sistemas dinámicos - semana 15
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SISTEMAS DINÁMICOS: CAPITULO 4 - PROPIEDADES DE SISTEMAS.
Ing. Gerardo Becerra B. M.Sc.
Propiedades de sistemas.
Objetivos: 1. Explicar el sistema por su comportamiento y efectos (CDIO 2.3.1.1)
2. Clasificar las interacciones externas al sistema y el impacto en el comportamiento del mismo (CDIO 2.3.1.4)
3. Explicar las propiedades funcionales y de comportamiento (intencional y no intencional) que surgen de un sistema. (CDIO 2.3.2.2)
4. Clasificar los factores críticos, efectos colaterales, métricas y variables adicionales que complementan el modelo propuesto. (CDIO 2.3.3.2)
5. Identificar los factores generadores del comportamiento del sistema (CDIO 2.3.3.3)
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Clase 16
Contenido: 1. Definir Margen de Ganancia y Margen de Fase
2. Evaluar el impacto del tiempo muerto sobre la estabilidad
3. Evaluar estabilidad de sistemas realimentados empleando Lugar de las raíces.
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Temas para repasar
• Polos y ceros (Circuitos en frecuencia)
• Respuesta en frecuencia (Circuitos en frecuencia)
• Respuesta en el tiempo (Circuitos en frecuencia)
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Margen de ganancia y margen de fase
• Margen de ganancia: es el factor por el cual se debe incrementar la ganancia para que el sistema en malla cerrada sea marginalmente estable. Esto es equivalente a que el sistema tenga polos en el eje imaginario y a que el diagrama polar de GH pasa por el punto -1+j0 = 1-180°
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Margen de ganancia y margen de fase
• Margen de fase: es la cantidad de retardo de fase, a la frecuencia wg para la cual la ganancia es 1, que es necesario adicionar al sistema para que el diagrama de GH pase por el punto -1+j0
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Margen de ganancia y margen de fase
• f : frecuencia para la cual la fase es -180°
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Margen de ganancia y margen de fase
• g : frecuencia de cruce de ganancia
• Si m es positivo el sistema es estable.
• Si m es negativo el sistema es inestable.
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Estabilidad relativa
• En un diagrama de Bode el punto -1+j0 corresponde a:
20 log | G(j) H(j)| = 20 log (1) = 0 dB
() = -180°
• La proximidad del lugar de G(j) H(j) al punto -1+j0 es una medida de la estabilidad relativa.
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Punto (-1,0) en diagrama de Bode
• Eje real negative para el gráfico de Nyquist corresponde a un ángulo de -180º.
• Magnitud igual a la unidad corresponde a 0 dB.
• Para margen de fase se debe encontrar el ángulo de fase en 0 dB.
• Para márgen de ganancia se debe encontrar la magnitud en -180º.
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Margen de ganancia y margen de fase
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Margen de ganancia y margen de fase
• Para:
• El margen de ganancia en dB es negativo, el sistema es inestable.
• Para:
• El margen de ganancia en dB es positivo y el sistema es asintóticamente estable
El margen de ganancia solo no garantiza una buena estabilidad del sistema es necesario introducir también el margen de fase.
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Ejemplo 21
• Encontrar el diagrama de bode, MF, MG empleando MATLAB:
)20)(5(
1000
)120/)(15/(
10
ssssssGH
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Estabilidad sistemas con retardo de transporte
• La ecuación característica:
1 + G(s)H(s) = 0
NO es polinomial.
• Los métodos de solución no aplican
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Estabilidad sistemas con retardo de transporte
1
*1
1
*
)(0
0
s
ek
s
ek
R
YsG
sT
sT
01
*1
0
s
eksT
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Estabilidad sistemas con retardo de transporte • Aproximación de Padé:
• Aproximación de primer orden:
...48
)(
8
)(
21
...48
)(
8
)(
21
32
32
TosToss
To
TosToss
To
e sTo
sTo
sTo
e sTo
21
21
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Estabilidad sistemas con retardo de transporte • Respuesta de frecuencia:
• La magnitud es constante, independiente de la frecuencia, y la fase se hace más negativa a medida que w aumenta; la tasa de caída depende de To: a mayor To mayor decrecimiento de fase.
wTo
jwG
ejwG
jws
esG
jwTo
sTo
1|)(|
)(
)(
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Estabilidad sistemas con retardo de transporte
• Cuando el corrimiento de fase llegue a -180°, G(jω) deja de ser positivo: la realimentación se convierte en positiva llevando al sistema al borde de la inestabilidad.
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Ejemplo 22
Un intercambiador de calor, se puede representar por una función de transferencia de segundo orden:
La temperatura del producto de salida se mide aguas abajo, de tal forma que se adiciona un tiempo muerto de 4s, el medidor tiene una constante de tiempo τm = 30s y una ganancia en estado estable de 1 (%/%).
Analizar el sistema en malla cerrada sin y con tiempo muerto
)13)(110(
8.0)(
sssGP
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Estabilidad sin tiempo muerto
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HE sin tiempo muerto
Frequency (rad/s)
10-3
10-2
10-1
100
101
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
System: GHFrequency (rad/s): 0.218Phase (deg): -180
Phase (
deg)
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
System: GHGain Margin (dB): 27.5At frequency (rad/s): 0.219Closed loop stable? Yes
Magnitu
de (
dB
)
Estabilidad con tiempo muerto
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10-3
10-2
10-1
100
101
-2520
-2160
-1800
-1440
-1080
-720
-360
0
Phase (
deg)
HE con T muerto
Frequency (rad/s)
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
System: HEdelGain Margin (dB): 19.1At frequency (rad/s): 0.131Closed loop stable? Yes
System: HEdelFrequency (rad/s): 0.00137Magnitude (dB): -1.95
Magnitu
de (
dB
)
..\Soporte\Punto_m\html\word\Clase_16_Ejemplo_22.docx
Lugar de las raíces4,5,6,7
• Grafica de los ceros y polos de una función racional en el plano s.
• Muestra la ubicación de las raíces cuando algún parámetro de la función de sistema varía.
• Generalmente se grafica el lugar de las raíces de la ecuación característica del sistema en malla cerrada.
• Método para análisis y diseño.
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Lugar de las raíces4,5,6,7
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Lugar de las raíces
• Definición: el lugar de las raíces es el conjunto de valores de s para los cuales se satisface la ecuación:
Cuando K varía desde 0 hasta +∞
0KG(s)H(s)1
0]asa......sas
bsb......sbs[K1
01
1n
1n
n
01
1m
1m
m
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Lugar de las raíces
Un punto estará sobre el lugar de las raíces si satisface:
I. Ecuación de magnitud:
II. Ecuación de fase:
K
1
ps
zs
)s(H)s(Gn
1j
i
m
1i
i
...2,1,0);12(18011
kkn
jjp
m
i
zi
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Reglas de construcción
1. El número de ramas N del lugar de las raíces es el mayor entre P (#polos finitos) y Z (# ceros finitos): N = mayor(P,Z)
2. Las ramas del lugar de las raíces empiezan, en los polos en malla abierta. (puntos K = 0)
3. Las ramas del lugar de las raíces terminan, en los ceros en malla abierta. (puntos K = ∞)
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Reglas de construcción
4. El lugar de las raíces es simétrico respecto al eje real.
5. Las ramas del lugar de las raíces son asintóticas a líneas rectas, que tienen ángulos respecto al eje real dados por:
)1ZP(,...,1,0k;ZP
)k21(k
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Reglas de construcción
6. Las asíntotas se interceptan sobre el eje real en un punto dado por:
7. Sobre el eje real se encuentran porciones del lugar en tramos que estén a la izquierda de un número IMPAR de polos y ceros.
Z-P
GH CerosGH Polos
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Reglas de construcción
8. Las ramas del lugar de las raíces se separan del eje real en puntos de ruptura definidos por:
9. Intersección con el eje imaginario se calcula empleando el criterio de Routh - Hurwitz
0|])()(
1[| ss
sHsGds
dK
ds
d
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Reglas de construcción
10. Angulo de salida o de arribo de polos o ceros complejos se calcula a partir del criterio II
11. Ganancia correspondiente a un punto sobre el lugar se calcula a partir del criterio I
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Lugar de las raíces4,5,6,7
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Ejemplo 23
Graficar el lugar de las raíces para la ganancia de malla K. Realimentación unitaria. Emplear las reglas anteriores.
𝐺 𝑆 𝐻 𝑠 = 𝑠 + 7
𝑠(𝑠 + 5)(𝑠 + 15)(𝑠 + 20)
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Lugar de las raíces
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-20 -15 -10 -5 0-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
System: sysGain: InfPole: -7Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/s): 7
System: sysGain: 0Pole: -15Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/s): 15
System: sysGain: 0Pole: -20Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/s): 20
System: sysGain: 0Pole: -5Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/s): 5
System: sysGain: 0Pole: 0Damping: -1Overshoot (%): 0Frequency (rad/s): 0
Root Locus
Real Axis (seconds-1)
Imagin
ary
Axis
(seconds
-1)
Temas para el futuro
• Estabilidad: Controles y Sistemas Lineales
• Diseño empleando Root Locus: Controles
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Referencias
1. DORF Richard and BISHOP Robert. Modern Control Systems. 10th Edition. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. 2005.
2. FRANKLIN J.D; POWELL J.D, and ENAMI-NAEINI A. Feedback control of dynamic systems. 4th ed. Upper Saddle River, New Jersey : Prentice Hall, 2002.
3. SMITH Carlos A. and CORRIPIO Armando. Principles and practice of Automatic Process control 2nd Edition. New York: John Wiley and sons. 1997.
4. Peter Woolf. Dynamical Systems Analysis IV: Root Locus Plots & Routh Stability. Michigan Chemical Process Dynamics and Controls. Open Textbook
5. http://www.engin.umich.edu/group/ctm/home.text.html
6. Heather Malko. Matlab Tutorial : Root Locus. The University of Utah
7. http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node48.html
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