sistemas dinámicos - semana 1

SISTEMAS DINÁMICOS: CAPITULO 1- REPRESENTACIONES DE SISTEMAS

Ing. Gerardo Becerra, M.Sc.

Representaciones de sistemas

Objetivos: 1. Utilizar datos, indicios e información para formular las

ecuaciones de un sistema (CDIO 2.1.1.1)

2. Describir las abstracciones necesarias para definir y modelar un sistema. (CDIO 2.3.2.1)

3. Identificar las interfaces esenciales entre los elementos del sistema (CDIO 2.3.2.3)

4. Identificar sistemas propios según una disciplina y sistemas con interacción entre áreas (CDIO 2.3.2.4)

G. Becerra -Ene-2015 2

Contenido

Semana # 1 (3 horas) • Definir y clasificar sistemas • Definir las etapas para el estudio de sistemas • Definir variables de estado y plantear las

ecuaciones de estado: circuitos eléctricos. • Plantear modelos de sistemas variantes con el

tiempo

3 G. Becerra -Ene-2015

Temas para repasar

• Descripción de sistemas en el dominio del tiempo y la frecuencia (Circuitos en frecuencia)

• Representación matricial de transformaciones lineales; valores y vectores propios (Algebra Lineal)


Que es un sistema?

• Cualquier cosa se puede tratar como un sistema

• Sistema: conjunto de elementos interactuantes


Que restricciones tiene un sistema?

Para que “cualquier cosa” se pueda estudiar formalmente como un sistema debe:

Las componentes internas o subsistemas, interactúan entre si.

Ser limitado: Las fronteras del sistema separan a las componentes internas del mundo externo.


Que restricciones tiene un sistema?

Para que “cualquier cosa” se pueda estudiar formalmente como un sistema debe:

Tener un objetivo y un rendimiento medible

Interactuar con otros sistemas y el ambiente

Existir alguna relación causa – efecto y un cierto grado de estabilidad


Sistema estático: sin memoria

• ESTÁTICO : las salidas actuales son el resultado de las entradas actuales únicamente.

• Se describe por ecuaciones algebraicas.

• Un sistema es sin memoria si y sólo si y(t) solo depende de u(t), para todo t

• y(t)= f{u(t) }


Sistema dinámico

• DINÁMICO . las salidas actuales son el resultado de las entradas actuales y la historia pasada: tiene memoria.

• Se describe por ecuaciones diferenciales


Entrada sencilla – salida sencilla (SISO)

• Un sistema se denomina SISO (Single Input Single Output) si tiene una sola variable de entrada y una sola variable de salida.

• Se emplean escalares


Entrada múltiple – salida múltiple (MIMO)

• Un sistema se denomina MIMO (Multiple Input Multiple Output) si tiene varias variables de entrada y varias variables de salida.

• Se emplean vectores y matrices


Sistema concentrado

• Un sistema concentrado sólo tiene como variable independiente al tiempo, se describe por medio de un conjunto finito de variables de estado

• Se describe por ecuaciones diferenciales totales.


Sistema distribuido

• Un sistema distribuido tiene dos o más variables independientes, requiere un número infinito de variables de estado.

• Se describe por ecuaciones diferenciales parciales.


Sistema continuo

• Un sistema es continuo en el tiempo si acepta como entradas señales continuas en el tiempo y genera como salidas señales continuas.

• Se describe por variables continuas y ecuaciones diferenciales

u(t) y(t)


Sistema discreto

• Un sistema es llamado de tiempo discreto si acepta como entrada señales discretas en el tiempo y genera como salida señales discretas.

• Se describe por secuencias y ecuaciones diferencia

u(k t) y(k t)


Linealidad - Superposición

• Un sistema es lineal si para los pares { x1(t0) , u1[t0 , ) } ======

{ x1[t0 , ) , y1[t0 , ) }

y { x2(t0) , u2[t0 , ) } ======

{ x2[t0 , ) , y2[t0 , ) }

y para todo , R , las siguientes relaciones

son validas:


Linealidad - Superposición

1. Aditividad: {x1(t0) + x2(t0) , u1[t0 , ) + u2[t0 , ) }

{x1[t0 , ) + x2[t0 , ) , y1[t0 , ) + y2[t0 , )}

2. Homogeneidad { x1(t0) , u1[t0 , ) } ====== { x1[t0 , ) , y1[t0 , ) }

En caso contrario el sistema es no lineal.


Sistema lineal

Bajo que condiciones es lineal? Puede ser no lineal?


Sistema no lineal

Cómo es la relación volumen vs nivel?


Invariancia

• Un sistema es invariante con el tiempo si dado un estado inicial y una entrada:

{ x(t0) , u[t0 , ) } ==== { x[t0 , ) , y[t0 , ) } y para cualquier tiempo τ R: { x(t0 + τ) , u[t0 + τ, ) } { x[t0 + τ, ), [t0 + τ, ) } • De lo contrario el sistema es variante con el tiempo.


Sistema invariante

Para que condiciones se puede considerar invariante?


Sistema variante

Es independiente el voltaje de salida del tiempo?


http://www.howtomobile.com/images/razr2-battery-life.jpg

Causalidad

• Un sistema es causal si la salida en t = t0 depende de los valores de la entrada y de la salida para t t0.

• Un sistema no causal es anticipatorio: genera una respuesta antes de tener aplicada una entrada.


Ejemplo 1

• Clasificar los sistemas descritos por:

)(

)(

)(

01

243

)(

)(

3

2

1

2

1

tu

tu

tu

tty

ty


dtuety

tutytyety

t

t

t

)()(

)()()(3)(

0

Ejemplo 1

• La característica entrada – salida describe un sistema lineal?

Existe representación matemática para la curva de histéresis?


Parámetros físicos

• Unidades, dimensiones y rangos. • Constantes: parámetros físicos del sistema,

generalmente son desconocidas o poco definidas y por lo tanto se deben encontrar por medio de un proceso de identificación de sistemas.

• Variables: describen el comportamiento del sistema respecto al tiempo: las excitaciones son externas y conocidas a priori, las salidas y los estados internos se deben determinar.


Variables

• Variables de “esfuerzo”: asociadas con la capacidad de desarrollar un trabajo. Se pueden representar en general por la letra e

• Variables de “flujo”: asociadas con el movimiento de masa. Se pueden representar por la letra f.

• Para la descripción de los componentes se requieren dos variables una de esfuerzo y otra de flujo.


Variables

SISTEMA ESFUERZO e(t) FLUJO f(t)

Eléctrico Voltaje v(t) – (V) Corriente i(t) - (A)

Mecánico Traslación Fuerza f(t) – (N) Velocidad v(t) – (m/s )

Mecánico Rotación Momento o Torque τ(t) –

(N-m)

Velocidad angular – ω(t)

– rad/s

Hidráulico Presión p(t) – (Pa) Tasa de flujo, f(t) – (m3

/s)

Térmico Temperatura T(t) – (°𝐶) Flujo de calor Q(t) – (J/s)


Constantes

Parámetros físicos del sistema, generalmente son desconocidas o poco definidas y por lo tanto se deben encontrar.

• Por medición directa.

• Por información de los fabricantes: especificaciones, curvas etc.

• Por un experimento de identificación de sistemas.


Modelo matemático

Es un conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema y que se obtienen a partir de las leyes de interconexión, las leyes de los elementos y de los principios físicos fundamentales. A partir del modelo se puede analizar la respuesta, evaluar parámetros de funcionamiento y diseñar los sistemas de control requeridos para modificar a voluntad la respuesta dinámica del sistema.


Que es modelar un sistema?

• Es PLANTEAR un conjunto de ecuaciones que describen su comportamiento.

• A partir de principios básicos.

• El modelo permite analizar la respuesta, evaluar parámetros de funcionamiento y diseñar los sistemas de control requeridos para modificar a voluntad la respuesta dinámica del sistema.


Que se necesita para el modelo?

• Definir las fronteras • Definir las relaciones con los demás

subsistemas y el ambiente • Plantear un modelo • Distinguir entre el sistema real y el

modelo • Todo modelo es una aproximación de la

realidad y se pierden detalles importantes.


Desarrollo de modelos

ES ADECUADO?

VERIFICAR

SOLUCIONAR

PLANTEAR ECUACIONES

DESCOMPONER

DEFINIR

NO

REVISAR


Definir

• Objetivo del análisis.

• Requerimientos del análisis

• Delimitar el alcance

• Dividir el problema en el sistema de interés y su entorno.


Descomponer

• Identificar los componentes, numerarlos y plantear los diagramas de cuerpo libre que muestran las entradas, salidas y las interacciones internas y externas.

• Identificar todos los parámetros y variables necesarias, sus convenciones y orientaciones.


Plantear

• Definir el tipo de formulación: entrada – salida o variables de estado.

• Escribir las relaciones entrada / salida de los componentes individuales.

• Plantear las ecuaciones del sistema a partir de las leyes de interconexión y de conservación.

• Plantear ecuaciones independientes.


Solucionar

• Dominio del tiempo

• Dominio transformado (s, jw, z)

• Solución analítica.

• Solución numérica.

• Linealización

• Simulación


Verificar

• Punto de equilibrio.

• Variables dentro del rango dinámico.

• Balance de energía.

• Balance de masa.

• Validez suposiciones

• Ajustar parámetros, si es necesario


Modelos sistemas LIT

• Entrada –salida: ecuación que describe la variable de salida de interés (y) en función de las entradas (u) • Dominio tiempo:

• Sistemas continuos: ecuación diferencial

• Sistemas discretos: ecuación diferencia

• Dominio frecuencia: relación algebraica (función de transferencia): • Sistemas continuos: variable s o jω

• Sistemas discretos: variable z


Modelo: Entrada - salida

• Ecuación Integro – Diferencial lineal de coeficientes constantes:

• Lineal

• Coeficientes constantes (invariante)

ubdt

udb

dt

udbya

dt

yda

dt

yda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 01

1

101

1

1 .........


Función de transferencia

• La transformada de Laplace de la ecuación integro – diferencial, con condiciones iniciales nulas (estado cero) lleva a:

01

1

1

01

1

1

01

1

1

01

1

1

.....

.....

)(

)()(

)(...

)(...

asasasa

bsbsbsb

sU

sYsH

sUbsbsbsb

sYasasasa

n

n

n

n

m

m

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n


Espacio de estado

• El estado de un sistema en el tiempo t0 es la mínima cantidad de información que junto con la entrada u[t0 , ) determinan la respuesta del sistema para todo t ≥ t0.

• El estado resume la información pasada requerida para determinar el comportamiento futuro del sistema.

• Se definen variables de estado en sistemas con almacenamiento de energía; no aplica para sistemas instantáneos.


Espacio de estado

• Conjunto finito de ecuaciones de la forma:

• f y h son funciones vectoriales:

qpn

tttt

)(ttttt

yux

uxhy

xxuxfx

,,

))(),(,()(

))(),(,()( 00

qpn

npn

:

:

h

f


Espacio de estado

• Para discreto:

• Los sistemas se pueden representar por:

))(),(,()(

)( )(),(,()1( 00

kukxkhky

xkxkukxkfkx

qjuuuxxxthy

nixtxuuuxxxtfx

pnjj

iipnii

...2,1 );...,;....,;(

...2,1 )();...,;....,;(

2121

002121


Espacio de estado

• En notación matricial:

• X es el vector de estado, U el vector de entradas y Y el vector de salidas:

qpn

npn

t

tt

:

:

),(

)( ),( 00

H

F

UX,HY

XXUX,FX

qpn YUX ,,


Espacio de estado

• X (t) vector de variables de estado del sistema (n x 1) • A (t) matriz del sistema (n x n) • B (t) matriz de entrada (n x p) • U (t) vector de variables de entrada (p x 1) • Y (t) vector de variables de salida (q x 1) • C (t) matriz de salida (q x n) • D (t) matriz “hacia delante” (q x p)


Espacio de estado4


Espacio de estado

• Se asocia una variable de estado con cada elemento de almacenamiento de energía

• Selección no es única

• El conjunto de variables de estado debe ser linealmente independiente.

• Sistema LIT: A, B, C, D son constantes

• La representación de estado se puede emplear para sistemas: lineales, no lineales, variantes, invariantes, continuos, discretos, SISO y MIMO


Variables de estado circuitos eléctricos


Ejemplo 2

• Plantear el conjunto de ecuaciones de estado que describe al sistema. Tomar como salida

2Rv


Ejemplo 3: Sistema variante

• Plantear las ecuaciones de estado para un sistema Lineal Variante con el tiempo.


Ejemplo 45

• Plantear el modelo de estado.

• Variable de salida voltaje sobre R = 1Ω

• Variables (v,i)

• Variables (q,φ)

• Qué relación existe entre las representaciones?


Referencias

1. CHUA Leon, DESOER Charles, KUH Ernest. Linear and Nonlinear Circuits. New York. McGraw-Hill. International Edition 2000.

2. CHEN Chi-Tsong. Linear Systems Theory and Design. 3rd Edition. New York: Oxford University Press. 1999.

3. CLOSE Charles, FREDERICK Dean and NEWELL Jonathan. Modeling and Analysis of Dynamic Systems. 3rd Edition. New York: John Wiley & Sons. 2002.

4. Carl H. Durney STATE-SPACE METHOD CIRCUITS Matlab® TUTORIAL.

5. Eytan Modiano State Variable Description of LTI systems


sistemas dinámicos - semana 1

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