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Programa de Ingeniería Química.
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCSCO DE MIRANDA”
ÁREA DE TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MECÁNCA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN
DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
TEMA Nº 2.
SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER
ORDEN
PROFESOR: ING. CARLOS A. PÉEZ M.-
Punto Fijo; abril de 2016
Programa de Ingeniería Química.
2 Sistemas Dinámicos de primer orden
Prof. Ing. Carlos A. Pérez M.- Esp.
TEMA N° 2 SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN
2.1 Definición de un sistema de primer orden:
Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y(t) es modelada
mediante una ecuación diferencial de primer orden. Así en el caso de un sistema
lineal o linealizado, se tiene:
a1*y(t) + aO*y = b * x(t )
Donde x(t) es la entrada (función forzada). Si se divide toda la expresión
entre ao quedaría de la forma siguiente, aplicando el teorema de diferenciación
real propuesto por Laplace, queda la ecuación de la manera siguiente:
t p dy
+ y = K p x(t )
dt
Tp Es conocida como constante de tiempo y Kp es conocida como ganancia
de estado estable o ganancia del proceso.
Un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la
ecuación es también conocido como Sistema de primer orden, retardo de primer
Orden ó retardo lineal.
2.2 Modelamiento de procesos como sistemas de primer orden.
• Tiene capacidad para almacenar materia o energía.
• Presentan una resistencia asociada con el paso del flujo de masa ó
energía.
2.3 Balance de materia
2.2.1 Ley de conservación de la materia
Si no hay generación o consumo de materia dentro del sistema
Acumulación = Entradas – Salidas
Si no existe acumulación o consumo de materia dentro del sistema, se dice
que Estamos en estado estacionario o uniforme.
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Entradas = Salidas
Si no existen flujos de entrada y salida, se reduce al concepto básico la
conservación de la materia dentro de un sistema cerrado o aislado.
Para todo balance de materia debe definirse un sistema, se entiende por
este a cualquier porción arbitraria o total de un proceso.
El método general para resolver balances de masa (BM) es simple:
1. Definir el sistema. Dibujar un diagrama de proceso.
2. Colocar en el diagrama los datos disponibles.
3. Observar cuales son las composiciones que se conocen, o que pueden
calcularse fácilmente para cada corriente.
4. Determinar las masas (pesos) que se conocen, o que pueden definirse
fácilmente, para cada corriente. Una de estas masas puede usarse como base de
cálculo.
5. Seleccionar una base de cálculo adecuada. Cada adición o sustracción deberá
hacerse tomando el material sobre la misma base.
6. Asegurarse de que el sistema esté bien definido.
Una vez logrado lo anterior, se estará preparado para efectuar el número
necesario de balances de materia.
2.4 Balance de energía
2.4.1 Conceptos básicos:
1. Sistema:
Cualquier masa de material o parte de equipo especificados arbitrariamente.
Un sistema se define circundándolo con una frontera. Un sistema cerrado por el
cual no hay transferencia de masa se denomina sistema cerrado o sistema sin
flujo, en contraposición a un sistema abierto o sistema con flujo, en el cuál se
permite el intercambio de masa. Toda masa o equipos externos al sistema
definido se designan como entorno. Al resolver un problema se debe definir
claramente el sistema y su entorno.
2. Propiedad:
Es una característica de un materia la cuál se puede medir, como volumen,
presión, temperatura etc.., o que se puede calcular
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3. Propiedad extensiva(variable, parámetro):
Es aquella cuyo valor depende de la cantidad de material y es aditiva, por
ejemplo el volumen y la masa son propiedades extensivas.
4. Propiedad intensiva (variable, parámetro):
Es aquella cuyo valor no es aditivo y no varía con la cantidad de material,
ejemplo temperatura, presión, densidad.
5. Estado:
Es el conjunto de propiedades de los materiales en un momento dado. El
estado de un sistema no depende de la forma o la configuración del sistema sino
sólo de sus propiedades intensivas como la temperatura, la presión y la
composición.
Dos propiedades son independientes una de la otra, si existe por lo menos una
variable de estado del sistema en la que una propiedad varíe y la otra se
mantenga fija
6. Proceso Adiabático:
Proceso en que no hay intercambio de calor, el sistema está aislado. También
puede considerarse como adiabático el proceso, si Q(calor transferido) es muy
pequeño o cuando el proceso ocurre con tal rapidez que no hay tiempo de
transferir calor.
7. Capacidad calorífica:
Se definen las capacidades caloríficas a volumen constante (Cp) y a presión,
para rangos no demasiado amplios de temperatura se puede considerar a las
capacidades caloríficas como independientes de la temperatura. Para líquidos y
sólidos Cv y Cp se pueden considerar prácticamente iguales. Para los gases ideales
Cp = Cv +R
Con objeto de dar un significado físico a la capacidad calorífica, se puede
pensar que representa la cantidad de energía necesaria para elevar en un grado la
temperatura de la unidad de masa de una sustancia.
Si consideramos la dependencia de la capacidad calorífica a presión constante
Cp, con la temperatura y teniendo en cuenta que casi todas las ecuaciones para
Cp de sólidos y líquidos son empíricas, se expresa mediante una serie de
potencias, con constantes a, b b, c, etc. por ejemplo:
Cp = a + bT + cT2 + dT
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2.5 Tipos de energía:
1. Trabajo (W):
Es una forma de energía que representa una transferencia entre el sistema y
el entorno. El trabajo no puede almacenarse. Es positivo si se efectúa sobre el
sistema, el trabajo hecho por el sistema es negativo.
2. Calor:
Se define como la parte del flujo total energía que cruza a través de la frontera
de un sistema debido a una diferencia de temperatura entre el sistema y el
entorno. Se conoce en ingeniería también como flujo calórico
El calor es positivo cuando es transferido al sistema, este puede ser
transferido por conducción, convección y radiación.
Para evaluar cuantitativamente la transferencia de calor, se puede utilizar una
fórmula empírica:
.
Q = UADT (1)
.
Q = Velocidad de transferencia de calor
A = área de transferencia
U = coeficiente de transferencia de calor (dato empírico)
DT = diferencia efectiva de temperatura entre el sistema y el entorno
3. Energía cinética (Ec):
Es la energía que tiene el sistema asociada a su velocidad relativa al
entorno en reposo
Ec = ½ mv2 (2)
4. Energía potencial(P):
Es la energía que posee el sistema debido a la fuerza ejercida sobre su masa
por un campo gravitacional o electromagnético con respecto a un plano de
referencia
Energía potencial debida a un campo gravitacional: P = mgh
h = distancia al plano de referencia, medida a partir del centro de masa del
sistema
m = masa del sistema
g = aceleración de gravedad
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5. Energía interna:
La energía interna (U), es la medida macroscópica de las energías moleculares,
atómicas, y subatómicas, lo cual sigue reglas microscópicas definidas para los
sistemas dinámicos. La energía interna se mide indirectamente a través de la
medición de otras variables, tales como presión, volumen, temperatura y
composición. La energía interna se calcula como en relativa a un estado de
referencia, pero no en forma absoluta
6. Entalpía:
La entalpía se expresa como H = U + PV (3), donde E es la energía interna, P es
la presión y V el volumen. .
Al igual que en el caso de la energía interna, la entalpía no tiene un valor
absoluto, sólo se miden los cambios de entalpía. Para determinar la entalpía se
considera un estado de referencia:
Estado inicial del sistema Estado final del sistema
Entalpía = H1 - Href H2 - Href
Cambio neto de entalpía del sistema al pasar del estado inicial al estado final:
(H2 - Href ) – (H1 - Href ) = H2 – H1 = DH (4)
Se tiene que del primer principio de la termodinámica: DU = Q – W (5)
Siendo Q el calor absorbido y W el trabajo realizado, W = PDV.
Si consideramos un proceso a presión constante tenemos:
DH = DU + PDV, en este caso DH corresponde al calor absorbido por el sistema,
luego
DH = Qp
Si el proceso se verifica a volumen constante DV = 0, luego Qv = DU = DH
La entalpía es una función de estado y sólo depende de los estados inicial y final y
no del camino recorrido
2.6 Ecuación general del balance de energía
La ecuación general del balance de energía se expresa de la siguiente forma:
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Acumulación de energía = transferencia de energía - transferencia de energía
Dentro del sistema a través de la frontera fuera de la frontera
del sistema del sistema
+ Energía generada dentro - energía consumida dentro (6)
del sistema del sistema
Esta ecuación puede ser aplicada a un equipo individual o a toda una planta
En la ecuación (6) se pueden introducir algunas simplificaciones:
1. No hay acumulación de energía dentro del sistema
2. No hay generación de energía dentro del sistema
3. No se consume energía dentro del sistema
Si introducimos esas simplificaciones la ecuación (6) se reduce a:
Transferencia de energía a través =
Transferencia de energía
fuera
de la frontera del sistema de la frontera del sistema
2.7 Reacciones exotérmicas; endotérmica y catalizadas:
El sufijo térmico se aplicaba antes solo para energía calorífica, pero
modernamente se ha extendido a cualquier tipo de energía.
Como la energía liberada o absorbida en una reacción química es
usualmente calor, esto se expresa escribiendo a la derecha de la ecuación el valor
H, con signo negativo (-) para las raciones exotérmicas y signo (+) positivo para las
reacciones endotérmicas
2.7.1 Procesos endotérmicos
Se denomina proceso endotérmico a cualquier proceso en que se absorbe
energía.
Si hablamos de entalpía (H), una reacción endotérmica es aquélla que tiene
un incremento de entalpía o _H > 0. Es decir, la energía que poseen los productos
es mayor a la de los reactivos.
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Las reacciones endotérmicas y especialmente las relacionadas con el
amoníaco impulsaron una próspera industria de generación de hielo a principios
del siglo XIX. Actualmente el frío industrial se genera con electricidad en máquinas
frigoríficas.
2.7.2 Procesos exotérmicos
Se denomina proceso exotérmico a cualquier proceso en que se desprende energía, es decir con una variación negativa de entalpía. Por ejemplo, cuando
reaccionan entre sí dos átomos de hidrógeno para formar una molécula, el
proceso es exotérmico. Son cambios exotérmicos el paso de gas a líquido
(condensación) y de líquido a sólido (solidificación). Un ejemplo de reacción
exotérmica es la combustión.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Considérese el proceso de mezclado que se ilustra en la figura, donde se
supone que la densidad de la corriente de entrada y la de salida son muy similares
y que las tasas de flujo FI y F2 son constantes. Obténganse las funciones de
transferencia que relacionan la concentración a la salida con cada concentración a
la entrada; se deben indicar las unidades de todas las ganancias y las constantes
de tiempo.
2.- Considérese el reactor isotérmico, que se muestra en la figura, donde la tasa
de reacción se expresa mediante:
Donde k es una constante.
Se supone que la densidad y todas las otras propiedades físicas de los productos y
los reactivos son semejantes, también se puede suponer que el régimen de flujo
entre los puntos 2 y 3 es muy turbulento (flujo de acoplamiento), con lo que se
minimiza la mezcla hacia atrás.
Obténganse las funciones de transferencia que relacionan:
a. La concentración de A en 2 con la de A en 1.
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b. La concentración de A en 3 con la de A en 2.
c. La concentración de A en 3 con la de A en 1.
3.- Considérese el proceso mostrado en la figura, en el cual el tanque es esférico
con un radio de 4 pies; el flujo nominal de entrada y de salida del tanque es de
30,000 lbm/hr; la densidad del líquido es de 70 lbm/pies3; y el nivel de estado
estacionario es de 5 pies. El volumen de una esfera es 4Π r3/3, y la relación entre
volumen y altura se expresa mediante
El flujo a través de las válvulas es:
Donde:
r = radio de la esfera, pies
V(t) = volumen del líquido en el tanque, pies3
Vr = volumen total del tanque, pies3
h(t) = altura del líquido en el tanque,
pies w(t) = tasa de flujo, lbm/hr
Cv = coeficiente de la válvula, gpm/psi1/2
Cv1 = 20.2 y Cv2 = 28.0
Δp = caída de presión a través de la
válvula psi. Gf = gravedad específica del
fluido.
vp(t) = posición de la válvula, fracción de apertura de la válvula
La presión sobre el nivel del líquido se mantiene al valor constante de 50 psig.
Obténganse las funciones de transferencia que relacionan el nivel del líquido en el
tanque, con los cambios de posiciones de las válvulas 1 y 2., También se deben
graficar las ganancias y las constantes de tiempo contra los diferentes niveles de
operación cuando se mantiene constante la posición de las válvulas.
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4.- Considérese el tanque de calentamiento que se muestra en la figura. El fluido
que se procesa se calienta en el tanque mediante un agente calefactor que fluye a
través de los tubos; la tasa de transferencia de calor, q(t), al fluido que se procesa
se relaciona con la señal neumática, m(t), mediante la expresión:
Se puede suponer que el proceso es adiabático, que el fluido se mezcla bien en el
tanque y que la capacidad calorífica y la densidad del fluido son constantes.
Obténganse las funciones de transferencia que relacionan la temperatura de
salida del fluido con la de entrada, Ti(t), la tasa de flujo del proceso F(t) y la señal
neumática, m(t). Se debe dibujar también el diagrama de bloques completo para
este proceso.
5.- Considérese el proceso de mezclado que se muestra en la figura. La finalidad
de este proceso es combinar una corriente baja en contenido del componente A
con otra corriente de A puro; la densidad de la corriente 1, ρ1, se puede
considerar constante, ya que la cantidad de A en esta corriente es pequeña.
Naturalmente, la densidad de la corriente de salida es una función de la
concentración y se expresa mediante:
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El flujo a través de la válvula 1 está dado por
El flujo a través de la válvula 2 está dado por
Finalmente, el flujo a través de la válvula 3 está dado por
La relación entre la posición de la válvula y la señal neumática se expresa con
Donde:
a1, b1, d1, a2, b2, d2, a3, b3 = constantes conocidas.
Cv1; Cv2; Cv3 = coeficientes de las válvulas 1, 2 y 3 respectivamente, m3/(s-psi
1/2) vp1(t), vp2(t) = posición de las válvulas 1 y 2 respectivamente, fracción sin
dimensiones.
Δp1, Δp2 = caída de presión a través de las válvulas 1 y 2, respectivamente, la cual
es constante, psi
Δp3(t) = caída de presión, a través de la válvula 3, psi.
G1, G2 = gravedad especifica de las corrientes 1 y 2, respectivamente, la cual es
constante y sin dimensione
G3 (t) = gravedad especifica de la corriente 3, sin dimensiones
Se debe desarrollar el diagrama de bloques para este proceso; en él deben
aparecer todas las funciones de transferencia y la forma en que las funciones de
transferencia m1 (t), m2 (t) y CA1 (t) afectan a las variables de respuesta h(t) y
CA3(t).
6.- Considere la temperatura del sensor esbozado en la figura. El bulbo y sus
alrededores están a una temperatura uniforme, Tb (t), °C, y los alrededores
también a una temperatura uniforme, T(t). El intercambio de calor entre el
entorno y el bulbo está dada por
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Donde
q (t) = velocidad de transferencia de calor, J / s
h = coeficiente de película de transferencia de calor, J / s-m2 - °C
A = área de contacto entre el bulbo y sus alrededores, m2
Sea M, en kg, la masa del bulbo y termopozo, y Cv, J/kg- °C, siendo su capacidad
calorífica. Obtener la función de transferencia que representa la respuesta de la
temperatura del bulbo cuando cambia la temperatura de los alrededores. Dibujar
el diagrama de bloques para el bulbo. Expresar la constante de tiempo y la
ganancia en términos de los parámetros del bulbo. Nota: La función de
transferencia derivados aquí por lo general representa la respuesta dinámica de la
mayoría los sensores de la temperatura, independientemente de su tipo.
7.- En casa del Dr. Corripio, la tubería de agua caliente entre el calentador de agua
y su ducha es de 1/2 tubos de cobre (área de sección transversal = 0,00101 m2) y
alrededor de 30 metros de agua caliente en la ducha totalmente abierto y el flujo
era de 2 galones por minuto. ¿Cuánto tiempo tienen que esperar para que el agua
caliente llegue a la ducha. Escriba la función de transferencia T(s)/Th(s) de la línea
de agua caliente, donde T(t) es la temperatura en la ducha, y Th (t) es la
temperatura en el calentador de agua caliente, cuando la válvula de agua caliente
se abre. Dibujar el diagrama de bloques para el agua caliente de la línea. ¿Cuál es
la función de transferencia cuando la válvula de agua caliente se cierra? ¿Podría
usted predecir este caso por su respuesta anterior?
8.- Considere del tambor se muestra en la figura. Aquí z (t), x (t), y y (t) son el tope
fracciones del componente más volátil en el alimento, líquido y vapor del
destilado, respectivamente. La masa total del líquido y el vapor acumulado en el
tambor, la temperatura y presión, se supone constante. Si el equilibrio entre las
fases de vapor y líquido que sale del tambor se asume, entonces lo siguiente
relación entre y (t) y x (t) se puede establecer el estado de equilibrio y la
información es otro proceso.
M = 500 kmoles, F = 10 kmoles / s, L = 5 kmoles / s, α = 2,5, y x (O) = 0.4. Obtener
la función transferencia que relaciona la salida de la composición del líquido, x (t),