Sistemas de Ecuaciones Mixtas

Un sistema de ecuaciones es un sistema mixto si por lo menos una de las ecuaciones del sistema es no lineal.

Por ejemplo:

⎩⎨⎧

==+1-2.x y

0 3y ² x

Estos sistemas pueden resolverse por distintos métodos, por ejemplo, por el

método de Igualación o sustitución, los resultados obtenidos los verificaremos

gráficamente

Resolución Analítica 1º Debemos despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=→=

−=→=+

1-2.x y 1-2.x y

² x31 y 0 3y ² x

2º Ahora aplicamos igualación: al ser los primeros miembros iguales, los segundos

también lo son

1-2.x x31- entonces

y y como2 =

=

3º Igualamos a cero (0)

1-2.xx31 0 2 +=

4º Nos ha quedado una ecuación de segundo grado, la resolvemos mediante la

formula

2a4acbbx

2

1,2−±−

=

312.

1).(314.42

x1,2

−−±−=

32

3162

x1,2

±−=

De donde obtenemos:

Dos raíces reales distintas….........La recta y la parábola se cortan en dos

puntos

Dos raíces reales iguales..……...La recta y la parábola se cortan en un punto

Dos raíces complejas…….…………Las graficas no se cortan

6,45

32

2,32x 0,45

32

2,32x 21 −≅−−

≅≅+−

≅

5º Reemplazamos los valores encontrados en una de las ecuaciones del sistema

para encontrar el valor de y

13,91(-6,45) 2. yentonces 6,45x para0,110,45 2. yentonces 0,45x para

1-2.x y

22

11

−=−=−=−=−==

=

De esta manera obtenemos analíticamente la solución de un sistema de

ecuaciones mixtas. Recordar siempre que obtenemos 2 puntos por lo que

debemos expresar la solución como 2 pares ordenados

,9)(-6,45;-13 y)(0,45;-0,1 Sol

Resolución Grafica Para comprobar las soluciones encontradas debemos graficar el sistema y para

ello debemos identificar lo que vamos a representar

⎪⎩

⎪⎨⎧

=→=

−=→=+

(recta) 1-2.x y 1-2.x y

(parábola) ² x31 y 0 3y ² x

Grafic

Las co

co de la par

Intersecci

Intersecci

Coordena

oordenada

V

y

x

rábola

ón con el e

031y −=

ón con el e

adas del vér

s del vértic

(0,0 Vertice

0²31y

312.0x

v

v

=−=

=−

=

R

eje y (Damo

in o0² ⇒=

eje x (Damo

x con int.0

31 . 0

0

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

rtice

e son xv =

0)

o

0

=

=

Representa

os a x el va

e ycon nt.

os a y el va

punto el en x

x

² x31

2

=

=

−=

2.a

b−=

es 0x =→

amos gráfic

lor cero)

punto el en

lor cero)

(0,0) o

a.x y 2vv =

s de eje el s

camente

(0,0)

cb.xv ++

simetria

Ahora nos ejercitamos, te damos las respuestas para que puedas

ver si vas bien, te sugiero anotes las dudas al lado del ejercicio si se presentan

para poder aprovechar al máximo los apoyos

Ejercicios Respuestas

1. ⎩⎨⎧

=++=

16- 2.y -3.x 4 4.x ² x y

( )( )5

13,329P

512,-9

10P

2

1

2. ⎩⎨⎧

=+=17 y 5.x

0 y - x - ²x

( )( ),507

38-P

,4718P

2

1

3. ⎩⎨⎧

=+=+

10 4.y 5.x y 4 4.x - ²x

( )1625,4

3P

(2,0)P

2

1

4. ⎩⎨⎧

== yx

y ²x

(0,0)P(1,1)P

2

1

5. ⎩⎨⎧

=+++=

14 y 4.x 6 x ² x - y

No pertenece a los

reales

6. ⎩⎨⎧

=+=+

4- 1 3.y -2.x 6- 20 16.x - ²2.x

No es sistema

7. ⎩⎨⎧

==++

12 y -4.x 0 y - 1 4.x ²4.x

No pertenece a los

reales

8. ⎩⎨⎧

==

x- y ²x - y

(1,-1)P(0,0)P

2

1

9. ⎩⎨⎧

=++=

0 8 3.y 2.x 0 y - ²x -

( )(2,-4)P

92,3

2-P

2

1 −

10. ⎩⎨⎧

=+=+

0 6 - y x 0 6.y ²x

No pertenece a los

reales

Ejercicios Adicionales

11. ⎩⎨⎧

==+

0 1 -2.y -x 0 y - 5 -4.x ²2.x -

No pertenece a los

reales

12. ⎩⎨⎧

==

2 y 0 y - 25 - ²x

(-5;2,2)P(5;2,2)P

2

1

13. ⎩⎨⎧

=+=8- y 4.x 0 4 - y - ²x

(-2,0)P(-2,0)P

2

1

14. ⎩⎨⎧

==

11- 5.y -2.x y- ² x - 9 -6.x

3)(1,43;-1,6P

33)(-7,83;-5,P

2

1

15. ⎩⎨⎧

==

2 4.y -5.x y 1 - ²x

)(1,57;1,46P

9)(-0,32;-0,P

2

1

16. ⎩⎨⎧

==+

0 1 -3.y -4.x 0 20 -8.x y - ²x

,17)(-8,88;-12P)(2,21;2,62P

2

1

17. ⎩⎨⎧

==+

2.x y 0 8.y ²x

(-16,-32)P(0,0)P

2

1

18. ⎩⎨⎧

=++=

1 y x 6 - x ²x - y

No pertenece a los

reales

1) Plantee y resuelva cada uno de los siguientes problemas

a) Se lanza una pelota hacia arriba y simultáneamente un ave levanta vuelo. la trayectoria

de la pelota se describe mediante la función 12x3xy 2 +−= y la correspondiente al vuelo

del ave, mediante 7,51,5xy += . Siendo (x, y)las coordenadas de ambas trayectorias:

• Grafiquen en un mismo sistema de coordenadas las graficas de ambas funciones

• Encuentren el o los puntos de intersección de las trayectorias de vuelo

b) Desde el momento que sale de la parada, un colectivo se mueve a medida que

transcurre el tiempo según la función 20,4xy = . En ese instante una persona observa el

colectivo y trata de alcanzarlo, moviéndose según la función 104xy −= . Siendo “x” el

tiempo transcurrido, e “y” la distancia recorrida, en metros.

• Grafiquen en un mismo sistema de coordenadas ambas funciones

• Hallen el tiempo que tarda la persona en alcanzar el colectivo y a que distancia de la

parada