sistemas numéricos
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Sistemas numéricos
Un sistema numérico son un conjunto de
símbolos y reglas que se utilizan para
representar datos numéricos o cantidades.
Se caracterizan por su base que indican elnúmero de símbolos distinto que utiliza y
además es el coeficiente que determinacual es el valor de cada símbolo
dependiendo de la posición que ocupe.
Estas cantidades se caracterizan por tener
dígitos enteros y fraccionarios.
Sistema numérico, en matemáticas, varios
sistemas de notación que se han usado o se usan
para representar cantidades abstractas
denominadas números. Un sistema numérico está
definido por la base que utiliza. La base es elnúmero de símbolos diferentes, o guarismos
(véase Numeración), necesarios para representar
un número cualquiera, de los infinitos posibles, en
el sistema. Por ejemplo, el sistema decimal,
utilizado hoy de forma universal (con la excepción
de los ordenadores o computadoras), necesita diez
símbolos diferentes o dígitos para representar un
número y es, por tanto, un sistema numérico en
base 10.
A lo largo de la historia se han usado multitud de
sistemas numéricos. En realidad, cualquier
número mayor que 1 puede ser utilizado comobase. Algunas civilizaciones usaban sistemas
basados en los números 3, 4 o 5. Los babilonios
utilizaron el sistema sexagesimal, basado en el
número 60, y los romanos (en cierta aplicaciones)
el sistema duodecimal, con el número 12 como
base. Los mayas utilizaban el sistema vigesimal,
basado en el número 20. El sistema binario, o en
base 2, fue usado por algunas tribus antiguas y
junto con el sistema en base 16 se usa en la
actualidad en los ordenadores o computadoras.
SISTEMA DECIMAL.
Este es el sistema que manejamos
cotidianamente, está formado por
diez símbolos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9} por lo tanto la base del sistema es
diez (10).
SISTEMA BINARIO.
Es el sistema que utiliza internamente el
hardware de las computadoras actuales, se
basa en la representación de cantidades
utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto subase es 2 (número de dígitos del sistema).
Cada dígito de un número en este sistemase denomina bit (contracción de binary
digit). Se puede utilizar con nombre
propio determinados conjuntos de dígitos
en binario. Cuatro bits se denominancuaterno (ejemplo: 1001), ocho bits
octeto o byte (ejemplo: 10010110), al
conjunto de 1024 bytes se le llama
Kilobyte o simplemente K, 1024
Kilobytes forman un megabyte y 1024megabytes se denominan Gigabytes.
SISTEMA OCTAL.
El sistema numérico octal utiliza ocho
símbolos o dígitos para representar
cantidades y cifras numéricas. Los dígitosson: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; la base de éste
es ocho (8) y es un sistema que se puede
convertir directamente en binario como se
verá más adelante.
SISTEMA HEXADECIMAL.
El sistema numérico hexadecimal utiliza
dieciséis dígitos y letras para representar
cantidades y cifras numéricas. Lossímbolos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E, F}; la base del sistema es
dieciséis (16). También se puede
convertir directamente en binario como se
verá más adelante. En la tabla 1.1 semuestran los primeros veintiuno números
decimales con su respectiva equivalenciabinaria, octal y hexadecimal.
DECIMAL
BINARIO
OCTAL
HEXADECIMAL
0 0000 0 0
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1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
20 10100 24 14
Tabla 1.1. Equivalencia entre sistemasde los primeros veintiuno númerosdecimales.
SISTEMAS NUMÉRICOS
Digito: Es un signo que representa una
cantidad contable. Dependiendo del
sistema de numeración, serán los
diferentes signos que se tenga pararepresentar cualquier cantidad.
Numero: Es la representación de unacantidad contable por medio de uno o más
dígitos.
Sistema de Numeración: Es un conjunto
de dígitos que sirven para representar una
cantidad contable.
El nombre del sistema de numeración que
se trate serán los diferentes dígitos
posibles para tal representación.
Así también los sistemas de numeración
se les llama base, de tal manera que elsistema de numeración binario, también
se le llama base 2.
Los sistemas de numeración más
utilizados en electrónica son:
Binario o Base 2 (0, 1)
Octal o Base 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7)
Hexadecimal o Base 16 (0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)
Decimal o Base 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9)
Suma de números Binarios: Las
posibles combinaciones al sumar dos
bits son
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 al sumar 1+1 siempre nos
llevamos 1 a la siguiente operación.
10011000
+ 00010101
———————————
10101101
Resta de números binarios El
algoritmo de la resta en sistemabinario es el mismo que en el sistema
decimal. Pero conviene repasar la
operación de restar en decimal para
comprender la operación binaria, que
es más sencilla. Los términos que
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intervienen en la resta se llaman
minuendo, sustraendo y diferencia.
Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 sonevidentes:
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1)
(en sistema decimal equivale a 2 - 1 =
1)
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en elsistema decimal, tomando una unidadprestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1
yme llevo
1, lo que equivale a decir en elsistema decimal, 2 - 1 = 1.
10001
11011001
-01010
-10101011
——————
—————————
00111
00101110
Producto de números binarios
El algoritmo del producto en binario es
igual que en números decimales; aunque
se lleva cabo con más sencillez, ya que el0 multiplicado por cualquier número da 0,
y el 1 es el elemento neutro del producto.
10110
1001
—————————
10110
00000
00000
10110
—————————
11000110
División de números binarios
La división en binario es similar a la
decimal, la única diferencia es que a la
hora de hacer las restas, dentro de ladivisión, estas deben ser realizadas en
binario.
100010010 |1101
——————
- 0000 010101
———————
10001
- 1101
———————
01000
- 0000
———————
10000
- 1101
———————
00111
- 0000
———————
01110
- 1101
———————
00001
CONVERSION
Transformar el número decimal 100
en binario.
Otra forma de conversión consiste en un
método parecido a la factorización en
números primos. Es relativamente fácildividir cualquier número entre 2. Este
método consiste también en divisiones
sucesivas. Dependiendo de si el número
es par o impar, colocaremos un cero o ununo en la columna de la derecha. Si es
impar, le restaremos uno y seguiremos
dividiendo entre dos, hasta llegar a 1.Después sólo nos queda tomar el último
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resultado de la columna izquierda (que
siempre será 1) y todos los de la columna
de la derecha y ordenar los dígitos deabajo a arriba.
Decimal (con decimales) a binarioPara transformar un número del
sistema decimal al sistema binario:
1. Se inicia por el lado izquierdo,
multiplicando cada número por 2 (si
la parte entera es mayor que 0 en
binario será 1, y en caso contrario es
0)
2. En caso de ser 1, en la siguiente
multiplicación se utilizan sólo los
decimales.3. Después de realizar cada
multiplicación, se colocan los
números obtenidos en el orden de su
obtención.
4. Algunos números se transforman en
dígitos periódicos, por ejemplo: el
0,1
0,3125 (decimal) => 0,0101
(binario).
Proceso:
0,3125 x 2 = 0,625 => 00,625 x 2 = 1,25 => 1
0,25 x 2 = 0,5 => 0
0,5 x 2 = 1 => 1
En orden: 0101 -> 0,0101
(binario)
Binario a decimal (con decimalbinario) 1. Inicie por el lado izquierdo,cada número multiplíquelo por 2 y
elévelo a la potencia consecutiva a la
inversa(comenzando por la potencia -1).
2.Después de realizar cada una de lasmultiplicaciones, sume todas y el número
resultante será el equivalente al sistemadecimal. Ejemplos
0.101001 (binario) =
0.640625(decimal). Proceso:
1*(2) elevado a (-1)=0.5
0*(2) elevado a (-2)=0
1*(2) elevado a (-3)=0.125
0*(2) elevado a (-4)=0
0*(2) elevado a (-5)=0
1*(2) elevado a (-6)=0.015625
La suma es: 0.640625
Binario a octal
Para realizar la conversión de binario aoctal, realice lo siguiente:
1) Agrupe la cantidad binaria en gruposde 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si
al terminar de agrupar no completa 3
dígitos, entonces agregue ceros a la
izquierda.
2) Posteriormente vea el valor quecorresponde de acuerdo a la tabla:
Númer
o en
binario
00
0
00
1
01
0
01
1
10
0
10
1
11
0
11
1
Númer
o en
octal
0 1 2 3 4 5 6 7
3) La cantidad correspondiente en octal seagrupa de izquierda a derecha. Ejemplos
110111 (binario) = 67 (octal).
Proceso: