SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Arquitectura de un Sistema

Mapa Conceptual de la Sesión.

Sistemas de Numeración

Conversión entre

bases

Sistema

binario

Sistema

octal

Sistema

hexadecimal

Sistema Binario

Integrado por

Sistema decimal

¿Qué son los sistemas de numeración ?

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar

datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas de tipo posicional, que

se caracterizan porque cada elemento tiene valor distinto según la posición que ocupa en

la cifra o cantidad representada.

MSD – Most Significant Digit (Digito más significativo)

LSD – Least Significant Digit (Digito menos significativo)

Sistemas de Numeración

Un sistema de numeración en base b utiliza para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras

Ejemplos:

b = 10 (decimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b = 16 (hexadecimal) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

b = 2 (binario) {0,1}

El número se expresa mediante una secuencia de cifras:

N ... n4 n3 n2 n1 n0 n-1 n-2 n-3 ...

El valor de cada cifra depende de la cifra en sí y de la posición que ocupa en la secuencia

Sistemas de numeración Computacionales

La siguiente tabla muestra los sistemas numéricos más comunes y su relación.

Decimal Binario Octal Hexadecimal

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1

2 0 0 1 0 2 2

3 0 0 1 1 3 3

4 0 1 0 0 4 4

5 0 1 0 1 5 5

6 0 1 1 0 6 6

7 0 1 1 1 7 7

8 1 0 0 0 10 8

9 1 0 0 1 11 9

10 1 0 1 0 12 A

11 1 0 1 1 13 B

12 1 1 0 0 14 C

13 1 1 0 1 15 D

14 1 1 1 0 16 E

15 1 1 1 1 17 F

Sistema Binario

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cadaposición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Sepuede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidadde dígitos utilizados (2) para representar los números.

Representar el número (1010)2 en forma posicional. Tiene cuatro dígitos enteros p=4 y 0 dígitos fraccionarios.

(1010)2 = di2i + d-j 2 –(i

= d020 + d12

1 + d222 + d32

3 + d424

= 0 x 1 + 1 x 2 + 0 x 4 + 1 x 8

(1010)2 = (10)10

Conversión de binario a decimal, ejemplo:

Convertir el número (11011) a decimal

110112 = 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20

= 16 + 8 + 0 + 2 + 1

110112 = 2710

Conversión de binario a octal

Se forman bloques de tres bits, cada uno a partir del punto. Por tanto, el modode convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a"expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de trescaracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Binario Octal

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 2

0 0 1 1 3

0 1 0 0 4

0 1 0 1 5

0 1 1 0 6

0 1 1 1 7

Convertir el siguiente numero binario a octal:

11101012 a ()8

001 110 101

1 6 5

Por lo tanto

11101012 = 1 6 58

Conversión de binario a hexadecimal

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "con-

trayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios., tanto a la derecha como a la

izquierda del punto.

Convertir el siguiente numero binario a octal:

11101010112 a ()16

0011 1010 1011

3 A B

Por lo tanto

11101010112 = 3 A B16

Binario Hexadecimal

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 2

0 0 1 1 3

0 1 0 0 4

0 1 0 1 5

0 1 1 0 6

0 1 1 1 7

1 0 0 0 8

1 0 0 1 9

1 0 1 0 A

1 0 1 1 B

1 1 0 0 C

1 1 0 1 D

1 1 1 0 E

1 1 1 1 F

Sistema Octal

En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ochodígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, unvalor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de lasposiciones viene determinado por las potencias de base 8.

Correspondencia con el binario:

8 = 23 Una cifra en octal

corresponde a 3 binarias

Ejemplos:

10001101100.110102 = 2154.648 (Binario a Octal)

537.248 = 101011111.0101002 (Octal a Binario)

Conversión Decimal – Octal

760.3310 1370.25078

Sistema Decimal

Emplea diez diferentes dígitos { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Por esto se dice que la base del sistema decimal es diez.

Ejemplo. Representar el número 3637.2510 en forma posicional.

Datos: 4 dígitos, p = 4 y 2 dígitos fraccionarios q=2

3637.25 = di 10i + dj 10 –(i)

= [ 7x100 + 3x101 + 6x102 + 3x103 ] + [ 2x10-1 + 5x10-2 ]

= [ 7x1 + 3x10 + 6x100 + 3x1000 ] + [ 2/10 + 5/100 ]

= [ 7 + 30 + 600 + 3000] + [ 0.2 + 0.05 ]

= 3637.25

Conversión de decimal a binario

El método para convertir un número decimal a binario es el método dedivisiones sucesivas.

1. Dividir el numero decimal entre 2.

2. El residuo (uno o cero) es el dígito menos significativo, el cual se almacenaen un arreglo unidimensional.

3. Dividir entre 2 el cociente de la división anterior, pero ahora el residuo secoloca en la siguiente posición de más significativo valor.

4. Repetir el paso anterior y el residuo se coloca en la siguiente posición demás significativo valor.

5. Repetir el paso anterior hasta obtener un cociente cero.

6. Los números en el arreglo unidimensional se muestran de abajo haciaarriba.

Conversión de decimal a binario, ejemplo:

2610 = 110102

0,187510 = 0,00112

26,187510 = 11010,00112

Conversión de decimal a binario, ejemplo:

Convertir 17310 a ?2

173 2

86 1

43 0

21 1

10 1

5 0

2 1

1 0

0 1

17310 = 101011012

Convertir 312910 a ?2

3128 2

1564 1

782 0

391 0

195 1

97 1

48 1

24 0

12 0

6 0

3 0

1 1

0 1

312910 = 1100001110012

Conversión de decimal a Octal

Primer Método.

[ ]10 [ ]2 [ ]8

Decimal a binario, de binario a octal

Ejem. Convertir el número 15310 a base ()8

15310 [ 010 011 001 ]2 2318

(en la lamina 7 podrá visualizar esta relación)

Nota: La conversión de binario a octal se explicara con más detalle cuando se vea el sistema binario

Conversión de decimal a Octal

Segundo Método.

De las divisiones sucesivas, consiste en dividir el número decimal entre 8 hasta que el cociente sea igual a cero.

Convertir 7565810 a ?8

75658 8

9457 2

1182 1

147 6

18 3

2 2

2 2

0

7565810 = 2236128

Convertir 634810 a ?8

6348 8

793 4

99 1

12 3

1 4

1 1

0

7565810 = 143148

Conversión de decimal a Hexadecimal

Primer Método.

Consiste en convertir el numero en base 10 a base 2 y luego de base 2 a base 16

[ ]10 [ ]2 [ ]16

Decimal a binario, de binario a hexadecimal

Ejm. Convertir el número 15310 a base ()16

15310 [ 0 1001 1001 ]2 9916

(en la lamina 7 podrá visualizar esta relación)

Nota: La conversión de binario a hexadecimal se explicara con más detalle cuando se vea el sistema hexadecimal

Conversión de decimal a Hexadecimal

Segundo Método.

Consiste en realizar divisiones sucesivas pero dividiendo entre 16

Convertir 1037910 a ?16

10379 16

648 11B

40 8

2 8

0 2

1037910 = 288B16

Sistema Hexadecimal

En el sistema hexadecimal los números serepresentan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F.

Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y Frepresentando las cantidades decimales10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente,porque no hay dígitos mayores que 9 en elsistema decimal. El valor de cada uno deestos símbolos depende, como es lógico,de su posición, que se calcula mediantepotencias de base 16.

Correspondencia con el binario:

16 = 24 Una cifra en hexadecimal

corresponde a 4 binarias

Binario Hexadecimal

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 2

0 0 1 1 3

0 1 0 0 4

0 1 0 1 5

0 1 1 0 6

0 1 1 1 7

1 0 0 0 8

1 0 0 1 9

1 0 1 0 A

1 0 1 1 B

1 1 0 0 C

1 1 0 1 D

1 1 1 0 E

1 1 1 1 F

Sistema Hexadecimal

Ejemplos

10010111011111.10111012 = 25DF.BAH

4373.7910 1115.CA3D16

Conversión Decimal - Hexadecimal

273

5

53

117

4373

1711316

16

1

16

11