slide 02

Cinemática del Robot

Denavit-Hartenbergg

Ricardo Rodríguez [email protected]@uni.edu.pe

M.Sc R. Rodríguez Bustinza1

Para describir la relación que existe entre dos elementoscontiguos se puede hacer uso de cualquier sistema dereferencia ligado a cada elemento, la forma habitual que sesuele utilizar en robótica es la representación de DenavitDenavit--suele utilizar en robótica es la representación de DenavitDenavit--HartenbergHartenberg (D(D--H)H).

Según la representación DD--HH escogiendo adecuadamente losSegún la representación DD--HH, escogiendo adecuadamente lossistemas de coordenadas asociados a cada eslabón, seráposible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformacionesbásicas que dependen exclusivamente de las característicasgeométricas del eslabón.

1. Rotación alrededor del eje zi-1 un ángulo θi

2. Traslación a lo largo de zi-1 una distancia d; vector di(0,0,di)

3 Traslación a lo largo de x una distancia a ; vector a (a 0 0)3. Traslación a lo largo de xi una distancia ai; vector ai(ai,0,0)

4. Rotación alrededor del eje xi un ángulo αi

2 M.Sc R. Rodríguez Bustinza

Dado que el producto de matrices no es conmutativo, lasq p ,transformaciones se han de realizar en el orden indicado.

)()00()00()(1i TTdTTA θ ),()0,0,(),0,0(),(1iiiii

i xTaTdTzTA αθ=−

Realizando el producto entre las matrices (θ a d α son losRealizando el producto entre las matrices. (θi, ai, di, αi son losparámetros DD--HH del eslabon i).

⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 0001001000100SC θθ

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡ −

=− 000001

0010001

00100001

0000

1 ii

i

ii

ii

ii SC

aCSSC

Aααθθ

θθ

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ 100000

10000100

1000100

10000100 iii

i CSdA

αα

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−

−1 iiiiiii

iiiiiii

i SaCSCCSCaSSSCC

Aθθαθαθθθαθαθ

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

10000 iii

i dCSA

αα

3

⎦⎣

M.Sc R. Rodríguez Bustinza

Algortimo de Denavit-HartenbergAlgortimo de Denavit Hartenberg

D-H1. Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón(pmóvil de la cadena) y acabando con n (último eslabónmóvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del

b trobot.

D-H2. Numerar cada articulación comenzando por 1 (qued l i DOF) bcorresponde al primer DOF) y acaba en n.

D-H3. Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, elj á i j d i Si i áti á l jeje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a

lo largo del cual se produce el desplazamiento.

D H4 P i d 0 1 it l j b l j d lD-H4. Para i de 0 a n-1, situar el eje zi sobre el eje de laarticulación i+1.

D H5 Sit l i d l i t d l b {S } l iD-H5. Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquierpunto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo queformen un sistema dextrógiro con z0.

4

g 0

M.Sc R. Rodríguez Bustinza

D-H6 Para i de 1 a n-1 situar el sistema {S } (solidario al eslabónD-H6. Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabóni) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-

1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaria {Si} en el puntode corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en laarticulación i+1.

D-H7. Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.

D-H8. Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi yzi.

D-H9. Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot, para zncoincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

D-H10. Obtener θi como el ángulo que hay que girar entorno azi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos.

D-H11. Obtener di como la distancia medida lo largo de zi-1, que,habría que desplazar {Si-1} para que xi-1 y xi quedenalineados.


D-H12. Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi (quei g i (qahora coincidira xi-1) que habría que desplazar elnuevo {Si-1} para que su origen coincida con {Si}.

D-H13. Obtener αi como el ángulo que hay que girar entorno a xipara que el nuevo {Si-1} coincida totalmente con {Si}.

D-H14. Obtener las matrices de transformación i-1Ai

D-H15. Obtener las matrices de transformación que relaciona elqsistema de la base con el extremo del robot :

T=0A1,1A2 .. n-1An.1, 2 n

D-H16. La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) yposición (submatriz de traslación) del extremo referido a lap ( )base en función de las n coordenadas articulares.

Los 4 parámetros de DD--HH (θθii,, ddii,, aaii,, ααii) dependen únicamentep ( ii,, ii,, ii,, ii) pde las características geométricas de cada eslabón y delas articulaciones que le unen con el anterior y siguiente.


θθii Es el ángulo que forman los ejes xi-1 y xi medido en un planoperpendicular al eje z usando la regla de la mano derecha Seperpendicular al eje zi-1, usando la regla de la mano derecha. Setrata de un parámetro variable en articulaciones giratorias.

dd Es la distancia a lo largo del eje z desde el origen del sistema deddii Es la distancia a lo largo del eje zi-1 desde el origen del sistema decoordenadas (i-1)-ésimo hasta la intersección del eje zi-1 con el ejexi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.

aaii Es la distancia a lo largo del eje xi que va desde la intereseccióndel eje zi-1 con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo, en elcaso de articulaciones giratorias. En el caso de articulacionesprismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejesz y zzi-1 y zi.

ααii Es el ángulo de separación del eje zi-1 y el eje zi, medido en unplano perpendicular al eje x utilizando la regla de la manoplano perpendicular al eje xi, utilizando la regla de la manoderecha.


Una vez obtenidos los parámetros D-H, el cálculo de lasrelaciones entre los eslabones consecutivos del robot esinmediato ya que vienen dadas por las matrices A que seinmediato, ya que vienen dadas por las matrices A, que secalculan según la expresion general dado por i-1Ai.

Las relaciones entre eslabones no consecutivos vienen dadasLas relaciones entre eslabones no consecutivos vienen dadaspor las matrices T que se obtiene como el producto de unconjunto de matrices de A.

Obtenida la matriz T, esta expresará la orientación (submatriz3x3 de rotación) y posicion (submatriz de 3x1 de traslación) delextremo del robot en función de las coordenadas articulares,con lo que quedará resuelto el problema Cinemático Directo.


EjemploEjemplo:: Solución a un problema cinemático directo para unrobot cilíndrico. En principio vamos a localizar los sistemas dereferencia para cada una de las articulaciones del robot (Fig 1)referencia para cada una de las articulaciones del robot (Fig. 1).Posteriormente determinaremos el DD--HH del robot, con lo que secostruye una tabla. Una vez calculados los parámetros de cadaeslabón, se calcula la matriz A sustituyendo en la expresiongeneral i-1Ai.

Articulación θ d a α

1 θ1 l1 0 0°2 90° d2 0 90°3 0 d3 0 0°3 0 d3 0 04 θ4 l4 0 0°


Fig. 1.


⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −

0001

00100001

00010100

0000 4411

CSSC

CSSC

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

1000010

00;

1000100

0010;

1000010

0001;

1000100

00

4

444

3

33

2

22

1

1

111

0

lCS

Ad

Ad

Al

CSA

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣

Luego calculamos la matriz T que indicará la localización final cong qrespecto al sistema de referencia de la base del robot.

⎥⎤

⎢⎡

++−

)()( 43114141

ldSSSCCCldCCSSCS

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

++−

==0

)(

1244

431141414

33

22

11

0

ldCSldSSSCCC

AAAAT

⎥⎦

⎢⎣ 1000


EjemploEjemplo:: Solución a un problema cinemático directo para unj pj p p probot IRB6400C. En principio, siguiendo con el algoritmo DD--H,H,se va a localizar los sistemas de referencia para cada una del ti l i d l b t (Fi 2)las articulaciones del robot (Fig. 2).

Articulación θ d a α1 θ 0 0 90°1 θ1 0 0 -90°2 θ2 l1 0 90°3 θ3-90° 0 l2 90°4 θ l 0 90°4 θ4 l3 0 - 90°5 θ5 0 0 90°5

6 θ6 l4 0 0°


Fig. 2.


⎥⎤

⎢⎡ −−

⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡ 00000 32332211 SlCSSCSC

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

−−=

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

−=

10000010

0;

1000010

00;

1000001000 3233

32

1

222

1111

0 ClSCA

lCS

ACS

A

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

0000

0000

0000

100010001000

665544

CSSC

CSSC

CSSC

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

−=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

−=

1000100

00;

1000001000

;

1000010

00

4

666

5555

4

3

444

3

lCS

ACS

Al

CSA

⎦⎣⎦⎣⎦⎣

Luego calculamos la matriz T que indicará la localización final conrespecto al sistema de referencia de la base del robotrespecto al sistema de referencia de la base del robot.

⎤⎡ paon

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

== 65

54

43

32

21

10 yyyy

xxxx

paonpaon

AAAAAAT

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ 1000

654321zzzz paon

15

⎦⎣M.Sc R. Rodríguez Bustinza

slide 02

Documents