Sistemas Dinmicos de Primer Orden

Sistemas Dinmicos de Primer OrdenObjetivo:Explicar el significado fsico de algunos parmetros del proceso que definen la personalidad de este.Plantear ejemplos de procesos de primer orden.Fundamento terico:Proceso TrmicoSe tiene inters en conocer la forma en que responde la temperatura de salida T(t), a los cambios en la temperatura de entrada Ti(t).Se supone que los flujos volumtricos de entrada y salida, la densidad de los lquidos y la capacidad calorfica de los lquidos son constantes y que se conocen todas estas propiedades.El lquido en el tanque se mezcla bien y el tanque esta bien aislado, es decir el proceso es adiabtico.

La relacin que se desea entre la temperatura de entrada y la salida da como resultado un balance de energa en estado dinmico al contenido del tanque:

En trminos de temperatura:

Donde:

Considerando que la densidad y la capacidad calorfica permanecen constantes, sobre todo el rango de operacin de temperatura tenemos: (1 ec. y 1 Incgnita)

Esta es una ecuacin diferencial lineal ordinaria de primer orden que expresa la relacin entre la temperatura de entrada y la de salida.

Esta ecuacin solo tiene una incgnita T(t), la temperatura de entrada Ti(t) es una variable de entrada, que ser a la cual se someter a cambios en escaln o rampa.

La temperatura de entrada Ti(t) se conoce como Variable de entrada o Funcin de forzamiento, ya que es la que fuerza el cambio en la temperatura de salida.

La temperatura de salida T(t) se conoce como Variable de Salida o Variable Respuesta, ya que es la que responde a la funcin de forzamiento.Escribiendo en balance de energa del contenido del tanque en estado estacionario. ..(4)

Al sustraer la ecuacin (4) de la (3) tenemos: ..(5)

Definiendo las variables de desviacin tenemos: ..(6) ..(7)Donde:

Sustituyendo (6) y (7) en (5) tenemos: (8)

La ecuacin (8) es la misma que la ecuacin (5), con la diferencia de que esta en trminos de temperaturas de desviacin.

La solucin de esta ecuacin de por resultado la temperatura de desviacin, T(t), contra el tiempo, para cierta funcin de forzamiento Ti(t). Si se desea la temperatura real de salida, T(t), se debe aadir el valor de estado estacionario a T(t), debido a la ecuacin (6).

(8)

Ordenando la ecuacin (8) tenemos:

Donde: .(9)Por lo tanto: (10)

Puesto que esta es una ecuacin diferencial lineal, con la utilizacin de la transformada de Laplace se obtiene:

..(11)

..(12)

La ec. (12) se conoce como Funcin de Transferencia de Primer orden debido a que se desarrolla de una ecuacin diferencial de primer orden.

El nombre de Funcin de transferencia proviene del hecho de que con la solucin de la ecuacin se Transfiere la entrada o funcin de forzamiento Ti(t), a la salida o variable respuesta T(t).

Si se supone que la temperatura de entrada Ti(t), al tanque se incrementa en A C, es decir sufre un cambio escaln en A C de magnitud. Se tiene:Para un cambio escaln: Ti(t)=Au(t)

Su transformada de Laplace:

Sustituyendo en la funcin de transferencia:

Operacin No Adiabtica Si se elimina la suposicin de operacin adiabtica y se toma en cuenta la prdida de calor en el balance de energa se llega a la siguiente ecuacin:

Donde:

El coeficiente global de transferencia de calor, U, es una funcin de diversos factores; uno de ellos es la temperatura que, sin embargo, para este ejemplo es particular, se supone es constante. Puesto que se supone que la masa y la densidad del lquido en el tanque, altura tambin son constantes, entonces el rea de transferencia de calor, A, tambin es constante.

Esta es tambin una ecuacin diferencial lineal de primer orden y, en este caso, an existe una ecuacin con una incgnita T(t); la nueva variable, Ts(t), es otra funcin de forzamiento. Conforme cambia la temperatura ambiente, Ts(t), se afecta la prdida de calor y, en consecuencia, la temperatura del lquido que se procesa. Podemos reordenar la ecuacin:

o

Se puede observar que el lado derecho tiene dos funciones de forzamiento, que actan sobre la respuesta del lado izquiendo.

Donde:

Aplicando la transformada de Laplace tenemos:

Pero T(0)=0, entonces reordenando tenemos:

Si la temperatura ambiente permanece constante Ts(t) = s y Ts(t) = 0, Tendremos entonces que la ecuacin seria:

Si la temperatura del lquido que entra permanece constante, Ti(t) = i y Ti(t) = 0, tendremos entonces que la ecuacin seria

En las tres ultimas ecuaciones se encuentra un parmetro nuevo y muy importante, K, que se conoce como ganancia del proceso o ganancia de estado estacionario.

Para conocer el significado fsico de esta ganancia K, supngase que la temperatura de entrada al tanque se incrementa en A C; entonces la respuesta de la temperatura a esta funcin de forzamiento se expresa:De lo cual:

o

Analizando la siguiente grafica; K1A expresa la cantidad total de cambio; la ganancia multiplica el cambio en la funcin de forzamiento. Se puede decir que la ganancia indica cuanto cambia la variable de salida por unidad de cambio en la funcin de forzamiento o variable de entrada; es decir , la ganancia define la sensibilidad del proceso.

La ganancia es otro parmetro relacionado con la personalidad del proceso que se controla y, en consecuencia depende de las propiedades fsicas y los parmetros de operacin del proceso.