sistemas eléctricos de potencia modelado y operación de líneasde transmisión lino coria cisneros

INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA

NOTAS DE LA MATERIA SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA I

______________________________________________________________ LINO CORIA CISNEROS. 2006

Contenido 0. Calculo de parámetros de líneas aéreas de transmisión ............................................................ 6

INTRODUCCION........................................................................................................................... 6 PARAMETROS DE LINEAS AEREAS DE TRANSMISION ELECTRICA. .............................. 7 TIPOS DE CONDUCTORES Y MATERIALES CONDUCTORES. ....................................... 8

RESISTENCIA SERIE. .................................................................................................................... 10 CONDUCTANCIA EN DERIVACION. ......................................................................................... 12

INDUCTANCIA SERIE..................................................................................................................... 13 INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR SÓLIDO. ....................................................................... 13 INDUCTANCIA DEBIDA A ENLACES DE FLUJO EXTERNOS AL CONDUCTOR. ................. 16 INDUCTANCIA DE UNA LINEA MONOFASICA. ....................................................................... 18 ENLACES DE UN CONDUCTOR EN UN GRUPO. ................................................................... 20 INDUCTANCIA DE CONDUCTORES COMPUESTOS.............................................................. 22 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA.............................................................................. 25 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO NO SIMETRICO. ......... 26

RADIO GEOMETRICO MEDIO DE UN HAZ DE CONDUCTORES. ..................................... 28 LINEAS DE TRANSMISION DE DOBLE CIRCUITO. ............................................................ 30

CAPACITANCIA............................................................................................................................... 32 CAMPO ELECTRICO Y VOLTAJE EN UN CONDUCTOR CILINDRICO SOLIDO. .................. 32 CAPACITANCIA DE UNA LINEA MONOFASICA. ..................................................................... 36 LINEA TRIFASICA....................................................................................................................... 38

CAPACITANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO ASIMETRICO........ 41 LINEA TRIFASICA CON HACES DE CONDUCTORES........................................................ 44 CORRIENTE CAPACITIVA Y POTENCIA REACTIVA. ......................................................... 46

EFECTO DE TIERRA.................................................................................................................. 46 EFECTO DE TIERRA: LINEA TRIFASICA............................................................................. 51

OPERACION DE LA LINEA DE TRANSMISION EN ESTADO ESTABLE..................................... 56 APROXIMACIONES DE LINEA CORTA Y MEDIA..................................................................... 56 Ecuaciones diferenciales de la línea de transmisión. ................................................................. 61

INTERPRETACIONES DE LAS ECUACIONES DE LINEA LARGA...................................... 66 CIRCUITO Π EQUIVALENTE................................................................................................. 69 LINEA SIN PÉRDIDAS. .......................................................................................................... 71 Longitud de onda .................................................................................................................... 74 Carga Natural( SIL) ................................................................................................................. 75 Límite de Estabilidad en Estado Estable. ............................................................................... 77 Cargabilidad. ........................................................................................................................... 79 Flujo de Potencia Máximo....................................................................................................... 80

1. MATRICES DE RED Y DISPERSIDAD ........................................................................................... 83 1.1. Formulación y significado de las matrices YBUS y ZBUS. ........................................................... 83

1.1.1. MATRICES DE INCIDENCIA Y MATRICES PRIMITIVAS. .............................................. 85 Matrices de Incidencia. ........................................................................................................... 87 Matrices primitivas. ................................................................................................................. 89 Matrices primitivas de impedancia y admitancia. ................................................................... 91

1.1.2 OBTENCION DE YBUS POR TRANSFORMACIONES SINGULARES.............................. 92 1.1.3. OBTENCION DE YBUS POR INSPECCION. ..................................................................... 94

1.1.4. OBTENCION DE YBUS POR INSPECCION EN REDES ACOPLADAS. EQUIVALENTE DE CELOSIA. .............................................................................................................................. 96 1.1.5. SIGNIFICADO DE LAS MATRICES YBUS , ZBUS............................................................. 100 1.1.6 TECNICAS DE DISPERSIDAD........................................................................................ 109

INTRODUCCION. ................................................................................................................. 109 ESQUEMAS DE ORDENAMIENTO. .................................................................................... 111

1er esquema de ordenamiento: Menor número de ramas conectadas. ................... 115 20 Esquema de ordenamiento (Dinámico). Menor número de ramas conectadas.......... 116 3er Esquema de ordenamiento (Dinámico). Menor número de ramas nuevas generadas........................................................................................................................................... 117

EMPAQUETADO DE MATRICES. ....................................................................................... 118 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................. 124

2. REPRESENTACION DEL SISTEMA DE POTENCIA. .................................................................. 125 2.1 DIAGRAMAS UNIFILAR Y DE REACTANCIAS...................................................................... 126 2.2 MODELADO DE CARGAS. ..................................................................................................... 129 2.3 SISTEMAS EN POR UNIDAD ( P.U.)...................................................................................... 134

TRANSFORMADORES............................................................................................................. 137 CAMBIO DE BASE................................................................................................................... 139 IMPEDANCIAS MUTUAS EN PU. ............................................................................................ 139

2.2. FORMULACION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA. ........................................ 144 INTRODUCCION....................................................................................................................... 144 FORMULACION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA. ........................................... 145

ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA........................................................................ 151 2.3. REPASO DE TECNICAS NUMERICAS PARA LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES....................................................................................................... 158

METODO DE GAUSS-SEIDEL. ................................................................................................ 160 METODO DE NEWTON-RAPHSON......................................................................................... 161

2.4. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE GAUSS-SEIDEL...................................................................................................... 167

ALGORITMO PARA LA SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA. ......................................... 170 MODIFICACION DEL ALGORITMO PARA LA INCLUSION DE BUSES PV........................... 173 TRANSFORMADORES CON CAMBIO DE DERIVACION BAJO CARGA.............................. 181

2.5. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE NEWTON-RAPHSON. ............................................................................................ 184

COMPARACION ENTRE LOS METODOS DE GAUSS-SEIDEL Y NEWTON-RAPHSON..... 201 2.6. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE NEWTON DESACOPLADO.................................................................................... 203 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................. 213

3.ANALISIS DE FALLAS EN SISTEMAS DE POTENCIA................................................................. 215 3.1. INTRODUCCION. ................................................................................................................... 215

3.1.1. APLICACIONES DEL PROBLEMA DE FALLAS. ........................................................... 215 3.1.2. FALLA TRIFASICA.......................................................................................................... 216

ANALISIS DE CORTO CIRCUITO SIMETRICO. .......................................................................... 219 CAPACIDAD DE CORTO CIRCUITO. ...................................................................................... 223

COMPONENTES SIMETRICAS.................................................................................................... 224 3.2.FORMACION DE ZBUS POR ALGORITMO. ............................................................................ 230

3.2.1. INCLUSION DE ELEMENTOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS. ........................... 235

3.2.3. ALGORITMO DE HOMER BROWN [5]. ......................................................................... 238 3.2.4.ALGORITMO DE LA ZBUS DISPERSA[6]......................................................................... 241

3.3. FALLAS DESBALANCEADAS. .............................................................................................. 245 IMPEDANCIAS DE SECUENCIA EN LINEAS DE TRANSMISION. ........................................ 245 IMPEDANCIA DE SECUENCIA DE GENERADORES............................................................. 247 IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CERO DE TRANSFORMADORES..................................... 248

ANALISIS DE FALLAS DESBALANCEADAS. .............................................................................. 249 FALLA DE LINEA A TIERRA..................................................................................................... 252 FALLA DE DOS LINEAS. .......................................................................................................... 254 FALLA DE DOBLE LINEA A TIERRA. ..................................................................................... 256

3.4. FORMULACIONE DE FALLAS GENERALIZADAS............................................................... 259 ESTUDIO DE CORTO CIRCUITO EN GRANDES SISTEMAS DE POTENCIA...................... 259 TRANSFORMACION A COMPONENTES SIMETRICAS. ....................................................... 264

DETERMINACION DE LAS MATRICES DE FALLA . ................................................................... 266 FALLA TRIFASICA A TIERRA. ................................................................................................. 266 FALLA DE LINEA A LINEA A TRAVES DE IMPEDANCIA...................................................... 270 FALLA DE DOBLE LINEA A TIERRA. ...................................................................................... 272 FALLA DE LINEA A TIERRA..................................................................................................... 274 FALLA TRIFASICA SIN TIERRA A TRAVES DE IMPEDANCIA.............................................. 276

3.5. ANALISIS DE FALLAS POR COMPUTADORA..................................................................... 278 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................. 280

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE

Lino Coria Cisneros 1

CALCULO DE PARAMETROS

Y

OPERACIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO

DE

LINEAS DE TRANSMISION



0. Calculo de parámetros de líneas aéreas de transmisión

INTRODUCCION. La energía eléctrica producida en las estaciones generadoras es transportada a

grandes distancias y alto voltaje a través de líneas de transmisión hasta los puntos de

utilización. A principios del siglo XX, los sistemas eléctricos se operaban aislados y a

voltajes bajos, de acuerdo a estándares actuales. Los voltajes de operación se

incrementaron rápidamente desde los 3300 V hasta los 11 kV, usados para transmitir 10

MW desde Niagara Falls a Buffalo, en los Estados Unidos, a 20 millas de distancia, en

el año de 1896. En 1936 se terminaron dos circuitos de 287 kV para transmitir 240

MW a 266 millas a través del desierto hasta Los Angeles. La primera línea de 345 kV

se desarrolló a partir de un programa de pruebas de la AEP (American Electric Power)

en 1946 y rápidamente se superpuso al sistema de 138 kV que se usaba extensivamente.

Al mismo tiempo en Suecia se estableció el sistema de 400 kV entre sus plantas

hidroeléctricas del norte, hasta los centros de carga de la región sur.

El sistema de 345 kV estableció la práctica de usar conductores en haz, la

configuración en V de cadenas de aisladores (con el objeto de restringir oscilaciones), y

el uso de aluminio en estructuras de líneas.

La primeras línea de 500 kV fue energizada en 1964 en el estado de West Virginia

en EU. Una razón para la preferencia de este nivel de voltaje sobre el nivel de 345 kV

fue que el cambio de 230 kV a 345 kV, representaba una ganancia de solamente 140%

comparada a una ganancia de 400%, cuando el cambio era a 500 kV. La compañía

canadiense Hydro Québec inauguró su línea de 375 millas a 735 kV en el mismo año.

En el año de 1969 la AEP puso en servicio un nivel de voltaje de 765 kV. Los años 80

atestiguaron la introducción de un nivel de voltaje aún más grande en la compañía

estadounidense BPA: el sistema de transmisión de 1100 kV.

La tendencia de introducir voltajes más grandes está principalmente motivada por el

incremento resultante en la capacidad de la línea, mientras se reducen las pérdidas por

unidad de potencia transmitida. La reducción de pérdidas es significativa y es un

aspecto importante de la conservación de la energía. Otro beneficio del incremento de


capacidad es el mejor uso de la tierra. Esto puede ilustrarse comparando el ancho del

derecho de vía de 56 m requerido para el nivel de 1100 kV con una capacidad de 10,000

MW, con el de 76 m requerido para dos líneas de doble circuito en 500 kV para

transmitir la misma capacidad de 10,000 MW.

El propósito de esta unidad 0, es el de desarrollar una comprensión adecuada en la

modelación de líneas de transmisión, así como analizar su comportamiento. Se iniciará

por discutir los parámetros que caracterizan a la línea de transmisión aérea.

PARAMETROS DE LINEAS AEREAS DE TRANSMISION ELECTRICA.

Una línea de transmisión eléctrica es modelada usando cuatro parámetros, que

afectan sus características de comportamiento. Estos cuatro parámetros son: resistencia

serie, inductancia serie, capacitancia en derivación y conductancia en derivación. Los

dos primeros son de suma importancia en muchos estudios de interés. Sin embargo en

algunos estudios es posible omitir los parámetros en derivación, simplificando con ello

el circuito equivalente considerablemente.

Empezaremos con una discusión breve de la naturaleza de los conductores e

introduciremos terminología comúnmente usada.

Un alambre ó combinación de alambres no aislados uno del otro es llamado

conductor. Un conductor trenzado está compuesto de un grupo de alambres,

usualmente enrollados en forma espiral.

El tamaño de los conductores ha sido indicado comercialmente en términos de

calibres durante muchos años. Sin embargo en la actualidad la práctica consiste en

especificar los tamaños de los conductores en términos de sus diámetros expresados en

mils (unidad de longitud, 1/1000 de pulgada). El área de sección transversal está dada

en circular mils. Un circular mil es el área de un círculo de un mil de diámetro. El

círculo de un mil de diámetro. El círculo tiene un área de (π/4)(1)mil2 ó 0.7854 mil2.

El sistema AWG (American Wire Gage) está basado en una simple progresión

geométrica. El diámetro del No. 0000 es definido como 0.46 pulgadas, y el No. 36

como 0.005. Existen 38 tamaños entre estos dos; de aquí que la razón de cualquier

diámetro al diámetro del siguiente número más grande está dado por: 1 390.46 1.1229322

0.005An ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3Lino Coria Cisneros


Observando que nos conduce a concluir que el diámetro se duplica por

una diferencia de seis calibres.

6 2.005An =

En conductores trenzados en forma concéntrica, cada capa sucesiva contiene seis

alambres más que en la anterior. Existen dos construcciones básicas: núcleo de un solo

alambre y núcleo de tres alambres. El número total de alambres (N) en un conductor

con n capas sobre el núcleo, está dada por


1+

3

( )3 1N n n= + para núcleo de un alambre

( )3 2N n n= + + para núcleo de tres alambres.

El tamaño d en un conductor trenzado en un conductor trenzado con un área de

conductor total de A circular mils y N alambres es 1 2Ad m

N⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ils .

TIPOS DE CONDUCTORES Y MATERIALES CONDUCTORES. Los conductores de fase en sistemas de transmisión en EHV-UHV(Extra High

Voltaje-Ultra High Voltaje), emplean conductores de aluminio, así como aluminio y

acero para conductores de guarda. Existen muchos tipos de cables. Estos incluyen los

siguientes:

A. Conductores de Aluminio

Existen cinco diseños en uso común:

0. Diseños homogéneos: estos están denotados como AAC (All-Aluminium-

Conductor) o AAAC ( All-Aluminium-Alloy conductor).

1. Diseños compuestos: esencialmente ACSR (Aluminium Conductor Steel

Reinforced) con núcleo de acero.

2. ACSR expandido: estos usan torzales de aluminio sólidos con un núcleo de acero.

La expansión se lleva a cabo por medio de hélices abiertas de alambre de aluminio,



tubos concéntricos flexibles ó bien una combinación de alambres de aluminio y

cuerdas fibrosas.

3. Conductores de Aluminio revestido (Aluminium-Clad Alumoweld)

4. Conductores de aluminio cubierto (Aluminium-coated)

B. Conductores de acero.

Se utilizan conductores de acero galvanizado con varios espesores de recubrimiento

de zinc.


RESISTENCIA SERIE.

La resistencia de un conductor es la causa principal de la pérdida de potencia en la

línea de transmisión. La resistencia de corriente directa está dada por la conocida

fórmula

CDlR ohm

Aρ

=

donde

ρ es la resistividad del conductor

es la longitud l

A es el área de sección transversal.

Cualquier conjunto consistente de unidades puede ser utilizado en el cálculo de la

resistencia. En el sistema Internacional de unidades (SI), ρ se mide en ohms-

metro, la longitud en metros y el área de sección transversal en metros al cuadrado. Un

sistema comúnmente usado por los ingenieros de sistemas de potencia expresa la

resistividad en ohms circular mils por pie, longitud en pies y el área en circular mils.

En los manuales se dan los valores de la resistividad para una colección importante

de materiales usados en redes eléctricas. La resistencia del conductor se obtiene,

generalmente, para 200 C. El ajuste por temperatura del conductor se efectúa a través

de la conocida fórmula:

( )2 1 2 11R R T Tα⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ ( )2 1 2 11R R T Tα⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ .

En la fórmula anterior R2 es la resistencia a temperatura T2, y R1 es la resistencia a

temperatura T1. Las variaciones de resistencia con la temperatura usualmente no son

importantes (por ejemplo, 17% de incremento en la resistencia del cobre para un

cambio de temperatura de 00 C a 400 C).




Existen sin embargo ciertas limitantes en el uso de esta ecuación para el cálculo de

la resistencia de conductores de la línea de transmisión:

1. Se introduce un pequeño error cuando el conductor es trenzado y no sólido. Esto se

debe a que los filamentos individuales son un poco más largos que el conductor

mismo.

2. Cuando fluye corriente alterna en un conductor, la densidad de corriente no se

distribuye uniformemente sobre el área de sección transversal. Esto se denomina

efecto pelicular y es el resultado de una distribución de flujo no uniforme en el

conductor. Lo anterior incrementa la resistencia del conductor al reducir el área

efectiva de sección transversal a través de la cual fluye la corriente. Las tablas

proporcionadas por los fabricantes dan la resistencia a frecuencias comerciales de

25, 50 y 60 Hz.

3. La resistencia en conductores magnéticos varía de acuerdo a la magnitud de la

corriente. El flujo, y por lo tanto las pérdidas magnéticas dentro del conductor,

dependen de la magnitud de la corriente. Las tablas de conductores magnéticos

tales como ACSR, incluyen los datos de las resistencias a dos diferentes nivels de

conducción para mostrar el efecto.

4. En una línea de transmisión no hay uniformidad en la distribución de la corriente,

en adición de la causada por el efecto pelicular. En una línea de dos conductores,

menos líneas de flujo enlazan a los elementos más cercanos entre si en los lados

opuestos, que las líneas de flujo que enlazan a los elementos más alejados. De aquí

que los lados más cercanos tendrán menor inductancia que los elementos en los

lados más alejados. El resultado es una mayor densidad de corriente en los

elementos conductores adyacentes más cercanos entre si, que en los elementos más



apartados de estos conductores. La resistencia efectiva se incrementa por la no

uniformidad de la distribución de la corriente. El fenómeno se conoce como efecto

de proximidad. Este está presente tanto en circuitos trifásicos, como en circuitos

monofásicos. Para el espaciamiento usual en las líneas de 60 Hz, el efecto de

proximidad se desprecia.

CONDUCTANCIA EN DERIVACION. Este parámetro modela básicamente dos fenómenos que conducen a pérdidas de

potencia real: corrientes de fuga en aisladores y efecto corona.

Generalmente las pérdidas de potencia real debidas a dichos fenómenos son muy

pequeñas comparadas con las pérdidas I2 R en los conductores. Por esta razón este

parámetro se desprecia en los estudios de sistemas de potencia.


INDUCTANCIA SERIE.

INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR SÓLIDO. La inductancia de un circuito magnético con permeabilidad constante μ se puede

obtener a través de:

1. Intensidad de campo magnético H, a partir de la Ley de Ampére.

2. Densidad de campo magnético B (B = μH).

3. Encadenamientos de flujo λ.

4. De la razón I Lλ = .

Calcularemos las inductancias asociadas con el flujo interno, externo y finalmente la

total, que sería la suma de estas. Lo anterior para un conductor sólido inicialmente.

Posteriormente calcularemos el flujo que enlaza un conductor en un arreglo de conductores

en los que fluye una corriente.

Supondremos, sin sacrificar precisión y validez de los resultados, las siguientes

simplificaciones:

1. La longitud del conductor es infinita, esto es, se desprecian los llamados efectos

finales.

2. El material del conductor es no-magnético, es decir H/m. 70 4 10μ μ π −= = ×

3. Densidad de corriente uniforme, o sea efecto pelicular despreciable.

Consideremos la figura 1, la cual muestra la sección transversal de un conductor

cilíndrico, sólido y de una longitud unitaria. Observamos que por simetría las líneas de

flujo del campo magnético es concéntrico, y por lo tanto no tienen componente radial sino

únicamente tangencial, aplicamos la Ley de Ampére:

H dl I• =∫ (0.1)



H: Intensidad de campo magnético, A-vuelta/m

l : Distancia a lo largo de la trayectoria, m

I: Corriente encerrada por la trayectoria, Amp.

dl

dx

flujo

x

r

dl

dx

flujo

x

r

Figura 0.1. Sección transversal del conductor.

Sea Hx la componente tangencial de la intensidad de campo magnético a una

distancia de x metros del centro del conductor, entonces de la ecuación (0.1):

x xH dl I=∫ (0.2)

de donde resolviendo:

2 x xxH Iπ = (0.3)

aquí Ix es la corriente encerrada por la trayectoria de integración.

Si suponemos distribución uniforme tendremos: 2

2XxI Ir

ππ

= (0.4)

Sustituyendo (0.4) en (0.3) y despejando Hx:

22xxHr

Iπ

= A-vuelta/m



De aquí la densidad de flujo a x metros del centro del conductor será:

22x xxIB Hr

μμπ

= = Wb/m2

μ es la permeabilidad magnética del material.

En el elemento anular de espesor dx, el flujo es xd B Aφ = , donde A es el área del

elemento diferencial .A dx long axial= × , y como la longitud axial es igual a 1 m, entonces

y A dx= xd B dxφ = .

De aquí tendremos:

22xId dx Webersr

μφπ

= (0.5)

Los enlaces de flujo dλ por metro de longitud, en el elemento anular, serán: 2 3

2 4 /2

x Ixd d dx Wb vuelta mr r

π μλ φπ π

= = −

De lo anterior tendremos: 3

int 40 2

r Ix dxr

μλπ

= ∫

de donde finalmente

int 8Iμλπ

= Wb-vuelta/m .

En el sistema internacional de unidades 70 4 10 /H mμ π −= × y como además

r0

μμμ

= , entonces 1rμ = y tendremos

7int 10 /

2I Wb vuelta mλ −= × − (0.6)

y de aquí 7

int 1 2 10 /L H m−= × (0.7).

Nos referimos a la inductancia por metro simplemente como inductancia.



INDUCTANCIA DEBIDA A ENLACES DE FLUJO EXTERNOS AL CONDUCTOR. En referencia a la figura 2, calculemos los enlaces de flujo entre los puntos D1 y D2.

En el elemento tubular de espesor dx situado a una distancia de x metros del conductor, la

intensidad de campo magnético es Hx y la FMM (fuerza magneto-motriz) alrededor del

elemento diferencial será 2 xH Iπ = .

D1

D2

P1

P2

xdx

FLUJO

D1

D2

P1

P2

xdx

FLUJO

Figura 2. Enlaces de flujo magnético debidos a flujo externo.

Despejando de la última ecuación y recordamos que B Hμ= , obtenemos

2xIH

xπ=

2/2x

IB Wb mx

μπ

=

El flujo dφ en el elemento tubular de espesor diferencial será



2Id dxx

μφπ

=

donde y por otro lado 1Area dx m= × d dφ λ= , ya que el flujo completo enlaza solo una

vez al conductor y entonces tendremos:

2

1

212

1

/2 2

D

D

DI Idx Ln Wb vuelta mx D

μ μλπ π

= = −∫

para μr = 1, tendremos

7 212

1

2 10 /D

Ln Wb vuelta mD

λ −= × − (0.8).

Finalmente la inductancia debida al flujo enlazado entre los puntos P1 y P2 es:

7 212

1

2 10 /D

L LnD

−= × H m (0.9).

INDUCTANCIA DE UNA LINEA MONOFASICA.

D

r1

r2

12

D

r1

r2

12

Figura 3. Inductancia de una línea monofásica.



Consideremos una línea monofásica como se muestra en la figura 3. Los

conductores son sólidos y uno de ellos es el retorno del circuito. Sea I la corriente fluyendo

en un conductor y –I fluirá en el otro. Notamos que una línea de flujo a una distancia

mayor ó igual a D + r2 enlaza una corriente neta de valor cero y por lo tanto no induce

voltaje. Por toro lado, el flujo entre r1 y D – r2 enlaza una corriente de valor I, mientras que

entre D – r2 y D + r2, lo cual constituye la superficie del conductor, la fracción de corriente

enlazada por el flujo varía de 1 a 0, desde D – r2 hasta D + r2, respectivamente.

Consideramos que D es mucho mayor que r1 y r2, y que además la distribución de

corriente es uniforme. Por otro lado suponemos que el flujo exterior producido en el

conductor 1 y que se extiende hasta el centro del conductor 2 enlaza una corriente neta

cero, podemos usar (0.9) para obtener para el caso presente:

71,

1

2 10 /extDL Ln H mr

−= × (0.10).

Para el flujo interno:

71,int

1 10 /2

L H m−= ×

Con lo anterior la inductancia total del circuito, debida a la corriente en el conductor 1 será:

71

1

1 2 102

DL Ln Hr

−⎛ ⎞= + ×⎜ ⎟⎝ ⎠

/ m (0.11)

lo anterior puede escribirse como:

17 7 4

11 1

12 10 2 104

D DL Ln Ln er r

− − ⎛ ⎞⎛ ⎞= × + = × +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ln

71 1

41

2 10 DL Lnr e

−

−= ×

Finalmente si definimos 1

' 41 1 0.7788r r e r

−= = 1 , tendremos:

71 '

1

2 10 /DL Ln H mr

−= × (0.12).

El flujo enlazado del conductor 2 será:

72 '

2

2 10 /DL Ln H mr

−= × .



Para μ = constante, las FMM de ambos conductores se suman, así como sus inductancias.

Pare el circuito completo tendremos:

71 2 ' '

1 2

4 10 /DL L L Ln H mr r

−= + = × (0.13)

En caso de que ' , la inductancia total se reduce a: ' '1 2r r r= =

7'4 10 /DL Ln H m

r−= × (0.14).

La ecuación (0.14) nos da la inductancia debida a dos conductores, con uno

actuando como retorno y se denomina inductancia por metro de lazo, para distinguirla de la

inductancia atribuida a un solo conductor dada por la ecuación (0.12) y la cual es igual a la

mitad de la inductancia dad por la ecuación (0.14).

ENLACES DE UN CONDUCTOR EN UN GRUPO. Consideremos un grupo de conductores en el cual la suma de las corrientes es cero,

tal como se muestra en la figura 4.

. . .

P

1

2

3

n

D1P

D2P

D23D3P DnP

. . .

P

1

2

3

n

D1P

D2P

D23D3P DnP

Figura 4. Enlaces de un conductor en un grupo.



Sean I1, I2,…, In las corrientes que circulan en los respectivos conductores. Sea

además λ1P1, los encadenamientos de flujo del conductor 1 debidos a la corriente I1,

incluyendo el flujo interno, pero excluyendo todo el flujo exterior a P.

De las ecuaciones (0.6) y (0.8):

7 71 1 11 1 1 1 '

1 1

2 10 2 102

P PP

I D D/I Ln I Ln Wb vuelta m

r rλ − −⎛ ⎞

= + × = × −⎜ ⎟⎝ ⎠

Por otro lado, λ1P2 es el flujo que enlaza al conductor 1 y debido a la corriente I2,

pero excluyendo el flujo después del punto P y está dado por:

7 21 2 2

12

2 10 PP

DI Ln

Dλ −= ×

Finalmente λ1Pnes el flujo que enlaza al conductor 1 debido a In, la corriente

fluyendo por el conductor n, y acotado por la distancia al punto P, el cual estará dado por:

71

1

2 10 nPPn n

n

DI Ln

Dλ −= ×

Si denotamos como λ1P al flujo que enlaza al conductor 1 y debido a la corriente

fluyendo en todos los conductores, pero excluyendo el flujo después del punto P, este será

igual a la suma de los flujos antes mencionados, es decir

7 31 21 1 2 3'

1 12 13

2 10 ......P nP PP n

n

D DD DI Ln I Ln I Ln I Lnr D D

λ − ⎛ ⎞= × + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠1

P

D (0.15)

lo anterior puede escribirse como sigue:

71 1 2 1 1 2 2'

12 11

1 1 12 10 ...... ...P n Pn

I Ln I Ln I Ln I Ln D I Ln D I Ln DD Dr

λ − ⎛ ⎞= × + + + + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠P n nP

pero tomando en cuenta que 1 2 ... 0nI I I+ + + = , tendremos ( )1 2 1...n nI I I I −= − + + + ,

podremos sustituir esta relación en la ecuación anterior con lo que obtenemos:

( )( )17 1 2

1 1 2 1 2 1'1 12 1

1 1 12 10 ...... ... n PP PP n n

n nP nP n

DD DI Ln I Ln I Ln I Ln I Ln I Lnr D D D D D

λ −−−

⎛ ⎞= × + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠P

Supongamos ahora que movemos el punto P a una distancia cada vez más



grande. En el límite, cuando el punto P se sitúa en el infinito, las razón 1iP

nP

DD

→ , con lo

que 0iP

nP

DLn

D→ .

Tomando en cuenta lo arriba expuesto en la última ecuación obtenemos finalmente

para los enlaces de flujo asociados con el conductor 1:

71 1 2'

12 11

1 1 12 10 ...... /nn

I Ln I Ln I Ln Wb vuelta mD Dr

λ − ⎛ ⎞= × + + + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (0.16).

La ecuación anterior es muy importante pues la usaremos en nuestro desarrollo

posterior y expresa todos los enlaces de flujo del conductor 1 en un grupo de conductores,

con la condición de que . 1

0n

KK

I=

=∑

INDUCTANCIA DE CONDUCTORES COMPUESTOS.

Consideremos dos conductores compuestos por un determinado número de

filamentos como se muestra en al figura 5.

......

a

b

c

na’

b’

c’

m

CONDUCTOR X CONDUCTOR Y

......

a

b

c

n

...

a

b

c

na’

b’

c’

m

CONDUCTOR X CONDUCTOR Y

Figura 5. Conductores compuestos.



Como podemos observar, el conductor X está formado por n filamentos, mientras

que el conductor Y lo está por m filamentos. Todos los filamentos son redondos e

idénticos. Suponemos que la corriente se reparte de manera uniforme, de tal manera que

ésta se reparte igualmente en todos los filamentos o torzales, es decir, una corriente I/n en

cada filamento del conductor X, mientras que –I/m fluye en cada filamento del conductor Y.

Si hacemos uso de la ecuación (0.16) en el filamento a del conductor X obtenemos

7 7'

' '

1 1 1 1 1 12 10 ...... 2 10 ...aab an aa ab ama

I ILn Ln Ln Ln Ln Lnn D D m D Dr

λ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × + + + − × + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ D

por lo que

( )( )

( )( )

1' ' ' '7

1'

...2 10 /

...

maa ab ac an

a n

a ab ac an

D D D DI Ln Wb vuelta m

r D D Dλ −= × − (0.17)

Tomando en cuenta que Liλ = , dividimos (0.17) por I/n encontrando finalmente

con esto la inductancia

( )( )( )

1' ' '7

1'

...2 10 /

...

maa ab ac ama

a n

a ab ac an

D D D DL n Ln

I n r D D D

λ −= = × H m (0.18)

De manera similar para el filamento b del mismo conductor obtenemos:

( )( )( )

1

' ' '71'

...2 10 /

...

mba bb bc bmb

b n

ba b ac bn

D D D DL n Ln

I n D r D D

λ −= = × H m (0.19)

Con la finalidad de calcular la inductancia del conductor X, definamos la

inductancia promedio de éste como:


2

...prom a b c nLX

L L L LL

n n+ + + +

= =...a b c

promL L L L

Ln

n+ + + += (0.20)


Como el conductor X está formado por n filamentos en paralelo, podemos calcular

fácilmente la inductancia de éste si consideramos la inductancia de cada filamento como

igual a Lprom. El resultado de esto es:

2

...prom a b cX

L L L L LL

n nn+ + + +

= = (0.21).

Sustituyendo las expresiones anteriores para las inductancias de los filamentos en

esta última ecuación, obtenemos la expresión para Lx:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

1 1' ' ' ' ' '2 7

1 1' '

... ... ...1 2 10 ...

... ... ...

m maa ab am ba bb bm na nb nm

X n n

a ab ac an ba b bc bn na nc n

D D D D D D D D DL n n Ln Ln Ln

r D D D D r D D D D r−⎡ ⎤⎢ ⎥= × + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

1

1'

m

n

Sustituyendo por respectivamente, obtenemos finalmente ' ', ,...a br r , ,...aa bbD D

( )( ) ( )

( )( ) ( )2

1

' ' ' ' ' '71

... ... ... ...2 10 /

... ... ... ...

mnaa ab am ba bb bm na nb nm

X n

aa ab ac an ba bb bc bn na nc nn

D D D D D D D D DL Ln H m

D D D D D D D D D D D−

⎡ ⎤⎣ ⎦= ×⎡ ⎤⎣ ⎦

(0.22)

La expresión anterior da lugar a dos definiciones muy importantes. A la raíz mn del

producto de las mn distancias, se le conoce como con el nombre de Distancia Media

Geométrica ó GMD (por sus siglas en inglés); también algunos autores la denominan GMD

mutua y se abrevia como GMD ó Dm. La raíz n2 de estos términos se conoce como Radio

Medio Geométrico GMR (por sus siglas en inglés), ó bien GMD propia ó simplemente DS,

como algunos autores lo denotan.

En términos de la definición anterior tenemos:

72 10 /mX

s

DL Ln

D−= × H m (0.23).



Finalmente la inductancia del conductor Y se obtiene de manera similar, y con esto

la inductancia de la línea será . X YL L L= +

INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA. Como un primer paso para el análisis de las líneas aéreas de transmisión trifásicas,

consideremos la configuración que resulta de situar los conductores de fase en los vértices

de un triángulo equilátero, es decir, una configuración en la que los conductores están

equidistantes, como se muestra en la figura 6. Además no existe conductor neutro y se

cumple que . 0a b cI I I+ + =

D

D D

a

bc D

D D

a

bc Figura 6. Línea trifásica equilátera.

Usando la ecuación (0.16) para el conductor a de esta configuración obtenemos

7'

1 12 10a a b cI Ln I Ln I LnD Dr

λ − ⎛ ⎞= × + +⎜ ⎟⎝ ⎠

1

la ecuación anterior se puede escribir como:

( )7'

1 12 10 /a a b cI Ln I I Ln Wb vuelta mDr

λ − ⎛ ⎞= × + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

pero además tenemos que ( )a b cI I I= − + , por lo que

7 7' '

1 12 10 2 10 /a a a aDI Ln I Ln I Ln Wb vuelta m

Dr rλ − −⎛ ⎞= × − = × −⎜ ⎟

⎝ ⎠



de donde finalmente

72 10 /aDL Ln H mr

−= ×′

(0.24).

Las ecuaciones para las fases b y c son iguales por simetría y la ecuación (0.24) nos define

la inductancia de la línea por fase, para la línea trifásica con arreglo equidistante. La

ecuación (0.24) es válida para el caso general si consideramos DS en lugar de r’ para el caso

de conductores trenzados.

INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO NO SIMETRICO.

En este caso el flujo enlazado y las inductancias de cada fase no son iguales. Sin

embargo si observamos cuidadosamente, lo anterior se debe a que los cocientes de los

logaritmos de la expresión de la inductancia, no son iguales. Lo anterior se resuelve si

hacemos que cada fase ocupe las tres posiciones posibles en el trayecto de la línea de

transmisión. Esto se puede lograr si dividimos la línea en tres secciones de igual longitud,

y hacemos que cada conductor ocupe cada una de estas posiciones por espacios iguales, es

decir, en el trayecto de cada sección de longitud l/3. En general, se puede dividir la línea

en un número de secciones que sea múltiplo del número de fases, o sea tres para el caso

trifásico, y haciendo que cada conductor ocupe las posiciones posibles un número de veces

igual al múltiplo de tres en que se dividió la línea. Lo anterior se muestra en la figura 7,

para el caso trifásico. Esta técnica se conoce como transposición.

l/3 l/3 l/3

1

32

D31

D23

D12

Pos 1

Pos 2

Pos 3Cond a

Cond c

Cond c

Cond c

Cond b

Cond b

Cond b Cond a

Cond a

l/3 l/3 l/3l/3 l/3 l/3

1

32

1

32

D31

D23

D12

Pos 1

Pos 2

Pos 3Cond a

Cond c

Cond c

Cond c

Cond b

Cond b

Cond b Cond a

Cond a

Figura 7. Transposición completa de una línea trifásica.



Determinaremos la inductancia promedio de la línea transpuesta, obteniendo los

enlaces de flujo asociados con cada posición y promediándolos.

Para la primera sección de la línea tenemos:

71

12 13

1 1 12 10 /a a b cI Ln I Ln I Ln Wb vuelta mr D D

λ − ⎛ ⎞= × + + −⎜ ⎟′⎝ ⎠

Para la segunda sección obtenemos:

72

23 12


λ − ⎛ ⎞= × + + −⎜ ⎟′⎝ ⎠

Finalmente para la tercera sección

73

31 23


λ − ⎛ ⎞= × + + −⎜ ⎟′⎝ ⎠

Los encadenamientos de flujo promedio, pertenecientes a la fase a, son:

7

1 2 3

12 23 31 12 23 31

2 10 1 1 133 3

a a aa a b cI Ln I Ln I Ln

r D D D D D Dλ λ λ

λ− ⎛ ⎞+ + ×

= = + +⎜ ⎟′⎝ ⎠.

Sin embargo recordemos que ( )a b cI I I= − + . Sustituyendo esta restricción encontramos:

7

12 23 31

2 10 1 133a a aI Ln I Ln

r D D Dλ

− ⎛ ⎞×= −⎜ ⎟′⎝ ⎠

.

Factorizando esta última ecuación llegamos a:

( )1 312 23 3172 10 /a a

D D DI Ln Wb vuelta m

rλ −= × −

′ (0.25)



Finalmente obtenemos

72 10 /eqaa

a

DL Ln

I rλ −= = ×

′H m (0.26)

donde ( )1 312 23 31eqD D D D= .

Una forma común de escribir la ecuación (0.26) es: 72 10 eqa

S

DL Ln

D−= × . Aquí

DS = GMR del conductor, mientras que Deq = Media Geométrica de las distancias.

RADIO GEOMETRICO MEDIO DE UN HAZ DE CONDUCTORES.

Debido a la importancia de los haces de conductores en líneas de transmisión aéreas

de EHV y UHV, nos ocuparemos a continuación del desarrollo de los conceptos y

ecuaciones asociadas con el Radio Geométrico Medio de un haz de conductores.

1NN

π−

2Nπ

4Nπ

1

2

3

R

BN

Nπ

1NN

π−

2Nπ

4Nπ

1

2

3

R

BN

Nπ

Figura 8. Haz de conductores.



En referencia a la figura 8, denominamos espaciamiento del haz al espaciamiento

entre conductores adyacentes y lo denotaremos por B. Por otro lado, el radio del haz será

denotado por R, mientras que el radio de lo subconductores es r y su diámetro es d.

El ángulo formado en el centro por dos subconductores adyacentes es ( )2 Nπ

radianes y se obtiene como sigue:

( )2B R sen Nπ=

de donde obtenemos:

( )2BR

sen Nπ=

El GMR se desarrolla a continuación; el producto de las ( N-1) distancias mutuas

está dado por:

( ) 12 3 1 22 2 2 .... 2 2 ...NN NR sen R sen R sen R sen R sen sen senN N N N N N Nπ π π π π 1π π−− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎞⎟⎠

de donde obtenemos:

( )1

1 2 12 ....N

NS

NGMR D r R sen sen senN N Nπ π π− −⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

A continuación se listan algunos casos obtenidos a partir de esta última ecuación.

Para N=2, haz de dos conductores:

( )1 22GMR rR=

Para N=3, haz de tres conductores:

( )1 2

1 32 2 222 33 3

GMR R r sen sen rRπ π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Para N=4, haz de cuatro conductores:

( )1 4

1 43 3 32 32 44 4 4

GMR R r sen sen sen rRπ π π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠



Para N=6, haz de seis conductores:

( )1 6

1 65 5 52 52 ..... 66 6 6

GMR R r sen sen sen rRπ π π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

En general tenemos:

( )11 NNGMR NrR −= .

LINEAS DE TRANSMISION DE DOBLE CIRCUITO. Otro caso sumamente importante es el de líneas de transmisión de doble circuito.

Por esto tratamos aquí explícitamente dicho caso, aunque con las bases proporcionadas

hasta ahora, su análisis no resulta difícil, ni mucho menos novedoso.

B CC’

2a sección

A

B

C

A’

B’

C’

D1

D2

D3

f

g

h

p

3a sección

A

B A’

B’

D1

D2

D3

fg

h

p

1a sección

A

C A’

B’

C’

D1

D2

D3

f

g

h

pB CC’

2a sección

A

B

C

A’

B’

C’

D1

D2

D3

f

g

h

p

2a sección

A

B

C

A’

B’

C’

D1

D2

D3

f

g

h

p

3a sección

A

B A’

B’

D1

D2

D3

fg

h

p

3a sección

A

B A’

B’

D1

D2

D3

fg

h

p

1a sección

A

C A’

B’

C’

D1

D2

D3

f

g

h

p

1a sección

A

C A’

B’

C’

D1

D2

D3

f

g

h

p

Figura 9. Línea de transmisión de doble circuito transpuesta.

Con referencia a la figura 9, consideremos la línea de doble circuito transpuesta.

Aplicando los conceptos discutidos hasta ahora, obtendremos los enlaces de flujo asociados

con las tres secciones de la línea mostradas en la figura 9.

Los enlaces de flujo de la 1a sección:

71

3 2

1 1 1 1 1 12 10a a b cI Ln Ln I Ln Ln I Ln Lnr f D g D h

λ − ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= × + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

.



Los enlaces de la 2a sección:

72

1 3

1 1 1 1 1 12 10a a b cI Ln Ln I Ln Ln I Ln Lnr p D g D g

λ − ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= × + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Finalmente para la 3a sección:

73

2 1

1 1 1 1 1 12 10a a b cI Ln Ln I Ln Ln I Ln Lnr f D h D g

λ − ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞= × + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟′⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

⎞⎟⎠

.

El flujo promedio para la fase a será: ( 1 2 313a a a )aλ λ λ λ= + + , por lo que

sustituyendo las ecuaciones anteriores obtendremos:

7

2 21 2 3 1 2 3

2 10 1 1 1 1 1 133a a b cI Ln Ln I Ln Ln I Ln Ln

r D D D D D D 2f p g hλ

− ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞×= + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦g h

( )7

2 21 2 3

2 10 1 1 1 133a a b cI Ln Ln I I Ln Ln

r D D Df p gλ

− ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞×= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟′⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦h

c

.

Sin embargo sabemos que a bI I I− = + , y por tanto

( )7

21 2 32

2 10 1 133a a aI Ln Ln I Ln D D D g h

r f pλ

− ⎡ ⎤⎛ ⎞×= + +⎢ ⎥⎜ ⎟′⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( )1 37 2

1 2 31 32

1 12 10a aI Ln Ln Ln D D D g hr f p

λ −⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= × + +⎢ ⎥⎜ ⎟′⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

factorizando obtenemos:

( )1 3 2 3 1 31 2 372 10 Wb-vuelta/ma a

D D D g hI Lnr f p

λ −⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦



Y de aquí finalmente

( )1 3 2 3 1 31 2 372 10 /a

aa

D D D g hL Ln H mI r f pλ −

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= = × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦.

CAPACITANCIA.

CAMPO ELECTRICO Y VOLTAJE EN UN CONDUCTOR CILINDRICO SOLIDO.

Otro parámetro en la línea de transmisión es la capacitancia. Este parámetro modela

el campo eléctrico que se establece entre los conductores de la línea de transmisión, y entre

los conductores y tierra, y que es debido a la presencia de carga en dichos conductores.

La capacitancia entre conductores en un medio de permitividad constante ε se puede

obtener como sigue:

1. A partir de la ley de Gauss obtenemos la intensidad de campo eléctrico E.

2. En función de la intensidad de campo eléctrico, obtenemos el voltaje entre

conductores, y finalmente

3. Conocido el voltaje podemos obtener la capacitancia por unidad de voltaje

( C = q/V ).

Antes de seguir con el procedimiento indicado arriba, es importante mencionar que

el método descrito no es el único, pero uno de los más usados. Para estudiar

procedimientos alternativos, se sugiere al lector consultar los libros listados en la

bibliografía.

La ley de Gauss establece que

encerradaD ds E ds Qε• = • =∫∫ ∫∫ (27)

donde:

D: Densidad de flujo eléctrico

E: Intensidad de campo eléctrico

ds: Elemento diferencial de área.



Consideremos un conductor cilíndrico sólido, conductor perfecto, y el cual tiene

una distribución uniforme de carga, tal como se muestra en la figura 10.

_

+

+

+

+++

+

+

+

++

P1

P2

V12

x

r

EX

1 m

_

+

+

+

+++

+

+

+

++

P1

P2

V12

x

r

EX

1 m

Figura 10. Conductor cilíndrico sólido.

En este punto haremos algunas suposiciones, sin comprometer de manera notoria la

precisión de los resultados que vamos a obtener:

1. la longitud del conductor es suficientemente grande para despreciar los llamados

efectos finales.

2. Supondremos un conductor perfecto, es decir, resistividad igual a cero, ρ = 0.

De acuerdo a la segunda suposición, la ley de Ohm nos permite concluir que el campo

interior en el conductor es cero, dado por int 0E Jρ= = (flujo interno cero).

Considerando la superficie gaussiana formada por el cilindro de 1 metro de longitud

de la figura 10 (mostrada con trazos punteados), vemos que existe no componente

tangencial de E y que la componente radial EX es constante. Tomando en cuenta las

observaciones arriba mencionadas en la ecuación (0.27) obtendremos:

( )( )2 1xE xε π Q=



Y a partir de esta ecuación obtenemos

/2x

QE V mxπε

= (0.28)

donde 120 8.854 10 /F mε ε −= = × para conductores en el vacío.

Las superficies de potencial constante (superficies equipotenciales) son cilindros

concéntricos al conductor. La diferencia de potencial entre dos cilindros concéntricos a

distancias D1 y D2 está dada por:

2

1

12

D

xD

V E= ∫ dx (0.29)

sustituyendo (0.28) en (0.29) 2

1

212

12 2

D

D

DQ QV dx Ln voltsx Dπε πε

= =∫ (0.30).

Este resultado, aunque restringido, es muy útil para obtener

resultados más generales, lo cual haremos a continuación. Para esto consideremos un

arreglo de M conductores cilíndricos como se muestra en la figura 11. Suponemos que

cada conductor m tiene una carga de Q C/m uniformemente distribuida a lo largo del

conductor.

... .M

m

i

k

21

rm

+

_

Vki

... .M

m

i

k

21

rm

+

_

Vki

Dmk

DmiDmi

Dmk... .M

m

i

k

21

rm

+

_

Vki

... .M

m

i

k

21

rm

+

_

Vki

... .M

m

i

k

21

rm

+

_

Vki

... .M

m

i

k

21

rm

+

_

Vki

Dmk

DmiDmi

Dmk

Figura 11. Arreglo de M conductores.



Sea Vkim el voltaje entre los conductores k e i debido a la carga qm actuando sola.

Entonces el valor de este voltaje estará dado por la ecuación

12

mikim m

mk

DV q Ln voltsDπε

= (0.31)

aquí Dmm = rm cuando k = m ó bien i = m.

Es importante notar que se ha despreciado la distorsión del campo eléctrico en la

vecindad de otros conductores.

Usando el principio de superposición, el voltaje Vki entre los conductores k e i

debido a todas las cargas es

1

12

Mmi

ki mm mk

DV q Ln voltiosDπε =

= ∑ (0.32).

CAPACITANCIA DE UNA LINEA MONOFASICA. Consideremos la línea monofásica mostrada en la figura 12.

D

I

-I

rX

rY

D

I

-I

rX

rY

Figura 12. Línea monofásica.



El conductor x tiene una carga uniforme q C/m, y por conservación de carga, el

conductor y tiene una carga –q C/m. Usando la ecuación (0.32) con k = x, i = y, m = x:

12 2

yx yy yx xyxy

xx xy xx

D D DqV q Ln q Ln LnD D Dπε πε

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ yy

DD

(0.33)

si usamos por otro lado, Dxy = Dyx = D , Dxx = rx y Dyy = ry tendremos:

xyx y

q DV Ln voltr rπε

= ios (0.34).

Finalmente para una línea de 1 metro de longitud, la capacitancia entre conductores

será:

/xyxy

x y

qC F m linea lineaDV Lnr r

πε= = − (0.35).

Por otro lado, en caso de que rx = ry = r, tendremos:

/xyC F m linea lineaDLnr

πε= − (0.36).



LINEA TRIFASICA. Consideremos la línea trifásica mostrada en la figura 13.

D

D D

a

bc D

D D

a

bc Figura 13. Línea de transmisión trifásica en disposición equilátera.

Suponemos, por ahora, que el efecto de tierra se desprecia y que no hay

conductor neutro, por lo que 0a b cq q q+ + = (cargas de secuencia positiva).

Usando la ecuación (0.33) con k = a, i = b, m = a,b,c, el voltaje Vab entre los

conductores a y b es:

12

ab bb bcab a b c

aa ab ac

D DV q Ln q Ln q LnD Dπε

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

DD

r D

con y tenemos: aa bbD D= = ab ba ca cbD D D D= = = =

12ab a b c

D rV q Ln q Ln q Lnr Dπε

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦DD

(0.37)

por lo que, dado que Ln 1 = 0

12ab a b

DV q Ln q Lnr Dπε

r⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ (0.37’).



El tercer término 0cDq LnD= debido a que los conductores a y b son equidistantes del

conductor c. Los conductores a y b están en un cilindro equipotencial para el campo

eléctrico debido a qc.

De manera similar de la ecuación (0.32) con k = a, i = c, m = a,b,c:

12

ca cb ccac a b c

aa ab ac

D D DV q Ln q Ln q LnD Dπε D

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

en donde, debido a que Dbc = Dab y por lo tanto 0DLnD= , obtenemos:

12ac a c

D rV q Ln q Ln voltiosr Dπε

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ (0.38)

Por otro lado recordamos que:

0 3 13 30 32 2ab an anV V V j

⎡ ⎤= ∠ = +⎢ ⎥

⎣ ⎦

0 3 13 30 32 2ac ca an anV V V V j

⎡ ⎤= − = ∠− = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

de las expresiones anteriores:

3ab ac anV V V+ = (0.39)

de donde sustituyendo (0.37’), (0.38) en (0.39):

( )1 1 23 2an a b c

D DV q Ln q qr Dπε

⎛ ⎞ ⎡= + +⎜ ⎟ Ln ⎤⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦




apero dado que , sustituimos en la última ecuación y obtendremos: b cq q q+ = −

12an a

DV q Ln voltiosrπε

= (0.40)

por lo que la capacitancia a neutro por longitud de línea será:

2 /aan

an

qC F m linea neutroDV Lnr

πε= = −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.41).

Además debido a la simetría del caso, se obtienen los mismos resultados para las otras

fases:

b cbn cn

bn cn

q qC CV V

= = .


CAPACITANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO ASIMETRICO.

El resultado obtenido en la sección anterior, en el cual existe un desacoplamiento

matemático en las expresiones de capacitancia, existe únicamente en la configuración

tratada en esta sección, en la cual los conductores son equidistantes. Cualquier otra

configuración conduce a una expresión imposible de simplificar en la forma como lo

hicimos antes, lo cual está asociado con expresiones para la capacitancia en las cuales

existe un acoplamiento matemático, producto de la asimetría de la configuración.

Una solución a este problema, la cual no se efectúa muy a menudo en la práctica

actualmente por múltiples razones, es la transposición completa de los conductores, la cual

fue discutida en el caso de la inductancia. El resultado de la transposición es el mismo que

en el caso de la inductancia, o sea, eliminar la asimetría causada por el hecho de que las

distancias entre conductores son diferentes, y se lleva a cabo bajo el principio de que cada

conductor ocupa las tres (en el caso trifásico) diferentes posiciones posibles, por secciones

de la misma longitud.

Con el fin de efectuar el análisis correspondiente al caso, nos referimos a la figura

14.

1

2

3

D12D23

D31(a,c,b)

(b,a,c)

(c,b,a)

1

2

3

D12D23

D31(a,c,b)

(b,a,c)

(c,b,a) Figura 14. Transposición completa de una línea trifásica.



Partimos de una línea completamente transpuesta, y para la primera sección del

ciclo de transposición tenemos:

23121 1 1 1

12 13

12ab a b c

DD rV q Ln q Ln q Lnr Dπε

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦D (0.42)

Para la segunda sección de transposición:

23 312 2 2 2

23 12

12ab a b c

D DrV q Ln q Ln q Lnr Dπε

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦D (0.43)

finalmente para la tercera sección de transposición:

31 123 3 3 3

31 23

12ab a b c

D DrV q Ln q Ln q Lnr Dπε

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦D (0.44).

Si despreciamos la caída de voltaje en cada sección, Vab será igual en todo el ciclo

de transposición. Se pueden escribir tres ecuaciones para y tres

ecuaciones más que igualen a cero la suma de las cargas en cada sección del ciclo de

transposición. Con esto obtenemos 9 ecuaciones en 9 incógnitas cuya solución nos

conduce a la obtención de las 9 cargas

0120bc abV V= ∠−

, , 1, 2,3ai bi ciq q q para i = . Lo anterior, aunque

posible, es muy complicado y optamos por una alternativa diferente para obtener la

solución.

Supondremos, sin menoscabo de la validez de este análisis, que :

1 2 3 1 2 3 1 2a a a b b b c cq q q q q q q q q= = = = = = 3c (0.45).

la solución se puede simplificar si hacemos uso del valor promedio de Vab:

( ) ( )1 213 ab ab abab promedioV V V= + + 3V



tomando en cuenta la ecuación (0.45) obtenemos:

3

12 23 31 12 23 313

12 23 31 12 23 31

16ab a b c

D D D D D DrV q Ln q Ln q LnD D D D D Drπε

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Notar que el argumento del último término logarítmico de esta ecuación es igual a

uno, por lo que esta expresión se reduce a:

12

eqab a b

eq

D rV q Ln q Lnr Dπε

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (0.46)

donde ( )1 312 23 31eqD D D D= .

De manera similar podemos obtener Vac, que resulta:

12

eqac a c

eq

D rV q Ln q Lnr Dπε

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (0.47)

si sumamos las ecuaciones (0.46) y (0.47): 3ab ac aV V V+ = , y además , lo

cual conduce a:

( )b cq q q+ = − a

1 13 2 32 2

eq eqan ab ac a a a

eq

D DrV V V q Ln q Ln q Lnr Dπε πε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ r

de donde obtenemos

2eqa

an

DqV Ln

rπε= (0.48)

de aquí que la capacitancia de línea a neutro de la línea transpuesta será:

2 /aan

eqan

qC F m

DVLn

r

πε= = a neutro (0.49).



LINEA TRIFASICA CON HACES DE CONDUCTORES.

En esta sección, analizaremos una línea de transmisión trifásica con haces de dos

conductores por fase. Suponemos que las cargas qa, qb, y qc son las cargas de las fases y

que cumplen la condición: . Además suponemos que cada conductor de

fase ( a y a’ por ejemplo) tiene una carga igual a la mitad de la carga por fase (q

0a b cq q q+ + =

a/2 en fase

a). Por otro lado haremos la suposición de que los espaciamientos entre fases son mucho

mayores que los espaciamientos entre los conductores del haz, por ejemplo,

( ) ( )ab abD d o D d D− + = .

a a’ b b’ c cDab Dbc

Dac

’

d

a a’ b b’ c cDab Dbc

Dac

’

d

Figura 15. Línea trifásica con conductores en haz.

Con referencia a la figura 15, usando la ecuación (0.32) con k = a, i = b, m =

a ,a’,b, b’, c, c’ tenemos:

' '

' '

12 2 2 2 2 2 2

a ab a ab b bb b bb c bc c bcab

aa aa ab ab ac ac

q D q D q D q D q D q DV Ln Ln Ln Ln Ln Ln

D D D D Dπε⎡ ⎤

= + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

'

'D

12 2 2 2

a ab ab b c bc bc

ab ab ac ac

q D D q q D Dr dLn Ln Lnr d D D D Dπε

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

⎞+ ⎟

⎠

12

ab bca b c

ab ac

D Drdq Ln q Ln q LnD Drdπε

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (0.50)

Es interesante observar que si sustituimos Daa, Dbb por rd en (0.33), obtenemos la

ecuación (0.50).



De acuerdo con lo anterior, para una línea transpuesta, la derivación de la

capacitancia de secuencia posistiva y negativa, sería similar a la asociada con la ecuación

(0.33) y resultaría

1 22 /

eq

sc

C C F mD

LnD

πε= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.51)

donde: scD rd= , para un haz de dos conductores.

De manera similar, ( )1 3scD rd= para un haz de tres conductores, y ( )1 431.091scD rd=

para un haz de cuatro conductores.

CORRIENTE CAPACITIVA Y POTENCIA REACTIVA. La corriente suministrada a la capacitancia de la línea será denominada corriente

capacitiva , a falta de un término más adecuado; lo anterior debido a que en inglés dicha

corriente se denomina “charge current”, pero la traducción literal no es muy apropiada, en

opinión del autor.

Para un circuito monofásico operando aun voltaje de línea a línea con valor 00xy xyV V= ∠ :

c xy xy xy xyI Y V j C V Ampω= = (0.52)

y la potencia reactiva: 2

2xyC xy xy xy xy

C

VQ Y V C

Xω= = = 2V (0.54).

Para una línea trifásica transpuesta con voltajes 00an anV V= ∠ en fase a:

1c an LNI YV j C V Ampω= = (0.55) 2 2

1 1 varc an LNQ YV C Vφ ω= = s

r

(0.56) 2 2

3 1 1 13 3 vac c LN LLQ Q C V C V sφ φ ω ω= = = (0.57)



EFECTO DE TIERRA.

Si observamos la ecuación (0.30), vemos que si el argumento del logaritmo permanece

constante, el potencial entre dos puntos en el espacio también será constante, es decir, todos

los puntos del espacio donde la razón ( )2 1D D , ( )2 1r r en la gráfica, permanece constante.

El lugar geométrico descrito por la condición mencionada lo constituyen las curvas

mostradas, las cuales se denominadas círculos armónicos. Estas representan las superficies

equipotenciales alrededor de la línea. En este caso no hay ningún otro conductor en la

vecindad, lo cual incluye por supuesto a tierra.

Campo eléctrico y superficies equipotenciales alrededor de una línea

En la figura anterior se muestra el caso mencionado arriba. El campo eléctrico lo

representan las líneas punteadas y son perpendiculares a las superficies equipotenciales.



La presencia de tierra distorsiona las líneas de campo eléctrico y las superficies

equipotenciales y con esto el valor de la capacitancia deberá cambiar, con respecto al

obtenido por los procedimientos usados anteriormente.

Consideremos que el efecto de tierra puede tomarse en cuenta aproximando la tierra como

un plano conductor horizontal de extensión infinita.

En los cursos de Teoría Electromagnética se estudia el método de las imágenes,

generalmente con relación a un dipolo. Aquí será aplicado en la solución del problema de

incluir el efecto de tierra en ele cálculo de la capacitancia en derivación de la línea.

La figura 16 muestra las líneas de campo eléctrico que se originan en una carga

positiva, el conductor de la línea, y terminan en el plano de tierra perpendicularmente.

Figura 16. Efecto del plano de tierra en el campo eléctrico de un conductor.



Reemplazamos ahora la tierra por un conductor del mismo radio que el original y

situado directamente debajo de este y con signo contrario al original, tal como se muestra

en la figura 17.

Figura 17. Método de las imágenes.

Se puede observar de la figura 17, que podemos quitar el plano de tierra sin que el

patrón de líneas de campo eléctrico se altere; por tanto el efecto de tierra se puede simular a

través de la carga de signo contraria agregada, la cual se denomina carga imagen.

Aplicamos este método al caso de una línea monofásica, lo cual se muestra en la

figura 18.



+Q

+Q-Q

-QX Y

X’ Y’

HXXHXY

D

H

+Q

+Q-Q

-QX Y

X’ Y’

HXXHXY

D

H

Figura 18. Efecto de tierra en una línea monofásica.

De la ecuación (0.32) obtenemos el voltaje entre conductores:

2xy yy yx

xyyy

xx xy xx

D D H HqV Ln Ln Ln LnD D H Hπε

⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦xy

2yx xy yx xy

xx yy xx yy

D D H Hq Ln LnD D H Hπε

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

xy

xx

Hq DLn Lnr Hπε

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦.

De aquí la capacitancia de línea a línea será:

/xyxyxy

xx

qC FHV DLn Ln

r H

mπε= =

− (0.58)



EFECTO DE TIERRA: LINEA TRIFASICA.

Consideremos una línea trifásica con N conductores neutros (hilos de guarda), como

se muestra en la figura 19.

. . ..

. . ..

PLANO DE TIERRA

a

a’

b

b’

c

c’

n1 n2 nN

n’1 n’2 n’N

Dan1

Haa Hab

. . ... . ..

. . ... . ..

PLANO DE TIERRA

a

a’

b

b’

c

c’

n1 n2 nN

n’1 n’2 n’N

Dan1

Haa Hab

Figura 19. Línea trifásica con hilos de guarda y efecto de tierra.

Los conductores conducen cargas ,

respectivamente; mientras que los conductores

1 2, , , , ,..., nNa b c n n n 1, , , ,...,a b c n nNq q q q q

1 2, , , , ,..., Na b c n n n′ ′ ′ ′ ′ ′ conducen cargas

. 1, , , ,...,a b c n nq q q q q− − − − − N

Aplicando la ecuación (0.32) se determina el voltaje entre el conductor k y su

imagen k’:

12

nN nNkm km

kk m mm a m akm km

H DV q Ln q Ln

D Hπε′= =

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑

2

2

nNkm

mm a km

Hq Ln

Dπε =

= ∑ (0.59).



El voltaje entre el conductor k y tierra, Vkn, será ala mitad de Vkk’:

1 12 2

nNkm

kn kk mm a km

HV V q Ln

Dπε′=

= = ∑ (0.60)

donde:

1 2

1 2

, , , , ,...,, , , , ,...,

N

N

k a b c n n nm a b c n n n==

Por otro lado, todos los conductores está aterrizados y por lo tanto:

1 20 , ,....,kn NV para k n n n 1 20 , ,....,kn NV para k n n= = n= = (0.61).

Si desarrollamos (0.60) y (0.61) y escribimos el resultado en forma matricial:

1

1

1

1

1

. . .

. . .

. . .. . . . . . . .0. . . . . . . . ... . . . . . . . ... . . . . . . . ..

. . .0

aa ab ac an anN aan

ba bb bc bn bnN bbn

ca cb cc cn cnN ccn

n

nNa nNb nNc nNn nNnN nN

P P P P P qVP P P P P qVP P P P P qV

q

P P P P P q

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎤⎡⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(0.62)

La matriz de coeficientes P es de orden (3+N)x(3+N) y sus elementos están dados por:

1 /2

kmkm

km

HP Ln m

Dπε= F (0.63)

donde:

1 2

1 2

, , , , ,...,, , , , ,...,

N

N

k a b c n n nm a b c n n n==

La ecuación (0.62) se puede escribir en forma particionada:

0PA BP

C D n

qP PVP P q

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (0.64)



VP: vector de (3x1) de voltajes de fase a neutro

qP: vector de (3x1) de cargas de conductor de fase

qP: vector de (Nx1) de cargas de conductores de fase

P: matriz de (3+N)x(3+N) y se particiona en las matrices:

PA: (3x3)

PB: (3xN)

PC:(Nx3)

PD:(NxN)

La ecuación (0.64) se puede escribir:

P A P B nV P q P q= + (0.65)

0 C P D nP q P q= + (0.66).

Despejamos qn en (0.66) y sustituimos en (0.65) para obtener: 1

n D Cq P P−= − Pq

)

(0.67)

sustituyendo (0.67) en (0.65) y factorizando:

( 1P A B D CV P P P P−= − pq (0.68)

Escrito de manera compacta:

P P Pq C V= (0.69)

donde:

( ) 11P A B D CC P P P P

−−= − F/m (0.69’)

La ecuación (0.69) relaciona cargas de conductores de fase con voltajes de fase a

neutro. De acuerdo con esto CP es una matriz de (3x3) de capacitancias de fase cuyos

elementos se denotan:

/aa ab ac

P ba bb bc

ca cb cc

C C CC C C C F

C C C

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

m (0.70)



CP es una matriz cuyos elementos diagonales son positivos y los de fuera de la diagonal son

negativos. Lo anterior está de acuerdo con el hecho de que cuando se aplica un voltaje de

fase a neutro positivo en una de las fases, se induce carga positiva en esa fase y por otro

lado se inducen cargas negativas en las otras fases.

En general CP no satisface las condiciones para una matriz de capacitancias

simétrica. Sin embargo, si la línea es transpuesta, los elementos diagonales y fuera de la

diagonal de CP se promedian y obtendremos:


m

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ /ˆ ˆ ˆ

aa ab ab

P ab aa ab

ab ab aa

C C C

C C C C F

C C C

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(0.71)

donde:

( )

( )

1ˆ /31ˆ /3

aa aa bb cc

ab ab bc ac

C C C C F

C C C C F

= + +

= + +

m

m

Podemos obtener aquí la matriz de admitancia en derivación:

( )2P P PY j C j f C Sω π= = / m (0.72)

o para línea transpuesta:

( )ˆ ˆˆ 2P P PY j C j f C Sω π= = / m (0.73)

Se puede también obtener representación de circuito de las capacitancias de una línea

transpuesta derivadas antes. Dicha representación se muestra enseguida


ab

c

n

-Ĉab

-Ĉab -Ĉab

Ĉaa+2Ĉab Ĉaa+2Ĉab Ĉaa+2Ĉab

ab

c

n

-Ĉab

-Ĉab -Ĉab

Ĉaa+2Ĉab Ĉaa+2Ĉab Ĉaa+2Ĉab

Figura 20. Representación de circuito de las capacitancias de una línea.




OPERACION DE LA LINEA DE TRANSMISION EN ESTADO ESTABLE.

En la secciones anteriores se obtuvieron fórmulas y metodologías para calcular los

parámetros de la línea de transmisión aérea. En lo que resta, analizaremos el

comportamiento en estado estable de la línea de transmisión.

Es común modelar a la línea como una red de dos puertos, por lo que

determinaremos sus parámetros correspondientes de red de dos puertos, demás se

introducirán los conceptos de potencia natural (SIL) y el concepto de cargabilidad.

Históricamente se han definido tres modelos de la línea de transmisión aérea,

supone el autor que eso se debió a que hace años, quizás muchos para las presentes

generaciones, no se disponía de herramientas de cálculo, como disponemos ahora, por lo

que era imprescindible que se usaran simplificaciones que facilitaran los cálculos. Esto

condujo a la definición de tres modelos de línea que aún en la actualidad pueden usarse en

algunos tipos de estudios. Estos modelos se discutirán a continuación.

APROXIMACIONES DE LINEA CORTA Y MEDIA.

Presentamos el primer modelo de línea de transmisión. Este modelo es válido, es

decir, proporciona buenos resultados en el caso de que la longitud de la línea no exceda 80

Km. Cuando nos referimos a buenos resultados, significa que son resultados con una

exactitud suficientemente buena, para que no invaliden los cálculos que se efectúan usando

dicho modelo.

En este modelo, denominado modelo de línea corta, se desprecian la resistencia en

serie, lo cual supone que la línea está caracterizada por una razón X/R muy grande, o sea el

valor de R es muy pequeño comparado con el de X. Esta suposición es correcta en líneas

de transmisión aérea en alto voltaje. Además se desprecia también la admitancia capacitiva

en derivación. Sin embargo como algunos autores incluyen la resistencia serie en este

modelo, nosotros la incluiremos con el fin de que el modelo sea lo más general.

Brevemente exponemos las características principales de una red de dos puertos.


RED DE DOSPUERTOS

VS

+ +

VR

_ _

IS IR

RED DE DOSPUERTOS

VS

+ +

VR

_ _

IS IR

Figura 21. Red de dos puertos.

La relación entre las variables de envío y de recepción está dado por:

S R R

S R R

V AV B I voltiosI CV D I amp

= += +

(1)

en forma matricial:

S R

S R

V VA BI IC D⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(2)

Los parámetros A, B, C, D dependen de los parámetros R, L y C de la línea, y en

general son complejos. A y D son adimensionales y B tiene unidades de ohm, mientras que

C unidades de Siemens.

En redes bilaterales, lineales, pasivas de dos puertos, se cumple que:

1AD BC− = (3). La figura 0.22 representa una línea de transmisión corta (l ≤ 80 Km.). Como se

puede observar se incluyen únicamente los parámetros serie.



+ +

_ _

VS VR

Z=zl=(R+jωL)lIS IR

+ +

_ _

VS VR

Z=zl=(R+jωL)lIS IR

Figura 22. Modelo de línea corta.

Definimos las siguientes variables:

/z R j L mω= + Ω , impedancia serie por unidad de longitud

/y G j C S mω= + , admitancia en derivación por unidad de longitud

, impedancia serie total Z zl= Ω

, admitancia en derivación total Y yl S=

0% 1R R

R

V VRV

V−

= 00×

R

R

= longitud de la línea m. l

Para obtener los parámetros ABCD para este modelo de línea corta aplicamos LVK (Ley de

Voltajes de Kirchhoff) y LCK (Ley de Corrientes de Kirchhoff) al circuito de la figura 2:

S RV V Z I= + (4)

(5) SI I=

lo cual en forma matricial resulta:

10 1

S R

S R

V VZI I⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(6)

Si comparamos (6) con (2) resulta que:

1 . .A D p= = u

B Z= Ω

0C S= .

Si la longitud de la línea supera los 80 Km., pero no rebasa los 250 Km., es decir,

80 ≤ l ≤ 250 Km., la admitancia capacitiva en derivación no puede despreciarse, aunque

aún la consideración de parámetros concentrados no hace diferencia importante aún en los



cálculos y entonces estas consideración es nos conducen a otro modelo de línea de

transmisión, el modelo de línea media. Es decir, el modelo de línea media se caracteriza

por considerar los parámetros de la línea que representan todos los efectos que se presentan

en el proceso de transmisión, pero sin tomar en cuenta el efecto distribuido en dichos

parámetros. Esto nos conduce a un equivalente de circuito que se denomina circuito π

nominal, y que se muestra en la figura 23.

+ +

_ _

VS VR

Z=zl=(R+jωL)lIS IR

Y/2=yl/2 Y/2=yl/2

+ +

_ _

VS VR

Z=zl=(R+jωL)lIS IR

Y/2=yl/2 Y/2=yl/2

Figura 23. Circuito Π nominal.

La corriente en la rama serie es:

12 2R

S R R RV Y YZV V Z I V ZI⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

R (7)

Aplicando LCK en puerto de envío:

2 2SR

S RV YV Y

I I⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(8)

Por lo que sustituyendo (7) en (8):

12 2R

S R R RV Y YZ YI I V ZI⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 2

lo cual conduce a:

1 14 2S R

YZ YZRI Y V⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠I (9).



Lo anterior escrito matricialmente resulta:

12

1 14 2

S R

S R

YZ ZV VI IYZ YZY

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠⎢=⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎣ ⎦⎣ ⎦ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(10).

Comparando con la ecuación (2) encontramos las constantes ABCD:

1 .2

YZ .A D p= = + u

B Z= Ω

14

YZC Y S⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Los parámetros ABCD pueden utilizarse para describir la variación de voltaje

asociado con la carga.

Regulación de voltaje. Se define como el cambio de voltaje en el extremo de recepción de

la línea cuando la carga varía de condición de vacío a plena carga a un factor de potencia

especificado, mientras el voltaje en el extremo de envío se mantiene constante.

0% 1R R

R

V VRV

V−

= × 00

donde:

: Regulación de voltaje %RV

RV : magnitud de voltaje de recepción a plena carga

0RV :magnitud de voltaje de recepción a plena carga.




Ecuaciones diferenciales de la línea de transmisión. Cuando la línea excede los 250 Km. de longitud, los efectos distribuidos de la línea, ya no

pueden despreciarse. Una diferencia importante entre las características de sistemas, en

general, que son representados por parámetros concentrados y parámetros distribuidos,

consiste en que en el primer caso, la respuesta en la salida del sistema, debida a un estímulo

aplicado en la entrada del sistema, aparece instantáneamente, mientras que en el segundo

no ocurre lo anterior, es decir, en el caso de parámetros distribuidos, la respuesta a la salida

toma un tiempo para aparecer. La referencia en estos casos es la longitud de onda, es decir,

si la dimensión, en general, del sistema es grande con respecto a la longitud de onda de la

excitación, entonces el efecto distribuido de los parámetros, no puede despreciarse. Así por

ejemplo, en el caso de la línea de transmisión con longitud superior a los 250 Km. la

longitud de onda, cuyo valor se encontrará más adelante, dicta que los efectos distribuidos

deben tomarse en cuenta. Pero por ejemplo en el caso de un circuito integrado, las pistas,

que pueden tener milímetros o pocos centímetros de longitud, representan una longitud

suficiente para tomar en cuenta el efecto distribuido de los parámetros, tomando en cuenta

que la frecuencia de la señal está en el rango de los HMS. Igualmente, para estudios de

transitorios electromagnéticos en que se encuentran fenómenos de diversas frecuencias, que

van de los Khz. hasta los HMS, dispositivos eléctricos de dimensiones pequeñas,

relativamente, tendrán que modelarse tomando en cuenta el efecto distribuido de sus

parámetros.

Desarrollamos el modelo de la línea tomando en cuenta parámetros distribuidos,

para lo cual hacemos referencia a un elemento diferencial de la línea, como se muestra en la

figura 0.24. Note que la longitud crece del punto de recepción, x = 0, hacia el punto de

envío, x = l.


x

++

_ _

(x+∆x)

V(x+∆x) V(x)

I(x+∆x) I(x)z∆x

y∆x

x

++

_ _

(x+∆x)

V(x+∆x) V(x)

I(x+∆x) I(x)z∆x

y∆x

Figura 24. Elemento diferencial de línea.

Las constantes del circuito son:

//

z R j L my j C S m

ωω

= + Ω=

Si aplicamos LVK al circuito de la figura 4, obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( )V x x V x z x I x voltios+ Δ = + Δ (13)

de aquí:

( ) ( ) ( )V x x V xzI x

x+ Δ −

=Δ

si tomamos el límite ∆x→0 y aplicamos la definición de derivada, obtenemos

( ) ( )dV x

zI xdx

= (14).

Aplicamos ahora LCK al mismo circuito de la figura 4:

( ) ( ) ( ) ( )I x x I x y x V x x+ Δ = + Δ + Δ (15)

De la ecuación anterior obtenemos:

( ) ( ) ( )

I x x I xyV x x

x+ Δ −

= + ΔΔ

.



Tomando el límite cuando ∆x→0 obtenemos:

( ) ( )dI x

yV xdx

= (16).

Las ecuaciones diferenciales mostradas en las ecuaciones (14) y (16) constituyen el

modelo de la línea, denominado modelo de línea larga. Dichas ecuaciones no se resuelven

fácilmente en la forma que presentan actualmente, debido a que están acopladas

matemáticamente. Una forma más apropiada se puede obtener si las desacoplamos. El

proceso de desacoplamiento es muy simple y se muestra a continuación.

Eliminamos I(x) diferenciando (14) y sustituyendo (16) en el resultado:

( ) ( ) ( )

2

2

d V x dI xz zyV

dxdx= = x

de donde

( ) ( )2

2 0d V x

zyV xdx

− = (17)

La solución de esta ecuación diferencial de 20 orden homogénea es:

( ) 1 2x xV x A e A e voltiosγ γ−= + (18)

donde:

A1 y A2 son constantes de integración 1zy mγ −= (19)

γ se denomina constante de propagación.

Sustituyendo (18) en (14) obtenemos

( ) 1 2x x

C

A e A eI x

Z

γ γ−−= ( ) ( )1 2

x xdV xA e A e zI

dxγ γγ γ −= − = x



de donde obtenemos la solución para la corriente

( ) 1 2x xA e A eI xz

γ γ

γ

−−= .

De la ecuación (19):

z zz yyzy

= = .

Definimos entonces:

CzZy

= Ω (20),

impedancia característica de la línea.

Por lo tanto obtenemos

( ) 1 2x x

C

A e A eI x

Z

γ γ−−= (21).

Evaluamos A1 y A2 a partir de condiciones iniciales: ( )0RV V= , ( )0RI I= .

También si evaluamos las ecuaciones (18) y (21) para x = 0, obtenemos dos

ecuaciones simultáneas, que nos permiten encontrar A1 y A2:

1 2

1

R

RC

V A A

2A AIZ

= +−

= (22)

de donde obtenemos:

1

2

2

2

R C R

R C

V Z IA

V Z IA R

+=

−=

(23).

Sustituyendo (23) y (22) en (18) y (21):

( ) RV2 2

x xC R R C RZ I V Z IV x e eγ γ−+ −⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

(24)

( ) RV2 2

x xC R R C R

C C

Z I V Z II x e

Z Zeγ γ−⎛ ⎞ ⎛+ −

= +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

(25).



Factorizando estas dos últimas ecuaciones obtenemos, una forma matemática más adecuada

de expresar los voltajes y corrientes anteriores:

( )l j ll l j l l lα


e e e e eα βγ α β β+= = = ∠ ( ) RV2 2

x x x x

C Re e e eV x Z Iγ γ γ γ− −⎛ ⎞ ⎛+ −

= +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

(26)

( ) R1 V

2 2

x x x x

RC

e e e eI xZ

γ γ γ γ− −⎛ ⎞ ⎛− += +⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝I

⎞⎟⎠

(27).

Usando las identidades de Euler encontramos que:

( ) ( ) ( )cosh R CV x x V Z senh x Iγ= + Rγ (28)

( ) ( ) ( )1 coshR RC

I x senh x V xZ

γ= + Iγ (29).

De estas últimas ecuaciones obtenemos los parámetros ABCD:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

R

R

V x A x B x VI x C x D x I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (30)

donde:

( ) ( ) ( )cosh . .A x D x x p uγ= =

(30’) ( ) ( )hCB x Z sen xγ= Ω

( ) ( )1 hC

C x sen x SZ

γ=

En el extremo de envío, x = l , ( ) SV l V= e ( ) SI l I= , lo que resulta en:

S R

S R

V VA BI IC D⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(31)

donde:

( ) ( ) ( )cosh . .A l D l l p uγ= =

(31’) ( ) ( )hCB l Z sen lγ= Ω

( ) ( )1 hC

C l sen l SZ

γ=


La constante de propagación en (31’) es compleja y se define: 1j mγ α β −= + (32).

Observar que lγ es adimensional y

( )l j ll l j le e e e eα βγ α β l lα β+= = = ∠ (33).

INTERPRETACIONES DE LAS ECUACIONES DE LINEA LARGA.

Los resultados obtenidos hasta este punto, no dan una idea clara del fenómeno

físico, y resulta imprescindible para un ingeniero comprender el fenómeno desde un punto

de vista más real. Lo anterior se debe a que las ecuaciones en término fasoriales son

prácticas en cuanto al cálculo se refiere, pero la mencionada visión física se dará

únicamente si tenemos la información en el dominio del tiempo.

Para esto debemos escribir las ecuaciones obtenidas arriba en función del tiempo,

siguiendo los conceptos de la definición de fasor. Para esto empezamos recordando la

definición de jγ α= + β , la constante de propagación. Las componentes de esta constante

son, α: constante de atenuación, y β: constante de fase.

Empezamos escribiendo la ecuación (24) como

( ) ( ) (1 2

2 2j x j xx xR C R R C RV Z I V Z IV x e e e e )β φ βα α+ −−+ −

= + φ−

)

(34)

donde

(1 R R CV I Zφ ∠ + ( )2 R R CV I Zφ ∠ −

Por lo que el voltaje instantáneo se podrá escribir como sigue:

( ) ( ) (1 2RV2 22 2

j t x j t xx xC R R C Rx

Z I V Z Iv t e e e e eω β φ ω β φα α+ + − −−⎧ ⎫+ −= ℜ +⎨ ⎬

⎩ ⎭)

(35).

Vemos que el voltaje instantáneo consiste de dos términos, cada uno de los cuales es una

función de dos variables, distancia y tiempo. Entonces representan ondas viajeras. Si

consideramos que el voltaje instantáneo se compone de:



1 2x xv v v= + x (36),

podemos analizar cada componente por separado y ver como se comportan. Empezamos

analizando 1xv , donde

(1 12 cos2

xR C Rx

V Z Iv e tα )xω β φ+= + + (37).

Observamos que para cualquier tiempo, 1xv es una onda distribuida

senoidalmente a lo largo de la línea, con amplitud creciente exponencialmente a partir del

punto de envío (α > 0 para línea con resistencia distinta de cero).

Después de un tiempo ∆t, 1xv ha avanzado una distancia tωβΔ . A esta onda

se le denomina onda incidente, debido a que se mueve de punto de envío a punto de

recepción. La figura 25 muestra lo anterior.

x

t+Δtt

Figura 25. Onda incidente.

Por otro lado, para el caso de la segunda componente, 2xv , vemos que

después de un tiempo ∆t la onda se retarda un tiempo tωβΔ , por lo que la onda se mueve en

el sentido contrario a la onda incidente, es decir del punto de recepción al punto de envío,

por lo que se denomina a esta onda reflejada. Esta onda senoidalmente distribuida, por



supuesto, muestra atenuación en el sentido de viaje, debido a la presencia de resistencia

diferente de cero en la línea. La figura 26 muestra lo anterior.

x

t+Δtt

Figura 26. Onda reflejada.

CIRCUITO Π EQUIVALENTE. Además de los parámetros ABCD para el modelo de línea larga, es conveniente

también desarrollar un circuito con configuración π asociado a dicho modelo de línea,

principalmente con el objeto de obtener funciones que nos permitan estimar las diferencias

de valores entre este modelo y el modelo de la línea media, al cual está asociado el

denominado circuito π nominal. Este circuito π asociado con el modelo de línea larga se

denomina circuito π equivalente, por razones obvias. Dicho circuito con sus parámetros

asociados se muestra en la figura 27.

+ +

_ _

IS IR

VS VR

Z’

Y’/2 Y’/2

+ +

_ _

IS IR

VS VR

Z’

Y’/2 Y’/2

Figura 27. Circuito π equivalente.



Con referencia al circuito de la figura 27, vemos que las ecuaciones obtenidas en el modelo

de línea media, usando el circuito π nominal, son válidas en el caso del circuito de dicha

figura, nada más tomando en cuenta que los parámetros en el presente caso son diferentes,

distinguidos a través de la comilla superior. Por tanto, basados en lo anterior, los

parámetros ABCD, serán:

1 .2

Y Z .A D p u′ ′

= = +

(38) B Z ′= Ω

14

Y ZC Y S′ ′⎛ ⎞′= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Igualando (30’) con (38) obtenemos:

( ) ( )CzZ Z senh l senh ly

γ γ′ = = (39).

Planteando esta está última ecuación en términos de la impedancia Z zl= del circuito π

nominal:

( ) ( )1

senh l senh lzZ zl zl ZFy zl l zy

γ γ⎡ ⎤⎡ ⎤′ = = =⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦Ω (40)

donde:

( )1 . .

senh lF p

lγ

γ= u (40’).

De igual forma, tenemos que

( )1 cosh2

Y Z lγ′ ′

+ =

de donde:

( )cosh 12

lYZγ −′

=′

.

Además

( ) ( )( )

cosh 1tanh 2

ll

senh lγ

γγ−

= ,



haciendo uso de (39) obtendremos

( )( )

( ) ( )cosh 1 tanh 2 tanh 22 C C

l lYZ senh l Z z

y

γ γγ−′

= = =lγ

l

.

Escribiendo en términos de la admitancia del circuito π nominal Y : y=

( ) ( )tanh 2 tanh 22 2 2 2

2

l lY yl ylz yl zy ly

γ γ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤′ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

22 2Y Y F′= (41)

donde:

( )2

tanh 2. .

2l

F plγ

γ= u (41’).

Las ecuaciones (40’) y (41’) nos dan los factores de corrección F1 y F2 para

convertir Z y Y del circuito π nominal a Z’ y Y’ del circuito π equivalente.

LINEA SIN PÉRDIDAS. Para el caso de línea sin pérdidas, con el fin de poder analizar importantes

conceptos, se analizarán: impedancia natural (surge impedance) , parámetros ABCD,

circuito π equivalente , longitud de onda, potencia natural (SIL) , perfiles de voltaje, límite

de estabilidad en estado estable.

Impedancia característica. Para línea sin pérdidas, R = G = 0 y

z = jωL Ω/m

y = jωC S/m.



Sustituyendo en (19) y (20):

Zzy

j Lj C

LCC = = =

ωω

Ω

( )( )γ ω ω ω= = = =zy j L j C j LC jβ m-1

donde β ω= LC m-1

ZC es real para el caso de línea sin pérdidas. ZC se denomina, para el caso sin pérdidas,

impedancia natural (surge impedance en inglés). γ es imaginaria pura.

Parámetros ABCD.

Los parámetros ABCD, para línea sin pérdidas son, de (31')

A(x) D(x) cosh( x) cosh(j x)= = =γ β (42)

=+

=−e e

xj x j xβ β

β2

cos( ) pu

Por otro lado:

senh( ) senh( ) sen( )γ β ββ β

x j xe e

jj x j x

= =−

= x−

2 pu

De acuerdo con lo anterior:

B x Z x jZ x jLC

xC C( ) senh( ) sen( ) sen( )= = =γ β β Ω (43)

C xx

Zj x

LC

C( )

senh( ) sen( )= =

γ β S (44)

A(x) y D(x): reales; B(x) y C(x): imaginarios puros.

Para el circuito π equivalente, usando (39):

Z Z l jZ l jxC C' senh( ) sen( ) '= = =γ β Ω



ó bien de (40) y (40'):

Z j Lll

ljx' ( )

sen( )'=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =ω

ββ

Ω (45).

También de (41) y (41'):

Y Y tanhj l

j lY

j l

j l j l' senh

cosh2 2

2

22

2

2 2

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

β

β

β

β β

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

j Cl jl

j l lj Cl tan

l

lω

β

β βω

β

β22

2 22

2

2

sen

cos

Y j C' '2 2=⎛⎝⎜

l ⎞⎠⎟

ω S (46).

Observamos lo siguiente: Z' y Y' son imaginarios puros. Para βl < π radianes, Z' es

inductiva pura y Y' es capacitiva pura. El circuito equivalente para línea sin pérdidas será

como se muestra en la figura 28.

Z’

Y’/2 Y’/2

+ +

VSjδ VRj0

IS IR

_ _

Z’

Y’/2 Y’/2

+ +

VSjδ VRj0

IS IR

_ _

Figura 28. Circuito equivalente para línea sin pérdidas.



donde:

( ) ( )Z j Ll

ll

jx'sen

'=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =ω

ββ

Ω

Y j Cl tan

l

lj C l' '

2 22

22

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=ω

β

βω

S.

Longitud de onda. La longitud de onda es la distancia requerida para cambiar la fase del voltaje ó corriente por

2π rads ó 3600.

Para la línea sin pérdidas:

V x A x V B x I x V jZ x IR R R C R( ) ( ) ( ) cos( ) sen( )= + = +β β (47)

I x C x V D x I jx

ZV xR R

CR( ) ( ) ( )

sen( )cos( )= + = + I R

ββ (48)

Vemos que V(x) e I(x) cambian fase para x =2πβ

. Denotamos la longitud de onda por λ

λπβ

πω

= = =2 2 1

LC f LC m (49).

De la ecuación anterior vemos que:

fLC

λ =1

(50)

fλ: Velocidad de propagación de las ondas de voltaje y corriente. Para líneas de

transmisión aéreas: 1 3 8LC ≈ ×10 m/s y a 60 Hz λ ≈×

= ×3 10

605 10

86 m = 5,000 km.



Carga Natural( SIL)

Es la potencia enviada por una línea sin pérdidas a una carga resistiva igual a la impedancia

característica ZLCC = .

Figura 0.29. Línea sin pérdidas cargada al SIL.

V x x V j x I x V jZ xVZR R R C

R

C( ) cos( ) sen( ) cos( ) sen( )= + = +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟β β β β

volts (51) ( )= + =cos( ) sen( )β β βx j x V e VRj x

R

de donde vemos que: |V(x)| = |VR|. Lo anterior implica que al SIL el perfil de voltaje de la

línea es plano, ó sea que la magnitud de voltaje es constante a lo largo de toda la línea.

De (48) vemos que al SIL:

I xj x

ZV x

VZC

RR

C( )

sen( )cos( )= +

ββ

( ) ( )I x x j xVZ

eVZ

R

C

j x R

C( ) cos( ) sen( )= + =β β β Amp (52).

La potencia compleja a lo largo de la línea es:

S x P x jQ x V x I x( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = ∗

( )=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =∗

e Ve V

ZVZ

j xR

j xR

C

R

C

ββ 2

(53).



Por lo tanto, el flujo de potencia real a lo largo de la línea al SIL permanece constante. El

flujo de potencia reactiva es cero, lo que indica, que la potencia reactiva producida por

efecto capacitivo es consumida en la inductancia serie de la propia línea.

A voltaje nominal, la potencia real suministrada ó SIL será:

SILVZnom

C=

2

W (54)

donde Vnom = voltaje de fase para potencia 1φ

Vnom = voltaje de línea-línea para potencia 3φ.

Perfiles de voltaje. La figura que se muestra abajo proporciona los perfiles de voltaje,

para el caso de un voltaje de envío fijo de magnitud VS desde x = 0y x = l = λ/4. Se

muestran cuatro condiciones:

1. En vacío, IRNL = 0 y de (51): V x x VNL RNL( ) cos( )= β . Vemos que el voltaje se incrementa

en el lado de envío de V lS = cos( )VRNLβ , en el lado de envío, a VRNL en el lado de recepción.

2. De (51) al SIL vemos que el perfil de voltaje es plano.

3. Para carga en corto circuito (ZL = 0), VRSC = 0 y la ecuación (47) nos conduce a:

( )V x Z x ISC C RSC( ) sen( )= β (55)

Vemos que el voltaje decrece de VS = (sen βl)(ZCIRSC) ,en el lado de envío, a un valor de

VRSC=0, en el lado de recepción.

4. El perfil de voltaje a plena carga depende de la corriente a plena carga IFL, y está

entre el perfil al SIL y a corto circuito.

Figura 30. Perfiles de Voltaje.



Límite de Estabilidad en Estado Estable. Supongamos que VS y VR se mantienen constantes. Sea δ el ángulo de fase

entre VS y VR.

Z’

Y’/2 Y’/2

+ +

VSjδ VRj0

IS IR

_ _

Z’

Y’/2 Y’/2

+ +

VSjδ VRj0

IS IR

_ _

Aplicando LVK

IV V

Z'Y

VRS R

R=−

−'

2

=−

−V e V

jxj C l

VSj

RR

δ ω'

'2

(56)

La potencia suministrada a la carga será:

S V I VV e V

jxj C l

VR R R RS

jR

R= =−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +∗

∗δ ω'

'2

2

=−

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

−

VV e V

jxj C l

VRS

jR

R

δ ω'

'2

2

=+ −

+jV V V V jV

xj C l

VR S R S RR

cos sen'

'δ δ ω22

2 (57)

La potencia real será:

Re sen'

R SS R R

V VP P P Sx

δ= = = = w (58)

PV V

xmaxS R=

' w (59)



Pmax es el límite de estabilidad en estado estable.

Pmax

π/2δ

Figura 31. Curva potencia-ángulo.

Habíamos obtenido previamente Z' jZ l jxC= =sen( ) 'β Ω

sustituyendo en (58) tenemos

PV VZ l

V VZ l

S R

C

S R

C= =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

sensen

sen

sen

δβ

δπλ

2 (60)

Expresando VS y VR en pu tomando como voltaje base el voltaje nominal de la línea.

PV

VV

VVZ l

S

nom

R

nom

nom

C=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

2

2sen

sen

δπλ

P V V SIL) lSpu Rpu=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(sen

sen

δπλ

2 w (61)

Para δ = 900, límite teórico de estabilidad en estado estable:

PV V SIL)

lmaxSpu Rpu

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(

sen2πλ

w (62)



La ecuación (59) revela dos aspectos acerca del límite de estabilidad en estado estable:

10 Se incrementa con el cuadrado del voltaje de línea.

20 Decrece con la longitud de la línea (debido a que aumenta x').

Cargabilidad. El nivel de carga de la línea de transmisión, (expresado en % del SIL) como función de la

longitud de la línea, que es permisible considerando los límites: térmico, de caída de voltaje

, y de estabilidad de estado estable, se denomina cargabilidad. En la figura se muestran las

curvas de cargabilidad de líneas de transmisión no compensadas, para VSpu = Vrpu = 1.0 pu.

Figura 32. Curvas de cargabilidad.

La curva de cargabilidad práctica está basada en un límite de caída de voltaje, que

generalmente es de VR/VS ≥ 0.95 y en un desplazamiento angular, usualmente de 300 a 350

a lo largo de la línea (450 si se incluyen las reactancias equivalentes del sistema).

Flujo de Potencia Máximo. Derivamos la ecuación de máximo flujo de potencia en función de los

parámetros ABCD para una línea sin pérdidas. Definamos

A l A A= = ∠θcosh( )γ

B Z' Z' Z= = ∠θ



V VS S= ∠δ V VR R= ∠00

Como sabemos que V A , tenemos V BIS R= + R

IV AV

BV e AV e

Z'eRS R S

jR

j

j

A

Z=

−=

−δ θ

θ

La potencia compleja en el lado de recepción será:

( ) ( )

'

Z Aj jS R

R R R R R RV e AV eS P jQ V I V

Z

δ θ θ θ ∗− −∗

Z⎡ ⎤−= + = = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) ( )= −−V V

Z'e

AVZ'

eR S j R jZθ δ θ θ2

−Z A (63).

De aquí:

( ) ( )P SV V

Z'AV

Z'R RR S

ZR

Z A= = − − −Re cos cosθ δ θ θ2

(64)

( ) ( )Q SV V

Z'AV

Z'R RR S

ZR

Z A= = − − −Im sen senθ δ θ θ2

(65)

Para la línea sin pérdidas: θA = 00, B = Z' = jx', Z' = x' , θZ = 900 y podemos simplificar la

expresión para PR :

( ) ( )PV V

xAV

xRR S R= − −

'cos

'cos90 90

20δ



PV V

xRR S=

'senδ (dado que cos (900-δ) = sen δ) (66).

Esta última expresión coincide con la obtenida anteriormente.

La potencia real máxima suministrada (límite de estabilidad en estado

estable) ocurre para δ = θZ en (64):

(PV V

Z'AV

Z'R maxR S R

Z A= − −2

cos θ θ ) (67)




MATRICES

DE

RED


1. MATRICES DE RED Y DISPERSIDAD

1.1. Formulación y significado de las matrices YBUS y ZBUS. Introducción. El objetivo de esta unidad es proporcionar las bases concernientes a las

matrices de red, que constituyen una herramienta imprescindible en el análisis de los

sistemas eléctricos. La teoría al respecto es muy amplia, por lo que aquí nos referiremos

únicamente a una introducción que contiene justamente el material que será el antecedente

académico, de lo que requerimos para cubrir los temas del curso. El lector interesado

puede profundizar en una buena cantidad de literatura al respecto; aquí mencionamos dos

títulos como muestra, [1], [2].

A manera de introducción, y con la finalidad de mostrar que , aunque de manera no formal,

los cursos de circuitos nos conducen al uso de estas matrices, tomemos como ejemplo la

red eléctrica que se muestra en la figura I.1 a continuación, la cual consta de cuatro nodos.

Aquí usaremos el término bus de manera muy consistente más adelante, el cual es sinónimo

del concepto de nodo, término con el cual los estudiantes se familiarizaron en los cursos de

circuitos.

J1 J4

y13 y34

y12

y20

y24

1 3 4

2

J1

y13 y34

y12

y20

y24

11 33 44

2

J1 J4

y13 y34

y12

y20

y24

11 33 44

2

J1

y13 y34

y12

y20

y24

11 33 44

2

Figura 1.1. Red eléctrica de cuatro nodos.



Si aplicamos LCK (Ley de Corrientes de Kirchhoff) a cada uno de los nodos de

dicha red, obtenemos las siguientes ecuaciones,

( ) ( ) ( )1 12 1 2 13 1 3 12 13 1 12 2 13 3J y V V y V V y y V y V y V= − + − = + − −

( ) ( ) ( ) ( )12 2 1 20 2 24 2 4 21 1 12 20 24 2 24 40 0y V V y V y V V y V y y y V y V= − + − + − = − + + + −

( ) ( ) ( )13 3 1 34 3 4 13 1 13 34 3 34 40 y V V y V V y V y y V y V= − + − = − + + −

( ) ( ) ( )4 34 4 3 24 4 2 24 2 34 3 34 24 4J y V V y V V y V y V y y V= − + − = − − + +

Estas ecuaciones se pueden escribir en forma matricial como se muestra

( )( )

( )( )

12 13 12 131 1

12 12 20 24 24 2

13 13 34 34 3

24 34 34 244 4

000

000

y y y yJ Vy y y y y Vy y y V

y y y yJ V

⎡ ⎤+ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + + −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

y−.

Esta última ecuación es característica del método nodal que se aprendió en las

materias de circuitos eléctricos. La matriz de coeficientes es la denominada matriz de

admitancias nodal, en el argot técnico de los sistemas de potencia, se denomina

simplemente YBUS. Hemos preferido hasta este punto usar J para identificar a las fuentes

independientes de corriente conectadas a los nodos; dichas fuentes inyectan corriente al

nodo al que están conectadas y por esta razón a dichas corrientes se les denomina,

corrientes nodales, como mencionaremos más adelante. En forma más compacta la

ecuación anterior se escribe a menudo como

11 12 13 141 1

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3

41 42 43 444 4

Y Y Y YI VY Y Y YI VY Y Y YI VY Y Y YI V

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦



En el presente ejemplo podemos ver que


41 1 2 3 4; 0; 0;I J I I I J= = = =

( ) ( ) ( ) ( )11 12 13 22 12 20 24 33 13 34 44 34 24; ; ;Y y y Y y y y Y y y Y y y= + = + + = + = +

12 12 21 13 13 31 14 41

23 32 24 24 42 34 34 43

; ;0 ; ;

Y y Y Y y Y Y YY Y Y y Y Y y

= − = = − = = == = = − = = − =

0Y

De manera más compacta

[ ]BUS BUS BUSI Y V= . (1.1)

A partir de la ecuación anterior tenemos

[ ]BUS BUS BUSV Z I= (1.2)

de lo cual resulta evidente que

[ ] [ ] 1BUS BUSZ Y −

= . (1.3)

A esta última matriz se le denomina matriz de impedancias nodal, ó simplemente ZBUS.

Evidentemente lo anterior carece de utilidad mientras no comprendamos los conceptos de

estas matrices de red, así como los procedimientos más adecuados para obtenerlas. En lo

que sigue estos dos aspectos serán lo que nos ocupe. Empezaremos por establecer algunas

definiciones topológicas básicas, requeridas para encontrar una forma de encontrar dichas

matrices de red.

1.1.1. MATRICES DE INCIDENCIA Y MATRICES PRIMITIVAS. En el análisis de las redes eléctricas, nuestro objetivo, la mayoría de los casos, es el análisis

de redes compuestas por la interconexión de componentes de dos terminales, que

denominaremos aquí simplemente elementos. Los puntos de interconexión de éstos se

denominan nodos, como recordará el estudiante de los cursos de circuitos eléctricos. Como

se mencionó anteriormente, en el argot de los sistemas de potencia, el término nodo se

sustituye por el de bus, como veremos en la siguiente unidad. En la figura I.1, mostramos


un ejemplo de red de elementos de dos terminales, constituida por cuatro nodos ó buses y

cinco elementos. Al voltaje a través del elemento se le llamará voltaje del elemento,

mientras que a la corriente a través de éste, se le denomina corriente del elemento.

En el análisis de estas redes se requieren dos componentes fundamentales de

información: la información de conectividad de la red, por un lado, y la información de los

parámetros de los elementos que conforman la red, por el otro.

Con respecto al primer componente de información requerido, la conectividad de la

red, la información requerida comprende únicamente el aspecto de la conectividad,

dejando de lado los parámetros de los elementos de la red. Debido a esto, estamos

interesados en concentrarnos y enfatizar en las propiedades que tiene que ver de manera

exclusiva, con estas propiedades, por lo que es común representar la red con la información

más elemental posible, asociada con la conectividad. Esto implica que podemos

representar la red eléctrica a través de segmentos que representen los elementos de dicha

red, constituyendo lo anterior una figura geométrica que se denomina gráfico lineal, y que

cuando se le asignan orientaciones se convierte en un gráfico lineal orientado. En la figura

I.2 se muestra el gráfico lineal orientado correspondiente a la red de la figura I.1, el cual se

muestra a continuación.

1 3 4

2

(1)

(2) (3)

(4)(5)

0

1 33 44

22

(1)

(2) (3)

(4)(5)

00

Figura 1.2. Gráfico lineal orientado del sistema de cuatro nodos.



Note que se han utilizado segmentos irregulares para representar los elementos de la

red eléctrica, lo cual enfatiza las propiedades topológicas de esta figura, es decir, enfatiza la

importancia de la conectividad en este elemento. Además es importante indicar que los

números escritos entre paréntesis, indican el número de elemento. Se agrega el número 0

(en un círculo), usado para designar el nodo de referencia.

Matrices de Incidencia. La conectividad se expresa de manera precisa a través de matrices, dado que además

estos elementos matemáticos representan la base del manejo de la información matemático

que requerimos, así como la forma más apropiada para desarrollo de los algoritmos.

Existen varios tipos de matrices de incidencia, que es como se denomina a las matrices que

contienen la información de conectividad (un elemento se dice incidente a un nodo, por

ejemplo, si aquel está conectado a este); dependiendo del elemento topológico que será la

base de la formulación, estas pueden ser matriz de incidencia nodo-elemento, matriz de

incidencia elemento-rama, y matriz de incidencia elemento-lazo. Dado que el material de

topología de redes que se cubre en este curso, se limita estrictamente a lo que requerimos

para el desarrollo de los temas que se cubren en el programa, únicamente nos ocuparemos

del primer tipo de matriz de incidencia, esto es, de la matriz de incidencia elemento-nodo.

La matriz de incidencia elemento-nodo, es una matriz que contiene únicamente

ceros y unos signados; los unos indican incidencia del elemento al nodo correspondiente,

mientras los ceros indican la falta de esta. Por otro lado, debido a que parte de la

información de conectividad está asociada con direccionalidad, debemos establecer una

convención con respecto a la dirección, de manera similar a como se estableció en el

enunciado de las leyes de Kirchhoff. Por lo mencionado entonces definimos la matriz de

incidencia mencionada como la matriz Aa de orden (e x n), donde e representa el número de

elementos de la red y n es igual al número de nodos.

( )( )( )

1

1

0

ij

a ij

ij

a elementoi incidecon nodo j dirijido saliendo del nodo

A a elementoi incidecon nodo j dirijidoentrando al nodo

a elementoi noincidecon nodo j

⎧ = +⎪⎪ = −⎨⎪

=⎪⎩



De acuerdo con la definición anterior, tomando como ejemplo el gráfico lineal orientado

mostrado en la figura I.2, podemos obtener su matriz de incidencia aumentada,

denominada así porque contiene explícitamente el nodo de referencia (nodo 0). La matriz

de este ejemplo es

( )

( )( )( )( )( )

1 2 3 4 01 1 1 0 0 02 1 0 1 03 0 0 1 1 04 0 1 0 1 05 0 1 0 0

a e nA ×

+ −+ −

=− +

+ −

0

1− +

Debemos notar que cada renglón contiene exactamente dos unos con signos

contrarios, por lo que su suma resulta cero. Lo anterior indica que existe redundancia de

información, por lo que debemos eliminar una columna para eliminar a su vez este

problema. Por esta razón la matriz que resulta de dicha eliminación, es la matriz de

incidencia que será usada en el desarrollo de las matrices de red. La columna que se

elimina, tiene el mismo efecto que la elección de un nodo como referencia, lo cual se

definió por vez primera en el curso de circuitos, durante al formulación del método nodal.

Aquí eliminaremos precisamente la información concerniente al nodo 0, que es como

vemos en la gráfica, el nodo de referencia. A la nueva matriz simplemente se le denomina

matriz de incidencia y es

( )

( )( )( )( )( )

1

1 2 3 41 1 1 02 1 0 13 0 0 14 0 1 05 0 1 0 0

e nA × −

+ −+ −

=

0011

− ++ −−

Matrices primitivas. En lo que concierne a la información de la naturaleza de los elementos de la red, es decir,

los valores de sus parámetros, en el caso de elementos pasivos, y los valores de las



variables que caracterizan a las fuentes, fundamentalmente, debemos establecer otras

definiciones.

Una red eléctrica, como se mencionó antes, es en esencia una interconexión de

componentes de dos terminales. Un conjunto de esas componentes cuando no están

conectadas se denomina red primitiva. A cada componente de esta red se le llamará

entonces elemento primitivo. El elemento general primitivo se muestra en la figura 1.3.

+ _p qipq epq

Jpq

ZpqO

ypq

+ Vpq I

+ _+ _pp qqipq epq

Jpq

ZpqO

ypq

+ Vpq I

Figura 1.3. Elemento primitivo.

Por supuesto que cada uno de estos elementos primitivos tiene su gráfico orientado, y en el

caso del mostrado en la figura 1.3, le corresponderá el suyo, que se muestra en la figura 1.4.

p qIpq o Vpa

p qpp qqIpq o Vpa

Figura 1.4. Gráfico orientado del elemento primitivo.

Las relaciones que caracterizan a estos elementos son:

Forma de impedancia: ( )pq pq pq pq pqv e z i J− = + (1.4)

Forma de admitancia: ( )pq pq pq pq pqi J y v e+ = − (1.5).



Las direcciones asociadas de referencia de y pueden codificarse de manera

conveniente en términos del gráfico orientado que se muestra en la figura 1.4. Dicho

gráfico junto con las relaciones terminales (1.4) y (1.5), describen completamente al

elemento de dos terminales. Este elemento constituye una generalización, que se puede

adaptar para representar de manera adecuada cualquier caso. Mostramos algunos casos

especiales que se pueden presentar:

pqi pqv

Elemento pasivo: 0; 0pq pqJ e= = pq pq pq pq pq pqv z i o i y v= =

Fuente de voltaje

en serie con

impedancia 0pqJ = pq pq pq pqv z i e= + (1.6)

Fuente de corriente

en paralelo con

admitancia 0pqe = pq pq pq pqi y v J= − (1.7)

Fuente de voltaje 0; 0pq pqJ z= = pq pqv e especificado=

Fuente de corriente 0; 0pq pqe y= = pq pqi J especificado= .

Los dos últimos casos corresponden a fuentes ideales.

Matrices primitivas de impedancia y admitancia. Consideremos una red de componentes interconectados; a través de transformaciones de la

red, podemos tener elementos de los tres primeros tipos mostrados arriba. Así como

buscamos expresar en forma matricial la información de conectividad, buscamos

representar a través de matrices también la información concerniente a la red primitiva.



Las ecuaciones que escribimos anteriormente para un elemento primitivo, (1.4) y (1.5), se

generalizan para el caso red primitiva como sigue,

[ ] [ ]v z i z J= + + e (Forma de impedancia) (1.8)

[ ] [ ]i y v y e= − − J (Forma de admitancia) (1.9)

donde [ ]z y [ ]y son la matriz primitivas de impedancias y la matriz primitiva de

admitancias, respectivamente; mientras v e son los vectores de voltajes y corrientes de

elemento, y finalmente e y son los vectores de fuentes de voltaje y de corriente,

respectivamente. Si la red es enteramente pasiva, entonces

i

J

0J e= = . Además [ ] [ ] 1z y −= .

Las matrices [ ]z y [ ]y serán diagonales, si la red está desacoplada magnéticamente; en

caso contrario, las matrices mencionadas no serán simétricas. Además el orden de dichas

matrices es (e x e), mientras que el orden de los vectores es (e x 1).

Para el ejemplo que hemos venido usando, asignamos los siguientes valores a las

admitancias de los elementos: 113 34 12 20 2 0.5y y y y −= = = = Ω = Ω , . 1

24 1y −= Ω

De acuerdo con estos valores la matriz primitiva de admitancias es

[ ]

2 0 0 0 00 2 0 0 00 0 2 0 00 0 0 1 00 0 0 0 2

y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

Mientras que la matriz primitiva de impedancias es

[ ]

0.5 0 0 0 00 0.5 0 0 00 0 0.5 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0.5

z

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Observe que el orden de los valores en la matriz, es el asociado con el código elegido para

numerar los elementos, el cual se muestra en el gráfico lineal, que para nuestro ejemplo es



la figura 1.2. En caso de existir acoplamientos, los valores asociados con dichos

acoplamientos aparecerán en la matriz primitiva correspondiente. Por ejemplo, supongamos

que existe un acoplamiento de 0.5 Ω-1 entre los elementos (1) y (2), entonces en las

posiciones (1,2) y su transpuesto (2,1), aparecerá el valor de la admitancia de acoplamiento,

es decir 0.5 Ω-1.

1.1.2 OBTENCION DE YBUS POR TRANSFORMACIONES SINGULARES.

La definición de las matrices de red requiere de certeza y formalidad, lo cual lo dan las

definiciones matemáticas. Este es el caso de la definición de YBUS por transformaciones

singulares, nombre asignado debido a que se trata de una transformación lineal que

involucra a la matriz A, que debido a sus dimensiones, en general no cuadrada, es una

matriz que no tiene definida inversa.

Los elementos incidentes al nodo de un gráfico lineal forman un conjunto incidente;

por ejemplo los elementos (2), (4) y (5) forman el conjunto incidente del nodo 2, en el

gráfico correspondiente al ejemplo que venimos usando. Entonces un gráfico con n nodos,

tiene igual número de conjuntos incidentes. Podemos escribir LCK para cada uno de los

nodos fundamentales (referencia excluido), expresando dicha ley en forma generalizada a

través de la transformación lineal 0TA i = . Lo anterior es evidente si tomamos en cuenta

que la matriz A, proporciona información de incidencia de elementos-nodos, por lo que el

producto indicado a la izquierda de la expresión anterior, nos proporciona la incidencia de

corrientes de elemento a nodos, a través de su suma, lo cual se convierte en la LCK.

Podemos desarrollar dicho producto para el ejemplo que nos ocupa

1

2

3

4

5

1 1 0 0 01 0 0 1 1

00 1 1 0 00 0 1 1 0

T

ii

A i iii

⎡ ⎤+ +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦



desarrollamos el producto mostrado y obtenemos

1 2

1 4 5

2 3

3 4

00

00

i ii i ii ii i

+ =− + − =− − =

− =

lo cual se puede comprobar con referencia a la figura 1.2, correspondiente al gráfico lineal

orientado de la red eléctrica del ejemplo. Recordemos que la convención usada es la que

comúnmente se usa en los libros de circuitos eléctricos, es decir, corrientes saliendo del

nodo se consideran positivas, mientras que si llegan al nodo se consideran negativas. Lo

anterior es evidentemente LCK.

Por otro lado podemos probar que TBUSA J I= , dado que si seguimos el mismo

razonamiento que usamos arriba, vemos que esta transformación lineal nos da un vector de

orden (nx1), cuyas componentes serán la corriente neta inyectada a cada nodo. De forma

similar podemos comprobar que BUSv AV= , lo cual implica que la transformación lineal a

la derecha de la expresión anterior, describe los voltajes de elemento en función de los

voltajes nodales. Para el ejemplo que venimos manejando tenemos,

11 21

21 32

34 33

42 44

52

1 1 0 01 0 1 0

0 0 1 10 1 0 10 1 0 0

BUS

vV VV

vV VV

AV vV VV

vV VV

vV

−+ − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −+ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = −− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −+ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

v= = .

Para desarrollar la definición por transformaciones singulares de YBUS, partimos de la

ecuación (1.7), que en forma matricial resulta [ ]i J y v+ = . Si sustituimos la expresión

mostrada arriba, obtenemos

[ ] [ ] BUSi J y v y AY+ = =

que premultiplicada por , nos conduce a TA

[ ] [ ]T T TBUSA i A J y v A y AY+ = = .



Recordemos que anteriormente vimos que 0TA i = (LCK generalizada) y que además T

BUSA J I= , entonces una vez sustituidas estas expresiones obtenemos

[ ]TBUS BUSI A y AV= .

Si recordamos la ecuación que obtuvimos en la formulación del análisis nodal, ecuación

(1.1) [ ]BUS BUS BUSI Y V= , entonces comparando estas dos últimas expresiones tendremos

finalmente

[ ]TBUSY A y= A (1.10).

Esta transformación lineal que implica el miembro derecho de la ecuación, está en función

de la matriz de incidencia elemento-nodo, A, la cual como se mencionó anteriormente es

singular, de ahí el nombre que se da comúnmente al método.

1.1.3. OBTENCION DE YBUS POR INSPECCION.

La ecuación (1.10) muestra una manera de obtener la matriz YBUS, sin embargo esta forma,

aunque constituye una definición formal y por tanto muy importante, no es adecuada, pues

además de lo dispersa de la matriz de incidencia elemento-nodo, los productos matriciales

en estos casos deben evitarse dada su costo computacional. La alternativa estriba en que

para elementos no acoplados magnéticamente, observamos que la obtención de dicha

matriz de red sigue reglas muy simples y por tanto, es más eficiente su obtención por este

medio, que por las operaciones matriciales involucradas en (1.10). Las reglas

mencionadas arriba consisten en calcular los elementos diagonales de YBUS , sumando las

admitancias de los elementos incidentes al nodo correspondiente. Mientras que para los

elementos fuera de la diagonal, su valor es simplemente igual al negativo de la admitancia

que conecta a los nodos asociados con la posición del elemento en la mencionada matriz de

red. Así por ejemplo, para el elemento (i,j), su valor será igual al negativo de la admitancia

que conecta a los nodos i y j. Tomando en cuenta que hemos venido usando letras

minúsculas para denotar tanto los parámetros, como las matrices de la red primitiva y letras



mayúsculas para los elementos y matrices de la matriz de red, podemos expresar la regla

mencionada arriba como,


y

j

ii kk i

Y∈

= ∑ , donde significa elemento k incidente con el nodo i; k i∈

,ij kY y k i= − ∈ .

Es obvio que el primer caso representa los elementos de la diagonal, mientras el segundo

caso representa los elementos fuera de la diagonal. A este método comúnmente se le

conoce como formación de YBUS por inspección.

Hacemos énfasis en que esta regla es válida únicamente en el caso de que no existan

acoplamientos magnéticos.

Ejemplificamos el procedimiento discutido en esta sección, usando el ejemplo que venimos

del sistema de cuatro nodos y cinco elementos.

[ ]

2 0 0 0 0 1 1 0 01 1 0 0 0

0 2 0 0 0 1 0 1 01 0 0 1 1

0 0 2 0 0 0 0 1 10 1 1 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0 10 0 1 1 0

0 0 0 0 2 0 1 0 0

1 1 0 02 2 0 0 0

1 0 1 02 0 0 1 2

0 0 1 10 2 2 0 0

0 1 0 10 0 2 1 0

TBUSY A y A

+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − +⎢ ⎥− −

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ −⎡ ⎤

+ −⎢ ⎥− −⎢ ⎥= − +⎢ ⎥− −

+ −⎢ ⎥−⎣ ⎦

4 2 2 02 5 0 12 0 4 2

0 1 2 30 1 0 0

⎡ ⎤− −⎡ ⎤⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ − −⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − −⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

El resultado anterior corrobora la regla que permite implementar la obtención de YBUS por

inspección. De nuevo enfatizamos que la condición para aplicar dicha regla, consiste en

que no haya acoplamientos magnéticos en la red. ¿Que alternativa tenemos en el caso de

que dichos acoplamientos existan?. Las alternativas consisten en hacer uso de la

transformación singular discutida en esta misma sección. Este método es general, si

embargo como ya se mencionó deficiente desde el punto de vista computacional; la mejor

alternativa seguirá siendo la obtención de YBUS por inspección. ¿Qué se puede hacer para

utilizar esta opción, a pesar del acoplamiento magnético?. La respuesta a esta interrogante

constituye el tema de la siguiente sección.


1.1.4. OBTENCION DE YBUS POR INSPECCION EN REDES ACOPLADAS. EQUIVALENTE DE CELOSIA.

La respuesta a la disyuntiva presentada al final de la sección anterior, está en la obtención

de la ecuación [ ]BUS BUS BUSI Y V= para dos elementos acoplados magnéticamente.

Nos basamos en el par de elementos magnéticamente acoplados que se muestran en la

figura 1.4 a continuación.

i j

k l

yij

ykl

ym

Iij

Ikl

i j

k l

yij

ykl

ym

Iij

Ikl

Figura1.4. Elementos magnéticamente acoplados.

Podemos escribir las siguientes ecuaciones que describen el comportamiento de este

circuito magnéticamente acoplado.

( ) ( )ij i j i j ij k l mI I I V V y V V y= = − = − + −

( ) ( )kl k l k l kl i j mI I I V V y V V y= = − = − + −

Notemos que las corrientes con doble subíndice, que se indican en la figura, corresponden a

las corrientes que fluyen a través de los elementos correspondientes, mientras que las que

tienen un solo subíndice, claramente se refieren a las corrientes de nodo, cuya dirección de

referencia positiva es cuando se inyectan al nodo. Esto explica las dos primera igualdades

de las ecuaciones anteriores.

Si factorizamos estas ecuaciones obtendremos

i j ij i ij j m k mI I y V y V y V y= − = − + − lV

l

k l m i m j kl k klI I y V y V y V y V= − = − + − .



En forma matricial,


ii ij ij m m

j ij ij m m j

k m m kl kl

l m m kl kl

k

l

I y y y y VI y y y y VI y y y y VI y y y y V

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Esta ecuación se representa, de acuerdo a la regla de la obtención de YBUS por inspección,

por medio de un circuito que se le conoce con el nombre de circuito equivalente de celosía

ó reticular (del inglés lattice).

i j

k l

yij

ykl

-ym -ym

ym ym

i j

k l

yij

ykl

-ym -ym

ym ym

Figura 1.5. Circuito equivalente de celosía.

El uso de dicho circuito permite responder la pregunta que se hizo al final de la sección

anterior. Lo que procede hacer en este caso es sustituir los elementos acoplados

magnéticamente, por el circuito mostrado en la figura 1.5, y con ello aplicar la sencilla

regla que hemos mencionado anteriormente al circuito resultante, y con ello obtener la YBUS

por inspección, que era nuestro objetivo.

Ejemplifiquemos esta nueva herramienta. Para esto usamos el ejemplo que hemos venido

manejando, para lo cual agregamos acoplamiento magnético entre los elementos (2) y (4),

con un valor , como se muestra en la figura 1.6. 10.5my −= Ω


y13 y34

y12

y20

y24

1 3 4

2

ym

y13 y34

y12

y20

y24

11 33 44

2

ym

Figura 1.6. Red con acoplamientos magnéticos.

Si aplicamos el equivalente de celosía a esta red, entonces agregamos los elementos que se

mostraron en el equivalente de celosía de la figura 1.5. Esto nos conduce a la red que se

muestra en al figura 1.7, donde los elementos punteados son los elementos agregados de

acuerdo al equivalente de celosía.

y13 y34

y12

y20

y24

1 3 4

2

ym

-ymym

-ym

y13 y34

y12

y20

y24

11 33 44

22

ym

-ymym

-ym

Figura 1.7. Red con el equivalente de celosía agregado.

Si ahora aplicamos la regla que vimos en la sección anterior correspondiente a la obtención

de la YBUS por inspección obtendremos,



4.0 1.5 2.0 0.51.5 5.0 0.5 1.02.0 0.5 4.0 1.50.5 1.0 1.5 3.0

BUSY

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

.

Lo anterior se puede comprobar usando el método de transformaciones singulares, es decir

[ ]TBUSY A y= A , lo cual conduce a

[ ]

2 2 0 0.5 02 0.5 0 1 2

0 2 2 0.5 00 0.5 2 1 0

TA y

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

y por tanto [ ]TBUSY A y= A

⎤⎥− ⎥⎥⎥⎦

, resulta en

[ ]

1 1 0 02 2 0 0.5 0 4.0 1.5 2.0 0.5

1 0 1 02 0.5 0 1 2 1.5 5.0 0.5 1.0

0 0 1 10 2 2 0.5 0 2.0 0.5 4.0 1.5

0 1 0 10 0.5 2 1 0 0.5 1.0 1.5 3.0

0 1 0 0

TA y A

+ −⎡ ⎤− − −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥= =− +

⎢ ⎥ ⎢− − − − − −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥−⎣ ⎦

Por lo que finalmente obtenemos

4.0 1.5 2.0 0.51.5 5.0 0.5 1.02.0 0.5 4.0 1.50.5 1.0 1.5 3.0

BUSY

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

,

lo cual concuerda con el resultado obtenido antes.

1.1.5. SIGNIFICADO DE LAS MATRICES YBUS , ZBUS.

Hemos visto como obtener la matriz YBUS, y también se sabe en este punto, que por

inversión podemos obtener la matriz ZBUS a partir de YBUS. Por supuesto existen formas

más eficientes de obtener la matriz ZBUS , pues la inversión es un proceso, que al menos en

sistema de gran escala, es ineficiente desde el punto de vista computacional. En la segunda



parte de este material, en la discusión de fallas en sistemas eléctricos, veremos un método

más eficiente que la inversa, el cual es aplicable para sistemas de tamaño mediano, el

denominado método de obtención de ZBUS paso a paso. Además se verá otro método que

tiene el mismo fin, pero que es apropiado para grandes sistemas eléctricos, que por

naturaleza son muy dispersos, es decir, que contienen una gran cantidad de elementos igual

a cero en su matriz de coeficientes. A este método se le conoce como ZBUS dispersa.

Sin embargo es muy importante entender el significado de estas matrices de red tan

importantes en el análisis de los sistemas eléctricos, además de que su significado desde un

punto de vista circuital, por llamarle de alguna manera, nos conduce a entender las ideas

que subyacen detrás de los métodos arriba mencionados para obtener la ZBUS.

Empezamos por la matriz YBUS. Si partimos de la ecuación (1.1) y la desarrollamos

tendremos


.

.

.

11 12 1 11 1

21 22 2 22 2

1 2

1 2

. . . . . .

. . . . . .. . .. .. . .. .. . .. .

. . . . . .. .. .. .. .. .. .

. . . . . .

j n

j n

j j jj jnj j

n n nj nnn n

Y Y Y YI VY Y Y YI V

Y Y Y YI V

Y Y Y YI V

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(1.11).

Si en el vector de voltajes hacemos cero todos los elementos, menos uno, digamos el

j-ésimo, entonces lo que tenemos es el siguiente conjunto de ecuaciones,

11 12 1 11

21 22 2 22

1 2

1 2

. . . . . . 0

. . . . . . 0. . .. .. . .. .. . .. .

. . . . . .. .. .. .. .. .. .

. . . . . . 0

j n

j n

j j jj jnj j

n n nj nnn

Y Y Y YIY Y Y YI

Y Y Y YI V

Y Y Y YI

⎡ ⎤⎡ ⎤

.

.

.

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥


y si desarrollamos dicha ecuación matricial nos conduce a las siguientes ecuaciones que

caracterizan a la red

1 1 1 1j j jY V I Y I Vj= ⇒ =

2 2 2 2j j jY V I Y I Vj= ⇒ =

.

.

.

jj j j jj j jY V I Y I V= ⇒ = (1.12)

.

.

nj j n nj n jY V I Y I V= ⇒ = .

Lo anterior implica que si aplicamos una fuente de voltaje a un nodo, en este caso al nodo j,

y ponemos los demás nodos en corto circuito, lo cual se indica por los valores de voltaje

igual a cero, entonces el cociente de la corriente de dicho nodo al voltaje aplicado al nodo

seleccionado, nos proporciona los elementos que corresponden a la columna de la matriz

YBUS asociada con el nodo al que se aplicó la fuente de voltaje, nodo j en este caso. Lo

anterior se muestra en la figura I.8 a continuación.

1

2......j

n

0

RED

LINEAL

BILATERAL

PASIVA

+_Vj=1.0 pu

I1

I2

Ij

In

1

2......j

n

0

RED

LINEAL

BILATERAL

PASIVA

11

2......j

n

0

RED

LINEAL

BILATERAL

PASIVA

+_+_Vj=1.0 pu

I1

I2

Ij

In

Figura 1.8. Red lineal pasiva usada para calcular la YBUS.



Por lo discutido anteriormente vemos que si queremos obtener una columna de la matriz

YBUS , entonces conectamos una fuente de voltaje al nodo correspondiente a la columna de

interés y con ello calculamos las corrientes en cada uno de los nodos, como se indica en la

figura 1.8, y los cocientes de dichas corrientes al voltaje aplicado en el nodo de interés, nos

dará los valores de la YBUS correspondientes al nodo excitado, como lo indican las

ecuaciones (1.12). Es obvio que siendo la red lineal, el valor de la fuente de excitación es

irrelevante, pues el cociente siempre será igual, por lo que se propone el valor más fácil de

manejar, 1.0 pu. Además con esto, los valores de los elementos matriciales de interés serán

simplemente igual a las corrientes inyectadas a los nodos.

Es muy importante observar que el elemento diagonal, es la admitancia equivalente de la

red vista entre el nodo excitado y referencia. A esta función de red se le denomina

admitancia de punto impulsor en corto circuito, que es la traducción del término en inglés

short circuit driving-point admittance. Es interesante notar que aunque en inglés se le

llame “punto impulsor”, en realidad se trata de un puerto impulsor, pues está compuesto

por un par de terminales. El término impulsor indica que es el puerto donde se conecta la

excitación. Así pues, aunque no del todo correcto, la costumbre ha hecho que se usen

ampliamente estos términos. Por otro lado, a las admitancias de red fuera de la diagonal se

les conoce como admitancias de transferencia en corto circuito, traducción del término en

inglés short circuit transfer admittance.

Para ejemplificar lo anterior, usaremos de nuevo la red del ejemplo, con la intención de

obtener la columna 1 de la matriz YBUS, de dicha red. La figura 1.9 nos muestra el circuito

asociado en este caso,

I4V1=1.0 pu

y13 y34

y12

y20

y24

1 3 4

2

+_

IX

IY

I1 I3

I 2

I4V1=1.0 pu

y13 y34

y12

y20

y24

1 3 4

2

+_

IX

IY

I1 I3

I 2

V1=1.0 pu

y13 y34

y12

y20

y24

11 33 44

2

+_+_

IX

IY

I1 I3

I 2

Figura 1.9. Red del ejemplo para obtención de la columna 1 de YBUS .



Podemos ver de la gráfica anterior que 3xI I= − y además 2yI I= − . Por otro lado vemos

que

11

1.0 1.0 4.00.251 2 1 2

1 2 1 2eq

VI

z= = = =

⎛ ⎞∗⎜ ⎟+⎝ ⎠

Evidentemente 1 2.02x yI

I I= = = , por lo que obtenemos

11 1 14.0 41.0

Y I V= = =

21 2 12.0 2

1.0Y I V −

= = = −

31 3 12.0 2

1.0Y I V −

= = = −

41 4 10 0

1.0Y I V= = = .

Los resultados anteriores son evidentes, a estas alturas.

Por lo que respecta a la interpretación de la matriz ZBUS, empezamos considerando al

ecuación (1.2) [ ]BUS BUS BUSV Z I= , que en forma desarrollada tiene la forma

11 12 1 11 1

21 22 2 22 2

1 2

1 2

. . . . . .

. . . . . .. . .. .. . .. .. . .. .

. . . . . .. .. .. .. .. .. .

. . . . . .

j n

j n

j j jj jn

.

.

.

j j

n n nj nnn n

Z Z Z ZV IZ Z Z ZV I

Z Z Z ZV I

Z Z Z ZV I

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Si hacemos cero todas las corrientes nodales, menos una de ellas, digamos la j-ésima

corriente, obtenemos




.

.

.

11 12 1 11

21 22 2 22

1 2

1 2

. . . . . . 0

. . . . . . 0. . .. .. . .. .. . .. .

. . . . . .. .. .. .. .. .. .

. . . . . . 0

j n

j n

j j jj jnj j

n n nj nnn

Z Z Z ZVZ Z Z ZV

Z Z Z ZV I

Z Z Z ZV

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

.

Llevando a cabo las operaciones matriciales, nos resultan las siguientes ecuaciones

1 1 1 1j j j jZ I V Z V I= ⇒ =

2 2 2 2j j j jZ I V Z V I= ⇒ =

.

.

jj j j jj j jZ I V Z V I= ⇒ = (1.13)

.

.

nj j n nj n jZ I V Z V I= ⇒ =

Lo anterior nos indica que para obtener una columna de la matriz ZBUS , inyectamos una

corriente en el nodo asociado con la columna que queremos obtener, dejando en circuito

abierto los demás nodos, y calculamos los voltajes en los demás nodos. Los cocientes de

los voltajes en nodales en circuito abierto a la corriente de la fuente de excitación, nos

producen el resultado deseado, los elementos de la columna correspondiente al nodo

excitado de la matriz ZBUS.

La figura 1.10 muestra esquemáticamente esta interpretación.


1

2......j

n

0

RED

LINEAL

BILATERAL

PASIVA

+

+

+

+V1 V2

Vn

Vj_Ij

11

2......j

n

0

RED

LINEAL

BILATERAL

PASIVA

+

+

+

+V1 V2

Vn

Vj_Ij

Figura 1.10. Red lineal pasiva usada para calcular la matriz ZBUS.

Note que el término de la diagonal de la matriz ZBUS , es la impedancia equivalente

de Thévenin referida de manera constante en los cursos de circuito. Debido a la

interpretación de este elemento, se le conoce con el nombre de impedancia de punto

impulsor en circuito abierto, que es la traducción del término en inglés driving point open-

circuit impedance. Mientras que a las correspondientes a los elementos fuera de la diagonal

se les denomina impedancia de transferencia en circuito abierto, traducción del término en

inglés open circuit transfer impedance. Estos nombres, al igual que los mencionados

anteriormente con respecto a la matriz YBUS, son muy importantes, a pesar de lo

aparentemente complicados que parecen. El lector se dará cuenta, si observa con cuidado,

que dichos nombres, que aparentemente tienen muchos términos, definen de manera muy

precisa el significado de estas funciones de red, pues contienen las condiciones necesarias

para la definición-interpretación de dichos funciones de red en el marco nodal, tanto en su

forma de admitancia como en su forma de impedancia.

Para complementar la información anterior, nos referimos a la red usada en esta

sección, mostrada en la figura 1.11



I1=1.0 pu

y13 y34

y12

y20

y24

1 3 4

2

IX IX

IX

+_ V42

+

_V12

+ V13_

+ V34 _

+V2_

Iy

I1=1.0 pu

y13 y34

y12

y20

y24

11 33 44

2

IXIX IXIX

IX

+_ V42

+

_V12

+ V13_

+ V34 _

+V2_

Iy

Figura 1.11. Red del ejemplo para obtención de la columna 1 de ZBUS .

En el ejemplo excitamos el nodo 1 con el objeto de obtener la 1era columna de la ZBUS,

como se muestra en la figura anterior.

Observamos que la porción de red a la derecha de los nodos 1 y 2, tiene una impedancia

equivalente de 2.0 Ω, que queda en paralelo con la porción izquierda. Como una gráfica

dice más que mil palabras, la siguiente figura muestra lo comentado.

I1=1.0 pu

y12

y20

1

2

+

_V12

+V2_

Iy

zeq

Ix

I1=1.0 pu

y12

y20

11

2

+

_V12

+V2_

Iy

zeq

Ix

En referencia a la red mostrada arriba vemos que si aplicamos división de corrientes obtenemos:

1.0 4 5y xI I= − = y también:

1.0 4 5y xI I= − = .



Con estos resultados y con referencia a la figura I.11, obtenemos los voltajes de los elementos

( )( )131 11 2 1 5 0.12 1xV I= = = =

0

( )( )3411 2 1 5 0.1

10V = = =

( )( )42 1 2 1.0 0.5V = =

( ) ( )42 1 2 4 10 0.4yV I= = = , con lo cual podemos calcular los voltajes nodales, obteniendo

1 12 2 0.4 0.5 0.9V V V= + = + =

3 1 13 0.9 0.1 0.8V V V= − = − =

4 3 34 0.8 0.1 0.7V V V= − = − = , de donde finalmente obtenemos

11 1 10.9 0.91.0

Z V I= = =

12 2 1 0.5Z V I= =

13 3 1 0.8Z V I= =

14 4 1 0.7Z V I= = . Con lo cual se completa este ejemplo.



1.1.6 TECNICAS DE DISPERSIDAD.

INTRODUCCION. La mayoría de los sistemas físicos se caracterizan por el hecho de que sus no son

completamente interdependientes, es decir, sus elementos no están conectados o enlazados

a todos los demás. Por ejemplo, en redes de cualquier tipo, ya sena eléctricas o de fluidos,

no todos los elementos son incidentes a cada nodo de la red. Lo anterior trae como

consecuencia el hecho de que en el modelo matemático de dicho sistema, la matriz de

coeficientes contiene una gran cantidad de ceros, producto de la no incidencia de los

elementos a un nodo. Lo anterior, aunado a que los sistemas han crecido continuamente de

tamaño, dicta la necesidad de sacar provecho de esa característica en la solución de dichos

problemas en la computadora, como veremos más adelante. Lo anterior, constituye el

objetivo de al presente sección.


b

Antes de entrar a ver los detalles de las técnicas de dispersidad (también llamadas de

esparcidad), es importante tener alguna medida de la “porosidad” de una de las matrices

que más se utiliza en el análisis de los sistemas eléctricos, la YBUS. Definimos lo que se

conoce con el nombre de coeficiente de dispersidad (cd) [3]; este se define como la razón

entre el número de elementos con valor cero y el número total de elementos en la matriz.

Para la YBUS asociada con una red de n nodos independientes, (que son nodos no conectados

directamente a referencia) y b’ ramas conectadas entre nodos independientes, el número

total de elementos diferentes de cero será en la matriz YBUS igual a 2n ′+ ∗ , y el número

total de elementos de YBUS es: n2 . De aquí que el coeficiente de dispersidad será

( )2

2 2

2 21n n b n bcd

n n′− + ∗ ′+ ∗

= = − .

En la práctica una red de nodos y 1000n = 1500b′ = ramas es comúnmente encontrada, y

para estas cifras cd será

( )( )2

1000 2 15001 0.996

1000cd

+ ∗= − =

( )( )2

1000 2 15001 0.996

1000cd

+ ∗= − = .

Es importante notar que una propiedad de la matriz YBUS consiste en que , para una red

dada, cd depende solamente del gráfico de la red, esto es, del número de ramas y del

número de nodos, y por tanto en constante.


Las técnicas de dispersidad constituyen recursos de programación, con cierto grado de

sofisticación, usados en conjunto con estrategias algorítmicas en la solución de los sistemas

lineales d ecuaciones, que preserven durante el proceso de factorización la mayor cantidad

de ceros posible. Lo anterior nos conduce a enumerar dos fases fundamentales en las

técnicas de dispersidad:

10. Empaquetar la información del modelo matemático, es decir, específicamente guardar

únicamente los elementos distintos de cero.

20. Determinar el orden de eliminación adecuado, con el fin de minimizar la creación de

elementos diferentes de cero, en lugar de los elementos de valor cero que existían en esa

posición antes de dicha eliminación.

A la primera tarea se le conoce como empaquetado, como lo habíamos anticipado al

enumerarla. Su objetivo no es solo ahorrar memoria, almacenando únicamente los

elementos distintos de cero (los de valor cero ya se conoce cuanto valen!), sino evitando las

operaciones por cero. Esto nos conduce a un gran ahorro de tiempo de máquina empleado

en la solución del sistema de ecuaciones, debido a que por la forma en que la computadora

digital realiza las operaciones, esta toma el mismo tiempo en un producto por cero, que en

un producto por un factor distinto de cero.

A la segunda tarea arriba mencionada se le conoce como ordenamiento, y consiste en

determinar el orden de la eliminación y/ó factorización que nos conduzca a la minimización

de la creación de elementos diferentes de cero, en lugar de un elemento cero, como

habíamos mencionado. En efecto, se puede probar que si ordenamos las ecuaciones de un

sistema lineal de las todas las formas diferentes posibles, el número de llenados , que es el

término que se emplea para designar a la creación de un elemento no-cero en lugar de un

cero, creados por el efecto de los productos cruzados de la eliminación y/ó factorización,

será menor en unos casos que en otros. El término productos cruzados, empleado arriba se

refiere a la expresión base en el proceso de eliminación y/ó factorización y que tiene la

forma ik kj

ij ijkk

a aa a

a′ = + , que tan familiar es para los que han llevado un curso de álgebra

lineal ó de métodos numéricos. En esta expresión se puede ver fácilmente, que un

elemento no se verá modificado en el proceso, cuando alguno de los factores del numerador

del segundo término a la derecha de la expresión anterior, es igual a cero. Con esto en

mente concluiremos fácilmente que habrá algún orden asociado con el menor llenado



posible, esto es, un orden óptimo. Por supuesto que aunque dicho orden óptimo sea factible

de obtener, su costo computacional hace que los beneficios de ahorro de memoria y tiempo

de cómputo, se vea opacado por el excesivo trabajo requerido en la determinación de dicho

orden óptimo.

ESQUEMAS DE ORDENAMIENTO.

En el tema de topología de redes se discutió la asociación de los gráficos lineales

con las redes eléctricas. Además de asociarse con las redes eléctricas, sin embargo, toda

matriz de coeficientes puede asociarse con un gráfico lineal. Hay que hacer notar que en

esta equivalencia matriz de coeficientes-gráfico lineal, es directa en caso de que la matriz

mencionada sea simétrica. En el caso de que la matriz sea asimétrica, existe una

representación topológica también, aún cuando el gráfico lineal en este caso no está

asociado con un sistema físico.

Cada nodo en el gráfico lineal mencionado arriba corresponde a un renglón y columna

correspondiente de la matriz. La representación topológica de una matriz tiene dos

objetivos, básicamente. Primero, nos permite reconocer el carácter disperso de la matriz, y

segundo, nos permite entender y analizar el proceso del “llenado” resultante del proceso de

eliminación y/ó factorización, así como minimizar sus efectos indeseables. La idea central

en el análisis del llenado, desde el punto de vista topológico, es el de la conectividad

indirecta entre nodos. La figura 1.12 nos muestra tres nodos: i, j y k.

i j ki j k

Figura 1.12. Conexión entre nodos en un gráfico lineal. Nodos i y k conectados a través de j.

En este caso, la transmisión de información se lleva a cabo a través del nodo j, de tal

manera que si eliminamos el nodo j, se creará una nueva conexión entre los nodos i y k,

para restablecer la comunicación entre dichos nodos.

i ki k

Figura 1.13. Creación de un llenado por la eliminación de un nodo.



Esta nueva conexión representa un llenado, ó sea la creación de un elemento no-cero en el

lugar donde previamente existía un elemento cero en la matriz de coeficientes. La regla

anterior es básica para entender el proceso de llenado y, por tanto, los criterios en el

desarrollo de las técnicas de ordenamiento que veremos enseguida.

Para ilustrar lo referente al efecto del orden de eliminación en el llenado, consideremos el

gráfico mostrado en la figura 1.14.

2 1 4 5

3

2 1 42 1 4 5

3

Figura 1.14. Gráfico lineal.

La estructura de la matriz de incidencia ó bien de la matriz de coeficientes asociada con el

gráfico lineal mostrado, se muestra enseguida

1 2 3 4 51 02 03 0 04 05 0 0 0

nodox x x xx x xx x

00

x x x xx x

El signo x indica la existencia de un elemento distinto de cero (elemento no cero) y con la

finalidad de mostrar lo referente al llenado, cuyos elementos serán indicados por ⊗ ,

mostramos la matriz cuando eliminamos el primer nodo (el eje puntado muestra el eje

pivote)



1 2 3 4 51 02 03 045 0 0 0

nodox x x xx x xx xx x x x

x x

⊗⊗ ⊗

⊗

Es importante notar que , de acuerdo a la observación hecha arriba, respecto al producto

cruzado, notamos que cuando uno de los elementos de la columna y renglón pivotes es

igual a cero, ese factor provocará que no haya modificación del elemento correspondiente,

en caso contrario, el elemento se modificará, y esto es lo que produce los llenados. ija

En la figura 1.15, mostramos gráficamente lo ocurrido como resultado de eliminar el nodo

1.

2 4 5

3

2 4 5

3 Figura 1.15. Gráfico lineal resultante de la eliminación del nodo 1.

Observamos que la decisión de eliminar primero el nodo 1 resulta en la creación de 4

llenados.

Tomemos ahora como caso la eliminación del nodo 5 primero. El resultado será

1 2 3 4 51 02 03 0 04 05 0 0 0

nodox x x xx x xx x

00

x x x xx x

La representación gráfica de esta operación la podemos ver en la figura 1.16.



2 1 4

3

2 1 42 1 4

33

Figura 1.16. Gráfico lineal resultante de la eliminación del nodo 5.

El resultado de lo anterior es 0 llenados!, pues como vemos en la figura 1.16, hemos

eliminado un nodo que no interconecta otros nodos y como resultado no se generan nuevos

elementos.

El resultado anterior conforma el criterio básico usado en los métodos de ordenamiento de

la eliminación (y factorización): eliminar, de preferencia, los nodos radiales, pues vemos

que ellos producirán el menor número de elementos nuevos.

De acuerdo a lo anterior se han planteado tres esquemas de ordenamiento que han dado

lugar a otros tantos métodos. Estos métodos se discuten enseguida y, aunque no son los

únicos, son los métodos básicos a partir de los cuales se han desarrollado una gran cantidad

de métodos más sofisticados, la mayoría empleados en sistemas con propiedades muy

peculiares, que se han documentado en la bibliografía mostrada al final de esta unidad.

Los esquemas que se discuten a continuación se pueden clasificar en dos tipos: esquemas

de preordenamiento y esquemas dinámicos. En el primer caso se analiza la red original y

en base al análisis llevado a cabo antes de la eliminación, se determina el orden de ésta, es

decir, una vez determinado dicho orden, se efectúa la eliminación correspondiente, sin

efectuar análisis en las etapas intermedias de eliminación. A diferencia de lo anterior, en

los esquemas dinámicos, en cada paso se revisa el estado de la red para decidir cual nodo

de be ser eliminado en el siguiente paso.

1er esquema de ordenamiento: Menor número de ramas conectadas. En este esquema de preordenamiento se inspecciona el gráfico original, y la secuencia de

eliminación se determina en el orden dado por el menor número de ramas conectadas a un

nodo (renglón y columna con el menor número de elementos de valor cero), esto es, la




secuencia estará en el orden dado por el número de ramas conectadas a cada nodo en forma

ascendente. Si más de un nodo tiene el mismo número de ramas, se toma cualquiera de

estos al azar.

Para el gráfico que utilizando en el ejemplo anterior, el primer esquema conduce al orden:

3,5,2,1,4. Lo anterior dado que el número de ramas conectadas de acuerdo a la siguiente

tabla, así lo determina.

NODO No. DE RAMAS

1 3

2 2

3 1

4 3

5 1

20 Esquema de ordenamiento (Dinámico). Menor número de ramas conectadas. Este esquema es idéntico al anterior, excepto que se aplica no solo al inicio, sino que revisa

el criterio en cada etapa de eliminación. Recordemos que la eliminación de un nodo

equivale a la eliminación del renglón y columna asociado con dicho nodo en la matriz de

incidencia del gráfico. El orden correspondiente al ejemplo que hemos utilizado se

determina como se muestra a continuación.

Eliminamos el nodo 3, pues al igual que el nodo 5, tiene una sola rama conectada. Por

estandarizar, en el ejemplo presente cuando existe empate en el número de ramas

conectadas a un nodo, tomaremos aquel cuyo código sea menor, o sea 3 en este caso. Es

importante recordar que en este caso se puede tomar al azar, de acuerdo a las reglas

enunciadas para esta técnica. La eliminación del nodo 3 no genera ninguna rama.

Enseguida eliminamos el nodo 5, dado que es el que tiene un menor número de ramas

conectadas a el. De igual forma, la eliminación de dicho nodo no genera ningún llenado.

En este punto, restan por eliminar los nodos 1, 2, y 4, todos ellos con 2 ramas, por lo que se

elimina el nodo cuyo código sea menor, es decir, 1. Finalmente nos restan los nodos 2 y 4,

ambos con 1 rama conectada, por lo que eliminamos el 2, primeramente, y finalmente el 4.

De donde el orden de eliminación de acuerdo con este esquema de ordenamiento es: 3, 5, 1,

2, 4. Gráficamente la secuencia anterior se muestra en al figura 1.17.


2 1 4 5 2 1 4

2 4

2 1 4 52 1 4 5 2 1 4

2 4

Figura 1.17. Ejemplo 20 esquema de ordenamiento.

3er Esquema de ordenamiento (Dinámico). Menor número de ramas nuevas generadas. En este esquema, el nodo que al eliminarse genera el menor número de ramas (llenado) se

selecciona como el más adecuado para eliminar. Para ejemplificar este esquema, tomamos

la red de los ejemplos anteriores y desarrollamos la eliminación, mostrando en cada fase el

llenado producido si se efectuara la eliminación de cada uno de los nodos.

Primera Fase

NODO LLENADOS PRODUCIDOS

1 2 (2-3 y 3-4)

2 0

3 0

4 2 (2-5 y 3-5)

5 0

Concluimos que debemos eliminar el nodo 2.

Segunda Fase


1 1 (3-4)

3 0

4 1 (1-5)

5 0




Se elimina el nodo 3

Tercera Fase


1 0

4 1 (1-5)

5 0

Se procederá por tanto a eliminar el nodo 1. Finalmente, nos quedan los nodos 4 y 5 que se

pueden eliminar en cualquier orden. Eliminamos de acuerdo ala convención estipulada

anteriormente, es decir, en el orden 4,5. El orden será entonces: 2,3,1,4,5.

Existen más esquemas de ordenamiento además de los mencionados. Sin embargo en la

mayoría de los casos encontrados en la Ingeniería Eléctrica, el segundo esquema dinámico

cumple con el compromiso de dar buenos resultados, desde el punto de vista de

minimización de llenados, y a su vez el esfuerzo computacional asociado en su ejecución es

razonable.

EMPAQUETADO DE MATRICES. El objetivo del empaquetado de matrices, como se mencionó antes, consiste en optimizar el

uso de memoria involucrado en el almacenamiento de matrices altamente dispersas, como

es el caso de la matriz YBUS, usando técnicas de almacenamiento más adecuadas que las

utilizadas comúnmente en los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales que

hemos venido usando hasta ahora. En general, los métodos de eliminación pueden explotar

la dispersidad en los siguientes aspectos:

10.Usándolos en conjunto con una técnica adecuada de ordenamiento, minimizando el

llenado producido durante el proceso de eliminación (ó factorización), y

20.Almacenando, y lo que es muy importante, procesando únicamente los elementos

diferentes de cero.

Respecto al 20 punto, es importante hacer notar que el beneficio del empaquetado no solo se

limita al ahorro de memoria, sino al ahorro de tiempo computacional, dado que una

operación por cero toma el mismo esfuerzo a la computadora, que una operación por

cualquier otra cifra numérica. Lo anterior se comprende si se consulta la bibliografía

acerca de cómo se efectúan las operaciones aritméticas en la computadora digital.


Recordemos simplemente que aún cuando dicha operación por cero es trivial para

nosotros, no lo es para la computadora. Lo anterior se debe a que mientras nosotros

razonamos a través de un proceso simbólico, la computadora efectúa un proceso numérico.

Para entender la idea básica de las técnicas de empaquetado, recurrimos al ejemplo de una

lista numérica, su almacenamiento y su manipulación. Dicha manipulación involucra los

problemas de: ordenamiento, inserción y eliminación de los elementos de la lista.

Consideremos al siguiente lista de números:

31.2 57.0 20.5 42.3 31.2 57.0 20.5 42.3

Esta lista se puede almacenar en un arreglo en el mismo orden en que se proporcionó, como

se indica:

1 2 3 420.5 31.2 42.3 57.0

locvalor

Podemos almacenar esta misma lista en orden ascendente como se muestra:

1 2 3 420.5 31.2 42.3 57.0

locvalor

Supongamos ahora que queremos agregar un número a la lista, conservando el orden del

almacenamiento. Pueden ocurrir dos casos. Primero, que el número que se va a agregar

corresponda al final de la lista, en cuyo caso el problema es trivial, pues simplemente se

agrega y el problema se terminó. El segundo caso ocurre cuando el número a agregar tiene

un valor numérico que le determina un lugar en la lista, que no corresponde al final, en

cuyo caso hay que insertarlo. Mediante técnicas convencionales, por llamarlo de alguna

manera, lo anterior requeriría el corrimiento de los elementos ubicados entre el valor

inmediato superior al valor del elemento que se va a insertar, y el final de la lista. Por

ejemplo, supongamos que queremos agregar el valor 33.0 a la lista que estamos usando. En

este caso, el valor que se va a agregar tomaría la posición 3, debiendo entonces correr los

números en las posiciones 3 y 4, a las posiciones 4 y 5 , respectivamente. Ilustramos lo

anterior a continuación:

1 2 3 4 520.5 31.2 33.0 42.3 57.0

locvalor

Es importante hacer notar que la operación de corrimiento implica un gran esfuerzo en el

caso de listas grandes, lo cual es el caso de los grandes sistemas en Ingeniería, por lo que

dicho método no es el más apropiado en dichos casos.



Para resolver el problema antes mencionado, se emplea un método más eficiente conocido

con el nombre de listas enlazadas (linked lists). Esta técnica, que es conocida por los

ingenieros en sistemas computacionales desde hace mucho tiempo, consiste en almacenar

las listas de números sin importar el orden de éstos, y usa un arreglo extra para almacenar

la información del orden numérico de los elementos en dicho arreglo. La finalidad de lo

anterior es que cuando existe la necesidad de insertar un elemento, no hay necesidad de

efectuar el corrimiento que hicimos anteriormente, limitándonos únicamente a registrar el

orden en el arreglo construido para tal fin. Ilustremos lo anterior con el ejemplo que hemos

venido manejando:

1 2 3 4 520.5 31.2 33.0 42.3 57.0

. 2 3 4 5 0

locvalorprox

∗

Hay varias cosas que requieren una explicación. Primero, observamos que el nuevo

arreglo, llamado prox, apunta a la posición del siguiente elemento en la lista. Y el valor de

dicho arreglo, en una posición dada, es cero para indicar el final de la lista, y será diferente

de cero cuando no es el final de la lista, y en este caso apunta a la posición donde está

contenido, en el arreglo valor por supuesto, el siguiente elemento en la lista. Por otro lado,

observamos que agregamos un asterisco, al primer elemento en este caso, con el fin de

señalar el inicio de la lista. Con lo anterior vemos que para ordenar la lista, el arreglo valor

no se altera sino únicamente el arreglo prox.

Con el fin de ejemplificar las ventajas del método de listas enlazadas, supongamos que

queremos agregar un elemento a la lista, y que éste tiene un valor de 42.0. En lugar de

correr los elementos correspondientes, insertamos el elemento al final de la lista, y

modificamos el arreglo prox como se muestra a continuación.

1 2 3 4 5 620.5 31.2 33.0 42.3 57.0 42.0

2 3 6 5 0 4

locvalorprox

∗

Supongamos ahora que queremos agregar el número 12.3 a la lista. Las modificaciones

requeridas se muestran a continuación:

1 2 3 4 5 6 720.5 31.2 33.0 42.3 57.0 42.0 12.3

2 3 6 5 0 4 1

locvalorprox

∗




Este ejemplo es ilustrativo del caso en que el número a agregar, sea de menor valor que los

ya existentes, en cuyo caso habrá que modificar no solamente el arreglo prox, sino la marca

de inicio de la lista, como se muestra en el ejemplo anterior.

Hasta aquí hemos visto la forma eficiente de almacenar la información de una lista de

números, lo cual constituye el manejo de un vector. Sin embargo, nuestro principal interés

está en el manejo de la información contenida en las matrices. A continuación veremos el

uso de la técnica de listas enlazadas aplicada al manejo de la información matricial. Como

podemos anticipar, la estructura de los arreglos que debemos usar en este caso, será un

poco más compleja que la del caso de la lista numérica que hemos venido utilizando hasta

ahora.

Se han propuesto varios esquemas de almacenamiento propuestos. Sin embargo,

describiremos el más ventajoso para nuestras aplicaciones. El lector interesado en

profundizar en esta disciplina, encontrará en la bibliografía al final, una fuente importante

de información.

Las características de un esquema como el mencionado arriba se pueden resumir como

sigue:

• Manejar elementos diferentes de cero: eliminarlos del arreglo e incorporarlos.

• Proporcionar información de elementos diferentes de cero en cada renglón, para

utilizarla en el ordenamiento.

• Debe ser suficientemente flexible para permitir pivotear en cualquier orden.

Este esquema es una extensión de la técnica de listas enlazadas, y consiste de tres

arreglos en su primera tabla, para elementos fuera de la diagonal. Dichos arreglos son:

VALOR: Contiene el valor numérico del elemento (fuera de la diagonal)

RENG: Almacena el índice del renglón

PROX: Permite la localización del próximo elemento distinto de cero en la columna.

La segunda tabla está formada por los arreglos de los elementos de la diagonal principal

de la matriz. Dichos arreglos son:

DIAG: Valor numérico del elemento diagonal

ICAP: Contiene el índice del apuntador de dirección de la columna

NOZE: Número de elementos diferentes de cero fuera de la diagonal.


Tomemos como ejemplo al matriz que se muestra a continuación

3.0 1.0 1.0 01.0 2.0 0 01.0 0 2.0 1.00 0 1.0 1.0

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

En forma empaquetada, la matriz anterior queda como sigue:

1 2 3 4 5 6 7 81.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.02 3 1 1 4 32 0 0 5 0 0 8 9

locVALORRENGPROX

∗

− − − − − − − −9

10

−− − −

1 2 3 43.0 2.0 2.0 1.01 3 4 62 1 2 1

locDIAGICAPNOZE

En este caso es importante notar que el asterisco, en la primera tabla, nos marca la

posición del inicio de posiciones disponibles, es decir, a partir de la posición 7 está

disponible para almacenamiento. En esta posición se almacenaría por ejemplo los

llenados que se generarían durante el proceso de eliminación ó factorización.

Como ejemplo de la forma en que se modificarían los arreglos con la inserción de

nuevos elementos, supongamos que queremos agregar el elemento y su

correspondiente elemento simétrico, con el mismo valor numérico. Para efectuar la

inserción, localizamos el último elemento diferente de cero correspondiente ala

columna 1, usando el arreglo ICAP(1). Este se encuentra en loc(2) en la primera tabla.

Cambiamos el valor de loc(2) = 0, lo cual nos indicaba que era el último valor

almacenado para la columna1, por el valor de la primera posición disponible la cual es

7;esto es, cambiamos loc(2) al valor de 7 y entonces se almacena en el primer lugar

disponible, es decir, loc(7). Además se deben modificar NEXT(2) y NOZE(1), y las

modificaciones en los arreglos quedan como sigue:

14 2.0a = −

41a

41a



NEXT(2) = 7

VALOR(7) = -2.0

RENG(7) = 4

PROX(7) = 0

NOZE(1) = 3.

El estado de las tablas se muestra enseguida:

1 2 3 4 5 6 7 81.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 2.02 3 1 1 4 3 42 7 0 5 0 8 0 9

locVALORRENGPROX

∗

− − − − − − − −− −

9

10

−

1 2 3 43.0 2.0 2.0 1.01 3 4 63 1 2 1

locDIAGICAPNOZE

Y después de agregar el elemento simétrico, los arreglos se modifican como se muestra:

1 2 3 4 5 6 7 81.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 2.0 2.02 3 1 1 4 3 4 12 7 0 5 0 8 0 0 1

locVALORRENGPROX

∗

− − − − − − − −−

9

0

−

1 2 3 43.0 2.0 2.0 1.01 3 4 63 1 2 2

locDIAGICAPNOZE

Es importante hacer notar que el esquema de empaquetado explicado arriba,

corresponde al caso de matrices simétricas. En las referencias bibliográficas, sin embargo,

se encontrarán técnicas adecuadas al caso de matrices asimétricas, las cuales son

simplemente modificaciones al esquema presentado aquí.




Todo lo presentado aquí se está asociado con esquema s que implícitamente usan variables

estáticas, ó no dinámicas en su programación, lo que se explica por la era FORTRAN, que

por otro lado sigue siendo un lenguaje de programación muy defendido por la gente que

hace simulación numérica, lo cual es el caso de las aplicaciones discutidas aquí. El lector

es referido a la bibliografía de final de capítulo para ver un ejemplo, en el que se usó un

esquema muy simple haciendo uso de punteros (variables dinámicas) [10].

BIBLIOGRAFIA. [1]. N. Balabanian, T. A. Bickart, S. Seshu. Eectrical Network Theory. John Wiley & Sons.

(1969).

[2]. G. W. Stagg, A. H. El-Abiad. Computer methods in power system análisis. McGraw

Hill. (1968).

[3]. Brameller, et al. Sparsity. Pitman Ltd. (1976).

[4]. S. Pisanetsky. Sparse Matrix Technology. Academic Press.

[5] George, Liu. Computer solution of large sparse positive definite systems. Prentice Hall.

[6]. Zollenkopf. Bi-factirization computational algorithm and programming techniques.

Capítulo del libro “Large sparse sets of linear equatons” edited by Reid. Academic Press.

[7]. Tinney, W. F. , Walker, J. W. Direct solution of sparse networks equations by optimal

ordered triangular factorization. Prodeedings of the IEEE 55, pp. 1801-1809.

[8].Sato, N., Tinney, W. F. Techniques exploiting the sparsity of network admittance

matrix. IEEE Trans. PA&S, Dec. 1963.

[9]. Duff, I. S. A survey of sparse matrix research. Proceedings of the IEEE 65, pp. 500-

535.

[10].Madrigal, M. Coria, L. Uso de asignación dinámica de memoria para el manejo y

solución de sistemas de ecuaciones lineales dispersos. Novena reunión de verano de

potencia RVP’96 del IEEE. 21 al 26 de julio de 1996. Tomo II, Págs. 40-45.



ANALISIS

DE

FLUJOS DE CARGA



2. REPRESENTACION DEL SISTEMA DE POTENCIA.

El diagrama completo de un sistema eléctrico de potencia representando las tres

fases es extremadamente complicado, para un sistema eléctrico de tamaño práctico, tanto

que no logra representar la información requerida. En su lugar, lo que se ha hecho es

desarrollar una serie de símbolos sencillos que representan cada componente del sistema

eléctrico, lo cual es utilizado en su representación y resulta en un tipo de diagramas mucho

más práctico denominado diagrama unifilar. Por otro lado, trabajar con cantidades

eléctricas reales, por llamarlas de algún modo, es decir, voltios, amperes, ohms, etcétera,

resulta muy complicado e inconveniente. Por esto la necesidad de normalizar cualquier

sistema es importante. Esto conduce al desarrollo de un método de normalización conocido

como sistema por unidad. Lo anterior será discutido poco más adelante.

Es fundamental recordar de los cursos de circuitos, que en un sistema eléctrico

trifásico, se puede analizar únicamente una fase, pues la historia de lo que ocurre en las

otras, es la misma, únicamente desfasada 2400 ó 1200, según se trate de fase b ó c, tomando

en cuenta que la fase retenida para análisis es la fase a, y refiriéndonos a secuencia positiva,

cuyos conceptos se tratarán capítulos adelante.

2.1 DIAGRAMAS UNIFILAR Y DE REACTANCIAS.

El diagrama unifilar de un sistema eléctrico muestra las principales conexiones y

arreglos de sus componentes. Un componente particular puede o no mostrarse,

dependiendo de la información requerida en el estudio particular, por ejemplo, los

interruptores no son necesarios y pueden omitirse, por tanto, en un estudio de flujos de

potencia; sin embargo, si el estudio es de protección es esencial incluirlos. Las redes de

sistemas de potencia son representadas por diagramas unificares, usando símbolos

adecuados para generadores, motores, transformadores y cargas. Es una forma práctica y

conveniente de representar cualquier red, en lugar de mostrara el detalle del diagrama

trifásico correspondiente al sistema eléctrico real, el cual puede ser engorroso, confuso y

muy complicado para una red de tamaño real. Las conexiones estrella, delta y neutros

Usuario

Resaltado

Usuario

Resaltado

Usuario

Resaltado

Usuario

Subrayado

Usuario

Resaltado

Usuario

Subrayado

Usuario

Resaltado

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE aterrizados que ocurren en transformadores, generadores, motores, etcétera, se indican a un

lado del símbolo que representa la componente correspondiente.

En el diagrama siguiente se muestra, a manera de ejemplo, el diagrama unificar de

un sistema de tamaño pequeño, pero representativo.

Y G1

AB

G2

G3

T1 T2

YY YΔY

YYY G1

ABB

G2

G3

T1 T2

YY YYΔYY

YY

Figura 2.1. 1. Diagrama unificar de Sistema Eléctrico.

Los datos del sistema eléctrico se enumeran a continuación.

Generador No.1: 30 MVA, 10.5 kV, X¨ = 44%, Xn = 1.5 Ω

Generador No.2: 15 MVA, 6.6 kV, X¨ = 41%, Xn = 2.5 Ω

Generador No.3: 25 MVA, 6.6 kV, X¨ = 32%, Xn = 2.5Ω

Transformador T1 (3φ): 15 MVA, 33/11 kV, X = 21%

Transformador T2 (3-1 φ): 5 MVA, 20/6.8 kV, X = 0.24%

Línea de Transmisión: 20.5 Ω/fase

Carga A: 15 MW, 11 kV, factor de potencia de 0.9 en atraso

Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia de 0.85 en atraso.

En el caso del transformador T2 se trata de un banco de tres unidades monofásicas

conectadas como se muestra en el diagrama; por supuesto en este caso, la potencia nominal

corresponde a cada unidad y la relación de transformación igualmente. Las reactancias

denotadas por Xn , son las reactancias de aterrizado de los generadores. En ocasiones estos

valores están especificados, al igual que las reactancias propias de la máquina, en forma

normalizada, ya sea en % ó en p.u., en cuyo caso debemos entender que las bases de su

normalización son los datos nominales del equipo. En el presente ejemplo, se definen en

Ω.


Usuario

Resaltado

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El diagrama de impedancias monofásico, para usarse en casos de sistemas

balanceados, se muestra en la figura 2.1.2 a continuación.

TRANSFORMADORT1

LINEA DETRANSMISION

TRANSFROMADORT2

G1 CARGAA

CARGAB

G2 G3TRANSFORMADOR

T1LINEA DE

TRANSMISION

TRANSFROMADORT2

G1 CARGAA

CARGAB

G2 G3G1 CARGAA

CARGAB

G2 G3

Figura 2.1.2. Diagrama de impedancias monofásico del sistema eléctrico.

En este diagrama se muestran equivalentes monofásicos de los elementos del

sistema eléctrico considerado. Los transformadores se muestran como transformadores

ideales, en donde sus reactancias de magnetización se han omitido. En el caso de la línea

de transmisión, se muestra el modelo Π nominal, aunque los datos especificados

anteriormente, incluyen únicamente los parámetros correspondientes al modelo corto de

línea de transmisión. En el caso de los generadores se muestra la impedancia, aunque en

los datos, se especifican únicamente los valores de sus reactancias subtransitorias. Las

cargas se supone que son pasivas. Es importante observar que las impedancias de

aterrizado de los generadores no aparecen en el diagrama anterior, debido a que en sistemas

balanceados evidentemente estas no intervienen.

Un punto importante en el análisis de los sistemas eléctricos, al igual que para

cualquier sistema, es la normalización de dicho sistema, ya mencionada previamente. En la




siguiente sección desarrollaremos las ecuaciones y el procedimiento que nos conducen a

dicha normalización.

En las unidades iniciales se discutió de manera detallada la modelación de la línea

de transmisión aérea. En cursos previos, se aprendió a modelar la máquina sincrónica, así

como los transformadores, por lo que del modelado básico usado en los tipos de estudio que

cubren el material presentado aquí, únicamente nos resta exponer algunas consideraciones

acerca del modelado de cargas. Existen fundamentalmente dos regímenes en los cuales

llevar a cabo el modelado de carga: en estado estable y en régimen transitorio. El segundo

caso no se comentará, pues está fuera del alcance del nivel del material presentado, el cual

es planeado para un curso introductorio de análisis de los sistemas eléctricos de potencia en

estado estable.

2.2 MODELADO DE CARGAS. Es común que en la literatura a nivel básico se omita la discusión sobre le modelado de

cargas, o bien esta sea muy limitada. Lo anterior genera la idea, a ese nivel, de que el

modelado de la carga es un asunto concluido y muy simple.

En estas notas tratamos de dar una idea de las complicaciones, que en la realidad, presenta

el modelado de ese importante elemento del sistema eléctrico.

Empecemos por dar una breve clasificación de las cargas. Las cargas pueden clasificarse,

parcialmente, en:

• Lineales y no lineales, de acuerdo a la función matemática que las define.

• Eléctricas, electromecánicas, etcétera, de acuerdo a su naturaleza y por ende al tipo

de variables que se considera.

• Determinísticas o aleatorias, en función del modelo usado.

De acuerdo con un criterio cualitativo se pueden clasificar además, como particulares y

globales [9].

El primer caso corresponde a la presencia de un solo dispositivo, y es el tipo de modelado

que típicamente se cubre en los cursos de conversión de la energía. Los modelos concretos

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE de este caso se obtienen al analizar su comportamiento en el marco conceptual de las leyes

electromagnéticas del caso; ejemplo de esto es el modelo de un motor, un horno, etc.

El segundo caso, cargas globales, están relacionados con la existencia de dispositivos de

distintas características y se asocian a subestaciones, alimentadores específicos, centros de

transformación, etc. Este último tipo de cargas se definen por medio de los denominados

modelos agregados.

Modelos Estacionarios. Estos modelos de carga son los que comúnmente se discuten o se

enumeran en la literatura básica de sistemas de potencia, y son los que se usan en este

curso. Los más comunes son:

1. Modelo de inyección de Potencia Constante. Este modelo representa generalmente

grandes consumos vistos en las subestaciones. Los valores de P y Q se obtienen a

partir de mediciones en la subestación y se representan por curvas de demanda. En

este modelo, P y Q se suponen constantes. Esta es la representación de carga usada

generalmente en el estudio de flujos de potencia, y es la que usaremos en las

próximas unidades.

Curva de demanda horaria



2. Modelo de Corriente Constante. Su uso es menos frecuente en cargas agregadas y

es muy usado en estudios armónicos. En este modelo de carga la corriente es

calculada como

( )P jQI IV

θ φ∗

−= = ∠ −

donde V V θ= ∠ , y 1tan QP

φ −= es el ángulo del factor de potencia. La magnitud de I se

mantiene constante.

3. Modelo de Impedancia Constante. Aunque este modelo no es utilizado en flujos, por lo

menos no en forma frecuente, es sin embargo muy común en estudios de estabilidad

transitoria. Es un modelo de utilidad en cargas agregadas en redes de distribución de medio

y bajo voltaje. Si suponemos que P y Q de la carga permanece constante, la impedancia de

calcula como sigue 2VVZ

I P jQ= =

−

o en forma de admitancia tendríamos

2

I P jQYV V

−= = .

Los modelos anteriores forman parte de los llamados modelos estacionarios genéricos y

respaldan el carácter agregado de la carga. Antiguamente las cargas domésticas e

industriales compuestas por calefacción y alumbrado, se modelaban como impedancia

constante, mientras las máquinas rotatorias se modelaban como una forma simple de

máquina síncrona. Las cargas compuestas se modelan por una mezcla de estos tipos de

carga. Existen varias formas de representación de dichos modelos, pero uno de los más

aceptados se describe a continuación.


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Si se considera una carga cuya potencia es función del voltaje y la frecuencia en el bus

donde está conectada, obtenemos una modelo de carga general, dado por

( ) ( )( ) ( )

* *

* *

pv pp

qv qfq

P K V f

Q K V f

=

=

f

Donde Kp y Kq son constantes que dependen de los valores nominales de las variables P y

Q.

Asignando valores a pv, pf , qv y qf , podemos generar los modelos estacionarios

mencionados anteriormente.

Las cargas estáticas son relativamente insensibles a la variación de frecuencia, por lo que,

pv = pf = 0. En este caso tenemos que P = Kp y Q = Kq , lo cual constituye el modelo de

inyección de potencia constante.

Si hacemos pv, = qv =1 y pf = qf = 0 obtenemos

* *p qP K V Q K V= =

O bien

p qP V K I Q V K I= = = = ,

lo cual representa el modelo de corriente constante.

Finalmente si pv = qv = 2 y pf = qf = 0, obtenemos el modelo de admitancia como se

muestra 2 2* *p qP K V Q K V= =

de donde



2 2p qP V K Y Q V K= = = = Y

La tabla que se muestra enseguida nos proporciona valores típicos de parámetros de carga

característicos

CARGA pv qv pf qf Lámpara de filamento 1.6 0 0 0 Lámpara fluorescente 1.2 3.0 -1.0 2.8 Calefactor 2.0 0 0 0 Motor de inducción media carga 0.2 1.6 1.5 -0.3 Motor de inducción plena carga 0.1 0.6 2.8 1.8

Horno de reducción 1.9 2.1 -0.5 0 Planta de aluminio 1.8 2.2 -0.3 0.6

Estas características se pueden combinar para obtener la característica general de la carga

en un bus.

Para ilustrar este tipo de modelos de carga característica, supongamos que tenemos n

cargas homogéneas, con características individuales pvj y potencia nominal Pj. Dicho

grupo de cargas tendrá un modelo global dado por

( )( )

( )1

1

*n

j jj

j nglobal

jj

pv Ppv

P

=

=

=∑

∑

Las otras características globales se pueden determinar de manera similar.

Por supuesto, tal como ocurre con el modelado de otros elementos del sistema, existen

limitantes en la aplicación de estos modelos. Uno muy característico se presenta en el caso

de que ocurra un valor bajo de voltaje.

El problema mencionado se puede observar cuando pv,qv ≤ 1.0 y el voltaje cae a un valor

muy pequeño. A medida que |V| decrece, no se registra decremento en |I|. En el caso

límite, |V| = 0, existe un flujo de corriente lo cual no tiene sentido, dada la naturaleza no

dinámica del modelo.




Lo anterior nos conduce a considerar que las características de carga son válidas solamente

para pequeñas desviaciones de voltaje, con respecto al valor nominal.

Además también podemos ver que pequeños errores en magnitud y fase de un voltaje

pequeño, producen grandes errores en magnitud y fase de corriente, lo cual resulta en

pérdida de exactitud, además de convergencia pobre o divergencia en métodos iterativos.

Estos problemas se pueden superar usando una característica de carga de impedancia

constante para representar las cargas cuando el voltaje cae por debajo de un valor

predeterminado.

2.3 SISTEMAS EN POR UNIDAD ( P.U.).

La Normalización de los sistemas es una tarea necesaria prácticamente en todas las

áreas de la Ingeniería, y la Ingeniería de los Sistemas de Potencia no es la excepción. La

variedad de valores numéricos tanto en variables eléctricas (voltaje, corriente, potencia,

etc.), como en parámetros (impedancia, admitancia, etc.), hace imprescindible el recurrir a

la normalización para facilitar el manejo numérico de los problemas presentados en el

análisis de los Sistemas Eléctricos de Potencia (SEP).

La definición básica para expresar una variable ó parámetro en forma normalizada

está dada por:

Cantidad en pu = Cantidad Real (en unidades originales)/Cantidad Base

Cantidad en % = (Cantidad en pu) · 100.

Algunas de las ventajas de la normalización (del sistema en p.u.) son:

1. Su representación resulta en datos con más significado donde las magnitudes

relativas de todas las cantidades de circuitos similares pueden compararse

directamente.

2. La impedancia en p.u. de cualquier transformador es la misma cuando se refiere al

primario ó al secundario.



3. La impedancia en p.u. de un transformador en un sistema trifásico es la misma sin

importar el tipo de conexión del devanado (estrella-delta, estrella-estrella ó delta-

delta).

4. El método en p.u. es independiente de cambios de voltaje y desfasamientos a través

de transformadores, donde los voltajes de base en los devanados son proporcionales

al número de vueltas de estos.

5. Los fabricantes de transformadores usualmente especifican los valores de las

impedancias en p.u. ó por ciento de los datos nominales de placa de los equipos.

Por tanto la impedancia nominal puede usarse directamente, si las bases escogidas

son las mismas que las de placa.

6. Los valores en p.u. de las impedancias caen dentro de un rango de valores muy

estrecho, mientras que los valores óhmicos tiene un espectro numérico muy amplio.

Además existen tablas en manuales de referencia con valores típicos para los

diferentes tipos de equipo, y se puede verificar si para un equipo dado el valor de su

impedancia es correcto ó está en un rango adecuado, consultando en dichos

manuales de referencia.

7. Todo lo anterior nos conduce a concluir que es conveniente realizar las

simulaciones de los SEP normalizados, dado que además numéricamente representa

ventajas en cuanto al control del error.

Las cuatro cantidades eléctricas más usuales son:

1. Voltaje, V ( V )

2. Corriente, A ( I )

3. Volt-Amperes, VA

4. Impedancia, V/A ( Z ).

Se puede observar que solamente V y A están involucradas y por lo tanto se

requiere especificar solamente dos cantidades, de las cuatro arriba listadas, y las otras dos

quedarán definidas en función de éstas. Típicamente en el análisis de sistemas de potencia

se especifican el voltaje y la potencia aparente ( V y VA) y las otras dos cantidades se

calculan en función de éstas. La potencia aparente se selecciona debido a que es común a

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE través de toda la red, mientras que los niveles de voltaje cambian como resultado de la

presencia de los transformadores.

Si seleccionamos Vbase y VAbase, podemos calcular Ibase = VAbase / Vbase y además

Zbase = ( Vbase)2 / VAbase, en ambos casos para sistemas monofásicos. Con lo anterior en

mente, podemos calcular las cantidades en p.u. (por unidad) como sigue:

Vpu = Vact / Vbase , Ipu = Iact / Ibase , Zpu = Zact / Zbase , Ppu = Pact / VAbase ,

Qpu = Qact / Qbase.

Como las unidades de VA y V son muy pequeñas en la práctica, son más comunes

en su lugar MVA y kV , respectivamente. En forma monofásica podemos entonces definir:

310basebase

base

MVAI

kV∗

= ( )2

basebase

base

kVZ

MVA= .

Hasta aquí se ha hecho mención de que estas relaciones son válidas en base monofásica, sin

embargo en forma trifásica estas cantidades se pueden usar como sigue:

CONEXIÓN ESTRELLA CONEXIÓN DELTA

( ) ( )3 3base basekV kV 1φ φ= ∗ ( ) ( )3 1base basekV kVφ φ=

( ) ( )3base baseI I 1φ φ= ( ) ( )3 13base baseI Iφ φ= ∗

( ) ( )3 3base baseMVA MVA 1φ φ= ∗ ( ) ( )3 13base baseMVA MVAφ φ= ∗

( )( )( )

( )

( )( )( )

2 2

3 1

33 1

base base

basebase base

kV kVZ

MVA MVAφ

φ

φ

φ φ

= = ( )( )( )

( )

( )( )( )

2 2

3 1

33 1

base base

basebase base

kV kVZ

MVA MVAφ φ

φφ φ

= =

De lo anterior podemos concluir que ( )3baseZ φ = ( )1baseZ φ . Es importante mencionar que las

cantidades más comúnmente usadas son trifásicas, pues el equipo es usualmente trifásico y

los datos de placa están dados en esa misma base. La excepción a esto lo constituyen los

bancos de transformadores compuestos por tres unidades monofásicas, cada una de las

cuales con sus propios datos nominales.


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE TRANSFORMADORES.

Supongamos, con el fin de obtener relaciones generales, que existen taps† o derivaciones en

ambos devanados del transformador monofásico mostrado en la figura 2.1.3.

PRIMARIO SECUNDARIO

vP1

vPn

Vs1

VSm

PRIMARIO SECUNDARIO

vP1

vPn

Vs1

VSm

Figura 2.1.3. Modelo general de un transformador.

Suponga que se selecciona una base en kV para el devanado primario, entonces los kVbase

para el devanado secundario serán

( ) ( )( )

( )

minsec

min

S no albase base pri

P no al

VkV kV

V=

( )minS no alV y ( min )P no alV son las posiciones del tap expresadas en kV para los lados secundario

y primario, respectivamente. El subíndice (nominal) indica la posición del tap para el

voltaje nominal. Más adelante esta relación de taps se expresará en por unidad.

Impedancia base:

( )( )( )2

sec

sec

base

basebase

kVZ

MVA=

( )( )( )2

base pri

base pribase

kVZ

MVA=


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Impedancia del transformador (p.u.):

( )( )

( )

secsec

sec

actpu

base

ZZ

Z=

( )( )

( )

act pripu pri

base pri

ZZ

Z=

Razón del Tap:

( )( )

( )

act pripu pri

base pri

ZZ

Z= , entonces ( ) (

2secact pri actZ a Z= ∗ )

y por lo tanto

( )( )

( )

( )

( )( )2

sec2

act pri actact pri

base pri basebase pri

Z a ZZ

Z kV MVA= =

( )

( )( )2

sec2

2sec

act

basebase

a Z

a kV MVA=

( )

( )( )

secsec

sec

actpu

base

ZZ

Z= =

De lo anterior se concluye que:

( ) ( )secpu pri puZ Z= .

CAMBIO DE BASE. Debido a que los datos de placa de los equipos están normalizados, tomando como base los

datos nominales del propio equipo, es decir kVnominal y MVAnominal, es preciso hacer un

cambio de base, pues en general las bases del equipo no coinciden con las del sistema.

Suponga además que se usarán nuevas bases denominadas kVbase2 y MVAbase2, entonces

tenemos 22

actpu

base

ZZ

Z= .




2Es importante notar que , ó bien 1 1 2act pu base pu baseZ Z Z Z Z= =

( )( )

21 11

2 1 1 22 2 2

base basebasepu pu pu

base base base

kV MVAZZ Z ZZ kV MVA

= =

de donde obtenemos 2

1 12 1

2 2

base basepu pu

base base

kV MVAZ Z

kV MVA⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Esta última expresión es útil cuando los datos nominales del equipo son diferentes a las

bases de sistema seleccionadas.

IMPEDANCIAS MUTUAS EN PU. En los circuitos de transmisión que comparten el mismo derecho de vía existe acoplamiento

magnético en la red de secuencia cero, razón por la cual es importante encontrar la forma

para expresar en p.u. dichas impedancias de acoplamiento.

Considere los dos circuitos acoplados magnéticamente, mostrados en la figura 2.1.4.

kVbase1

Ibase1

kVbase2

Ibase2

(1)

(2)Xm(pu)

kVbase1

Ibase1

kVbase2

Ibase2

(1)

(2)Xm(pu)

Figura 2.1.4. Circuitos magnéticamente acoplados.

Por supuesto que los MVAbase es común a través de todo el sistema.

En términos de la línea (2) tenemos

( )( ) ( )

22 2

m act m actm pu

base base base

X XX

X kV I= =

1


( ) 11

2 1

m act basebase

base base

X kVI

kV kV=

( )

2 1

basem act

base base

X MVA

kV kV= ,

dado que la potencia base es la misma en todo el sistema.

De lo anterior obtenemos

( ) ( )1 2

basem pu m act

base base

MVAX X

kV kV=

Notar que debido a que ( )2 1base base

m basebase

kV kVZ

MVA= , entonces tenemos finalmente

( )( )

( )

m actm pu

m base

XX

Z=

Para ejemplificar el uso del método de normalización en por unidad (p.u.), usaremos

el sistema mostrada en la figura 2.1.1 al inicio de esta unidad.

Primeramente dividimos el sistema que se va a normalizar en zonas caracterizadas por el

mismo voltaje. Esto se muestra en la figura 2.1.5.




Figura 2.1.5. Sistema dividido en zonas de voltajes.

Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. Supongamos que se decide

usar como bases de sistema: MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 33 kV en la zona de

transmisión. De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase1 = 33 kV, dado que el voltaje

base coincide con el voltaje nominal. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando

en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus conexiones.

Para las demás bases 11133 1133basekV kV⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠ referida a través de T1 y

36.833 6.48

20 3basekV kV⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⋅⎝ ⎠, referida a través de T2.

Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de

transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en

estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se

refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia

de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades

del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la

conexión en delta en ese punto.

Una vez calculadas las bases de voltajes en todas las zonas, las bases restantes, o sea de

corrientes e impedancias, se calcularán únicamente si se requieren. En el presente ejemplo,

únicamente incluiremos en la normalización del parámetro de la línea de transmisión, la

impedancia base de la zona correspondiente (zona 2).

Con esto la siguiente tarea consiste en cambiar de base los parámetros de las componentes

del sistema eléctrico, cuyos valores estén especificados en forma normalizada, lo cual es lo

Y G1

AB

G2

G3

T1 T2

YY YΔY

YZONA 1

ZONA 2

ZONA 3

YY G1

ABB

G2

G3

T1 T2

Y

Y

Y YYΔYY

YZONA 1

ZONA 2

ZONA 3

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE más comúnmente encontrado en los datos de placas de los equipos. En los datos

proporcionados previamente, se especifican los datos de generadores y transformadores

normalizados, sobre las bases de valores nominales de las variables eléctricas de estos

equipos. Como no coinciden en general con las bases del sistema que seleccionamos,

deberemos cambiarlos de base y referirlos por tanto, a las bases de sistema. Lo anterior se

muestra a continuación.

Para el generador G1 tenemos:

( )210.5 300.44 0.40

11 30X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Mientras que para la reactancia de aterrizado

1 2

1.5 0.371130

nX puΩ= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Para el generador G2

( )26.6 300.41 0.85

6.48 15X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y la reactancia de neutro

2 2

2.5 1.796.48

30

nX puΩ= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Para el generador G3

( )26.6 300.32 0.40

6.48 25X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

con reactancia de aterrizado

3 2

2.5 1.796.48

30

nX puΩ= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue.

Para T1

( )2

111 300.21 0.4211 15TX ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE mientras que para T2 tenemos

( )2

220 3 300.24 0.53

33 15TX⎛ ⎞⋅ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Observe que en la relación de transformación podemos usar indistintamente la relación de

cualquier lado del transformador, dado que 20 3 6.833 6.48⋅

= .

En el caso de la línea de transmisión, el valor del parámetro está en ohmios, por lo que en

lugar de cambio de base, efectuamos su normalización directamente

22

20.5 20.5 0.563330

LTbase

X puZ

Ω Ω= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Carga A: PA = 15 MW , por lo que 15 16.670.9AS = = MVA , y con esto obtenemos

( )2 216.67 15 7.27AQ MVA= − = 15 7.27AS MW j MVArr , de donde: = + . Por lo que el

valor normalizado de potencia será

15 7.27 0.5 0.2430AjS puMW j puMVAr+

= = + .

Carga B: PA = 40 MW, entonces 40 47.060.85BS = = MVA , de donde

( )2 247.06 40 24.8BQ MVAr= − = , por lo que: 40 24.8BS MW j MVAr= + , y el valor

normalizado resulta

40 24.8 1.33 0.8330B

jS puMW j puMVAr+= = + .




2.2. FORMULACION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA.

INTRODUCCION.

El estudio de flujos de carga o flujos de potencia, como se le llama también a

menudo, está ligado tanto a la evolución de los sistemas eléctricos, como a la evolución de

las computadoras digitales. Antes de los años 40s, la cantidad de interconexiones en los

sistemas eléctricos era muy pequeña, por lo cual los sistemas eléctricos eran

predominantemente radiales. Los estudios de dichos sistemas eran sencillos relativamente,

al menos se podían realizar sin recurrir a grandes recursos de cálculo, que a la postre no

existían. Sin embargo una vez que se hicieron patentes las ventajas de la interconexión, la

complejidad de los sistemas eléctricos fue creciendo, y los estudios requeridos más

demandantes. Afortunadamente esta evolución de los sistemas eléctricos coincidió con el

advenimiento de la computadora digital. La primera mención de la computadora en el

estudio de flujos de potencia se remonta al año de 1947 y se relaciona con el artículo

titulado “Machine computations of power network performance”, AIEE Transactions, vol.

66, escrito por L.A. Dunstan. Sin embargo, el crédito por la formulación del problema con

una orientación adecuada para su programación en computadora digital, se concede,

generalmente, a J. Ward y H. Hale , quienes escribieron el artículo “Digital computer

solution of power flor problems” en el AIEE Transactions, vol. 75, 1956. El sistema

utilizado en su artículo es ampliamente utilizado como sistema de pruebas, para validar

métodos de análisis de flujos de potencia aún hoy en día, es quizás el sistema más utilizado

con ese propósito.

Pero ¿Cuál es el objetivo del estudio de flujos de potencia?. El objetivo de este estudio es

obtener los voltajes nodales. Con estas variables conocidas, determinaremos los flujos en

las líneas de transmisión, y en general de los elementos del sistema de transmisión, dados

los niveles de demanda y generación.

Aunque la red se considera lineal, sin embargo es bien conocido que el modelo

matemático para el estudio de flujos de potencia es no-lineal; lo anterior se debe al hecho

de que en su formulación se utiliza de manera explícita de la potencia eléctrica, como el

producto de V·I, las cuales son cantidades complejas. Esto se discutirá de manera más

amplia y clara más adelante.

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Por último es importante mencionar que las aplicaciones del estudio de flujos de potencia

son tan vastas como importantes. Constituyen la herramienta esencial para el análisis, la

planeación y el diseño de tanto de los sistemas eléctricos, como de la operación y control de

los mismos.

FORMULACION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA. Antes de iniciar la formulación del problema de flujos de potencia, es

imprescindible plantear la relación que existe entre P, Q, V y δ (ángulo del voltaje,

relacionado con la frecuencia).

Consideremos una línea de transmisión, como se muestra en la figura 1, en la cual

se ha omitido la resistencia serie, con el fin de simplificar el análisis posterior, lo cual no

compromete las conclusiones, además de que en líneas aéreas de transmisión en efecto la

relación x/r es muy alta, lo cual significa que el valor de la resistencia es despreciable para

algunos fines.


1 1 1V V θ= ∠2 2V V 2θ= ∠1 1 1V V θ= ∠2 2V V 2θ= ∠

Figura 2.2.1. Potencia transferida entre dos buses.

La potencia S12 será igual a

2 2

1 1 21 2 1 1 212 1 12 1

V VVV V V VVS V I V jjx jx x

∗ ∗

x

∗∗ − ⎛ ⎞⎛ ⎞−

= = = = −⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )1 2

2 21 1 2 1 1 2

1 2 1 2cosjV V V V V Vj e j jsen

x x x xθ θ θ θ θ θ−

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎡= − = − − + −

⎞⎤ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝⎟⎠

( ) ( )2

1 2 1 1 21 2 1 2cos

V V V V Vsen j

x x xθ θ θ

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦θ− .

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE De lo anterior obtenemos, separando parte real y parte imaginaria de la última expresión

( )

( ) ( )

1 212 12 1 2

21 1 2 1

12 12 1 2 1 2cos

V VP e S sen

xV V V V

Q m S V Vx x x

θ θ

θ θ

= ℜ = −

= ℑ = − − ≈ −

la última aproximación se debe a que (θ1 – θ2) es muy pequeño y por tanto cos(θ1 – θ2) ≈ 1.

Lo anterior muestra que existe una fuerte dependencia entre P - δ, por un lado, y

entre Q -V por otro. Por lo que podemos observar que, debido a que δ está relacionado

con la frecuencia, entonces un exceso de MW generados tiende a elevar la frecuencia,

mientras que un exceso de MVAR generados tiende a elevar V. Es también muy

importante observar que mientras f (frecuencia) es una variable de efecto global y por tanto

su cambio se siente en todo el sistema, V es una variable de efecto local y sus cambios,

por consecuencia, no son uniformes y son más grandes en los buses con mayor exceso de

Q. En este punto es importante hacer la observación de que el término bus constituye un

tecnicismo de uso muy extendido, y es sinónimo de nodo. Lo usaremos de aquí en

adelante, en virtud de que ya es un término demasiado extendido en el argot técnico,

esperando que no provoque histeria en los defensores de la lengua española, a los cuales les

pedimos disculpas de antemano, si es que este material llegara a caer en sus manos.

Las observaciones anteriores son cruciales en la comprensión de la formulación del

modelo de flujos de potencia.

Los aspectos más importantes del estudio de flujos pueden resumirse como sigue [1]:

1. Solamente los generadores pueden producir potencia activa, P. La localización y

capacidad de dichos generadores es fija. La generación debe ser igual a la demanda

más las pérdidas y esta ecuación de balance de potencia debe cumplirse en todo

momento (también debe cumplirse para el caso de Q). Dado que la potencia

generada debe dividirse entre los generadores en una razón única con el objeto de

lograr operación económica óptima, los niveles de generación deben mantenerse en

puntos definidos por anticipado.




2. Los enlaces de transmisión pueden transmitir solamente ciertas cantidades de

potencia (cargabilidad), debemos asegurarnos de operar dichos enlaces cerca de los

límites de estabilidad ó térmico.

3. Se deben mantener los niveles de voltaje de operación de ciertos buses dentro de

ciertas tolerancias. Lo anterior se logra mediante la generación apropiada de

potencia reactiva.

4. Si el sistema eléctrico que es el objeto del estudio forma parte de un sistema más

grande (¨power pool¨), deberá cumplir con ciertos compromisos contractuales de

potencia en puntos de enlace con los otros sistemas vecinos.

5. Los disturbios ocurridos después de grandes fallas en el sistema, pueden causar

salidas de servicio; los efectos de dichos eventos pueden minimizarse mediante

estrategias de pre-falla apropiadas desarrolladas a través de múltiples estudios de

flujos de potencia.

6. Para llevar a cabo de manera apropiada y eficiente la tarea de planeación, es

imprescindible el uso extensivo de estudios de flujos de potencia.

El problema se puede dividir a su vez, en los siguientes problemas [1]:

1. Formulación de un modelo matemático adecuado para la red. Debe describir

adecuadamente las relaciones entre voltajes y potencias en el sistema

interconectado.

2. Especificación de las restricciones de potencia y voltaje que deben aplicarse a todos

los buses.

3. Cálculo numérico de las ecuaciones de flujos de potencia sujetas a las restricciones

arriba mencionadas. De estas ecuaciones obtenemos todos los voltajes de la red.

4. Cuando todos los voltajes de bus han sido determinados, podremos finalmente

calcular los flujos de potencia en todos los elementos de transmisión, y con esto, las

pérdidas de potencia.

Con el fin de plantear el problema básico del análisis de flujos de potencia, hacemos

uso del sistema más simple posible, sin perder generalidad, dado que este sistema,

consistente de dos buses, contiene los elementos básicos de cualquier sistema eléctrico.

Esto permite, sin obscurecer el problema con la complejidad, innecesaria en esta etapa

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE por otro lado, del tamaño. Lo anterior significa que el problema que se va a analizar

contiene los elementos suficientes para llevar a cabo dicho planteamiento.

El sistema eléctrico mencionado, y que se muestra en la figura 1, contiene un

generador y una carga, en cada bus, y los buses se unen con una línea de transmisión, la

cual se modelará a través un circuito Π nominal.

SG1

SD1

1

SG2

SD2

2

Línea de Transmisión

SG1

SD1

1

SG2

SD2

2


SD1

1

SG2

SD2

2


Figura 1. Sistema de dos buses.

En este sistema, cada bus es alimentado por un generador que inyecta una potencia

SG1 y SG2, respectivamente. A su vez existen cargas en cada uno, que consumen potencias

SD1 y SD2, o también podríamos decir que “inyectan” potencias -SD1 y -SD2,

respectivamente. Aquí es importante mencionar que la convención más común consiste en

considerar positiva la potencia inyectada en un bus, y por tanto, una potencia extraída en un

bus, se puede considerar que es una potencia inyectada negativa. Por otro lado, el voltaje

de cada bus es V1 y V2, respectivamente. Dichos voltajes son, por supuesto, fasores, cuya

definición completa se dará más adelante. La línea de transmisión que une los buses se

representa por medio de un circuito Π nominal. Como se puede observar en la figura 2,

esta línea está caracterizada por las admitancias en derivación a cada lado de los buses, así

como la impedancia serie, cuya metodología de cálculo se vio en las unidades

introductorias del curso de Sistemas Eléctricos de Potencia I.



zser

ysh yshSD1

SG1 SG2

SD2

1 2

zser

ysh ysh

zser

yshysh yshyshSD1

SG1 SG2

SD2

1 2

Figura 2. Sistema de dos buses. Representación de la línea de transmisión.

En la siguiente parte del análisis, concentraremos la inyección total en cada bus, es

decir la suma de las inyecciones provenientes del generador y las cargas correspondientes,

para lo cual usaremos un símbolo adecuado, como se muestra en la figura 3, que defina la

naturaleza de una “fuente” de inyección de potencia nodal.

zser

ysh ysh

1 2

zser

ysh ysh

zser

yshysh yshysh

1 2

( ) ( )1 1 1 1 1 11 G D G D G DS S S P P j Q Q= − = − + − ( ) ( )2 2 2 2 2 22 G D G D G DS S S P P j Q Q= − = − + −

Figura 3. Sistema de dos buses. Inyecciones netas de potencia.

Tal como se muestra en la figura, la potencia neta inyectada en cada bus está dada

por :

( ) ( )1 1 1 1 1 11 G D G D G DS S S P P j Q Q= − = − + − (2.2.1)


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE en el bus1, mientras que para el bus2 será:

( ) ( )2 2 2 2 2 22 G D G D G DS S S P P j Q Q= − = − + − (2.2.2)

Es importante notar que en la figura 3, las flechas de trazo grueso representan las

“fuentes “ de inyección de potencia en ambos buses.

También se debe hacer hincapié en que la potencia neta inyectada al bus, dada por las

ecuaciones anteriores, para los buses 1 y 2 respectivamente, se refiere a la denominada

potencia de bus y se define, como puede observarse, como la diferencia entre la potencia de

generación y la potencia de carga en dicho bus.

Recordemos que la parte real de la primera (potencia activa del generador), se

obtiene por manipulación automática del par de entrada, proporcionado por la máquina

prima y su valor en todo momento debe cumplir con el balance de potencia, que implica

que su valor debe ser igual a la suma de la demanda más las pérdidas. El criterio de

frecuencia constante indica que el balance se mantiene. En cuanto a la componente

imaginaria de la misma (potencia reactiva), se mantiene a través de la manipulación de la

corriente de campo en el generador, manteniendo el voltaje constante a un nivel

predeterminado en cada bus, lo cual constituye el criterio de que el balance en potencia

reactiva se mantiene.

ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA. En esta sección obtendremos el modelo básico de las ecuaciones de flujos de

potencia, usando el sistema eléctrico de dos buses.

La potencia inyectada al bus 1, S1, estará dada por S1 = V1·I1* en donde I1 es la corriente

neta inyectada al bus 1. Esta corriente se compone de dos términos; con referencia a la

figura 3, vemos que una de esas componentes circula por la rama en derivación Ysh ,

mientras que la otra circulará por la rama serie Zser. En el primer caso, la corriente será

igual a V1· Ysh, mientras que en el segundo caso su valor será (V1- V2)· Yser , donde Yser es el

inverso de Zser.

Tomando en cuenta lo anterior tendremos para la corriente del bus 1

( )11 1 1 2

1sh

SI V Y V VV

∗

∗= = + − serY (2.2.3)



y de manera similar para el bus 2

( )22 2 2 1

2sh s

SI V Y V VV

∗

∗= = + − erY (2.2.4)

Si factorizamos, esta ecuaciones podrán escribirse como sigue

11 11 1 12

22

21

22 21 1 2

2

S


I Y V Y VV

SY V Y V

V

∗

∗

∗

∗

= = +

= = + (2.2.5)

I

donde definimos

11

12 21

22

sh ser

ser

sh ser

Y Y YY Y YY Y Y

= += = −= +

Observamos que los elementos anteriores son elementos de la matriz de admitancias

nodales, YBUS. Tomando en cuenta lo anterior, podremos definir las siguientes variables

nodales

1

2BUS

II

I⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

vector de corrientes de bus (o nodales)

1

2BUS

VV

V⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

vector de voltajes de bus (o nodales)

11 12

21 22BUS

Y YY

Y Y⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎦

⎥ Matriz de admitancias de bus (o nodales)

Con las definiciones anteriores podemos escribir las ecuaciones (3.5) en forma

compacta como sigue

BUS BUS BUSI Y V= ∗ (2.2.6)

la cual invertida nos conduce a la conocida forma alternativa


BUS BUS BUSV Z I= ∗ (2.2.7)

Además sabemos que

( ) 1 11 12

21 22BUS BUS

Z ZZ Y

Z Z− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

es la matriz de impedancia de bus (o nodal).

Estas últimas dos ecuaciones matriciales son lineales, lo cual está acorde con el

hecho de que la red eléctrica que estamos modelando es lineal. Sin embargo en realidad,

son las potencias y no las corrientes lo que conocemos, por lo cual al escribir estas

ecuaciones en función de la potencia, obtenemos

1 1 1 11 1 1 12 2 1

2 2 2 21 1 2 22 2

S P

2

jQ Y V V Y V V

S P jQ Y V V Y V V

∗ ∗

∗ ∗

= − = +

= − = +

∗

∗ (2.2.8).

Fundamentalmente estas son las ecuaciones de flujos de potencia. Es importante observar

que están en función de los voltajes nodales.

Las ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma más compacta y conveniente de la

siguiente forma

2

1 1 1 112

2 2 2 21

k kk

k kk

P jQ V Y V

P jQ V Y V

∗

=

∗

=

− =

− =

∑

∑ (2.2.9)

En general, las ecuaciones anteriores pueden escribirse

1

n

i i i ikk

P jQ V Y V∗

=

− = ∑ k (2.2.10).


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En forma polar, cada voltaje nodal se define como magnitud kV y ángulo kδ ,

medido con respecto a alguna referencia angular, por el momento aún no definida. Por otro

lado las admitancias se definen como ij ij ijY Y γ= ∠ . Con esto, las ecuación (2.2.10) nos

quedaría como sigue

( )

1

k i ikn

ji i i ik k

kP jQ V Y V e δ δ γ− +

=

− = ∑ (2.2.11)

donde para el caso presente del sistema de dos buses, n = 2 .

Si separamos en parte real e imaginaria la ecuación anterior se convierte en las

siguientes ecuaciones

( )

( )

1

1

cosn

i i ik k k i ikk

n

i i ik k k i ikk

P V Y V

Q V Y V sen

δ δ γ

δ δ γ

=

=

= − +

= − +

∑

∑

pi

qi

f

f (2.2.12)

Ahora referiremos nuestro análisis al caso del sistema de dos buses, con el objeto de

simplificar la discusión de la formulación del modelo de flujos de potencia, y evitar hacer

oscurecer el análisis con las complicaciones de las ecuaciones generales de orden n, a las

cuales regresaremos más adelante, ya con el concepto entendido.

Desarrollando para el caso n = 2 las ecuaciones (2.2.12) obtendremos

( )1 1 1

211 1 11 1 12 2 2 1 12 1cos cos

G D

p

P P P

Y V V Y V fγ δ δ γ

= − =

= + − +

( )2 2 2

222 2 22 2 21 1 1 2 21 2cos cos

G D

p

P P P

Y V V Y V fγ δ δ γ

= − =

= + − + (2.2.13)



( )1 1 1

211 1 11 1 12 2 2 1 12 1

G D

q

Q Q Q

Y V sen V Y V sen fγ δ δ

= − =

= − − − + γ

( )2 2 2

222 2 22 2 21 1 1 2 21 2

G D

q

Q Q Q

Y V sen V Y V sen fγ δ δ γ

= − =

= − − − + (2.2.14)

Observamos las características de estas ecuaciones. Son ecuaciones algebraicas

debido a que representan un modelo en estado estable de corriente alterna, lo que las hace

además complejas. Por otro lado, son no lineales, lo cual, salvo para los casos más simples,

las hace imposibles de resolver analíticamente, por lo que se requiere recurrir a una

solución numérica.

Por otro lado el balance de potencia activa es representado por

1 2 1 2 1 2 1 2G G D D p p D D perdidP P P P f f P P P+ = + + + = + + as

2p

.

Observamos que la suma 1pf f+ , representa las pérdidas de potencia activa.

De igual forma tendremos que el balance de potencia reactiva resulta

1 2 1 2 1 2 1 2G G D D q q D D perdidQ Q Q Q f f Q Q Q+ = + + + = + + as

2q

.

También podemos ver que la suma 1qf f+ , representa las “pérdidas” de potencia

reactiva. El entrecomillado anterior se debe a que, debemos recordar, que las denominadas

pérdidas reactivas, no tienen el mismo sentido de pérdidas en forma de calor, como en el

caso de la potencia reactiva, sino representan los requerimientos de energía reactiva de los

elementos de transmisión.

Observemos que las funciones 1 2 1, , ,p p q q2f f f f , y por tanto las pérdidas ,

son función de los voltajes

,perdidas perdidasP Q

( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2

, , ,

, , ,perdidas perdidas

perdidas perdidas

P P V V

Q Q V V

δ δ

δ δ

=

=

Si revisamos cuidadosamente las ecuaciones de flujos para, este sistema de ejemplo de dos

buses, vemos que tenemos 12 incógnitas: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1, , , , , , , , , , ,G G G G D D D DP P Q Q P P Q Q V V 2δ δ ,


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE y solamente cuatro ecuaciones. Aunque es importante observar que las últimas dos

incógnitas, los ángulos de los voltajes, siempre aparecen en los argumentos de las funciones

trigonométricas en forma de diferencias. Esto nos indica que debemos reducir, de alguna

manera, el número de incógnitas con el fin de que igual al número de ecuaciones, es decir, a

cuatro incógnitas.

En este punto, es importante clasificar las variables involucradas en el modelo. Esta

clasificación es muy importante, la cual tiene un enfoque sistémico, y será muy útil para

quién estudie, en cursos más avanzados, el problema de flujos de potencia óptimos, y es la

que vamos a utilizar. Dividimos en tres grupos las variables del modelo: variables

incontrolables o de perturbación, variables de estado y variables de control.


2En el primer grupo, representamos las demandas: 1 2 1, , ,D D D DP P Q Q . Mientras que el

segundo grupo, variables de estado, están representados los voltajes, tanto en magnitud

como en ángulo: 1 2 1, , ,V V 2δ δ . En el tercer grupo, variables de control, obviamente

incluimos las generaciones: . 1 2 1, , ,G G G GP P Q Q 2

Evidentemente debemos conocer las demandas, lo cual elimina cuatro variables del

grupo de incógnitas, dejándonos aún con ocho. Una primera opción, que probablemente se

nos antoje como buena, consiste en que a partir de que se conocen las demandas, lo cual es

por supuesto correcto, suponer las cuatro variables de control, es decir las generaciones y

entonces terminar con un modelo matemático consistente, que incluye los voltajes y sus

ángulos como incógnitas.

La propuesta anterior, aunque parece buena y hasta cierto punto natural, resulta que

no es conveniente por varias razones. Por principio, si observamos las ecuaciones de flujos

de potencia, nos damos cuenta que los ángulos de los voltajes aparecen como argumento de

funciones trigonométricas en forma de diferencias, δ1 – δ2 , nunca en forma individual y por

lo tanto no podemos resolver estos valores en forma individual. Otra enorme limitante a

nuestra propuesta es que no podemos especificar las cuatro potencias generadas, por la

sencilla razón de que no conocemos las pérdidas por anticipado, pues estas son función,

como se discutió antes, de los voltajes, es decir de las incógnitas. Lo anterior implica que

podemos especificar dos de estas potencias generadas, pero dejar libres las otras dos para

que adopten el valor correspondiente en el transcurso del proceso iterativo.

Las dificultades expuestas arriba se pueden solventar como indicamos a

continuación. Primeramente, el problema de la diferencia angular se puede resolver si

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE fijamos uno de los ángulos, dejando el otro como incógnita; en efecto, esto es conveniente

porque además nos permite disponer de una referencia fasorial, lo cual es necesario para

darle sentido al ángulo de un voltaje fasorial. De esta forma si fijamos el valor de δ1 = 0,

entonces quedará como referencia el fasor del voltaje del bus 1. Con esto, hemos reducido

el número de incógnitas a cinco: 1 1 1 2, , , ,G GV P Q V 2δ . De este grupo restante, debemos fijar

otra variable más para poder intentar la solución del problema de flujos. Matemáticamente

cualquiera podría ser, pero desde el punto de vista físico existen limitantes. La elección

estaría entre 1V y , pues una de estas eliminaría a la otra, debido al fuerte acoplamiento

que existe entre estas; recordemos este hecho discutido páginas atrás. Hasta este punto, no

hemos fijado ninguna magnitud de voltaje y es necesario mantener los voltajes dentro de

ciertos límites, por lo que sería conveniente fijar

1GQ

1V , aprovechando la presencia de un

generador en ese bus, el cual puede , dentro de sus límites de operación, mantener un

voltaje de operación constante; además, como no conocemos las pérdidas de potencia, tanto

activa como reactiva, se requiere dejar sin especificar en un bus ambas variables, con el fin

de que al final de la solución, exista esta “holgura” y poder cumplir con el balance de

potencia. Por lo tanto al dejar libres las variables y , deberán quedar definidos 1GP 1GQ 1V

y 1δ , lo cual lo convierte en una referencia fasorial, como discutimos previamente.

Lo anterior nos deja con un grupo de cuatro incógnitas, 1 1 2, , ,G GP Q V 2δ , que

constituyen un sistema de ecuaciones consistente, cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas,

que por su naturaleza no lineal, deberán resolverse en forma numérica.

Los pioneros de la formulación de flujos, quizás Ward y Hale, establecieron la manera

sistemática que nos conduce a la obtención del modelo de flujos de potencia para cualquier

sistema. Lo anterior implica la clasificación de los buses del sistema en tres clases, que se

describen a continuación.

1. Bus de referencia o compensador (en inglés “swing” o “slack”), por su naturaleza de

que las potencias tomarán los valores requeridos para que se cumpla el balance de

potencias en el sistema, aparte de que al fijar el ángulo de voltaje, estamos

definiendo una referencia fasorial.

2. Bus PQ, a veces llamado también bus de carga, aunque esta designación es menos

usada en la actualidad. En este tipo de buses, se especifican las potencias


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE inyectadas al bus, tanto activa como reactiva, quedando libre la magnitud y el

ángulo de voltaje.

3. Bus PV, a veces denominado bus de generación, que al igual que en el caso anterior,

es una designación menos usada en la actualidad. En este tipo de buses, se

especifican la potencia activa inyectada al bus, así como la magnitud de voltaje.

En la siguiente tabla, resumimos estos conceptos.

Tipo de Bus Variables conocidas Incógnitas obtenidas

o especificadas en el proceso de solución.

DP DQ GP GQ V δ GP GQ V δ

Tipo de Bus

Referencia

Bus PQ

Bus PV



2.3. REPASO DE TECNICAS NUMERICAS PARA LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.

En los estudios de los sistemas eléctricos, tales como el análisis de flujos de potencia ,

encontramos sistemas de ecuaciones tanto lineales como no lineales. Dado que el orden de

dichos sistemas de ecuaciones es alto, debido al gran tamaño de los sistemas reales, es muy

importante tener algoritmos numéricos rápidos y eficientes, que nos permitan obtener la

solución de dichos sistemas de ecuaciones.

Nuestro objetivo es resolver un sistema de ecuaciones cuya forma general es

( )( )

( )

1 1, 2,

2 1, 2,

1, 2,

..., 0

..., 0

..., 0

n

n

n n

f x x x

f x x x

f x x x

=

=

•••

=

(2.3.1)

Un caso especial al de arriba lo representa el sistema de ecuaciones lineales

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

......

...

n n

n n

n n nn n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

•••

+ + + = n

(2.3.2)

que en forma compacta se escribe Ax b= , donde A es la matriz de coeficientes [aij]

[ ]1 2, ,..., Tnx x x x= y [ ]1 2, ,..., T

nb b b b= .

El sistema de ecuaciones (2.3.1) se resuelve, invariablemente, usando técnicas

numéricas iterativas. El sistema de ecuaciones (2.3.2) se resuelven mediante el empleo de

métodos directos, o bien mediante métodos iterativos, que en algunos casos pueden ser

ventajosos en la soluciones de grandes sistemas de ecuaciones lineales y dispersos. Dado

que en diferentes materias se cubre el material correspondiente a la solución de (2.3.2),


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE mediante métodos directos, y que el uso de métodos iterativos requiere del conocimiento

de material que nos se cubre en un curso introductorio de sistemas eléctricos de potencia,

nos limitaremos a exponer un repaso del material correspondiente a métodos iterativos para

resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Se expondrán dos métodos: el Gauss-Seidel y

el Newton-Raphson.

METODO DE GAUSS-SEIDEL. Expresamos (2.3.1) en la forma

( )( )( )

( )

1 1 1 2

2 2 1 2

3 3 1 2

1 2

, ,...,

, ,...,

, ,...,

, ,...,

n

n

n

n n n

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

= Φ

= Φ

= Φ

•••

= Φ

(2.3.3).

De manera compacta

( ) 1,2,...,i ix x i= Φ = n

Suponiendo un vector solución inicial ( )0ix , las estimaciones del nuevo vector

, pueden ser obtenidas mediante: el método de Jacobi (llamado

también método iterativo de Gauss) , y el método de Gauss-Seidel.

( ) ( ) ( ) ( )11 2, ,...,

Tk k k kix x x x+ ⎡= ⎣ n

⎤⎦

Método de Jacobi. En el método de Jacobi, las iteraciones se definen por

( ) ( ) ( ) ( )( )11 2, ,..., 1, 2,...,k k k k

i i nx x x x i+ = Φ = n .

Método de Gauss-Seidel. En el método de Gauss-Seidel, los valores recientemente

calculados se usan en las ecuaciones, es decir, en la evaluación de las ecuaciones se utilizan

los valores más actualizados de que disponemos, es decir


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1

1 2 1 1,...,, ,..., , 1, 2,...,k k k k k ki i i i nx x x x x x i+ + + +

− += Φ = n

)

Las iteraciones se continúan hasta que la máxima diferencia entre valores consecutivos de

( 1, 2,...,ix i = n , es menor que un valor predeterminado ε, esto es,

( ) ( )1k ki ii

Max x x ε+ − ≤ .

METODO DE NEWTON-RAPHSON. El método de Newton-Raphson es aplicado directamente al sistema de ecuaciones (2.3.1).

Constituye una extensión del caso de 1er orden , por lo cual es conveniente recordarlo

brevemente .

Consideremos la ecuación no lineal ( ) 0f x = . Suponiendo un valor de arranque ( )0x ,

expandamos en serie de Taylor ( )f x alrededor de ( )0x , o sea, tomando como punto base

( )0x . La ecuación resulta entonces

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )20 0 012!0 0 ¨ .... 0f x x x f x x x f x′ ′′+ − + − + = .

Despreciando los términos de segundo orden y orden superior, obtenemos

( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0f x x x f x′+ − = .

De esta última ecuación despejamos x, con el fin de obtener un estimado más cercano a la

solución

( ) ( )( )( )( )( )0

1 0

0'

f xx x

f x= −

en donde a la x la hemos denominado x(1) en la última ecuación.

La ecuación anterior puede aplicarse de manera iterativa, hasta alcanzar el valor deseado,

mediante la ecuación general

( ) ( )( )( )( )( )

1

'

k

k k

k

f xx x

f x+ = − .


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE La convergencia puede probarse mediante el criterio f ε≤ . De hecho si el método

iterativo converge, . Es importante recordar que la ecuación puede tener

varias soluciones, por lo que en caso de converger, el método probablemente lo hará al

valor más cercano al valor de arranque.

0f → ( ) 0f x =

Sistema de ecuaciones no lineales. Consideramos el sistema de ecuaciones (2.3.1), que

repetimos por comodidad

( )( )

( )

1 1 2 1

2 1 2 2

1 2

, ,...,

, ,...,

, ,...,

n

n

n n n

f x x x y

f x x x y

f x x x y

=

=

•••

=

En este sistema mostrado hay una diferencia con respecto al descrito en (2.3.1) sin

embargo, y es que en lugar de estar igualadas a cero las ecuaciones, estas están igualadas a

un valor constante, y1, y2,…,yn. Lo anterior no debe representar ningún problema, puesto

que es obvio que se trata del mismo sistema de ecuaciones, solamente que la forma del

expuesto arriba es más apropiada para la formulación del problema de flujos, como se verá

más adelante.

Siguiendo el esquema del caso de 1er orden, efectuamos la expansión en serie de

Taylor para cada una de las funciones que constituyen el sistema de ecuaciones no lineales.

Si denominamos al vector ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 01 2, ,...,

T

nx x x x⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , vector de arranque, y suponemos

que 1 2, ,..., nx xΔ Δ Δx , son las correcciones requeridas para que el vector ( )0x sea la solución,

tendremos que al sustituir en la ecuación anterior


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0 01 1 1, 2 2, 1

0 0 02 1 1, 2 2, 2

0 0 01 1, 2 2,

...,

...,

...,

n n

n n

n n n n

f x x x x x x y

f x x x x x x y

f x x x x x x

+ Δ + Δ + Δ =

+ Δ + Δ + Δ =

•••

+ Δ + Δ + Δ = y

(2.3.4)

Aplicamos el teorema de Taylor a cada una de las ecuaciones del conjunto (2.3.4). Para la

primera ecuación obtenemos

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 1 1 11 1 1, 2 2, 1 1 , 2 , 1 2

1 20 0 0

..., ..., ...n n n nn

f f ff x x x x x x f x x x x x x

x x x∂ ∂ ∂

+ Δ + Δ + Δ = + Δ + Δ + +Δ + Φ∂ ∂ ∂ 1

en este caso Ф1 es una función de potencias de Δx1 , Δx2,…, Δxn , de grado mayor a 1, así

como de derivadas de alto orden de f1. Si los estimados iniciales (vector de arranque) están

cerca de la solución, los valores de 1 2, ,..., nx x xΔ Δ Δ serán muy pequeños y por tanto se

podrán despreciar los términos con potencias de grado superior.

De acuerdo a lo anterior, el sistema de ecuaciones tendrá la forma

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0 0 1 1 11 1 , 2 , 1 2 1

1 20 0 0

0 0 0 1 1 12 1 , 2 , 1 2 2

1 20 0 0

0 0 0 1 1 11 , 2 , 1 2

1 20 0 0

..., ...

..., ...

..., ...

n nn

n nn

n n nn

f f f

n

f x x x x x x yx x x

f f ff x x x x x x y

x x x

f f ff x x x x x x y

x x x

∂ ∂ ∂+ Δ + Δ + +Δ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ Δ + Δ + +Δ =

∂ ∂ ∂

•••

∂ ∂ ∂+ Δ + Δ + +Δ =

∂ ∂ ∂

de donde despejando los primeros términos, y usando notación matricial, tendremos



( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 1 1

0 0 01 20 0 01 1 1 , 2 ,

10 0 0 2 2 2

2 2 1 , 2 , 21 20 0 0

0 0 01 , 2 ,

1 20 0 0

......,

......,........ . . . .

...,...

nn

nn

nn n n

n n n

n

f f fx x xy f x x x

xf f f

y f x x x xx x x

xy f x x x f f f

x x x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎢ ⎥−

Δ⎢ ⎥ ⎡⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥ ⎢⎢= ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Δ⎣⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

(2.3.5)

El proceso se trabaja en forma iterativa, en cuyo caso el sistema general sería como

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 1 1

1 21 1 1 , 2 ,

12 2 2

2 2 1 , 2 , 21 2

1 , 2 ,

1 2

......,

......,........ . . . .

...,...

k k knk k kn k

k k k kn

nk k k

kk k k n

n n nn n n

nk k k

f f fx x xy f x x x

xf f f

y f x x x xx x x

xy f x x x f f fx x x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎢ ⎥−

⎡⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥ ⎢= ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎤

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.3.6)

En forma compacta

[ ]J C D= (2.3.7)

donde es el vector de correcciones, mientras es el vector de desajustes, o sea de

diferencias de los valores constantes y las funciones evaluadas en el vector obtenido en la

iteración correspondiente.

C D

El vector izquierdo contiene las diferencias de los términos conocidos menos las funciones

evaluadas con los vectores obtenidos en cada iteración. Lo denominamos vector de

diferencias. La matriz de primeras derivadas parciales se conoce como matriz Jacobiana, y

sus elementos son valores numéricos obtenidos al evaluar las expresiones obtenidas al

evaluar las derivadas indicadas con los vectores obtenidos en cada iteración. Finalmente el

vector de la derecha es el vector de correcciones, pues como se indicó anteriormente,

representa el vector requerido para corregir el vector solución de la iteración anterior,

rumbo a la solución.


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con el objeto de entender el algoritmo, se muestra un ejemplo con un sistema de orden 2.

El objetivo es encontrar la solución del sistema de ecuaciones

( )( )

21 1 2 1 1 2

22 1 2 1 2 2

, 3

, 2

f x x x x x

f x x x x x

4

5

= + −

= − +

Arrancamos el proceso iterativo con

( )( )

( )

00 1

02

12

xx

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦.

Evaluamos las expresiones de la matriz Jacobiana:

[ ]1 1

1 2

2 2

1 2

f fx x

Jf fx x

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

donde las derivadas parciales estarán dadas por las siguientes expresiones

11 2

1

2 3f

x xx∂

= +∂

11

2

3f

xx∂

=∂

22

1

fx

x∂

=∂

21 2

2

4f

x xx∂

= −∂

Observamos que y1 = 4 , y2 = -5, por lo que ( )( ) ( )0 4 7 3

5 6 1f x

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Si calculamos la matriz Jacobiana y la invertimos obtendremos

[ ] 1 0.1129 0.048390.03226 0.12903

J − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

por lo que ( ) ( ) [ ] ( )(11 0 0 )x x J f x−= + , resulta en

( )1 1 0.1129 0.04839 3 0.709682 0.03226 0.12903 1 1.77419

x⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − − =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭.



Si efectuamos las iteraciones subsecuentes, siguiendo el mismo procedimiento,

obtendremos

( ) ( ) [ ] ( )( )12 1 1 0.673021.75831

x x J f x− ⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

para la segunda iteración.

Antes de seguir con los resultados de las siguientes iteraciones, es importante

mencionar que el criterio de convergencia se aplica al vector de diferencias, dado que

cuando este vector sea cero, entonces el vector empleado para evaluar las funciones que

conforman dicho vector es la solución del problema, de acuerdo a (2.3.6).

Para la tercera iteración tenemos que la inversa de la matriz Jacobiana es

[ ] 1 0.13929 0.0442200.03851 0.14500

J − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

de donde obtenemos

( ) ( ) [ ] ( )( )13 2 2 0.672591.75820

x x J f x− ⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Podemos verificar fácilmente que ( )( )3maxi

x ε⟨ . Por tanto, el vector ( )3x es la

solución.



2.4. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE GAUSS-SEIDEL.

El método de Gauss-Seidel es un algoritmo iterativo para resolver sistemas de

ecuaciones algebraicas no lineales. Para iniciar, suponemos un vector solución, a través de

en una selección basada en un buen juicio asociado a la experiencia práctica del problema

que se quiere resolver. Una de las ecuaciones es usada para obtener el valor mejorado de

una variable particular, sustituyendo los valores de las variables restantes, conocidos hasta

ese momento. El vector solución se actualiza entonces inmediatamente respecto a esta

variable. El proceso se repite para todas las variables hasta completar una iteración. El

proceso iterativo se repite entonces hasta que el vector converge a una precisión

predeterminada. La convergencia en este método, es muy sensible a los valores elegidos

para el arranque, pero afortunadamente en estudio de flujos de potencia, seleccionar un

vector de arranque cercano a la solución final puede identificarse fácilmente, basado en

experiencias previas.

Para explicar el funcionamiento del método de Gauss-Seidel, empezaremos su

formulación en un sistema que contiene únicamente buses tipo PQ y el bus compensador.

Posteriormente veremos lo fácil que resulta extender el método a sistemas que contienen

también buses PV, como son la generalidad de los casos reales. Las ecuaciones de cada

bus, consistirán de la ecuación del voltaje de ese bus, en función de los voltajes de los

buses vecinos a éste, y de la potencia inyectada a dicho bus, como se vio en la formulación

del problema de flujos en la unidad II.2. Las ecuaciones de voltaje se obtienen como se

indica a continuación.

Para el i-ésimo bus, la corriente de dicho bus (corriente inyectada) se obtiene de


iI

k

i i i iS P jQ V∗ ∗= − = (2.4.1) pero sabemos que la corriente del bus es

1 1 2 21

... ...n

i i i ii i in n ikk

I Y V Y V Y V Y V Y V=

= + + + + + = ∑ (2.4.2)

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE por lo que despejando de (2.4.1) Ii y sustituyendo (2.4.2) obtenemos

1 1 2 21

... ...n

ii i i ii i in n ik k

k i

iP jQI Y V Y V Y V Y V Y V

V ∗=

−= + + + + + = =∑ (2.4.3)

De esta ultima ecuación, despejamos el voltaje del bus, o sea Vi, con lo que

( )1 1 2 2 , 1 1 , 1 11 .... ... 2,...,i i

i i i i i i i i i in nii i

P jQV Y V Y V Y V Y V Y V iY V − − + +∗

⎡ ⎤−= − + + + + + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦n (2.4.4)

o bien en forma más compacta

1

1 2,...,n

i ii ik k

kii i

P jQV Y V i n k

Y V ∗=

⎡ ⎤−= − = ≠⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ i k i∈ (2.4.5)

En las dos últimas ecuaciones es importante enfatizar la anotación a la derecha de dichas

expresiones, es decir, que existe un término en la sumatoria para cada valor de i, menos

para i = k, que corresponde al índice del voltaje despejado. Además estamos suponiendo

que el índice correspondiente al bus compensador, es 1, por lo que se observa que ha sido

excluido del rango de dicho índice. También hay que observar que los valores que toma k,

corresponden a buses que están conectados al bus i, por lo que aún cuando el rango se

especifica como i = 2,…,n, no necesariamente dicho índice incluirá los valores que se

muestran, por lo que la indicación k i∈ , significa, “todo k conectado a i”. Por otro lado el

bus compensador no requiere de ecuación de voltaje, debido a que recordamos que este se

especifica, por lo que no constituye una incógnita. Por esta razón, el rango del índice del

bus no contiene el valor de 1.

La ecuación (2.3.5) es la base del algoritmo de Gauss-Seidel. Lo único que falta es incluir

en las expresiones (2.3.4) ó (2.3.5) los superíndices que especifiquen con precisión, las

variables que deberán usarse en función del método que emplearemos para resolver este

sistema de ecuaciones no lineales; en el caso presente, se trata del método de Gauss-Seidel,

por lo que recordando que en la solución secuencial de las variables, usamos en el cálculo


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE de cada una de estas, el valor más reciente de las demás variables (voltajes), en función de

las cuales está expresada cada una.

Con lo anterior, si usamos un superíndice para expresar la iteración asociada al valor de

cada variable, tendremos a partir de (2.3.4) y (2.3.5)

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 11 1 2 2 , 1 1 , 1 1

1 .... ...l l l li ii i i i i i i i i

lii i

P jQV Y V Y V Y V Y VY V

+ + +− − + +∗

⎡ ⎤−⎢ ⎥= − + + + + + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

lin nY V (2.4.6)

2,...,i n=

En forma compacta

( )( )( )

( ) ( )1

1 1

1 1

1 2,...,i n

l l li ii ik k ik k

l k k iii i

P jQV Y V Y V i n kY V

−+ +

∗= = +

⎡ ⎤−⎢ ⎥= − − = ≠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ i k i∈ (2.4.7)

Es importante observar que en (2.4.6), el voltaje del bus 1 no tiene superíndice debido a que

este voltaje corresponde al bus compensador y como tal no cambia su valor porque en ese

bus, el voltaje, tanto en magnitud como en ángulo, se especifica.

Con el antecedente anterior podemos describir el algoritmo basado en el método de Gauss-

Seidel.

ALGORITMO PARA LA SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA. Recordemos que suponemos que nada más existen buses PQ y el compensador, por el

momento. Los pasos que caracterizan dicho algoritmo son:

Paso 1. Con la demanda (PDi , QDi) conocida, si existen buses con generadores conectados a

ellos, deberemos especificar sus potencias generadas PGi y QGi. Con lo anterior, se conocen

las inyecciones de potencias en todos los buses (PQ), menos en el compensador.

Paso 2. Ensamblar la matriz YBUS. En el análisis de flujos de potencia se usa solamente la

red de secuencia positiva (cuya definición se verá en unidades posteriores), por lo que no

existen elementos acoplados magnéticamente en dicha red. El procedimiento empleado


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE para formar la matriz YBUS, es el de inspección. Dicho procedimiento es muy simple, como

se recordará de la unidad I.

Paso 3. Cálculo iterativo de los voltajes de bus ( 2,...,iV i n= ). Para iniciar el proceso

iterativo, suponemos un conjunto inicial de valores de voltajes. Es práctica común en

sistemas de potencia suponer lo que se denomina un “arranque plano”, que consiste de

suponer un valor inicial de los voltajes de 1.0 por unidad en magnitud y un ángulo de cero

grados (recordar que en procesos numéricos los ángulos se deben manejar en radianes). Lo

anterior se debe a que en los sistemas de potencia, la dispersión de voltajes no es

significativa, por lo que los valores de los voltajes son cercanos al nominal y sus ángulos

pequeños. Con el fin de darle versatilidad a un programa en computadora, las operaciones

con números complejos podrían desarrollarse y programarse como ecuaciones reales, dado

que no todos los compiladores incluyen el uso de variables complejas, en sus prestaciones.

En función de lo anterior programamos 2(n-1) ecuaciones en incógnitas reales. Si

definimos el voltaje como. Además podemos reducir el tiempo de ejecución, realizando

fuera del lazo iterativo algunas operaciones aritméticas, que permanecen invariables con las

iteraciones. Usamos el índice 1 para el bus compensador, como se verá en las ecuaciones

posteriores.

Definamos

2,3,...,i ii

ii

P jQA i

Y−

= = n ikik

ii

YB

Y= 2,3,...,i n= 1, 2,..., ;k n k i= ≠ .

Por lo que tomando en cuenta lo anterior tenemos

( )

( )( )( ) ( )

11 1

1 1

i nl l l

ki

i ik k ikl k k i

i

AV B V B V

V

−+ +

∗= = +

= − −∑ ∑ 2,3,...,n i = (2.4.8).

El proceso iterativo continúa hasta que el cambio en magnitud del voltaje de bus ( )1l

iV +Δ entre dos iteraciones consecutivas, es menor que una cierta tolerancia, para todos

los voltajes de bus, esto es

( ) ( ) ( )1 1 ; 2,3,...,l l l

i i iV V V iε+ +Δ = − ⟨ = n (2.4.9).



Paso 4. Cálculo de la potencia del bus compensador. Con los voltajes obtenidos en el paso

3, junto con V1 variable conocida, obtenemos

1 1 1 11

n

k kk

P jQ V Y V∗

=

− = ∑ .

Paso 5. Cálculo de flujos en las líneas. Este es el último y muy importante paso de la

solución de flujos de potencia, pues además de proporcionar los flujos en todos los

elementos de transmisión, nos permite calcular las pérdidas, tanto en dichos elementos,

como las pérdidas totales de la red. Para mostrar lo anterior, consideremos el diagrama

mostrado en la figura 2.4.1, en donde vemos un circuito Π, que puede representar un enlace

de transmisión o algún otro elemento de transmisión, como un transformador.

Bus i Bus kVi Vk

Sik Ski

Iik IkiIikser

Iiksh Ikish

ysh ysh

yser

Bus i Bus kVi Vk

Sik Ski

Iik IkiIikser

Iiksh Ikish

ysh ysh

yser

Figura 2.4.1. Elemento de transmisión.

En la figura se muestra el elemento conectado entre los buses i-k, y las potencias y

corrientes a considerar en el cálculo. Primeramente vemos que la corriente que sale de cada

bus, se divide en una porción que fluye a través de la rama serie y otra porción que fluye a

través de la rama en derivación.

La corriente alimentada por el bus i a la línea está dada por

( )ik ikser iksh i k ser i shI I I V V y V y= + = − +

y con esto, podemos establecer que la potencia alimentada por el bus i a la línea será igual a

( )ik ik ik i ik i i k ser i i shS P jQ V I V V V y VV y∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + = = − + ∗ (2.4.10)


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE De manera similar, la corriente inyectada por el bus k a la línea se divide en

dos componentes, una que se va por la rama en derivación y la otra por la rama

serie, ( )ki k i ser k shI V V y V y= − + . En forma similar al desarrollo anterior, la potencia

alimentada a la línea proveniente del bus k, será

( )ki k ki k k i ser i i shS V I V V V y V V y∗ ∗ ∗ ∗ ∗= = − + (2.4.11).

Las pérdidas de potencia en el elemento de transmisión i-k son igual a la

suma de las potencias calculadas por (2.4.10) y (2.4.11). Así mismo las pérdidas

totales de transmisión serán igual a la suma de todos los flujos en líneas, es decir

. ( ) ,ik kiS S i+ ∀∑ k

Es conveniente notar que la potencia del bus compensador se puede calcular

sumando los flujos de potencia de las líneas que terminan en dicho bus; lo anterior

constituye otra forma alternativa a la que se mencionó anteriormente en el paso 4.

El algoritmo anterior es útil parcialmente, pues permite exponer la forma

más fácil del método de Gauss-Seidel. Sin embargo pocos sistemas (si acaso existe

alguno), son tan simples como el actual. En realidad existen múltiples plantas de

generación, no únicamente la del bus compensador, como en el caso actual.

Además para que la solución de flujos de potencia sea práctica, se requiere tomar en

cuenta el hecho de que las variables de control y de estado del sistema, debe estar

contenidas dentro de ciertos límites, los cuales están dictados por las

especificaciones del equipo y por restricciones operativas. Dichos límites son:

a. Límite de magnitud de voltaje min maxi i iV V V≤ ≤ . El equipo del

sistema eléctrico está diseñado para operar a voltajes fijos con

variaciones permisibles de ( )5 10 %± − de los valores nominales.

b. Algunos de los δi (variables de estado) deberán satisfacer la

desigualdad maxi k i kδ δ δ δ− ≤ − . Esta restricción limita el

máximo ángulo de potencia permisible de la línea de transmisión

que conecta los buses i-k y se estipula debido a consideraciones de

estabilidad del sistema.


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE c. Restricciones de generación de potencia.

,min ,maxGi Gi GiP P P≤ ≤

,min ,maxGi Gi GiQ Q Q≤ ≤

Con respecto a estos últimos límites, hay que recordar que el voltaje en un

bus PV puede ser mantenido constante, solamente si está disponible una de

fuentes controlable de Q en dicho bus y la generación reactiva requerida

está dentro de los límites establecidos.

MODIFICACION DEL ALGORITMO PARA LA INCLUSION DE BUSES PV. Recordamos que en los buses PV, P y V se especifican, mientras que Q y δ son incógnitas

que se determinarán a través del proceso de solución. Esto implica que los valores de Q y δ

serán actualizados en cada iteración del proceso de solución del método de Gauss-Seidel,

por medio de ecuaciones apropiadas. Lo anterior se lleva a cabo por medio del siguiente

procedimiento aplicado al i-ésimo bus tipo PV.

1. Debido a que la limitante más visible en la para utilizar la ecuación (2.4.7) es el

desconocimiento de Qi , por lo que habrá necesidad de calcular dicha variable, antes

de usar la ecuación mencionada. Esto se hace usando la ecuación

la cual para el caso presente estará dada por

(2.4.12).

1

n

i i ik

Q m V Y V∗

=

⎧ ⎫= −ℑ ⎨

⎩ ⎭∑ k k ⎬

l

i

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1

1 1

1

i nl l l l

i i ik k i ik kk k

Q m V Y V V Y V−∗ ∗+ +

= =

⎧ ⎫= −ℑ +⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∑

2. El valor actualizado del ángulo δ , se obtiene inmediatamente después del paso1

como ( ) ( )1 1l li iVδ + += ∠

( )

( )( )( ) ( )

1 11

1 1

l i nli

ik k ik kl k k i

i

AAngulo de B V B V

V

+ −+

∗= = +

⎧ ⎫⎪ ⎪= − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑ l (2.4.13)

donde

( )( )1

1l

l i ii

ii

P jQA

Y

++ −

= .


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El algoritmo para buses PQ permanece sin cambios. Sin embargo existen limitantes en la

generación de la potencia reactiva, como se mencionó previamente; dichas limitantes

requieren que la demanda de Q en cualquier bus, permanezca dentro del rango Qmin→Qmax.

Si en alguna etapa del proceso de solución, Q sale de estos límites, se fijará a Qmin ó Qmax,

dependiendo del límite violado, y el bus se convertirá en bus PQ, desechando las

especificaciones previas de voltaje. Lo anterior implica que el proceso se transfiere al paso

3, que se detalla a continuación.

3. Si ( )1,min

li iQ Q+ ⟨ , entonces asignamos ( )1

,minl

i iQ Q+ = , y tratamos el bus i-ésimo como

PQ . Calcular entonces ( )1liA + y ( )1l

iV + de las ecuaciones correspondientes. Por otro

lado si ( )1,max

li iQ Q+ ⟩ , entonces asignamos ( )1

,maxl

i iQ Q+ = y el i-ésimo bus se convierte

en PQ y al igual que en el caso anterior actualizamos los valores de ( )1liA + y ( )1l

iV + .

Con esto terminamos de resumir el proceso computacional. Recordar que hemos asignado

el índice 1 para el bus compensador; si se quiere plantear la posibilidad de que no se tenga

esta restricción, si es que se quiere ver como tal, habrá que hacer los ajustes

correspondientes en la sumatorias de las ecuaciones.

EJEMPLOS. En este punto hacemos un receso en la exposición de los métodos numéricos

usados en el análisis de flujos de potencia, para ejemplificar dichos métodos, a través de

ejemplos sencillos.

El primer ejemplo está asociado al método de Gauss-Seidel, y consta de dos partes; la

primera ejemplifica dicho método a través de un sistema de cuatro buses, todos ellos,

menos el compensador, buses tipo PQ. Haremos una iteración por el método de Gauss-

Seidel, tomando en cuenta que las demás iteraciones necesarias para llegar a la solución,

serán iguales. El sistema del ejemplo se muestra en la figura 2.4.1, que se muestra

enseguida.



BUS 1 BUS 2

BUS 3 BUS 4

BUS 1 BUS 2

BUS 3 BUS 4

Figura 2.4.1. Sistema de cuatro buses.

La tabla que se muestra a continuación, Tabla 1, muestra los datos de bus del sistema.

TABLA1. DATOS DE BUS

BUS Pi Qi Vi Tipo de bus

1 _ _ 01.04 0∠ compensador

2 0.5 -0.2 _ Bus PQ

3 -1.0 0.5 _ Bus PQ

4 0.3 -0.1 _ Bus PQ

Por otro lado, la tabla 2 muestra los datos de los parámetros de las líneas de transmisión del

sistema del ejemplo.

TABLA 2. PARAMETROS DE LINEAS.

Línea R, pu X, pu G, pu B,pu

1-2 0.05 0.15 2.0 -6.0

1-3 0.10 0.30 1.0 -3.0

2-3 0.15 0.45 0.666 -2.0

2-4 0.10 0.30 1.0 -3.0

3-4 0.05 0.15 2.0 -6.0



Es importante observar que la Tabla 1 muestra, que aunque hay generadores en

todos los buses, estos serán tipo PQ a condición de que se proporcionen las potencias

netas inyectadas a los buses, lo cual constituye el caso de este ejemplo, en su parte

inicial. De acuerdo a los datos proporcionados en la Tabla 2, la matriz YBUS puede

obtenerse fácilmente. Dicha matriz resulta


9

3 9 2 6 1 3 02 6 3.666 11 0.666 2 1 31 3 0.666 2 3.666 11 2 6

0 1 3 2 6 3

BUS

j j jj j j

Yj

j j j jj j j

− − + − +⎡ ⎤⎢ ⎥− + − − + − +⎢ ⎥=⎢ ⎥− + − + − − +⎢ ⎥− + − + −⎣ ⎦

.

De acuerdo a los datos y la matriz YBUS, entonces procedemos a llevar a cabo la

primera iteración .

Para el bus 2 tenemos,

( )

( )( )( ) ( )1 02 2

2 21 1 23 3022

2

1 P jQV Y V Y V

Y V∗

024 4Y V

⎧ ⎫−⎪ ⎪= − − −⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) ( ) (1 0.5 0.2 1.04 2 6 0.666 2 1 33.666 11 1 0

j )j j jj j

⎧ ⎫+= − − + − − + −⎨ ⎬− −⎩ ⎭

− +

4.246 11.04 1.019 0.0463.666 11

j j puj

−= = +

−.

Para el bus 3

( )

( )( )( ) ( )1 13 3

3 31 1 32 2033

3

1 P jQV Y V Y V

Y V∗

034 4Y V

⎧ ⎫−⎪ ⎪= − − −⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) ( )( ) (1 1 0.5 1.04 1 3 0.666 2 1.019 0.046 2 6)11 1 0

j3.666

j j j jj j

⎧ ⎫− −= − − + − − + + − − +⎨ ⎬− −⎩ ⎭

2.81 11.627 1.028 0.0873.666 11

j j puj

−= = −

−.


Y finalmente para el bus 4

( )

( )( )( ) ( )1 14 4

4 41 1 42 2044

4

1 P jQV Y V Y V

Y V∗

⎧ ⎫−⎪ ⎪= − − −⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭

143 3Y V

( )( ) ( )(1 0.3 0.1 1 3 1.019 0.046 2 6 1.028 0.0873 9 1 0

j j j j jj j⎧ ⎫+

= − − + + − − + −⎨ ⎬− −⎩ ⎭)

2.991 9.253 1.025 0.00933 9

j j puj

−= = −

−.

Para la segunda parte del ejemplo, consideremos el mismo caso, con la diferencia de que el

bus 2 es ahora tipo PV, con 2 1.04V = pu. De nuevo usamos arranque “plano”, y

efectuamos la primera iteración, tomando en cuenta que los límites de reactivos en el bus 2

son: . 20.2 1.0Q≤ ≤

Antes de calcular el voltaje del bus 2, necesitamos evaluar la potencia reactiva en dicho

bus, por lo que

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 0 0 0 02 2 21 1 22 2 23 3 24 4

1.04 2 6 1.04 3.666 11 1.04 0.666 2 1.0 0 1 3 1.0 0

2.1632 0.2079 0.2079

Q m V Y V Y V Y V Y V

m j j j j j

m j pu

∗⎡ ⎤= −ℑ + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤= −ℑ − + + − + − + + + − + +⎣ ⎦= −ℑ − − =

j

De lo anterior tenemos que

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )(

11 0 02 2

2 21 1 23 3 24 4022

2

1

1 0.5 0.2079 2 6 1.04 0 0.666 2 1 0 1 3 1 03.666 11 1.04 0

P jQY V Y V Y V

Y V

j j j j j j jj j

δ ∗

⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪⎢ ⎥= ∠ − − −⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤−

= ∠ − − + + − − + + − − + +⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎩ ⎭

(

)

)12 0.2079Q pu= .


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con el resultado anterior calculamos el ángulo del voltaje del Bus 2, que finalmente

es lo que buscamos, verificando previamente que no se violan los límites de reactivos

especificados para dicho bus, lo cual es el caso presente, o sea ( )12,min 2 2,maxQ Q Q≤ ≤ .

Usando (2.4.13) obtenemos

( )( )

( )( )( ) ( )

11 02 2

2 21 1 23 3022

2

1 P jQY V Y V Y V

Y Vδ ∗

⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪⎢ ⎥= ∠ − − −⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

024 4

( )( ) ( )( ) ( )(1 0.5 0.2079 2 6 1.04 0 0.666 2 1 0 1 3 1 03.666 11 1.04 0

j j j j j j jj j

⎧ ⎫⎡ ⎤−= ∠ − − + + − − + + − − + +⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎩ ⎭

)

( )4.2267 11.439 1.0512 0.03393.666 11

j jj

⎛ ⎞−= ∠ = ∠ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

De donde obtenemos ( )1 02 1.84658 0.0322 radδ = = , y entonces

. ( ) ( ) ( )( )1 1 12 2 21.04 cos 1.03946 0.03351V jsenδ δ= + = + j

Para el voltaje en el Bus 3

( )

( )( )( ) ( )1 13 3

3 31 1 32 2033

3

1 P jQV Y V Y V

Y V∗

⎡ ⎤−⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

034 4Y V

( )( ) ( )( ) (1 1 0.5 1 3 1.04 0.666 2 1.03946 0.03351 2 63.666 11 1 0

j )j j jj j

⎡ ⎤− −= − − + − − + + − − +⎢ ⎥− −⎣ ⎦

j

2.7992 11.6766 1.0317 0.089373.666 11

j jj

−= = −

−.

Finalmente para el Bus 4

( )

( )( )( ) ( )1 14 4

4 41 1 42 2044

4

1 P jQV Y V Y V

Y V∗

⎡ ⎤−⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

143 3Y V

( )( ) ( )(1 0.3 0.1 1 3 1.0394 0.0335 2 6 1.0317 0.089373 9 1 0

j j j j jj j⎡ ⎤+

= − − + + − − + −⎢ ⎥− −⎣ ⎦)




2.9671 8.9962 0.9985 0.00313 9

j jj

−= = −

−.

Supongamos ahora que los límites permisibles para la potencia reactiva en el bus 2 son

cambiados, y supongamos ahora que 20.25 1.0Q≤ ≤ pu. Es obvio que el valor

previamente calculado de , permanece igual. Sin embargo este valor ahora

viola el límite , por lo que debemos entonces fijar el valor de dicha potencia reactiva

inyectada al bus 2, en el valor del límite violado, y convertir este bus en un bus tipo PQ,

con . Con esto debemos recalcular los voltajes de los buses, con los nuevos

valores tomados en cuenta. Los valores de los voltajes en este caso son (tomando en cuenta

arranque plano, como antes)

(2 0.2079Q = )

2,minQ

2 0.25Q =

( )

( )( )( ) ( )1 02 2

2 21 1 23 3022

2

1 P jQV Y V Y V

Y V∗

024 4Y V

⎧ ⎫−⎪ ⎪= − − −⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭

( )( ) ( ) (1 0.5 0.25 2 6 1.04 0.666 2 1 33.666 11 1 0

j )j j jj j

⎡ ⎤−= − − + − − +⎢ ⎥− −⎣ ⎦

− − +

4.246 11.49 1.0559 0.03413.666 11

j jj

−= = +

−.

Voltaje en el bus 3

( )

( )( )( ) ( )1 13 3

3 31 1 32 2033

3

1 P jQV Y V Y V

Y V∗

⎧ ⎫−⎪ ⎪= − − −⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭

034 4Y V

( )( ) ( ) ( ) (1 1 0.5 1 3 1.04 0.666 2 1.0559 0.0341 2 63.666 11 1 0

j )j j jj j

⎡ ⎤− −= − − + − − + − + −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

j− +

2.8112 11.709 1.0347 0.08933.666 11

j j puj

−= = +

−.

Voltaje en el bus 4

( )

( )( )( ) ( )1 14 4

4 41 1 42 2044

4

1 P jQV Y V Y V

Y V∗

⎧ ⎫−⎪ ⎪= − − −⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭

043 3Y V



( )( ) ( )(1 0.3 0.1 1 3 1.0509 0.0341 2 6 1.0347 0.08933 9 1 0

j j j j jj j⎡ ⎤+

= − − + + − − + −⎢ ⎥− −⎣ ⎦)

4.063 9.4204 1.0775 0.09233 9

j j puj

−= = +

−.

Aceleración de la Convergencia. En el método de Gauss-Seidel, existe una medida que

tiende a mejorar la rapidez del método. Esta medida consiste en efectuar una extrapolación

lineal, al final del proceso de cálculo del voltaje, con el fin de obtener un estimado del

voltaje en esa iteración, más cercano a la solución. La expresión que caracteriza a dicha

extrapolación sería, para el bus i

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1, , ,l l l l

i acel i acel i i acelV V V Vα+ += + − .

α es el denominado factor de aceleración, que toma valores que pueden ir teóricamente

desde 1.0 hasta 2.0, según los libros de métodos numéricos, pero en la aplicación práctica

de flujos de potencia, los valores reportados [2] como los más adecuados, están

1.4 1.6α≤ ≤ . No existe una demostración formal de cual es el valor más adecuado, y la

única forma reportada, hasta donde el conocimiento del autor alcanza, consiste en hacer

pruebas para encontrara el valor más adecuado para un sistema particular. Sobretodo en el

pasado se escribió mucho al respecto [2], [8] y las conclusiones a que se llegaron, son las

indicadas arriba.

Como se mencionó anteriormente, el generador puede efectuar control en la magnitud de

voltaje, debido a que puede inyectar potencia reactiva en un bus, en la medida requerida

con el fin de mantener, dentro de ciertos límites, la magnitud de voltaje en le valor

requerido. El generador no es el único dispositivo que pede llevar a cabo este control y de

hecho existen dispositivos que pueden controlar no nada más la magnitud de voltaje, sino

su ángulo, con la finalidad de controlar, a su vez, el flujo de potencia activa en un elemento

de transmisión. Uno de estos dispositivos se discute en la siguiente sección.

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE TRANSFORMADORES CON CAMBIO DE DERIVACION BAJO CARGA Un dispositivo muy importante en el control de voltaje y flujo de potencia activa lo

constituyen estos transformadores con cambio de derivación bajo carga, en la que en el

primer caso, dicho cambio afecta fundamentalmente la relación de vueltas, con el fin de

controlar el voltaje. En el otro caso, el control se efectúa sobre el ángulo del voltaje,

teniendo esto efecto en el flujo de potencia activa. El dispositivo que se modelará aquí, es

un dispositivo electromecánico. En la actualidad existen dispositivos, que se conocen

colectivamente como FACTS (Flexible AC Transmisión Systems), por sus siglas en inglés,

basados en electrónica de potencia de alta velocidad, los cuales no se discutirán por estar

fuera del objetivo de estas notas desarrolladas para un curso introductorio de análisis de

Sistemas de Potencia.

Cuando el transformador tiene razón de vueltas no nominal, entonces su representación

agrega un transformador ideal en serie con una admitancia, como se muestra en la figura.

Vx

Vi Vj

Ii Ijyt

1:a

Vx

Vi Vj

Ii Ijyt

1:a

Modelo de transformador con cambio de derivación bajo carga Los buses asociados con las terminales son los buses i y j; el bus x es un bus ficticio usado

para formular el modelo de dicho transformador. La derivación o tap está conectado al bus

j. Cabe hacer el comentario de que el término tap es un anglicismo muy usado; sin

embargo en español se usa derivación o toma, lo cual causa a veces confusión. Aquí

usaremos el primero.

De la figura anterior vemos que

1x jV V

a=

*

i jI a= − I



La última ecuación se obtiene tomando en cuenta que a puede ser compleja o real, y

además considerando que la potencia compleja es la misma en ambos lados del

transformador (transformador ideal), por lo que si el voltaje se transforma con un

defasamiento de voltaje positivo, la corriente lo hará con un ángulo negativo.

Por otro lado

( )i t i xI y V V= − (i) De donde

ti t i

yI y V Va

= − j

Además vemos que

*

1j iI I

a= −

Por lo que si se sustituye la ecuación anterior (i) obtenemos

2* *

1 t t tj t i j i j

y y yI y V V V Va a a a

⎡ ⎤= − − = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ (ii)

En forma matricial las ecuaciones (i) y (ii) resultan en:

2*

tt

i i

t tj j

yyI Va

y yI Va a

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦

Si a es real, caso de transformador regulador (TCUL por sus siglas en inglés), la matriz de

admitancias será simétrica (elemento bilateral) y tendrá una representación a través de un

circuito π asociada, como se muestra en la siguiente figura.




Bus i Bus j

Bus del ladodel tap

tya

1aa−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

1t

a ya−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Bus i Bus j

Bus del ladodel tap

tya

1aa−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

1t

a ya−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Modelo π del transformador con derivación no nominal (TCUL).

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 2.5. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE NEWTON-RAPHSON. En la sección II.3 se discutió el método de Newton-Raphson, una técnica numérica para la

solución de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales. Este método es la base del

planteamiento del problema de flujos de potencia que veremos en esta unidad. Recordemos

que el sistema de ecuaciones linealizado se escribe en forma completa como (2.3.6) y en

forma compacta como (2.3.7), las cuales repetimos aquí por comodidad

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 1 1

1 21 1 1 , 2 ,

12 2 2

2 2 1 , 2 , 21 2

1 , 2 ,

1 2

......,

......,........ . . . .

...,...

k k knk k kn k

k k k kn

nk k k

kk k k n

n n nn n n

nk k k

f f fx x xy f x x x

xf f f

y f x x x xx x x

xy f x x x f f fx x x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎢ ⎥−

⎡⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥ ⎢= ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎤

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.3.6)

[ ]J C D= (2.3.7)

Al vector , se le llamó el vector de desajustes, también llamado vector de residuos por

algunos autores. Este vector representa la diferencia entre los términos independientes de

cada ecuación, y el valor de dichos términos en función de las incógnitas. Además en este

punto es conveniente recordar que al vector C se le denomina vector de correcciones, pues

contiene los valores que hay que agregar a las incógnitas de la k-ésima iteración para

mejorar (corregir) el valor anterior, en función del cual se calcularon dichos valores.

D

La formulación del método de Newton-Raphson es directa, en el sentido de que si

recordamos que en esencia el problema de flujos consiste en calcular los voltajes nodales de

la red, tomando en cuenta una serie de restricciones, que en su expresión más simple,

consisten de inyecciones de potencia conocidas. Dichas inyecciones constituyen las

variables y de (2.3.6), mientras que las funciones evaluadas en los valores de las incógnitas

obtenidas en la iteración k-ésima, son las expresiones de las potencias.


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE En otras palabras, los elementos de dicho vector de desajustes serán igual a

( ) ( ) ( ), 0pi i i if V P especificada P calculada Pδ = − = Δ = (2.5.1a)

( ) ( ) ( ), 0qi i i if V Q especificada Q calculada Qδ = − = Δ = (2.5.1b)

donde las expresiones que definen a Pi y a Qi, son las expresiones que hemos venido

usando en varios puntos de este material y que se repiten aquí por conveniencia

( )

( )

1

1

cos 1, 2,...,

1, 2,...,

n

i i k ik ik k ik

n

i i k ik ik k ik

P V V Y i n

Q V V Y sen i

θ δ δ

θ δ δ

=

=

= + − =

= − + − =

∑

∑ n (2.5.2)

Por otro lado el vector de correcciones está compuesto por iVΔ y iδΔ .

Con lo anterior podemos ver que la formulación general del problema de flujos en el

método de Newton-Raphson, es decir (2.3.6) en términos de las variables del problema de

flujos de potencia como mencionamos será

i

i ii

m m m

i i

m m

PP PQ

VQ Q V

V

δ

m

δ

δ

•⎡ ⎤⎢ ⎥•• •⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥•• •⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥•⎢ ⎥ ⎢• •⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥Δ •⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢∂ ∂Δ •⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥∂ ∂• Δ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢• ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥∂ ∂• •⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥⎢ ⎥•⎣ ⎦

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥Δ⎥⎥⎦

donde se muestran explícitamente los renglones que corresponden al bus i-ésimo, en el

vector de desajustes, y su interacción con el bus m-ésimo, en el vector de correcciones. Los

elementos de la matriz Jacobiana muestran los elementos correspondientes a dicha

interacción.

Debemos meditar un momento, antes de seguir, sobre la dimensión del modelo matemático.

Si suponemos que el número total de buses del sistema (incluyendo el compensador) es n,

el número de buses PV es npv, y el número de buses PQ es npq. Vemos que en el caso

de los buses PQ, se asignarán ambos elementos en el vector de desajustes, pues se conocen


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE las inyecciones de potencia real y reactiva. Al mismo tiempo recordamos que en estos

buses (PQ), son incógnitas la magnitud de voltaje y el ángulo de éste, por lo que aparecerán

ambos en el vector de correcciones, para este tipo de bus. Dado lo anterior, nos damos

cuenta que habrán dos ecuaciones para cada bus de este tipo.

Por otro lado, en el caso de los buses PV, únicamente se conoce la potencia activa

inyectada al bus, por lo que aparecerá únicamente el desajuste de potencia activa en el

vector de desajustes correspondiente. Además recordemos que en este tipo de bus se

desconocen los ángulos de voltaje, por lo que aparecerá el término correspondiente en el

vector de correcciones. Tomando en cuenta lo anterior, vemos que existirá únicamente una

ecuación para este tipo de bus.

En base a la discusión anterior vemos que el número de ecuaciones que constituyen

el modelo matemático de flujos en el Newton-Raphson será: 2 npq + npv. Es obvio que para

el bus compensador no habrá necesidad de escribir ecuación, pues por un lado, no

conocemos las inyecciones de potencia activa ni reactiva, por lo que no existen dichos

términos en el vector de desajustes; por otro lado, el voltaje de dicho bus ( magnitud y

ángulo) no constituye incógnita.

La formulación anterior se conoce como formulación polar, debido a que las

variables se expresan en formato polar. Existe otra formulación, denominada formulación

rectangular, que está basada en la expresión de las variables del problema en su forma

rectangular, de ahí su nombre. Sin embargo, esta última formulación no es tan popular

como la formulación polar, debido fundamentalmente a que ésta es más eficiente en

general; aunque podrían existir casos en que esto no sea así, estos casos serían especiales.

Hasta este punto vimos la formulación general del modelo de flujos de potencia en

su forma polar. Enseguida entraremos en los detalles del método, al desarrollar las

expresiones correspondientes a los elementos del vector de desajustes y de la matriz

Jacobiana.

Comenzamos definiendo el formato polar de voltajes y admitancias: i iV V iδ= ∠ ,

ij ij ijY Y θ= ∠ . Es importante hacer notar que existen autores que prefieren utilizar un signo

negativo en los ángulos de la admitancia, debido al razonamiento, por supuesto correcto, de

que la admitancia de un elemento de transmisión, es esencialmente inductiva, razón por la

cual la parte imaginaria será negativa, y por tanto si expresamos esta cantidad en forma

polar, su ángulo sería negativo. Sin embargo, lo contrario, que es la definición que


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE usaremos en este material, no debe causar ningún problema, pues finalmente es cuestión de

respetar la definición durante el desarrollo de las expresiones mencionadas y ser consistente

con su definición.

Las expresiones de las cantidades que forman el vector de desajustes fueron

definidas previamente, ecuaciones (2.5.1a), (2.5.1b) y (2.5.2), las cuales combinadas nos

proporcionan las expresiones finales

(1

cosn

especi i i k ik ik k i

k

P P V V Y )θ δ δ=

Δ = − + −∑ (2.5.3)

(1

sn

especi i i k ik ik k i

k

Q Q V V Y en )θ δ δ=

⎡ ⎤Δ = − − + −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (2.5.4).

Notar que el término iV se introdujo dentro de la sumatoria, debido a que el índice de ésta

es k, y por tanto no se produce ninguna alteración realmente en la expresión.

Para desarrollar las expresiones de la matriz Jacobiana, definimos las variables matriciales

del modelo como se indica

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1 2

3 4

P J J

Q J J V

δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ Δ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(2.5.5).

La expresión matricial anterior implica las siguientes definiciones,

[ ]1PJδ∂⎡ ⎤= ⎢ ⎥∂⎣ ⎦

[ ]2PJV

⎡ ⎤∂= ⎢ ⎥

∂⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]3QJδ∂⎡ ⎤= ⎢ ⎥∂⎣ ⎦

[ ]4QJV

⎡ ⎤∂= ⎢ ⎥

∂⎢ ⎥⎣ ⎦.

Las expresiones de la submatriz J1 se obtienen como se muestra enseguida. Primeramente,

denominaremos elementos fuera de la diagonal de dicha submatriz, a aquellos que indican


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE la variación de la potencia en un bus con respecto al ángulo de otro bus; en contraparte, nos

referiremos a los elementos de la diagonal de dichas submatrices, como los elementos que

indican la variación de la potencia en un bus con respecto a la variación del ángulo en el

mismo bus. Con el fin de tener a la mano las expresiones que usaremos para encontrar los

elementos de la matriz Jacobiana, repetimos aquí las expresiones de la potencia, ecuación

(2.5.2), incluso con una pequeña variante, adecuada para este fin.

Para la potencia activa

( )

( ) ( )

1

2 2

1 1

cos

cos cos cos

n

i i k ik ik k ik

n n

i ii ii i k ik ik k i i ii i k ik ik k ik kk i k i

P V V Y

V Y V V Y V G V V Y

θ δ δ

θ θ δ δ θ δ δ

=

= =≠ ≠

= + − =

= + + − = + + −

∑

∑ ∑

mientras que para la potencia reactiva

( )

( ) ( )

1

2 2

1 1s s s

n

i i k ik ik k ik

n n

i ii ii i k ik ik k i i ii i k ik ik kk kk i k i

Q V V Y sen

V Y en V V Y en V B V V Y en

θ δ δ

iθ θ δ δ θ δ δ

=

= =≠ ≠

= − + − =

= − − + − = − − + −

∑

∑ ∑

Como se podrá observar, las pequeñas modificaciones son simplemente variantes de las

expresiones de potencia, en las que se ha separado, por conveniencia, el término para k =

i, y además como ik ik ikY Y θ= ∠ , por lo que también tendremos

cos sik ik ik ik ik ik ikY Y j Y en G jBθ θ= + = + .

Con lo anterior en mente, obtenemos:

Elementos de [ ]1J :

( )ii ik k ik k i

k

PV Y V sen i kθ δ δ

δ∂

= − + − ≠∂

(elemento fuera de la diagonal) (2.5.6a)

(1

ni

i ik k ik k ikik i

PV Y V sen )θ δ δ

δ =≠

∂= +

∂ ∑ − (elemento diagonal). (2.5.6b)


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Elementos de [ ]2J :

( )cosii ik ik k i

k

PV Y i k

Vθ δ δ

∂= + −

∂≠ (2.5.6c)

(1

2 cosn

ii ii ii ik k ik k i

kik i

PV Y Y V cos

V)θ θ δ δ

=≠

∂= + +

∂ ∑ − (2.5.6d)


( )cosii ik k ik k i

k

QV Y V i kθ δ δ

δ∂

= − + − ≠∂

(2.5.6e)

(1

ni

i ik k ik k ikik i

QV Y V cos )θ δ δ

δ =≠

∂= +

∂ ∑ − (2.5.6f)


( )sii ik ik k i

k

QV Y en i k

Vθ δ δ

∂= − + − ≠

∂ (2.5.6g)

(1

2 sn


kik i

QV Y en Y V sen

V)θ θ δ δ

=≠

∂= − − + −

∂ ∑ (2.5.6h).

El proceso iterativo asociado a la ecuación (2.5.5) se puede representar por la ecuación

matricial

( )

( )

[ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ]( )

( )

( )

1 2

3 4

l ll l

l l l

P J J

Q VJ J

δ⎡ ⎤

l

⎡ ⎤⎡ ⎤Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(2.5.7)

que muestra la ecuación del Newton-Raphson en la iteración l-ésima. Es importante

recordar que si tenemos npv buses PV, entonces el mismo número de ecuaciones que

involucran a y a y sus correspondientes QΔ VΔ [ ]3J columnas de la matriz Jacobiana


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE serán eliminadas. Entonces existirán n – 1 restricciones de potencia reactiva y el orden de

la matriz será igual a (2n – 2 – npv) x (2n – 2 – npv). Además el orden de [ ]1J será

(n – 1) x (n – 1), mientras que el orden de [ ]2J de (n – 1) x (n –1 – npv). Por otro lado el

orden de [ ]3J es (n –1 – npv) x (n – 1), y finalmente el orden de [ ]4J es

(n –1 – npv) x(n –1 – npv) .

Los términos del vector de ajustes para la l-ésima iteración serán

( ) ( )l lespec

i i iP P PΔ = − (2.5.8a)

( ) ( )l especi iQ Q QΔ = − l

i (2.5.8b)

y los nuevos estimados para los voltajes de bus

( ) ( ) ( )1l li i

liδ δ δ+ = + Δ (2.5.9a)

( ) ( ) ( )1l li iV V V+ = + Δ l

i (2.5.9b).

El procedimiento para el método de Newton-Raphson es como sigue:

1. Para buses PQ, en los que se especifican y , se deberán inicializar las

magnitudes y ángulos de los voltajes, generalmente igual a los del bus compensador

ó 1.0 en magnitud y 0.0 en ángulo, esto es,

especiP espec

iQ

( )0 1.0iV = y ( )0 0.0iδ = . Para buses PV

donde se especifican iV y ,los ángulos de fase se inicializan igual al del bus

compensador, esto es, 0.0 ó

especiP

( )0 0iδ = .

2. Para buses tipo PQ, ( )liP y ( )l

iQ se calculan por medio de las ecuaciones (2.5.2),

mientras que ( )liPΔ y ( )l

iQΔ se calculan por medio de las ecuaciones (2.5.8a) y

(2.5.8b).

3. Para buses tipo PV ( )liP y ( )l

iPΔ se calculan a través de (2.5.2) y (2.5.8a),

respectivamente.


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE 4. Los elementos de la matriz Jacobiana, se calculan en este punto, usando las

ecuaciones (2.5.6a)-(2.5.6h), es decir en este punto se actualiza la matriz Jacobiana.

5. En este paso se resuelve el sistema de ecuaciones lineales de la ecuación (2.5.7).

6. Los nuevos valores de magnitud de voltaje y ángulo son calculados por medio de las

ecuaciones (2.5.9a) y (2.5.9b).

7. El proceso continuará hasta que los desajustes de potencia ( )liPΔ y ( )l

iQΔ ,

calculados por medio de las ecuaciones (2.5.8a) y (2.5.8b), cumplan con el criterio

de convergencia que deseado, el cual se especificará como parte de los datos de

inicialización del programa, ( )l

iP εΔ ≤

( )liQ εΔ ≤ .

Si ocurre convergencia, entonces los valores de las variables obtenidas hasta este punto,

serán la solución y se procederá a calcular los flujos en los elementos de transmisión y

las pérdidas, tanto en estos como las pérdidas totales del sistema.

EJEMPLO. En este punto es conveniente introducir un ejemplo sencillo, que permita

afianzar los conceptos que se han discutido hasta ahora, acerca del método de Newton-

Raphson. Consideremos el sistema de tres buses que se muestra en la figura 2.5.1. La

Tabla 1, muestra los datos correspondientes a los buses; además, para non complicar

innecesariamente el ejemplo, consideremos las tres líneas de transmisión iguales, con una

impedancia serie de 0.02 + j 0.08 pu, y una admitancia en derivación total de j0.02 pu. La

fuente de potencia reactiva del bus 3 tiene la restricción 30 GQ 1.5≤ ≤ pu. Se usará una

tolerancia de 0.01 para el desajuste de potencia.



BUS 1 BUS 2

BUS 3

BUS 1 BUS 2

BUS 3

Figura 2.5.1. Sistema de tres buses.

TABLA 1. DATOS DE LOS BUSES DEL SISTEMA

BUS PD QD PG QG V

1(COMP) 2.0 1.0 _ _ 1.04+j0

2 (PQ) 0.0 0.0 0.5 1.0 _

3 (PV) 1.5 0.6 0.0 _ 1.04

Con los datos de las líneas de transmisión proporcionados, podemos ver fácilmente que

todos los términos diagonales y de fuera de la diagonal de matriz YBUS , son iguales entre si,

por lo que la matriz resulta

0 0

0 0

0 0

24.23 75.95 12.13 104.04 12.13 104.0412.13 104.04 24.23 75.95 12.13 104.0412.13 104.04 12.13 104.04 24.23 75.95

BUSY⎡ ⎤∠ − ∠ ∠⎢ ⎥= ∠ ∠− ∠⎢ ⎥⎢ ⎥∠ ∠ ∠−⎣ ⎦

0

0

0

Iniciamos la primera iteración, con arranque plano ( )02 1 0V j= + y ( )0

3 0δ = . Con esto

tenemos que las potencias estimadas de los buses son

( ) ( )22 2 1 21 21 1 2 2 22 22 2 3 23 23 3 2cos cos cosP V V Y V Y V V Yθ δ δ θ θ δ δ= + − + + + −

( ) ( ) 23 3 1 31 31 1 3 3 2 32 23 2 3 3 33 33cos cos cosP V V Y V V Y V Yθ δ δ θ δ δ θ= + − + + − +




( ) ( )22 2 1 21 21 1 2 2 22 22 2 3 23 23 2 3cos s sQ V V Y V Y en V V Y enθ δ δ θ θ δ δ= − + − − − + − ,

de donde sustituyendo en las ecuaciones anteriores obtenemos los siguientes valores para el

estimado de las potencias inyectadas a los buses ( )0

2 0.23P p= − u

( )03 0.12P p= u

( )02 0.96Q p= − u

con estos valores podemos calcular los desajustes correspondientes,

( ) ( ) ( )0 0

2 2 2 0.5 0.23 0.73calcespecP P P pΔ = − = − − = u

( ) ( ) ( )0 03 3 3 1.5 0.12 1.62calcespecP P P pΔ = − = − − − = − u

( ) ( ) ( )0 02 2 2 1 0.96 1.96calcespecQ Q Q pΔ = − = − − = u

Estos valores son los elementos del vector de desajustes. Estos valore serán confrontados

con la tolerancia ε , que se especificó en los datos de entrada del programa.

El siguiente paso, una vez que se ha verificado que aún nos e tiene convergencia, es evaluar

los elementos de la matriz Jacobiana, por medio de las ecuaciones desarrolladas

previamente,(2.5.6a-h), lo cual resulta en la matriz Jacobiana que se muestra a

continuación, dentro del sistema de ecuaciones correspondientes al Newton-Raphson.

2 2 2

2 3 22 2

3 3 33 3

2 3 22 2

2 2 2

2 3 2

P P PV

PP P P

PV

Q VQ Q Q

V

δ δδδ

δ δ

δ δ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎛ ⎞Δ Δ⎛ ⎞ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ = Δ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

la matriz resulta en los valores siguientes


2 2 2

2 3 2

3 3 3

2 3 2

2 2 2

2 3 2

24.47 12.23 5.6412.23 24.95 3.056.11 3.05 22.54

P P PV

P P PV

Q Q QV

δ δ

δ δ

δ δ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟ −⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.

Resolviendo el sistema de ecuaciones indicado abajo, obtenemos el vector de correcciones

de primera iteración ( )

( )

( )

1 12

13

12

24.47 12.23 5.64 0.73 0.02312.23 24.95 3.05 1.62 0.06546.11 3.05 22.54 1.96 0.089V

δ

δ

−⎛ ⎞Δ − −⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟Δ = − − − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦Δ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

con lo que los valores corregidos resultan ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 0 12 2 2

1 0 13 3 3

1 0 12 2 2

0 0.023 0.0230 0.0654 0.06541 0.089 1.089V V V

δ δ δ

δ δ δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ − −⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + Δ = + − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculamos ahora la potencia reactiva inyectada al bus 3, ecuación (2.5.2), en función de

las variables actualizadas, con el fin de verificar que cumpla con los límites estipulados;

resulta ( )13 0.4677Q = , con lo cual calculamos la potencia generada, que es la que tiene

estipulado el límite, como ( ) ( )1 13 3 3 0.4677 0.6 1.0677G DQ Q Q= + = + = , cuyo valor está dentro

de límites.

Si proseguimos de la manera que ejemplifica este ejemplo, en tres iteraciones llegamos a

los resultados que se muestran a continuación,

2 1.081 0.024V r= ∠− ad

ad

3 1.04 0.0655V r= ∠ −

3 0.15 0.6 0.45GQ = − + = (dentro de límites)

( )1 1.031 0.791S j= + −

2 0.5 1.0S j= +




3 1.5 0.15S j= − −

pérdidas totales = 0.031 pu

Se le sugiere al lector verificar a detalle los resultados mostrados.

Existen una serie de medidas que se pueden adoptar para hacer más eficiente el

método de Newton-Raphson, las cuales van desde detalles de programación, pasando por el

uso insustituible de las técnicas de dispersidad, por supuesto incluidos los métodos

desacoplados, a los cuales nos referiremos más adelante. Pero de este conjunto de medidas,

hay una que veremos en este caso y que consiste en una serie de planteamientos que ayudan

a hacer más eficiente el método y que denominaremos método de Newton-Raphson

normalizado, denominado así porque este implica la obtención de las correcciones de

magnitud divididas entre la magnitud del voltajes, y de ahí su nombre.

Para iniciar este tema, partimos de las expresiones de potencia que vimos en la

ecuación (2.5.2), las cuales volvemos a escribir aquí con pequeñas variantes por

conveniencia.

( ) ( )2

1 1cos cos cos

n n

i i ik k ik k i i ii ii i ik k ik k ik k

k i

P V Y V V Y V Y Vθ δ δ θ θ δ δ= =

≠

= + − = + +∑ ∑ − =

( )2 2

1

2

cosn

ii i ii i ik k ik k i i ii

k ik i

ii i ii

i

QP V G V Y V V G

QP V G

θ δ δδ

δ

=≠

∂= + + − = +

∂

∂= −

∂

∑

( )2

1cos

n

i ii i ik k ik k ikk i

V G V Y V θ δ δ=≠

= + + −∑ (2.5.10)

( ) ( )2

1 1s s s

n n

i i ik k ik k i i ii ii i ik k ik k ik k

k i

Q V Y V en V Y en V Y V enθ δ δ θ θ δ δ= =

≠

= − + − = − − + − =∑ ∑

( )2 2

1s

ni

i ii i ik k ik k i i iik ik i

PV B VY V en V Bθ δ δδ=

≠

∂= − − + − = − −

∂∑ (2.5.11).

2ii ii

i

P V B Qδ∂

= − −∂ i

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Iniciamos comparando las expresiones (2.5.6a-b). Empezamos por los elementos fuera de

la diagonal, aquellos que se caracterizan por la relación i k≠ .

Comparamos (2.5.6a) con (2.5.6g) y vemos que las expresiones del lado derecho de estas

ecuaciones, difieren únicamente por un término : kV , es decir, que esto lo podemos

expresar como ik

k k

PV

Vδ∂ ∂

=∂ ∂

iQ. Lo anterior nos invita a concluir que si multiplicamos el

término fuera de la diagonal de [ ]4J por kV , no tendremos que calcular ambos términos,

es decir calculado el término correspondiente de [ ]4J , una vez efectuada la multiplicación

indicada, se lo asignamos al término correspondiente de [ ]1J . Lo anterior es cierto y esto

simplifica mucho el trabajo computacional sin duda, lo único que tenemos que hacer es

tener cuidado y ver las implicaciones asociadas con este hecho. Dichas implicaciones

tienen que ver con el hecho de que el término de [ ]4J en el modelo matemático del

Newton-Raphson, está multiplicando a la corrección de voltaje, por lo que si multiplicamos

por una cantidad, debemos dividir entre la misma, con el fin de que la expresión no se

altere. Esto puesto en términos de ecuaciones significa

k ki ik k

k k k k

V VQ QV V

V V V V⎛ ⎞ ⎛ Δ∂ ∂

Δ ≡⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

.

Lo anterior implica claramente que podemos hacer lo mencionado arriba, a condición de

corregir el resultado final, pues en este caso no estamos obteniendo la corrección de voltaje,

sino ésta dividida entre kV , por lo que debemos multiplicar la cantidad obtenida en el

proceso por kV , antes de sumarla al voltaje de la iteración anterior, para obtener el nuevo

estimado de voltaje.

Otro resultado parecido se obtiene al comparar las expresiones (2.5.6c) y (2.5.6e), que

corresponden a los elementos fuera de la diagonal de las submatrices [ ]2J y [ ]3J ,

respectivamente. Realizando dicha comparación vemos que la diferencia entre las

expresiones del lado derecho de las ecuaciones mencionadas, difiere únicamente por el

signo y la magnitud de voltaje multiplicando a la expresión de [ ]2J , es decir




ik

k k

P QV

Vi

δ∂ ∂

− ≡∂ ∂

. Sin embargo, al igual que en el caso anterior, debemos estar alerta y ver

que la expresión que se está multiplicando por kV , multiplica a la corrección de voltaje

correspondiente y por tanto debemos dividir esta última , de otra forma la expresión se

alteraría, es decir

k ki ik k

k k k k

V VP PV V

V V V V⎛ ⎞ ⎛ Δ∂ ∂

− Δ ≡ −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

.

De nueva cuenta, lo anterior implica que al resolver el sistema de ecuaciones del modelo

matemático del Newton-Raphson, debemos multiplicar el término solución por kV , con el

fin de obtener la corrección que se usará en la obtención del estimado del voltaje en la

iteración correspondiente.

Con respecto a los términos diagonales, también se pueden sacar algunas conclusiones que,

al igual que en los casos anteriores, mejoran la eficiencia del método. Para esto

empezamos comparando el lado derecho de la ecuación (2.5.6b), que corresponde al

término diagonal de [ ]1J , con la expresión dada en (2.5.11), o sea la ecuación de . iQ

Escribimos dichas expresiones de nuevo para facilitar su comparación

(1

ni

i ik k ik k ikik i

PV Y V sen )θ δ δ

δ =≠

∂= +

∂ ∑ − (2.5.6b)

(2

1s

n

i i ii i ik k ik kkk i

Q V B V Y V en )iθ δ δ=≠

= − − + −∑ (2.5.11)

Vemos que si sumamos a la sumatoria en (2.56b) el término 2iV B− ii , además de cambiarle

el signo, obtendremos la expresión de . En otras palabras tenemos que iQ

2ii i

i

PQ V B

δ∂

= − −∂ ii . Esto implica un importante ahorro computacional, debido a que

recordemos que las potencias, tanto como , se calculan al inicio de la iteración,

cuando se calculan los desajustes de potencia.

iP iQ

En el cálculo de los términos diagonales de [ ]2J , tenemos que si comparamos (2.5.6d) con

(2.5.10),


(1

2 cosn


kik i

PV Y Y V cos

V)θ θ δ δ

=≠

∂= + +

∂ ∑ − (2.5.6d)

(2

1cos

n

i i ii i ik k ik k ikk i

P V G V Y V )θ δ δ=≠

= + + −∑ (2.5.10)

Si multiplicamos (2.5.6d) por iV obtenemos

( ) ( )2 2

12

ni

i i ii i ik k ik k i i ii ikik i

PV V G V Y V cos V G

Vθ δ δ

=≠

∂= + + − =

∂ ∑ P+

por lo tanto tendremos que ( ) 2ii i ii

i

PV V G

V iP∂

= +∂

. De nuevo, habiendo calculado el

valor de al inicio de la iteración, el ahorro en trabajo computacional en el cálculo de

estos términos, es importante.

iP

En el caso de los elementos diagonales de [ ]3J , comparamos (2.5.6f) con (2.5.10)

(1

ni

i ik k ik k ikik i

QV Y V cos )θ δ δ

δ =≠

∂= +

∂ ∑ − (2.5.6f)

(2

1cos

n


P V G V Y V )θ δ δ=≠

= + + −∑ (2.5.10).

Observamos que

( )2

1cos

ni

i i ii i ik k ik k i i iik ik i

QP V G V Y V V Gθ δ δ 2

δ=≠

∂= + + − = +

∂∑ , por lo que despejando

obtenemos 2ii i

i

QP V G

δ∂

= −∂ ii . De nuevo, esto tiene importancia en el cálculo para la

obtención de estos elementos de [ ]3J .

Finalmente para los elementos diagonales de [ ]4J , comparamos las ecuaciones (2.5.6h) con

(2.5.11)



(1

2 sn


kik i

QV Y en Y V sen

V)θ θ δ δ

=≠

∂= − − + −

∂ ∑ (2.5.6h)

(2

1s

n


Q V B V Y V en )θ δ δ=≠

= − − + −∑ (2.5.11)

Vemos que

( ) ( )2 2

1

2n

ii i ii i ik k ik k i i ii i

kik i

QV V B V Y V sen V B

Vθ δ δ

=≠

∂= − − + − = − +

∂ ∑ Q , por lo que

observamos que para utilizar este resultado hemos tenido que multiplicar por iV , por lo

que se repite la conclusión en el sentido de que la solución obtenida, será la corrección

normalizada. Además podemos ver que ( ) i ii

i i

Q PV

V δ∂ ∂

= −∂ ∂

.

Podemos resumir lo que hemos analizado en estos últimos párrafos.

Elementos Diagonales:

Calculamos:

[ ] 21

ii idiag

i

PJ Q

δ iiV B∂

= = − −∂

[ ] 23

ii idiag

i

QJ P

δ iiV G∂

= = −∂

.

Obtenemos:

[ ] [ ] 22 3 2i

i idiag diagi

PJ V J V

V iiG∂

= = +∂

[ ] [ ] 24 1 2i

i idiag diagi

QJ V J V

V iiB∂

= = − −∂

.

Elementos Fuera de la Diagonal.

[ ] [ ]1 4fdJ J=

fd o bien i i

k k

P QVδ

∂ ∂=

∂ ∂


[ ] [ ]3 2fdJ J= −

fd o bien i i

k k

Q PVδ

∂ ∂= −

∂ ∂.


En el método normalizado de Newton-Raphson, el sistema de ecuaciones tendrá la forma

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1 2

3 4

norm norm

norm norm

J JP

Q J J VV

δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤Δ Δ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

COMPARACION ENTRE LOS METODOS DE GAUSS-SEIDEL Y NEWTON-RAPHSON.

Es importante hacer una comparación entre los métodos de Gauss-Seidel (GS) y Newton-

Raphon (NR). Hay que aclarar que esta comparación la hacemos sobre los formatos

discutidos en las presentes notas, es decir en el caso de la formulación a través de la matriz

YBUS, dado que existen un a cantidad importante de variantes, p. ej. ZBUS, y las

formulaciones basados en el elemento topológico de lazo, la mayoría de las cuales tiene

únicamente interés histórico [2], por lo que generalmente en estos cursos de nivel

licenciatura, primordialmente se cubren las formulaciones aquí analizadas.

La primera experiencia que se tiene entre estos dos métodos es que mientras en GS la

formulación en formato rectangular trabaja bien, en el caso del NR esta formulación

requiere más memoria, que la formulación vista en estas notas, o sea que la formulación

polar. Además el GS requiere menos operaciones aritméticas por iteración, debido a la

dispersidad de la red y la simplicidad del método; esto último constituye una ventaja con

respecto al NR. En el NR los elementos de la matriz Jacobiana deben calcularse en cada

iteración, por lo que el costo en timepo por iteración en este método es más grande que en

el GS. Aproximadamente una iteración del NR es equivalente a 7 iteraciones del GS, para

un sistema grande típico [11]. El tiempo en ambos métodos se incrementa con el número

de buses.




La convergencia del GS es lineal, lo cual lo hace de lenta convergencia. Mientras que el

NR tiene una convergencia cuadrática (algunos autores se refieren también como

logarítmica), lo cual lo convierte en el mejor de los métodos, desde el punto de vista de

convergencia por supuesto. Por otro lado, el número de iteraciones en el GS se incrementa

con el número de buses, mientras que en el NR, el número de iteraciones permanece

prácticamente constante, independiente del tamaño del sistema. Se requieren,

generalmente, de 3 a 5 iteraciones para obtener la solución. Con respecto al efecto de las

características de la red en el comportamiento de los métodos, es interesante comentar que

se ha observado que el GS es afectado por la selección del bus compensador y la presencia

de capacitores serie en las líneas de transmisión. Esto último se debe a que en el GS una

condición para convergencia es que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante,

y la presencia de dichos capacitares serie, compromete dicha condición. Por otro lado la

sensibilidad del NR es mínima a estas condiciones, que pueden ser causa de una

convergencia pobre en el GS.

Podemos concluir que para grandes sistemas, el NR es más rápido, más preciso y más

confiables que el GS y , también comparado con otros métodos. De hecho se puede decir

que funciona bien para cualquier tamaño de sistema y cualquier tipo de sistema y es

apropiado apara obtener la solución de una amplia variedad de problemas mal

condicionados. Por supuesto todo esto tiene un costo; su programación es

considerablemente más compleja y tiene la desventaja de requerir más memoria, aún con el

uso de almacenamiento compacto de la matriz Jacobiana y la matriz de admitancias. En

contraste las ventajas del GS consisten en la facilidad de su programación, y una utilización

más eficiente de memoria, aunque por lo discutido anteriormente, su uso queda restringido

a sistemas de pequeña escala.

2.6. FORMULACION Y SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL METODO DE NEWTON DESACOPLADO. En la unidad II.2, vimos un hecho muy importante y fundamental que debemos tomar en

cuenta en la solución del problema de flujos de potencia. Lo anterior se refiere a que un

cambio en el ángulo del voltaje δ en un bus, tiene efecto preponderantemente, en el flujo de

potencia real, dejando el flujo de la potencia reactiva relativamente sin cambio; por otro

Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE lado, vimos también, que un cambio en la magnitud del voltaje V en un bus, afecta

preponderantemente el flujo de potencia reactiva, dejando prácticamente sin cambio, el

flujo de potencia activa. Esto conduce a una serie de medidas que han culminado en una

variante del método de NR, produciendo un método muy eficiente y que discutiremos en

esta unidad II.6.

Si recordamos la ecuación matricial del método de NR,

( )

( )

[ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ]( )

( )

( )

1 2

3 4

l ll l

l l l

P J J

Q VJ J

δ⎡ ⎤

l

⎡ ⎤⎡ ⎤Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

vemos que lo mencionado en el párrafo anterior, implica que el efecto, sobre la solución, de

las matrices [ ]2J y [ ]3J , es prácticamente nulo. Por lo que podemos eliminarlas,

resultando con esto el sistema de ecuaciones

[ ] [ ][ ]1P J δΔ = Δ

[ ] [ ]4Q J V⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ .

Las ecuaciones anteriores muestran el denominado método Desacoplado de Newton. La

razón del nombre es obvia, dado que se observa que podemos calcular las correcciones de

ángulo de voltaje, en función únicamente de los desajustes de potencia activa, mientras que

en el caso de la segunda ecuación muestra que se pueden calcular las correcciones

magnitud de voltaje, en función únicamente de los desajustes de potencia reactiva.

No obstante lo mencionado arriba, se puede ver que en estricto sentido, las ecuaciones

anteriores no están realmente desacopladas; esto se puede verificar fácilmente, si revisamos

las expresiones que definen los términos de las submatrices [ ]1J y [ ]4J . Podemos ver que

los elementos de [ ]1J , dependen de las magnitudes de voltajes, que se resuelven por medio

de la segunda ecuación; por otro lado, los elementos de la submatriz [ ]4J , a su vez


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE dependen de los ángulos de voltaje, cuyas correcciones resuelve la primera ecuación. Por

lo expuesto, entonces vemos que no existe desacoplamiento en estricto sentido.

La meditación sobre estas ideas condujo a Stott y otros [10] a buscar la forma de obtener un

método que realmente estuviera desacoplado matemáticamente; además del interés de

obtener el desacoplamiento ya mencionado, también es deseable evitar la carga de cálculo

tan importante que representa la actualización de la matriz Jacobiana en cada iteración.

Estos objetivos se lograron observando la física de los elementos de transmisión,

principalmente la línea, y reflejando estas observaciones en simplificaciones adecuadas,

con el fin de llegar al objetivo mencionado. Estas simplificaciones dieron por resultado un

método con las características mencionadas que se denominó Método desacoplado rápido.

En lo que sigue, discutimos estas consideraciones y sus efectos sobre el método.

En un sistema de potencia bien diseñado y correctamente operado, se tiene las siguientes

características:

• Debido a los valores de la reactancia inductiva serie , que caracteriza a las líneas de

transmisión de alto voltaje, la diferencia angular ( )i kδ δ− entre buses adyacentes en

el sistema es generalmente muy pequeña, por lo que

( )cos 1i kδ δ− ≈ y ( ) ( )i k i ksen δ δ δ δ− ≈ − .

• La suceptancia de la línea ikB es mucho mayor (varios ordenes de magnitud) que la

conductancia de la misma , por lo que ikG

( ) ( )cosik i k ik i kG sen Bδ δ δ− −δ .

• La potencia reactiva que se inyecta en un bus , durante la operación normal es

relativamente pequeña comparada con el término que acompaña esta cantidad en las

ecuaciones que definen los elementos de la matriz Jacobiana.

iQ

Es preciso en este punto volver a escribir las ecuaciones que definen los elementos de la

matriz Jacobiana, de otra forma se perdería sentido a los argumentos anteriores.

A partir de las expresiones de las potencias obtenidas a partir de

( ) ( )( )1 1

i kn n

ji i i ik k i ik ik k

k k

P jQ V Y V V G jB V e δ δ−∗ ∗

= =

+ = = −∑ ∑

observar que esta expresión es un poco diferente de la que hemos venido utilizando,

simplemente por conveniencia, sin embargo no altera los conceptos en los más mínimo.


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Si separamos parte real y parte imaginaria de la ecuación anterior, obtenemos las

expresiones de las potencias que buscamos,

( )1

cosn

i i ik ik ik ik kk

P V G B sen Vδ δ=

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑

( )1

sn

i i ik ik ik ik kk

Q V G en B cos Vδ δ=

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑

Notar que ik i kδ δ δ= − , además de que . ik iki ikY G jB+

Las expresiones para los elementos fuera de la diagonal de las submatrices [ ]1J y [ ]4J

están dadas por

[ ]( ) [ ]( ) ( )1 4, ,cosi k ik ik ik iki k i k

J J V V G sen B iδ δ= = − k≠

mientras que para los elementos de la diagonal, i = k, tenemos

[ ]( )2

1 , ii i ii iJ B V Q= − −

[ ]( )2

4 , ii i ii iJ B V Q= − + .

Si sustituimos las consideraciones mencionadas unos párrafos atrás, en las ecuaciones

anteriores, obtenemos

[ ]( ) [ ]( )1 4, , i k iki k i kJ J V V B i k= = − ≠

[ ]( ) [ ]( )2

1 4, , ii ii i i iJ J B V i k= = − = .

El lector puede verificar que la submatriz [ ]1J tiene dimensión ( ) ( )pq pv pq pvn n n n+ ∗ + y

[ ]4J tiene dimensión ( ) . pq pqn n+


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con lo anteriormente obtenido las ecuaciones obtenidas serán

[ ] [ ]'i i k pqP VV B iδ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦

[ ] '' ii i k pq

i

VQ VV B

V⎡ ⎤Δ

⎡ ⎤Δ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦.

En estas ecuaciones 'pqB⎡ ⎤⎣ ⎦ y ''

pqB⎡⎣ ⎤⎦ , son elementos de la matriz [ ]B− , que es el negativo

de la matriz nodal de admitancias.

Con el fin de lograr el último de los objetivos mencionados párrafos atrás, es decir, evitar

tener que actualizar la matriz Jacobiana en cada iteración, es necesario eliminar los voltajes

de las matrices de coeficientes de las dos ecuaciones anteriores. Esto se logra tomando en

cuenta que 1.0kV ≈ , en situaciones de operación normal. Esto es cierto dado que en

operación normal los voltajes se caracterizan por valores cercanos al nominal, o sea 1.0 pu

en voltajes normalizados; por otro lado, expandamos las expresiones matriciales que restan

después de efectuar la aproximación anterior y multiplicar las ecuaciones resultantes por

1 iV , obtenemos los resultados que buscamos, es decir,

[ ]'ii

i

PB

Vδ

⎡ ⎤Δ⎡ ⎤= Δ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]''ii

i

QB V

V⎡ ⎤Δ

⎡ ⎤= Δ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦.

El sistema de ecuaciones anterior representa enormes ventajas; aparte de su

desacoplamiento efectivo, vemos que las matrices de coeficientes, 'B⎡ ⎤⎣ ⎦ y ''B⎡ ⎤⎣ ⎦ , son

constantes en todo el proceso iterativo, por lo que la enorme carga de trabajo de

actualización de la matriz Jacobiana, se ha eliminado. Lo anterior implica que cualquier

método de factorización triangular, como por ejemplo , Doolittle, Crout ó bifactorización

de Zollenkopf, tendrá un impacto enorme tanto en el manejo de la matriz de coeficientes,

como en la eficiencia de la solución del sistema de ecuaciones lineales, pues una vez

factorizada y guardada la tabla de factores, no habrá necesidad de modificar dicha matriz

durante todo el proceso iterativo. El uso de técnicas de dispersidad, indispensables para la

simulación de grandes sistemas eléctricos, hacen aún más eficiente este método.


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE El desacoplamiento completo se logra tomando en cuenta las siguientes simplificaciones

[10]:

a. Omitiendo de 'B⎡ ⎤⎣ ⎦ la representación de aquellos elementos de la red eléctrica que

afectan predominantemente el flujo de potencia reactiva: reactancias en derivación y

taps de transformadores TCUL (con relación no nominal).

b. Omitiendo de ''B⎡ ⎤⎣ ⎦ los efectos de los transformadores defasadores, que afectan

predominantemente el flujo de potencia activa.

Con las aproximaciones mencionadas en los párrafos anteriores obtenemos finalmente el

método desacoplado rápido. Por último es importante mencionar que en el caso de no

haber transformadores defasadores, 'B⎡ ⎤⎣ ⎦ y ''B⎡ ⎤⎣ ⎦ serán simétricas.

EJEMPLO. Utilizamos el ejemplo de cuatro buses de la unidad II.4, que usamos para

ejemplificar el método de Gauss-Seidel . Los datos de las líneas de dicho sistema, así como

los datos de buses, están contenidas en las Tablas 1 y 2 en dicha unidad. Por comodidad

mostramos dichas tablas, así como el sistema de potencia.

BUS 1 BUS 2

BUS 3 BUS 4

BUS 1 BUS 2

BUS 3 BUS 4

Sistema Eléctrico del ejemplo.


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE TABLA1. DATOS DE BUS

BUS Pi Qi Vi Tipo de bus

1 _ _ 01.04 0∠ compensador

2 0.5 _ 2 1.04V = Bus PV

3 -1.0 0.5 _ Bus PQ

4 0.3 -0.1 _ Bus PQ

TABLA 2. PARAMETROS DE LINEAS.

Línea R, pu X, pu G, pu B,pu

1-2 0.05 0.15 2.0 -6.0

1-3 0.10 0.30 1.0 -3.0

2-3 0.15 0.45 0.666 -2.0

2-4 0.10 0.30 1.0 -3.0

3-4 0.05 0.15 2.0 -6.0

No hay que perder de vista que los valores de potencia que se muestran en la Tabla 1,

corresponden a la potencia neta inyectada. Además usaremos un “arranque plano”, es decir

con magnitudes de voltaje igual a 1.0 y ángulos de cero grados.

La matriz YBUS es igual a

0 0 0

0 0

0

3 9 2 6 1 3 02 6 3.666 11 0.666 2 1 31 3 0.666 2 3.666 11 2 6

0 1 3 2 6 3 9

9.49 71.57 6.32 108.43 3.16 108.43 011.59 71.57 2.11 108.42 3.16 108.43

11.59 71.57 6.32 108.

BUS

j j jj j j j

Yj j j j

j j j

− − + − +⎡ ⎤⎢ ⎥− + − − + − +⎢ ⎥=⎢ ⎥− + − + − − +⎢ ⎥− + − + −⎣ ⎦

∠ − ∠ ∠∠− ∠ ∠

=∠− ∠ 0

0

439.49 71.57

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

∠ −⎢ ⎥⎣ ⎦

0


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Primeramente calculamos las potencias inyectadas que nos permitirán, a su vez, calcular los

desajustes de potencia.

( ) ( )( )

22 2 21 1 12 2 1 2 23 3 23 3 2 3 33 33

3 34 4 43 3 4

cos cos cos

cos

calcP V Y V V Y V V Y

V Y V

θ δ δ θ δ δ θ

θ δ δ

= + − + + − +

+ + − =

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 20 0

0

1.04 6.32 cos 108.43 1.04 11.59 cos 71.57 1.04 1.0 2.11 11.59 cos 108.43

1.04 1.0 3.16 cos 108.43 0.07

= ∗ ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗

+ ∗ ∗ =

0 +

( ) ( ) 23 3 31 1 31 1 3 3 32 2 32 2 3 3 33 33cos cos coscalcP V Y V V Y V V Yθ δ δ θ δ δ θ= + − + + − + +

( )3 34 4 34 4 3cosV Y V θ δ δ+ + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 03.16 1.04 cos 108.43 2.11 1.04 cos 108.42 1.04 11.59 cos 71.57= ∗ ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗ −

( ) ( )06.32 cos 108.43 1.04 0.69 3.96 2.23+ ∗ = − − + =

0 +

.

( ) ( ) 24 4 42 2 42 2 4 4 43 3 43 3 4 4 44 44cos cos coscalcP V Y V V Y V V Yθ δ δ θ δ δ θ= + − + + − + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 03.16 1.04 cos 108.43 6.32 cos 108.43 9.49 cos 71.57= ∗ ∗ + ∗ + ∗ − 0 =

1.04 2.0 3.0 0.04= − − + = − .

( ) ( ) 23 3 31 1 31 1 3 3 32 2 32 2 3 3 33 33s scalcQ V Y V en V Y V en V Y enθ δ δ θ δ δ θ= − + − − + − − −s

( )3 34 4 34 4 3sV Y V en θ δ δ− + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 03.16 1.04 s 108.43 2.11 1.04 s 108.42 1.04 11.59 s 71.57en en en 0∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − −= −

( ) ( )06.32 s 108.43 3.12 2.08 11.89 6.0 0.69en− ∗ = − − + − =

( ) ( ) 24 4 42 2 42 2 4 4 43 3 43 3 4 4 44 44s scalcQ V Y V en V Y V en V Y enθ δ δ θ δ δ θ= − + − − + − − =s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 03.16 1.04 s 108.43 6.32 s 108.43 9.49 s 71.57 3.12 6 9 0.en en en= − ∗ ∗ − ∗ − ∗ − = − − + = −


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con lo anterior podemos ahora calcular los desajustes correspondientes.

( )( )

( )

2 2 2

3 3 3

4 4 4

3 3 3

4 4 4

0.5 0.07 0.43

1.0 2.23 3.23

0.3 0.04 0.34

0.5 0.69 0.19

0.1 0.12 0.02

esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

P P P

P P P

P P P

Q Q Q

Q Q Q

Δ = − = − =

Δ = − = − − = −

Δ = − = − − =

Δ = − = − = −

Δ = − = − − − =

Con esto completamos los datos para efectuar la solución de [ ]'P BV

δΔ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= Δ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦,

2

3

4

0.43 0.41 11 2 31.043.23 2 11 6

0.34 3 6 9

δδδ

⎡ ⎤=⎢ ⎥ − − Δ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− = − − Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − Δ⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥⎣ ⎦

⎤⎥⎥⎥⎦

cuya solución es

2

3

4

0.150.520.36

radradrad

δδδ

Δ = −Δ = −Δ = −

La solución del modelo reactivo [''Q ]B VVΔ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= Δ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

resulta

3

4

0.1911 61.0

0.02 6 91.0

VV

−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤Δ−⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ−⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

3 0.03V pΔ = − u

4 0.01V pΔ = − u

de donde obtenemos para la primera iteración ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 0 02 2 2

1 0 03 3 3

1 0 04 4 4

1 0 03 3 3

1 0 04 4 4

0 0.15 0.15

0 0.52 0.52

0 0.36 0.36

1.0 0.03 0.97

1.0 0.01 0.99

rad

rad

rad

V V V p

V V V p

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

= + Δ = + − = −

= + Δ = + − = −

= + Δ = + − = −

= + Δ = + − =

= + Δ = + − =

u

u


Modelado y Operación de Líneas de Transmisión ITM-DIE Con estos valores, procederemos a calcular de nueva cuenta las potencias inyectadas para

poder entonces evaluar, a su vez, los desajustes correspondientes. En este punto se checa

convergencia para saber si ya se está en la solución ó bien, se requiere seguir iterando. El

alumno podrá hacer uso del programa en MATLAB® que se proporciona con el fin de

efectuar las prácticas de simulación, y obtener el resultado final de este ejemplo.

Con el fin de completar la visión completa del algoritmo del método desacoplado rápido,

mostramos un diagrama de flujo de este.

Valores de arranqueV0, δ0, k=0

CALCULAR( ∆P/V)

¿CONVERGE? ¿CONVERGE∆Q?

∆δ=(-B’’)-1(∆P/V)

¿CONVERGE? ¿CONVERGE∆P?

CALCULAR (∆Q/V)

RESULTADOS

∆V=(-B’’)-1(∆Q/V)

k=k+1

SI

NO SI

SI

SI

NO

NO

Valores de arranqueV0, δ0, k=0

CALCULAR( ∆P/V)


∆δ=(-B’’)-1(∆P/V)


CALCULAR (∆Q/V)

RESULTADOS

∆V=(-B’’)-1(∆Q/V)

CALCULAR( ∆P/V)


∆δ=(-B’’)-1(∆P/V)


CALCULAR (∆Q/V)

¿CONVERGE?¿CONVERGE? ¿CONVERGE∆P?

¿CONVERGE∆P?

CALCULAR (∆Q/V)

RESULTADOS

∆V=(-B’’)-1(∆Q/V)∆V=(-B’’)-1(∆Q/V)

k=k+1

SI

NO SI

SI

SI

NO

NO

DIAGRAMA DE FLUJO DE METODO DESACOPLADO RAPIDO.




BIBLIOGRAFIA. [1] O. I. Elgerd. Electric energy systems theory, an introduction. 2nd edition. McGraw

Hill. (1982).

[2] G. W. Stagg, A. H. El-Abiad. Computer methods in power system análisis. McGraw

Hill. (1968).

[3] J. J. Grainger, W. D. Stevenson Jr. Power system analysis. McGraw Hill. (1994)

[4] G. Heydt. Computer analysis methods for power system. Star in a circle publications.

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[5] H. Saadat. Power system analysis. McGraw Hill. (1999)

[6] A. Bergen. Power system analysis. Prentice Hall. (1986).

[7] D. Glover, M. Sarma. Power system analysis and design. 2nd. Edition. PWS. (1994)

[8] Brameller, et al. Spartsity. Pitman Ltd. (1976)

[9] Antonio Gómez-Expósito. Análisis y operación de sistemas de energía eléctrica.

McGraw Hill. (2002).

[10] W. F. Tinney, C. E. Hart. Power flow solution by Newton’s method. IEEE Trans.

PA&S, Vol.86, Nov. 1967.

[11] B. Stott, O. Alsac. Fast decoupled load flow. IEEE Trans. PA&S, Vol. 93, May 1974,

pp. 859-869.



ANALISIS

DE

FALLAS

EN

SISTEMAS ELECTRICOS



3.ANALISIS DE FALLAS EN SISTEMAS DE POTENCIA.

3.1. INTRODUCCION. Aunque los sistemas sean diseñados tomando en cuenta las normas para tal efecto,

un sistema 100% infalible es imposible de diseñar y construir, pues además de la

imposibilidad natural para obtener un producto perfecto, tampoco es adecuado hacerlo,

desde el punto de vista económico, por lo que cualquier sistema eléctrico está expuesto a

las contingencias asociadas con las fallas en su operación. Además el envejecimiento

natural de los componentes de dichos sistemas, es una de las causas naturales de la

presencia de fallas en los sistemas. Por orto lado existen fenómenos de carácter aleatorio y

debido a la naturaleza, que también son causa muy frecuente de dichos problemas.

3.1.1. APLICACIONES DEL PROBLEMA DE FALLAS.

Debido a lo mencionado en el párrafo anterior, es obvio pensar que la única forma

de enfrentar dichos fenómenos, es a través de sistemas de protección. Esta última es una de

las aplicaciones principales del análisis de fallas. El sistema de protección lo forman una

parte, que podríamos decir es la parte “inteligente” del sistema de protección, y que está

compuesta por todos los instrumentos de transformación, TP’s y TC’s por ejemplo, y

además por los instrumentos de medición y, por supuesto por los relés de protección, que

son los instrumentos principales de este conjunto de componentes. Sin embargo esta parte

es la encargada de enviar las ordenes pertinentes al sistema que actuará para liberar la falla;

esta otra parte, la parte actuante por decirlo de alguna manera, la conforman otro conjunto

de elementos, de los cuales el más importante es el interruptor de potencia.

El análisis de fallas proporciona la cuantificación de ajustes y capacidades

requeridas por el sistema de protección, para hacer su trabajo en forma correcta. En el caso

de los relés ó relevadores, como prefieren algunos nombrarlos, se requiere ajustarlos a los

valores en que deben operar, con el fin de que no operen en situaciones en que no lo deben

hacer; lo anterior está asociado con lo que se denomina coordinación de protecciones, que

consiste en la determinación de los ajustes precisos de los relevadores, con el fin de que

estos operen aislando la parte justamente necesaria para eliminar la falla, y evitar de esta


manera el dejar sin servicio de manera innecesaria partes del sistema. Por otro lado existe

la necesidad de determinar la capacidad de los interruptores. Esto último es importante

hacerlo en función de obtener una operación de éstos correcta, pues de no poseer la

capacidad necesaria el efecto puede ser catastrófico e implicar pérdidas materiales y

humanas.

Ambas tareas arriba mencionadas requieren de un conocimiento preciso de los

valores asociados con las fallas, que pueden ocurrir en le sistema, dichos valores son

obtenidos a través un estudio de fallas del sistema.

Existen más aplicaciones del análisis de fallas, pero con el objeto de no hacer

voluminoso de manera innecesaria este material, exponemos únicamente el caso de

protección de los sistemas eléctricos, que es, sino la más importante, una de las

aplicaciones más importantes de dicho estudio.

3.1.2. FALLA TRIFASICA.

Los estudios de falla son estudios efectuados en el sistema de potencia, en

los cuales los niveles de corriente de falla, capacidad de corto circuito (producto del voltaje

de prefalla por la corriente de falla) y los voltajes de postfalla, son calculados.

El fenómeno asociado con la ocurrencia de una falla, es sin duda uno de

carácter dinámico. Sin embargo, debido a las variables de interés y a que se requieren

efectuar una gran cantidad de análisis de fallas, este fenómeno se analiza en régimen

permanente ó estado estable senoidal.


+

La formulación del análisis de fallas en estado estable senoidal, se

comprende si analizamos el comportamiento de la principal fuente de la corriente de corto

circuito en el sistema de potencia, el generador síncrono. Como una primera aproximación

pensemos en un modelo simple del generador síncrono, consistente en una fuente de voltaje

de valor e(t) , en serie con los parámetros R y L. El ángulo α determina

el punto en la onda de voltaje en el cual ocurre la falla. Lo anterior se muestra en la figura

3.1.

E sen( t )max= ω α


Figura 3.1. Respuesta de circuito RL debido a excitación senoidal.

Planteando la ecuación del circuito de la figura anterior, obtenemos la

ecuación diferencial

Ldidt

Ri E sen( t )max+ = +ω α

La solución de la ecuación anterior es

i(t)E

Zsen( t ) sen( )emax

RL

t= + − − −

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥−

ω α θ α θ .

Esta ecuación está formada por dos términos: uno de carácter unidireccional

y que se denomina componente transitoria de CD; el otro constituye la respuesta en estado

estable, y es el término que queda después de transcurrido suficiente tiempo, que garantice

que la componente unidireccional se ha desvanecido. Es importante notar que la

componente corriente transitoria dependerá en un alto grado del ángulo α de la onda de

voltaje en t = 0.

El término transitorio de CD ó componente unidireccional siempre existirá

en general. El valor más crítico de la corriente de corto circuito, estará asociada con un

valor del argumento del término senoidal de esta componente unidireccional igual a

(α−θ)=−π/2. El caso contrario, es decir aquel en el que dicha componente unidireccional

no existe, está asociado con el hecho de que α=θ en t = 0 (1).

El modelo simple usado arriba adolece de la consideración de que L es

constante, lo cual no es cierto en el generador. La siguiente figura muestra un oscilograma



de la corriente en una fase del generador síncrono bajo corto circuito, en el cual se ha

eliminado la componente unidireccional haciendo α=θ para dicha fase.

Figura 3.2. Corriente de corto circuito.

De la figura anterior vemos claramente que el comportamiento del

generador muestra un alto valor de corriente, que tiende a disminuir como se muestra.

Claramente se pueden distinguir tres periodos. Uno asociado con el valor más grande de

corriente I" y que se denomina periodo transitorio. El segundo periodo está asociado con

la corriente I' y se denomina periodo transitorio. El tercer periodo está asociado con la

corriente I, y se denomina periodo en estado estable. Además las corrientes asociadas con

estos periodos se denominan corriente subtransitoria, transitoria y de estado estable,

existiendo sendas reactancias asociadas con estas corrientes y que se denominan: xd" , xd' ,

xd y cuyos nombres son reactancia subtransitoria, transitoria y de estado estable,

respectivamente. Si Emax es el voltaje en vacío de línea a neutro de la máquina, cuyo eficaz

(ó rms) será llamado Eg , entonces:

x "EI"d

max

max=

x'EI'd

max

max=

xEId

max

max=




d Es obvio que x" x' xd d< < . Los valores de las corrientes subtransitoria,

transitoria y de estado estable se definen I"Ex"

g

d= , I'

Ex'

g

d = , I

Ex

g

d = .

ANALISIS DE CORTO CIRCUITO SIMETRICO.

Para introducirnos en el tema, supongamos que ocurre una falla trifásica a

tierra en el bus 3 del sistema de potencia mostrado.

Figura 3.3. Sistema de potencia.

La falla puede simularse mediante el cierre del interruptor mostrado en el

circuito equivalente por fase que se muestra

Figura 3.4. Circuito equivalente para falla en bus 3.

En la medida en que el interruptor s permanezca abierto, las condiciones normales de

operación prevalecen, y un voltaje de pre-falla V aparece a través del interruptor. 30


El cierre del interruptor trae consigo cambios en corrientes y voltajes en el sistema

que pueden ser evaluados usando el teorema de Thévenin. La aplicación de dicho teorema

nos conduce al circuito que se muestra a continuación

Figura 3.5. Circuito resultante de aplicar superposición.

En el circuito equivalente anterior, las fuentes de voltaje E1 y E2 se han

cortocircuitado y la red se energiza mediante un voltaje equivalente conectado entre el bus

3 y referencia, V30 , el cual representa el voltaje en circuito abierto visto desde dicho bus y

referencia y al cual se denomina voltaje de prefalla. Los cambios de corriente y voltajes

pueden ser calculados.

Los valores de corrientes y voltajes durante la condición de postfalla, se

pueden obtener superponiendo los cambios de corrientes y voltajes mencionados arriba,

con los valores de prefalla. Esto en forma de ecuación puede escribirse como:

V V V0= + Δ (3.13)

Donde

V

VVVV

1

2

3

4

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

, V

VVVV

0

10

20

30

40

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

, Δ

ΔΔΔΔ

V

VVVV

1

2

3

4

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

.

El superíndice 0 indica valores de prefalla.



Es obvio que los cambios de voltaje de bus han ocurrido debido a la

inyección de corriente de falla I3 en el bus 3. Podemos definir por tanto, el vector de

corrientes de falla de la siguiente forma

I

00I03

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

.

De lo anterior se tiene que

V ZIΔ = (3.14)

donde Z es la matriz de impedancias de bus (ó nodal), que se obtendrá más adelante. Se

puede adelantar que los elementos diagonales de Z representan las denominadas

impedancias de punto impulsor ( driving point ) en circuito abierto, y que representan las

impedancias equivalentes de Thévenin de cada bus; mientras que los elementos fuera de la

diagonal representan los equivalentes vistos entre los nodos asociados con su posición y se

denominan impedancias de transferencia en circuito abierto. Por lo tanto la corriente de

falla causa los siguientes cambios en los voltajes de bus:

ΔΔΔΔ

V Z IV Z IV Z IV Z I

1 31

2 32

3 33

4 34

3

3

3

3

====

Si la falla es sólida, esto es, no existe impedancia en la trayectoria de falla,

entonces V y esto significa que V0 V3 = 30

3= −Δ , es decir, V Z I30

33 3 = − de donde

tenemos que

IVZ

330

33= − (3.15a)



En caso de existir una impedancia de falla zf, entonces

IV

Z z 3

30

33 f= −

+. (3.15b)

Conociendo I3 se puede resolver la ecuación (3.1), que nos proporciona los

valores de postfalla de los voltajes de bus. De aquí las corrientes de postfalla a través de

líneas ó transformadores pueden determinarse.

Para el caso de 4 buses que hemos usado para ejemplificar, podemos

generalizar para n buses, considerando que la falla ha ocurrido en el bus q.

Para falla sólida

IVZq

q0

qq= −

V 0q = (3.16a)

V V Z Ii i iq q= + i q≠

para falla a través de zf :

IV

Z zqq0

qq f= −

+

V z Iq f f= (3.16b)

V V Z Ii i0

iq q= + i q≠

Las corrientes de postfalla a través de líneas ó transformadores conectados entre los

buses i y j es dada por

IV V

ziji j

ij=

− (3.17)

donde zij es la impedancia del transformador.



CAPACIDAD DE CORTO CIRCUITO. La capacidad de corto circuito de un bus ( también llamada nivel de falla)

CCC , se define como el producto de las magnitudes del voltaje de prefalla y la corriente de

falla. Si el voltaje y la corriente se expresan en pu, la CCC también estará dada en pu. La

CCC tiene su valor más alto en el caso de la falla trifásica simétrica. Tiene los siguientes

usos:

1. Proporciona cuantitativamente los esfuerzos a los cuales estará sujeto un interruptor y

que posteriormente deberá interrumpir. Un interruptor no solo deberá interrumpir la

corriente de falla, sino también desarrollar suficiente rigidez de aislamiento para soportar el

voltaje de recuperación, que se desarrolla a través de los polos del interruptor durante su

separación. Lo anterior implica que el interruptor deberá interrumpir la corriente de falla y

también soportar el voltaje de sistema completo a través de sus contactos separados, y el

producto de estas dos cantidades es obviamente la CCC en el punto de localización del

interruptor. La CCC debida a falla trifásica simétrica, proporciona ( los datos nominales) la

capacidad del interruptor.

2. En el análisis de los sistemas: corto circuito, flujos de carga, estabilidad , etc., puede no

ser necesario representar detalladamente una porción del sistema, p.ej. un área remota al

punto de interés. Como por definición

CCC V I0f= (3.18)

la CCC será numéricamente igual a la corriente de falla, si V0 se supone de 1 pu. De la

ecuación (4a), si V pu , q0 1=

Z1

CCC qq = (3.19)

Lo anterior implica que el reciproco de la CCC de un bus, nos proporciona

la impedancia equivalente de Thévenin de ese bus.

Figura 3.6. Capacidad de corto circuito de un bus.



COMPONENTES SIMETRICAS

La transformación de componentes simétricas fue planteada por primera vez

por Fortescue a principios del presente siglo. En su planteamiento original Fortescue no

recurrió a las ideas del álgebra lineal, a las cuales nosotros recurriremos más adelante.

Estos principios matemáticos son el fundamento no solo de las componentes simétricas,

sino de todas las transformaciones conocidas.

Consideremos una red trifásica balanceada con matrices de impedancia y

admitancia Zbus y Ybus. Estas matrices tienen n columnas y renglones. Si cada elemento de

esas matrices, Yij por ejemplo, se examina en detalle, el bus y puede ser reconocido como

un circuito de tres nodos correspondiente a las tres fases. De manera similar, el bus j puede

ser referido como un circuito de tres nodos. De esta forma Yij , un elemento de Ybus, puede

ser referido como una submatriz de 3x3, Yij3φ , correspondiente a la matriz (3nx3n), Ybus

3φ .

Para una red de transmisión balanceada, cada submatriz de Ybus3φ y Zbus

3φ es de la forma

Ds m mm s mm m s

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Los valores característicos de esta matriz D se pueden encontrar de

det( )D I− =λ 0 (3.20)

La ecuación anterior conduce a la denominada ecuación característica de D y se puede

encontrar que es un polinomio cúbico de la forma

− + + − + + − + =λ λ λ3 2 2 2 3 2 33 2 2 2s s m s m s m( ) 0

Las raíces de este polinomio son

λ = s – m

λ = s - m (3.21)

λ = s +2 m

Estas raíces son los valores característicos de D y se denominan los valores característicos

de secuencia positiva , negativa y cero, respectivamente. Los correspondientes vectores



característicos de D pueden encontrarse sustituyendo (3.21) en (3.20) y resolviendo los

sistemas de ecuaciones resultantes

( ) || ||D I e e− = ≠+ + +λ 0 0 (3.22)

( ) || ||D I e e− = ≠− − −λ 0 0 (3.23)

( ) || ||D I e− = e ≠λ0 0 00 0 (3.24)

El conjunto de vectores característicos ortonormal complejo, no es único y

depende de la selección de ciertos elementos de los vectores característicos. Una selección

común, y que corresponde a la transformación de componentes simétricas, es

e e e+ −=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

13

113

113

111

2

20α

αα

α

donde α = 1 1200

e j .

En realidad al resolver (3.10), (3.11) y (3.12) obtenemos como

resultado las condiciones

eeee

eeee

+

+

+

+

−

−

−

−

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

2

3

1

2

3

e e e e e e+ + + − − −+ + = + + =1 2 3 1 2 30 0

y para

eeee

kkk

0

01

02

03

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ donde k es cualquier constante.

Lo anterior significa que existen un número infinito de vectores

característicos como solución de (3.22),(3.23) y (3.24); la motivación detrás de la elección

de los valores característicos mostrados, está basada en observaciones físicas. Cuando los

vectores característicos e+ , e- y e0 conforman las columnas de una matriz la ( )M e e e= +0 0| |



matriz M se denomina matriz modal de D , y tiene la propiedad de que diagonaliza D en la

transformación de semejanza

( )M DM diag−+ −= =1

0Λ λ λ λ, ,

Una consecuencia de la ortnormalidad de los vectores característicos es

M MH = −1

MH es la operación Hermitiana sobre una matriz, conocida como transposición compleja

conjugada, y se define como

( ) ( )M MHij ji= * .

Cuando M tiene elementos reales, MH es equivalente a la transposición, Mt. Una matriz

para la cual MH = M-1 se llama unitaria. Si MH = M, entonces M es una matriz hermitiana.

Si D es la submatriz de (3x3), Yij3φ , la ecuación

I Yij= 3φ V'

se desacopla mediante V MV= '

I MI= '

sustituyendo obtendremos

MI Yij'= 3φ MV'

lo cual nos conduce a

I M Yij' [= −1 3φ M]V'

I Vij' '= Λ

donde

( )Λ ij ij ij ijdiag= + −λ λ λ0 , ,



Es importante hacer notar que de acuerdo al desarrollo anterior, podemos

ver que la transformación de componentes simétricas no es la única transformación que

existe. De hecho existen varias transformaciones como la Clarke, Karrenbauer, etc. Sin

embargo, la transformación de componentes simétricas es muy popular en el ámbito de los

sistemas de potencia, lo cual es explicable en parte por razones históricas y en parte por la

interpretación física de los vectores V' e I'. Las ideas explicadas se aplican a los vectores

Vbus e Ibus completos. De hecho usando la transformación de componentes simétricas, la

ecuación

I Y Vbus3f

bus3f

bus3f=

se convierte en

I T Y TVbus012 1

bus3f

bus012= −

donde

T

M 0 0 . . . 00 M 0 . . . 00 0 M . . . 0. . . . . . .0 0 0 . . . M

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

y

MI Ibus012

bus3f=

MV Vbus012

bus3f=

En otras palabras, cada tripleta de I b u s3 f y V b u s

3 f se transforma usando la

transformación de componentes simétricas. El coeficiente resultante de V b u s0 1 2 en la ecuación

de arriba es

Y T Y Tdiag(l l , l ) diag(l , l , l ) . . .diag(l , l , l ) diag(l , l , l ) . . .

. . . . .bus012 1

bus3f

011, 11 11 012 12 12

021 21 21 022 22 22)= =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−+ − + −

+ − + −



Cada bloque de 3x3 de Ybus3f ha sido diagonalizado. Es decir, el renglón 1 en (14)

está acoplado solamente a los renglones 4,7,10,etc. , mientras que el renglón 2 está

acoplado únicamente a los renglones 5,8,11,etc. Si extraemos los renglones 1,4,7,10,etc.

obtenemos la relación para secuencia positiva

I Y Vbus bus bus+ + +=

De manera similar

I Y Vbus bus bus− − −=

I Y Vbus0

bus0

bus0=

Las ecuaciones anteriores representan tres redes desacopladas entre sí. La

transformación de componentes simétricas será

M13

1 1 11 a a1 a a

2

2

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Dado que el orden de las tres fases no tiene que ser 0,1,2 como es el caso

anterior, podemos obtener otras transformaciones, asociadas con otros tantos

ordenamientos distintos a los mostrados arriba, p.ej., 1,2 0 (+,-,0). Sin embargo, el

resultado que obtenemos es el mismo independientemente de la transformación usada.

Es muy importante notar que M no necesita ser ortonormal, esto es, el vector

característico D no necesita estar normalizado. Lo anterior significa que cM diagonaliza a

D, si M también la diagonaliza. Aquí c es una constante no cero y compleja en general.

Lo anterior explica el hecho de que la transformación usada aquí, difiere de

la comúnmente usada en la literatura. La diferencia consiste en que M no tiene como factor

el escalar 13

y el factor de M-1 es 13

, esto a diferencia de que en nuestro caso, tanto M

como M-1, tienen el factor 13

. A la transformación usada aquí se le conoce como

invariante en la potencia.



En resumen, la transformación invariante en la potencia será

M13

1 1 11 a a1 a a

M13

1 1 11 a a1 a a

2

2

1 2

2

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

Asociada a cada conjunto de componentes de secuencia, existen redes

formadas por impedancias presentadas al flujo de corriente de secuencia positiva, negativa,

y cero, respectivamente, por cada elemento del sistema. El concepto de impedancia de

secuencia de fase no es difícil de visualizar, pues simplemente representa la razón del

voltaje de la secuencia correspondiente, a la corriente de la misma secuencia en la red

correspondiente.

3.2.FORMACION DE ZBUS POR ALGORITMO. Existen diversas maneras de obtener la matriz Zbus , alternativas por

supuesto a la inversión matricial convencional de Ybus , lo cual es insuficiente para sistemas

de tamaño medio y grandes. Un algoritmo muy conocido en la literatura es el que se

presenta enseguida.

La idea general de este método consiste en construir la red paso a paso, ó sea

agregando un elemento de ésta a la vez, y reflejando este hecho a través de la modificación

correspondiente a la matriz Zbus de la red antes de agregar dicho elemento. De acuerdo con

esto, agregar un elemento a la red parcial conduce a las siguientes posibles situaciones:

1. Agregar un elemento de impedancia zb conectado entre un bus nuevo y referencia.

2. Agregar un elemento de impedancia zb conectado entre un bus nuevo y bus viejo.

3. Agregar un elemento de impedancia zb conectado entre un bus viejo y referencia.

4. Agregar un elemento de impedancia zb conectado entre dos buses viejos.

5. Agregar un elemento de impedancia zb conectado entre dos buses nuevos.

El término "nuevo" significa un bus que no existía previamente en la red,

mientras que el término "viejo" se refiere a un bus que ya existía previamente.



La situación descrita en le punto 5 de arriba es indeseable, pues conduce a la

formación de islas y por tanto se puede prevenir que no ocurra.

Analizaremos la modificación tipo 1. En este caso la matriz Zbus aumentará

de tamaño debido a la anexión de un nuevo nodo, el nodo k. Con este caso debe iniciarse el

procedimiento de formación de la Zbus , pues el eje matricial (renglón y columna)

correspondiente al nodo de referencia es nulo y por lo tanto no se almacena. La siguiente

figura muestra la red parcial al momento de agregar el nuevo elemento. Aquí el nuevo bus

se designa como k

Figura 3.6. Caso 1.

Si inyectamos una corriente , Ik , al nodo k con los demás nodos en circuito abierto

tendremos, recordando el método de prueba en circuito abierto, V z Ik b k= , de donde por

definición obtenemos ZVI

zkkk

kb= = .

Además para los demás nodos V Z Ii ik k= i =1,2,....,n i≠k. Como Vi =0 entonces

tenemos Z Z . ik ki= = 0

Lo anterior se puede resumir generando la nueva matriz Zbus que refleje el cambio

correspondiente

ZZ

z

busbus vieja

b

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

0

00 0

.

.

.

. . .

( ) (3.24).



Para el caso 2, adición de un elemento con impedancia zb conectado entre un nodo

viejo (j) y nodo nuevo (k), recurrimos al diagrama siguiente

Figura 3.7. Caso 2.

Aquí el orden de la Zbus también aumentará debido al bus k. Si aplicamos LVK a la

trayectoria compuesta por los buses j y k, obtenemos V jz I Vk b k + , =

pero . ( )V Z I Z I Z I I Z Ij j j jj j k jn= + + + + + +1 1 2 2 ... ... n

Sustituyendo, tenemos

( )V z I Z I Z I Z I I Z Ik b k j j jj j k jn= + + + + + + +1 1 2 2 ... ... n .

Factorizando llegamos a

( )V Z I Z I Z I Z I Z z Ik j j jj j jn n jj b= + + + + + + +1 1 2 2 ... ... k

n

k

.

Debido a que la corriente inyectada al bus j ha cambiado, de Ij a (Ij +Ik ), como efecto de la

adición de zb , entonces las ecuaciones de los voltajes nodales deben modificarse en

correspondencia. La ecuación siguiente, para el voltaje en el bus l , corresponde al caso

general para l = 1,2,...,n y l ≠ k ,

( )V Z I Z I Z I I Z Il l l lj j k= + + + + + +1 1 2 2 .... .... ln

y factorizando

V Z I Z I Z I Z I Z Il l l lj j n lj= + + + + + +1 1 2 2 .... .... ln ,

por lo que considerando lo anterior, la Zbus se modifica como se indica



( )

Z

ZZ

Z

Z

Z Z Z Z z

bus

j

j

bus vieja

nj

j j jn jj b

=

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1

2

1 2

( ) ...

. . . )

(3.25).

Es decir, en este caso se agrega una columna, la cual es igual a la j-ésima columna; el

elemento diagonal será igual a Z zjj b+ .

El tercer caso es la adición de una rama de impedancia zb conectada entre

bus viejo y referencia. En este caso trabajaremos como si fuera el caso con k , el bus

conectado a referencia, como se indica en la figura siguiente

Figura 3.8. Caso 3.

Es obvio que Vk=0 en este caso, y entonces las ecuaciones del caso anterior se aplican a

este caso, tomando en cuenta dicho cambio

VV

V

Z

Z

ZZ Z Z

I

II

n

j

bus vieja

nj

j jn

n

k

1

2

1

1

1

0

.

.

.

.

.

.

.

. . . .

.

.

.

.

( )

zjj b

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(3.26)



Aplicamos reducción de Kron para eliminar el último eje de la matriz, quedando ésta del

mismo orden que tenía antes de agregar zb, pues no se está agregando ningún nodo nuevo.

Eliminando Ik tenemos

(Z ZZ z

Z

Z

Z Zbus bus viejajj b

j

nj

j= −+

)jn

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

( )

.

.

.. . .

1

1

1 (3.27).

El cuarto tipo de modificación que se ha de obtener, corresponde a la

adición de una rama de impedancia zb conectada entre dos buses viejos, es decir, entre dos

buses ya existentes previamente. Consideremos la figura siguiente como referencia, en la

que se muestra zb conectada entre los buses i y j.

Figura 3.8. Caso 4.

El efecto de la adición de zb será modificar las inyecciones a los buses i y j. El voltaje del

bus 1 será ahora

( ) ( )V Z I Z I Z I I Z I I Z Ii i k j j k n n1 11 1 12 2 1 1 1= + + + + + − + +... ... .

Factorizando esta última ecuación tendremos

( )V Z I Z I Z I Z I Z I Z Z Ii i j j n n i j k1 11 1 12 2 1 1 1 1 1= + + + + + + + −... ... .

Se pueden escribir ecuaciones similares para todos los puertos. Para los demás buses

tenemos

( ) ( )V Z I Z I Z I I Z I I Z Ii i k j j k n n2 21 1 22 2 2 2 2= + + + + + − + +... ...



de donde factorizando tenemos

( )V Z I Z I Z I Z I Z I Z Z Ii i j j n n i j k2 21 1 22 2 2 2 2 2 2= + + + + + + + −... ...

de la misma manera tendremos

( )V Z I Z I Z I Z I Z I Z Z Ii i i ii i ij j in n ii ij k= + + + + + + + −1 1 2 2 ... ...

( )V Z I Z I Z I Z I Z I Z Z Ij j j ji i jj j jn n ji jj k= + + + + + + + −1 1 2 2 ... ...

.

.

.

( )V Z I Z I Z I Z I Z I Z Z In n n ni i nj j nn n ni nj k= + + + + + + + −1 1 2 2 ... ...

Para los nodos i y j podemos obtener por LVK iV z I Vj b k= + , donde sustituyendo

las expresiones para Vi y Vj tendremos

Z I Z I I Z I I Z I z I Z I Z I I Z I I Z Ij ji i k jj j k jn n b k i ii i k ij j k in n1 1 1 1+ + + + − + + = + + + + + − + +.... ( ) ( ) ... ... ( ) ( ) ... Factorizando obtendremos

0 1 1 1= − + + − + − + + + + − −( ) .... ( ) ( ) ... ( )Z Z I Z Z I Z Z I z Z Z Z Z Ii j ii ji i ij jj j b ii jj ij ji k .

Escribiendo las n+1 ecuaciones nodales Vbus = Zbus Ibus en forma matricial

VV

V

Z ZZ Z

Z

Z Z z Z Z Z

II

II

n

i j

i j

bus vieja

i j b iii jj ij

n

k

1

2

1 1

2 2

1 1

1

2

0 2

.

.

.

( )( )

.

.

.

.( ) . . . . . ( )

.

.

.

( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

−−

− + + −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(3.28)

Eliminando Ik por reducción de Kron obtenemos finalmente

( )Z Zz Z Z Z

Z Z

Z Z

Z Z Z Zbus bus viejab ii jj ij

i j

ni nj

i j in jn= −+ + −

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

− −( )

.

.

.( ) . . . (

12

1 1

1 1 ) (3.29).



3.2.1. INCLUSION DE ELEMENTOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS.

En todos los casos previamente discutidos existe el hecho común de que no

hay acoplamientos mutuos entre los elementos de la red. En un sistema de potencia pueden

existir elementos magnéticamente acoplados. Este acoplamiento aparece con mucha

frecuencia en los sistemas de transmisión, donde es común encontrar líneas de transmisión

que comparten el mismo derecho de vía, es decir, ó bien líneas de circuito doble ó líneas

que corren total ó parcialmente muy cercanas entre sí. El efecto de acoplamiento en estos

casos es muy débil en las redes de secuencia positiva y negativa; sin embargo en secuencia

cero es muy notorio, por lo que en aquellos casos se desprecia, no así en este último, es

decir a secuencia cero. Por esta razón es importante incluir el caso de agregar una rama a la

red, que está magnéticamente acoplada con otra.

Consideremos dos ramas cuyas impedancias propias son zA y zB , las cuales

tienen además una impedancia mutua z

B

m.

Los buses entre los cuales se conectan dichas ramas son j , k , l y m, como se muestra en la

siguiente figura

Figura 3.9. Inclusión de elementos magnéticamente acoplados.

El voltaje nodal para cualquier bus i de la red está dado por

V Z I Z I Z I I Z I I Z I I Z I I Z Ii i i ij j A ik k A il l B im m B in= + + + − + n+ + − + + + +1 1 2 2 ... ( ) ( ) ( ) ( ) ...



Factorizando tendremos

V Z I Z I Z I Z I Z I Z I Z I Z Z I Z Z Ii i i ij j ik k il l im m in n ik ij A im il B= + + + + + + + + + − + −1 1 2 2 ... ... ( ) ( ) (3.30)

Por otro lado si aplicamos LVK a la trayectoria cerrada entre los nodos j y k V z I z I Vj A A m B= + + k

sustituyendo (3.30) en esta última ecuación (para i=j e i=k) Z I Z I Z Z I Z Z I z I z I Z I Z I Z Z I Z Z Ij jn n jk jj A jm jl B A A B B k kn n kk kj A km kl B1 1 1 1+ + + − + − = + + + + + − + −... ( ) ( ) ... ( ) ( )

Factorizando llegamos a

0 21 1 1= − + + − + + + − + + + − −( ) ... ( ) ( ) ( )Z Z I Z Z I z Z Z Z I z Z Z Z Z Ik j kn jn n A jj kk jk A m jl km jm kl B.

De igual forma para los nodos l y m

V z I z I Vl B B m A= + + m.

Nuevamente sustituimos (1) con i=l e i=m Z I Z I Z Z I Z Z I z I z I Z I Z I Z Z I Z Z Il n lk lj A lm ll B B B m A m mn n mk mj A mm ml B1 1 1 1+ + + − + − = + + + + + − + −... ( ) ( ) ... ( ) ( )ln

Factorizando esta última ecuación tendremos 0 21 1 1= − + + − + + + − − + + + −( ) ... ( ) ( ) ( )lnZ Z I Z Z I z Z Z Z Z I z Z Z Z Im l mn n m ij mk lk mj A B ll mm lm B

Si recolectamos las ecuaciones, dadas por (3.30), así como las dos últimas ecuaciones

igualadas a cero, en forma matricial obtenemos

V...

V00

. .

. .Z (Z Z ) (Z Z )

. .

. .. . (Z Z ) . . (z Z Z 2Z ) (z Z Z Z Z ). . (Z Z ) . . (z Z Z Z Z ) (z Z Z 2Z )

.

I...III

1

n

bus(vieja) ik ij im il

ki ji A jj kk jk m jl km jm kl

mi li m ij mk lk mj B ll mm lm

1

n

A

B

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

− −

− + + − + + − −− + + − − + + −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(3.31)

Lo anterior puede reducirse usando la reducción de Kron. Definamos la partición arriba

marcada como

ZZ Z

Z Zbusbus vieja AB

BA BB=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

( ) (3.32)



entonces

Z Z Z Z Zbus bus vieja AB BB BA= − −( )

1 (3.33).

3.2.3. ALGORITMO DE HOMER BROWN [5]. Para casos de sistemas de potencia pequeños, la secuencia en que se debe

construir la red para la obtención de Zbus por algoritmo, es fácil de determinar por simple

inspección. Sin embargo, en sistemas reales, de tamaño moderado en adelante, lo anterior

no es posible prácticamente. Además es importante notar que el costo computacional de la

obtención de Zbus , depende de la secuencia en que se construya la red. Recuerde que en el

caso de cerrar trayectoria, cuando se agrega una rama entre nodos ya existentes, se debe

formar una matriz que al restarse de la Zbus(vieja), nos proporciona la Zbus correspondiente al

evento de agregar dicha rama. Obviamente que mientras más se tarde en completar

trayectorias cerradas, la matriz antes mencionada será de mayor orden y por tanto se

requerirán más operaciones para generarla. Por lo tanto un criterio de optimalidad para

llevar a cabo la formación de la red, será el de cerrar trayectorias lo antes posible. Se han

hecho intentos de desarrollar algoritmos que se acerquen a la optimalidad mencionada; sin

embargo la lógica de estos algoritmos es complicada y este hecho hace poco ventajoso su

uso , comparado con el ahorro de recursos computacionales. H E Brown desarrolló un

algoritmo sencillo, que produce buenos resultados. A continuación se discute dicho

algoritmo.

El algoritmo hace uso de tres arreglos fundamentalmente: un arreglo que

contiene la lista de las líneas desordenada, LID, en un formato en el que se indican dos

códigos que corresponden a los nodos a los que están conectadas dichas líneas; otro arreglo

que contiene la lista de buses del sistema, LBS , y que inicialmente está vacío; y

finalmente, otro arreglo que terminará conteniendo la lista de líneas ordenadas, LLO. En

las páginas anexas se presenta el diagrama de flujo correspondiente al algorítmo

mencionado.

Con el objeto de ejemplificar el algorítmo descrito, usamos el sistema de

potencia que se muestra a continuación considerando que el bus 1 se designa como



referencia. No se muestran los parámetros de las líneas debido a que obviamente es

información irrelevante en este caso.

Figura 3.10. Sistema de potencia del ejemplo.

Los datos de los elementos del sistema están dados en la siguiente tabla:

Nodo p-Nodo q

1-2

4-5

2-3

1-5

3-5

3-4

Los datos proporcionados forman el arreglo LLD

LLD

1-2

4-5

2-3

1-5

3-5

3-4



Los arreglos restantes resultan como se muestra

LBS

2

3

5

4

LLO

1-2

2-3

1-5

3-5

4-5

3-4

A continuación se muestra el sistema, con la secuencia en que se agregan los elementos, de

acuerdo con LLO , mostrada con el número entre paréntesis.

Figura 3.11. Resultados del ordenamiento.



3.2.4.ALGORITMO DE LA ZBUS DISPERSA[6].

Si se toma en cuenta que únicamente se requieren los elementos de la Zbus asociados

con elementos existentes en la red, es enormemente ventajoso poder obtener de manera

selectiva dichos elementos, ahorrando memoria y tiempo con esto. El algoritmo

denominado Zbus dispersa, obtiene únicamente dichos elementos, partiendo de explotar la

dispersidad de la matriz Ybus y de utillizar la formulación que a continuación se menciona.

Partimos de la expresión matricial

[ ][ ] [ ]Y Z I= (3.34)

donde [Y] es la matriz Ybus de la red

[Z] " " " Zbus "

[I] " identidad .

Si factorizamos [Y]=[L] [D] [L]T entonces sustituyendo en (3.34), obtenemos

[L] [D] [L]T[Z] = [I] .

Si premultiplicamos por [L] [D]-1 = [D]-1 [L]-1 obtenemos

[L]T [Z] =[D]-1 [L]-1 [I] (3.35).

Definimos además

[W] = [D]-1 [L]-1 (3.36)

sustituyendo en (2):

[L]T [Z] =[W] (3.37).

La matriz [W] es muy importante y solamente se requieren los términos

diagonales, que además, dado que [L] es matriz inferior con diagonal unitaria, [L]-1 lo es

también; además [D]-1 es una matriz diagonal y por tanto, [W] es una matriz triangular

inferior cuyos elementos diagonales Wii son igual a (1/dii ) , i=1,...,n. Por lo tanto para

resolver [W] únicamente es necesario resolver la inversa de [D]!, lo cual es simple pues

recordemos que [D] es diagonal.



Por otro lado, se define otra importante matriz de esta formulación

[T] = - [L]T + [I]

de donde obtenemos

[L]T = [I] - [T]

y finalmente sustituyendo en (3.37):

( [I] - [T] )[Z] = [W]

ó bien

[Z] - [T] [Z] = [W]

de donde

[Z] = [T] [Z] + [W] (3.38).

Es fundamental observar que la matriz [T] , denominada matriz de conexión

ponderada por los autores de este método, contiene la información de los elementos

requeridos en la formulación , es decir que como puede verse del ejemplo siguiente, los

elementos tij de esta matriz son cero precisamente correspondiendo a los elementos no

existentes en la red. Entonces guiados por la estructura de [T], se calcularán los elementos

de Zbus correspondientes a los elementos existentes en la red, más los términos producidos

por llenado en el proceso de factorización.

La ecuación (3.38) se debe resolver en forma regresiva (hacia atrás), como

puede verse en el caso de orden 5: [Z] = [T] [Z] + [W]

Z Z Z Z ZZ Z Z Z

Z Z ZZ Z

Z

t t t tt t t

t tt

Z Z Z Z ZZ Z Z Z

Z Z ZZ Z

Z

ww ww w ww w w ww w w w w

11 12 13 14 15

22 23 24 25

33 34 35

44 45

55

12 13 14 15

23 24 25

34 35

45

11 12 13 14 15

22 23 24 25

33 34 35

44 45

55

11

21 22

31 32 33

41 42 43 44

51 52 53 54 55

00

00

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

Z55 = w55

Z45 = t45 Z55

Z44 = w44 + t45 Z54

Z35 = t35 Z55 + t34 Z45



Z34 = t35 Z54 + t34 Z44

Z33 = w33 + t35 Z53 + t34 Z43

Z25 = t25 Z55 + t24 Z45 + t23 Z35

Z24 = t25 Z54 + t24 Z44 + t23 Z34

Z23 = t25Z53 + t24 Z43 + t23 Z33

Z22 = w22 + t25 Z52 + t24 Z42 + t23 Z32 (3.39)

Z15 = t15 Z55 + t14 Z45 + t13 Z35 + t12 Z25

Z14 = t15 Z54 + t14 Z44 + t13 Z34 + t12 Z24

Z13 = t15 Z53 + t14 Z43 + t13 Z33 + t12 Z23

Z12 = t15 Z52 + t14 Z42 + t13 Z32 + t12 Z22

Z11 = w11 + t15 Z51 + t14 Z41 + t13 Z31 + t12 Z21

Es oportuno desarrollar un ejemplo sencillo en este punto par ayudar a

entender las ideas antes expuestas.

EJEMPLO. Consideremos el sistema de potencia mostrado, cuya matriz Ybus se muestra

también.

Figura 3. 12. Sistema de potencia.

Ybus =

− −−

− −− − −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

4 0 4 0 00 5 0 5 04 0 10 2 0

0 5 2 80 0 0 1 3

1



El orden de codificación de los nodos corresponde al ordenamiento óptimo del caso

presentado. Como se vé de las matrices factor, no se produce llenado. Usando la ecuación

(3.39)

Z55 = w55 = 0.3889

Z45 = t45 Z55 = (0.4286)(0.3889) = 0.1666825

Z44 = w44 + t45 Z54 = (0.4286)+(0.4286)(0.1666825) = 0.50004

Z35 = t35 Z55 + t34 Z45 No se requiere

Z34 = t35 Z54 + t34 Z44 = (0)Z54 + (0.3333)(0.50004) = 0.1666633

Z33 = w33 + t35 Z53 + t34 Z43 = 0.1667 + (0) Z53 +(0.3333)(0.1666633) = 0.22225

Z25 = t25 Z55 + t24 Z45 + t23 Z35 No se requiere

Z24 = t25 Z54 + t24 Z44 + t23 Z34 =(1)(0.50004) = 0.50004

Z23 = t25Z53 + t24 Z43 + t23 Z33 No se requiere

Z22 = w22 + t25 Z52 + t24 Z42 + t23 Z32 = 0.2 + (1)(0.50004) = 0.70004

Z15 = t15 Z55 + t14 Z45 + t13 Z35 + t12 Z25 No se requiere


Z13 = t15 Z53 + t14 Z43 + t13 Z33 + t12 Z23 = (1)(0.22225) = 0.22225


Z11 = w11 + t15 Z51 + t14 Z41 + t13 Z31 + t12 Z21 = 0.25 +(1)(0.22225) = 0.47225

De aquí la Zbus quedará

Zbus =

− − −− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

0 47225 0 222250 70004 0 50004

0 22225 016666330 50004 016666825

0 3889

. .. .

. .. .

.

Takahashi, Fagan, Chen. "A sparse bus impedance matrix and its applications", 1973 PICA

Conference Proceedings.



3.3. FALLAS DESBALANCEADAS. El análisis de fallas asimétricas, es decir aquella en que no se preserva la naturaleza

simétrica que se atribuye al sistema eléctrico normalmente, tiene dos opciones para

llevarse a cabo: en el marco de referencia trifásico, lo que denominan algunos autores como

coordenadas de fase, ó bien usando las componentes simétricas, cuya base matemática se

discutió en la unidad anterior. Esta última opción es la más usada en el estudio de fallas

asimétricas y dicha transformación también. El uso de la transformación de componentes

simétricas supone que el sistema previo a la falla es simétrico, de lo contrario no

obtendríamos ningún beneficio al usar dicha transformación en le estudio mencionado, y no

quedaría más remedio que usar la primera opción mencionada, es decir hacer el estudio en

coordenadas de fase.

Antes de modelar los diferentes tipos de fallas asimétricas ó desbalanceadas, como

las denominan algunos autores, debemos complementar el material de componentes

simétricas visto en la unidad anterior. Lo anterior se refiere a la modelación de los

elementos principales del sistema que intervienen en el tipo de falla mencionado, ante

diferentes las diferentes secuencias, principalmente la secuencia cero.

IMPEDANCIAS DE SECUENCIA EN LINEAS DE TRANSMISION. Primeramente, podemos probar fácilmente que las impedancias de la línea a

secuencia positiva y negativa, son iguales; es decir z zlinea linea+ −= . Es importante hacer

notar que suponemos que las impedancias de la línea son iguales (balanceadas), lo cual es

una buena aproximación cuando la línea se ha transpuesto.

La impedancia de secuencia cero de la línea z no es, en general, igual a

las impedancias de la línea de secuencia positiva y negativa. Si recodamos que todas las

corrientes de secuencia cero están en fase, el camino de retorno del neutro deberá estar

incluido como parte de la impedancia.

linea0

Consideremos esquemáticamente el flujo de corrientes de secuencia cero en una

línea de transmisión



Figura 3.13. Flujo de corrientes de secuencia cero en una línea de transmisión.

Podemos observar dos aspectos importantes, basados en el esquema

anterior:

1. La caída de voltaje de secuencia cero entre el neutro y tierra, a través de la impedancia

de aterrizado zn , es proporcional a tres veces I0. Por lo tanto la impedancia del neutro a

secuencia cero del generador es considerada como 3zn.

2. A secuencia cero las tres líneas están acopladas mutuamente, y este acoplamiento

ofrecerá mayor reactancia a I0 que la que ofrece a I+ e I-. La razón de lo anterior es que las

corrientes de secuencia cero están en fase y por lo tanto también lo están sus

correspondientes flujos magnéticos, lo cual causará mayor acoplamiento mutuo que en el

caso de secuencia positiva y negativa. El efecto de este acoplamiento mutuo entre fases se

incluirá como parte de la inductancia total de la línea por fase, y por lo tanto z0 será varias

veces mayor que z+ y z-.

En el caso de circuitos de transmisión paralelos, o sea de líneas que

comparten derecho de vía, los parámetros que se proporcionan para el estudio de redes son

tales que la impedancia mutua de secuencia cero es muy significativa, mientras que a

secuencia positiva y negativa dicha impedancia mutua es despreciable, y se toma en efecto

como valor cero. La diferencia de la impedancia mutua a secuencia cero con respecto a las

de secuencia positiva y negativa es clara, si tomamos en cuenta que las corrientes

balanceadas, a secuencia positiva ó negativa, fluyendo en una de las líneas suman cero, y

por lo tanto los enlaces de flujo asociados a la corriente fluyendo en esa línea tienden a

cancelarse. Al mismo tiempo, las corrientes de secuencia cero en esa misma línea están en

fase, y por lo tanto sus flujos, que enlazan el otro circuito, serán aditivos.



IMPEDANCIA DE SECUENCIA DE GENERADORES. Las impedancias de secuencia positiva y negativa no son las mismas en el

caso de generadores. No es difícil imaginar que el campo magnético giratorio (debido a las

corrientes de secuencia positiva de armadura) gira con el rotor, mientras que las corrientes

de secuencia negativa de armadura (de secuencia a c b) producen un campo rotatorio a la

misma velocidad, pero en dirección opuesta al rotor. Obviamente no se espera que estos

dos flujos girando en oposición encuentren la misma oposición al cambio de flujo. En el

caso del campo de secuencia negativa que pasa los polos, devanados amortiguadores y

devanado de campo dos veces a velocidad sincrónica, encontrando por lo tanto mayor

oposición y menor reactancia efectiva.

En realidad esta reactancia de secuencia negativa, variará casi senoidalmente

con el tiempo entre valores máximo y mínimo al encontrar una configuración del rotor

siempre cambiando. Dichos valores máximo y mínimo corresponden a y

respectivamente. A pesar de esta fluctuación, se usa una reactancia de secuencia negativa

promedio definida como

xq" xd

"

xx x

2d"

q"

− =+

. La reactancia de secuencia cero del generador es

aún más pequeña que la impedancia de secuencia negativa. De hecho, no es inusual que x0

sea solamente 5% de x+. La explicación de esto descansa en el hecho que corrientes de

secuencia cero de armadura están en fase pero físicamente desplazadas 1200 eléctricamente

una de la otra, razón por la cual teóricamente la suma de los tres fmm distribuidos

senoidalmente es cero, lo cual resultará en una reactancia de valor cero. Sin embargo,

alguna reactancia debida a los efectos de las ranuras, conexiones finales, etc. , la cual es

reactancia de dispersión, estará presente. Además estrictamente hablando, la distribución

de la fmm no es perfectamente senoidal, y esto también trae como consecuencia la

presencia de una pequeña reactancia.



IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CERO DE TRANSFORMADORES. Las impedancias de secuencia positiva y negativa en transformadores, al

igual que en las líneas de transmisión, son iguales. Siendo la única diferencia la secuencia

de fases lo que distingue a dichas corrientes de secuencia positiva y negativa , este factor no

cambia la impedancia por fase en estos elementos del sistema.

Con respecto a la impedancia de secuencia cero, se puede hacer la

observación general en relación con ésta en transformadores de dos devanados. se supone

que si el transformador permite el flujo de secuencia cero, entonces la impedancia de

secuencia cero por fase será igual a la impedancia serie ordinaria del transformador ztr , y

z0=z+=z-=ztr . Si por el otro lado, la corriente de secuencia cero no se le permite fluir,

entonces z . 0 = ∞

Presentamos a continuación los circuitos equivalentes a secuencia cero por

fase de las configuraciones diferentes en transformadores trifásicos. Siempre que se

encuentre un interruptor, Sp ó Ss , se considerará cerrado solamente si el lado al cual

corresponde tiene aterrizado el neutro.



Figura 3.14. Modelado de transformadores a secuencia cero.

ANALISIS DE FALLAS DESBALANCEADAS.

El propósito de esta sección consiste, usando el método de componentes

simétricas, en obtener los modelos de las fallas desbalanceadas. Aunque el objetivo

principal es, como se dijo, analizar fallas desbalanceadas, empezamos con la falla trifásica

a tierra con el fin de corroborar el hecho de que dicha falla, conserva la simetría del sistema

eléctrico y únicamente involucra la red de secuencia positiva, así como también nos

permite ejemplificar la metodología usada para obtener dichos modelos de fallas

asimétricas, en el marco del método de las componentes simétricas.

El modelo de falla trifásica involucrando tierra se muestra a continuación



Figura 3.15. Falla trifásica general.

Lo anterior representa el punto del sistema trifásico donde se ubica la falla.

Escribiendo las condiciones en el punto de falla para la fase a, aplicando la Ley de Voltajes

de Kirchhoff (LVK) a la trayectoria formada por dicha fase y tierra, tendremos

V z I z (I I I ) (z z )I z I z Ia f a g a b c f g a g b g= + + + = c+ + +

Si escribimos una ecuación para cada trayectoria asociada con las otras dos fases, y las

ponemos en forma matricial obtenemos

VVV

z z z zz z z zz z z z

III

a

b

c

f g g g

g f g g

g g f g

a

b

c

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=+

++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ (3.40)

transformando esta ecuación al dominio de las componentes simétricas y recordando que

y también IV T VabcS

012= T IabcS

012= tenemos que y

.

[ ]T V Z T IS012 fg

S012=

[ ]V T Z T I012S

1 fgS

012= −



La transformación lineal [ ]T Z TS1 fg

S− , se denomina transformación de

semejanza asociada a la matriz de coeficientes de (4.1), Zfg , y que produce una matriz

diagonal como resultado

VVV

z 3zz

z

III

0

1

2

f g

f

f

0

1

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=+⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ (3.41)

La ecuación anterior, (4.2), nos muestra un modelo matemático totalmente

desacoplado, es decir, V0 depende únicamente del flujo de la corriente de la misma

secuencia; lo mismo puede decirse de los otros dos voltajes de secuencia, V1 y V2.

Lo anterior significa, que si interpretamos desde el punto de vista de redes la

ecuación (4.2), las tres redes de secuencia están totalmente desacopladas y recordando que

únicamente existen fuentes a secuencia positiva, implica que las redes de secuencia

negativa y cero son pasivas.

Si usamos los equivalentes de Thévenin de las redes analizadas, visto por supuesto desde

el nodo fallado, podemos representar lo anterior como se muestra

Figura 3.16. Redes de secuencia para falla trifásica general.

De la red de secuencia positiva vemos que

IV

Z zp(f)1 p(0)

1

pp1

f=

+



donde V : voltaje de prefalla del nodo p (nodo fallado), Z es la impedancia equivalente

de Thévenin del nodo p.

p(0)1

pp1

Además vemos que I I2 0 0= = de donde I Ia = 1.

Es importante notar que N1 y N2, los buses ó puntos de referencia de los redes de secuencia

positiva y negativa respectivamente, son los neutros; mientras que N0 , el bus de referencia

a secuencia cero, lo constituye tierra. Porqué?.

FALLA DE LINEA A TIERRA. El modelo de esta falla se muestra a continuación

Figura 3.17. Falla de línea a tierra.

Las condiciones en el bus de falla son I Ib c= = 0 y V z Ia f a= . Recordando que

, tenemos I T Ip012

S1

pabc= − I

13

(I I I )p(f)0

a b c= + + ; pero como I Ib c= = 0 entonces

I13

I I Ip(f)0

a p(f)1

p(f)2= = = , es decir,

I I Ip(f)0

pP(f)1

p(f)2= = (3.42).

Por orto lado V V , entonces V V z Ia 0 1 2 f= + + = a

0

V V V 3z I0 1 2 f+ + = (3.43)

dado que I13

I0 = a para esta falla.



Si interpretamos (3.42) y (3.43) desde el punto de vista de redes, vemos que

(3.42) implica que las redes (+ , - y 0) están conectadas en serie; además, para que (3.43) se

cumpla, LVK requiere que dichas redes se interconectan en serie y se cierren a través de

una impedancia de valor 3zf , como se muestra en el diagrama a continuación

Figura 3.18. Modelo de falla de línea a tierra.

De la red que modela la falla LT y que se muestra arriba obtenemos

I I IV

Z Z Z 3zp(f)1

p(f)2

p(f)0 p(0)

1

pp1

pp2

pp0

f= = =

+ + +

y además I con I3I 3I 3Ia p(f)0

p(f)1

p(f)2= = = b = 0 e Ic = 0.



FALLA DE DOS LINEAS.

El modelo de dicha falla, entre las fases b y c, se muestra a continuación

Figura 3.19. Falla de dos líneas.

Las condiciones en el punto de falla, para el caso de las corrientes son Ia = 0 e Ib = -Ic .

Si aplicamos LVK a la trayectoria cerrada por las fases b y c con tierra,

tendremos que V z I z I Vb f b f c c− + − = 0 , de donde

V V z I Ib c f b c− = −( ) (3.44)

Para transformar esta última ecuación al dominio de las componentes simétricas,

recordemos que V V V Va = + +0 1 2

V V V Vb = + +02

1 2α α

V V V Vc = + +0 12

2α α

Relaciones similares son validas para las corrientes.

Si restamos la 3a de la 2a ecuación, del conjunto mostrado arriba, tendremos

V V V Vb c− = − − −( ) ( )α α α α21

22

mientras que para las corrientes tenemos

I I I Ib c− = − − −( ) ( )α α α α21

22 .



Sustituyendo estas dos últimas ecuaciones en (3.44),


)( ) ( ) [( ) (α α α α α α α α21

22

21

22− − − = − − −V V z If I

f 2

de donde simplificando tenemos

V z I V z If1 1 2− = − (3.45).

Además I0 = 0 , como puede comprobar por I T ISabc012 1= − .

Esto último significa que la red de secuencia cero está inactiva, lo que

implica que está desconectada de la red de secuencia positiva, que es la única activa de las

tres redes de secuencia. Además, (3.45) significa que las redes de secuencia positiva y

negativa se conectan en paralelo, con impedancias zf en serie con estas redes, como puede

corroborarse aplicando LVK a la red que se muestra a continuación.

Figura 3.20. Modelo de la falla de dos líneas.

De la red anterior obtenemos IV

Z Z zp fp

pp pp f( )

( )1 01

1 2 2=

+ + , I Ip f p f( ) ( )

2 1= − ,

. I p f( )0 0=

La transformación inversa nos daría las componentes I . p fabc

( )


FALLA DE DOBLE LINEA A TIERRA. El modelo de la falla se implementa como se muestra a continuación

Figura 3.21. Falla de doble línea a tierra.

Las condiciones en el punto de falla son Ia = 0, y si aplicamos LVK en la trayectoria

formada por las terminales de las fases b , c y tierra , obtenemos la siguiente ecuación:

para la fase b : V z I z I Ib f b g b c− − + =( ) 0

para la fase c: V z I z I Ic f c g b c− − + =( ) 0

despejando los voltajes obtenemos V z z I zb f g b gIc= + +( )

V z z I z Ic f g c g b= + +( )

Haciendo la resta de la ecuación para Vb menos la ecuación para Vc ,

obtenemos después de simplificar

V V z I Ib c f b c− = −( ) (3.46)

Además

I I Ia = = + +0 0 1 I2 (3.47)

Por otro lado tenemos que

I I I Ib c− = − − −( ) ( )α α α α21

22

y

V V V Vb c− = − − −( ) ( )α α α α21

22



Sustituyendo en (4.7)


]( ) ( ) [( ) ( )α α α α α α α α21

22

21

22− − − = − − −V V z If I

de donde

V V z I If1 2 1 2− = −( ) (3.48)

Finalmente

V z I V z If1 1 2− = − f 2 (3.49)

Esta última ecuación nos dice que las redes de secuencia positiva y negativa

se conectan en paralelo a través de impedancias zf , de tal forma que se cumpla LVK. Sin

embargo, esta misma ecuación no concluye nada acerca de la red de secuencia cero, por lo

que debemos buscar alguna expresión que relacione dicha red, con la red de secuencia

positiva y/o negativa.

De las ecuaciones obtenidas inicialmente para Vb y Vc tenemos que

V V I I z zb c b c f g+ = + +( )( 2 ) (3.50)

Además por definición, recordamos que V V V Vb = + +02

1 2α α y V V V Vc = + +0 12

2α α

de donde sumando estas dos últimas ecuaciones encontramos que

V V V V Vb c+ = − +2 0 1( )2 (3.51)

y de manera similar

I I I I Ib c+ = − +2 0 1 2( )

2

(3.52).

Sustituyendo (3.51) y (3.52) en (3.50)

2 2 2 2 20 1 2 0 1 2 0 1 2V V V I I I z z I z z I I z zf g f g f g− + = − + + = + − + +( ) [ ( )]( ) ( ) ( )( ) ,

Sumando en ambos lados el término −2 0z Ig obtenemos, después de factorizar

2 2 3 20 0 1 1 2 2 1 2V I z z V z I V z I z I I If g f f g− + = − 0+ − − + +( ) ( ) ( ) ( )

el último término del lado derecho se elimina ,dado que I I I I a1 2 0 0+ + = = , y como

habíamos obtenido de (3.49) V z I V z If1 1 2 f 2− = − , obtenemos finalmente sustituyendo

estas dos últimas ecuaciones

V z z I V zf g f0 0 13− + I1= −( ) (3.53).

La ecuación anterior sugiere que la relación entre la red de secuencia

positiva y cero es tal que se cumpla (3.53), aplicando LVK a dicha ecuación.


Figura 3.22. Modelo de la falla de doble línea a tierra.

Del diagrama de conexión de las redes de secuencia obtenemos

IV

Z zZ z Z z z

Z Z z z

p fp

pp fpp f pp f g

pp pp f g

( )( )

( )( )(

)

1 01

12 0

0 2

3

2 3

=

+ ++ + +

+ + +

)

y usando divisor de corrientes

I IZ z z

Z Z z zp f p fpp f g

pp pp f g( ) ( )

2 10

0 2

32 3

= −+ +

+ + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

y por el mismo procedimiento

I IZ z

Z Z z zp f p f

pp f

pp pp f g( ) ( )

0 1

2

0 2 2 3= −

+

+ + +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

de donde podemos obtener I . T IabcS= 012

3.4. FORMULACIONE DE FALLAS GENERALIZADAS.

ESTUDIO DE CORTO CIRCUITO EN GRANDES SISTEMAS DE POTENCIA.

Formularemos el problema en el marco de referencia nodal, usando la matriz

Zbus .

El esquema general parte de la idea de que tenemos representado el sistema

de potencia por su Zbusabc y, si denotamos al bus p como aquel en el que ocurre la falla, este



bus se conecta a referencia a través de una matriz de falla Z . Lo anterior se representa

esquemáticamente por la figura 4.11. Fabc

Figura 3.23. Sistema de potencia trifásico.

Por supuesto que el planteamiento anterior también es válido en el dominio

de las componentes simétricas; esto se verá más adelante.

La ecuación de partida en el planteamiento nodal, para un sistema de

potencia con el bus p fallado será:

V V Z Ibus Fabc

busabc

busabc

bus Fabc

( ) ( ) ( )= −0 (3.54)

Vbus Fabc

( ) es el vector de voltajes de bus de postfalla

V

VV

V

bus Fabc

Fabc

Fabc

n Fabc

( )

( )

( )

( )

.

.

.

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1

2

Vbusabc

( )0 es el vector de voltajes de prefalla, ó sea voltajes de bus en condiciones normales de

operación (voltajes en circuito abierto si se desprecian condiciones de prefalla)

V

VV

V

busabc

abc

abc

nabc

( )

( )

( )

( )

.

.

.

.

0

1 0

2 0

0

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟



y el vector de corrientes de bus cuando ocurre falla en el bus p

I Ibus Fabc

P Fabc

( ) ( )

.

.

.

.

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

00

00

Es importante notar que los vectores antes descritos son de orden (3nx1), y

cada elemento de dichos vectores es un subvector de orden (3x1), que contiene los valores

asociados con la fase a , b y c, respectivamente.

La matriz de impedancias de bus (nodal) trifásica, con tierra como

referencia, será:

Z

Z Z Z ZZ Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z Z

busabc

abc abcp

abcn

abc

abc abcp

abcn

abc

Pabc

p ppabc

pnabc

nabc

nabc

npabc

nnabc

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

. . . . . .

. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

. . . . . .

En este caso, cada elemento de Zbusabc es una matriz de (3x3).

Sustituyendo las consideraciones anteriores en (3.54) obtenemos:



VV

V

V

VV

V

V

Z Z ZZ Z Z

Z Z Z

Fabc

Fabc

p Fabc

n Fabc

abc

Fabc

pabc

nabc

abcp

abcn

abc

abcp

abcn

abc

pabc

ppabc

pnabc

1

2

1 0

2

0

0

11 1 1

21 2 2

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . .

. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .

. . . . . . . .. . . . . .

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

−

. .. . . . . . . .

. . . . .

.

.

.

.

( )

Z Z Z

I

nabc

npabc

nnabc

p Fabc

1

00

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Desarrollando la ecuación matricial anterior tendremos:

V V Z IFabc abc

pabc

p Fabc

1 1 0 1( ) ( ) ( )= −

V V Z IFabc abc

pabc

p Fabc

2 2 0 2( ) ( ) ( )= −

.

.

.

V V Z Ip Fabc

pabc

pabc

p Fabc

( ) ( ) ( )= −0 2 (3.55)

.

V V Z In Fabc

nabc

npabc

p Fabc

( ) ( ) ( )= −0

Ahora bien, para falla en el bus p, el vector de voltajes trifásicos será:

V Z Ip Fabc

Fabc

p Fabc

( ) ( )= (3.56)

donde Z es la matriz de falla en forma de impedancia de orden (3x3), cuya estructura

para cada tipo de falla se obtendrá más adelante. La ecuación (3.56) es la relación de

voltaje-corriente en el bus p, "visto" desde éste hacia la falla, mientras que la p-ésima

ecuación de (3.55), sería la relación voltaje-corriente "vista" desde el bus p hacia la red que

representa el sistema de potencia. En ambos casos, V se refiere al mismo vector de

voltajes trifásicos y por tanto podemos igualar ambas ecuaciones para obtener:

Fabc

p Fabc( )



Z I V Z IFabc

p Fabc

pabc

ppabc

p Fabc

( ) ( ) ( )= −0

esto es,

Z I Z I VFabc

p Fabc

ppabc

p Fabc

pabc

( ) ( ) ( )+ = 0

( )Z Z I VFabc

ppabc

p Fabc

pabc+ =( ) ( )0

De las ecuaciones anteriores obtenemos finalmente

( )I Z Z Vp Fabc

Fabc

ppabc

pabc

( ) ( )= +−1

0 (3.57)

Además

( )V Z I Z Z Z Vp Fabc

Fabc

p Fabc

Fabc

Fabc

ppabc

pabc

( ) ( ) ( )= = +−1

0 (3.58).

De forma similar, para buses i tendremos p

p

≠

V V Z I i n ii Fabc

iabc

ipabc

p Fabc

( ) ( ) ( ) ,...,= − = ≠0 1 (3.59)

Si sustituimos (3.57) en esta última ecuación obtenemos

( )V V Z Z Z Vi Fabc

iabc

ipabc

Fabc

ppabc

pabc

( ) ( ) ( )= − +−

0

1

0 (3.60).

Sin embargo, existen casos, como se verá más adelante, en que Z no está

definida y/o es más conveniente usar la matriz de falla en forma de admitancia, Y , y en

este caso es importante desarrollar alternativamente ecuaciones para corrientes y voltajes de

falla usando la matriz de falla en forma de admitancia.

Fabc

Fabc

Nuevamente si p es el bus fallado

I Y Vp Fabc

Fabc

p Fabc

( ) ( )= (3.61)

Entonces, tomando la p-ésima ecuación de voltaje de (4.2)

V V Z Ip Fabc

pabc

ppabc

p Fabc

( ) ( ) ( )= −0

Sustituyendo (4.22) en esta última ecuación obtenemos

V V Z Y Vp Fabc

pabc

ppabc

Fabc

p Fabc

( ) ( ) ( )= −0



ó bien,

V Z Y V Vp Fabc

ppabc

Fabc

p Fabc

pabc

( ) ( ) ( )+ = 0

de donde obtenemos finalmente

( )V U Z Y Vp Fabc

ppabc

Fabc

pabc

( ) ( )= +−1

0 (3.62).

Sin embargo

I Y Vp Fabc

Fabc

p Fabc

( ) ( )=

y por tanto

( )I Y U Z Y Vp Fabc

Fabc

ppabc

Fabc

pabc

( ) ( )= +−1

0 (3.65).

De manera similar, para los voltajes en buses distintos al bus fallado p , tenemos

V V Z Ii Fabc

iabc

ipabc

p Fabc

( ) ( ) ( )= −0

Sustituyendo (3.65)

( )V V Z Y U Z Y Vi Fabc

iabc

ipabc

Fabc

ppabc

Fabc

pabc

( ) ( ) ( )= − +−

0

1

0 (3.66)

i n i p= ≠1,..., .

Para calcular la corriente de falla fluyendo en cualquier elemento (i-j) del

sistema de potencia, que denotamos i , una vez obtenidos los voltajes en los buses

correspondientes cuando el bus p es el fallado, usamos la ecuación

ij Fabc

( )

[ ]i Y V Vij Fabc

ijabc

Fabc

Fabc

( ) ( ) ( )= −ρσ ρ σ (3.67)

donde V y V son los voltajes de bus cuando ocurre falla en el bus p, correspondientes

a los buses ρ y σ , respectivamente, y la matriz Y es el elemento trifásico de la matriz

primitiva de admitancias,

Fabcρ( ) F

abcσ( )

ijabcρσ

Yy y yy y yy y y

ijabc

ijaa

ijab

ijac

ijba

ijbb

ijbc

ijca

ijcb

ijcc

ρσ

ρσ ρσ ρσ

ρσ ρσ ρσ

ρσ ρσ ρσ

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟



donde y es la admitancia mutua entre la fase a del elemento i-j y la fase b del elemento

ρ−σ , etc. Además, ρσ es el elemento ij , así como los elementos mutuamente acoplados a

ij.

ijabc

ρσ

TRANSFORMACION A COMPONENTES SIMETRICAS. Las ecuaciones anteriores, desarrolladas en el dominio de fases, pueden

formularse en el dominio de las componentes simétricas.

Empezamos estableciendo la relación fundamental para llevar a cabo dicha

transformación:


TZ T Zcomp S faseabc

S012 1= −

TS es la matriz de componentes simétricas.

Usando la relación anterior podemos transformar la matriz primitiva de

impedancias z , que se convierte en z , pqabc

pq012

0

012 1 1

2

pqabc

pq S pq S pq

pq

zz T z T z

z

−

⎛ ⎞⎜ ⎟

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Para un elemento trifásico estacionario z zpq pq1 2= ; y para elementos

rotatorios se supone la misma relación, aunque esto no sea estrictamente cierto. De manera

similar, cualquier elemento y de la red primitiva se transforma a un elemento diagonal ijabc

ρσ

0

012 1 1

2

ijabc

ij S ij S ij

ij

yy T y T y

y

ρσ

ρσ ρσ ρσ

ρσ

−

⎛ ⎞⎜ ⎟

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

De manera similar, cada elemento Z de la matriz de impedancias de bus

(nodal) puede diagonalizarse. La matriz de impedancia de falla Z se transforma a Z .

Sin embargo Z será diagonal únicamente en el caso de falla desbalanceada. Lo mismo

es cierto para Y .

ijabc

Fabc

F012

F012

Fabc

Si suponemos condiciones de prefalla nulas y los voltajes de 1 pu en

magnitud, entonces tomado V ∠0ia( )0 1= 0 , tenemos



VVVV

iabc

ia

ib

ic

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

2

1=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

αα

, y dado que: V T Vi S iabc

( ) ( )0012 1

0

03

0= =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

− para i=1,2,...,n.

De esta manera, podemos escribir las ecuaciones que habíamos obtenido en el dominio de

fase, en el dominio de las componentes simétricas. Dichas ecuaciones, para falla en el bus

p, serán

[ ]I Z Z Vp F F pp p( ) ( )012 012 012

1

0012= +

−

[ ]I Y U Z Y Vp F F pp F p( ) ( )012 012 012 012

1

0012= +

− (3.68)

[ ]V Z Z Z Vp F F F pp p( ) ( )012 012 012 012

1

0012= +

−

[ ]V U Z Y Vp F pp F p( ) ( )012 012 012

1

0012= +

− .

Para buses diferentes del bus fallado, p, tenemos

[ ]V V Z Z Z Vi F i ip F pp p( ) ( ) ( )012

0012 012 012 012

1

0012= − +

− (3.69)

[ ]V V Z Y U Z Y Vi F i ip F pp F p( ) ( ) ( )012

0012 012 012 012 012

1

0012= − +

−

para 1, 2,...,i n i= ≠ p

]

La corriente de falla en el elemento trifásico i-j será

[i Y V Vij F ij F F( ) ( ) ( )012 012 012 012= −ρσ ρ σ (3.70).


DETERMINACION DE LAS MATRICES DE FALLA . A continuación mostramos la obtención de las matrices de falla tanto en su

forma de impedancia zf , así como en su forma de admitancia yf. Primero obtenemos dichas

matrices en el dominio de fases y después se obtienen en el dominio de componentes

simétricas, mediante la transformación correspondiente. Además empezaremos

considerando las fallas a través de una impedancia de falla (ó admitancia de falla).

FALLA TRIFASICA A TIERRA. La configuración de la falla trifásica a tierra se lleva a cabo a través del

circuito siguiente

.

Figura 3.24. Falla trifásica general.

La matriz Z para el circuito mostrado se obtiene por medio de la prueba

en circuito abierto; para ello considere el circuito que se muestra, en el cual se inyecta una

corriente de 1 pu a la fase a , con las demás terminales en circuito abierto y se calculan los

voltajes en las fases, con lo cual obtenemos los elementos de Z como el cociente de

dicha inyección de corriente y los voltajes medidos, es decir

Fabc

Fabc

VIfase

a , como se muestra en la

figura siguiente



Figura 3.25. Obtención de matriz de falla trifásica.

En el caso mostrado , con I(V z za g f= + )Ia a =1 pu, entonces

zVI

z z z zfaa a

af g F

bbFcc= = + = = .

La parte última de la igualdad anterior puede comprobarse fácilmente, si se repite el

experimento inyectando 1 pu de corriente en las terminales b y c. Para los elementos fuera

de la diagonal z y z se calculan los voltajes en circuito abierto en las fases b y c, cuando

se inyecta 1 pu de corriente en la fase a ; en referencia a la figura anterior vemos que Fab

Fac

V z I z Vb g a g c= = =

de donde

z zVI

zFab

Fac b

ag= = =

Además z z , de donde obtenemos z zFab

Fbc

Fca

Fcb= = =

Zz z z z

z z z zz z z

Fabc

f g g g

g f g g

g g f

=+

++ zg

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

y por transformación : Z T ZF S Fabc

S012 1= − T

Zz z

zz

F

f g

f

f

012

3 0 00 00 0

=+⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟.



Recordando que ( )I Z Z VP F F PP P( ) ( )012 012 012 1

0012= +

−, tenemos para este caso

III

z z Zz Z

z Z

p F

p F

p F

f g pp

f pp

f pp

( )

( )

( )

0

1

2

0

1

2

13 0 0

0 00 0

03

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=+ +

++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

Es importante observar en relación con esta última ecuación, que se usa la forma

ortonormal par la matriz de transformación TS. Si suponemos, como es lo usual Z , Zpp pp1 2=

III

z Z

p F

p F

p Ff pp

( )

( )

( )

0

1

21

03

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

.

Para los voltajes en el bus fallado, p, tenemos V z Ip F F p F( ) ( )012 012 012=

VVV

z zz

zz Z

zz Z

p F

p F

p F

f g

f

ff pp

f

f pp

( )

( )

( )

0

1

21 1

3 0 00 00 0

03

0

03

0

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=+⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟,

y los voltajes en otro bus distinto al fallado, se obtienen a partir de

[ ]V V Z Y U Z Y V V Z Ii F i ip F pp F p i ip p F( ) ( ) ( ) ( ) ( )012

0012 012 012 012 012

1

0012

0012 012 012= − + = −

−

recordemos que [ ]I Y U Z Y Vp F F pp F p( ) ( )012 012 012 012

1

0012= +

− , con lo que sustituyendo en esta

expresión el valor de I obtenemos p F( )012

VVV

ZZ

Zz Z

Zz Z

i F

i F

i F

ip

ip

ipf PP

ip

f PP

( )

( )

( )

0

1

2

0

1

21

1

1

03

0

0 00 00 0

03

0

3

0

1

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟.



En el cálculo de las corrientes de falla en los elementos de la red, tomamos en

consideración que y , excepto para el elemento ρσ = ij. La corriente de falla en

cualquier elemento i-j será

ijρσ1 0=

( )iii

y V Vij F

ij F

ij F

ij ij i F j F

( )

( )

( )

, ( ) ( )

0

1

2

1 1 1

0

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ .

FALLA DE LINEA A LINEA A TRAVES DE IMPEDANCIA. Consideremos que esta falla ocurre en las fases b y c de un bus p, como se

muestra en la figura 3.26.

Figura 3.26. Falla de línea a línea general.

Vemos claramente que en este caso Z es Fabc indefinida. Sin embargo, Y no lo es, y sus

elementos se calculan usando la prueba de corto circuito, esto es, se excita una terminal con

una fuente de voltaje, de 1 pu para simplificar las cosas, y se ponen en corto circuito las

terminales restantes, calculándose las corrientes en las terminales correspondientes. El

cociente de dichas corrientes al voltaje que se utiliza para excitar la red, nos da la

admitancia nodal correspondiente.

Fabc

Consideremos a la figura 3.27



Figura 3.27. Obtención de matriz de falla de L-L.

Para calcular yIVF

bb b

b= , vemos que V z Ib f b= 2 , de donde tendremos

yIV z

yyF

bb c

b f

fFcc= = = =

12 2

Aquí por supuesto que y zf f= 1 .

De manera similar se puede mostrar que yFaa = 0. Sin embargo para calcular

los elementos fuera de la diagonal, digamos y , se conecta una fuente de voltaje de 1 pu

en la terminal de la fase b y calculamos la corriente en la terminal de la fase c, la cual es la

misma que la mostrada arriba, pero debe llevar signo negativo debido a que sale del nodo (

y se trata de una corriente nodal como debemos recordar). Con esto obtenemos

Fbc

yIV

IV

yyF

bc c

b

c

b

fFcb= =

−= − =

2.

Además se puede demostrar, usando la misma técnica, que y yFab

Fac= = 0. Por lo tanto,

sintetizando los resultados arriba discutidos, la matriz de falla en su forma de admitancia

resulta

( )Y yFabc

f= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

20 0 00 1 10 1 1

.

Efectuando la transformación Y T YF S Fabc

S012 1 T= − obtenemos

( )012

0 0 02 0 1 1

0 1 1F fY y

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.



La corriente de falla en el dominio de componentes simétricas es

[ ]I Y U Z Y Vp F F pp F p( ) ( )012 012 012 012

1

0012= +

−

III

yZ

yZ

y

Zy

Zy

p F

p F

p F

fpp

fpp

f

ppf

ppf

( )

( )

( )

0

1

2

1 1

1 1

1

3

0 0 00 1 10 1 1

1 0 0

0 12 2

02

12

03

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+ −

− +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

Además los voltajes de falla en el bus p están dados por

VVV

Zy

Zy

Zy

Zy

p F

p F

p F

ppf

ppf

ppf

ppf

( )

( )

( )

0

1

2

1 1

1 1

1 0 0

0 12 2

02

12

03

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= + −

− +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

y para cualquier bus i≠p V V Z Ii F i ip p F( ) ( ) ( )012

0012 012 012= − , lo que resulta en

VVV

ZZ

Z

III

i F

i F

i F

ip

ip

ip

p F

p F

p F

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

1

2

0

1

2

0

1

2

03

0

0 00 00 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FALLA DE DOBLE LINEA A TIERRA. La falla de doble línea a tierra en el bus p, se modela conectando las fases b

y c a través de impedancias de falla y a tierra a través de una impedancia zg , como se

muestra a continuación, en la figura 3.28



Figura 3.28. Falla de doble línea a tierra.

Si aplicamos el método de prueba en circuito abierto, vemos que z , dado que la

corriente inyectada en la terminal a sería cero. Sin embargo, para obtener z aplicamos

una fuente de corriente unitaria a la fase b y calculamos sus voltajes, mientras que se

mantienen en circuito abierto las demás fases.

Faa = ∞

Fbb

Figura 3.29. Obtención de la matriz de falla doble línea a tierra.

Se observa que . Los elementos fuera de la diagonal

resultan z , si aplicamos 1 pu a la terminal a.

( )V z z I z z z zb f g f g Fbb

Fcc= + = + = =

zFab

Fac= = 0

Para los elementos fuera de la diagonal z usamos el mismo circuito

mostrado arriba y

fbc

zVI

V z I zFbc c

c g= = = = g .



Resumiendo, la matriz de falla para este tipo de falla (2L-T) en el dominio

de fases resulta


g

Z z z zz z z

Fabc

f g g

g f

=∞

++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0 000

y por inversión obtenemos

( )Y Zz z

kzk

zk

z zk

Fabc

Fabc f g g

g f

= =+

−

−+ g

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

−1

0 0 0

0

0

donde k z z zf f= +2 2 .g

T

Por transformación obtenemos Y T YF S Fabc

S012 1= −

( )Yz z z

z z zz z z z zz z z z z

F

f f g

f f f

f f g f g

f f g f g

0122

1

3 2

22 3 3

3 2 3=

+

− −− + − +− − + +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

( )( )

Esta última ecuación puede usarse para obtener la corriente de falla

[ ]I Y U Z Y Vp F F pp F p( ) ( )012 012 012 012

1

0012= +

−.

Para cualquier bus i ≠ p , V V Z Ii F p ip p F( ) ( ) ( )012

0012 012 012= −

V Zi F ip p F( ) ( )012 012 012

03

0= I

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

− donde Vp( )0012

03

0=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟.

FALLA DE LINEA A TIERRA. En este caso suponemos que falla la fase a y modelamos la falla conectando

la terminal de dicha fase a tierra, a través de una impedancia z , como se muestra a

continuación en la figura 3.30 f


Figura 3.30. Obtención de matriz de falla de línea a tierra.

En la figura 3.30 se muestra una fuente de corriente inyectando 1 pu a la

terminal de la fase a , con las fases b y c en circuito abierto , lo cual constituye la aplicación

del método que hemos venido utilizando para obtener los elementos de la matriz de

impedancias de falla. En este caso V z I z za f faaF= = = .

Siguiendo el mismo razonamiento tenemos que z zFbb

Fcc= = ∞ , mientras que

para los elementos fuera de la diagonal tendremos z z zFab

Fbc

Fca= = = 0.

Usando los valores mencionados, obtenemos

Zz

Fabc

f

= ∞∞

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0 00 00 0

.

Por inversión, ó bien por el método de prueba en corto circuito mencionado anteriormente

se puede obtener

Yy

y

Ff

f012

3

0 00 0 00 0 0

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

de donde por transformación Y T Y TF S Fabc

S012 1= −

Yy

Ff012

3

1 1 11 1 11 1 1

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟.



Para las corrientes de falla en el bus p, tenemos

III

y

yZ

yZ

yZ

yZ

yZ

yZ

yZ

yZ

yZ

p F

p F

p F

f

fpp

fpp

fpp

fpp

fpp

fpp

fpp

fpp

fpp

( )

( )

( )

0

1

2

0 0 0

1 1 1

1 1 1

1

3

1 1 11 1 11 1 1

13 3 3

31

3 3

3 31

3

03

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+

+

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

lo cual se reduce a

III

Z Z z

p F

p F

p Fpp pp f

( )

( )

( )

0

1

20 1

32 3

111

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=+ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ .

Por otro lado, los voltajes de falla

VVV

Zy

Zy

Zy

Zy

Zy

Zy

Zy

Zy

Zy

Z Z z

ZZ Z z

Z

p

p

p

ppf

ppf

ppf

ppf

ppf

ppf

ppf

ppf

ppf

pp pp f

pp

pp pp f

pp

( )

( )

( )

00

01

02

0 0 0

1 1 1

1 1 1

1

0 1

0

0 1

1

13 3 3

31

3 3

3 31

3

03

0

32 3

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

+

+

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=+ +

−+ +−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

mientras que los voltajes en otros buses i≠p


VVV

ZZ

Z

III

Z Z z

ZZZ

i F

i F

i F

ip

ip

ip

p F

p F

p Fpp pp f

ip

ip

ip

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

1

2

0

1

2

0

1

20 1

0

1

2

03

0

0 00 00 0

03

0

32 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎛ ⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

⎝

⎜⎜⎜

⎠

⎟⎟⎟

⎛ ⎞

⎝

⎜⎜⎜

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−+ +

⎛ ⎞

⎝

⎜⎜⎜

⎠

⎟⎟⎟.

FALLA TRIFASICA SIN TIERRA A TRAVES DE IMPEDANCIA. Esta falla, a diferencia de la otra falla trifásica, no involucra la tierra y se

modela como se muestra enseguida, figura 3.31.


Figura 3.31. Falla trifásica sin tierra a través de impedancia.

Si se utiliza el método de la prueba en circuito abierto se puede verificar que

la matriz de falla en su forma de impedancia nodal, Z , no está definida. Sin embargo la

matriz de falla en su forma de admitancia, Y , sí lo está. Dicha matriz puede obtenerse

usando el método de prueba de corto circuito. La figura 3.32 muestra la prueba para

obtener el elemento diagonal y los elementos fuera de la diagonal y y y .

Fabc

Fabc

zFaa

Fab

Fac

Figura 3.32. Obtención de matriz de falla trifásica flotante general.

yFaa se obtiene como el cociente de la corriente que produce la fuente de voltaje al voltaje de

dicha fuente ; vemos que V z

z z

I za f

f f

a= ++

If a

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=1

1 132

, de aquí I V za

a f=

23

, donde

y zff

= 1 . Entonces y y y yFaa

Fbb

Fcc

f= = =23

dado que Va = 1pu. Los términos y y

que resultan igual a y , como se menciona arriba, se pueden obtener moviendo la fuente

de voltaje de 1 pu, a las terminales b yc respectivamente, manteniendo en corto circuito las

otras terminales.

Fbb yF

cc

Faa



De la figura anterior vemos que + = = −I V y yb a Fab

f

13

. Se puede probar

fácilmente que y y , y entonces obtendremos yFab

Fbc

Fac= =

Yy

Fabc f=

− −− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟3

2 11 2 11 1 2

1

,

y mediante la transformación T Y T YS Fabc

S F− =1 012

Y yF f012

0 0 00 1 00 0 1

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

.

Para el bus fallado p, tenemos [ ]I Y U Z Y Vp F F pp F p( ) ( )012 012 012 012

1

0012= +

−

III

y Z yZ y

p F

p F

p F

f pp f

pp f

( )

( )

( )

0

1

2

1

1

10 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

03

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

,

también [ ]V U Z Y Vp F pp F p F( ) ( )012 012 012

1012= +

−

VVV

Z yZ y

p F

p F

p F

pp f

pp f

( )

( )

( )

0

1

2

1

1

11 0 00 1 00 0 1

03

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

.

Los voltajes de bus, para cualquier bus i≠p se obtiene de V V Z Ii F i ip p F( ) ( ) ( )012

0012 012 012= −

VVV

ZZ

Z

III

i F

i F

i F

ip

ip

ip

p F

p F

p F

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

1

2

0

1

1

0

1

2

03

0

0 00 00 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟.




3.5. ANALISIS DE FALLAS POR COMPUTADORA. El análisis de fallas en la computadora está constituido por una complejidad, que

está en relación con las prestaciones que se desean para el programa. En software de uso

industrial, la parte de captura de datos y validación, puede, en si misma, constituir una serie

de programas complicados, pues en le caso de sistema de gran escala, es imprescindible el

uso de base de datos con cierto grado de “inteligencia” del sistema, que se utiliza, no nada

más para los estudios de fallas, sino en general de todos los estudios de sistema necesarios.

Por lo que toca a la parte del algoritmo numérico, por así llamarlo, es decir, la parte

del cálculo de fallas, realmente no es complicada, pues representa simplemente la

programación de la fórmulas obtenidas en la modelación de los distintos tipos de falla, por

lo que se decidió integrar en le apéndice la discusión de la conformación de los programas

que integran el programa de cálculo de fallas, así como, al mismo tiempo la forma de

integrar los datos y la secuencia de ejecución de los programas en MATLAB®, que es el

software usado en dichos programas. Además se hace una corrida con un ejemplo de un

tamaño adecuado, tal que sea suficientemente grande para contener las características

encontradas en la práctica, pero no demasiado grande para no oscurecer con esto la

exposición del material innecesariamente.



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Hill. (1968).

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