sistemas no lineales, caos organización - 2003 y...

Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER

2009

María E. Torres 1

Sistemas no lineales, caos y fractales

Sistemas no lineales, caos y fractalesy fractalesy fractales

Modelización de Sistemas Biológicos por Computadora

Bioinformática - FIUNER

Dra. María Eugenia Torres

Organización - 2003Motivación e Introducción.E t bilid d CEstabilidad y Caos.Caos en sistemas discretos:

Transformarciones iteradas (Sistemas Iterados de Funciones - IFS).Exponentes de Lyapunov.La ecuación logística

22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 2

La ecuación logística.

Fractales.

ContenidoSistemas caóticos.

Existencia de comportamiento caótico.

Bifurcaciones.

Diferencias con el caso aleatorio.

Simulación de la ecuación logística, diagrama de


g , g

bifurcaciones.

Relación con los fractales y ejemplos biomédicos.

Objetivos GeneralesComprender el concepto de sistema caótico.

Diferenciar sistemas caóticos de aleatorios.

Comprender la relación que une el caos con los

fractales.

Conocer sistemas biológicos no lineales caóticos y


fractales.

Analizar la aparición de estructuras fractales en la

naturaleza.


2009

María E. Torres 2

ComplejidadEl problema de la complejidad aparece

ligado a muchas disciplinasligado a muchas disciplinasNegociosEconomíaFísicaSociología (managment, leadership)FilosofíaSustentabilidad y ecología


Sustentabilidad y ecologíaNetworksArquitectura del softwareBiología (Evolución emergente)

Complejidad y caosTodos los sistemas complejos tienen cosas en común

Muchos agentes independientes interactúan entre ellos en una gran diversidad de maneras.

La riqueza de interacciones permite que el sistema como un todo someterse a una auto-organización espontánea

Estos sistemas complejos, auto-organizativos son adaptivos.

En cierto modo han adquirido la habilidad de ofrecer orden y caos


q yen un modo especial de balance.

M. Mitchell Waldrop "Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos“, pp. 11−12, Simon & Schuster, 1992.

¿Quién creo el caos?Un médico, un ingeniero civil y una informática estaban discutiendo acerca de cuál

era la profesión más antigua del mundo.

- El médico señaló: “Bueno, en la Biblia dice que Dios creó a Eva de una costilla quele quitó a Adán. Evidentemente, esto requirió cirugía, y por eso bien puedo afirmar quela mía es la profesión más antigua de mundo.”

- El ingeniero civil interrumpió y dijo: “Pero incluso antes, en el Génesis, se diceque Dios creó el orden de los cielos y la tierra a partir de caos. Esta fue la primera ydesde luego la más espectacular aplicación de la ingeniería civil. Por lo tanto, queridodoctor, está usted equivocado: la mía es la más antigua de las profesiones.”


doctor, está usted equivocado: la mía es la más antigua de las profesiones.

- La informática se reclinó en su silla, sonrió, y dijo tranquilamente: “Pero bueno,¿quién piensan que creó el caos?”

Grady Booch, Complexitywww.booch.com/architecture/blog/artifacts/Complexity.ppt

Orígenes de la Teoría de caos.Henri Poincaré (Matemático francés, 1854 –1912).

En el campo de las ecuaciones diferenciales, realizó contribuciones claves para la t í lit ti d i dif i l j l l E f d P i éteoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo la Esfera de Poincaréy el Mapa de Poincaré (1890).

La noción de caos desapareció por cerca de un siglo.

Edward Lorenz(meteorólogo y matemático americano, 1917 - 2008 )

Noción de atractor extraño y el efecto mariposa (Butterfly effect)


Edward N. Lorenz (1996) The Essence of ChaosJames Gleick (1988) Chaos: Making a New Science

1970-1980 la teoría de caos finalmente tuvo impacto sobre la comunidad científica:Robert May (Ecologista. Australia, 1936)


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Robert MayDinámica de poblaciones animales

R l i t l jid d t bilid d id d Relaciones entre complejidad y estabilidad en comunidades

naturales.

Importantes avances en el campo de las poblaciones biológicas

aplicando técnicas matemáticas. Simple mathematical models with very complicated dynamics,Nature 261, 459 - 467 (10 June 1976);

doi:10.1038/261459a0


Desarrolló la teoría ecológica (1970-1980)

Estudios de enfermedades y de la diversidad.

Introducción: estabilidad

Generalmente tendemos a tratar con situaciones estables.

En caso contrario:

Si los cambios duran muy poco tiempo en relación a los

períodos estables los ignoramos (transitorios).

Si los cambios duran un cierto tiempo tratamos de

encontrar alguna regularidad en ellos y de no encontrar


ningún patrón estable los encasillamos dentro de los ruidos o

la física tradicional los trata como fenómenos aleatorios.

Introducción: caos

La teoría del caos retoma estos últimos casos:

Ciertos sistemas no lineales muestran un comportamiento

impredecible a pesar de:

no tener ninguna influencia del azar y

ser enteramente determinísticos.


Esto puede suceder en sistemas extremadamente simples.

Introducción: orden

En estos sistemas no lineales puede identificarse un parámetro del

cual depende su comportamiento.

Al cambiar este parámetro, podemos encontrarnos con un

comportamiento:

Ordenado: puntos fijos o ciclos límite en el espacio de fase


Ordenado: puntos fijos o ciclos límite en el espacio de fase.

Desordenado: atractores extraños en el espacio de fase.


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Del orden al caos: Bifurcaciones

Cuando variamos este parámetro encontramos que existe un

rango de valores del mismo en el cual el sistema pasa de la

estabilidad al caos.

Las bifurcaciones por duplicación de período consisten en

una pérdida de la estabilidad de una solución atractiva


dando lugar a otra de periodicidad doble.

Caos en sistemas discretosCaos en sistemas discretos

La ecuación logística(R. May, 1976)

Ecuaciones en recurrencia

áUn sistema dinámico discreto es descripto mediante una función (o transformación) iterada:

donde k es algún parámetro de la función F

x F xn k n+ =1 ( )


donde k es algún parámetro de la función F.

Con la calculadora...Ponga el modo radianes para la unidad angular.Elija un número inicial cualquiera.Pulse una y otra vez el botón de la función coseno.La serie de números que aparece en la pantalla oscilará y al cabo de un cierto número de pasos se aproximará a un valor estable y no habrá más cambios:

3.00000000000000000000000000000000 -0.989992496600445457271572794731260.5486961336030970385166415749089310.85320531150574707016222532057684


Dicha serie de números recibe el nombre de órbita, y el punto final se llama punto fijo estable.

...0.739085128310922996144139146959862


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IteracionesSistemas Lineales

La iteración sólo puede dar lugar a:una sucesión creciente, ouna sucesión que converge a cero.

Sistema No Lineal


La dinámica iterativa de ecuaciones no lineales puede dar lugar a comportamientos “extraños ”.

Transformaciones iteradasUna forma de representar la evolución de

un sistema dinámico discreto es a través su diagrama de recurrencia(transformaciones iteradas).

1. Colocamos en:

Abscisas: los valores de xn+1

(=y)

Ordenadas los valores de xn

(=x).

L dib j l f ió


2. Luego dibujamos la función

yA=g(x)=F(xn)

y la recta yB=x que representa

xn+1= xn.

Atractor o punto fijo estable

)(sistema del fijo puntoun es ;1

xfxxxxx nn

===+

En el diagrama de la transformación iterada se encuentra un punto fijo estable o atractor para la salida del sistema.

Para t → ∞ la salida del

)(xfx =


sistema se aproxima a la intersección de la recta yB=x con la función yA=g(x).

En este caso, el punto fijo del diagrama de recurrencia se corresponde con un punto crítico estable en el plano de fase del sistema dinámico equivalente.

Puntos fijos inestables



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Condición de estabilidad

sistema del fijo puntoun es )( xxfx =

Encontrado un punto fijo del sistema, ¿es éste estable o inestable?

¿ Dados valores xn cercanos a , xn evolucionará hacia

valores cercanos o alejados de ?

xx


Condición de estabilidad

La condición de estabilidad de un punto fijo es:

La derivada F’ puede calcularse derivando F o por mediode:

F xF x F xn n' ( ) = lím

( ) ( )ε+ −

x

1][' <xF


F xn( ) = lím0ε ε→

Ejercicio propuesto Nº 1Considere la siguiente ecuación en diferencias no lineal de crecimiento poblacional.

0,,1 >+

=+ kbxb

bxxn

nn

• ¿ Tiene puntos críticos?


• En caso afirmativo, ¿ son estados estacionarios estables?

• ¿ De qué dependen estos puntos críticos? ¿ Y su estabilidad?

Ejercicio propuesto Nº 2Realice un análisis equivalente para la ecuación logística:

0,),(1 >−=+ drydryy nnn

Redefiniendo las variables como nn yrdx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=


se tiene la ecuación:

10 osrestringim si 41),1(1 <<<<−=+ xrxxrx nnn

( Robert May, 1976.)


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Mas allá de r =3¿Existirán soluciones de la ecuación logística que oscilen de manera estables de período 2? A este tipo de soluciones se las denomina ciclos de dos puntos.Deberán satisfacer:

⎩⎨⎧

==

+

+

nn

nn

xxxfx

2

1 )(


Demuestre que la condición para que xi sea un punto crítico de dos ciclos es que

121

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

xx dxdf

dxdf

Y mas allá?

Realizando el análisis anterior podrá encontrarse que la ecuación logística tiene soluciones estables de período dos

siempre que 3< r < r2, para r2=3.3.

¿Y que pasa más allá de r2 ?Ayuda !!!!


Ayuda !!!!

De quien?

Métodos gráficos

Un modelo de epilepsia (EDO)


a ≠ 0, μ = 0.65, ε = 0.55 y b = 0.65, simula el comportamiento esencial del cerebro

Complejidad en EEG: Caos tipo Sil’nikov

• Las señales de EEG cumplen con la condición de Sil' nikov

• Para a ≠ 0, μ = 0.65, ε = 0.55 y b = 0.65,

genera el comportamiento esencial del cerebro con una transición del parámetro a desde el valor

durante una crisis de epilepsia del tipo petit- mal.

transición del parámetro a desde el valor

a1 = 0.008 hasta el valor a2 = 0.2217

( Kelso and Fuchs, 1995)


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Modelo de Sil’ nikov (Atractor extraño)


Retrato de fase o Espacio de Fase

Definiciones (I)Sea f(t, •) una función que especifica la dinámica del sistema.

Esto es si a es cierto punto en el espacio de fase de modo tal que Esto es, si a es cierto punto en el espacio de fase, de modo tal que es el estado del sistema en cierto tiempo considerado el instante inicial, entonces

f(0, a) = a

Y para cualquier valor positivo t, f(t, a) es el resultado de la evolución de dicho estado después de t unidades de tiempo.

Ejemplo:Si es sistema corresponde a la dinámica una partícula libre en una


Si es sistema corresponde a la dinámica una partícula libre en una dimensión, entonces el espacio de fase será el plano R2, con coordenadas (x,v), donde x es la posición de la partícula y v es su velocidad y la evolucion esta dada por

f(t,(x,v)) = (x + tv,v).

Definiciones (II)Un atractor es un subconjunto A del espacio de fase, caracterizado

por las siguientes condiciones:p g

1. A es invariante hacia delante bajo f: si a es un elemento de A

entonces también lo es f(t,a), para todo t > 0.

2. Existe un entorno de A, denominado base de atracción de A,

indicado B(A), que consiste en todos los puntos b que "entran en

A en el limite t → ∞". Formalmente: B(A) es el conjunto de todos

los punto b en el espacio de fase con la siguiente propiedad:


Para cualquier entorno abierto N en A, existe una constante

positiva T tal que f(t,b) є N para todo real t > T.

3. No existe ningún subconjunto propio de A que tenga las dos

propiedades anteriores.

Observaciones (Atractor)Como la base de atracción contiene un conjunto abierto que contiene a A, todo punto suficientemente próximo a A será atraido , p phacia A.

La definición de un atractor utiliza una métrica en el espacio de fase, pero la noción resultante habitualmente depende solamente de la topología del espacio de fase. En el caso de Rn, se usa la norma Euclidea.

Existen otras definiciones de atractor en la literatura.


Por ejemplo algunos autores piden que un atractor tenga una medida positiva (con lo cual un punto fijo no puede ser un atractor)

Otros piden que B(A) sea un entorno abierto.


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Tipos de atractorHasta 1960 se pensaba a los atractores como subconjuntos geométricos del plano de fase: puntos, líneas, superficies, volúmenes.

Las formas extrañas (topológicamente) se pensaban que eran anomalías.

Stephen Smale (1967) mostró que su transformación de herradura (horseshoe map) era robusta y que su atractor tenia la estructura de un conjunto de Cantor Cantor set (1883).


Atractores simples: punto fijo y el ciclo límite

Existen muchos otros conjuntos geométricos que son atractores.

Cuando estos conjuntos o los movimientos en ellos, son difíciles de describir se dice que estos atractores son extraños

Conjunto de Cantor


Transformación HorseshoeSmale (1967)

R it d

Estudios del comportamiento de las orbitas del oscilador de Van der Pol.


http://en.wikipedia.org/wiki/Horseshoe_map

Reiterando …

Atractor extrañoInformalmente un atractor se dice extraño si tiene una dimensión no entera o la dinámica del sistema es caótica en él.o e te a o a d á ca de s ste a es caót ca e é

El término fue propuesto por David Ruelle y Floris Takens para describir atractores que resultan de una serie de bifurcaciones de un sistema que describe el flujo de fluidos.

Los atractores extraños son generalmente diferenciables en varias direcciones, pero algunos no lo son, como por ejemplo el conjunto de Cantor (Cantor Dust).


Se pueden obtener atractores extraños en sistemas discretos o continuos.

Examplos de atractores extraños: atractor de Henón, atractor de , Rössler, atractor de Lorenz.


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Movimientos caóticos y su identificación

En las dinámicas caóticas encontramos existe una gran dependencia de las condiciones iniciales.

La separación de órbitas originalmente vecinas está dada en promedio por una función exponencial (no necesariamente exacta).

Es por esto que en la práctica se hace imposible predecir el comportamiento futuro.


Las trayectorias se circunscriben a una región acotada en el espacio de fases.

Exponentes de LyapunovEstas ideas pueden ser cuantificadas mediante la utilización

de los exponentes de Lyapunov (σ )de los exponentes de Lyapunov (σi )

Los σi de una trayectoria miden el tasa promedio de divergencia a largo término de todos los movimientos

adyacentes basados en:

0)]ió(t)/iól [()/1( tli


0)].en separación(en t)/separaciónln[()/1( tlimt ∞→

=σ

Este limite debe tomarse sólo entre aquellas trayectorias cuya separación final se mantiene pequeña

Exponentes de Lyapunov (cont)Caso mas sencillo:

La trayectoria fundamental es un punto fijo trivial de un La trayectoria fundamental es un punto fijo trivial de un flujo tridimensional linealizado

)3 2, 1,(.xi == ix ii λ&

Los autovalores ordenados (λ1>λ2 >λ3) que inicialmente se ubican en una esfera unitaria serán transportados por el flujo a un elipsoide

con semi-ejes principales de longitud exp(λi t)


con semi ejes principales de longitud exp(λi t).

En este caso los exponentes de Lyapunov son simplemente los valores característicos σi = λi y su suma σ1 + σ2 +σ3 será la

divergencia del campo.

Exponentes de Lyapunov: Sistemas discipativos.

En los sistemas totalmente discipativos, la divergencia es negativa y entonces la suma de todos los exponentes de Lyapunov será negativa, sin restricción a ningún exponente.Si el máximo exponente σ1 >0, entonces algunas trayectorias divergirán de la fundamental, y existirá unasensible dependencia con las condiciones iniciales.

Un exponente de Lyapunov positivo en un atractor


p y p pextraño acotado es símbolo de movimiento caótico.

Un test que permite determinar la existencia de un atractor caótico se basa en analizar sus propiedades fractales (mas adelante)


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Exponentes de Lyapunov :Sistemas discretos

La iteración de una ecuación de recurrencia a partir de losvalores iniciales x0 y x0 + ε da como resultado:

Supongamos que existe un λ tal que:

F x F xkn

kn( ) y ( + )0 0 ε

F Fn n n( + ) ( ) .ε ε λ


F x F x ekn

kn( + ) ( ) .0 0ε ε− ≈

Exponentes de LyapunovA medida que ε → 0 y n → ∞ siempre que también

, tendremos:, tendremos:

que expresa la separación exponencial promedio entre laórbita partiendo de x0 y la órbita partiendo de x0 + ε.De aquí resulta:

.0( ) n

nnkdF x e

dx≈ λ


( )01 ln

n

nkdF

xn dx

⎛ ⎞λ ≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Exponentes de Lyapunov

Luego podemos escribir:g p

01 2 0

0

( )1 1lím ln lím ln '( ). '( )... '( )n

kk k n k n knn n

dF x F x F x F xn dx n − −→∞ →∞

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪λ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

1

0

1lím ln '( )n

k k mn m

F xn

−

→∞=

⎧ ⎫λ = ⎨ ⎬

⎩ ⎭∑


Si este límite existe, λk es una medida de la separación exponencial promedio de las órbitas vecinas a todos los puntos

de una órbita alrededor de un atractor.

Exponentes de Lyapunov

Para ciclos estables λk<0 y las órbitas convergen. Para ciclos estables λk<0 y las órbitas convergen.

Para atractores extraños encontramos que λk>0 y las órbitas no convergen.

Siendo cuando ocurre una bifurcación tenemos entonces λk=0.

F xk N' ( ) =1


Se llaman ciclos superestables cuando λk→ -∞ ya que en estos casos y la velocidad de convergencia a la estabilidad es máxima.

F xk N' ( ) = 0


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Ejemplo: la ecuación logística

Una de las ecuaciones más sencillas que describen sistemascaóticos.Está inspirada en un modelo poblacional (Lotka-Verhulst):

dNdt

r NN

N= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∞ 1


Población de Nt individuos y recursos limitados dados por r

Ejemplo: la ecuación logísticaSi discretizamos esta ecuación utilizando el método deEuler podemos llegar a:

Nn +1 = k Nn (1- Nn ), 0 < N < 1,

donde k juega el papel de r.Esta ecuación de recurrencia se denomina ecuaciónlogística.


Ejemplo: la ecuación logísticaObservación:

Este modelo demográfico simple de tiempo discretopodemos considerarlo basado en generaciones.

Puede considerarse que cada 20 años aparece unanueva generación, por lo que no es necesario considerarlos instantes de tiempo intermedios.


¿Que pasa cuando cambiamos k?cambiamos k?



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Ejemplo: la ecuación logísticaEn la notación anterior:

En este caso tendremos puntos fijos de la recurrenciacuando:

F N k N Nk t t t( ) ( )= −. 1

F N N k N kN( ) ( ) +⇒ 21 0


F N N k N kNk t t t t( ) ( - ) ++ = ⇒ =121 0

Ejemplo: la ecuación logísticaPara k < 1 (mortandad mayor que natalidad) la ecuación anterior posee una única solución Nt

(1) = 0.

Para k >1 encontramos dos soluciones:

(1) (2) 10 y = kN N −


( ) ( )0 y =t tN Nk

=

Para k = 2.9




En el contexto demográfico:

la vida no aparece espontáneamente de la nada, pero si hay una cantidad de individuos, por pequeña que sea, la especie no desaparecerá (en este modelo simple), sino que tenderá a un valor estacionario no nulo que dependerá de la cantidad de alimento disponible


dependerá de la cantidad de alimento disponible.


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Ejemplo: la ecuación logísticaPara llegar a un punto fijo en la recurrencia debe cumplirse que:

Entonces: F N k Nk t t'( *) ( *)= − <1 2 1.

< <1 1F N k'( )(1)


− < = <1 1F N kk t'( )(1)

− < = − <1 2 1F N kk t'( )(2)


Para k > 3 ambos puntos pfijos son inestables.

La desestabilización de Nt

(1) cuando k=1 se produce porque F1’(0)=1.

Para Nt(2) en k=3 tenemos

F1’(0)= -1


F1 (0)= 1.

Así en k=3 se produce la bifurcación o duplicación de período.

Para k = 3.1 se produce la bifurcación:



Ahora la comida ha aumentado hasta el punto en que una generación pequeña dispone de tanto alimento que tiene un rápido crecimiento de forma súbita mientras que en la


rápido crecimiento de forma súbita, mientras que en la siguiente generación hay demasiados individuos pero una cantidad insuficiente de comida, por lo que la población vuelve a bajar en la siguiente generación, y así sucesivamente.

Este comportamiento estable puede observarse en algunas colonias de bacterias.



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Si seguimos aumentando k, este ciclo de periodo 2 se


convierte en un ciclo de periodo 4, después en uno de periodo 8, y así sucesivamente.

En cada bifurcación, el sistema sufre un cambio drástico en su comportamiento a largo plazo.

Para k > 3.5699 el sistema ya no sigue un ciclo periódico, sino que siempre varía sin repetirse a sí mismo


sino que siempre varía sin repetirse a sí mismo.

Este comportamiento recibe el nombre de caos.

Para k = 3.9 tenemos:



Si representamos los puntos fijos estables, o los puntos pertencientes a ciclos estables, en función de k, se puede


ver que cada uno de los ciclos se bifurca en otro de periodo doble que el original.

N∞ k


∞,k

kDiagrama de bifurcación

Por encima de k=3.5699 el comportamiento es caótico, por lo que un continuo puntos corresponden a un mismo valor


de k (la órbita ya no es periódica, y toma infinitos valores de Nt).Se puede apreciar la “autosemejanza” típica de lasestructuras fractales.

N∞ k


∞,k

kDiagrama de bifurcación


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Ejemplo: la ecuación logísticaExisten ventanas de comportamiento periódico en la zona caótica. El exponente de Lyapunov predice éstas

N∞,k

haciéndose repentinamente negativo. Las bifurcaciones se corresponden con los λk=0.


k

λk

Ejemplo: la ecuación logísticaConclusión:

Un sistema tan sencillo como el descripto por la ecuación logística puede presentar, bajo ciertas condiciones, comportamiento caótico y estructura fractal.


Aplicaciones fisiológicas

1978- Mackey y Glass describieron varios desordenes respiratorios en los cuales los patrones de respiración eran “irregulares”. (Cheney-Stokes breathing, biot breathing and infant apnea parecen indicar algun tipo de problema en el sistema de control que gobierna la ventilación)


Glass L. And Mackey, MC. Pathological conditions resulting from instabilities in physiological control systems, Ann. NY Acad. Sci., 316, 214-235, 1979.

Aplicaciones fisiológicasDesordenes cardiológicos y neurológicos también han sido modelizados con ecuaciones discretas Keener sido modelizados con ecuaciones discretas. Keener (1981) e Ikeda et al (1983) presentan modelos de arritmia basado en la interación del nodo sinoatrial con un marcapasos secundario en el ventrículo.

Ìkeda N., Yoshizawa S and Sato T. Difference equation model of ventricular parsystole as an interaction between cardiac


p ypacemakers based on the phase response curve. J. Theor. Biol., 103, 439-465. (1983)

Keener JP. Chaotic cardiac dynamics. Pp 299-325 in FC Hoppenstaedt, ed. In Mathematical aspects of physiology. AMS, 1981.


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Aplicaciones fisiológicas (Cont.)

Colectivamente los desordenes fisiológicos en los cuales un Colectivamente, los desordenes fisiológicos en los cuales un adecuado sistema de control se vuelve inestable han sido denominados “enfermedades dinámicas”.

Modelos muy sencillos han demostrado que estos fenómenos pueden surgir espontáneamente cuando uno o varios parámetros del sistema son apenas sacados del umbral de los puntos de bifurcación


umbral de los puntos de bifurcación.

EEG epiléptico

EEG epiléptico. Atractores extraños

Retrato de Fase

Caos en sistemas continuosLas ecuaciones de Lorenz

σ : número de Prandtl number

Sensible dependencia con las condiciones iniciales

σ : número de Prandtl numberr: número de Rayleigh number. σ, r, b > 0, Usualmente: σ = 10, b = 8/3 y r cambia.Comportamiento caótico para r = 28 Pero posee orbitas periodicas para otros valores de r (Ejemplo: r = 99.96 es un T(3,2) torus knot).



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Datos caóticos vs. aleatoriosDificultad:Los datos reales (series temporales o series de datos) no consisten

en señal pura sino que están contaminadas con cierto grado de

Cómo distinguir procesos determinísticos de estocásticos?

Los procesos determinísticos siempre evolucionan de la misma forma a partir de un punto inicial dato

en señal pura, sino que están contaminadas con cierto grado de ruido, aun cuando tan solo sea por errores de redondeo o de truncamiento.

Las series reales siempre contienen cierto grado de aleatoriedad o ruido.


a partir de un punto inicial dato.

Para testear determinismo:1. Elegir un estado para testear; 2. Elegir una serie temporal para un estado similar o cercano; 3. Comparar sus evoluciones temporales respectivas.

Datos caóticos vs. aleatorios

4. Calcular el error como la diferencia entre las evoluciones ótemporales del estado “test”y la del estado próximo.

Sistema determinístico:Error se mantiene acotado y pequeño (estable o solución regular)Error aumenta exponencialmente con el tiempo (caos).

Sistema estocástico:


Sistema estocástico:Error distribuido aleatoriamente.

Casdagli, Martin. "Chaos and Deterministic versus Stochastic Non-linear Modelling", in: Journal Royal Statistics Society: Series B, 54, nr. 2, 303-28, 1991.

FractalesFractalesIntroducción

Fractales en la naturaleza“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, y la luz no viaja en línea recta. La conos, y la luz no viaja en línea recta. La complejidad de las estructuras de la naturaleza difiere en tipo, no meramente en grado, de aquella proveniente de las formas de la geometría ordinaria”.



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Geometría Fractal

Benoit MandelbrotBenoit Mandelbrot

19821982


Geometría FractalMandelbrot, B. B., "How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension," Science156 (1967), 636-638.

Mandelbrot, B., and Wallis, J., "Noah, Joseph and operational hydrology," Water Resources Research 4 (1968), 909-918.


Mandelbrot, B. B.,Mandelbrot, B. B.,The Fractal Geometry of NatureThe Fractal Geometry of Nature,,W. H. Freeman, San Francisco, 1982 W. H. Freeman, San Francisco, 1982

La Geometría Fractal esun nuevo lenguaje


Que permite describir la estructura de objetos de Que permite describir la estructura de objetos de apariencia “compleja”apariencia “compleja”

Fractales Naturales

Hoja de helechoHoja de helecho


ArbolArbol

NieveNieve

Hoja de helechoHoja de helecho


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Otros Fractales Naturales

FósilesFósilesTerremotosTerremotos

HongosHongos


CostasCostasMontañas

RíosRíos

Paleontologia: Ammonite (Molusco Fósil)


MooreMoore's 's Treatise on Invertebrate PaleontologyTreatise on Invertebrate Paleontology..Geological Society of America, 1957.Geological Society of America, 1957.

Bacterias


http://classes.yale.edu/Fractals/Panorama/Biology/Bacteria/Bacteria3.htmlhttp://classes.yale.edu/Fractals/Panorama/Biology/Bacteria/Bacteria3.html

Fractales en Fisiología

Sistema respiratorio Sistema nervioso

Ofrecen instancias claras de Ofrecen instancias claras de

it t f t lit t f t l

Sistema respiratorio

Sistema circulatorio

Sistema nervioso


arquitectura fractalarquitectura fractal

Ramas que se subdividen y se subdividen y se subdividen ……


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Pulmones


Zoom 1Zoom 1

++ Zoom ++ Zoom

Pulmones de MamíferosPerro 2Perro 2

Perro 1Perro 1

PezMujer (Manatee)PezMujer (Manatee)


CerdoCerdo Dr. Robert Henry Dr. Robert Henry University of Tennessee University of Tennessee

Fractales en la naturalezaMontañas “fractales”fractales


Fractales en la naturaleza

También es posibleTambién es posiblemodelizar mediantegeometría fractaldiversos procesosnaturales como, porejemplo, los procesoserosivos sobre un


erosivos sobre unterreno.


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Hojas Fractales


Característica común

AutosimilaresGeométricamenteGeométricamente


Qué es un fractal?Un fractal o un conjunto fractal posee detalles finos en todas las escalasdetalles finos en todas las escalas.

El término fue acuñado por Mandelbrot, del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.


¿Definición exacta?Aún no existe acuerdo, sin embargo Falconer

(1990) sugiere que es mejor utilizar el término (1990) sugiere que es mejor utilizar el término de manera relajada, para conjuntos,

generalmente definidos por simple recursión que presentan las siguientes propiedades:


Falconer, K, Fractal Geometry, Chichester, Wiley, 1990


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Propiedades de un fractalPosee

detalles en escalas arbitrariamente pequeñasirregularidades que no pueden ser descriptas por la geometría tradicionalautosimilaridad, tal vez aproximada o de índole estadísticauna dimensión fractal no entera.


una dimensión fractal no entera.

Fractales en las Matemáticas

Desde principios de siglo matemáticos como Cantor , Poincaré o Julia , se interesaron por el estudio de objetos extraños (monstruos matemáticos) que no

encajaban en las ideas de la geometría clásica.

Muchos de estos objetos se construían mediante


Muchos de estos objetos se construían mediante algoritmos iterativos, partiendo de un “iniciador”y

aplicando reiterativamente un conjunto detransformaciones.

Fractales en las MatemáticasDe esta forma se pueden definir gran cantidad dedefinir gran cantidad de objetos matemáticos con propiedades comunes, como la autosemejanza .


Longitud infinita encerrada en un área finita!!!!Triángulo de Sierpinsky

Curva de von Koch

Unfolding fern o Barnsley fern(Helecho)


Veamos como se produce


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Sierpinsky Gasket - Iteraciones


Chaos gameJuego de caos (Michael Barnsley, 1993)

Se refiere en su versión original a un método para construir fractels Se refiere, en su versión original a un método para construir fractels usando:

1. Un polígono

2. Y un punto elegido aleatoriamente dentro de él.

El fractal se crea encontrando un punto a una fracción dada de distancia entre los puntos anteriores y uno de los vértices, elegidos al azar, e iterando este procedimiento un gran numero de veces.


, p g

Usando un triangulo y un factor ½ se tiene el triángulo de SierpinskiBarnsley, Michael (1993). Fractals Everywhere. Morgan Kaufmann

Weisstein, Eric W., "Chaos Game”

Triángulo de Sierpinsky yel juego del caos


Agreguemos ahora rotaciones

http://math.bu.edu/DYSYS/applets/chaos-game_more.html

Fractales: El conjunto de Mandelbrot

Si consideramos ahora iteraciones de la función z2+c para distintosde la función z +c, para distintos valores de c (complejo).

Y graficamos aquellos valores de cdonde la órbita está acotada.

Encontramos un objeto que posee estructura a cualquier escala ycontiene copias de sí mismo.



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Formalización del concepto de Fractal

La geometría fractal permite estudiar fenómenos irregulares que no pueden ser caracterizados con lasirregulares que no pueden ser caracterizados con las teorías geométricas clásicas. Invarianza a cambios de escala: Misma estructura (determinista o estadística) a cualquier escala.


¿Cuál es el largo de la costa de Gran Bretaña?costa de Gran Bretaña?

Dimensión fractal

La dimensión fractal

El desarrollo de la geometría fractal ha permitido obtenerEl desarrollo de la geometría fractal ha permitido obtener parámetros cuantitativos para definir el “grado de irregularidad” de un determinado objeto.

Uno de los parámetros más representativos es el de dimensión fractal, una generalización de la dimensión

líd bj j


euclídea para objetos autosemejantes.

La dimensión fractalEl concepto de dimensión euclídea asigna un número natural a los distintos objetos geométricos que pueden definirse en un espacio dado. Este concepto de dimensión tiene diversas interpretaciones intuitivas como: el número de parámetros necesarios para definir un objeto.



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La dimensión fractalOtra forma: Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de

N(L) L1 1 l i Lmanera que N(L).L1 = 1, cualquiera que sea L.

Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos con unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud L, el número de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple N(L).L2 = 1.


La dimensión fractalDe todo esto podemos generalizar que la dimensión de un objeto geométrico es el número D que cumple:

N(L).LD = 1, y D = log(N(L))/log(1/L)donde N(L) es el número de objetos elementales, o de unidades, de tamaño L que recubren el objeto.

Ejemplo:Al reducir la escala de la curva deKoch a 1/3, nos encontramos con

d 4 t


que se descompone en 4 partes.D = log 4 / log 3 = 1, 2618. . .

La dimensión fractalOtros ejemplos:


EjerciciosConstruya el Triangulo de Sierpinsky estocástico y el determinísticoestocástico y el determinístico.Calcule la dimensión fractal del conjunto de Cantor.



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Otras dimensiones fractalesLa dimensión fractal de un conjunto infinito de puntos en Rn

es un número no entero, menor que n, de la extensión para la cual los puntos cubren el espacio.

Entre las numerosas definiciones para determinar esta medida, una de las más útiles es la dimensión de capacidad.Una medida más matemática es la dimensión de Hausdorff, que con frecuencia es igual a la dimensión de


q gcapacidad.

Otras dimensiones fractales (Cont.)

Una tercer medida es la dimensión de información, una especie de dimensión no entera en la cual puntos en un conjunto con dinámica invariante son pesados de acuerdo a sus probabilidades relativas de ocurrencia en una trayectoria típica larga.


Dimensión de capacidad (Box dimension)

• N(ε ) cubos de lado ε necesario para cubrir un objeto en R3

• N(ε )=1 para cubrir un punto => N(ε )= o( ε0)

• Para cubrir un segmento de longitud L: N(ε)= L/ ε = o(ε-1).

• Para cubrir una superficie de área A: N(ε)= A/ ε2 = o(ε-2).

Definimos la Dimensión de Capacidad, d, tal que N(ε) = o(ε-d), siendo


)/1log(/))(log(0

εεε

Nlimd→

=

¿Cómo construyo un modelo fractal o caótico?

Ejemplo:1) Detecto si el fenómeno )

posee estas características.

2) Recojo datos experimentales.

3) “Armo” mi modelo.4) Soluciono el Problema

Inverso con Algoritmos Evolutivos


Evolutivos.La complejidad de los problemashace que, en la práctica, pueda sernecesario utilizar algún tipo deestrategia híbrida para resolverlos.


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BibliografíaCambel, A. B., “Applied Chaos Theory”. -- Washington: Academic Press, 1993.Wi i St h “I t d ti t li d li Wiggins, Stephen, “Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos”. -- New York: Springer-Verlag, 1990.Drazin, P.G., “Nonlinear systems”. -- Cambridge: Cambridge University Press, 1992. -- (Cambridge texts in applied mathematics)Verhulst, Ferdinand, “Nonlinear differential equations and dynamical systems”. -- New York : Springer-Verlag, 1990.Mandelbrot, Benoit B., “The fractal geometry of nature”. --New York : W H Freeman 1982


New York : W. H. Freeman, 1982. Peitgen, H. O. - Ritcher, P. H., “The beauty of fractals: images of complex dynamical systems”. -- New York : Springer Verlag, 1986.Thompson, J.M. And Bishop, S.R, “Nonlinearity and Chaos in Engineering dynamics” , Wiley, 1993.

Sprott's Fractal Gallery


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sistemas no lineales, caos organización - 2003 y...

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