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Sistemas de partículas
Hasta aquí hemos aplicado las leyes de Newton tratando a los objetos
como si fueran partículas puntuales que tienen masa pero no tamaño,
aunque muchas de las aplicaciones se extendían a objetos como
bolas, bloques e incluso automóviles. En esta clase justificaremos
estas aplicaciones considerando que un objeto extenso es un sistema
de partículas y aplicando las leyes de Newton a todas ellas.
Demostraremos que existe un punto del sistema cuyo movimiento bajo
la influencia de fuerzas externas puede ser analizado como el de una
partícula simple. Este punto se llama centro de masa. El movimiento
de cualquier objeto o sistema de partículas, por complejo que sea,
puede describirse en función del movimiento del centro de masas más
el movimiento de las partículas respecto al centro de masas. En esta
clase describiremos cómo hallar el centro de masa de los objetos y
demostraremos que las leyes de newton aplicadas al movimiento del
centro de masa de un sistema complejo nos conducen a la segunda de
las grandes leyes de la conservación que encontraremos: la
conservación de la cantidad de movimiento.
Sistema de dos partículas:
x
y
z
m2
m1
r2
r1
F2,1
F1,2
F1
F2
m1: masa de la partícula 1 𝑟 1: vector posición de la partícula 1
F1 : fuerza externa sobre la partícula 1
𝐹 1,2 : fuerza ejercida por la partícula 2 sobre la partícula 1
Aplicamos la Segunda Ley de Newton a cada partícula por separado:
amF
221121,22,11amamFFFF
1,22,1FF
Tercera ley de Newton
(acción y reacción)
x
y
z
m2
m1
r2
r1
F2,1
F1,2
F1
F2
221121,22,11amamFFFF
112,11amFF
221,22amFF
Sistema de dos partículas:
2
2
2
22
1
2
121dt
rdm
dt
rdmFF
)(22112
2
21rmrm
dt
dFF
2
2
21dt
RdMFF CM
221121amamFF
x
y
z
m2
m1
r2
r1
F2,1
F1,2
F1
F2
M
rmrm
dt
dMFF 2211
2
2
21
M
rmrmR
CM
2211
21mmM
Si definimos:
Sistema de dos partículas:
Esta expresión es semejante a la 2da Ley de Newton para el caso de una partícula puntual:
El centro de masa de un sistema se mueve como una partícula de masa M sometida a la influencia de la suma de las fuerza externas que actúan
sobre el sistema
x
y
z
m2
m1
RCM
F2,1
F1,2
F1
F2
2
2
21dt
RdMFF CM
21mmM
M
rmrmR
CM
2211
Sistema de dos partículas:
2211
1rmrm
MR
CM
2211
1
2
1
1
2211
1
1
1
vmvmM
dt
rdm
dt
rdm
M
rmrmdt
d
Mdt
RdV CM
CM
Posición del centro de masa
21mmM
Sistema de dos partículas:
2211
1vmvm
MV
CM
2211
2
2
1
1
2211
1
1
1
amamM
dt
vdm
dt
vdm
M
vmvmdt
d
Mdt
VdA CM
CM
2211
1rmrm
MR
CM
Posición del centro de masa
Velocidad del centro de masa
21mmM
Sistema de dos partículas:
21mmM
2211
1amam
MA
CM
2211
1vmvm
MV
CM
2211
1rmrm
MR
CM
Posición del centro de masa
Velocidad del centro de masa
Aceleración del centro de masa
Sistema de dos partículas:
Sistema de N partículas: centro de masa
21mmM
2211
1amam
MA
CM
2211
1vmvm
MV
CM
2211
1rmrm
MR
CM
Sistema con 2 partículas:
NmmmM ...
21
NNCM
amamamM
A
...1
2211
NNCM
vmvmvmM
V
...1
2211
NNCM
rmrmrmM
R
...1
1111
Sistema con N partículas:
NmmmM ...
21
NNCM
amamamM
A
...1
2211
NNCM
vmvmvmM
V
...1
2211
NNCM
rmrmrmM
R
...1
1111
Sistema con N partículas:
Posición del centro de masa
Velocidad del centro de masa
Aceleración del centro de masa
Masa total del sistema
Sistema de N partículas: centro de masa
N
i
imM
1
N
i
iiCMam
MA
1
1
N
i
iiCMvm
MV
1
1
N
i
iiCMrm
MR
1
1
Sistema con N partículas:
Posición del centro de masa
Velocidad del centro de masa
Aceleración del centro de masa
Masa total del sistema
Sistema de N partículas: centro de masa
Podemos descomponer al vector posición del centro de masas en sus tres componentes:
N
i
ii
N
NN
CMym
Mmmm
ymymymY
121
2211 1
....
....
CMR
kZjYiXRCMMCCMCM
ˆˆˆˆ
N
i
ii
N
NN
CMxm
Mmmm
xmxmxmX
121
2211 1
....
....
N
i
ii
N
NN
CMzm
Mmmm
zmzmzmZ
121
2211 1
....
....
Sistema de N partículas: centro de masa
Ejemplo: Supongamos dos partículas m1 y m2, cada una de masa 2 kg, ubicadas como indica la figura. a) Hallar la posición del C.M. b) Si m1 = 8 kg, hallar la posición del C.M. en este caso
a)
10 m X [m]
0
m1 m2
mkg
mkgkg
mm
xmxmx
CM5
4
10.20.2
21
2211
C.M.
b)
10 m X [m]
0
m1 m2
mkg
mkgkg
mm
xmxmx
CM2
10
10.20.8
21
2211
C.M.
Ejemplo: Determinar el C.M. del sistema de 3 partículas mostrado en la figura
mkg
mkgmkgkg
mmm
xmxmxmx
CM2
12
4.60.40.2
321
332211
mkg
kgmkgkg
mmm
ymymymy
CM1
12
0.63.40.2
321
332211
m1 = 2 kg
m2 = 4 kg
m3 = 6 kg
X [m]
Y [m]
2 4
2
4
m1
m2
m3
jiRCM
12
N
i
iiCMrm
MR
1
1
Sistema de partículas
x
y
z dm
r
Para un cuerpo continuo, la suma se sustituye por una integral:
en donde dm es un elemento de masa localizado en la posición r.
volumen
CMdmr
MR
1
Centro de masa: cuerpo continuo
Las fuerzas que actúan sobre la partícula i pueden dividirse en dos categorías: - las fuerza interiores debidas a las interacciones con otras partículas que se encuentran dentro del sistema - las fuerzas externas ejercidas por agentes ajenos al sistema
m3
Fi,1
Fi,ext
Fi,2
Fi,3
m2
m1
mi
N
i
iiCMam
MA
1
1
i
iR
i
iR
i
iiSCMFFamAM
ext,,int,,,
Sistema de N partículas: dinámica del centro de masa
ext,,int,,, iRiRiRiiFFFam
Por 2da Ley de Newton
m3
Fi,1
Fi,ext
Fi,2
Fi,3
m2
m1
mi
ext,,int,,, iRiRiRiiFFFam
Por 2da Ley de Newton
N
i
iiCMam
MA
1
1
i
iR
i
iR
i
iiSCMFFamAM
ext,,int,,,
ext,ext,,, neta
i
iRSCMFFAM
Por la 3ra Ley de Newton las fuerzas internas se presentan en parejas de fuerza iguales pero opuestas, es decir Fi,j = - Fj,i . Entonces, la suma total de todas las fuerzas internas es nula.
Sistema de N partículas: dinámica del centro de masa
ext,, netaSCMFAM
El centro de masas se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza neta externa ejercida sobre el sistema.
i
imM
Sistema de N partículas: dinámica del centro de masa
Ejemplo: un proyectil de masa 2m es lanzado y al llegar al punto de máxima altura explota en dos fragmentos, de tal forma que uno de ellos cae verticalmente.
¿A qué distancia caerá el otro trozo sabiendo que el proyectil entero hubiera caído a una distancia D?
2m
m m
D
C.M.
C.M.
x’
m m
El segundo fragmento colisionará contra el piso en una posición x’. Sabiendo que el centro de masa, a pesar de la explosión, continuará describiendo su trayectoria parabólica, podemos afirmar que:
m
xmD
m
DxCM
2
'2
Dm
DmDm
x2
32
12
'
SCM
i
ii
NN
N
VMvm
vmvmvm
pppP
,
2211
21
...
...
La cantidad de movimiento total de un sistema de partículas es igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad de su centro de masa.
N
i
iiCMvm
MV
1
1
SCMVMP
,
Sistema de N partículas: cantidad de movimiento
La segunda ley de Newton para un sistema de partículas
SCMVMP
,
CM
CM AMdt
VdM
dt
Pd
ext,, netaSCMFAM
extnetaF
dt
Pd,
Sistema de N partículas: cantidad de movimiento
Si la fuerza externa resultante sobre un sistema es igual a cero, la velocidad del centro de masa del sistema es constante y la cantidad de movimiento del sistema se conserva
cteVMPSCM
,
0,
extneta
F
0dt
Pd
Si
Sistema de N partículas: conservación de la cantidad de movimiento
Para resolver en clase: Ejercicio Nº 2: Un hombre de 70 kg y un muchacho de 50 kg están de pie juntos sobre una superficie de hielo lisa. Se empujan uno al otro y el hombre adquiere una velocidad de 0.5 m/s respecto del hielo. ¿Qué velocidad respecto al hielo adquiere el muchacho? ¿Varía la velocidad del CM del sistema?