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂sf

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his + g(h)

para todo h ∈ B(0, r).


Demonstracao. Pelo Lema 1.7.10, as derivadas parciais∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

sendo contınuas sao limi-

tadas sobre o compacto B(p, r). A funcao (1−t)kk! e limitada sobre [0, 1] e

∣∣ hi

|h|∣∣ ≤ 1 para todos i e

0 = h ∈ B(0, r). Para concluir que lim0=h→0

g(h)|h|k = 0, resta aplicar o item 5 da Proposicao 1.7.9 (de fato,

demonstramos que a funcao g(h)|h|k+1 e limitada para 0 = h ∈ B(0, r)) ■

2.11.3. Criterio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma funcao derivavel em p ∈ U .

Se p e um mınimo/maximo local de f , entao Dpf = 0.

Suponhamos que f ∈ C3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ij

de f em p e

positiva/negativa. Entao p e um mınimo/maximo local de f .

Demonstracao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentados no item 2.5. Suponhamosque Dpf = 0. Entao (Dpf)h > 0 para algum h ∈ Rn. Pela Definicao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos

f(p + th) = f(p) + t(Dpf)h + g(th). De lim0 =t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, concluımos que

∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf)h para

suficientemente pequenos t’s. Logo, para tais t’s, o sinal de t(Dpf)h+g(th) e igual ao de t. Isto contradiza hipotese que p e um mınimo/maximo local de f .

Para a segunda parte do criterio, podemos aplicar o Corolario 2.11.2, pois B(p,R) ⊂ U para algumR > 0. Assim, f(p + h) = f(p) + 1

2hHht + g(h), onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e

lim0=h→0

g(h)|h|2 = 0. Por simplicidade, suponhamos que H e positiva. A funcao h 7→ hHht e contınua. Pelo

Lema 1.7.10, essa funcao atinge seu mınimom > 0 (positivo!) no compacto Sn−1 :={x ∈ Rn | |x|2 = 1

},

implicando que hHht ≥ m|h|2 para todo h ∈ Rn.

Ja que lim0=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo h ∈ B(0, ε). Para tais h’s,

12hHh

t + g(h) ≥ 0. Alem disso, 12hHh

t + g(h) = 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 ■

2.11.4. Pontos crıticos de uma funcao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma funcao derivavel em todos

os pontos de U . Dizemos que p ∈ U e um ponto crıtico de f se Dpf = 0. Pelo Criterio 2.11.3,os pontos crıticos de f sao candidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo criterio, sao mınimos/maximos locais caso f seja de classe C3 e a matriz hessiana de f em p sejapositiva/negativa. Mas, como no caso da funcao f(x1, x2) := x21−x22 e p = 0, pode ocorrer que a matrizhessiana no ponto crıtico nao e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando a matriz hessianae degenerada (isto significa que seu determinante e nulo). Por exemplo, este e o caso quando a funcaof tem extremo local em todos os pontos de uma curva passando por p. Supondo que a matriz hessiananao e degenerada, o ponto crıtico em questao, apesar de ser isolado (isto significa que numa vizinhancaaberta deste ponto nao ha outros pontos crıticos), nao e necessariamente um ponto de extremo local.O ponto pode apresentar um ponto de sela no grafico de f , de modo que em algumas direcoes temos ummınimo local de f , em outras, um maximo local. Usando o teorema de inercia de Sylvester, podemosestudar e classificar tais pontos crıticos, mas paramos aqui, no inıcio da teoria de Morse, que trata desteassunto.

Na proxima subsecao, precisaremos de alguns fatos tecnicos, inclusive da generalizacao do item 4 daProposicao 1.7.9 para caminhos integraveis.

2.11.5. Proposicao. Seja f : [a, c] → Rn um caminho integravel (isto significa que as componentesfj : [a, c] → R, j = 1, . . . , n, de f sao funcoes integraveis). Entao a funcao |f | : [a, c] → R e integravel e∣∣ ∫ caf(t) dt

∣∣ ≤ ∫ ca

∣∣f(t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitraria, fixa em Rn.

Demonstracao. A desigualdade do lema e valida para qualquer caminho constante f(t) := v ∈ Rn,pois

∣∣ ∫ caf(t) dt

∣∣ = ∣∣(c − a)v∣∣ e ∫ c

a

∣∣f(t)∣∣dt = (c − a)|v| neste caso. Se a desigualdade semelhante vale


para caminhos integraveis f |[a,b] : [a, b] → Rn e f |[b,c] : [b, c] → Rn, entao a mesma vale para f , pois∣∣ ∫ caf(t) dt

∣∣ = ∣∣ ∫ baf(t) dt+

∫ cbf(t) dt

∣∣ ≤ ∣∣ ∫ baf(t) dt

∣∣+ ∣∣ ∫ cbf(t) dt

∣∣ ≤≤

∫ ba

∣∣f(t)∣∣dt+ ∫ cb

∣∣f(t)∣∣ dt = ∫ ca

∣∣f(t)∣∣dt.Daı concluımos que a desigualdade vale para caminhos cujas componentes sao funcoes escada.

Pela Definicao 1.7.8, cada componente fj de f e o limite uniforme de uma sequencia de funcoesescada fji : [a, c] → R, i ∈ N, lim

i→∞fji = fj . Denotemos por gi o caminho (integravel) com componentes

f1i, . . . , fni. Temos a convergencia limi→∞

∫ cagi(t) dt =

∫ caf(t) dt que se verifica por componentes utilizando

o ultimo item da Proposicao 1.7.9.Por outro lado, a sequencia de funcoes |gi|, i ∈ N, converge uniformemente a funcao |f |. Realmente,

usando a norma padrao | · |0 em Rn, pelo Lema 1.10.2, encontramos uma constante a > 0 tal que|v| ≤ a · |v|0 para todo v ∈ Rn. Logo, para todo t ∈ [a, c],

∣∣gi(t)− f(t)∣∣ ≤ a

∣∣gi(t)− f(t)∣∣0= a

√n∑j=1

(gij(t)− fj(t)

)2 ≤ a

√√√√ n∑j=1

||gij − fj ||2.

Ja que∣∣gi(t)∣∣− ∣∣f(t)∣∣ ≤ ∣∣gi(t)− f(t)∣∣ e ∣∣f(t)∣∣− ∣∣gi(t)∣∣ ≤ ∣∣f(t)− gi(t)∣∣ = ∣∣gi(t)− f(t)∣∣ pelas propriedades

da norma | · |, obtemos∣∣∣∣∣gi(t)∣∣− ∣∣f(t)∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣gi(t)−f(t)∣∣. Portanto, ∣∣∣∣∣gi(t)∣∣− ∣∣f(t)∣∣∣∣∣ ≤ a

√n∑j=1

||gij − fj ||2,

onde a parte direita tende a 0 quando i→ ∞. Isto implica que limi→∞

∣∣∣∣|gi| − |f |∣∣∣∣ = 0.

Sendo funcoes escada as componentes das gi’s, sabemos que∣∣ ∫ cagi(t) dt

∣∣ ≤∫ ca

∣∣gi(t)∣∣dt para todoi ∈ N. Passando ao limite em ambas as partes dessa desigualdade, pelo ultimo item da Proposicao 1.7.9,chegamos ao desejado ■

2.11.6. Definicao. Sejam V e V ′ espacos R-lineares de dimensao finita munidos respectivamentede normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma aplicacao linear. Definimos a norma de L pela formula

|L| := sup0=v∈V

|Lv|′|v| = sup

|v|=1

|Lv|′. Sendo{v ∈ V | |v| = 1

}um compacto e sendo L contınua, concluımos

pelo Lema 1.7.10 que |L| < ∞. Claro que a norma |L| pressupoe (e depende das) escolhas de normasem V e V ′.

2.11.7. Corolario (teorema do valor medio). Sejam V e V ′ espacos R-lineares de dimensao finita

munidos respectivamente de normas | · | e | · |′, seja V ◦⊃Uf−→ V ′ uma aplicacao de classe C1 e seja

[p1, p2] ⊂ U , onde [p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Entao∣∣f(p2)− f(p1)

∣∣′ ≤sup

x∈[p1,p2]

|Dxf | · |p2 − p1|.

Demonstracao. Pelo teorema fundamental do calculo, f(p2) − f(p1) =∫ 1

0ddtf

(p1 + t(p2 − p1)

)dt.

Pelo Lema 2.2, ddtf

(p1 + t(p2 − p1)

)= (Dp1+t(p2−p1)f)(p2 − p1). Pelas Proposicoes 2.11.5 e 1.7.9 e pela

Definicao 2.11.6,∣∣f(p2)− f(p1)

∣∣′ ≤ ∫ 1

0

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f)(p2 − p1)∣∣′ dt ≤ sup

x∈[p1,p2]

|Dxf | · |p2 − p1| ■

2.12. Teoremas da funcao inversa e da funcao implıcita. O teorema da funcao inversa reduzo problema de existencia da inversa local de uma aplicacao ao problema de existencia da inversa de suaderivada num ponto, isto e, a um problema de algebra linear. Grosso modo, o teorema afirma que umaaplicacao possui inversa local na vizinhanca de um ponto se sua derivada neste ponto e um isomorfismolinear:

2.12.1. Teorema (da funcao inversa). Sejam V, V ′ espacos R-lineares de dimensao finita, p ∈ U ⊂◦Ve f : U → V ′ uma aplicacao de classe Ck, k ≥ 1, tais que Dpf : V → V ′ e um isomorfismo linear. Entao


existem vizinhancas abertas p ∈ W ⊂◦U e f(p) ∈ W ′ ⊂◦V ′ e uma aplicacao g : W ′ → W de classe Ck

tais que f(W ) =W ′, g ◦(f |W

)= 1W e

(f |W

)◦ g = 1W ′ .

O teorema da funcao implıcita serve, por exemplo, para resolver (pelo menos teoricamente) algunssistemas de equacoes nao-lineares. Novamente, o problema de existencia local de solucoes se reduz a umsemelhante problema de algebra linear.

Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplicacao de classe C1, onde U1 ⊂◦V1, U2 ⊂◦V2 e V1, V2, V3 sao espacos

R-lineares de dimensao finita. Fixando um ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplicacao E(p1,−) : U2 → V3de classe C1 dada por U2 ∋ y 7→ E(p1, y) ∈ V3. Denotaremos por D′′

(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de

E(p1,−) em p2 ∈ U2. Podemos pensar em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y devariaveis. Para algum p3 ∈ V3, temos E(p1, p2) = p3.

Queremos definir implicitamente uma aplicacao s, s(p1) = p2, por meio da “equacao” E(x, s(x)

)= p3.

Caso a aplicacao linear D′′(p1,p2)

E : V2 → V3 seja um isomorfismo, a “equacao” pode ser localmente

resolvida:

2.12.2. Teorema (da funcao implıcita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplicacao de classe Ck, k ≥ 1,

tal que E(p1, p2) = p3 e D′′(p1,p2)

E : V2 → V3 e um isomorfismo linear, onde p1 ∈ U1 ⊂◦V1, p2 ∈ U2 ⊂◦V2e V1, V2, V3 sao espacos R-lineares de dimensao finita. Entao, para uma bola aberta p1 ∈ B⊂◦U1

(suficientemente pequena), existe uma unica aplicacao contınua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 eE(x, s(x)

)= p3 para todo x ∈ B. Essa aplicacao s e de classe Ck.

Na demonstracao deste teorema precisaremos do seguinte lema cuja demonstracao sera adiada.

2.12.3. Lema. Se C ⊂◦[0, 1] e C ⊂f [0, 1], entao C = ∅ ou C = [0, 1].

Demonstracao do Teorema 2.12.2. Definamos a aplicacao f : U1 × U2 → V1 × V3 pela regraf(x, y) :=

(x,E(x, y)

). E facil ver que f e de classe Ck. Levando em conta que

Dpf =

[1 0

D′(p1,p2)

E D′′(p1,p2)

E

]na forma matricial em blocos, podemos portanto aplicar o Teorema 2.12.1 a f e p := (p1, p2).

Escrevemos a inversa local (V1 × V3) ◦⊃W ′ g−→W ⊂◦(U1 ×U2)⊂◦(V1 × V2) de f na forma g(x, z) =(g1(x, z), g2(x, z)

), onde (p1, p2) ∈ W , (p1, p3) ∈ W ′ e g1, g2 sao de classe Ck. Para uma bola aberta B

tal que p1 ∈ B⊂◦U1, temos (B, p3) ⊂W ′.A aplicacao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x, p3) e claramente de classe Ck. De f(p1, p2) =

(p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Daı, s(p1) = p2. A igualdade(f |W

)◦ g = 1W ′ significa que(

g1(x, z), E(g1(x, z), g2(x, z)

))= (x, z) para todo (x, z) ∈ W ′. Logo, g1(x, z) = x e E

(x, g2(x, z)

)= z.

Consequentemente, E(x, s(x)

)= p3 para todo x ∈ B.

Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplicacao contınua satisfazendo s0(p1) = p2 eE(x, s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B.

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B. Entao s e s0 coincidem numa vizinhanca aberta de b.Com efeito,

(b, s0(b)

)=

(b, s(b)

)=

(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈ W . Sendo a aplicacao h : B → B × U2,

definida pela regra h : x 7→(x, s0(x)

), contınua pela Proposicao 1.6.6, a imagem inversa h−1(W ) e aberta

em B, b ∈ h−1(W )⊂◦B. Vamos mostrar que h−1(W ) e a vizinhanca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ),temos h(x) ∈ W e, portanto, existe (x′, z) ∈ W ′ tal que h(x) = g(x′, z). Mas h(x) =

(x, s0(x)

)e

g(x′, z) =(x′, g2(x

′, z)), implicando x = x′ e s0(x) = g2(x, z) com (x, z) ∈ W ′. De E

(x, g2(x, z)

)= z e

E(x, s0(x)

)= p3, concluımos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x, z) significa que s0(x) = g2(x, p3) = s(x).

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhanca de b. Assim, acabamos de mostrar que o conjuntoA :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}e aberto, A⊂◦B.

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B. O segmento de reta que liga p1 e b esta inteiramentecontido na bola aberta B. Parametrizando este segmento, c : [0, 1] → B, c(t) := (1 − t)p1 + tb, vemosque p1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c e contınuo.


Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, e uma sequencia convergente em [0, 1], entao seu limiter := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente, c(ri) ∈ A implica s

(c(ri)

)= s0

(c(ri)

). As aplicacoes s ◦ c e

s0 ◦ c sao contınuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposicao 1.6.5. Concluımos que r ∈ c−1(A).

Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].Ja que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) nao e vazio. Pelo Lema 1.12.3, c−1(A) = [0, 1]. Agora

1 ∈ c−1(A) significa que s(b) = s0(b), uma contradicao ■

2.12.4. Maximos e mınimos condicionados, multiplicadores de Lagrange. Consideremos o

seguinte problema. Sejam dadas uma funcao Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplicacao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambasde classe C1, e seja c ∈ Rn. Queremos achar maximos e mınimos de f no conjunto de nıvel S de gdefinido por S :=

{x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S. Suponhamos que a matrizjacobianaDpg tem posto n (isto significa que todas as n linhas da matriz sao linearmente independentes).Entao existe λ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um maximo/mınimo de f sobre um conjunto de nıvel S liso (isto significa que aderivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n), em termos de coordenadas, podemos resolver o seguintesistema de equacoes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi(x1, . . . , xm) = ci, i = 1, . . . , n,∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

Cada tal solucao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que e um candidato a maximo/mınimo de fsobre S. (Sendo S liso, os λi’s sao unicos caso existam.) Se, por exemplo, ha finitas solucoes, podemoscomparar os valores de f nessas e decidir quais dos p’s podem constituir um maximo ou mınimo. CasoS seja um compacto, o problema sera assim resolvido pelo Lema 1.7.10. Caso contrario, precisamosainda estudar o compartamento de f no infinito e/ou na fronteira de S.

Demonstracao do metodo de multiplicadores de Lagrange. Da algebra linear sabemos quen ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpg cujo determinante nao e nulo. Renomeando asvariaveis x1, . . . , xm podemos supor que essa submatriz e formada pelas ultimas n colunas de Dpg.Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m− n.

Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E(x, y) := g(x, y). O fato que a submatrizM2 formada pelas ultimas n colunas de Dpg tem determinante nao-nulo significa que det(D′′

(p1,p2)E) = 0.

Pela algebra linear, D′′(p1,p2)

E e um isomorfismo linear. Podemos diminuir U , fazendo-o da forma

U = U1 × U2 ∋ (p1, p2) com U1 ⊂◦Rk e U2 ⊂◦Rn. Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola abertap1 ∈ B⊂◦U1 e uma aplicacao s : B → U2 de classe C1 tal que s(p1) = p2 e E

(x, s(x)

)= p3 para todo

x ∈ B, ou seja, g(x, s(x)

)= c. Portanto, a funcao f ◦ h : B → R, onde h(x) :=

(x, s(x)

), tem extremo

local para x = p1. Pela primeira parte do Criterio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0. Sendo g ◦ h uma constante,obtemos Dp1(g ◦ h) = 0. Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e (Dpf) ◦ (Dp1h) = 0. Na forma matricial

em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg = [M1M2] e Dp1h =

[1M

]. Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0.

Ja que a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M

−12 M1. Resta definir λ := v2M

−12 ,

pois λ[M1M2] = [v2M−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] ■

Na demonstracao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos, curiosos e uteis por si.

2.12.5. Lema (de contracao). Seja V um espaco R-linear munido de uma norma | · | e sejam p ∈ V ,0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos por B(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de

raio r centrada em p. Suponhamos que uma aplicacao h : B(p, r) → B(p, r) satisfaca a propriedade∣∣h(x′)− h(x)∣∣ ≤ c|x′ − x| para todos x, x′ ∈ B(p, r). Entao existe um unico ponto fixo q ∈ B(p, r) de h,

h(q) = q.


Demonstracao. Se |x′ − x| < ε para x, x′ ∈ B(p, r), entao∣∣(h(x′) − h(x)

∣∣ < cε. Isto implica que

h(B(x, ε) ∩B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩B(p, r). Assim, h e uma aplicacao contınua.

Seja q0 ∈ B(p, r). A sequencia definida por inducao qi+1 := h(qi), i ∈ N, e de Cauchy. Realmente,para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk| ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk| ≤ (1 + c+ · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ ci|q0 − qj−i| ≤ 11−cc

i|q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, concluımos que qi, i ∈ N, e uma sequencia de Cauchy e, portanto,

converge. Sendo a bola B(p, r) fechada, o limite q := limi→∞

qi esta em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h

contınua, h(q) = limi→∞

h(qi) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q e um ponto fixo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) e um outro ponto fixo de h, h(q′) = q′, entao |q′ − q| =∣∣h(q′) − h(q)

∣∣ ≤ c|q′ − q|.Uma contradicao ■

Vamos interpretar Rn2

como o espaco de todas as (n × n)-matrizes. A funcao det : Rn2 → R e declasse C∞, pois se calcula via expressoes polinomiais nos coeficientes da matriz. Em particular, det euma funcao contınua. Logo, as matrizes nao-degeneradas (isto e, as matrizes cujo determinante nao e

nulo) formam um conjunto aberto GLnR := {M ∈ Rn2 | detM = 0}⊂◦Rn2

. Pela algebra linear, todamatriz M ∈ GLn R possui inversa M−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM , onde adjM denota a matrizadjunta aM . No calculo da matriz adjunta usamos expressoes polinomiais nos coeficientes da matrizM .

Consequentemente, a aplicacao adj : Rn2 → Rn2

e de classe C∞. Chegamos a seguinte

2.12.6. Observacao. A aplicacao GLnR−1

−→ GLn R e de classe C∞ ■

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→ W ′ ⊂◦V uma aplicacao de classe Ck, k ≥ 1, e g : W ′ → W a

aplicacao inversa de f de classe C1, onde V, V ′ sao espacos R-lineares de dimensao finita. Entao g e declasse Ck.

Demonstracao. Por inducao sobre k, podemos supor que g e de classe Ck−1 com k ≥ 2. PeloLema 2.2, Dw′g = (Dg(w′)f)

−1 para todo w′ ∈ W ′. O fato que f e de classe Ck, de acordo coma Definicao 2.4, significa que a aplicacao Df : W → LinR(V, V

′), definida pela regra w 7→ Dwf ,e de classe Ck−1. Sendo g de classe Ck−1 pela hipotese de inducao, concluımos, utilizando a formulaDw′g = (Dg(w′)f)

−1, que a aplicacao w′ 7→ Dw′g e de classe Ck−1 pela Observacao 2.12.6 ■

Demonstracao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas translacoes, podemos supor semperda de generalidade que p = 0 e f(p) = 0.

Toda aplicacao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto (em particular, e de classe C∞),portanto, compondo f com a aplicacao linear (Dpf)

−1, podemos supor sem perda de generalidade queV = V ′ e que Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf)

−1 ◦ f)= Df(p)

((Dpf)

−1)◦ (Dpf) = (Dpf)

−1 ◦ (Dpf) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplicacao h0 : U → V , definida por h0(x) := x − f(x), e nula, D0h0 = 0.

Munimos V de uma norma. Sendo h0 de classe C1, os coeficientes da matriz da aplicacao linear Dxh0 sao

contınuos em x ∈ U . Claro que a norma |Dxh0| da aplicacao linear Dxh0 e pequena se estes coeficientessao pequenos. Consequentemente, existe R > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U . Pelo

Corolario 2.11.7,∣∣h0(x′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x

′ − x| para todos x, x′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitrario. Mostraremos que, para todo d ∈ B(0, r), existe um unico q ∈B(0, 2r) tal que f(q) = d. Para isto, apliquemos o Lema 2.12.5 a funcao hd(x) := d+x−f(x) = d+h0(x).


Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d|+

∣∣h0(x)∣∣ ≤ r+∣∣h0(x)−h0(0)∣∣ ≤ r+

12 |x− 0| ≤ 2r, pois x, 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r) → B(0, 2r). Sejam x, x′ ∈ B(0, 2r).

Entao∣∣hd(x′)− hd(x)

∣∣ = ∣∣h0(x′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x|, pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), verificando deste modo

as hipoteses do Lema 2.12.1 para c := 12 . Pelo Lema 2.12.5, existe um unico q ∈ B(0, 2r) tal que

hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q e equivalente a f(q) = d.Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r) → B(0, r) e uma bijecao para qualquer 0 < r < R.

E facil concluir daı que f |B(0,2r) : B(0, 2r) → B(0, r) e uma bijecao para todo 0 < r < R.

Sendo f de classe C1, a derivada Dxf e contınua em x. Logo, a funcao x 7→ det(Dxf) e contınuaem x. De D0f = 1V segue que det(D0f) = 1. Pela continuidade de det(Dxf), existe 0 < r < R tal quedet(Dxf) = 0 para todo x ∈ B(0, 2r). Isto significa que Dxf : V → V e um isomorfismo linear paratodo x ∈ B(0, 2r).

Denotemos por g : B(0, r) → B(0, 2r) a inversa de f |B(0,2r) : B(0, 2r) → B(0, r). Para quaisquer

x, x′ ∈ B(0, 2r), temos |x′ − x| =∣∣f(x′)− f(x) + h0(x

′)− h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f(x′)− f(x)

∣∣+ ∣∣h0(x′)− h0(x)∣∣ ≤∣∣f(x′)− f(x)

∣∣+ 12 |x

′ − x|, implicando |x′ − x| ≤ 2|y′ − y|, onde y′ := f(x′) e y := f(x).

Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f)−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamos y ∈ B(0, r) e denotamos

x := g(y). Precisamos mostrar que

limy =y′→y

g(y′)− g(y)− (Dxf)−1(y′ − y)

|y′ − y|= 0.

Fazemos x′ := g(y′). Sendo f contınua, x′ → x implica y′ → y pela Proposicao 1.6.5. Da desigualdade|x′ − x| ≤ 2|y′ − y| demonstrada acima segue que y′ → y implica x′ → x. Portanto, podemos trocar

no limite y′ por f(x′). Assim, basta mostrar que limx =x′→x

x′−x−(Dxf)−1(f(x′)−f(x)

)|x′−x|

|x′−x||y′−y| = 0. Ja que

|x′−x||y′−y| ≤ 2, reduzimos a tarefa a lim

x =x′→x(Dxf)

−1 (Dxf)(x′−x)−f(x′)+f(x)|x′−x| = 0. Resta lembrar que qualquer

aplicacao linear e contınua (no nosso caso, a aplicacao (Dxf)−1) e usar a definicao da derivada Dxf .

Sendo Dxf contınua em x e sendo g(y) contınua em y (ja que g e derivavel em todos os pontosy ∈ B(0, r)), a derivada Dyg = (Dg(y)f)

−1 e contınua em y pela Observacao 1.12.5. Em outras palavras,

g e de classe C1.Resta fazer W := B(0, 2r) e W ′ := B(0, r) e usar o Lema 1.12.6 ■

2.12.8. Gradiente e conjuntos de nıvel. Percebemos que o uso de derivadas foi extremamente utilno estudo de extremos (locais) e, mais geralmente, de pontos crıticos de uma funcao (vide, por exemplo,os Exemplo 2.5, Criterio 2.11.3 e itens 2.11.4 e 2.12.4).

Infelizmente, lidando com funcoes definidas no conjunto de nıvel S :={x ∈ U | g(x) = c

}de

uma aplicacao Rm ◦⊃Ug−→ Rn de classe C1, nao ha como fazer derivadas direcionais de uma funcao

f : S → R, mesmo das bastante suaves, pois, na expressao vpf := lim0 =t→0

f(p+tv)−f(p)t , o valor f(p+ tv)

nao faz muito sentido.Entretanto, se a funcao f pode ser localmente estendida para uma vizinhanca aberta p ∈ W ⊂◦U

do ponto p ∈ S (ou seja, existe uma funcao f : W → R cuja restricao f |S∩W para S ∩W coincide

com f , f |S∩W = f |S∩W ), este calculo faz pleno sentido. Mas agora enfrentamos um outro problema:a definicao da derivada direcional pode depender de como nos estendemos a funcao f .

No caso de um conjunto de nıvel S liso no ponto p ∈ S (isto significa que a derivada Dpg tem posto n),quando discutimos o metodo de multiplicadores de Lagrange no item 2.12.4, superamos a mencionadadificuldade conseguindo localmente parametrizar S na vizinhaca aberta de p ∈ S por um subconjuntoaberto em Rm−n : de fato, nos salvou o teorema da funcao implıcita. Sera que poderıamos derivarfuncoes diretamente, sem escolha de uma parametrizacao?

Intuitivamente, sendo Dpg a melhor aproximacao linear de g na proximidade de p, isto e, g(x)−g(p) =(Dpg)(x − p) + um pouco, o espaco tangente a S em p (supostamente a melhor aproximacao linear deS perto de p) deveria ser dado pela equacao (Dpg)(x − p) = 0, pois o conjunto S e dado pela equacao


g(x)− g(p) = 0. Acontece que a descricao heurıstica do espaco tangente pela equacao (Dpg)(x− p) = 0e quase adequada (e e adequada em pontos lisos de S).

Por simplicidade, consideremos o caso n = 1. O fato que Dpg tem posto 1 significa Dpg = 0, digamos,∂g∂xm

(p) = 0. Pelo Teorema 2.12.2, obtemos uma funcao s : B → R tal que g(x, s(x)

)= c para todo

x ∈ B, onde p1 ∈ B⊂◦Rm−1 e uma bola aberta e p = (p1, p2). Assim parametrizamos S por B numavizinhanca aberta de p. Em outras palavras, nessa vizinhanca, o conjunto de nıvel S coincide com ografico da funcao s. Intuitivamente, as derivadas direcionais de s parecem ter algo a ver com os vetorestangentes a S em p, isto e, com os vetores tangentes ao grafico de s em p.

Na presenca do produto interno ⟨−,−⟩ em Rm, podemos interpretar a derivada Dpg como um vetor∇pg ∈ Rm, chamado gradiente de g em p e dado pela identidade ⟨∇pg, x⟩ = (Dpg)x valida para todox ∈ Rm. O gradiente ∇pg indica uma direcao na qual a funcao g cresce mais rapido. Realmente, comofoi notado no inıcio da demonstracao da Proposicao 2.10.3, vpg = (Dpg)v para todo v ∈ Rm. Portanto,para qualquer vetor unitario v ∈ Rm, |v| = 1, temos vpg = (Dpg)v = ⟨∇pg, v⟩ = |∇pg| cosα, onde α eo angulo entre v e ∇pg. Assim, o valor maximo da derivada direcional vpg com |v| = 1 se realiza para

v :=∇pg|∇pg| caso ∇pg = 0, e a norma |∇pg| expressa a taxa de crescimento de g na indicada direcao.

Por outro lado, a equacao (Dpg)(x− p) = 0 do espaco tangente do conjunto de nıvel S significa nessascircunstancias que o gradiente ∇pg e normal (= ortogonal) ao espaco tangente.

2.12.9. Definicao. Sejam S ⊂ V um subconjunto num espaco R-linear V de dimensao finita.

Dizemos que uma funcao S ◦⊃Wf−→ R e de classe C∞ e denotamos f ∈ C∞(W ) se localmente f e a

restricao de uma funcao de classe C∞ definida num subconjunto aberto de V . Isto significa que, para

todo p ∈W , existe uma funcao f ∈ C∞(U), U ⊂◦V , tal que p ∈ S ∩ U ⊂W e f |S∩U = f |S∩U .Um vetor tangente v a S em p ∈ S e uma regra que associa um numero vf ∈ R a cada funcao f de

classe C∞ definida numa vizinhanca aberta de p (ou seja, S ◦⊃Wf−→ R com p ∈ W ) de modo que,

para quaisquer funcoes f1, f2 de classe C∞ definidas em vizinhancas abertas de p, valem as seguintespropriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf e R-linear em f);• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhanca de p; mais formalmente,

isto significa que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′ ⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a S em p e simplesmente uma derivacao local de funcoes definidasna proximidade de p.

Denotamos por TpS o conjunto de todos os vetores tangentes a S em p. De fato, TpS e um espacoR-linear, pois podemos definir (rv)f := r(vf) e (v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v, v1, v2 ∈ TpS,r ∈ R e funcao f de classe C∞ definida numa vizinhanca aberta de p. (A verificacao do fato querv, v1 + v2 ∈ TpS e imediata.) Chamamos TpS espaco tangente a S em p.

Nas hipoteses do Teorema 2.12.2, o espaco tangente TpS (dado pela Definicao) para o conjunto de nıvelS :=

{(x, y) ∈ U1×U2 | E(x, y) = p3} no ponto p := (p1, p2) ∈ S e um subespaco R-linear de Tp(V1×V2)

descrito por TpS ={vp ∈ Tp(V1 × V2) | (DpE)v = 0

}. Portanto, podemos pensar em TpS como dado

pela equacao linear (DpE)(x−p) = 0 em V1×V2 (comprovando assim as consideracoes heurısticas acima).Com efeito, toda funcao f definida numa vizinhanca aberta suficientemente pequena do ponto p em Stem a forma f(x, y) = f

(x, s(x)

), onde s : B → U2 e a aplicacao obtida pelo Teorema 2.12.2. Ja que

as derivadas em p1 de funcoes da forma f(x, s(x)

)definidas em vizinhancas abertas de p1 sao aquelas

direcionais pela Proposicao 2.10.3, cada vetor tangente a S em p pode ser visto como (v1)p1 ∈ Tp1B.

Seja f(x, y) uma funcao de classe C∞ definida numa vizinhanca aberta de p. Pelo Lema 2.2,

(v1)p1 f(x, s(x)

)=

(Dp1 f

(x, s(x)

))v1 = (Dpf)

(v1, (Dp1s)v1

)= (Dpf)(v1, v2) = (v1, v2)pf ,

onde v2 := (Dp1s)v1. Sendo E(x, s(x)

)uma constante, obtemos D′

pE+(D′′pE)(Dp1s) = 0 pelo Lema 2.2.

Agora vemos que v2 = (Dp1s)v1 e equivalente a (DpE)(v1, v2) = 0.


p

S

Rn

v

v

R f

f

No caso geral, um vetor tangente vp ∈ TpV a V em p e tangente a S,

vp ∈ TpS, se e so se a derivada (direcional) vpf de uma extensao f deuma funcao f definida numa vizinhanca aberta de p em S nao dependeda escolha de extensao. Essa propriedade e simplesmente embutida naDefinicao.

Poderıamos definir vetores tangentes utilizando curvas parametriza-das contidas em S, mas este caminho e menos efetivo.


3. Integracao

Para comprar o integral, antes se particiona.— Elefante na loja de loucas

3.1. Integral de Riemann. Chamamos n-bloco (fechado) qualquer produto cartesiano de n seg-mentos fechados limitados B := I1 × · · · × In ⊂ Rn. O volume de um n-bloco B e o produto dos

comprimentos de seus segmentos, v(B) :=n∏i=1

|Ii|.

3.1.1. Definicao. Seja I = [a0, ak] ⊂ R um segmento fechado e limitado e sejam a0 < a1 < · · · < ak.

Para qualquer j = 1, . . . , k, denotemos Jj := [aj−1, aj ]. Entao a decomposicao I =k∪j=1

Jj e dita particao

do segmento I. Claro que |I| =k∑j=1

|Jj |.

Seja B := I1 × · · · × In ⊂ Rn um n-bloco e sejam Ii =ki∪j=1

Jij , i = 1, . . . , n, particoes. Denotemos

Bj1...jn := J1j1 × · · · × Jnjn . Entao a decomposicao B =∪

j1,...,jn

Bj1...jn e uma particao do n-bloco B.

Tambem podemos escrever B =∪b∈P

b, onde a particao P lista todos os Bj1...jn . De |Ii| =k∑j=1

|Jij |, segue

v(B) =∑b∈P

v(b).

Dizemos que a particao P ′ de um n-bloco B e um refinamento da particao P de B, e escrevemosP ′ ≤ P , se cada n-bloco b′ ∈ P ′ esta contido num n-bloco b ∈ P , b′ ⊂ b. Neste caso, cada n-bloco b ∈ Pe particionado nos n-blocos b′ ∈ P ′ tais que b′ ⊂ b.

3.1.2. Observacao. Dadas duas particoes P1 e P2 de um mesmo n-bloco, existe um refinamentocomum P de P1 e P2, P ≤ P1, P2 ■

3.1.3. Definicao. Sejam B ⊂ Rn um n-bloco, P uma particao de B e f : B → R uma funcaolimitada. Para qualquer subconjunto X ⊂ B, denotemos mX(f) := inf

x∈Xf(x) e MX(f) := sup

x∈Xf(x).

Nestes termos, facamos m(f, P ) :=∑b∈P

mb(f) ·v(b) eM(f, P ) :=∑b∈P

Mb(f) ·v(b), as somas de Riemann,

inferior e superior.

Denotemos por∫Bf := sup

Pm(f, P ) e

∫Bf := inf

PM(f, P ) as integrais inferior e superior de uma

funcao limitada f : B → R, onde B e um n-bloco e P percorre todas as particoes de B.

3.1.4. Lema. Sejam P ′ um refinamento da particao P de um n-bloco B e f : B → R uma funcaolimitada. Entao m(f, P ) ≤ m(f, P ′) e M(f, P ′) ≤ M(f, P ). Alem disso, mB(f) · v(B) ≤ m(f, P ) eM(f, P ) ≤MB(f) · v(B).

Demonstracao. A ultima afirmacao segue diretamente da Definicao 3.1.3. Por exemplo, M(f, P ) =∑b∈P

Mb(f) · v(b) ≤∑b∈P

MB(f) · v(b) =MB(f)∑b∈P

v(b) =MB(f) · v(B).

A primeira afirmacao segue da segunda. Realmente, cada n-bloco b ∈ P e particionado em algunsn-blocos b′ ∈ P ′. Denotamos tal particao por P ′

b, P′b := {b′ ∈ P ′ | b′ ⊂ b}. Pela segunda afirmacao,

mb(f) · v(b) ≤ m(f, P ′b) e M(f, P ′

b) ≤ Mb(f) · v(b). Logo, m(f, P ) =∑b∈P

mb(f) · v(b) ≤∑b∈P

m(f, P ′b) =∑

b∈P

∑P ′∋b′⊂b

mb′(f) · v(b′) =∑b′∈P ′

mb′(f) · v(b′) = m(f, P ′). De modo semelhante, M(f, P ′) ≤M(f, P ) ■

3.1.5. Definicao. Sejam B um n-bloco e f : B → R uma funcao limitada. Pelo Lema 3.1.4 e pela

Observacao 3.1.2, m(f, P1) ≤ M(f, P2) para quaisquer particoes P1 e P2 de B. Portanto,∫Bf ≤

∫Bf .


Dizemos que f e integravel se∫Bf :=

∫Bf =

∫Bf ; este numero e a integral de f . Claro que m(f, P ) ≤∫

Bf ≤M(f, P ) se f e integravel e P e uma particao de B.

3.1.6. Proposicao. Sejam B um n-bloco, P uma particao de B, r ∈ R, c > 0 e f, fi : B → R, i ∈ N,funcoes. Entao as seguintes afirmacoes sao validas.

1. Se f1, f2 sao integraveis e f1(x) ≤ f2(x) para todo x ∈ B, entao∫Bf1 ≤

∫Bf2.

2. Se f e integravel, entao rf e integravel e∫Brf = r

∫Bf .

3. Se f e integravel, entao |∫Bf | ≤ ||f || · v(B).

4. Se f1, f2 sao integraveis, entao f1 + f2 e integravel e∫B(f1 + f2) =

∫Bf1 +

∫Bf2.

5. Se f e integravel, entao f+ e integravel, onde f+(x) := max(0, f(x)

).

6. Se f e integravel, entao |f | e integravel e |∫Bf | ≤

∫B|f |.

7. Se f1, f2 sao integraveis, entao f1f2 e integravel.8. Se f e integravel e

∣∣f(x)∣∣ ≥ c para todo x ∈ B, entao 1f e integravel.

9. Todas f |b, b ∈ P , sao integraveis se e so se f e integravel. Neste caso,∫Bf =

∑b∈P

∫bf |b.

10. Se todas fi’s sao integraveis e limn→∞

fi = f e limite uniforme, entao f e uma funcao integravel e∫Bf = lim

i→∞

∫Bfi. Em outras palavras, limite uniforme comuta com integral.

Demonstracao. 1. Claro que mb(f1) ≤ mb(f2) e Mb(f1) ≤ Mb(f2) para todo b ∈ P . Logo,m(f1, P ) ≤ m(f2, P ) e M(f1, P ) ≤M(f2, P ) para uma particao arbitraria P de B. Daı,

∫Bf1 ≤

∫Bf2.

2. Se r ≥ 0, entao m(rf, P ) = r ·m(f, P ) e M(rf, P ) = r ·M(f, P ) implicando que rf e integravel com∫Brf = r

∫Bf .

Se r < 0, entao m(rf, P ) = r ·M(f, P ) e M(rf, P ) = r · m(f, P ) novamente implicando que rf eintegravel com

∫Brf = r

∫Bf .

3. Tomemos f1 := f e f2 := ||f || (constante). Note que∫Bf2 = ||f || · v(B). Claro que f1(x) ≤ f2(x)

para todo x ∈ B. Pelo item 1, temos∫bf1 ≤

∫Bf2, ou seja,

∫Bf ≤ ||f || · v(B). Da mesma maneira,

tomando f1 := −f , obtemos −∫Bf ≤ ||f || · v(B) pelo item 2. Logo, |

∫Bf | ≤ ||f || · v(B).

4. Para todo b ∈ B, temos mb(f1) +mb(f2) ≤ mb(f1 + f2) e Mb(f1 + f2) ≤Mb(f1) +Mb(f2). Portanto,m(f1, P )+m(f2, P ) ≤ m(f1+ f2, P ) e M(f1+ f2, P ) ≤M(f1, P )+M(f2,M) para qualquer particao Pde B. Sendo f1, f2 integraveis, podemos escolher P com as diferencasM(f1, P )−m(f1, P ) eM(f2, P )−m(f2, P ) arbitrariamente pequenas. Isto implica o fato desejado.5. Seja b ∈ P . Se f(x) ≤ 0 para todo x ∈ b, entao mb(f

+) = Mb(f+) = 0, logo, Mb(f

+) −mb(f+) ≤

Mb(f) − mb(f). Se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ b, entao mb(f+) = mb(f) e Mb(f

+) = Mb(f), logo,Mb(f

+) −mb(f+) = Mb(f) −mb(f). Se f(x) < 0 < f(x′) para alguns x, x′ ∈ b, entao mb(f

+) = 0,mb(f) < 0 e Mb(f

+) =Mb(f), logo, Mb(f+)−mb(f

+) =Mb(f) ≤Mb(f)−mb(f). Em qualquer caso,Mb(f

+)−mb(f+) ≤Mb(f)−mb(f). Isto implica que M(f+, P )−m(f+, P ) ≤M(f, P )−m(f, P ) para

toda particao P de B. Sendo f integravel, escolhendo P , podemos fazer a diferenca M(f, P )−m(f, P )arbitrariamente pequena. Portanto, f+ e integravel.6. Temos f = f+−f−, onde f− := (−f)+. Pelos itens 2 e 5, f− e integravel. Pelo item 3, |f | = f++f−

e integravel. Para todo x ∈ B, temos −f(x) ≤∣∣f(x)∣∣ e f(x) ≤ ∣∣f(x)∣∣. Pelos itens 1 e 2, −

∫Bf ≤

∫B|f |

e∫Bf ≤

∫B|f |, isto e, |

∫Bf | ≤

∫B|f |.

7. Decompondo f1 = f+1 − f−1 e f2 = f+2 − f−2 , podemos supor pelos itens anteriores que f1(x) ≥ 0 ef2(x) ≥ 0 para todo x ∈ B. Sendo f1, f2 limitadas, ||f1||, ||f2|| ≤M para algum M ∈ R.

Seja b ∈ P . Entao mb(f1) ·mb(f2) ≤ mb(f1f2) e Mb(f1f2) ≤Mb(f1) ·Mb(f2). Portanto,

Mb(f1f2)−mb(f1f2) ≤Mb(f1) ·Mb(f2)−mb(f1) ·mb(f2) =(Mb(f1)−mb(f1)

)Mb(f2)+

+mb(f1)(Mb(f2)−mb(f2)

)≤M

(Mb(f1)−mb(f1) +Mb(f2)−mb(f2)

).

Consequentemente,M(f1f2, P )−m(f1f2, P ) ≤M(M(f1, P )−m(f1, P )+M(f2, P )−m(f2, P )

). Assim,

o fato que f1, f2 sao integraveis implica que f1f2 e integravel.


8. A funcao 1f e limitada, pois

∣∣∣∣ 1f

∣∣∣∣ ≤ 1c . Para todo b ∈ P , temos mb

(1f

)= 1

Mb(f)e Mb

(1f

)= 1

mb(f).

Portanto,∣∣∣∣M( 1

f, P

)−m

( 1

f, P

)∣∣∣∣ ≤ ∑b∈P

∣∣∣ 1

mb(f)− 1

Mb(f)

∣∣∣ · v(b) = ∑b∈P

Mb(f)−mb(f)∣∣mb(f)∣∣ · ∣∣Mb(f)

∣∣ · v(b) ≤≤ 1

c2(Mb(f)−mb(f)

)· v(b) = 1

c2(M(f, P )−m(f, P )

).

Escolhendo P , fazemos 1c2

(M(f, P )−m(f, P )

)arbitrariamente pequeno. Assim, 1

f e integravel.

9. Suponhamos que f e integravel. Seja b ∈ P . Para mostrar que f |b e integravel, tomemos ε > 0qualquer. Precisamos encontrar uma particao Pb de b com M(f |b, Pb) − m(fb, Pb) < ε. Existe umaparticao P ′ de B tal que M(f, P ′)−m(f, P ′) < ε. Podemos achar um refinamento P ′′ de P ′, P ′′ ≤ P ′,para o qual b e a uniao de alguns blocos b′′ ∈ P ′′. Em outras palavras, P ′′ induz a particao Pb := {b′′ ∈P ′′ | b′′ ⊂ b} de b. Agora,

M(f |b, Pb)−m(f |b, Pb) =∑b′′∈Pb

(Mb′′(f)−mb′′(f)

)v(b′′) ≤

≤∑b′′∈P ′′

(Mb′′(f)−mb′′(f)

)v(b′′) =M(f, P ′′)−m(f, P ′′) ≤M(f, P ′)−m(f, P ′) < ε

pelo Lema 3.1.4.Suponhamos que f |b e integravel para todo b ∈ P . Denotamos por k o numero de blocos b ∈ P .

Seja ε > 0 qualquer. Precisamos encontrar uma particao P ′ de B com M(f, P ′) − m(f, P ′) < ε.

Para cada b ∈ P , existe uma particao Pb de b tal que M(f |b, Pb) − m(f |b, Pb) < εk . E facil ver que

existe uma particao P ′ de B satisfazendo as seguintes propriedades: todo b ∈ P e a uniao de algunsblocos b′ ∈ P ′ e a particao P ′

b de b ∈ P induzida por P ′ e mais fina do que Pb, P′b ≤ Pb. Pelo

Lema 3.1.4,∑b∈P

m(f |b, Pb) ≤∑b∈P

m(f |b, P ′b) = m(f, P ′) e M(f, P ′) =

∑b∈P

M(f |b, P ′b) ≤

∑b∈P

M(f |b, Pb).

Pela Definicao 3.1.5, m(f |b, P ′b) ≤

∫bf |b ≤ M(f |b, P ′

b) para todo b ∈ P . Logo, m(f, P ′) ≤∑b∈P

∫bf |b ≤

M(f, P ′) e M(f, P ′)−m(f, P ′) ≤∑b∈P

(M(f |b, Pb)−m(f |b, Pb)

)< k εk = ε. Sendo ε > 0 arbitrario, isto

mostra que f e integravel. Mais ainda, ja que m(f, P ′) ≤∫Bf ≤ M(f, P ′) e m(f, P ′) ≤

∑b∈P

∫bf |b ≤

M(f, P ′) com M(f, P ′) −m(f, P ′) < ε, temos∣∣∣ ∫B f −

∑b∈P

∫bf |b

∣∣∣ < ε. Fazendo ε > 0 arbitrariamente

pequeno, obtemos∫Bf =

∑b∈P

∫bf |b.

10. De fi ser limitada e ||fi − f || <∞ segue que f e limitada.Antes de nada mais, mostraremos o seguinte fato. Sejam g1, g2 : B → R funcoes limitadas e seja

b ∈ P . Entao∣∣mb(g1) −mb(g2)

∣∣ ≤ 4||g1 − g2|| e∣∣Mb(g1) −Mb(g2)

∣∣ ≤ 4||g1 − g2||. Com efeito, bastamostrar a primeira desigualdade, pois a segunda segue da primeira aplicada a −g1,−g2 no lugar deg1, g2. Se ||g1 − g2|| = 0, entao g1 = g2 e a desigualdade e valida. Se ||g1 − g2|| > 0, existem x1, x2 ∈ btais que

g1(x1)−mb(g1) ≤ ||g1 − g2||, g2(x2)−mb(g2) ≤ ||g1 − g2||.

Portanto,

g1(x1)− g2(x2) = g1(x1)− g1(x2) + g1(x2)− g2(x2) ≤ g1(x1)−mb(g1) + ||g1 − g2|| ≤ 2||g1 − g2||,

g2(x2)− g1(x1) = g2(x2)− g2(x1) + g2(x1)− g1(x1) ≤ g2(x2)−mb(g2) + ||g1 − g2|| ≤ 2||g1 − g2||,


pois mb(g1) ≤ g1(x2), g1(x2)−g2(x2) ≤ ||g1−g2||, mb(g2) ≤ g2(x1) e g2(x1)−g1(x1) ≤ ||g1−g2||. Logo,∣∣g1(x1)− g2(x2)∣∣ ≤ 2||g1 − g2||. Consequentemente,∣∣mb(g1)−mb(g2)

∣∣ ≤ ∣∣mb(g1)− g1(x1)∣∣+ ∣∣g1(x1)− g2(x2)

∣∣+ ∣∣g2(x2)−mb(g2)∣∣ ≤ 4||g1 − g2||.

Usando o fato que acabamos de mostrar, obtemos∣∣m(fi, P )−m(f, P )∣∣ ≤ ∑

b∈P

∣∣mb(fi)−mb(f)∣∣ · v(b) ≤ 4||fi − f || · v(B),

∣∣M(f, P )−M(fi, P )∣∣ ≤ ∑

b∈P

∣∣Mb(f)−Mb(fi)∣∣ · v(b) ≤ 4||f − fi|| · v(B),

implicando∣∣M(f, P )−m(f, P )∣∣ ≤ |M(f, P )−M(fi, P )

∣∣+ |M(fi, P )−m(fi, P )∣∣+ |m(fi, P )−m(f, P )

∣∣ ≤≤ 8||fi − f || · v(B) + |M(fi, P )−m(fi, P )

∣∣.Dado ε > 0, pela convergencia uniforme lim

n→∞fi = f , temos 8||fi − f || · v(B) < ε para i suficientemente

grande. Para tal i, podemos encontrar uma particao P de B com |M(fi, P ) − m(fi, P )∣∣ < ε, pois

fi e integravel. Assim deduzimos que f e integravel. Finalmente,∣∣ ∫Bfi −

∫Bf∣∣ =

∣∣ ∫B(fi − f)

∣∣ ≤||fi − f || · v(B) pelos itens 2, 4 e 3 ■

3.1.7. Lema. Qualquer funcao contınua f : B → R e integravel, onde B e um n-bloco.

Demonstracao. Sendo B um compacto, f e uniformemente contınua sobre B pelo Lema 1.7.10.

Para qualquer particao P de B, temosM(f, P ) ≥ infPM(f, P ) =

∫Bf ≥

∫Bf := sup

Pm(f, P ) ≥ m(f, P ).

Assim, para mostrar que∫Bf =

∫Bf , basta verificar que, para todo ε > 0, existe uma particao P de

B tal que M(f, P ) − m(f, P ) ≤ ε · v(B). Pela continuidade uniforme de f , existe δ > 0 tal que∣∣f(x1) − f(x1)∣∣ < ε se os pontos x1, x2 ∈ B satisfazem |x1 − x2| < δ. E facil escolher uma particao P

de B tao fina que |x1 − x2| < δ para todos x1, x2 ∈ b ∈ P . Logo, Mb(f)−mb(f) ≤ ε para todo b ∈ P .Agora, M(f, P )−m(f, P ) =

∑b∈P

(Mb(f)−mb(f)

)v(b) ≤

∑b∈P

ε · v(b) = ε · v(B) ■

3.2. Teorema (Fubini). Sejam B1 um n1-bloco, B2 um n2-bloco e f : B1 × B2 → R uma funcao

integravel. Para qualquer x1 ∈ B1, definamos S(x1) :=∫f(x1, x2) dx2 e S(x1) :=

∫f(x1, x2) dx2.

Entao as funcoes S, S : B1 → R sao integraveis e∫B1S(x1) dx1 =

∫B1S(x1) dx1 =

∫B1×B2

f . Em outras

palavras, ∫B1×B2

f =∫B1

(∫B2

f(x1, x2) dx2

)dx1 =

∫B1

(∫B2f(x1, x2) dx2

)dx1 =

=∫B2

(∫B1

f(x1, x2) dx1

)dx2 =

∫B2

(∫B1f(x1, x2) dx1

)dx2.

Demonstracao. Sejam P1, P2 particoes de B1, B2. Entao P1 × P2 := {b1 × b2 | b1 ∈ P1, b2 ∈ P2} euma particao de B1 ×B2. (Claro que toda particao de B1 ×B2 tem essa forma.)

Fixamos temporariamente um b1 ∈ P1. Para todos x1 ∈ b1 e b2 ∈ P2, temos

mb1×b2(f) ≤ mb2

(f(x1,−)

), Mb2

(f(x1,−)

)≤Mb1×b2(f).

Portanto,∑b2∈P2

mb1×b2(f) · v(b2) ≤∑b2∈P2

mb2

(f(x1,−)

)· v(b2) = m

(f(x1,−), P2

)≤

∫f(x1, x2) dx2 = S(x1),


S(x1) =∫f(x1, x2) dx2 ≤M

(f(x1,−), P2

)≤

∑b2∈P2

Mb2

(f(x1,−)

)· v(b2) ≤

∑b2∈P2

Mb1×b2(f) · v(b2),

ou seja, ∑b2∈P2

mb1×b2(f) · v(b2) ≤ S(x1), S(x1) ≤∑b2∈P2

Mb1×b2(f) · v(b2).

Logo, ∑b2∈P2

mb1×b2(f) · v(b2) ≤ mb1(S), Mb1(S) ≤∑b2∈P2

Mb1×b2(f) · v(b2).

Fazendo agora b1 ∈ P1 variar, obtemos

m(f, P1 × P2) =∑

b1∈P1,b2∈P2

mb1×b2(f) · v(b1 × b2) =∑

b1∈P1,b2∈P2

mb1×b2(f) · v(b2) · v(b1) ≤ m(S, P1),

M(S, P1) ≤∑

b1∈P1,b2∈P2

Mb1×b2(f) · v(b2) · v(b1) =∑

b1∈P1,b2∈P2

Mb1×b2(f) · v(b1 × b2) =M(f, P1 × P2).

Assim,m(f, P1 × P2) ≤ m(S, P1) ≤M(S, P1) ≤M(S, P1) ≤M(f, P1 × P2),

m(f, P1 × P2) ≤ m(S, P1) ≤ m(S, P1) ≤M(S, P1) ≤M(f, P1 × P2).

Sendo f integravel, com uma escolha da particao P1 × P2 de B1 × B2, podemos fazer a diferencaM(f, P1 × P2)−m(f, P1 × P2) arbitrariamente pequena.

Daı concluımos que S e S sao integraveis e, mais ainda, que∫B1S(x1) dx1 =

∫B1S(x1) dx1 =∫

B1×B2f ■

Pelo Lema 3.1.7, obtemos o

3.2.1. Corolario. Sejam B1 um n1-bloco, B2 um n2-bloco e f : B1 ×B2 → R uma funcao contınua.Entao ∫

B1×B2f =

∫B1

( ∫B2f(x1, x2) dx2

)dx1 =

∫B2

( ∫B1f(x1, x2) dx1

)dx2 ■

3.3. Particao da unidade. Dado um subconjunto S ⊂ Rn, uma famılia de subconjuntos abertosU := {Ui | i ∈ I} e dita uma cobertura aberta de S se S ⊂

∪i∈I

Ui. Escolhendo um subconjunto I ′ ⊂ I

do conjunto de ındices I, obtemos uma subcobertura U ′ := {Ui | i ∈ I ′} da cobertura U se S ⊂∪i∈I′

U ′i .

Caso o conjunto de ındices seja finito, a cobertura se chama finita.Seja S ⊂ Rn. O fecho S de S e o menor subconjunto fechado de Rn que contem S. Sendo fechada a

intersecao de qualquer famılia de subconjuntos fechados, e facil ver que S =∩

S⊂F⊂fRn

F .

Seja φ : Rn → R uma funcao. O suporte suppφ de φ e o fecho do conjunto S :={x ∈ Rn | φ(x) = 0

},

suppφ := S.Precisamos do seguinte fato tecnico que deixamos por enquanto sem demonstracao.

3.3.1. Lema. Seja K ⊂ Rn. Entao K e um compacto se e so se de qualquer cobertura aberta de Ke possıvel escolher uma subcobertura finita.

3.3.2. Proposicao (particao da unidade). Seja K ⊂ Rn um compacto e seja U := {Ui | i ∈ I}uma cobertura aberta de K. Entao existem funcoes φ1, . . . , φk : Rn → [0, 1] de classe C∞ tais quek∑j=1

φj |K = 1|K (a funcao constante 1 sobre K) e, para todo 1 ≤ j ≤ k, existe i ∈ I tal que suppφj ⊂ Ui.

A colecao de funcoes descrita na proposicao e uma particao da unidade subordinada a cobertura Ude K.


Demonstracao. Por definicao, K ⊂∪i∈I

Ui. Logo, para todo x ∈ K, existe i(x) ∈ I tal que x ∈ Ui(x).

Sendo Ui(x) aberto em Rn que contem x, x ∈ Ui(x) ⊂◦Rn, existe rx > 0 satisfazendo B(x, 3rx) ⊂ Ui(x).As bolas abertas B(x, rx), x ∈ K, formam uma cobertura aberta de K, pois cada ponto x ∈ K esta em∪x∈K

B(x, rx) (sendo x o centro da bola B(x, rx)). Pelo Lema 3.3.1, podemos escolher uma subcobertura

finita. Assim, K ⊂ B(x1, rx1) ∪ · · · ∪B(xk, rxk) para alguns x1, . . . , xk ∈ K.

Pelo Corolario 2.9 aplicado a r0 := rxj , r1 := 2rxj e p := xj , podemos construir uma funcao

gj : Rn → [0, 1] de classe C∞ tal que gj(x) = 1 se x ∈ B(xj , rxj ) e gj(x) = 0 se x /∈ B(xj , 2rxj ). Isto

significa que supp gj ⊂ B(xj , 2rxj ) ⊂ B(xj , 3rxj ) ⊂ Ui(xj).Definamos φ1 := g1 e φj+1 := (1 − g1) . . . (1 − gj)gj+1. Se gj(x) = 0, entao φj(x) = 0, implicando

que suppφj ⊂ supp gj ⊂ Ui(xj). Sendo as funcoes gj ’s de classe C∞, as funcoes φj ’s sao de classe C∞.

E imediato que φj tem valores em [0, 1]. Resta verificar quek∑j=1

φj |K = 1|K .

Mostraremos por inducao sobre j que φ1+ · · ·+φj = 1− (1− g1) . . . (1− gj). Para j = 1 isto e obvio,pois φ1 = g1. Se φ1 + · · ·+ φj = 1− (1− g1) . . . (1− gj), entao

φ1+ · · ·+φj+φj+1 = 1− (1−g1) . . . (1−gj)+φj+1 = 1− (1−g1) . . . (1−gj)+(1−g1) . . . (1−gj)gj+1 =

= 1 + (1− g1) . . . (1− gj)(−1 + gj+1) = 1− (1− g1) . . . (1− gj)(1− gj+1).

Consequentemente,k∑j=1

φj = 1−(1−g1) . . . (1−gk). Mas a funcao (1−g1) . . . (1−gk) e nula sobreK, pois

cada ponto x ∈ K pertence a uma bola B(xj , rxj ), x ∈ B(xj , rxj ), devido a inclusao K ⊂ B(x1, rx1) ∪· · · ∪B(xk, rxk

) e, sendo assim, gj(x) = 1 pela construcao de gj ■

3.4. Mudanca de variaveis. Podemos integrar funcoes sobre regioes que nao sao necessariamenteblocos. Por exemplo, se uma funcao contınua f : Rn → R tem suporte compacto (por definicao, o suportee fechado; deste modo, pedimos apenas que e limitado), entao supp f ⊂ B para um certo n-bloco B, epodemos definir

∫Rn f :=

∫Bf . Tal definicao independe da escolha do n-bloco que contem o suporte.

Realmente, se supp f ⊂ B′ e supp f ⊂ B′′, onde B′, B′′ sao n-blocos, podemos encontrar um n-blocoB que abrange ambos, B′, B′′ ⊂ B. Assim, basta verificar que

∫B′ f =

∫Bf caso B′ ⊂ B. Para tal

verificacao, podemos usar, por exemplo, o item 9 da Proposicao 3.1.6 (porem, isto e demais para umaafirmacao tao obvia): escolhemos uma particao P de B que induz uma particao P ′ de B′ e observamosque b ∈ P \ P ′ implica

∫bf |b = 0, pois f e nula em tais blocos devido a supp f ⊂ B′.

No caso geral, podemos definir a integral de uma funcao f : R→ R sobre uma regiao R ⊂ Rn (talvez,de natureza bem complicada) pela formula

∫Rf :=

∫Rn χRf , onde

χR(x) :=

{0 se x /∈ R1 se x ∈ R

e a funcao caracterıstica de R. Claro que, nessa definicao, e preciso pedir que a funcao χRf : Rn → Rseja integravel. Alem disso, se o suporte supp(χRf) nao for compacto, precisarıamos lidar com integraisimproprias, o que parece improprio neste curso (apesar de ocorrer com frequencia no uso pratico decalculo).

3.4.1. Teorema (mudanca de variaveis). Seja Rn ◦⊃U1t−→ U2 ⊂◦Rn uma bijecao de classe C1 tal

que det(Dxt) = 0 para todo x ∈ U1. Entao∫Rn

f(y) dy =

∫Rn

f(t(x)

)·∣∣det(Dxt)

∣∣ dxpara qualquer funcao contınua f : Rn → R com suporte compacto contido em U2, supp f ⊂ U2.


Pelo Teorema 2.12.1 (da funcao inversa), a aplicacao t−1 : U2 → U1 e de classe C1 e, em particular,e contınua.

Por enquanto, nao e claro se a segunda integral faz sentido.Um problema, que a funcao g(x) sob essa integral nao e definida sobre todo Rn, nao e muito serio.

A funcao g(x) e bem definida e e contınua sobre U1. Vamos defini-la no subconjunto U3 := Rn \ t−1(K)como constante nula, onde K := supp f . Note que K ⊂ U2 implica que U1 ∪U3 = Rn e que f ◦ t e nulaem U1 ∩ U3, pois t(x) /∈ K implica f

(t(x)

)= 0 para todo x ∈ U1 ∩ U3. Portanto, a definicao de g(x) e

correta e g(x) e contınua pela Proposicao 1.6.4.Outro problema e que sabemos integrar apenas funcoes com suporte compacto. Claro que supp g ⊂

t−1(K). Para provar que t−1(K) e um compacto, usamos o Lema 3.3.1. Seja U := {Ui | i ∈ I}uma cobertura aberta de t−1(K), t−1(K) ⊂

∪i∈I

Ui. Sem perda de generalidade, podemos supor que

Ui ⊂ U1 para todo i ∈ I. Sendo t−1 contınua, concluımos que t(U1)⊂◦U2. Aplicando o Lemma 3.3.1aos compacto K e sua cobertura aberta K ⊂

∪i∈I

t(Ui) podemos escolher uma subcobertura finita, K ⊂

t(Ui1)∪· · ·∪ t(Uik). Aplicando t−1 a essa inclusao, obtemos a inclusao desejada t−1(K) ⊂ Ui1 ∪· · ·∪Uik .

Consideremos alguns casos particulares do teorema.

1. Caso t seja a permutacao de duas variaveis ou a aplicacao identica, o teorema vale devido aoteorema de Fubini (vide o Corolario 3.2.1), pois det(Dxt) = ±1 para todo x ∈ U1.

2. Caso t seja uma translacao, t(x) = x + v com v ∈ Rn, temos det(Dxt) = 1 e∫Rn f(x + v) dx =∫

Bf(x + v) dx =

∫B+v

f(y) dy =∫Rn f(y) dy, onde B ⊂ Rn e um bloco suficientemente grande tal que

supp f ⊂ B + v.3. Caso n = 1. Neste caso, pelo Lema 3.3.1, o compacto supp f e coberto por um numero finito de

intervalos abertos contidos em U2. Deste modo, podemos reduzir o problema ao caso quando supp f ⊂[a, b] ⊂ U2. Pela hipotese do teorema, t′(x) = 0 para todo x ∈ U1. Daı segue que t : [u, v] → [a, b] e umafuncao monotona. Caso t seja crescente, temos t(u) = a e t(v) = b. Portanto,∫

Rf(t(x)

)·∣∣ det(Dxt)

∣∣dx =

∫ v

u

f(t(x)

)· t′(x) dx =

∫ b

a

f(y) dy =

∫Rf(y) dy

pela formula da mudanca de uma variavel. Caso t seja decrescente, temos t(u) = b e t(v) = a. Agora,∫Rf(t(x)

)·∣∣det(Dxt)

∣∣dx = −∫ v

u

f(t(x)

)· t′(x) dx = −

∫ a

b

f(y) dy =

∫Rf(y) dy

pela formula da mudanca de uma variavel.4. Caso as componentes de t sejam t(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xm−1, hm, xm+1, . . . , xn), onde a funcao

hm : U1 → R e de classe C1, a aplicacao t se chama elementar. E facil ver que det(Dxt) = ∂hm

∂xm(x).

Denotando por x′ o grupo de todas as variaveis alem da variavel xm, pelo teorema de Fubini (vide oCorolario 3.2.1) e pelo caso particular anterior, obtemos∫

Rn

f(t(x)

)·∣∣det(Dxt)

∣∣dx =

∫Rn−1

(∫Rf(x′, hm(x′, xm)

)·∣∣∣∂hm∂xm

(x′, xm)∣∣∣ dxm)

dx′ =

=

∫Rn−1

(∫Rf(x′, ym) dym

)dx′ =

∫Rn

f(y) dy.

3.4.2. Lema. Seja Rn ◦⊃U1t−→ Rn uma aplicacao de classe C1 tal que 0 ∈ U1, t(0) = 0 e

det(D0t) = 0. Entao t|W1 = p1 ◦ · · · ◦ pn ◦ gn ◦ · · · ◦ g1, onde pi e a permutacao de duas variaveis oua aplicacao identica para todo 1 ≤ i ≤ n, 0 ∈ Wi⊂◦Rn para todo 1 ≤ i ≤ n + 1 e gi : Wi → Wi+1 euma bijecao elementar de classe C1 tal que gi(0) = 0 e det(Dwigi) = 0 para todo wi ∈ Wi e qualquer1 ≤ i ≤ n.


Demonstracao. Denotamos por πm : Rn → Rm a projecao para as primeiras m coordenadas,0 ≤ m ≤ n. Seja t1 := t. Por inducao sobre m, construımos uma aplicacao tm : Um → Rn de classe C1

tal que 0 ∈ Um⊂◦Rn, tm(0) = 0, det(D0tm) = 0 e πm−1 ◦ tm = πm−1|Um . Para m = 1, o fato e obvio,pois π0 = 0. Suponhamos agora que o fato e valido para 1 ≤ m ≤ n.

E claro de πm−1 ◦ tm = πm−1|Um que tm(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xm−1, cm, . . . , cn), onde cm, . . . , cn :Um → R sao funcoes de classe C1. Segue de det(D0tm) = 0 que um dos ∂cm

∂xm(0), . . . , ∂cn∂xm

(0) nao e

nulo. Digamos, ∂ck∂xm

(0) = 0, m ≤ k ≤ n. Denotemos por pm a aplicacao que permuta as variaveis

xm e xk. Entao (pm ◦ tm)(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xm−1, hm, . . . ) e a funcao hm : Um → R de classe C1

satisfaz hm(0) = 0 e ∂hm

∂xm(0) = 0. A aplicacao elementar gm : Um → Rn, dada por suas componentes

x1, . . . , xm−1, hm, xm+1, . . . , xn, satisfaz gm(0) = 0, det(D0gm) = ∂hm

∂xm(0) = 0 e πm ◦ pm ◦ tm = πm ◦ gm.

Pelo Teorema 2.12.1 (da funcao inversa), existem vizinhancas abertas 0 ∈ Vm⊂◦Um e 0 ∈ Um+1 ⊂◦Rntais que gm|Vm : Vm → Um+1 e uma bijecao cuja inversa g−1

m e de classe C1. Resta definir tm+1 :=pm ◦ tm ◦ g−1

m : Um+1 → Rn, pois πm ◦ pm ◦ tm = πm ◦ gm implica πm ◦ tm+1 = πm ◦ pm ◦ tm ◦ g−1m =

πm ◦ gm ◦ g−1m = πm|Um+1 .

Note que tn+1 = 1Un+1 e que pm ◦ pm = 1Rn para todo 1 ≤ m ≤ n. Daı, pm ◦ tm+1 ◦ gm|Vm =tm|Vm . Fazendo Wn+1 := Un+1 e Wm := g−1

m (Wm+1)⊂◦Vm⊂◦Um para cada 1 ≤ m ≤ n, obtemos adecomposicao t|W1 = p1 ◦ · · · ◦ pn ◦ gn ◦ · · · ◦ g1 do lema por inducao sobre m ■

3.4.3. Lema. Sejam U1t1−→ U2

t2−→ U3 bijecoes de classe C1 tais que det(Dxt1) = 0 e det(Dyt2) = 0para todos x ∈ U1 e y ∈ U2, onde U1, U2, U3 ⊂◦Rn. Suponhamos que∫

Rn

f1(y) dy =

∫Rn

f1(t1(x)

)·∣∣det(Dxt1)

∣∣dx, ∫Rn

f2(z) dz =

∫Rn

f2(t2(y)

)·∣∣det(Dyt2)

∣∣ dypara quaisquer funcoes contınuas f1, f2 : Rn → R com suportes compactos contidos respectivamente emU2 e em U3, supp f1 ⊂ U2 e supp f2 ⊂ U3. Entao∫

Rn

f(z) dz =

∫Rn

f((t2 ◦ t1)(x)

)·∣∣∣det (Dx(t2 ◦ t1)

)∣∣∣dxpara qualquer funcao contınua f : Rn → R com suporte compacto contido em U3, supp f ⊂ U3.

Demonstracao. Temos ∫Rn

f(z) dz =

∫Rn

f(t2(y)

)·∣∣ det(Dyt2)

∣∣dy.Pelas observacoes logo apos o Teorema 3.4.1, a funcao contınua f1 : y 7→ f

(t2(y)

)·∣∣ det(Dyt2)

∣∣ tem

suporte compacto, supp f1 ⊂ t−12 (supp f) ⊂ U2. Portanto∫

Rn

f(z) dz =

∫Rn

f1(y) dy =

∫Rn

f1(t1(x)

)·∣∣det(Dxt1)

∣∣dx =

=

∫Rn

f(t2(t1(x)

))·∣∣det(Dt1(x)t2)

∣∣ · ∣∣ det(Dxt1)∣∣dx.

Resta usar o Lema 2.2 (regra da cadeia) e propriedades do determinante:∣∣∣det (Dx(t2 ◦ t1))∣∣∣ = ∣∣∣ det ((Dt1(x)t2) ◦ (Dxt1)

)∣∣∣ ==

∣∣det(Dt1(x)t2) · det(Dxt1)∣∣ = ∣∣det(Dt1(x)t2)

∣∣ · ∣∣ det(Dxt1)∣∣ ■

Demonstracao do Teorema 3.4.1. Seja p ∈ U1. Pelo Lema 3.4.2, existe uma vizinhanca aberta

p ∈ Wp⊂◦U1 tal que Wp

t|Wp−→ t(Wp) e a composta de (duas) translacoes, de permutacoes de variaveis


e de aplicacoes elementares. Pela consideracao de casos particulares e pelo Lema 3.4.3, o teorema valepara t|Wp . Temos uma cobertura aberta U2 =

∪p∈U1

t(Wp) de U2 e, portanto, do compacto K := supp f .

Pela Proposicao 3.3.2, obtemos uma particao da unidade φj : Rn → [0, 1], 1 ≤ j ≤ k, subordinada a

essa cobertura. Isto significa quek∑j=1

φj |K = 1|K e que, para todo 1 ≤ j ≤ k, φj e de classe C∞ e existe

pj ∈ U1 tal que suppφj ⊂ t(Wpj ).

Denotemos fj := φj · f . Claro quek∑j=1

fj = f e que supp fj ⊂ suppφj ∩ supp f . Logo, fj tem suporte

compacto e supp fj ⊂ t(Wpj ). Ja que o teorema vale para fj e t|Wpj, temos

∫Rn

f(y) dy =

∫Rn

k∑j=1

fj(y) dy =k∑j=1

∫Rn

fj(y) dy =k∑j=1

∫Rn

fj(t(x)

)·∣∣det(Dxt)

∣∣dx =

=

∫Rn

k∑j=1

fj(t(x)

)·∣∣det(Dxt)

∣∣ dx =

∫Rn

f(t(x)

)·∣∣det(Dxt)

∣∣dxpelo item 4 da Proposicao 3.1.6 ■

3.4.4. Coordenadas polares, cilındricas e esfericas. Para U ′1 := (0,∞) × [a, a + 2π) e U2 :=

R2 \{0}, as formulas x := r cosϑ e y := r senϑ definem coordenadas polares em R2, ou seja, uma bijecao

t : U ′1 → U2. A matriz jacobiana

[cosϑ −r senϑsenϑ r cosϑ

]de t tem determinante det(D(r,ϑ)t) = r.

Para U ′1 := (0,∞) × [a, a + 2π) × R e U2 := R3 \ (0, 0,R), as formulas x := r cosϑ, y := r senϑ e

z := h definem coordenadas cilındricas em R3, ou seja, uma bijecao t : U ′1 → U2. A matriz jacobiana[

cosϑ −r senϑ 0

senϑ r cosϑ 0

0 0 1

]de t tem determinante det(D(r,ϑ,h)t) = r.

Para U ′1 := (0,∞) × [a, a + 2π) × [b, b + π) e U2 := R3 \ {0}, as formulas x := r senα cosϑ, y :=

r senα senϑ e z := r cosα definem coordenadas esfericas em R3, ou seja, uma bijecao t : U ′1 → U2.

A matriz jacobiana

[senα cosϑ r cosα cosϑ −r senα senϑ

senα senϑ r cosα senϑ r senα cosϑ

cosα −r senα 0

]de t tem determinante det(D(r,α,ϑ)t) = r2 senα.

Alguns exemplos de uso dessas coordenadas. Seja R a regiao em R2 dada por R :={(x, y) ∈ R2 |

0 ≤ x, y, a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2}, onde 0 ≤ a < b. Entao∫

Rln(x2 + y2) dx dy =

∫R′ r ln(r

2) dϑdr =∫ ba

( ∫ π2

0r ln(r2) dϑ

)dr =

= π2

∫ bar ln(r2) dr = π

4 (a2 − 2a2 ln a− b2 + 2b2 ln b)

pelo teorema de Fubini, onde R′ :={(r, ϑ) ∈ R2 | a ≤ r ≤ b, 0 ≤ ϑ ≤ π

2

}.

O volume da bola B(0, R) e igual∫B(0,R)

1 =∫ π0

( ∫ 2π

0

( ∫ R0r2 senα dr

)dϑ

)dα = 4π

3 R3.

As vezes precisamos lembrar os metodos de integracao de funcoes de uma variavel que aprendemosno calculo I. Fazendo a substituicao padrao r := 2

32

t1−t2 , obtemos

∫B(0,1)

dx dy dz√x2+y2+z2+2

=∫ π0

( ∫ 2π

0

( ∫ 1

0r2√r2+2

senα dr)dϑ

)dα = 4π

∫ 1

0r2√r2+2

dr =

= 4π∫ 1

0r2√r2+2

dr = 4π∫√

3−√2

0

(2

(1−t)3 + 2(1+t)3 − 1

(1−t)2 − 1(1+t)2 − 1

1−t −1

1+t

)dt = . . .


4. Variedades e formas

O mal dos mortais sao variedades;em nenhum lugar problemas desta mesma envergadura se encontram.

— Esquilo, pai da tragedia

. . . superfıcies foram inventadas pelo diabo.— Wolfgang Pauli

4.1. Variedades. Grosso modo, uma variedade S ⊂ Rn de dimensao m e um subconjunto que podeser localmente parametrizado por conjuntos abertos de Rm ou, se falar sobre as variedades com bordo,por abertos no semiespaco em Rm limitado por um hiperplano em Rm. Entretanto, a existencia de umaparametrizacao local e apenas uma ferramenta: a propria variedade “nem quer saber” que pode serparametrizada.

4.1.1. Definicao. Um subconjunto S ⊂ Rn e uma variedade com bordo de dimensao m se existe

uma cobertura aberta S ⊂∪i∈I

Wi, Wi⊂◦Rn, e aplicacoes Rm ◦⊃Uiφi−→ Rn de classe C∞ tais que a

restricao Hm ∩ Uiφi−→ S ∩Wi e uma bijecao para todo i ∈ I e o posto da derivada Dui φi e o maximo

possıvel, rk(Dui φi) = m, para todos i ∈ I e ui ∈ Ui, onde Hm denota o semiespaco em Rm dado

por Hm :={(x1, . . . , xm) ∈ Rm | x1 ≥ 0

}. Chamamos φi ou φi uma parametrizacao de S ∩Wi ou

parametrizacao local de S. Em palavras: uma variedade de dimensao m e um subconjunto em Rn quepossui parametrizacoes lisas locais por subconjuntos abertos do semiespaco Hm.

Denotemos por ∂Hm ≃ Rm−1 o bordo de Hm, ∂Hm :={(x1, . . . , xm) ∈ Rm | x1 = 0

}, e definamos

o bordo6 de S por ∂S :=∪i∈I

φi(∂Hm ∩ Ui). Caso ∂S = ∅, dizemos que S e uma variedade sem bordo.

Sendo maximo o posto de Dui φi, rk(Dui φi) = m, o posto de Dui(φi|∂Hm∩Ui) tambem e maximo paratodo ui ∈ ∂Hm ∩ Ui, rk

(Dui(φi|∂Hm∩Ui)

)= m− 1, pois a matriz jacobiana de φi|∂Hm∩Ui em qualquer

ponto ui ∈ ∂Hm ∩ Ui e formada pelas m − 1 ultimas colunas da matriz jacobiana de φi em ui. Daısegue que ∂S e uma variedade sem bordo de dimensao m− 1, ∂∂S = ∅.

Segue imediatamente da definicao que qualquer subconjunto aberto S ∩W , W ⊂◦Rn, de uma vari-edade S de dimensao m e uma variedade de dimensao m.

Seja S ⊂ Rn uma variedade de dimensao m. De acordo com a Definicao 2.12.9, as funcoes declasse C∞ definidas sobre subconjuntos abertos em S sao localmente restricoes de funcoes de classeC∞ definidas sobre conjuntos abertos em Rn. Por outro lado, podemos introduzir funcoes lisas sobresubconjuntos abertos de uma variedade S usando parametrizacoes locais. Felizmente, essas classes defuncoes coincidem:

4.1.2. Lema. Sejam S ⊂ Rn uma variedade de dimensao m, W ⊂◦Rn e f : S∩W → R uma funcao.

Escolhemos parametrizacoes locais Hm ∩ Uiφi−→ S ∩Wi de S, i ∈ I (como aquelas na Definicao 4.1.1).

Entao f ∈ C∞(S ∩W ) se e so se f |S∩W∩Wi ◦φi ∈ C∞(φ−1i (S ∩W ∩Wi)

)para todo i ∈ I. Alem disso,

a inversa de φi e continua para todo i ∈ I.

Demonstracao. Pela Definicao 2.12.9, a funcao f : S ∩W → R e de classe C∞ se e so se, para

cada q ∈ S ∩W , existem uma vizinhanca aberta q ∈ W ′ ⊂◦W e uma funcao f ∈ C∞(W ′) tais que

f |S∩W ′ = f |S∩W ′ . Em outras palavras, o fato que f e lisa se verifica localmente. O mesmo se aplica naverificacao do fato que f |S∩W∩Wi ◦ φi ∈ C∞(

φ−1(S ∩W ∩Wi))para todo i ∈ I.

Assim, considerando a variedade S ∩Wi no lugar de S, podemos supor sem perda de generalidadeque a variedade S e toda parametrizada (I tem um unico elemento). Em particular, temos uma bijecaoφ : Hm ∩ U → S com φ(p) = q e p ∈ Hm ∩ U . Pela algebra linear, de rk(Dpφ) = m segue que algumasm linhas apropriadas da matriz jacobiana Dpφ sao linearmente independentes. Isto significa que existe

6Tal definicao de bordo independe da escolha de parametrizacoes locais da variedade S, mas nao planejamos discutireste fato aqui.


uma projecao linear π : Rn → Rm para correspondentes m coordenadas tal que det(Dp(π ◦ φ)

)= 0.

Diminuindo U , podemos supor pelo Teorema 2.12.1 (da funcao inversa) que π ◦ φ : U → (π ◦ φ)U ⊂◦Rme uma bijecao com a inversa ψ de classe C∞.

Pela Proposicao 1.6.4, a verificacao que a inversa de φi e contınua basta realizar localmente. SejaHm∩U ′ um subconjunto aberto arbitrario emHm∩U , U ′ ⊂◦U . Temos que mostrar que φ(Hm∩U ′)⊂◦S.Ja que ψ e contınua, temos (π◦ φ)U ′ ⊂◦Rm e, portanto, π−1

((π◦ φ)U ′)⊂◦Rn e S∩π−1

((π◦ φ)U ′)⊂◦S.

Logo,

S ∩ π−1((π ◦ φ)U ′) = {

φ(x) | x ∈ Hm ∩ U, π(φ(x)

)∈ (π ◦ φ)U ′

}=

={φ(x) | x ∈ Hm ∩ U, (ψ ◦ π ◦ φ)(x) ∈ U ′} = φ(Hm ∩ U ′).

Agora, se f = f |S∩W para alguma funcao f ∈ C∞(W ), entao f ◦ φ ∈ C∞(φ−1(W )

), pois φ e de

classe C∞. Resta observar que f ◦ φ : φ−1(S ∩W ) → R e a restricao de f ◦ φ para φ−1(S ∩W ).Reciprocamente, se f : S ∩W → R e f ◦ φ ∈ C∞(

φ−1(S ∩W )), entao, tomando S ∩W no lugar

de S e φ−1(W ) no lugar de U , podemos supor sem perda de generalidade que S ⊂ φ(U) ⊂ W ⊂◦Rn ef ◦ φ ∈ C∞(

Hm ∩ U). Diminuindo novamente U ∋ p, podemos encontrar uma funcao g ∈ C∞(U) tal

que f ◦ φ = g|Hm∩U .

Definamos f := g ◦ ψ ◦ π ∈ C∞(π−1

((π ◦ φ)U

)), onde S ⊂ π−1

((π ◦ φ)U

)⊂◦Rn. Resta mostrar

que f |S = f . Sendo φ|Hm∩U = φ : Hm ∩ U → S uma bijecao, basta observar que (f ◦ φ)|Hm∩U =

g ◦ ψ ◦ π ◦ φ|Hm∩U = g|Hm∩U = f ◦ φ ■

4.1.3. Definicao. Sejam S1 e S2 variedades. Uma aplicacao contınua φ : S1 → S2 e lisa se, paraqualquer funcao f ∈ C∞(U2) com U2 ⊂◦S2, temos f ◦ φ ∈ C∞(

φ−1(U2)). Em outras palavras, uma

aplicacao entre variedades e lisa se sua composta com funcoes lisas no codomınio produz funcoes lisasno domınio.

E imediato que a composta de aplicacoes lisas entre variedades e uma aplicacao lisa, que a aplicacaode inclusao i : U ↪→ S de um subconjunto aberto U ⊂◦S de uma variedade S e lisa e que as funcoes lisasdefinidas em subconjuntos abertos de uma variedade sao aplicacoes lisas (lembre que um subconjuntoaberto de uma variedade e uma variedade). Pela Definicao 2.12.9, se S ⊂ Rn e uma variedade, entao aaplicacao de inclusao S ↪→ Rn e lisa. Pelo Lema 4.1.2, qualquer parametrizacao local φi : H

m ∩ Ui →S∩Wi de uma variedade S de dimensao m (como aquelas na Definicao 4.1.1) e sua inversa sao aplicacoeslisas entre variedades.

4.1.4. Observacao. Sejam φj : Hm ∩ Uj → S ∩ Wj , j = 1, 2, parametrizacoes locais de uma

variedade S de dimensao m. Entao a aplicacao bijetora φ−12 ◦ φ1 : Hm ∩ U ′

1 → Hm ∩ U ′2 e lisa (assim

como a sua inversa), onde Hm ∩ U ′j := φ−1

j (S ∩W1 ∩W2), j = 1, 2.

Demonstracao. Basta ver que φj : Hm ∩ U ′

j → S ∩W1 ∩W2, j = 1, 2, sao parametrizacoes locaisde S ■

Sejam S uma variedade e p ∈ S. Lembramos (vide a Definicao 2.12.9) que os vetores tangentes a Sem p ∈ S sao derivacoes locais de funcoes de classe C∞ definidas em vizinhancas abertas de p em S eque, de acordo com as regras (rv)f := r(vf) e (v1 + v2)f := v1f + v2f , todos os vetores tangentes a Sem p formam um espaco R-linear TpS chamado espaco tangente a S em p.

4.1.5. Definicao. Sejam S1 e S2 variedades, φ : S1 → S2 uma aplicacao lisa e v um vetor tangentea S1 em p ∈ S1. Definamos o vetor φv tangente a S2 em φ(p), chamado φ-imagem de v, usando a regra(φv)f := v(f ◦ φ), onde f : U2 → R e uma funcao lisa arbitraria definida numa vizinhanca aberta deφ(p) em S2, φ(p) ∈ U2 ⊂◦S2.

Essa definicao faz pleno sentido. Com efeito, p ∈ φ−1(U2)⊂◦S1 e f ◦ φ ∈ C∞(φ−1(U2)

)pela

Definicao 4.1.3. Assim, o numero v(f ◦ φ) ∈ R e bem definido. Restringindo f para uma vizinhancamenor de φ(p), φ(p) ∈ U ′

2 ⊂◦U2, vemos que f |U ′2◦φ = (f ◦φ)|φ−1(U ′

2). Portanto, v(f ◦φ) = v(f |U ′

2◦φ).


Para quaisquer funcoes f1, f2 de classe C∞ definidas em vizinhancas abertas de φ(p) em S2 e todosr1, r2 ∈ R, temos (r1f1 + r2f2) ◦ φ = r1(f1 ◦ φ) + r2(f2 ◦ φ) e (f1 · f2) ◦ φ = (f1 ◦ φ) · (f2 ◦ φ).Consequentemente,

(φv)(r1f1 + r2f2) = v((r1f1 + r2f2) ◦ φ

)= v

(r1(f1 ◦ φ) + r2(f2 ◦ φ)

)=

= r1v(f1 ◦ φ) + r2v(f2 ◦ φ) = r1(φv)f1 + r2(φv)f2,

(φv)(f1 · f2) = v((f1 · f2) ◦ φ

)= v

((f1 ◦ φ) · (f2 ◦ φ)

)=

= (f1 ◦ φ)(p) · v(f2 ◦ φ) + (f2 ◦ φ)(p) · v(f1 ◦ φ) = f1(φ(p)

)· (φv)f2 + f2

(φ(p)

)· (φv)f1,

pois v e um vetor tangente. Assim, para φv, temos verificada a Definicao 2.12.9.Pela Definicao 2.12.9 de soma e de multiplicacao por escalar de vetores tangentes de TpS, a formula

v(f ◦ φ) e linear em v. Assim, obtemos uma aplicacao linear φ : TpS1 → Tφ(p)S2 induzida por φ edenotada pelo mesmo sımbolo φ.

4.1.6. Observacao. Sejam S1φ1−→ S2

φ2−→ S3 aplicacoes lisas entre variedades e p ∈ S1. Entao acomposta φ2 ◦ φ1 induz a aplicacao linear φ2 ◦ φ1 : TpS1 → T(φ2◦φ1)pS3 que coincide com a compostade aplicacoes lineares φ1 : TpS1 → Tφ1(p)S2 e φ2 : Tφ1(p)S2 → T(φ2(φ1(p))S3.

Demonstracao. Pela Definicao 4.1.5,(φ2(φ1v)

)f = (φ1v)(f ◦ φ2) = v(f ◦ φ2 ◦ φ1) ■

4.1.7. Observacao. Sejam i : V ↪→ S a aplicacao lisa de inclusao de um subconjunto aberto V ⊂◦Snuma variedade S e p ∈ V . Entao i : TpV → TpS e um isomorfismo.

Demonstracao. A afirmacao e uma consequencia imediata do fato que os vetores tangentes saoderivacoes locais ■

4.1.8. Observacao. Sejam i : Hm ↪→ Rm a aplicacao lisa de inclusao do semiespaco Hm ⊂ Rm ep ∈ Hm. Entao i : TpH

m → TpRm e um isomorfismo.

Demonstracao. Seja v ∈ TpHm. Se iv = 0, entao para qualquer funcao lisa f : U → R definida

numa vizinhanca aberta U de p em Rm, p ∈ U ⊂◦Rm, temos vf |Hm∩U = 0. Mas toda funcao lisadefinida numa vizinhanca aberta de p em Hm numa certa vizinhanca aberta (menor) tem a formaf |Hm∩U . Isto implica v = 0.

Por outro lado, temos derivadas direcionais vp ∈ TpHm bem definidas para os vetores v ∈ Rm cuja

primeira coordenada e nao-negativa. E facil ver que ivp = vp. Em outras palavras, iTpHm contem

todos os vetores de TpRm a menos de sinal. Mas −TpHm = TpH

m, pois TpHm e um espaco R-linear ■

4.1.9. Corolario. Seja S uma variedade de dimensao m. Entao dimR TpS = m para todo p ∈ S.

Demonstracao. Pelo Observacao 4.1.7, podemos supor que a variedade S e parametrizada, ou seja,que temos uma bijecao lisa φ : Hm ∩ U → S cuja inversa ψ tambem e lisa. Pela Observacao 4.1.6,ambas as compostas das aplicacoes lineares ψ : TpS → Tψ(p)(H

m ∩ U) e φ : Tψ(p)(Hm ∩ U) → TpS sao

identicas. Resta observar que dimR Tψ(p)(Hm ∩ U) = m pelas Observacoes 4.1.7 e 4.1.8 ■

4.1.10. Lema. Seja φ : Hm ∩ U → S ∩W uma parametrizacao local de uma variedade S ⊂ Rn,onde U ⊂◦Rm e W ⊂◦Rn, e seja q ∈ Hm ∩ U . Entao, em termos das coordenadas (x1, . . . , xm) emRm e (y1, . . . , yn) em Rn, denotando por φ1, . . . , φn as componentes de φ, a aplicacacao linear φ :

Tq(Hm ∩ U) → Tφ(q)S e dada por φ ∂

∂xj

∣∣q=

n∑i=1

∂φi

∂xj(q) ∂

∂yi

∣∣φ(q)

.

Demonstracao. Seja f ∈ C∞(V ) uma funcao definida numa vizinhanca aberta φ(q) ∈ V ⊂◦S ∩W .

Entao(φ ∂∂xj

∣∣q

)f = ∂

∂xj

∣∣q(f ◦ φ) =

n∑i=1

∂f∂yi

(φ(q)

)∂φi

∂xj(q) =

( n∑i=1

∂φi

∂xj(q) ∂

∂yi

∣∣φ(q)

)f pelo Lema 2.2 (regra

da cadeia) ■


4.1.11. Lema. Sejam S uma variedade, p ∈ V ⊂◦S e f ∈ C∞(V ). Entao existe uma funcao

f ∈ C∞(S) com suporte compacto contido em V , supp f ⊂ V , que coincide com f numa vizinhanca

aberta p ∈ V ′ ⊂◦V , f |V ′ = f |V ′ .

Demonstracao. Temos uma parametrizacao local φ : Hm ∩ U → S ∩W com p ∈ S ∩W , ondeS ⊂ Rn e W ⊂◦Rn. Tomando V ∩W no lugar de V , podemos supor sem perda de generalidade queV ⊂ S ∩W .

Basta construir uma funcao f ′ ∈ C∞(V ) que coincide com f numa vizinhanca aberta p ∈ V ′ ⊂◦V ,

f ′|V ′ = f |V ′ , e cujo suporte e compacto e contido em V , supp f ′ ⊂ V , pois podemos definir f(y) :={f ′(y) se y ∈ V0 se y ∈ V ′′ , onde V

′′ := S \ supp f ⊂◦S (por definicao, supp f ′ ⊂f S) e S = V ∪ V ′′. Real-

mente, f ′|V ∩V ′′ = 0 implica que a definicao de f e correta e o fato que f ∈ C∞(S) se verifica localmente.Sendo φ e sua inversa contınuas, um subconjuntoK ⊂ Hm∩U e um compacto se e so se φ(K) ⊂ S∩W

e um compacto pelo Lema 3.3.1. Assim, podemos supor que V = S = Hm ∩ U .Para alguns 0 < r0 < r1, temos B(p, 2r1) ⊂ U e, devido ao Corolario 2.9, existe uma funcao lisa

g : Rm → [0, 1] tal que supp g ⊂ B(p, r1) e g|B(p,r0)= 1. Facamos f ′ := fg|V . O subconjunto

Hm ∩ B(p, r1) ⊂ Hm ∩ B(p, 2r1) ⊂ Hm ∩ U = V e um compacto em Rm e supp f ′ ⊂ Hm ∩ B(p, r1),pois supp g ⊂ B(p, r1). Logo, supp f ′ e um compacto. Definindo V ′ := Hm ∩ B(p, r0), vemos queg|B(p,r0)

= 1 implica f ′|V ′ = f |V ′ ■

4.1.12. Definicao. Todo espaco R-linear V de dimensao finita admite duas orientacoes. Cada escolhade uma base linear b1, . . . , bm ∈ V detemina uma orientacao. Se L : V → V e uma transformacao linear,a orientacao relacionada com a base Lb1, . . . , Lbm e a mesma se detL > 0, e e a oposta se detL < 0.Uma orientacao de uma variedade S e uma escolha de orientacoes de todos os espacos tangentes TpS,p ∈ S, que depende de p de maneira contınua, ou seja, que e localmente a mesma. Assim, para orientaruma variedade S de dimensao m, podemos localmente parametrizar S por subconjuntos abertos dosemiespaco Hm munido de uma orientacao fixa de modo que quaisquer duas parametrizacoes locais queenvolvem um mesmo ponto p ∈ S providenciam em TpS a mesma orientacao. Dadas parametrizacoeslocais de S ⊂ Rn, isto e, bijecoes lisas φi : H

m ∩ Ui → S ∩Wi, i ∈ I, com inversas lisas, onde Ui⊂◦Rme Wi⊂◦Rn para todo i ∈ I e S ⊂

∪i∈I

Wi, definamos bijecoes φ−1j ◦ φi : Hm ∩ Uij → Hm ∩ Uji, i, j ∈ I,

fazendo Hm∩Uij := φ−1i (S ∩Wi∩Wj), como na Observacao 4.1.4. Pedindo que det

(Dq(φ

−1j ◦φi)

)> 0

para todos q ∈ Uij e i, j ∈ I, obtemos uma orientacao induzida em S. (Note que Dq(φ−1j ◦φi) e de fato

a aplicacao linear φ−1j ◦ φi : Tq(Hm ∩ Uij) → Tφ−1

j (φi(q))(Hm ∩ Uji).)

4.1.13. Definicao. Seja S uma variedade. Um campo F sobre S e uma aplicacao F : C∞(S) →C∞(S) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) para todosf1, f2 ∈ C∞(S) e r1, r2 ∈ R. Sejam F, F1, F2 campos sobre S e seja g ∈ C∞(S). Como antes (vide aDefinicao 2.10.4), as regras (gF )f := g(Ff), (F1+F2)f := F1f +F2f e [F1, F2]f := F1(F2f)−F2(F1f),onde f ∈ C∞(S), definem campos gF , F1 + F2 e [F1, F2] sobre S.

4.1.14. Observacao. Sejam F1, F2 campos sobre uma varidade S e f ∈ C∞(S). Entao [fF1, F2] =f [F1, F2]− (F2f)F1.

Demonstracao. Para qualquer g ∈ C∞(S), temos

[fF1, F2]g = (fF1)(F2g)− F2

((fF1)g

)= f

(F1(F2g)

)− F2

((f(F1g)

)=

= f(F1(F2g)

)− (F2f)(F1g)− f

(F2(F1g)

)= f

([F1, F2]g

)−

((F2f)F1

)g =

(f [F1, F2]− (F2f)F1

)g ■

4.1.15. Lema. Todo campo F sobre uma variedade S pode ser visto como uma famılia Fp ∈ TpS,p ∈ S, de vetores tangentes, isto e, (Ff)(p) = Fpf para todos f ∈ C∞(S) e p ∈ S. Podemos restringirF para qualquer subconjunto aberto V ⊂◦S, obtendo um campo F |V sobre a variedade V .


Demonstracao. De fato, repetimos aqui a demonstracao da Proposicao 2.10.6.Seja p ∈ S. Observemos que (Ff1)(p) = (Ff2)(p) se as funcoes f1, f2 ∈ C∞(S) coincidem numa

vizinhanca aberta p ∈ V ⊂◦S, f1|V = f2|V . Com efeito, pelo Lema 4.1.11, podemos encontrar uma

vizinhanca aberta p ∈ V ′ ⊂◦V e uma funcao f ∈ C∞(S) tais que supp f ⊂ V e f |V ′ = 1. Portanto,

(f1 − f2)f = 0 e f(Ff1 − Ff2) + (f1 − f2)F f = 0. Calculando os valores em p, obtemos (Ff1)(p) =(Ff2)(p).

Sejam p ∈ V ⊂◦S e f ∈ C∞(V ). Definamos Fpf := (F f)(p), onde f ∈ C∞(S) e uma funcao obtida

pelo Lema 4.1.11. Pela observacao acima, Fpf independe da escolha de f . Pelo mesmo motivo, Fpf de-pende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhanca aberta de p. Do modo semelhante,a linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facilmente as correspondentes propriedadesde Fp. Alem disso, (Ff)(p) = Fpf para qualquer f ∈ C∞(S).

Seja V ⊂◦S. Para f ∈ C∞(V ) e qualquer p ∈ V , definamos (F |V f)(p) := Fpf . A verificacao queF |V f ∈ C∞(V ) se realiza localmente: pelo Lema 4.1.11, existem uma vizinhanca aberta p ∈ V ′ ⊂◦V e

uma funcao f ∈ C∞(S) tais que f |V ′ = f |V ′ . De F f ∈ C∞(S) segue, pela observacao acima, que F |V fe lisa sobre V ′. A linearidade e a regra de Leibniz para F |V se verificam diretamente ■

4.1.16. Lema. Seja v ∈ TpS um vetor tangente a uma variedade S num ponto p ∈ S. Entao existeum campo F sobre S tal que Fp = v.

Demonstracao. Se S admite uma parametrizacao φ : Hm ∩ U → S, o fato segue das Obser-vacoes 4.1.7 e 4.1.8 e das Proposicoes 2.10.3 e 2.10.6. Assim, no caso geral, podemos supor que temosum campo F ′ sobre V com F ′

p = v, onde p ∈ V ⊂◦S. Pelo lema 4.1.11, encontramos uma vizinhanca

p ∈ V ′ ⊂◦V e uma funcao f ∈ C∞(S) com suporte compacto tais que supp f ⊂ V e f |V ′ = 1. O campo

F ′′ := (f |V )F ′ sobre V se estende a um campo F sobre S, fazendo Fy := F ′′y se y ∈ V e Fy := 0 se

y ∈ S \ V . Realmente, a linearidade e a regra de Leibniz para F definido pela regra (Fg)(y) := Fygse verificam diretamente. Basta entao entender que Fg ∈ C∞(S) para todo g ∈ C∞(S). Essa tarefa

se realiza localmente: (Fg)|V = F ′′(g|V ) ∈ C∞(V ) e (Fg)|V ′′ = 0, onde V ′′ := S \ supp f ⊂◦S eS = V ∪ V ′′. Resta notar que Fp = v ■

4.1.17. Lema. Sejam S uma variedade, p ∈ V ⊂◦S e F ′ um campo sobre V . Entao existem umavizinhanca aberta p ∈ V ′ ⊂◦V e um campo F sobre S tais que F |V ′ = F ′|V ′ .

Demonstracao. Como na demonstracao do lema anterior, encontramos pelo Lema 4.1.11 umavizinhanca p ∈ V ′ ⊂◦V e uma funcao f ∈ C∞(S) com suporte compacto tais que supp f ⊂ V e f |V ′ = 1

e estendemos o campo (f |V )F ′ sobre V a um campo F sobre S ■

4.1.18. Lema. Sejam F um campo sobre uma variedade S de dimensao m e p ∈ S tais que Fp = 0.

Entao existem campos F1, . . . , Fm+1 sobre S e funcoes f1, . . . , fm+1 ∈ C∞(S) tais que F =m+1∑i=1

fiFi e

fi(p) = 0 para todo 1 ≤ i ≤ m+ 1.

Demonstracao. Se tomar no lugar de S uma vizinhanca aberta p ∈ V ⊂◦S que admite umaparametrizacao, pelas Proposicao 2.10.6 e Observacoes 4.1.7 e 4.1.8, existem campos F ′

1, . . . , F′m sobre

V e funcoes f ′1, . . . , f′m ∈ C∞(V ) tais que f ′i(p) = 0 para todo 1 ≤ i ≤ m e F |V =

m∑i=1

f ′iF′i . Diminuindo

a vizinhanca aberta V , pelos Lemas 4.1.11 e 4.1.16, podemos estender as funcoes e os campos. Assim,obtemos campos F1, . . . , Fm sobre S e funcoes f1, . . . , fm ∈ C∞(S) tais que Fm+1|V ′ = 0 e fi(p) = 0

para todo 1 ≤ i ≤ m, onde Fm+1 := F −m∑i=1

f ′iF′i e p ∈ V ′ ⊂◦V . Resta fazer fm+1 = 1 − f , onde

f ∈ C∞(S) com supp f ⊂ V ′ e f(p) = 1, pois fm+1Fm+1 = Fm+1 ■

4.2. Formas. Seja S uma variedade. Uma 0-forma sobre S e simplesmente uma funcao lisa sobre S.O conceito de 1-forma sobre S e dual ao de campo sobre S (por exemplo, o gradiente de uma funcao lisae um campo de vetores cotangentes, ou seja, uma 1-forma). Em seguida, precisaremos de um conceitomais geral.


4.2.1. Definicao. Sejam S uma variedade e k ∈ N. Por definicao, uma k-forma ω sobre S e algo queproduz uma funcao ω(F1, . . . , Fk) ∈ C∞(S) para quaisquer k campos F1, . . . , Fk sobre S satisfazendoas seguintes identidades7

ω(F1, . . . , Fi−1, Fi + F ′i , Fi+1, . . . , Fk) =

ω(F1, . . . , Fi−1, Fi, Fi+1, . . . , Fk) + ω(F1, . . . , Fi−1, F′i , Fi+1, . . . , Fk),

ω(F1, . . . , Fi−1, fFi, Fi+1, . . . , Fk) = fω(F1, . . . , Fi−1, Fi, Fi+1, . . . , Fk)

para quaisquer 1 ≤ i ≤ k, f ∈ C∞(W ) e campos F1, . . . , Fi−1, Fi, F′i , Fi+1, . . . , Fk sobre S.

Sejam ω, ω′ k-formas sobre S, F1, . . . , Fk campos sobre S e f ∈ C∞(S). Entao as formulas

(fω)(F1, . . . , Fk) := fω(F1, . . . , Fk), (ω + ω′)(F1, . . . , Fk) := ω(F1, . . . , Fk) + ω′(F1, . . . , Fk)

definem as k-formas fω e ω + ω′ sobre S.

4.2.2. Lema. Seja ω uma k-forma sobre uma variedade S. Entao, para quaisquer campos F 1, . . . , F k

sobre S e todo p ∈ S, o numero ω(F 1, . . . , F k)(p) ∈ R depende apenas de p e dos vetores tangentesF 1p , . . . , F

kp ∈ TpS, ω(F

1, . . . , F k)(p) = ω(F 1p , . . . , F

kp ). Alem disso, podemos restringir ω para qualquer

subconjunto aberto V ⊂◦S, obtendo uma k-forma ω|V sobre a variedade V .

Demonstracao. Para mostrar a primeira afirmacao, podemos, mantendo os vetores tangentesF 1p , . . . , F

kp , trocar um por um os campos F 1, . . . , F k. Pela primeira identidade na Definicao 4.2.1,

basta entender que ω(F 1, . . . , F k)(p) = 0 se F ip para algum 1 ≤ i ≤ k. Isto segue do Lema 4.1.18 e daDefinicao 4.2.1.

Note que, pelo Lema 4.1.16, o numero ω(v1, . . . , vk) ∈ R e definido para todos v1, . . . , vk ∈ TpS.A segunda afirmacao segue da primeira: para quaisquer campos F 1, . . . , F k sobre V e todo p ∈ V ,

definimos ω(F 1, . . . , F k)(p) := ω(F 1p , . . . , F

kp ) e verificamos localmente que ω(F 1, . . . , F k) ∈ C∞(V )

usando o Lema 4.1.17 e a primeira afirmacao ■

4.2.3. Definicao. Seja φ : S1 → S2 uma aplicacao lisa entre variedades e ω uma k-forma sobreS2. Para todos p ∈ S1 e v1, . . . , vk ∈ TpS1, definamos φ∗ω(v1, . . . , vk) := ω(φv1, . . . , φvk). PelosDefinicao 4.2.1 e Lema 4.2.2, essa formula e correta e φ∗ω(v1, . . . , vk) e linear em cada vi (para p fixo).Sejam F 1, . . . , F k campos sobre S1. Para todo p ∈ S1, facamos φ∗(F 1, . . . , F k) = φ∗ω(F 1

p , . . . , Fkp )

7Rigorosamente falando, uma k-forma deve ainda ser alternante, o que sera exigido mais tarde.


Indice

Se alguem nao esta conseguindo lembrar estes assuntos,talvez ainda nao nasceu ou nao tem

sua (seu) namorada (namorado) na plateia.

0-forma 36-4bk-forma (nao alternada) 37-1n-bloco fechado 23-4aplicacao composta 2-15baplicacao contınua 2-16aplicacao de classe C0 8-9baplicacao de classe C1 8-6baplicacao de classe C∞ 8-4baplicacao de classe Ck 8-5baplicacao derivavel num ponto 7-10aplicacao derivavel 8-9baplicacao elementar 29-10baplicacao induzida de espacos tangentes 34-10aplicacao lisa entre variedades 33-20aplicacao pequena em comparacao com |h| 7-12axioma de Hausdorff 1-19bloco fechado 4-19bbola aberta 1-9bordo de uma variedade 32-20bordo do semiespaco 32-19caminho de classe C0 5-4bcaminho de classe C1 6-1caminho de classe C∞ 6-2caminho de classe Ck 6-1caminho diferenciavel 5-2bcaminho 5-3bcampo sobre uma variedade 35-13bcampo vetorial suave 11-3bcobertura aberta 27-15bcobertura finita 27-13bcompacto 4-21componentes de uma aplicacao 2-17bcomutador de campos 12-4, 35-10bconjunto de nıvel 18-9convergencia uniforme de funcoes 4-10bcoordenadas cilındricas 31-15coordenadas esfericas 31-13bcoordenadas polares 31-12curva integral de um campo 14-2curva parametrizada 5-3bderivada de uma aplicacao num ponto 7-18derivada direcional 11-16desigualdade triangular 1-6equacao linear do espaco tangente 20-1b, 21-9b

espaco tangente 11-12fecho de um subconjunto 27-12bfuncao caracterıstica de um subconjunto 28-8bfuncao de classe C∞ sobre subconjunto 21-19funcao de projecao 3-17bfuncao integravel 5-1, 24-1funcao que preserva limites 3-1funcao uniformemente contınua 4-18grafico de uma funcao 21-7gradiente de uma funcao 21-10imagem de um vetor tangente 33-6bimagem inversa 2-17integral de Riemann 23-4, 24-1, 28-18b, 28-11bintegral impropria 28-7bintegral inferior 23-13bintegral superior 23-13blimite de uma sequencia 2-8limite uniforme 4-9bmınimo local de uma funcao 9-1mınimos condicionados 18-7maximo local de uma funcao 9-2maximos condicionados 18-7matriz hessiana de uma funcao 9-13bmatriz jacobiana 8-15, 8-12bmatriz nao-degenerada 19-15matriz simetrica positiva 9-19bmudanca de variaveis 28-19, 28-4bmultiplicadores de Lagrange 18-13norma de uma aplicacao linear 16-18bnorma de uma funcao 4-16bnorma em Rn 6-18normas equivalentes 6-19boperador diferencial de ordem 1 11-3borientacao de um espac co linear 35-19orientacao de uma variedade 35-21parametrizacao de uma variedade 32-16parametrizacao lisa local 32-18parametrizacao local de uma variedade 32-17particao da unidade subordinada 27-2bparticao da unidade 27-16b, 27-5b, 27-2bparticao de um n-bloco 23-11particao de um segmento 23-8permutacao de variaveis 29-16polinomio de Taylor de uma funcao 14-16b, 14-2b


ponto crıtico de uma funcao 15-20bponto de sela no grafico de uma funcao 15-11bponto liso de um conjunto de nıvel 20-8bposto de uma matriz 18-12propriedade local de uma aplicacao 2-2brefinamento de uma particao 23-14regra da cadeia 7-13bregra de Leibniz 11-4, 11-1brestricao de uma aplicacao 2-21bsemiespaco 32-15sequencia convergente 2-7soma de k-formas 37-9soma de Riemann inferior 23-15bsoma de Riemann superior 23-15bsoma de campos 12-3, 35-10bsubcobertura 27-14bsubconjunto aberto 1-8subconjunto fechado 1-10

subconjunto limitado 4-20suporte de uma funcao 27-10bsupremo 4-15b, 4-2bteorema da funcao implıcita 17-3, 17-11, 17-14teorema da funcao inversa 16-7b, 16-2bteorema de Fubini 26-12btopologia induzida 1-6btopologia padrao em Rn 1-20translacao 29-18variedade com bordo 32-12variedade sem bordo 32-20variedade 32-12vetor aceleracao 6-7vetor tangente a U em p ∈ U 10-1bvetor tangente a um subconjunto 21-22vetor velocidade 6-6vizinhanca aberta 1-18volume de um n-bloco 23-5

sma0332. notas de aula do calculo...

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