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Tema 2. Aritmtica

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Ideas bsicas

1 Q t lti li di idi1. Qu es sumar, restar, multiplicar y dividir

2. Tipos de problemas aditivos y multiplicativos

3. Formas de resolver las sumas/restas y multiplicaciones/divisiones

4 Nmeros con signo y relaciones de divisibilidad4. Nmeros con signo y relaciones de divisibilidad

Cmo estudiar las operaciones?

- Qu es la suma, la resta, la multiplicacin o la divisin. En qu situaciones/problemas se utiliza

- Qu propiedades tienen las operaciones

C bt i bli t l

ConceptualConceptual

AlgebraicoAlgebraico

- Cmo obtener simblicamente el resultado de las operaciones Algortmico

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Cmo organizar el estudio de las operaciones?

Cmo resolverais los siguientes problemas?

1. Ana tiene 6 canicas y Bernardo lleva suscanicas para jugar, cuntas canicas tieneBernardo si entre los dos tienen 15 canicas?

g pQu operaciones necesitis utilizar?

2. Queremos repartir 20 rboles entre cuatrovecinos de una urbanizacin. Cuntos lecorresponden a cada uno?

Cmo organizar el estudio de las operaciones?

E t di j t t Estudio conjunto suma-resta Estudio conjunto multiplicacin-divisin Adems son operaciones inversas

Estructura Aditiva (N, +, -)

Estructura Multiplicativa (N, x, :)

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1 Estudio conceptual de la Estructura Aditiva

Estructura del Tema 2

1. Estudio conceptual de la Estructura Aditiva Significado de las operaciones Problemas aditivos Modelos para realizar operaciones y problemas

2. Estudio conceptual de la Estructura Multiplicativap p Significado de las operaciones Problemas multiplicativos Modelos para realizar operaciones y problemas

Estructura del Tema 2

3. Estudio algebraico de las operacionesg p Propiedades de suma y resta Propiedades de multiplicacin y divisin

4. Formas simblicas de obtener resultados Algoritmos de las operaciones Calculadora Clculo mental Estimacin

5. Nmeros con signo y relaciones de divisibilidad

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1 Estudio1. Estudio Conceptual de la Estructura Aditiva

Significado de las operaciones

Qu es sumar? Qu es restar?

TAREA para casa: Buscar trminos que seidentifican con sumar y con restar

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Significado de suma

Concepcin binaria: unir/combinar (combinacin de dos cantidades a las que se les asigna el mismo papel)

Concepcin unitaria: aadir (la cantidad inicial sufre un cambio de estado al aadirle la segunda cantidad, que da como resultado su incremento)

Significado de la resta

Concepcin binaria: diferencia (como resultado de la comparacin de dos cantidades)

Concepcin unitaria: quitar/separar (la cantidad inicial sufre un cambio de estado al quitarle la segunda cantidad, que da como resultado su disminucin)

Inversa de la suma. Suma donde se desconoce uno de los sumandos

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Etapas en los problemas

PROBLEMAS DE UNA ETAPA

Los problemas simples o de una etapa son los quese resuelven con una operacin aritmtica

PROBLEMAS DE UNA ETAPA

PROBLEMAS DE DOS O MS ETAPAS

Los problemas compuestos o de ms etapas son losque se resuelven con, al menos dos operaciones(iguales o diferentes)

Problemas Aditivos

Inventa varios problemas que seresuelvan con una suma o con una resta,de forma que sean diferentes

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C tid dNmero y referencia

e plcita al nmero de Cantidades

Conocidas Desconocidas

explcita al nmero de objetos

Datos Solucin o Incgnita

Tipos de Problemas Aditivos

1. Cambio

2. Combinacin

3. Comparacin3. Comparacin

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Tena 5 canicas y me dan 8, cuntastengo ahora?

T 13 l 4

Datos: 5 canicas (Estado inicial)8 canicas (Transformacin)

Problemas Aditivos de Cambio

Tengo 13 caramelos y me como 4cuntos me quedan?

Datos: 13 caramelos (Estado inicial)4 caramelos (Transformacin)

Problemas dinmicos, dependen del tiempo

Concepcin binaria de la suma/restap

Su estructura es

A T

(estado) (transformacin) (estado)

La accin es aadir/quitar o avanzar/retroceder

A B

Estaba en el piso 5 y sub 8, en qu piso me encuentro?

E t b l i 13 h t l

Datos: 5 piso (Estado inicial)8 pisos (Transformacin)

Problemas Aditivos de Cambio

Estaba en el piso 13 y ahora estoy en el 5, cuntos he bajado?

Datos: 13 piso (Estado inicial)5 piso (Estado final)

Problemas dinmicos, dependen del tiempo

Concepcin binaria de la suma/restap

Su estructura es

A T

(estado) (transformacin) (estado)

La accin es aadir/quitar o avanzar/retroceder

A B

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Tengo 5 manzanas y 8 naranjas cuntasfrutas tengo?

Tengo 13 lpices rojos y verdes si 4 son

Problemas Aditivos de Combinacin

Datos: 5 manzanas (Parte)8 naranjas (Parte)

Tengo 13 lpices rojos y verdes, si 4 sonrojos cuntos son verdes?

Problemas estticos, no dependen del tiempo

Concepcin binaria suma/resta

Datos: 13 lap. rojos y verdes(Todo)4 lap. verdes (Parte)

p

Su estructura es

A B

La accin es reunir o separar

Dos cantidades incluidas en un todo que se dan a la vez

Problemas Aditivos de Comparacin

Datos: 6 galletas (Referido)9 ll t (R f t )

Tengo 6 galletas y t tienes 9 cuntasgalletas tienes t ms que yo?

9 galletas (Referente)

Datos: 15 aos (Referido)7 aos (Comparacin)

Si tengo 15 aos y mi hermana tiene 7 menoscuntos aos tiene ella?

Problemas estticos, no dependen del tiempo

Concepcin binaria de la suma/restap

Su estructura es

A

(referente) comparacin (referido)

La accin es comparar

A BProblemas Aditivos

de Igualacin

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1. En una floristera hay 315 rosas y 205 claveles, cuntas flores hay?

2 P d t l h d P l l

Clasificar y describir los siguientes problemas

2. Pedro tena algunos euros ahorrados. Para su cumpleaos le dan 168 ms y ahora tiene 443 euros. Cuntos euros tena Pedro al principio?

3. Mara mide 28 centmetros ms que Javier. Si Mara mide 175 centmetros, cuntos centmetros mide Javier?

4. Pedro, Juan y Mara juegan a las canicas. Pedro pierde 43 canicas con Mara. Si en total ha perdido 25 canicas, cuntas ha ganado o perdido con Juan?

5. Javier tiene 37 euros menos que Carlos. Si Carlos recibe 125 euros, cuntos euros de ms o de menos que Carlos tiene Javier?

6. Irene tiene 5 aos ms que Raquel y 7 menos que Susana. Cuntos aos de ms o de menos le lleva Raquel a Susana?

Tipo de problema: cambio combinacin

Qu factores influyen en la dificultad de los problemas aditivos?

Tipo de problema: cambio, combinacin, igualacin y comparacin

Posicin de la cantidad desconocida:a + b = ?, a + ? = c, ? + b = c

Formulacin de la pregunta Lenguaje empleado Magnitud de los nmeros (datos y resultado)

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2. Estudio C t l d lConceptual de la Estructura Multiplicativa

Significado de las operaciones

Qu es multiplicar? Qu es dividir?

TAREA para casa: Buscar trminos que seidentifican con multiplicar y con dividir

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Significado de multiplicar

Suma repetida: se reitera un nmero determinado de veces (cada nmero tiene un papel diferente)

Producto cartesiano: a x b = nmero de combinaciones posibles de a elementos con belementos

5 + 5 + 5 = 3 x 5 (= 15)

Multiplicacin como Suma Repetida

5 + 5 + 5 = 3 x 5 (= 15)

a + a + a...(n) + a = n x a

multiplicador multiplicando

Los dos nmeros tienen papeles diferentes

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Multiplicacin como Producto Cartesiano

3x4

Los dos nmeros tienen el mismo papel

a x b = Card (A) x Card (B) = Card (A X B)

Significado de dividir

Divisin partitiva/Reparto: se fracciona una cantidad en un nmero de grupos (cada cantidad tiene un papel diferente)

Concepcin cuotitiva/Resta repetida: se resta una cantidad un nmero determinado de veces

Inversa de la multiplicacin. Multiplicacin donde se desconoce uno de los factores

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Divisin Partitiva/Reparto

Vamos a plantar 8 rboles en un jardn. Queremos disponerlos en 2 filas, cuntas rboles habr en cada fila?rboles habr en cada fila?

Divisin Cuotitiva/Resta reiterada

8 : 2

Vamos a plantar 8 rboles en un jardn. Queremos disponerlos en filas de 2 rboles cada una, cuntas filas habr?

Divisin Cuotitiva/Resta reiterada

8 : 2

Divisin Partitiva/RepartoVamos a plantar 8 rboles en un jardn. Queremos

disponerlos en 2 filas, cuntas rboles habr en cada fila?

Se conoce el total de elementos y el nmero

Divisin Cuotitiva/Resta reiterada

8 : 2

Vamos a plantar 8 rboles en un jardn. Queremos disponerlos

de grupos (cantidades de diferente naturaleza) No se conoce el nmero de elementos por

grupo

en filas de 2 rboles cada una, cuntas filas habr?

8 : 2 Se conoce el total de elementos y el nmero de

elementos por grupo (cantidades de igual naturaleza) No se conoce el nmero de grupos

Cuntas veces cabe un nmero en otro?

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Divisin como Inversa de la Multiplicacin

16 : 2 = x 2 = 16

a : b = b= 0 x b = a

Resumen

Multiplicacin: suma repetida o producto cartesiano

Divisin: reparto, resta repetida o inversa de la multiplicacin

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Relacin entre Operaciones

Suma Multiplicacin

Operaciones Inversas

Operaciones Inversas

Resta Divisin

Problemas Multiplicativos

Inventa varios problemas que seresuelvan con una multiplicacin o conuna divisin, de forma que seandiferentes

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Tipos de Problemas Multiplicativos

1. Proporcionalidad simple

2. Comparacin

3. Producto cartesiano3. Producto cartesiano

1. Un abuelo compra 3 dulces por nieto. Si tiene 4 nietos,cuntos dulces compra?

Problemas Multiplicativos de Proporcionalidad Simple

cuntos dulces compra?

2. Un abuelo tiene 4 nietos. Si el abuelo compra 12 dulces,cuntos dulces se puede comer cada nieto?

3. Un abuelo compra 3 dulces por nieto. Si en total ha comprado12 dulces, cuntos nietos tiene el abuelo?

Multiplicacin

Divisin partitiva

,Divisin cuotitiva

Los datos pertenecen a conjuntos diferentes Un dato indica el sumando y el otro indica el nmero de veces que se suma

Dato desconocido

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Problemas Multiplicativos de Comparacin

E ti 6 i A t i tReferente Escalar

Eva tiene 6 aos y Antonio 18, cuntas veces ms aos tiene Antonio que Eva?

Eva tiene 6 aos y su primo Antonio tres veces ms, cuntos aos tiene Antonio?

Referido o Comparado Incgnita en comparado

Antonio que Eva?

Antonio tiene tres veces los aos que Eva. Si Eva tiene 6 aos, cuntos aos tiene Antonio?

Incgnita en escalar

Incgnita en referente

Aumento vs disminucin

Problemas Multiplicativos de Producto Cartesiano

Tengo tres camisetas de diferentes colores y dos pantalones (uno deTengo tres camisetas de diferentes colores y dos pantalones (uno de rayas y uno de cuadros). De cuntas formas diferentes me puedo vestir?

Un jardn rectangular de 35 m2 tiene 5 metros de ancho, cunto mide de largo?

Combinatoria

Producto de medidas

Dato desconocido

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Tabla-resumen Problemas Multiplicativos

Problemas de estructura multiplicativa de una etapa

Proporcionalidad simple Comparacin Producto cartesiano

Multiplicacin Divisin partitivaDivisin cuotitiva Aumento Disminucin Combinatoria

Producto de medidas

Dato desconocido

Hay ms problemas multiplicativos?

1. Varias etapas

2. Problemas no rutinarios

Problemas reales Problemas de divisin con resto Problemas de divisin con resto Problemas irresolubles

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Modelos y Representaciones

1 M d l li l1. Modelos lineales

2. Modelos cardinales

3. Modelos de medida

4. Modelos numricos

pp. 214-219

5. Modelos de razn/comparacin aritmtica

6. Modelos funcionales

1. Modelos lineales

Con soporte grfico

Sin soporte grfico

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2. Modelos cardinalesEsquema rectangular

Unin repetida de conjuntos con el mismo nmero de objetos

Producto cartesiano

1 2 31

Diagrama de flechas

12

1 2 3

1

2

3

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3. Modelos de medida

Balanza

Regletas Cuisinaire

4. Modelos numricos

5 x 8 y otras posibles 5 x 8 descomposiciones de los factores

80x40 5x40 80x2 5x2 5x2 85x42

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5. Modelos de razn/comparacin aritmtica

3 x 4

1

4

3

1

12

6. Modelos funcionales

7 28x 4

estado estadooperador

: 428 7

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Trabajo Autnomo

- Actividades de reflexin y evaluacin del tema 2

- Modelos y representaciones (pp. 214-219)