Sistemas de primer orden

Raul RechtmanInstituto de Energıas Renovables

UNAM

14 de octubre de 2019

1. Modelo de Lotka-Volterra

El modelo de Lotka-Volterra estudia la interaccion entre R presas y F depreda-dores de acuerdo a

dR

dT= aR+ bRF (1)

dF

dy= cF + dRF (2)

con a > 0, b < 0, c < 0, d > 0. Podemos pensar que las presas son cone-jos y los depedadores zorros. En ausencia de zorros, la poblacion de conejos creceexponencialmente y en ausencia de conejos, la pobalcion de zorros decrece expo-nencialmente. Los encuentros entre zorros y conejos son beneficos para los primerosy fatales para los segundos. En la Fig. 1 (a) mostramos las soluciones del modelocomo funciones del tiempo y en la Fig. 1 (b) algunas soluciones en el espacio fase.

2. Modelo de Lotka-Volterra modificado

dR

dT= aR

(1− R

a

)+ bRF, (3)

dF

dy= cF + dRF, (4)

con a > 0, b < 0, c < 0, d > 0. Si F = 0, R satisface la ecuacion logıstica. Enlo que sigue a = 2.0, b = −1.2, c = −1.0 y d = 0.9. En la Fig. 2 mostramos lassoluciones como funcion del tiempo y en el espacio fase.

Las soluciones de equilibrio son las soluciones de

R (a−R+ bF ) = 0, (5)

F (c+ dR) = 0. (6)

1

(a) (b)

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14

R F

t

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

F

R

Figura 1: Modelo de Lotka-Volterra, ecs. (1) y (2). (a) El numero de conejos R yzorros F como funcion del tiempo con. (b) Soluciones en el espacio fase. Los valoresde los parametros sobn a = 2.0, b = −1.2, c = −1.0 y d = 0.9.

Hay cuatro posibles soluciones. Cuando los dos primeros terminos de las expresionesanteriores son cero tenemos que

R = 0, F = 0. (7)

Si no hay individuos de las dos especies, esto se mantiene en el tiempo. Cuando losdos segundos terminos son cero,

R =− c/d, (8)

F =−ad− cbd

. (9)

Este es el punto fijo A que mostramos en la Fig. 2 (b). Cuando el primer termino dela primera expresion y el segundo de la segunda expresion son cero el resultado es eldel primer caso. Finalmente, cuando el segundo termino de la primera y el primerode la segunda expresion son cero

R = a, F = 0. (10)

3. El oscilador armonico

Un oscilador armonico es un cuerpo de masa m pegado a un resorte con cons-tante de restitucion k como mostramos en la Fig. 3. La ecuacion de la masa es laley de Hooke de la Ec. (11) que establece que la fuerza sobre el cuerpo de masam es proporcional al desplazamiento del cuerpo respecto a su posicion de equilibriox. Esta Ec. puede transformarse en un sistema de dos ecuaciones de primer ordenpara el deplazamiento x y la cantidad de movimiento p = mv con v la velocidad

2

(a) (b)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10

t

Figura 2: Modelo de Lotka-Volterra modificado, ecs. (3) y (4). (a) Conejos R yzorros F como funcion del tiempo. La recta horizontal en rojo representa el esta-do estacionario R = 1.111 . . . , la lınea horizontal en verde el estado estacionarioF = 0.740 . . . . Las dos curvas en rojo representan la evolucion temporal de R paralas condiciones iniciales B y C (ver (b)) y las curvas en verde los valores correspon-dientes de F .(b) Algunas soluciones del modelo de Lotka-Volterra modificado en elespacio fase. Los puntos muestran las soluciones de equilibrio.

Figura 3: Masa con un resorte que se mueve sobre una mesa horizontal sin friccion.

del cuerpo.

md2x

dt2=− kx (11)

dx

dt=p

m(12)

dp

dt=− kx (13)

La solucion general de la Ec. (11) es

x(t) = A cosωt+Bsinωt, p(t) = −mAω sinωt+mBω cosωt (14)

con ω =√k/m, A y B constantes. Con la condicion inicial t0 = 0, x(t0) = x0,

p(t0) = 0 tenemos la solucion particular

x(t) = x0 cosωt, p(t) = −mx0ω sinωt (15)

3

-2

-1

0

1

2

0 2 4 6 8 10

xp

Figura 4: Oscilador armonico. Graficas e x y p como funciones del tiempo, Ecs. (15)con m = 0.5, k = 1, ω =

√2 y x0 = 2.

La energıa cinetica Ec y la energıa potencial U estan dadas por

Ec =p2

2m, U =

kx2

2. (16)

Cuando la fuerza no depende explıcitamente del tiempo se define la energıa potencialU de manera que dU/dx = −F y podemos comprobar que de la expresion para Use obtiene la ley de Hooke, Ec. (11). La energıa total E es la suma de las energıascinetica y potencial. De lo anterior

E =Ec + U (17)

=p2

2m+kx2

2(18)

=kx202

(sin2 ωt+ cos2 ωt

)=kx202.

Vemos que E es constante. De lo anterior

Ec = E − Ep = E − kx2

2, U =

kx2

2. (19)

4

Ver Fig. (5) (a).

x2

2E/k+

p2

2mE= 1, (20)

2E/k = x20, 2mE = mkx20, (21)

x2

x20+

p2

mkx20= 1. (22)

La Ec. (22) es una elipse como mostramos en la Fig. 5 (b).

(a) (b)

0

E

−x0 0 x0

x

U

Ec

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 0 2 4 6

p

x

Figura 5: Oscilador armonico. (a) Representacion grafica de la Ec. (18). (b) Elespacio fase de un oscilador armonico con m = 0.5, k = 1.0 y E = 1, 2, 3. Laselipses se recorren en el sentido de las manecillas del reloj cuando el tiempo crece.

4. El oscilador armonico amortiguado

Agregamos a la Ec. (11) un termino que amortigua la oscilacion de manera que

md2x

dt= −kx− bdx

dt(23)

con b > 0 el coeficiente de amortiguamiento o el coeficiente de friccion del cuerpode masa m con la mesa. Con γ = b/2m y ω2 = k/m

x+ 2γx+ ω2x = 0. (24)

Puede ser que x = eβt sea una solucion de la Ec. anterior. Al sustituir(β2 + 2γβ + ω2

)eβt = 0. (25)

De aquı

β = −γ ±√γ2 − ω2. (26)

Ponemos α =√γ2 − ω2 y la condicion inicial es t0 = 0 x(t0) = x0 y v(t0) = 0.

Como vemos en la Ec. (26), hay que considerar tres casos

5

(a) (b)

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10

x

t

123

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

0.5

0 2 4 6 8 10

v

t

123

(c)

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

0.5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

v

x

123

Figura 6: Oscilador armonico amortiguado en los tres casos considerados. (a) Laposicion x como funcion del tiempo. (b) La velocidad v como funcion del tiempo.(c) La posicion x contra la velocidad v. En el caso 1, m = 1, k = 2 y b = 1, en el2, m = 1, k = 2 y b =

√0.5 y en el 3, m = 1, k = 2 y b = 0.5.

6

1. γ > ω. La solucion general es

x(t) =Ae(−γ+α)t +Be(−γ−α)t (27)

v(t) =A(−γ + α)e(−γ+α)t −B(γ + α)e(−γ−α)t. (28)

Con la condicion inicial mencionada

x0 =A+B (29)

0 =(−γ + α)A− (γ + α)B (30)

de donde

A =(α+ γ)x0

2α, B =

(α− γ)x02α

. (31)

Este caso se conoce como movimiento sobre amortiguado.

2. γ = ω. En este caso α = 0 por lo que hay una raız doble para β. La soluciongeneral es 1

x(t) =x1(t) + x2(t) (32)

x1(t) =Ae−γt (33)

x2(t) =Bte−γt. (34)

Falta comprobar que x1 y x2 son soluciones de la Ec. (23). Entonces

x(t) =(A+Bt)e−γt (35)

v(t) = (−Aγ +B(1− γt)) e−γt. (36)

Con la condicion inicial x(0) = x0, v(0) = 0,

x(t) =x0e−γt (37)

v(t) =− x0γ2te−γt. (38)

Este caso se conoce como movimiento crıticamente amortiguado.

3. γ < ω. Con λ =√ω2 − γ2 e i2 = −1,

x(t) = Ae(−γ+iλ)t +Be(−γ−iλ)t (39)

= Ae−γt(cosλt+ i sinλt) +Be−γt(cosλt− i sinλt) (40)

= e−γt(A+B) cosλt+ ie−γt(A−B) sinλt. (41)

Aquı usamos la formula de Euler,

eiλt = cos(λt) + i sin(λt).

1Una ecuacion diferencial total de segundo orden que satisface el teorema de existencia yunicidad tiene dos soluciones independientes.

7

Nos interesa la parte real de la solucion

x(t) = e−γt(A cosλt+B sinλt) (42)

= Ceγt cos(λt− φ) (43)

donde C se conoce como la amplitud y φ como la fase. Podemos ver que estoes correcto pues

C cos(λt− φ) = C[cosλt cosφ+ sinλt sinφ] (44)

que al comparar con la ecuacion anterior nos da

A = C cosφ, B = C sinφ. (45)

De aquı

C =√A2 +B2, φ = cos−1 A√

A2 +B2. (46)

La velocidad es

v(t) = Ce−γt [−γ cos(λt− φ)− λ sin(λt− φ)] (47)

De la condicion inicial x(0) = x0, v(0) = v0,

x0 = C cosφ, φ = tan−1(γλ

). (48)

Este caso se conoce como movimiento amortiguado o sub amortiguado.

En la Fig. 6 mostramos x y v como funciones de ty x contra v en los tres casos considerados.

5. El oscilador de Duffing

El oscilador de Duffing esta definido por la ecuacion

x = −αx− βx3 − δx+ γ cosωt (49)

con α, β, γ, δ y ω constantes. Esta ecuacion es la segunda ley de Newton parauna partıcula de masa unitaria que se mueve en una dimension sujeta a una fuerza−αx− βx3 − δx+ γ cosωt. Con α < 0 el primer termino del lado derecho es unafuerza repulsiva que con β > 0 puedes ser contrarrrestada por el segundo termino.El siguiente termino representa una fuerza de friccion con δ > 0 y el ultimo terminoes una fuerza periodica forzante con frecuencia ω.

Con γ = 0 y δ = 0,x = −αx− βx3 (50)

La Ec. (50) puede escribirse como un sistema de dos ecuaciones con v la velocidad,

dx

dt= v (51)

dv

dt= −αx− βx3. (52)

8

Las soluciones de equilibrio son(−√−α/β, 0

), (0, 0) y

(√−α/β, 0

).

La energıa E de la partıcula es E = Ec + U con Ec la energıa cinetica y U lapotencial (F = −dU/dx con F la fuerza) dadas por

Ec =v2

2(53)

U =α

2x2 +

β

4x4. (54)

En la Fig. 7 (a) mostramos la grafica de U . Si E < 0 la partıcula oscila alrededorde uno de los dos puntos de equilibrio (−

√−α/β, 0) o (

√−α/β, 0) y si E > 0

oscila alrededor de los dos. El punto de equilibrio (0, 0) es inestable. Las trayectoriasmencionadas se muestran en la Fig. 7 (b).

(a) (b)

−0.3

0

0.3

−1 0 1

U

x

−1

0

1

−1 0 1

v

x

Figura 7: El oscilador de Duffing. (a) Energıa potencial U , Ec. (54). (b) Trayectoriasen el espacio fase para la Ec. (50). En (a) y (b), α = 1.0, β = −1.0, γ = 0.0 yδ = 0.0.

Podemos hacer un cambio de variables a x = (x0, x1, x2) con x0 = ωt, x1 = xy x2 = x y la Ec. (49) se puede escribir como un sistema de tres ecuaciones deprimer orden,

x0 = f0(x) = ω (55)

x1 = f1(x) = x2 (56)

x2 = f2(x) = −αx1 − βx31 − δx2 + γ cosx0 (57)

En la Fig. 8 mostramos el comportamiento del oscilador de Duffing en trescasos. En la primera columna el comportamiento se repite despues de un transiente,y el comportamiento parece ser caotico en los siguientes casos. Se puede evaluar elexponente de Lyapunov temporal λ siguiendo la evolucion temporal en el espacio

9

tangente dado por la matriz jacobiana DF definida como

DF (x) =

∂f0(x)

∂x0

∂f0(x)

∂x1

∂f0(x)

∂x2∂f1(x)

∂x0

∂f1(x)

∂x1

∂f1(x)

∂x2∂f2(x)

∂x0

∂f2(x)

∂x1

∂f2(x)

∂x2

(58)

Con δt el intervalo de intergracion en el metodo de Ringe-Kutta ponemos N = T/δt,y el exponente de Lyapunov λ se puede evaluar como

λ =1

Tlog

( |u(T )||u(0)|

)(59)

=1

Tlog

( |u(T )||u(T − δt)|

|u(T )− δt||u(T − 2δt)| · · ·

|u(δt)||u(0)|

)(60)

=1

T

N∑n=1

log

( |u(nδt)||u((n− 1)δt|

)(61)

u(t+ δt) = (I + δtDF (x(t))) · u(t) (62)

En esta expresion u(0) es un vector arbitrario. En la Fig. 9 mostramos el exponentede Lyapunov temporal en algunos caso incluıdos los de la Fig.

En la Fig. 10 mostramos algunos mapeos de Poincare.

6. Geometrıa de sistemas

Los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden como los que hemosvisto son de la forma

dx

dt=f(x, y), (63)

dy

dt=g(x, y). (64)

Sean Y = (x, y) y F (Y ) = (f(x, y), g(x, y)) que a veces son vectores renglon y aveces vectores columna. Las Ecs. (63) se pueden escribir como

dY

dt= F (Y ). (65)

A cada punto Y se le asocia un vector tangente F (Y ). Este es el campo de vectores.Para el oscilador armonico con m = 1 y k = 1

dY

dt= F (y) = (y,−x). (66)

Mostramos el campo de vectores en la Fig. 11 (a). Aquı la informacion es demasiada,los vectores se sobreponen unos con otros. Para aliviar eso, usamos el campo de

10

direcciones como mostramos en la Fig. 11 (b) donde cada vector que se muestra esunitario. En esta Fig. hay menos informacion, pero se ve mejor.

Presentamos varios ejemplos sencillos.

dY

dt= (x, y),

dY

dt= (−x,−y),

dY

dt= (−x,−2y). (67)

Los campos de direcciones se muestran en las Figs. 12, 13 y 14.La idea es como antes, los vectores del campo de direcciones son tangentes a

las trayectorias. Ası, podemos ver como son las soluciones del campo de direccionescomo mostramos en la Fig. 15

7. Dos especies en competencia

Dos especies X y Y con poblaciones x y y compiten consigo mismas y con laopuesta por recursos de manera que

dx

dt=2x

(1− x

2

)− xy (68)

dy

dt=3y

(1− y

3

)− 2xy. (69)

Para encontrar los puntos de equilibrio

2x(

1− x

2

)− xy =0 (70)

3y(

1− y

3

)− 2xy =0. (71)

x(2− x− y) =0 (72)

y(3− y − 2x) =0. (73)

Como antes hay cuatro soluciones q son (0, 0), (0, 3), (2, 0) y (1, 1). En la Fig. 16mostramos el campo de direcciones, los puntos de equilibrio y algunas soluciones. Elpunto de equilibrio (0, 0) es inestable, ası como el (1, 1). Los puntos (2, 0) y (0, 3)son ambos estables.

Aparte de los puntos de equilibrio inestables el espacio accesible (el primer cua-drante de un espacio de dos dimensiones) se puede dividir en dos regiones. Unacontiene a los puntos que tomados como condicion inicial van al punto de equilibrio(2, 0) y la otra con los puntos que van a dar a (0, 3).

11

8. El modelo de Lorenz

El modelo de Lorenz esta definido por el sistema de ecuaciones

dx

dt=σ(y − x) (74)

dy

dt=− xz + rx− y (75)

dz

dt=xy − bz. (76)

con σ, r y b constantes. Las soluciones de equilibrio son los tres puntos (0, 0, 0) y(±√b(r − 1),±

√b(r − 1), r − 1).

En las Figs. 17 (a), (b) y (c) mostramos x, y y z como funciones del tiemporespectivamente. Parece que x y y toman los mismos valores y por ello en la Fig. 17(d) mostramos la y− x como funcion del tiempo. Es aparente que x y y oscilan enfase, los maximos y mınimos de ambas variables coinciden. En la Fig. 18 mostramosuna solucion en el espacio fase. En la Fig. 19 mostramos la separacion entre 2trayectorias incialmente cercanas.

9. El oscilador de van der Pol

El oscilador de van der Pol es un oscilador no conservativo con una friccionno lineal. Describe el comportamiento de un bulbo electronico. Fue discutido porprimera vez por van der Pol en 1926. La ecuacion del oscilador es

d2x

dt2+ x− µ(1− x2)

dx

dt−A sinωt = 0. (77)

Con µ = 0 y A = 0 la ecuacion representa un resorte que obedece la ley de Hooke.Con A = 0 podemos escribir

dx

dt=y (78)

dy

dt=− x+ µ(1− x2)y. (79)

La solucion de equilbrio es (0, 0). En la Fig. 20 (a) mostramos a x y y como funcionesdel tiempo y en la Fig. 20 (b) dos trayectorias en el espacio fase. Sin importar lacondicion inicial (sin contar a (0, 0)) el sistema termina en un ciclo que se conocecomo un ciclo lımite. En el caso general, A 6= 0, procedemos como en el caso deloscilador de Duffing y definimos x0 = ωt, x1 = x y x2 = x. Entonces

x0 = ω (80)

x1 = x2 (81)

x2 = µ(1− x21)x2 +A sinx0 (82)

Mostramos un resultado, que es caotico, en la Fig. 21.

12

10. El efecto P − δLa ecuacion del modelo es

x+ βx+ αx3 + δx = 0 (83)

con α < 0 y β > 0. El sistema de dos ecuaciones es

x =v (84)

v =− βx− αx3 − δv. (85)

Los puntos de equilibrio son (−√−β/α, 0), (0, 0) y (

√−β/α, 0). Mostramos el

espacio fase en la Fig. 22.

11. Ejercicios

Ejercicio 1

dz

dt= cosω (86)

dω

dt=− z + ω (87)

Sol. 1 Los puntos de equilibrio son la solucion de

cosω = 0, ω = z. (88)

De aquı, los puntos de equilibrio son (π/2+kπ, π/2+kπ), k = . . . ,−1, 0, 1, . . . . Esclaro que los puntos de equilibrio estan sobre una recta con pendiente 1. Mostramosel campo de direcciones en la Fig. 23 (a) y algunas soluciones en el espacio fase enla Fig. 23 (b). Los dos puntos de equilibrio son inestables.

13

Ejercicio 2 Convierted2x

dt2+ 2

dx

dt− 3x+ x3 = 0 (89)

en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Encuentra los puntosde equilibrio, el campo de direcciones y algunas soluciones interesantes.

Sol. 2 con y = dx/dt obtenemos

dx

dt=y (90)

dy

dt=− 2y + 3x− x3. (91)

Los puntos de equilibrio son las soluciones de

y =0 (92)

x(3− x2) =0. (93)

De aquı (0, 0), (√

3, 0) y (−√

3, 0) son los tres puntos de equilibrio. Mostramos elcampo de direcciones en la Fig. 24 (a) y algunas soluciones en la Fig. 24 (b).

14

Ejercicio 3 Para el sistema

dx

dt=y (94)

dy

dt=2x− 3x2 (95)

encuentra las soluciones de equilibrio, y algunas soluciones en el espacio fase mos-trando que hay soluciones cerradas y abiertas.

Sol. 3 Las soluciones de equilibrio son (0, 0) y (2/3, 0). Las soluciones particularesse pueden encontrar con el metodo de Runge-Kutta como mostramos en la Fig. 25

Ejercicio 4 Lab. 2.1 p. 224 Blanchard, Devaney, Hall.

x = −0.3x− x− 1

((x− 1)2 + a2)3/2− x+ 1

((x+ 1)2 + a2)3/2

(96)

Sol. 4 Escribimos

x =v (97)

v =− 0.3x− x− 1

((x− 1)2 + a2)3/2− x+ 1

((x+ 1)2 + a2)3/2

. (98)

La energıa potencial U es

U(x) = 0.15x2 + 0.2((x− 1)2 + a2

)−5/2+ 0.2

((x+ 1)2 + a2

)−5/2. (99)

Dado F = −dU/dx con F la fuerza sobre la partıcula y F esta dada por el terminodel lado derecho de la Ec. (96) podemos comprobar que la expresion para U escorrecta. En la Fig, 26 (a) podemos ver U como funcion de x para varios valores dea. Para valores peque nos de a, U tiene dos pozos y si la energıa no es demasiadogrande, la trayectoria en el espacio fase se mantiene en el pozo en el cual hayaempezado. Para energıas mayores, la orbita pasa alrededor de ambos pozos comomostramos en la Fig. 26 (b). El valor de a en el cual los dos pozos se unen se puedeencontrar numericamente.

Ejercicio 5 Lab. 2.2.1 p. 225 Blanchard, Devaney, Hall.Considera los sistemas de ecuaciones dados por

A.dx

dt= −5x+ 2xy B.

dx

dt= 6x− x2 − 4xy

dy

dt= −4y + 3xy

dy

dt= 5y − 2xy − 2y2

encuentra las soluciones de equilibrio, y algunas soluciones en el espacio fase.

Sol. 5 Las soluciones de equilibrio de A. son (0, 0) y (4/3, 5/2). Las soluciones deequilibrio de B son (0, 0), (0, 5/2), (6, 0) y (4/3, 7/6). En la Fig. 27 mostramosalgunas soluciones y los campos de pendientes.

15

(a) (b) (c)

−1

0

1

150 200

t

x

v

−1

0

1

2

150 200

t

x

v

−1

0

1

2

150 200

t

x

v

(d) (e) (f)

−1

0

1

−1 0 1

v

x

−1

0

1

−1 0 1

v

x

−1

0

1

−1 0 1

v

x

(g) (h) (i)

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 100 200 300 400

λ

t

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 100 200 300 400

λ

t

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 100 200 300 400

λ

t

Figura 8: Comportamiento de x = x1 y v = x2 en el oscilador de Duffing conα = −1, β = 1, δ = 0.3, ω = 1.2 y varios valores de γ. En la primera columna, (a),(d) y (g), γ = 0.25, en la segunda, (b), (e) y (h), γ = 0.40 y en la tercera, (c), (e)e (i), γ = 0.60. En el primer renglon mostramos x y v como funcion del tiempo, enel segundo

16

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 200 400

λ

t

γ = 0.25

γ = 0.39

γ = 0.40

γ = 0.45

γ = 0.50

Figura 9: Modelo de Duffing. El exponente de Lyapunov λ como funcion del tiempocon α = 1. β = −1, δ = 0.25, ω = 1.0 y varios valores de γ.

17

(a) (b)

−1

0

1

−1 0 1

v

x

−1

0

1

−1 0 1

v

x

(c) (d)

−1

0

1

−1 0 1

v

x

−1

0

1

−1 0 1

v

x

Figura 10: Mapeos de Poincare del oscilador de Duffing con α = 1.0, β = −1.0,γ = 0.3, δ = 0.2, ω = 1.0. En (a) se muestra (x, v) cuando ωt mod 2π = 0, en(b) cuando ωt mod (2π + π/4) = 0, en (c) cuando ωt mod (2π + π/2) = 0 yen (d) cuando ωt mod (2π + 3π/4) = 0. Los parametros son α = 1. β = −1,γ = 0.3, δ = 0.25 y ω = 1.0. En lo anterior x mod y es el residuo de la divisionx/y. El tiempo maximo de computo es T = 100, 000 por lo que cada grafica tieneT/π = 31, 831 puntos.

18

(a) (b)

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

Figura 11: (a) El campo de vectores del oscilador armonico dY /dt = (y,−x). (b)El campo de direcciones del oscilador armonico dY /dt = (y,−x).

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

Figura 12: El campo de direcciones de dY /dt = (x, y).

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

Figura 13: El campo de direcciones de dY /dt = (−x,−y).

19

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

Figura 14: El campo de direcciones de dY /dt = (−x,−2y).

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

Figura 15: El campo de vectores del oscilador armonico dY /dt = (y,−x) y lasolucon x2 + y2 = 2.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

y

x

Figura 16: Dos especies en competencia. El campo de direcciones, los puntos fijosy algunas trayectorias en el espacio fase de las Ecs. (68) y (69).

20

(a) (b)

-10

0

10

0 10 20 30

x

t

-20

-10

0

10

20

0 10 20 30y

t

(c)

5

15

25

35

45

0 10 20 30

z

t

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25 30

y−

x

t

Figura 17: Modelo de Lorenz. (a), (b), (c) x, y y z como funciones del tiemporespectivamente con σ = 16, b = 28 y r = 8/3. Las lıneas en rojo en (a), (b) (c)indican las soluciones de equilibrio. (d) y−x como funcion del tiempo. La integracionnumerica es con el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.01.

21

z

xy

z

Figura 18: Modelo de Lorenz. Una trayectoria en el espacio fase x, y, z con σ = 16,b = 28 y r = 8/3. Mostramos tambien las soluciones de equilibrio. La integracionnumerica es con el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.01 duranteun tiempo t = 30.

(a) (b)

-20

-10

0

10

20

0 10 20 30

x

t

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30

d

t

Figura 19: Modelo de Lorenz. (a) La coordenada x como funcion del tiempo de dossoluciones a una distancia inicial d = 8.756634e − 07. (b) La distancia d entre lasdos soluciones como funcion del tiempo con σ = 16, r = 28 y r = 8/3.

22

(a) (b)

-4

0

4

0 5 10 15 20-4

0

4

x x

t

-4

0

4

-2 0 2

y

x

Figura 20: Oscilador de van der Pol dado por las Ecs. (78) y (79). (a) Las variablesx y y como funciones del tiempo y (b) dos trayectorias con distintas condicionesiniciales en el espacio fase. En este caso µ = 2.0 y h = 0.01.

(a) (b)

-2.2

0

2.2

0 150 300

x

t

-15

0

15

-2 0 2

y

x

Figura 21: Oscilador de van der Pol dado por las Ecs. (78) y (79) con µ = 8.53,A = 1.2 y ω = pi/5. (a) La variable x como funcion del tiempo (b) Trayectoria enel espacio fase x, y.

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

y

x

Figura 22: Trayectorias en el espacio fase del sistema dado por las Ecs. (84) y (85).

23

(a) (b)

-2

0

2

4

-2 0 2 4

ω

z

-2

0

2

-2 0 2

ω

z

Figura 23: (a) Campo de direcciones del sistema dado por las Ecs. (86) y (87). (b)Algunas soluciones en el espacio fase del mismo sistema.

(a) (b)

-2

0

2

-2 0 2

y

x

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

Figura 24: (a) Campo de direcciones del sistema dado por las Ecs. (90) y (91). (b)Algunas soluciones en el espacio fase del mismo sistema.

24

-2

0

2

-2 0 2

y

x

Figura 25: Trayectorias en el espacio fase del sistema de ecuaciones dado por lasEcs. (94) y (95).

(a) (b)

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-2 -1 0 1 2

U

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

v

x

Figura 26: (a) La energıa potencial U como funcion de x para distintos valores de a.Empezando desde abajo, a = 0.5, a = 0.7, a = 1.0 y a = 2.0. (b) Trayectorias enel espacio fase del sistema de ecuaciones dado por las Ecs. (97) y (98) con a = 0.5.Las soluciones de equilibrio son (−0.9327 . . . , 0), (0, 0) y (0.9327 . . . , 0).

25

A B

0

4

0 4

y

x

0

4

0 4

y

x

Figura 27: Algunas soluciones en el espacio fase y los correspondientes campos dependientes del Ej. 5 A y B.

26